tag:blogger.com,1999:blog-243787362024-03-11T12:40:58.746-06:00 Beck's blogAlgebraic geometry & logicbeckhttp://www.blogger.com/profile/15394216344733862200noreply@blogger.comBlogger95125tag:blogger.com,1999:blog-24378736.post-62758755981943806132022-05-05T04:41:00.003-05:002022-05-05T04:41:29.036-05:00We are nothing<p>There exist “undefinable” objects, one of them is the concept of “truth”. This concept cannot be definided in the standard model of a logic system within the system. This is a corollary of the Tarski undefinability theorem. </p><p>Further, we know there are questions within certain logical systems that do not have a logical path to an answer (Gödel’s incompleteness).</p><p>Furthermore there exist questions that will never be asked due to the limitations and discreteness of our language e.g phonems, semiotics (Wittgenstein). As an algebraic analogy imagine that there are questions whose semantic particles lie in a transcendental extension of the object that stores our language. </p><p>Most of the concepts of reality are not accesible to us it is like trying to describe a multiple of π using sequences of a finite subset of the integers. </p><p>We are nothing, we are more basic than microbes compared with the complexity of reality.</p><p><br /></p><p>Eduardo</p><p>@toorandom</p>beckhttp://www.blogger.com/profile/15394216344733862200noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-24378736.post-80762790716719192522019-04-02T04:50:00.000-06:002019-04-02T09:42:33.820-06:00 Libertad de expresión y debate<i>El primer principio es que no debes engañarte a ti mismo, y tú eres la persona más fácil de engañar.</i><br />
<i><br /></i>
—Richard P. Feynman<br />
<br />
La libertad de expresión es un concepto fundamental que se ha construido en algunas civilizaciones como parte fundamental de su estructura social, desde los griegos en la antigüedad hasta la declaración de los derechos humanos. Esto es el resultado de muchas acciones que sucedieron en el mundo occidental después de la ilustración y la revolución francesa. La libertad de expresión garantiza una mejor sinergia entre los seres humanos, de eso no hay duda. Hoy quiero hablar de errores en el debate que ocurren gracias al abuso del concepto de "<i>libertad de expresión</i>", antes de que me grites, trata de terminar de leerme.<br />
<br />
Primero, formalmente la libertad de expresión es la capacidad de poder articular tus opiniones e ideas de cualquier tema (ej. política, sexualidad, arte) sin miedo, sin que te censuren o te sancionen, penalicen o agredan.<br />
<br />
La libertad de expresión no es absoluta y esto es sabido. Podrá parecer un oxímoron decir que no es absoluta pero todos sabemos que existen temas donde no se es libre de expresar. Como ejemplos "blancos" tenemos secretos industriales, acuerdos de confidencialidad, <i>copyrights</i>, et cétera. Ejemplos más obscuros están la pedofilia, la violencia, la difamación, entre otros.<br />
<br />
Una de las grandes consecuencias de la libertad de expresión es la capacidad de debate como herramienta de aprendizaje. Aquí quiero exponer unas ideas que he experimentado debatiendo de las cuales he sido el falaz y también victima de la falacia. El propósito de exponer esto es tratar de garantizar justamente que el debate sea una herramienta de aprendizaje y no de imposición ideológica. Hoy en día es necesario tener buenas bases para debatir debido al auge de las redes sociales y el impacto de estas. Con memes y opiniones violentas que reducen argumentos complejos a un dibujo que denota ironía, lo creas o no se están justificando personas a la hora de argumentar (inclusive políticos).<br />
<br />
Los siguientes puntos son errores que considero graves y comunes en la lógica a la hora de debatir. Considero que han sido exponenciados con el uso de redes sociales y la sinergia que existe hoy en día en temas delicados (esto es una opinión con bases empíricas, no tengo fuente).<br />
<br />
<b>Nota importante:</b> Estos diez puntos que expreso a continuación, antes que nada es conocimiento <i>a posteriori</i>. Lo que leerás es una opinión que estoy abierto a corregir si me es recalcado un error. Por lo tanto, con esta nota informo que no soy experto en el tema y sólo estoy expresando mi opinión potencialmente incompleta.<br />
<br />
<u><b>Errores comunes en el abuso de la libertad de expresión a la hora de debatir:</b></u><br />
<br />
<b>1.</b> Uso de estadísticas inexistentes basadas en un potencial "<i>sentido común</i>". Es muy fácil decir <i>5 de cada 10 mujeres en el mundo han sufrido violencia de género</i> cuando la realidad es que <i>7 de cada 10 mujeres en el mundo han sufrido violencia de género</i> (Observatory of Gender (Women’s Coordinating Office, 2013)). El uso de estos números "<i>a ojo de buen cubero</i>", debe evitarse (y más si eres un personaje público) porque la idea podría evolucionar de voz a voz a una mentira colectiva. A veces también se mezclan estadìsticas en espacios muestrales diferentes, cayendo en otra falacia.<br />
<br />
<b>2. </b>Descalificación absoluta de argumentos basados en la ignorancia de la contraparte. Cuando una persona decide debatir con alguien, la premisa de las partes es que ambas pueden aportar al conocimiento mutuo. El utilizar argumentos no demostrables o sin fuentes es lo mismo que argumentar con falacias.<br />
Cuando una parte decide utilizar estadísticas o afirmaciones de otras personas, deberá presentar una prueba de existencia de la fuente. Si esto no se tiene en mente, el objetivo del debate con alguien ignorante sólo será humillarlo o imponer una opinión sin propósitos de enseñanza.<br />
<br />
<b>3.</b> Controlar el tema a través de obviedades, resultando en argumentos falaces. Aquí el perpetrador de la falacia supone que la contraparte no está alineada a la parte ética o moral superficial del tema en cuestión, generalmente llevando el argumento a otra falacia (por ejemplo, <i>ad hominem</i>). Esto podría suceder si el perpetrador de la falacia usa su opinión como absoluta e irrefutable por el hecho de estar débilmente alineada a un principio básico (e.j. libertad de expresión). El perpetrador de la falacia deberá darse cuenta que el argumento de la contraparte podría (o no) dar un contraejemplo a una situación o contexto específico, rompiendo con la generalidad de la idea. Aquí, quien controla el tema con obviedades insulta la inteligencia o ética de su contraparte gracias a la incapacidad de escuchar o de entender un panorama más complejo del superficial en el tema en cuestión. Yo y muchos le llamamos a veces a esto <i>irse por la tangente, </i>y es muy común.<br />
<br />
Un ejemplo de esto es cuando alguien está en contra de la legalización de cambio de sexo a menores de edad. El falaz podría usar en su contra argumentos que van alineados a una posible transofobia o de estar en contra del movimiento LGBT o inclusive homofobia. En este caso no necesariamente la transofobia juega un papel en la contraargumentación por lo que el falaz usa argumentos obvios para explicar que la transofobia "es mala", queriendo justificar <b>implícitamente </b>que el no estar de acuerdo en el cambio de sexo a menores de edad es una implicación directa de "<i>su transofobia</i>". Esto insulta y humilla indirectamente a pesar de que esencialmente nadie en el debate sea transófobo.<br />
<br />
<b>4.</b> Bases éticas y morales distintas entre ambas partes resultan en argumentos circulares. Si el tema a debatir se fundamenta en bloques fundamentales distintos de ambas partes, el debate sólo será un show.<br />
En este caso lo que hay que debatir son los fundamentos y no las consecuencias de estos fundamentos. Como ejemplo es cuando una mujer denuncia y argumenta discriminación de género laboral y es tachada de mentirosa o exagerada por alguien alineado al patriarcado. En este ejemplo es claro que no se puede llegar a una conclusión debido a que el problema yace en los fundamentos de la argumentación (machismo vs feminismo) y no en la situación puntual del debate per sé.<br />
<br />
<b>5. </b>Violencia verbal. La descalificación de un argumento con el uso de palabras arriba de tono o sarcasmo podría estar insultando indirectamente a tu contraparte, destruyendo su libertad de pensamiento. Esto sucede generalmente cuando algo es legítimamente "obvio" (teniendo una base moral y ética establecida para el debate). Opino que lo que debe recalcársele a quien no ve "lo obvio", no es la idea per sé, sino la base que fundamenta su idea, ya que ésta podría diferir con los axiomas preestablecidos para ejecutar un buen debate.<br />
<br />
<b>6. </b>Uso de experiencias personales. Esto conlleva fácilmente a falacias debido a que la contraparte podría ignorar las circunstancias y contexto de tu argumento. Esto como herramienta argumentativa es pobre. A la hora de debatir ambas partes deben tener acceso a la misma información y antes de concluir un resultado, este debe estar basado en un camino lógico que una la base fundamental del debate y la conclusión.<br />
<br />
<b>7. </b>Descontextualización del tema a debatir. Es fácil encontrar "contraejemplos" cuando cambias el universo de un problema, descalificando rápidamente a tu contraparte. Esto a veces está ligado al punto 4. Sin embargo puede ser más sutil y me parece que es un defecto muy grande y difícil de detectar el cual todos debemos estar alerta.<br />
<br />
<b>8. </b>Tono de voz cambiante al ejecutar más estrés prosódico en ciertas palabras. Esto es muy interesante porque es un fenómeno fonético y no lingüístico que cambia la semántica. Este error argumentativo puede confundir a tu contraparte y usarse como herramienta de debate sucio después. Imagina que cuando pongo una palabra en mayúsculas, debes leerla con mayor fuerza.<br />
YO, no leí el libro. (otro lo leyó)<br />
Yo NO leí el libro. (no lo leí)<br />
Yo no LEÍ el libro. (hice otra cosa en vez de leer)<br />
Yo no leí EL libro. (leí otro)<br />
Yo no leí el LIBRO. (el libro no es un libro per sé).<br />
<br />
Este tipo de error al debatir también puede darse de forma escrita con el uso de comillas (").<br />
<br />
<b>9. </b>Falsas conclusiones porque tu contraparte sucede que tiene la misma opinión que tú. Esto es peligroso ya que es una falacia <i>ad hominem</i>, donde la conclusión estará basada en la coincidencia de argumentos de tu contraparte aunque estos no estén desarrollados. Por ejemplo dos racistas infiriendo que un argumento racista no es incorrecto en X o Y contexto (cuando con base en la ética occidental es incorrecto en todo contexto).<br />
<br />
<b>10. </b>Uso de emociones ante temas sensibles. Este es el más controvertido a mi gusto pero es una realidad que es una herramienta usual en la argumentación moderna. Este pretende hacer sentir culpable a la contraparte de su postura con base en ejemplos en un contexto muy específico, forzando a la contraparte a abortar su postura por miedo a la humillación moral o descalificación social.<br />
<br />
En mi opinión no hay argumentos que engloben la generalidad de una situación. En temas subjetivos cuya métrica de veracidad es inexistente y sólo es categórica o subjetiva siempre habrán contextos en donde tus ideas no embonen, por lo que a la hora de debatir siempre es importante plantear bases axiomáticas aceptadas por ambos para el inicio del debate.<br />
Tratemos de eliminar la tendencia a fijarse solo en la evidencia que apoya nuestros puntos de vista, eso nos hace... tontos a la hora de debatir.<br />
<br />
Más información, lee la interesante parte de "falacias informales" en la lista de Falacias de Wikipedia (<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_fallacies#Informal_fallacies">https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_fallacies#Informal_fallacies</a>)<br />
<br />
Eduardo Ruíz Duarte<br />
<div>
Twitter: @toorandom</div>
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PGP: toorandom en Gmail.com <span style="color: red; font-family: "helvetica"; font-size: small;"><b><a href="http://pgp.mit.edu:11371/pks/lookup?search=0xFEE7F2A0&op=index" style="font-family: Helvetica; font-size: small;">FEE7 F2A0</a> </b></span></div>
beckhttp://www.blogger.com/profile/15394216344733862200noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-24378736.post-10190472918894229742019-03-19T15:23:00.001-06:002019-03-19T15:25:13.704-06:00Quantum factorization intuition and how RSA is broken with examples from Fourier analysis<br />
<div class="MsoNormal">
In this post I give an idea of how a quantum computer may factor an integer. This post is not formal and is intended for non experts, even non-mathematicians (in fact I wrote it for colleagues which are computer engineers). This is not exactly Shor's algorithm but I will explain the main essence of it. Therefore, some gaps may be here. I will explain how the Fourier Transform is used to factor an integer. Calculating the Fourier transform in a classical computer is expensive, however, for a quantum computer due to its physical nature, takes just 1 cycle using quantum gates. I won't delve into details about quantum gates in this post, just in the mathematical part but I will try to be as smooth as possible without any fancy words and language. This is intended for you to finally grasp how a quantum computer is supposed to break RSA and I will provide you some code to play with.</div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<b><span style="font-size: large;">What you need to know first? </span></b></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: large;"><b><br /></b></span></div>
<div class="MsoNormal">
<b style="font-size: x-large;">a)</b><span style="font-size: large;"><b> </b></span><i>What is GCD of two
integers?</i>
: If <b>a</b> and <b>b</b> are two integers, the <i>Greatest
common divisor</i> (<b>GCD</b>) of <b>a</b> and <b>b</b> is the biggest
integer <b>g</b> such that <b>a/g</b> and <b>b/g</b> is “exact”
(leaves no residue, this <b>g </b>is always a positive integer). This GCD is very easy to calculate even that <b>a </b>and <b>b
</b>are thousands of bits (this is how RSA public keys are being compared on the
internet to find repeated factors in them and vulnerate its corresponding private
keys)</div>
<div class="MsoListParagraph">
<o:p></o:p></div>
<div class="MsoListParagraph">
The way of calculating the GCD number is really
straightforward, for instance in python recursively as easy as:<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="color: black; font-family: "courier new"; font-size: 10.0pt;"> def gcd(a,b):<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="color: black; font-family: "courier new"; font-size: 10.0pt;">
if(b==0):<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="color: black; font-family: "courier new"; font-size: 10.0pt;">
return a<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="color: black; font-family: "courier new"; font-size: 10.0pt;">
else:<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="color: black; font-family: "courier new"; font-size: 10.0pt;">
return gcd(b,a%b)<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraph">
<br /></div>
<div class="MsoListParagraph">
Where % is the modulo operation in python, this is
explained in <b>(c)</b>. GCD(a,b)=1 means that a and b share no factors and 1 is
the biggest divisor of both.<o:p></o:p></div>
<div class="MsoListParagraph">
<br /></div>
<div class="MsoListParagraph">
<i><br /></i></div>
<div class="MsoListParagraph">
<b style="font-size: x-large;">b) </b><i>A fact from highschool:</i> The polynomial $latex x^{2n}-1$ factors as $latex (x^n + 1)(x^n -1)$. This is
something you all know from highschool as <i>difference of squares</i>.</div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<b style="font-size: x-large;">c) </b><i>Modular arithmetic:</i> $latex A=B \bmod N$ means “<b>B </b>is the residue of dividing<b> A/N</b>” and this residue of
course is always <b>strictly less than N.</b></div>
<div class="MsoNormal">
<i><br /></i></div>
<div class="MsoNormal">
<i><br /></i></div>
<div class="MsoNormal">
<b style="font-size: x-large;">d) </b><i>Periodicity of modulo
operation</i>:
Take any integer <b>a</b>, and build the sequence $latex a^0, a^1, a^2, a^3,\ldots, a^k\bmod N$ (this is a sequence “reduced” modulo
<b>N, </b>which means dividing by <b>N </b>each element in the sequence and inserting the residue).</div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoListParagraph">
This list will be periodic eventually since <b>N </b>is
finite. (patterns in the sequence will appear)<o:p></o:p></div>
<div class="MsoListParagraph">
For example take <b>N=14</b> the sequence $latex \lbrace 3^0, 3^1, 3^2, 3^3, 3^4, 3^5, 3^6, 3^7, 3^8,\ldots\rbrace\bmod 14$ is reduced to $latex \lbrace 1,3,9,13,11,5,1,3,9,\ldots \rbrace$.<o:p></o:p></div>
<div class="MsoListParagraph">
<br /></div>
<div class="MsoListParagraph">
This “signal $latex 3^x \bmod 14$” <b>has period 6</b> since $latex 3^{x+6} \bmod 14 = 3^x \bmod 14$ for all x (in highschool you see for example that $latex\sin(x)$ has period $latex 2\pi$ since $latex \sin(x)=\sin(x+2\pi)$</div>
<div class="MsoListParagraph">
<i><br /></i></div>
<div class="MsoListParagraph">
<b style="font-size: x-large;">e) </b><i>Fourier transform of
periodic function:</i>
If you have a periodic signal and you feed it to a Fourier transform, this will output a function where in the x-axis you will have the frequencies
of the original data. In the y-axis the magnitude (size) of the
periodic data. </div>
<div class="MsoListParagraph">
To find the longest period of a signal, since <b>Period = 1/Frequency</b> (<i>highschool</i>) you
just need to find all the highest amplitudes (y values) and check its corresponding x-coordinate (frequency) and transform it to period. This is 1/x to get the period of the original high amplitude y value (you are interested
in the highest period). For example, if you have a high Y value (amplitude), and its x-coordinate X is <b>0.1428 HZ</b> then 1/X=1/0.1428 = 7 ( and the period is P=7).</div>
<div class="MsoListParagraph">
<o:p></o:p></div>
<div class="MsoListParagraph">
<br /></div>
<div class="MsoListParagraph">
<br /></div>
<div class="MsoListParagraph" style="margin-left: 0in;">
<b><span style="font-size: large;">Factorization Algorithm using periods mod N </span></b></div>
<div class="MsoListParagraph" style="margin-left: 0in;">
<b><span style="font-size: large;">INPUT (An integer N to Factorize), OUTPUT (A factor)</span><o:p></o:p></b></div>
<div class="MsoListParagraph" style="margin-left: 0in;">
<b><span style="font-size: large;"><br /></span></b></div>
<ol start="1" style="margin-top: 0in;" type="1">
<li class="MsoListParagraph" style="margin-left: 0in; mso-list: l2 level1 lfo2;"><span style="mso-fareast-font-family: "Times New Roman";">Pick a random $latex x$ between $latex 2$ and $latex N$<o:p></o:p></span></li>
<li class="MsoListParagraph" style="margin-left: 0in; mso-list: l2 level1 lfo2;"><span style="mso-fareast-font-family: "Times New Roman";">If $latex g=\gcd(x,N)\geq 2$ then
return $latex x$ (since $latex g$ is greater than $latex 1$ and $latex \gcd(x,N)$ is a common divisor of $latex N$,
we found accidentally a factor $latex g$ which is improbable)<o:p></o:p></span></li>
<li class="MsoListParagraph" style="margin-left: 0in; mso-list: l2 level1 lfo2;"><span style="mso-fareast-font-family: "Times New Roman";">Calculate the sequence <o:p></o:p></span>$latex S:=\lbrace x^0, x^1, x^2, \ldots, x^N\rbrace \bmod N$ (this is a quantum step which is done in a quantum register in one cycle)</li>
<li class="MsoListParagraph" style="margin-left: 0in; mso-list: l2 level1 lfo2;">Calculate the <b>period </b>$latex P$ of $latex S$ using<b> quantum fourier transform</b> (this is the same as the fourier transform but using quantum parallelism which for now
you see as a blackbox since this is the fast part that is calculated in 1
Cycle on a quantum processor, since it is done using the physical nature
of the processor)<o:p></o:p></li>
<li class="MsoListParagraph" style="margin-left: 0in; mso-list: l2 level1 lfo2;">If $latex p$ is <b>not even, goto step 1 </b> ($latex P$ will be even with high probability, this is a deep mathematical
number theoretical argument)<o:p></o:p></li>
<li class="MsoListParagraph" style="margin-left: 0in; mso-list: l2 level1 lfo2;">Since $latex P$ is the period,
we have that $latex x^P \equiv 1 \bmod N$. Further since $latex P$ is even, put “1” in the
other side of the previous equality and using <b>(b)</b> above we can factor $latex (x^{P/2}+1)(x^{P/2}-1) \equiv 0 \bmod N$ .<o:p></o:p></li>
<li class="MsoListParagraph" style="margin-left: 0in; mso-list: l2 level1 lfo2;">Since $latex (x^{P/2}+1)(x^{P/2}-1) \equiv 0 \bmod N$ this means that the left hand side of the equation leaves 0 residue when
divided by $latex N$ (see <b>c)</b> above). This means that at least one of both factors
shares a factor with N. This factor is one (or both) of $latex \gcd((x^{P/2}\pm 1),N)$.<o:p></o:p></li>
</ol>
<div class="MsoListParagraph">
Therefore, $latex f=\gcd(x^{P/2}+1) , N)$ OR $latex f=\gcd(x^{P/2}-1),N)$ is a factor of $latex N$ and Voila.<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<b><span style="font-size: large;">Example, factorizing N=15 using the previous algorithm:</span><o:p></o:p></b></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
We will factor the number <b>15 </b>by hand using the previous algorithm.<o:p></o:p></div>
<ol start="1" style="margin-top: 0in;" type="1">
<li class="MsoListParagraph" style="margin-left: 0in; mso-list: l1 level1 lfo3;"><span style="mso-fareast-font-family: "Times New Roman";">We pick randomly $latex x=7$<o:p></o:p></span></li>
<li class="MsoListParagraph" style="margin-left: 0in; mso-list: l1 level1 lfo3;"><span style="mso-fareast-font-family: "Times New Roman";">We have that $latex \gcd(15,7) = 1$ therefore,
we can stay with our choice of $latex x$ since this $latex x$ does not share factors with $latex N$, we verify
this quickly (even that $latex N$ or $latex x$ have thousands of bits) as:<o:p></o:p></span></li>
</ol>
<div class="MsoListParagraph" style="text-autospace: none;">
<span style="font-family: "lucida console";">>>> N=15<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraph" style="text-autospace: none;">
<span style="font-family: "lucida console";">>>> x=7<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraph" style="text-autospace: none;">
<span style="font-family: "lucida console";">>>> from math import gcd<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraph" style="text-autospace: none;">
<span style="font-family: "lucida console";">>>> gcd(N,x)<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraph" style="text-autospace: none;">
<span style="font-family: "lucida console";">1<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraph">
<br /></div>
<ol start="3" style="margin-top: 0in;" type="1">
<li class="MsoListParagraph" style="margin-left: 0in; mso-list: l1 level1 lfo3;"><span style="mso-fareast-font-family: "Times New Roman";">We calculate the
sequence $latex S=\lbrace 7^0, 7^1, \ldots , 7^N\rbrace \bmod N=15$<o:p></o:p></span></li>
</ol>
<div class="MsoListParagraph" style="text-autospace: none;">
<span style="font-family: "lucida console";">>>> N=15<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraph" style="text-autospace: none;">
<span style="font-family: "lucida console";">>>> x=7<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraph" style="text-autospace: none;">
<span style="font-family: "lucida console";">>>> S=[]<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraph" style="text-autospace: none;">
<span style="font-family: "lucida console";">>>> for k in range(0,N+1):<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraph" style="text-autospace: none;">
<span style="font-family: "lucida console";">... S.append((x**k)%N)<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraph" style="text-autospace: none;">
<span style="font-family: "lucida console";">...<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraph" style="text-autospace: none;">
<span style="font-family: "lucida console";">>>> S<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraph" style="text-autospace: none;">
<span style="font-family: "lucida console";">[1, 7, 4, 13, 1, 7, 4, 13, 1, 7, 4, 13, 1, 7, 4, 13]<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraph">
<br /></div>
<ol start="4" style="margin-top: 0in;" type="1">
<li class="MsoListParagraph" style="margin-left: 0in; mso-list: l1 level1 lfo3;">We use the<b> Fourier
transform </b>to calculate the <b>period $latex P$ </b>of $latex S$ looking at the frequencies (<i>x
coordinates</i>) of the highest amplitudes (<i>y coordinates</i>). We can see this
visually below (ignore the high frequency at 0.0 which is infinity and it
is a technicality). <o:p></o:p></li>
</ol>
<div class="MsoListParagraph">
Note that the period of $latex S$ seems to be <b>4 </b>just by
<i>looking </i>the sequence $latex S$, but we do not know that, and in real life sequences will be much larger, and this is a toy example.<o:p></o:p></div>
<div class="MsoListParagraph">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">>>> import numpy as np<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraph">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">>>> S = np.array(S)<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraph">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">>>> fourierS=np.abs(np.fft.fft(S))<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraph">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">>>> freqdomain = np.fft.fftfreq(S.size,d=1)<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraph">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"><b>### WE PLOT THE SIGNAL AND THE FOURIER TRANSFORM OF
IT</b><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraph">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">>>> import matplotlib.pyplot as plt<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraph">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">>>> plt.subplot(2,1,1)<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraph">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">>>> plt.plot(np.arange(S.size), S, 'r--')<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraph">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">>>> plt.subplot(2,1,2)<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraph">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">>>> plt.plot(freqdomain,np.abs(fourierS),'ro')<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraph">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">>>> plt.show()<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<!--[if gte vml 1]><v:shapetype id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600"
o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f"
stroked="f">
<v:stroke joinstyle="miter"/>
<v:formulas>
<v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"/>
<v:f eqn="sum @0 1 0"/>
<v:f eqn="sum 0 0 @1"/>
<v:f eqn="prod @2 1 2"/>
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"/>
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"/>
<v:f eqn="sum @0 0 1"/>
<v:f eqn="prod @6 1 2"/>
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"/>
<v:f eqn="sum @8 21600 0"/>
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"/>
<v:f eqn="sum @10 21600 0"/>
</v:formulas>
<v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect"/>
<o:lock v:ext="edit" aspectratio="t"/>
</v:shapetype><v:shape id="Picture_x0020_1" o:spid="_x0000_i1025" type="#_x0000_t75"
alt="" style='width:721.5pt;height:378.75pt'>
<v:imagedata src="file:///C:/Users/EDUARD~1.DUA/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image001.png"
o:href="cid:image001.png@01D4DE96.D0BFABF0"/>
</v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<o:p><span style="font-family: "calibri" , sans-serif; font-size: 11.0pt;"><!--[if gte vml 1]><v:shapetype
id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t"
path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f">
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</v:shapetype><v:shape id="Picture_x0020_1" o:spid="_x0000_i1025" type="#_x0000_t75"
alt="" style='width:721.5pt;height:378.75pt'>
<v:imagedata src="file:///C:/Users/EDUARD~1.DUA/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image001.png"
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</v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--></span></o:p></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgAdxeTNtmCMuGiJGqkljBT-ECi41QpYODTBnEuY_0Vj6lBWwTspv39ee-tt3BQezDmlauNyMVxUk3DV4a9_NGofmmDN5tj7zAJiuK0adHnBCSmEMLSTGG_JE3JNSUNnGRO7C_q/s1600/fourier-mail-example.PNG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="505" data-original-width="962" height="332" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgAdxeTNtmCMuGiJGqkljBT-ECi41QpYODTBnEuY_0Vj6lBWwTspv39ee-tt3BQezDmlauNyMVxUk3DV4a9_NGofmmDN5tj7zAJiuK0adHnBCSmEMLSTGG_JE3JNSUNnGRO7C_q/s640/fourier-mail-example.PNG" width="640" /></a></div>
<div class="MsoListParagraph">
<o:p><br /></o:p></div>
<div class="MsoListParagraph">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
Look that the frequency coordinate (<i>in the x axis</i>) of one of
the highest amplitudes (in the y axis). In the Fourier spectrum, the marked high amplitude has frequency <b>0.250737 (x coordinate)</b>.
Using the <i>highschool formula</i> 1/Freq = Period we have that <b>1/0.250737 is 3.99 (which is
rounded to 4) </b>and this is the highest period $latex P$ of the original
signal (we already knew it was 4 but we are literally looking at the frequency through Fourier analysis). </div>
<div class="MsoNormal">
<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<ol start="5" style="margin-top: 0in;" type="1">
<li class="MsoListParagraph" style="margin-left: 0in; mso-list: l1 level1 lfo3;">We saw that the highest
amplitude (interpret it as highest length of a period of S, since there
are a lot of small periods within our signa, for example 1,7 repeats also
or 7,4,13 too with some gaps) has frequency <b>0.2507 Hz</b> in
the Fourier spectrum, and the period P was obtained by 1/T=P as<b> </b><b>1/0.2507</b> which is <b>3.99 ~= 4</b> so the highest
period <b>P=4</b>.</li>
</ol>
<div class="MsoListParagraph">
<o:p></o:p></div>
<ol start="6" style="margin-top: 0in;" type="1">
<li class="MsoListParagraph" style="margin-left: 0in; mso-list: l1 level1 lfo3;">We calculate $latex x^{P/2} + 1$ and $latex x^{P/2} - 1$, namely $latex 7^2 + 1$ and $latex 7^2 - 1$ which
are 50 and 49 respectively. Further, we check for common factors with $latex N$ (recall by <b>b)</b> and <b>7. </b>above that $latex x^P \equiv 1 \bmod
N$ since the signal has period $latex P$) and therefore $latex x^P-1 = (x^{P/2}+1)(x^{P/2}-1) \equiv 0 \bmod N$.<o:p></o:p></li>
</ol>
<div class="MsoListParagraph" style="text-autospace: none;">
<span style="font-family: "lucida console";">>>> P=4<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraph" style="text-autospace: none;">
<span style="font-family: "lucida console";">>>> from math import gcd<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraph" style="text-autospace: none;">
<span style="font-family: "lucida console";">>>> gcd(x**(int(P/2))+1,N)<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraph" style="text-autospace: none;">
<b><span style="font-family: "lucida console";">5<o:p></o:p></span></b></div>
<div class="MsoListParagraph" style="text-autospace: none;">
<span style="font-family: "lucida console";">>>> gcd(x**(int(P/2))-1,N)<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraph" style="text-autospace: none;">
<b><span style="font-family: "lucida console";">3<o:p></o:p></span></b></div>
<div class="MsoListParagraph" style="text-autospace: none;">
<span style="font-family: "lucida console";">>>><o:p> </o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraph">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<ol start="7" style="margin-top: 0in;" type="1">
<li class="MsoListParagraph" style="margin-left: 0in; mso-list: l1 level1 lfo3;"><span style="mso-fareast-font-family: "Times New Roman";">Voila, we have the
factors 5 and 3.<o:p></o:p></span></li>
</ol>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
There are some technicalities to explain when the signal is
cut suddenly at the end without finishing the “wave” , the period needs to be
approximated since it wont be exact, but it is a matter of rounding correctly.<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
A more serious calculation using the fourier spectrum is for a 4 digit number</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEinmxpd-7ieS0Izs7jVo_fW_dPt37hQzPNGr6k3cFT5TYukCFs1XVX7lnw5C2epc4bboErJ6rU6Xt_YZ9Rz8-mntTDgQwem8kKmEJa2vlusQO2H3blNTa4EOhelPyTZW1Fn2hc3/s1600/fourier-example-higher.PNG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="541" data-original-width="1600" height="216" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEinmxpd-7ieS0Izs7jVo_fW_dPt37hQzPNGr6k3cFT5TYukCFs1XVX7lnw5C2epc4bboErJ6rU6Xt_YZ9Rz8-mntTDgQwem8kKmEJa2vlusQO2H3blNTa4EOhelPyTZW1Fn2hc3/s640/fourier-example-higher.PNG" width="640" /></a></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
Using another technique to calculate periods via convolution:</div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgIDZuDFB5JeboIU3RQ0AHz4gmbPVh-10GtQfQ-Fm_pJ4ohgEdDelGePP9waU4BLbD91q4_7zKef8IcGgVUMWHClnw9g8CDKE1f1e8A3Eh2NlpkC-DozRUJE4sxF4qPN3sOnCKH/s1600/factorization-period-via-convolution.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="474" data-original-width="1600" height="187" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgIDZuDFB5JeboIU3RQ0AHz4gmbPVh-10GtQfQ-Fm_pJ4ohgEdDelGePP9waU4BLbD91q4_7zKef8IcGgVUMWHClnw9g8CDKE1f1e8A3Eh2NlpkC-DozRUJE4sxF4qPN3sOnCKH/s640/factorization-period-via-convolution.png" width="640" /></a></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<b>Source code and more information<o:p></o:p></b></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
Source code that finds the periods using <b>Fourier</b> and
other implementation with <b>discrete</b> <b>Convolution</b> (faster).
Screenshots for more complex factorizations are in <a href="http://ff2.nl/quantum-factorization/">http://ff2.nl/quantum-factorization/</a></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
Eduardo Ruiz Duarte (beck)</div>
<div class="MsoNormal">
toorandom@gmail.com</div>
<div class="MsoNormal">
twitter: @toorandom</div>
<br />beckhttp://www.blogger.com/profile/15394216344733862200noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-24378736.post-38601742967803823192018-08-01T17:13:00.001-05:002018-08-02T08:11:59.976-05:00The arithmetic geometry of the Fields Medal 2018, perfectoid spaces (part 1/2, Affinoid Spaces)Today, the fields medal was awarded. One of the recipients is the German director of the Max Planck institute Peter Scholze (he has only 30 years old!). He obtained his Ph.D. inventing and studying his notion of <i>perfectoid spaces</i> which is the topic that I will introduce, but first I will talk about <i>affinoid spaces</i> today.<br />
<br />
I have been attending seminars with that is now ex-group of algebraic geometry at the university of Groningen where I made my Ph.D. during the past five months related to overconvergent sheaves and rigid geometry leaded by Jaap Top, Marius van der Put and Stephen Mueller. I learnt there about<i> affinoid spaces and Frobenius structures. </i>I will just define and give some motivation of their invention here and then I will try to give a very brief and informal description of a <i>perfectoid space </i>tomorrow in a continuation of this post.<br />
<br />
<b><br /></b>
<b>Why?</b><br />
<br />
One of the main purposes of all these mathematics is to study points on algebraic varieties. For example, is well known by Gerd Faltings (see <a href="https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF01388432">here</a>) that the number of solutions of an algebraic curve defined by $latex C(x,y)=0$ of genus $latex g \geq 2$ has a finite number of solutions over any finite extension of $latex \mathbb{Q}$, which we denote by $latex k$. In other words, there is just a finite number of $latex (\tfrac{a}{b},\tfrac{c}{d})$ where $latex a,b,c,d\in O_k$ and $latex c,d\neq 0$ and $latex C(\tfrac{a}{b},\tfrac{c}{d})=0$.<br />
<br />
There are bounds for the number of points of $latex C/k$, in fact, if we fix $latex k=\mathbb{Q}$, $latex O_k=\mathbb{Z}$ and $latex C/\mathbb{Q}$ is hyperelliptic, one has that #$latex C(k)\leq 8rg+33(g-1)+1$ where $latex r=\text{rank}(J)$ and $latex J$ is the algebraic group variety associated to the curve $latex C$ which must have rank at most $latex g-3$. This bound was presented to me in Groningen by professor Michael Stoll from the University of Bayreuth (see <a href="http://www.mathe2.uni-bayreuth.de/stoll/papers/uniform-bounds-2015-11-25.pdf">here</a>). He uses Chabauty-Coleman integration to obtain this.<br />
<br />
The problem is that this bound is very restricted, does not work for varieties of arbitrary dimension, and only works for a very well behaved family of curves (hyperelliptic). For the restriction of $latex r\leq g-3$ there is current hot develpments by Bas Edixhoven, Rene Schoof and others in Leiden using Poincare Torsors on the Neron Severi group of $latex J$.<br />
<br />
<br />
<b>p-adic numbers (recall)</b><br />
<br />
Consider the non-archimidean field $latex \mathbb{Q}_p$ (<a href="http://b3ck.blogspot.com/search/label/p-adico">here</a> you can construct them using the Cauchy completion of $latex \mathbb{Q}$ under the <i>weird</i> absolute value $latex |x|_p=|p^n\tfrac{a}{b} |_p=p^{-n}$ with $latex p$ prime and $latex a,b\in\mathbb{Z}$ (just as you construct $latex \mathbb{R}$ from the convergent sequences over $latex \mathbb{Q}$. It is handy to represent the elements of $latex \mathbb{Q}_p$ as the "Laurent series" of the form $latex \sum_{i=-m}^\infty a_ip^i\in\mathbb{Q}_p$ where $latex a_i\in\{0,...,p-1\}$ and $latex m\in\mathbb{Z}^+$ (see <a href="http://www.math.leidenuniv.nl/~evertse/dio2011-padic.pdf">Theorem 3.4 here</a>).<br />
<br />
There is very nice theory that we wont expose here, such that taking the curve $latex C/\mathbb{Q}_p$ can tell us information of $latex C/\mathbb{Q}$. You can imagine this field $latex \mathbb{Q}_p$ as being something that approximates a solution point of $latex C$ over $latex \mathbb{Q}$, since its elements are <i>power series in p</i>, and we will use this "imagination" which is very informal, to indeed, pursue this objective. For the algebrist it is easier to define these numbers. We start with the inverse limit of the rings $latex \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ which we denote by $latex \mathbb{Z}_p$. A p-adic integer $latex m$ is then a sequence $latex (a_n)_{n\geq 1}$ such that $latex a_n$ is in $latex \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$. If $latex n \leq m$, then $latex a_n \equiv a_m (\bmod p^n)$. It is easy to check that the ring of fractions of $latex \mathbb{Z}_p$ is in fact what we described before, the field $latex \mathbb{Q}_p$ which has characteristic 0.<br />
<br />
<b>Affinoid algebras and spaces.</b><br />
<b><br /></b>
Consider the field $latex \mathbb{Q}_p$ for some prime $latex p$. Consider the ring of <i>formal power series</i> in the variables $latex x_1,...,x_n$ and the subring $latex \tau_n\subset \mathbb{Q}_p[[x_1,...,x_n]]$ of all the <i>strictly convergent series</i>, that is, if we denote the power series in multi index notation as $latex \sigma:=\sum_{I} c_I x^I$, then $latex \sigma\in\tau_n$ if and only if $latex |c_I|_p=0$ as $latex I\to \infty$. This give us a feature of $latex \tau_n$, first,... it is a ring and an algebra (prove it). Moreover, every element $latex \sigma\in\tau_n$ has a norm, $latex ||\sigma||=\sup\{c_I\}_{I}$, making $latex \tau_n$ a <b>Banach</b> $latex \mathbb{Q}_p$-<b>algebra of countable type</b>. So here, we reduced the horribly big ring of formal power series to something which cohomologically will be more <i>"manageable"</i>, in fact $latex \tau_n$ is a unique factorization domain with <b>Krull dimension</b> $latex n$.<br />
<br />
An <b>affinoid algebra </b>is any $latex A:=\tau_n/(J)$ where $latex J$ is a closed ideal of $latex A$. An <b>affinoid space</b> $latex X$ is the maximal spectrum of this ring, that is $latex X=\text{Specm}(A)$ (set of maximal ideals of $latex A$, which can be regarded as points).<br />
<br />
Imagine that to study $latex C/\mathbb{Q}$ you will consider the space of points $latex X_C:=\text{Specm}\;\tau_2/(C(x,y))$, which can be given many topologies, like the Zariski (very coarse unfortunately), Grothendieck or étale Topology and others.<br />
<br />
<br />
Tomorrow (I hope) I will continue with perfectoid spaces and I will try to develop an example of how to work with these spaces which allow us to work with "mixed characteristic", namely, characteristic 0 and p.<br />
<br />
<br />
The geometry of curves over $latex K:= \mathbb{Q}_p$ is very interesting, here, as a matter of morbosity, I leave you of the Berkovich projective line using these ideas for $latex \mathbb{P}^1(K)$.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEibL8tnzQz2gOBN3YtZVRlVWeT2GT_P0EO1w-__4_sW3Q7ncd3yUSq4nPXXW4i4Evi7njDQrTum4TcX3AyfIKIcjvGAuijnDCm5rUZUcaC-_DRSz0Hx5ygjbboNDISaS2GwVvkA/s1600/bpl.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="533" data-original-width="1050" height="324" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEibL8tnzQz2gOBN3YtZVRlVWeT2GT_P0EO1w-__4_sW3Q7ncd3yUSq4nPXXW4i4Evi7njDQrTum4TcX3AyfIKIcjvGAuijnDCm5rUZUcaC-_DRSz0Hx5ygjbboNDISaS2GwVvkA/s640/bpl.png" width="640" /></a></div>
<br />
<br />
<br />
Eduardo Ruiz Duarte<br />
Twitter: @torandom<br />
PGP: <a href="http://pgp.mit.edu:11371/pks/lookup?search=0xFEE7F2A0&op=index" style="font-family: Helvetica; font-size: small;"><span style="color: red; font-size: small;"><b>FEE7 F2A0</b></span></a>beckhttp://www.blogger.com/profile/15394216344733862200noreply@blogger.com5tag:blogger.com,1999:blog-24378736.post-27382113399033337852018-03-27T14:32:00.003-06:002018-03-27T16:17:47.422-06:00Matemáticas, música y recuerdos<div class="" data-block="true" data-editor="65prd" data-offset-key="8l7u7-0-0" style="background-color: white;">
<div class="_1mf _1mj" data-offset-key="8l7u7-0-0" style="direction: ltr; position: relative;">
<span style="color: #1d2129; font-family: "helvetica" , "arial" , sans-serif;"><span style="font-size: 14px; white-space: pre-wrap;">Hoy, en mi trabajo por alguna razón mientras trataba de entender algo un poco abstracto en álgebra, me acordé de mi maestro de piano cuando era niño (1993) y tuve una emoción un poco filosófica y nostálgica.
Intenté buscarlo en internet para ver si existía algún registro de él, una foto o una grabación... no tuve éxito.
Él vivía de dar conciertos en salones pequeños y de dar clases de canto y piano a niños y adultos en su casa ubicada en el barrio de Coyoacán. No era un virtuoso pero era muy trabajador, muy apasionado y una persona muy noble y pura. Él perfeccionaba cualquier pieza si se lo proponía. Tenía cuatro pianos de cola en su casa. Siempre sacaba piezas nuevas para interpretarlas en conciertos y salones locales en Coyoacán como la Sala Rodolfo Usigli y otros lugares. En su casa tenía una foto de Dolores del Río, era fanático de su belleza.
Recuerdo que un sábado por la tarde de un 13 de octubre (era el día de <i>San Eduardo</i> por eso lo recuerdo), después de yo llegar de los <i>"boy scouts"</i>, entré a mi casa en la calle de Malintzin en la colonia Del Carmen en Coyoacán y me topé con la sorpresa de que había un piano para mí (de hecho era una pianola). </span></span><span style="color: #1d2129; font-family: "helvetica" , "arial" , sans-serif; font-size: 14px; white-space: pre-wrap;">Las clases las tomaba antes de este piano en su casa. Mi madre y él lo escogieron muy cuidadosamente ya que </span><i style="color: #1d2129; font-family: helvetica, arial, sans-serif; font-size: 14px; white-space: pre-wrap;">"tenían que estar en perfectísimo estado los martinetes"</i><span style="color: #1d2129; font-family: "helvetica" , "arial" , sans-serif; font-size: 14px; white-space: pre-wrap;"> para darme la gran sorpresa y por fin poder practicar en un instrumento de verdad, lo cual les agradezco infinitamente tanto a mi madre María G. Duarte como a él. </span><br />
<span style="color: #1d2129; font-family: "helvetica" , "arial" , sans-serif;"><span style="font-size: 14px; white-space: pre-wrap;">
Él me entrenó para entrar a la Escuela Nacional de Música de la UNAM donde estudié piano desde 1996 hasta la huelga (2000). Pude pasar sin ningún problema gracias a que perfeccioné con él el<i> Minueto en Sol Mayor</i> de Johann Sebastian Bach que presenté en mi examen de admisión siendo un niño.
Mi maestro tenía un sueño un poco peculiar, que era ir a la casa de Beethoven en Bonn, Alemania. Ahora que lo analizo, iré a Bonn este sábado, entonces tal vez me acordé hoy de mi maestro ya que siempre me decía: <i>"Tú eres bueno en matemáticas porque te gusta tocar el piano"</i> (noten la lógica). Otra anécdota es que solía decír que yo tenía muy<i> "buen oído"</i> y le encantaba al final de mi clase tocar acordes mientras yo miraba hacia otro lado y preguntarme cuáles notas eran las que él estaba tocando.
Gracias a él pude interpretar varias melodías de Beethoven, (<i>Sonata Opus 27</i> no. 2 fue a la que más tiempo le dedicamos), <i>Preludios</i> de Chopin, <i>Mazurkas</i> y varios arreglos de Mozart. Yo siempre era rebelde y quería tocar cosas "<i>modernas</i>". Recuerdo que le insistía en que tocáramos a Di Blassio o Richard Clayderman y él sólo se reía como diciéndome <i>"no seas naco"</i> (obvio él no decía eso pero seguro tenía la intención). Le agradezco mucho el haberme mostrado la belleza de la música clásica.
Mi madre siempre le sugirió que vendiera uno de sus grandes pianos para poder viajar a Bonn y conocer a su héroe, pero él los amaba y jamás se quiso deshacer de alguno de ellos.
</span></span><br />
<span style="color: #1d2129; font-family: "helvetica" , "arial" , sans-serif;"><span style="font-size: 14px; white-space: pre-wrap;">Falleció en la primavera del 2000 de cáncer prostático, justo cuando ya no podía pagar su casa y mantener sus pianos por culpa de su enfermdad. Había abandonado su casa de Coyoacán para ir a un pequeño departamento en Acoxpa. Como ya no tenía espacio en su nueva casa nos regaló sus macetas de jazmines que florecieron por muchos años.</span></span><br />
<span style="color: #1d2129; font-family: "helvetica" , "arial" , sans-serif;"><span style="font-size: 14px; white-space: pre-wrap;">
Su nombre era <b>Aurelio de Alba</b>, era originario de Durango, mi emoción surgió al no encontrar absolutamente nada en internet. No tuvo hijos y sólo tenía un hermano de edad similar que era maestro particular de inglés. Ambos ya no viven. Mi maestro murió primero que su hermano quien vendió todos los pianos ya que no había más qué hacer con ellos.
Qué difícil y triste es pensar en el hecho de que ya nadie se acuerde de él más que mi madre y yo; que no haya un sólo registro de sus bellas melodías.
¿Cuántos humanos así han dejado de existir en la mente de todos los que están vivos hoy en día?.
Les dejo la melodía que él más amaba y que decenas de veces lo escuché interpretar (<i>Intermezzo de Manuel María Ponce</i>).</span></span><br />
<span style="color: #1d2129; font-family: "helvetica" , "arial" , sans-serif;"><span style="font-size: 14px; white-space: pre-wrap;">
Que en Paz descanse maestro Aurelio.</span></span><br />
<span style="color: #1d2129; font-family: "helvetica" , "arial" , sans-serif;"><span style="font-size: 14px; white-space: pre-wrap;"><br /></span></span>
<span style="color: #1d2129; font-family: "helvetica" , "arial" , sans-serif;"><span style="font-size: 14px; white-space: pre-wrap;">Eduardo</span></span></div>
</div>
<div class="" data-block="true" data-editor="65prd" data-offset-key="3itk6-0-0" style="background-color: white;">
<div class="_1mf _1mj" data-offset-key="3itk6-0-0" style="color: #1d2129; direction: ltr; font-family: inherit; font-size: 14px; position: relative; white-space: pre-wrap;">
<span data-offset-key="3itk6-0-0" style="font-family: inherit;"><br data-text="true" /></span></div>
<div class="_1mf _1mj" data-offset-key="3itk6-0-0" style="direction: ltr; position: relative;">
<span data-offset-key="3itk6-0-0" style="font-size: 14px; white-space: pre-wrap;"><span style="color: #1d2129; font-family: "helvetica" , "arial" , sans-serif;"><iframe allow="autoplay; encrypted-media" allowfullscreen="" frameborder="0" height="480" src="https://www.youtube.com/embed/1O4-RCjwal0" width="854"></iframe></span></span></div>
<div class="_1mf _1mj" data-offset-key="3itk6-0-0" style="color: #1d2129; direction: ltr; font-family: inherit; font-size: 14px; position: relative; white-space: pre-wrap;">
<br /></div>
</div>
<div class="" data-block="true" data-editor="65prd" data-offset-key="6p57j-0-0" style="background-color: white; color: #1d2129; font-family: Helvetica, Arial, sans-serif; font-size: 14px; white-space: pre-wrap;">
<div class="_1mf _1mj" data-offset-key="6p57j-0-0" style="direction: ltr; font-family: inherit; position: relative;">
<br /></div>
</div>
beckhttp://www.blogger.com/profile/15394216344733862200noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-24378736.post-84880075120109633722017-04-19T13:42:00.001-05:002019-07-31T14:29:50.701-05:00Why finding big prime numbers? why study weird arithmetic sequences?Now I am sitting on my desk thinking on a technique to help me to identify BIG prime numbers in certain arithmetic sequences using algebraic geometry.<br />
<br />
This was part of my last project for my PhD, which I think it was very interesting. When I say "BIG" I mean thousands of digits, maybe millions. When I say "primes in arithmetic sequences" I mean to separate prime numbers in a list like $latex \{ \alpha_n \}_{n=0}^\infty$.<br />
<span style="color: #444444; font-size: large;"><br /></span>
<span style="color: red; font-size: x-large;">A popular, a prostituted, an important and a "dumb" sequence.</span><br />
<br />
Now we will describe some non trivial sequences and we will see a glimpse of why they are important (or not).<br />
<br />
This is of course in my opinion, since there are infinitely many sequences which I ignore and could be more interesting. In fact there is a sequence of <i>"uninteresting numbers"</i> which contains all numbers which appear to not have known/interesting properties (like being prime, Mersenne prime, triangular number, cube, etc...).<br />
But well, this sequence then..., is interesting as is unique, and then we get a paradox.<br />
<br />
<span style="color: red; font-size: large;">The popular sequence</span><br />
<span style="color: #444444; font-size: large;"><br /></span>
The <b>popular </b>is<b> </b>a very famous arithmetic sequence, and is the "<b>Mersenne Sequence"</b>, $latex \{ 2^n-1\}_{n=1}^\infty\subset\mathbb{N}$.<br />
<br />
$latex \{ 2,7,15,31,63,127,255,...\}$<br />
<br />
This is the sequence of all Mersenne numbers. We denote by $latex M_n$ to the number $latex 2^n-1$.<br />
To identify the primes in this sequence, note that if $latex n=2k$ (is even) then $latex 2^n-1=(2^k-1)(2^k+1)$ and hence... not a prime number. This means that in the sequence we can discard all the values $latex n\in 2\mathbb{Z}$, that is $latex M_{2k}$ is not prime. A less trivial fact is that if $latex n$ is composite, namely $latex n=ab$ then we have that:<br />
<br />
$latex 2^n-1=2^{ab}-1=(2^a-1)(\sum_{k=0}^{b-1}2^{ka})=(2^b-1)(\sum_{k=0}^{a-1}2^{kb})$<br />
<br />
and then also $latex M_{pq}$ is not prime. So, we are left with all the elements in the sequence of the form $latex M_p$ for $latex p$ a prime number. A quick inspection says that $latex M_2, M_3, M_5, M_7$ are Mersenne primes. But $latex M_{11} = 2047 =23\cdot 89$ which is not prime. So, which Mersenne numbers are prime ?<br />
<br />
This is a difficult question, there are big computer grids working in this, trying to find the most spectacular prime. The biggest Mersenne prime known, (and Biggest Prime in general) is $latex 2^{74207281}-1$. which has 22.3 million digits approximately. The way to check it without putting so much effort in the algebraic geometric or number theory rigor is the following:<br />
<br />
To check that $latex 2^p -1$ is prime:<br />
<br />
Consider the sequence $latex \{ \sigma_1=4, \sigma_2=14,...,\sigma_j=(\sigma_{j-1}^2)-2...\}$<br />
then $latex M_p=2^p-1$ is prime if and only if $latex \sigma_{p-1}\equiv 0 \bmod M_p$.<br />
<br />
This is the fastest way known today. is called the Lucas-Lehmer test.<br />
There are other elegant tests (but not necessarily faster) using <a href="http://www.math.harvard.edu/~gross/preprints/Mersenne.pdf">elliptic curves</a> which I knew its existence when I was talking with Benedict Gross at the conference on L-Functions at Harvard the past year, and in some sense I have to do something similar as part of my PhD program.<br />
<br />
<span style="color: red; font-size: large;">The prostituted</span><br />
<br />
Another famous and <b>prostituted</b> sequence is the so called "<b>Fibonacci sequence</b>".<br />
<br />
$latex \{ 1,1,2,3,5,8,13,...,F_{n-1}+F_{n-2}, ...\} $<br />
<br />
This is famous and is always presented as the building blocks of beauty in the universe. This just an exaggeration, but well, that is another story.<br />
<br />
Is known that $latex \lim_{n\to\infty} \frac{F_{n}}{F_{n-1}}=\phi=1.618033...$.<br />
<br />
This number $latex \phi$ has the property that squared is equal to $latex \phi+1$ so, is appears as a root of the polynomial $latex x^2 -x -1=0$.<br />
The value of $latex \phi$ can be found when you divide lengths of middle lines in some polygons by the length of the sides. Also in your body, if you divide your height by the distance of your feet to your belly button, and in a lot of parts of our body. This number can be analyzed in a Leonardo da Vinci drawing called <i>"Le proporzioni del corpo umano secondo Vitruvio" </i>which can be seen <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Vitruvian_Man">here</a>.<br />
This is why $latex \phi$ has some kind of mystic and esoteric significance for some people, and that is why is called<i> </i>sometimes <i>The Golden Ratio. </i><br />
<br />
To identify primes in the Fibonacci sequence, there are no good ways. This is mainly because the sequence highly depends on the "addition" operation and not "multiplication", and believe it or not, addition in number theory is a mystery.<br />
A very important Conjecture in mathematics about this mystery, predicts the possible relation between the multiplication and the addition of integers, through its prime factorization, called the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Abc_conjecture">abc conjecture</a>, so Fibonacci, is difficult as a problem in terms of primality, but as seen, has more significance in geometry.<br />
<br />
<span style="color: red; font-size: large;">The important sequence</span><br />
<br />
Now for the <b>important</b> sequence is this<br />
<br />
$latex \{2, 1729, 87539319, 6963472309248, 48988659276962496, 24153319581254312065344...\}$<br />
<br />
Do you see it? <br />
<br />
Well, is not too easy to see, is called the <b>"Hardy-Ramanujan sequence"</b>, if you denote by $latex \tau(n)$ the $latex n^{th}$ element of the sequence, it means that $latex \tau(n)$ can be written in $latex n$ different ways <b>as a sum of two cubes</b>. Fermat Proved that there are infinitely many of these numbers hundreds of years before, but they caught the attention of Hardy by Ramanujan in a very nice story.<br />
<br />
When Ramanujan was dying at the hospital in England, Hardy went to visit him. Hardy told him that the number in his taxi to the hospital was a <i>dull, boring</i> number, <b>1729</b>.<i> </i>Ramanujan said:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<i>'No, Hardy, it is a very interesting number. It is the smallest number expressible as the sum of two cubes in two different ways' </i></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
That is why we use the letter $latex \tau$ because these numbers are called "taxicab numbers" because of this story.</div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
The <b>importance</b> of these numbers, is the new theory in arithmetic geometry that arose, which in fact I am very interested personally, and professionally.</div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
Practically Ramanujan discovered in his way of thinking, an integral solution to the equation $latex x^3+y^3=z^3+w^3$ which nowadays is studied over $latex \mathbb{Q}$ and then twisted.</div>
<div style="text-align: left;">
This kind of surfaces are called K3 Surfaces (Kodaira-Kummer-Kahler, smooth minimal complete surface with trivial canonical bundle), there is no <i>smart way</i> of obtaining these numbers other than using this algebraic geometry in these surfaces. An example of these surfaces with a family of rational curves parametrized (the curves may contain taxicab solutions in it) is:</div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjX3n7HR1CkwIBe2JKfWN20mRMiDOBjdy4tfKtng0oA9XjRXUow7VMcxJKwbSPK_EXsmG32PlMCjNj8GJ6Ny5Qb-SejjDF0hNCDet4Q8UsfHSmEXMvlNOMhGMczTyxR7x7yULPh/s1600/K3.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjX3n7HR1CkwIBe2JKfWN20mRMiDOBjdy4tfKtng0oA9XjRXUow7VMcxJKwbSPK_EXsmG32PlMCjNj8GJ6Ny5Qb-SejjDF0hNCDet4Q8UsfHSmEXMvlNOMhGMczTyxR7x7yULPh/s320/K3.png" width="314" /></a></div>
<div style="text-align: left;">
</div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
And yeah 1729 has the desired property, that is, $latex \tau(2)$ is a sum of two cubes in only two different ways. </div>
<div style="text-align: left;">
Srnivasa Ramanujan was a human computer, in fact to verify this, we check for the $latex \tau(2)=1729$ and $latex \tau(6)=24153319581254312065344$ can be written as the sum of 2 cubes in 2 and 6 different ways respectively:</div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
$latex \begin{matrix}\tau(2)&=&1729&=&1^3 + 12^3 \\&&&=&9^3 + 10^3\end{matrix}$</div>
...<br />
$latex \begin{matrix}\tau(6)&=&24153319581254312065344&=&582162^3 + 28906206^3 \\&&&=&3064173^3 + 28894803^3 \\&&&=&8519281^3 + 28657487^3 \\&&&=&16218068^3 + 27093208^3 \\&&&=&17492496^3 + 26590452^3 \\&&&=&18289922^3 + 26224366^3\end{matrix}$<br />
<br />
<span style="color: red; font-size: large;">The "dumb" sequence</span><br />
<br />
There are plenty other sequences, for example, there are some <b>"dumb"</b> sequences that at the end... they are not so dumb, for example, consider the following sequence:<br />
<br />
$latex \{1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221, ... \}$<br />
<br />
Do you see the pattern?<br />
<br />
Well, the pattern is visual, you begin with "1" and then the following will be the "description of the previous", that is, you ask yourself "<i>What symbols are in the preceding element of the sequence?</i>", and you say "<i>one one</i>" (11) then the next is "<i>two ones</i>" (21), and so on... This sequence is called <b>"look and say sequence".</b><br />
<br />
There are a lot of things you can do in your spare time with this sequence, for example, prove that a "4" cannot appear in any element of the sequence. The number 13112221 is in fact the biggest prime known in this sequence, are there others?<br />
<br />
This apparently dumb sequence has an amazing property which transforms it from dumb to analytic and it was due to John Conway.<br />
Consider the $latex k^{th}$ element of that sequence, call it $latex a_k$ , and define $latex \ell(a_k)=$number of digits of $latex a_k$.<br />
Is proved that $latex \lim_{n\to\infty} \frac{\ell(a_k)}{\ell(a_{k-1})}=\lambda=1.303577269034...$. The surprising thing is that $latex \lambda$ is an algebraic number that can be found as a root of a polynomial of degree 71. This was proved by John Conway, for more information, look at <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Look-and-say_sequence">wikipedia.</a><br />
<br />
<br />
<span style="font-size: x-large;">But why?, why you want to find big primes or classify properties of sequences?</span><br />
<br />
<br />
I have been questioned plenty of times "Why you want to find big primes?", today was one of these days where a master student asked me.<br />
There is a FALSE answer which is very popular among a lot of people, namely<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<i> "It has cryptographic applications, since prime numbers are the basis for today's e-commerce and the development of cryptographic schemes" </i></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
This is false, since cryptographic schemes for public key cryptography need prime numbers with no more than 1000 decimal digits (and this is already too long). Using more than 1000 digits maybe would be more secure, but the speed will decrease exponentially, that is why you don't use 1 million bits of security.<br />
<br />
Identifying these "cryptographic" prime numbers at random with certain properties (Like being a <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Sophie_Germain_prime">Sophie-Germain prime</a>) to generate a public key with 4096 bits which has approx 1234 digits, (which is already paranoid for the public techniques of cryptanalysis) takes less than a second in my workstation (try: time openssl genrsa 4096).<br />
So, cryptography is not a good excuse to generate BIG prime numbers, when I say big, I mean thousands of digits, millions.
<br />
<br />
<br />
The answer in my case is easy... To collect them... they are difficult to find, but they are present in a lot of shapes, for example in the last sequence, which elements are prime ? which is the biggest known ? how to identify them with geometric techniques?.<br />
<br />
That is how the theory in mathematics is born, with a question regarding classification.<br />
<br />
So, finding big primes is difficult, so is valuable, there are only 49 Mersenne Primes and nobody has proved that they are infinite. (but is believed heuristically that they are).<br />
<br />
A couple of years ago I wrote here about finding a big prime of the form $latex 3\cdot 8^n -1$ , which I found <a href="http://b3ck.blogspot.nl/2015/02/numeros-primos-muy-grandes-con-approach.html">here</a>, there are a lot of possible primes disguised in infinitely many shapes, you could just define whatever recursive relation and analyze it.<br />
<br />
Other people could say to test a big cluster, or to get some money (yes you get money if you break the records). Maybe an analytic number theorist could say <i>To understand more the distribution of prime numbers which is unknown</i>.<br />
<span style="color: red; font-size: large;"><br /></span>
<span style="color: red; font-size: large;">Conclusion</span><br />
<br />
So well in conclusion, I think is good to collect primes and analyze sequences. This to find something hidden in the unknown nature of the logic of sequences of natural numbers, since, we don't know yet how the prime numbers arise. There is still a mystery of how the prime numbers are distributed among all the natural numbers, even with quantum computers is hard to find them arbitrarily large, so there are still work to do in mathematics.<br />
<br />
For more information of all the known published sequences (yes, whatever you think will be there) go to <a href="http://www.oeis.org/">www.oeis.org</a>, this is the Online Encyclopedia of Integer Sequences.<br />
<br />
<br />
Eduardo Ruíz Duarte (beck)<br />
twitter: <complete id="goog_552249012">@toorandom</complete><br />
<br />
<br />beckhttp://www.blogger.com/profile/15394216344733862200noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-24378736.post-81500020686667358152016-09-21T16:37:00.004-05:002016-09-21T16:40:51.168-05:00Dominios de factorización única, enteros Gaussianos y números de HeegnerRecientemente alguien me preguntó algo sobre factorización en anillos y unidades de los anillos, y decidí hacer un post sobre esto, esto es un post básico podría decirse de álgebra conmutativa.<br />
<br />
Este post pretende que se comprenda el concepto de factorización en general en cualquier anillo numérico (extensión algebraica de $latex \mathbb{Z}$) a través de ejemplos y explorar, comprender y demostrar propiedades de la factorización de los enteros extendidos con una constante imaginaria (enteros gaussianos).<br />
<br />
Todos conocemos el anillo $latex \mathbb{Z}$ que consiste en todos los enteros, y sabemos que los enteros son un subanillo de los números racionales $latex \mathbb{Q}$.<br />
<br />
<div>
¿Qué es ser entero?, es decir, conocemos el caso particular mencionado anteriormente pero como vimos un <a href="http://b3ck.blogspot.nl/2015/03/normas-y-trazas-de-enteros-algebraicos.html">post pasado</a>, hay otros campos que podemos extender.<br />
<br />
Lo que queremos investigar es el fenómeno de "factorización única", es decir, en $latex \mathbb{Z}$ no es es muy natural decir que todo entero se puede factorizar en primos de manera única salvo permutación. Pero vamos a ver cómo el concepto de elemento primo es aún más general.</div>
<div>
<br />
<br />
<b>Definición: </b>Un anillo $latex R$ conmutativo le llamamos <i>dominio entero</i> si cuando ab=0 para $latex a,b\in R$ tenemos que $latex a=0$ o $latex b=0$.<br />
También decimos que un elemento $latex u\in R$ es una <i>unidad</i> si tiene un inverso bajo la multiplicación del anillo $latex R$ , es decir, si existe un $latex u^{-1}$ tal que $latex uu^{-1}=1$. Siempre que todo elemento no cero de $latex R$ sea unidad, diremos que $latex R$ es un campo.<br />
<br />
Aquí tenemos que el ejemplo usual $latex \mathbb{Z}$ es un dominio y sus únicos elementos invertibles son el $latex 1,-1$<br />
<br />
Otra definición importante es la de irreducibilidad.<br />
<br />
<b>Definición: </b>Sea $latex R$ un dominio y $latex a,b\in R$ , $latex a\mid b$ si existe un $latex c$ tal que $latex b=ac$ , es decir $latex a$ divide a $latex b$. Un elemento no cero $latex p\in R$ es <i>irreducible</i> si no es unidad y si siempre que $latex a\mid p$ tenemos que $latex a$ es una unidad o $latex a=up$ para alguna unidad $latex u$.<br />
<br />
Noten que si una unidad la podemos factorizar entonces todo factor debe ser también una unidad, por ejemplo si $latex u=ab$ entonces $latex abu^{-1}=1$ entonces $latex bu^{-1}$ debe ser un inverso de $latex a$ .<br />
<br />
Con esto ya tenemos lo necesario para poder definir lo que es <i>factorización única.</i><br />
<i><br /></i>
<b>Definición: </b>Un dominio $latex R$ tiene <i>factorización única</i> si todo elemento no cero $latex a\in R$ puede ser escrito de manera única como<br />
<br />
$latex a=u\prod p_i^{d_i}$<br />
<br />
Donde $latex u$ es una unidad y los $latex p_i$ son urreducibles. Nota que uso la palabra irreducible en vez de "primo", en general no son lo mismo, sólo significan lo mismo en los enteros, ya que todo irreducible es primo, pero veremos ejemplos donde no lo es.<br />
<br />
Si un anillo cumple la definición única le diremos DFU (Dominio de factorización única)<br />
<br />
<b>Ejemplos:</b><br />
<b><br /></b>
* Los enteros $latex \mathbb{Z}$ son un dominio que no es un campo y sus únicas unidades son el 1 y -1, un entero es irreducible sí y sólo si es un número primo o un número primo negativo. Una consecuencia del teorema fundamental de la aritmética es justamente que $latex \mathbb{Z}$ es un DFU.<br />
<br />
* Los campos $latex \mathbb{Q}$ y $latex \mathbb{R}$ son campos, y éstos no tienen irreducibles, por lo tanto son trivialmente un DFU.<br />
<br />
*Una familia infinita de dominios la podemos construir si tomamos un entero $latex n\in \mathbb{Z}$ que no sea cuadrado<br />
<br />
$latex \mathbb{Z}[\sqrt{n}]=\lbrace a+b\sqrt{n}:a,b\in\mathbb{Z} \rbrace$.<br />
<br />
Vamos a profundizar en uno en especial en la siguiente sección cuando $latex n=-1$.<br />
<b><br /></b>
<span style="font-size: large;"><b>Enteros Gaussianos</b></span><br />
<br />
Si $latex n=-1$ tenemos la colección de números complejos $latex a+bi$ con $latex a,b\in \mathbb{Z}$, imagínen los puntos de plano complejo o de $latex \mathbb{R}^2$ que tienen coordenadas enteras, es decir una retícula que asemeja cuadrados.<br />
<br />
Estos enteros son muy importantes, son $latex \mathbb{Z}[i]$<br />
<br />
Estos enteros son como $latex \mathbb{Z}$ pero con algunas cosas raras adicionales, ya que hay más unidades aparte del 1 y -1, también tenemos a $latex i$ y $latex -i$ ya que $latex i\cdot (-i)=1$ .<br />
<br />
También tenemos que $latex 2$ es irreducible como un entero en $latex \mathbb{Z}$ pero no como un entero gaussiano en $latex \mathbb{Z}[i]$ ya que $latex 2=(1+i)(1-i)$.<br />
<br />
De hecho si un número primo $latex p=a^2 + b^2$ es decir es suma de enteros cuadrados, entonces p no es irreducible como un entero Gaussiano, ya que siempre va a poder factorizarse como $latex p=(a+bi)(a-bi)$. <b>(**)</b><br />
<br />
Vamos a definir lo que es la norma en un anillo en general, pero por ahora, sólo la definiremos para estos enteros que es $latex N(a+bi)=|a+bi|^{2}=a^2 + b^2$, es decir $latex N:\mathbb{Z}[i]\to \mathbb{Z}^{+}$.<br />
<br />
La propiedad importante de la norma es que $latex N(wz)=N(w)N(z)$ lo que implica que si $latex u$ es una unidad entonces<br />
$latex 1=N(1)=N(uu^{-1})=N(u)N(u^{-1})$ y como $latex N(u)$ debe ser un entero no negativo por como está definida la norma entonces debe ser 1 forzosamente, por lo que toda unidad tiene norma 1.<br />
<br />
Ahora vamos a examinar la propiedad <b>(**),</b> si $latex p$ es un primo y supongamos que podemos factorizarlo de manera no trivial como $latex p=wz$ en $latex \mathbb{Z}[i]$ , entonces usando la norma sabemos que $latex N(p)=p^2$ por la definición de norma, pero también sabemos que p=wz por lo que $latex N(p)=N(w)N(z)$ por lo que $latex p^2=N(w)N(z)$, como la factorización es no trivial, tenemos que $latex N(w)$ y $latex N(z)$ no son 1 por lo que $latex w,z$ no son unidades, y esto implica que $latex N(w)=N(z)=p$ por lo que si $latex w=\alpha+\beta i$ entonces $latex N(w)=\alpha^2 + \beta^2 = p$ por lo que $latex p$ es suma de dos cuadrados.<br />
<br />
Bueno con lo anterior, vemos el poder de la norma, de hecho nos permite diferenciar irreducibles en $latex \mathbb{Z}[i]$ ya que para todo factor $latex p$ de un entero $latex n$ si $latex p$ no es suma de dos cuadrados entonces es irreducible, y si $latex p=a^2 + b^2$ entonces podemos sustituir en la factorización de $latex n$ a las $latex p$ por $latex (a+bi)(a-bi)$ y cada uno de estos factores es irreducible.<br />
<br />
Un dato interesante de los enteros gaussianos es que también es un DFU y de hecho con la norma podemos darnos cuenta de toda la factorización en $latex \mathbb{Z}[i]$ ya que todos los irreducibles son los primos $latex p$ que no son suma de dos cuadrados así como todos los $latex a\pm bi$ tal que $latex a^2+b^2$ es un número primo. Para mostrar lo último considera $latex z=a+bi \in \mathbb{Z}[i]$ entonces $latex N(z)=a^2+b^2=z\bar{z}$ (su conjugado) . Como $latex N(z)$ es un entero normal positivo, y sabemos que en $latex \mathbb{Z}$ hay factorización única por lo que todo factor irreducible de $latex z$ debe ser factor de $latex N(z)$ por lo que si $latex N(z)=a^2+b^2$ es primo es irreducible.<br />
<br />
<br />
<b><span style="font-size: large;">¿Quiénes no son DFU?</span></b><br />
<br />
¿Y qué?, ¿Cuándo no es DFU?,<br />
<br />
Para mostrar eso formalmente debería introducir un grupo especial, que se llama grupo de clases de ideales asociado a un anillo, pero eso terminaría con la naturaleza elemental de este post, pero pronto lo haré en una siguiente sección, éste consiste en el cociente del grupo de ideales fraccionarios del campo de fracciones del anillo $latex R$ módulo los ideales principales de $latex R$, este grupo está íntimamente asociado al grupo de Picard de orden 0 de una curva algebraica que se estudia mucho en criptografía pero se ve de manera más "fácil" esto es la generalización pero eso es otro tema.<br />
<br />
Hay un problema en matemáticas que estudian los grupos de clases de ideales para saber cuándo hay o no factorización única, de hecho eso lo mide el grupo de clases de ideales en sus elementos ( el area de matemáticas es class field theory), por ejemplo algo raro es que $latex \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ NO es DFU, pero si consideramos los anillos con raiz cuadrada de $latex n$ que son $latex \mathbb{Z}[\sqrt{-n}]$ para $latex n\in \lbrace 1,2,3,7,11,19,43,67,163 \rbrace$ estos son los ÚNICOS enteros cuya raíz cuadrada imaginaria nos forman un dominio de factorización única, es decir para -5 o -13 no tenemos la propiedad de DFU, y de hecho lo que sucede es que el Class Group asociado al anillo es trivial (tiene un sólo elemento) sí y sólo si el anillo es un DFU.<br />
<br />
Esto fue conjeturado por Gauss, probado con errores por Heegner y formalizado por Baker y Stark, de hecho estos 9 números raritos se llaman Números de Heegner.<br />
<br />
Esto es impresionante ¿no? , es decir, qué tienen de raro esos 9 números que nos forman anillos con factorización única que otros números primos no puedan hacer... ¿qué hay en la geometría de estas retículas?<br />
<br />
Espero les haya gustado<br />
<br />
Eduardo Ruíz Duarte (beck)<br />
twitter: @toorandom<br />
<br />
<br /></div>
beckhttp://www.blogger.com/profile/15394216344733862200noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-24378736.post-60205400979724539682016-08-27T16:34:00.000-05:002018-09-23T16:07:56.665-05:00Criptografía asimétrica con curvas elípticas isógenas súpersingulares resistentes a ataques cuánticosPoco a poco la criptografía como la conocemos está desapareciendo, he hablado con <a href="https://www.hyperelliptic.org/">Tanja Lange</a> un par de veces en los congresos que hace la sociedad matemática holandesa y ella parece insistir mucho que estamos ya muy cerca presenciar la existencia de una computadora cuántica, ella afirma que entre el 2024-2030 ya existirá alguna.<br />
<br />
Lo relevante es que toda la criptografía actual implementada en los ámbitos económicos, militares y gubernamentales, cuenta con seguridad extrema ante computo clásico como lo conocemos (modelos Von Neumann, Turing...) . El problema es que el modelo de cómputo cuántico rompe todos los algoritmos implementados hoy en día. Esto es debido a la existencia de un algoritmo por <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Shor%27s_algorithm">Peter Shor</a> que factoriza y calcula logaritmos discretos, es decir, rompe RSA y criptografía basada en el problema de logaritmo discreto (Curvas elípticas) en tiempo polinomial. Esto significará que todos seríamos vulnerables ante el individuo/organización que construya computadora cuántica (IBM, DWave, Google por ejemplo).<br />
<br />
Por lo que, las curvas elípticas e hiperelípticas como las implementamos hoy en día, comienzan a ser obsoletas en criptografía, aunque siguen siendo muy útiles para computación en teoría de números algebraica que sirve para hacer nuevos algoritmos, es decir, no estoy diciendo que ya no sirvan las curvas, sino que la criptografía que usa el problema de logaritmo discreto con curvas o variedades abelianas está vulnerado ante la presencia de una computadora cuántica.<br />
<br />
En este post les voy a mostrar un análogo de Diffie Hellman que no es vulnerable ante la presencia de un atacante con recursos cuánticos. El post es autocontenido, sólo requieres saber la teoría básica de curvas elípticas la cual la puedes leer en mi blog, recomiendo (aunque no es obligatorio ya que trato de hacerlo autocontenido leer estos artículos aquí en mi blog antes)<br />
<br />
<a href="http://b3ck.blogspot.nl/2014/11/teorema-de-hasse-para-curvas-elipticas.html">Teorema de Hasse en curvas elípticas</a><br />
<a href="http://b3ck.blogspot.nl/2016/07/algebras-de-endomorfismos-en-curvas.html">Álgebras de endomorfismos en curvas elípticas</a><br />
<a href="http://b3ck.blogspot.nl/2014/10/j-invariante-y-anillo-de-endomorfismos.html">j-Invariante en curvas elípticas</a><br />
<br />
El método de Diffie Hellman que funciona bajo cómputo cuántico que describiremos aquí necesita conocimiento de morfismos entre curvas elípticas (isogenias u homomorfismos de los grupos abelianos inducidos por las curvas).<br />
El contenido de este post es el siguiente:<br />
<br />
<span style="font-size: medium;"><i>* Background en isogenias y kérneles de éstas antes de irse a lo cuántico.</i></span><br />
<div>
<span style="font-size: medium;"><i>* Grado de una isogenia<br />
</i></span><br />
<div>
<span style="font-size: medium;"><i>* p-Torsión, j-invariante y características de curvas elípticas súpersingulares</i></span></div>
<span style="font-size: medium;"><i>
</i></span></div>
<i>* Construyendo Isogenias desde subgrupos de la curva usando fórmulas de Velú.</i><br />
<i>* Algoritmo explítico Diffie Hellman con isogenias entre curvas elípticas supersingulares.</i><br />
<div>
<i>* ¿Pero por qué nos enfocamos en súpersingulares?</i></div>
<div>
<i>* ¿En qué se basa la seguridad?, ¿qué tengo que romper si quiero hacer criptoanálisis?</i></div>
<div>
<b style="font-size: x-large;"><br /></b></div>
Todo esto que escribo fue gracias a la emoción que me causaron las pláticas de Dimitar Jetchev (EPFL, Lausanne, Suiza), Frederik Vercauteren (KU Leuven, Bélgica), Benjamin Smith (INRIA, Francia) y René Schoof (Università di Roma, Italia) en el workshop "Mathematical structures for cryptography" el cual tuve la suerte de poder trabajar con grandes matemáticos del 22-26 de Agosto en Leiden, Países Bajos cuyo objetivo era juntar investigadores en matemáticas y criptografía para resolver problemas abiertos en esta teoría así como la basada en retículas para cómputo cuántico (Lattice Based Cryptography), todos los participantes aportamos algo interesante, y fue una de las más grandes experiencias profesionales que he tenido, aquí hay más información de la gente involucrada <a href="http://www.lorentzcenter.nl/lc/web/2016/834/participants.php3?wsid=834&venue=Oort">http://www.lorentzcenter.nl/lc/web/2016/834/participants.php3?wsid=834&venue=Oort</a><br />
<br />
Comenzamos.<br />
<br />
<span style="font-size: large;"><b>Background en isogenias y kérneles de éstas antes de irse a lo cuántico.</b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><br /></b></span>
Sea $latex E$ una curva elíptica en forma de Weierstrass sobre un campo finito $latex \mathbb{F}_q$ , es decir $latex E:=\lbrace (x,y)\in \mathbb{F}_q\times\mathbb{F}_q : y^2 = x^3 + ax + b \rbrace$.<br />
<br />
Como he explicado en <a href="http://b3ck.blogspot.nl/2016/07/algebras-de-endomorfismos-en-curvas.html">posts anteriores</a>, las curvas elípticas forman un grupo abeliano, es decir, $latex \langle E,\oplus\rangle$ es una estructura donde los puntos se pueden "sumar y restar" , es conmutativa, todos tienen inverso aditivo, es asociativa, cerrada y con elemento neutro $latex \infty$.<br />
<br />
Hay fórmulas explícitas para calcular la suma de puntos como en el post anterior mencionado en el párrafo anterior, y también están muy bien explicadas en <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_curve">wikipedia</a>, así que supondré que ya sabemos como funciona la adición elíptica que geométricamente la intuición es con la siguiente imagen:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://tooagile-wpengine.netdna-ssl.com/wp-content/uploads/2015/12/ecP-Q-300x300.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://tooagile-wpengine.netdna-ssl.com/wp-content/uploads/2015/12/ecP-Q-300x300.png" /></a></div>
<br />
<br />
<b>Isogenias entre curvas </b><br />
<b>(mapeos de curvas elípticas, homomorfismos de grupos abelianos inducidos)</b><br />
<b><br /></b>
Tenemos que si $latex \langle E_1, \oplus\rangle ,\langle E_2,\boxplus \rangle$ son dos curvas elípticas y existe un morfismo $latex \psi:E_1\to E_2$ que respeta la estructura de grupo de cada una, es decir $latex \psi(P\oplus Q)= \phi(P)\boxplus \phi(Q)$ y que mapea el $latex 0$ de una al $latex 0$ de la otra, entonces decimos que ambas son <b>isógenas</b>.<br />
<br />
Ahora vamos a ver qué son esos ceros en la curva, ya que no es trivial desde el punto de vista afín.<br />
<br />
<b>Kérnel de isogenias</b><br />
<b><br /></b>
En curvas elípticas tenemos que una isogenia entre dos curvas se ve como $latex \psi(x,y) := (\frac{a_1(x)}{a_2(x)}, \frac{yb_1(x)}{b_2(x)} )$ donde más técnicamente es porque $latex \frac{a_1(x)}{a_2(x)}, \frac{yb_1(x)}{b_2(x)} \in \mathbb{F}_q(E_2)$ es decir son funciones bien definidas en los puntos de la curva en el codominio, son funciones de su campo de funciones (campo de fracciones de la gavilla de funciones del la curva vista como esquema).<br />
<br />
Para entender el kérnel de un mapeo como el anterior, necesitamos ver la curva de manera proyectiva, ya que el 0 (cero) en $latex E_1$ y $latex E_2$ no es un punto afín.<br />
<br />
Si $latex \psi:E_1\to E_2$ es una isogenia entre curvas elípticas, el kérnel está definido como:<br />
<br />
$latex ker\psi := \lbrace P\in E_1 : \psi(P) = \infty_{E_2}\rbrace$<br />
<br />
Es decir, todos los puntos que nos mandan al infinito.<br />
<br />
Recuerden que las curvas son proyectivas, entonces lo que esto significa exactamente es que si la isogenia está definida por $latex (\frac{a_1(x)}{a_2(x)},y\frac{b_1(x)}{b_2(x)})$ entonces podemos proyectivizar estas ecuaciones con una nueva variable $latex z$ (cerradura proyectiva), los puntos que el mapeo manda al infinito veremos a continuación que son justamente donde no están definidas esas funciones racionales sin proyectivizar.<br />
<br />
Informalmente pero no incorrectamente, definir la imagen de estos puntos "no definidos bajo $latex \phi$" como $latex \infty_{E_2}$ se hace, deshaciéndose de los denominadores en la isogenia y homogeneizando, eso será la isogenia vista en la cerradura proyectiva de la curva que es $latex zy^2 = x^3 + az^2x + bz^3$ .<br />
<br />
Entonces tendremos que los puntos afines de la cerradura proyectiva de la curva están dados por los puntos $latex (x:y:1)$ , es decir, la imagen afín de $latex \psi$ es $latex (\frac{a_1(x)}{a_2(x)}:y\frac{b_1(x)}{b_2(x)}:1)$ , por lo que entonces la ecuación proyectiva es: $latex (a_1(x)b_2(x):yb_1(x)a_2(x):a_2(x)b_2(x))$ , y todos los puntos $latex (x:y:1)$ donde no está definida la curva afín, justamente estarán bien definidos aquí proyectivamente y esos puntos, son los que tienen imagen al infinito , es decir, que tienen como imagen el punto $latex \infty := (0:1:0)$, y son los puntos en el $latex ker\psi$ incluyendo al $latex \infty_{E_1}$ ya que es requisito de una isogenia mapear infinitos.<br />
<br />
Pueden ustedes demostrar de hecho que $latex ker\psi := \lbrace (x,y)\in E_1 : a_2(x)=0\rbrace$ con el hint de que $latex a_2^3 \mid b_2^2$ siempre, y así como que $latex b_2^2\mid f_1a_1^3$ donde $latex f_1$ es la ecuación que define a $latex E_1$ en $latex y^2 = x^3 + a_1x + b_1$, recuerden que esto lo demuestran en el campo de funciones de la curva, es decir tienen que tomar en cuenta la ecuación de la curva al momento de demostrar esto.<br />
<br />
<b>Teorema: </b>Si<b> </b>dos curvas elípticas son isógenas sobre un campo finito, entonces tienen el mismo número de puntos.<br />
<br />
<b><span style="font-size: large;">Grado de una isogenia</span></b><br />
<br />
<br />
<b>Antes de demostrar el teorema, necesitamos entender qué es el grado de una isogenia.</b><br />
<b><br /></b>
Sea $latex \psi:E_1\to E_2$ una isogenia definida sobre un campo finito $latex \mathbb{F}_q$.<br />
<br />
Decimos que el mapeo $latex \psi$ es separable si la extensión de los campos inducida por $latex \mathbb{\psi}$ es separable.<br />
<br />
Es decir si $latex \mathbb{F}(E_1)/\psi^{*}\mathbb{F}_q(E_1)$ es separable, y su dimensión como espacio vectorial la usamos para definir:<br />
<br />
$latex \text{grad}\psi := dim_{\mathbb{F}_q}(\mathbb{F}_q(E_1)/\psi^{*}\mathbb{F}_q(E_1))=[\mathbb{F}(E_1):\psi^{*}\mathbb{F}_q(E_1)]$<br />
<br />
Si esta extensión de campos inducida por $latex \psi$ es separable, decimos que es $latex \psi$ es separable, y una propiedad de isogenias separables es que $latex \text{grad}\psi :=$#$latex ker\psi$.<br />
<br />
Pero <b>que no cunda el pánico</b>, vamos a ver cómo encontrar este grado sin meternos en la teoría dura, esto sólo es para definir algo (grado) y luego ver que su cálculo se puede hacer sin tener que calcular bases de espacios vectoriales.<br />
<div>
<br /></div>
Es fácil demostrar que el grado de la extensión de campos se mide siempre de una manera inocente contando el número de elementos en la imagen inversa de cualquier punto (sin ramificación) en el codominio.<br />
<br />
O sea si el grado de $latex \psi$ fuera 1, significa que los espacios vectoriales inducidos por $latex \psi$ son los mismos, por lo que la imagen inversa de cualquier punto tiene sólo 1 punto ya que en este caso $latex \psi$ sería un isomorfismo.<br />
<br />
El grado mide qué tan "complejo" es $latex \psi$ , por lo que de hecho el grado de una isogenia está definido también por la cantidad de elementos en la imágen inversa de $latex \psi$ para un punto ordinario general, es decir de $latex \psi^{-1}(Q_{E_2})$ donde $latex Q_{E_2}\in E_2$ es un punto ordinario, es decir no presenta ramificación (Por ejemplo un punto $latex (x,y)$ cuya coordenada $latex x$ no sea raíz de $latex x^3 + ax + b$ , ya que estos puntos son de ramificación, pero no entraremos en eso por ahora).<br />
<br />
Como $latex \psi$ es un homomorfismos, tenemos que #$latex \psi^{-1}(Q_{E_2}) =$#$latex ker\psi$, por lo que tenemos otra igualdad más.<br />
<br />
De tarea ustedes entonces dicho lo anterior pueden probar que $latex \text{grad}\psi$ es fácilmente calculable ya que si $latex P\in E_1$ y $latex Q:=\psi(P)$ es un punto con coordenadas $latex (s,t)$ en $latex E_2$ entonces #$latex \psi^{-1}(Q)$ es exactamente el número de ceros diferentes del polinomio $latex a_1(x)-sa_2(x)$ pero como $latex \psi$ es separable entonces este polinomio no tendrá raíces repetidas, por lo que #$latex \text{grad}\psi = \text{Deg}(a_1(x)-sa_2(x))=$#$latex ker\psi$.<br />
<br />
<b><span style="color: red;">Demostración de teorema</span></b><br />
<br />
Dicho todo esto, considera el mapeo $latex \phi_1\in End_{\mathbb{F}_q}(E_1)$ y $latex \phi_2\in End_{\mathbb{F}_q}(E_2)$ tal que si $latex (x_i,y_i) \in E_i$ entonces $latex \phi_i(x_i,y_i) = (x_i^q, y_i^q)$ .<br />
<br />
Es decir son los endomorfismos de Frobenius de cada una de las curvas.<br />
<br />
Recuerden que queremos demostrar que dos curvas $latex E_1,E_2$ isógenas sobre $latex \mathbb{F}_q$ tienen el mismo números de puntos, y tenemos que la isogenia es $latex \psi:E_1\to E_2$.<br />
<br />
Es fácil ver que $latex \psi\circ \phi_1 = \phi_2\circ \psi$, ya que si $latex P:=(x_1,y_1)\in E_1$ y $latex (x_2,y_2):=\phi(P)$ entonces $latex \psi(\phi_1(P)) = \psi(x_1^q,y_1^q)$ y en el otro lado $latex \phi_2(\psi(P)) = \phi_2(x_2,y_2)=(x_2^q,y_2^q)$.<br />
<br />
Es decir, en el párrafo anterior afirmo que $latex (x_2^q,y_2^q) = \psi(x_1^q,y_1^q)$, ya que recuerden que $latex \psi$ está formada por funciones racionales en $latex x$ y en $latex y$, entonces es un ejercicio de álgebra básica demostrar que si $latex r(x)$ es un polinomio sobre un campo finito entonces $latex r^q(x)=r(x^q)$, es decir se cumple el sueño de todo niño de secundaria, que por ejemplo si $latex x+y\in \mathbb{F}_q(x,y)$ entonces $latex \phi(x+y)=(x+y)^q = x^q + y^q$.<br />
<br />
Entonces con toda mi informalidad que me caracteriza, tenemos ya que $latex \psi\circ \phi_1 = \phi_2\circ \psi$<br />
<br />
Por lo que como la operación $latex \circ$ de composición en $latex End_{\mathbb{F}_q}(E_i)$ es distributiva, podemos inferir que:<br />
<br />
$latex \psi\circ (\mathbbm{1}_{E_1} - \phi_1) = (\mathbbm{1}_{E_2}- \phi_2)\circ \psi$ <b>(*)</b><br />
<br />
Tal que $latex \mathbbm{1}_{E_i}$ es el mapeo de identidad en $latex End_{\mathbb{F}_q}(E_i)$ .<br />
<br />
Calculemos el grado de <b>(*) .</b><br />
<br />
Sabemos que el $latex \text{grad}\psi_1\circ \psi_2 = \text{grad}\psi_1\cdot \text{grad}\psi_2$ , esto lo pueden demostrar usando mi demostración anterior de que el grado de una isogenia está directamente relacionado con el grado de un polinomio dado por el mapeo, y pues al componerlos, el grado incrementa multiplicativamente.<br />
<br />
También tenemos que el grado de $latex \mathbbm{1}_{E_i}-\phi_i$, como es un mapeo separable, es el número de elementos en el kernel de $latex \mathbbm{1}_{E_i}-\phi_i$... Pregunta ¿quién está en el kernel de $latex \mathbbm{1}_{E_i}-\phi_i$?<br />
<br />
Recordemos que el endomorfismo de Frobenius tiene una propiedad interesante, es decir, si tenemos que $latex \mathbb{F}_{p^n}$ es un campo finito, y definimos para todo $latex x\in \mathbb{F}_{p^n}$ el mapeo $latex \phi_m(x) := x^{p^m}$ entonces $latex \phi_m(x)=x$ sí y sólo sí $latex x\in \mathbb{F}_{q^m}$ por lo que $latex x\in \overline{\mathbb{F}_p}$ es $latex \mathbb{F}_{p^m}$-racional si $latex \phi_m(x)=x$ , es decir, donde el endomorfismo de Frobenius se comporta como la identidad, nos caracteriza a los puntos racionales. <br />
<br />
Entonces el kernel de $latex \mathbbm{1}_{E_i}-\phi_i$ son los puntos $latex (x_i,y_i)\in E_i$ que son iguales ante Frobenius y ante la identidad... es decir, puntos racionales $latex \mathbb{F}_q$-racionales.<br />
<br />
Con lo anterior tenemos que $latex \text{grad} (\mathbbm{1}_{E_i}-\phi_i)=$#$latex E_i$ .<br />
Con esto tenemos tenemos que el grado de <b>(*) </b>es:<br />
<br />
$latex \text{grad}\psi\cdot$#$latex E_1 = \text{grad}\psi\cdot$#$latex E_2$ por lo que #$latex E_1=$#$latex E_2$. q.e.d. $latex \blacksquare$.<br />
<br />
<br />
<span style="font-size: large;"><b>p-Torsión, j-invariante y características de curvas elípticas súpersingulares</b></span><br />
<br />
<b>Definición: </b>$latex E/\mathbb{F}_{p^n}$ una curva elíptica, entonces definimos la n-torsión de la curva como:<br />
<br />
$latex E[n] := \lbrace P\in E : nP=\infty \rbrace$<br />
<br />
<br />
Es decir, los puntos que al sumarse $latex n$ veces, se anulan.<br />
<br />
<b>Definición: </b>Sea $latex E/\mathbb{F}_{p^n}$ entonces decimos que $latex E$ es <b>ordinaria</b> si $latex E[p]\cong \mathbb{Z}/(p)$ y es <b>supersingular </b>si $latex E[p]\cong\lbrace\infty\rbrace$.<br />
<br />
Es decir, si no tiene p-torsión más que la trivial, le llamamos <b>supersingular.</b><br />
<b><br /></b>
La palabra "supersingular" no tiene nada que ver con "singular", ya que una curva es singular si tiene singularidades, pero una curva elíptica por definición no es singular, es decir, no tiene puntos raros (discriminante de la curva es distinto de cero), ni tampoco raices repetidas.<br />
<br />
La palabra supersingular es porque realmente son excepcionales, y de hecho una cosa interesante de estas curvas es que <b>SIEMPRE</b> están bien definidas sobre $latex \mathbb{F}_{p^2}$ para cualquier $latex p$ , es decir, al reducir una ecuación de una curva a $latex \mathbb{F}_{p^2}$ nunca presentará singularidades.<br />
<br />
<br />
Ahora vamos a ver otra definición importante que justamente será usada por el protocolo Diffie-Hellman.<br />
<br />
<b>Definición: </b>Definimos el <b>j-invariante </b>de una curva elíptica $latex E/k$ donde $latex k$ es cualquier campo de caracteristica mayor que 3 y la forma de Weierstrass de $latex E$ es $latex y^2=x^3 + ax+b$ lo definimos como:<br />
<br />
<br />
$latex j(E):=1728 \frac{4a^3}{4a^3+27b^2}$<br />
<br />
Esta función loquita es muy importante en análisis complejo, y se preguntarán de donde sale ese 1728. Primero necesitamos saber para qué es esto.<br />
<br />
El j-invariante tiene la propiedad de que si dos curvas tienen el mismo j-invariante, es decir $latex j(E_1)=j(E_2)$ entonces tenemos que $latex E_1\cong E_2$ sobre su campo de definición $latex k$.<br />
<br />
Noten que el denominador del j-invariante nunca es 0, ya que es justamente el discriminante de $latex x^3 + ax+b$ y este no es cero porque sino la curva tendría singularidades y por definición una curva elíptica no es singular.<br />
<br />
Otro teorema importante es que para todo $latex j_0\in k$ existe una curva elíptica $latex E_{j_0}$ tal que $latex j(E_{j_0})$ por lo que automáticamente podemos inferir que sobre cualquier campo... el moduli de TODAS las curvas elípticas sobre cualquier campo finito o infinito... es unidimensional... es decir, todas las curvas elípticas forman una línea.<br />
<br />
Otros teoremas importantes es que los endomorfismos extendidos a $latex \mathbb{Q}$ definido como $latex End_0(E):= End_k(E)\otimes_{k}\mathbb{Q}$ cuando $latex E$ es supersingular, forman una álgebra de cuaternios, es decir no es conmutativa.<br />
<br />
En el caso ordinario donde $latex E$ no sea supersingular , tenemos que $latex End_0(E)$ siempre es una extensión cuadrática de $latex Q$ compleja, es decir $latex End_0(E)\cong \mathbb{Q}(\sqrt{d})$ con $latex d$ negativo y libre de cuadrados.<br />
<br />
<br />
<b>Corolario: </b>Sea $latex E/\mathbb{F}_q$ una curva elíptica supersingular, entonces #$latexE(\mathbb{F}_q)=p+1$.<br />
<br />
<b>Demostración:</b><br />
<br />
No lo haré, pero usen el teorema de Hasse, deduzcan que si la curva es supersingular, entonces la traza del endomorfismo de frobenius es 0, todo esto se puede demostrar con lo anterior.<br />
<br />
<b>Teorema: </b>Sea $latex \psi:E_1\to E_2$ una isogenia tal que $latex E_1$ es súpersingular, entonces $latex E_2$ también es supersingular.<br />
<br />
Lo mismo aplica para curvas ordinarias, es decir, los dos tipos de curvas, súpersingulares y ordinarias sólo "se llevan" entre sus respectivas categorías, esto es importante, porque el protocolo que describiré pronto asegura que todas las isogenias serán entre curvas súpersingulares.<br />
<br />
Pero antes veamos cómo construir isogenias cuyo kernel sea el subgrupo del dominio de la isogenia, es decir, dado un $latex H_P\subset E$ un subgrupo de una curva elíptica sobre un campo finito, en este caso $latex H_P$ es el generado por $latex P$ , construiremos explícitamente $latex \psi_P:E\to E_P$ tal que $latex ker\psi_P=H_P$ y la ecuación explícita de $latex E_P$.<br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<b><span style="font-size: large;">Construyendo Isogenias desde subgrupos de la curva usando fórmulas de Velú.</span></b><br />
<b><br /></b>
Recuerden que #$latex E(\mathbb{F}_q)=N$ es finito, ya que el campo de definición es finito.<br />
Entonces por el teorema de lagrange, sabemos que la información de sus subgrupos está escondida en la factorización de $latex N$.<br />
<br />
<br />
Sea $latex P\in E$, definimos el subgrupo $latex H_P\subsetneq E$ como:<br />
<br />
$latex H_P:=\lbrace nP : n \in \mathbb{Z}\rbrace$<br />
<br />
Este es el grupo de "todos los múltiplos de $latex P$:" en la curva, es trivial que es un subgrupo de $latex E$.<br />
<br />
Vamos ahora a construir una isogenia asociada a $latex P\in E$ que denotamos por $latex \psi_P$ cuyo kernel sea $latex H_P$ hacia otra curva que denotaremos como $latex E_P$.<br />
<br />
Es decir vamos a construir $latex \psi_P:E\to E_P$ tal que $latex ker\psi_P = H_P$<br />
Todos sabemos que el kérnel de un morfismo de grupos es un subgrupo normal del grupo, así que esto no debe causarles conflicto.<br />
<br />
<br />
La notación de las coordenadas para los puntos en $latex \langle E,\oplus\rangle$ será $latex P:=(x_P,y_P), Q:=(x_Q,y_Q), P\oplus Q:=(x_{P+Q},y_{P+Q})$.<br />
<br />
<b>Definición-Teorema-Vélu: </b>Sea $latex \langle E/\mathbb{F}_q,\oplus\rangle$ una curva elíptica y $latex P_0\in E$, tal que $latex y^2 = x^3 + ax + b$ construyamos como vimos anteriormente el grupo generado por los "múltiplos de $latex P_0$" , $latex H_{P_0}$.<br />
<br />
Entonces tenemos que para todo $latex P\notin H_{P_0}$:<br />
<br />
$latex \psi_{P_0}:E\to E_{P_0}$<br />
$latex P\mapsto \Big( x_P+\displaystyle\sum_{Q\in H_{P_0}\setminus\lbrace\infty\rbrace}(x_{P+Q}-x_Q), y_P+\displaystyle\sum_{Q\in H_{P_0}\setminus\lbrace\infty\rbrace}(y_{P+Q}-y_Q)\Big)$<br />
<br />
Y si $latex P\in H_{P_0}$ definimos $latex \psi_{P_0}(P)=\infty$.<br />
<br />
<br />
Es fácil mostrar que $latex ker\psi_{P_0}:=H_{P_0}$ , de hecho, ústedes háganlo y verán como todo se reduce a hacer matemáticas lindas, no es tan difícil.<br />
<br />
Pero bueno, esta función $latex \psi_{P_0}$ no está dada por la forma que mostrarmos al principio, es decir por la isogenia definida con los polinomios $latex \big( \frac{a_1(x)}{a_2(x)},y\frac{b_1(x)}{b_2(x)} \big)$.<br />
<br />
Pero Dustim Moody y Daniel Shumow ya lo hicieron en la sección 2.3 de un paper, <a href="http://eprint.iacr.org/2011/430.pdf">aquí dejo su páper</a> , así que ya tenemos la isogenia explícita, y de hecho en ese mismo paper se describe la ecuación de la curva $latex E_{P_0}$ la cual es $latex y^2 = x^3 + (a-5v)x + (b-7w)$ donde $latex v,w$ son constantes que dependen de $latex H_{P_0}$ y son explícitamente calculables.<br />
<br />
Ahora sí, el algoritmo<br />
<b><span style="font-size: large;"><br class="Apple-interchange-newline" />Algoritmo explícito Diffie Hellman con isogenias entre curvas elípticas supersingulares.</span></b><br />
<br />
<br />
Considera una curva elíptica supersingular $latex E$ definida sobre $latex \mathbb{F}_{p^2}$ tal que $latex p=w_A^{e_A}\cdot w_B^{e_B}\cdot f \pm 1$, es decir es un número primo especial, donde $latex w_A,w_B$ son números primos chicos y $latex f$ es cualquier entero, así como $latex e_A,e_B$ los cuales se escogerán de tamaños parecidos y tal que $latex p$ cumpla el nivel de seguridad requerido en bits para este esquema, que está probado que es aproximadamente de 3000 bits (<a href="https://koclab.cs.ucsb.edu/teaching/ecc/project/2015Projects/Galloway.pdf">referencia aquí</a>). Entonces con todo lo que dijimos en la sección de curvas súpersingulares es fácil inferir que el tamaño de la curva está dado por #$latex E(\mathbb{F}_{p^2})=(p\pm 1)^2$.<br />
<br />
Sean A=Artemisa y B=Boris , dos personas que desean intercambiar una llave en un canal no seguro intervenido por un atacante con recursos cuánticos.<br />
<br />
Entonces ellos harán lo siguiente:<br />
<br />
<b><span style="color: red;">Algoritmo SIDH (Supersingular Isogeny Diffie-Hellman)</span></b><br />
<br />
<b>Públicamente harán lo siguiente: </b><br />
<br />
Se ponen de acuerdo en los siguiente: $latex p=w_A^{e_A}\cdot \w_B^{e_B}\cdot f \pm 1,\langle E/\mathbb{F}_{p^2},\oplus\rangle,P_A,Q_A,P_B,Q_B\in E$ tal que $latex E$ es súpersingular.<br />
donde intercambiar una curva $latex E/\mathbb{F}_{p^2}$ equivale a mandar $latex \lbrace a,b\rbrace$ tal que $latex y^2 = x^3 + ax+b$.<br />
<br />
Tenemos que $latex P_A,Q_A$ y $latex P_B,Q_B$ fueron escogidos tal que tienen orden $latex w_A^{e_A}$ y $latex w_B^{e_B}$ respectivamente, lo cual es fácil por el número primo que construimos.<br />
<br />
<br />
Vamos a denotar por nA, nB, el paso $latex n$ que tiene que hacer Artemisa o Boris respectivamente,.<br />
<br />
<b>Protocolo:</b><br />
<br />
1A: A genera dos números aleatorios $latex m_A,n_A$ < $latex w_A^{e_A}$<br />
2A: A genera $latex R_A := m_A\cdot P_A \oplus n_A\cdot Q_A$ <b>(secreto)</b><br />
3A: A usa el punto $latex R_A$ para crear el subgrupo $latex H_{R_A}$ que funcionará como kernel del mapeo $latex \psi_{A}:E\to E_A$, por lo que ya tiene $latex R_A,\psi_{A},E_A$ donde los últimos dos son gracias a las fórmulas de Vélu mostradas en la sección anterior.<br />
4A: A forma los puntos $latex \psi_{A}(P_B)$ y $latex \psi_{A}(Q_B)$ con su isogenia creada en el paso anterior.<br />
5A: A le manda a B $latex \lbrace E_A,\psi_A(P_B),\psi_A(Q_B)\rbrace$<br />
Pero <b>NO le manda la isogenia</b>, sino la imagen de los puntos bajo la isogenia secreta $latex \psi_A$<br />
<br />
1B-4B: Ahora Boris hace los mismos primeros 4 que Artemisa, sólo intercambiamos las letras de los subscripts A por B<br />
<br />
5B: B manda a A $latex \lbrace E_B,\psi_B(P_A),\psi_B(Q_A)\rbrace$<br />
6A: A tiene $latex m_A,n_A,\psi_B(P_A),\psi_B(Q_A)$ y forma el punto $latex S_{BA}:=m_A\cdot\psi_B(P_A)\oplus n_A\cdot\psi_B(Q_A)$.<br />
7A: A usa el punto para generar la isogenia $latex \psi_{BA}$ usando fórmula de Vélu, así como la imagen de la isogenia que será la nueva curva $latex E_{BA}$ que es isógena a $latex E$ gracias a $latex \psi_{BA}$.<br />
8A. A calcula el <b>j-invariante </b> de la curva $latex E_{BA}$ que será $latex \kappa:=j(E_{BA})$.<br />
6B: Similarmente al paso 6A, Boris tiene $latex m_B,n_B,\psi_A(P_B),\psi_A(Q_B)$ por lo que forma el punto $latex S_{AB}:=m_B\cdot\psi_A(P_B)\oplus n_B\cdot\psi_A(Q_B)$.<br />
7B: Boris usa el punto $latex S_{AB}$ para generar la isogenia con las fórmulas de Velú asociada al subgrupo generado por $latex S_{AB}$ , esta isogenia es $latex \psi_{AB}$ y genera también el codominio de esta isogenia que es la curva $latex E_{AB}$ que es isógena a $latex E$ gracias a $latex \psi_{AB}$.<br />
8B: B calcula el <b>j-invariante</b> de la curva $latex E_{AB}$ que será $latex \kappa:=j(E_{AB})$.<br />
<br />
Las curvas $latex E_{AB}$ y $latex E_{BA}$ son isomorfas, ustedes lo pueden demostrar si hacen todo el diagrama, por lo que el j-invariante será el mismo, y ya ambos pueden usar como password $latex \text{Hash}(\kappa)$ o cualquier función en Kappa.<br />
<br />
<span style="font-size: large;"><b>¿Pero por qué nos enfocamos en súpersingulares?</b></span><br />
<br />
La verdad nunca usamos nada de las características supersingulares... Pero recuerden que el álgebra de endomorfismos de una curva elíptica supersingular NO es conmutativa, ya que es isomorfa a un álgebra de cuaternios.<br />
<br />
Existe un ataque, que resuelve el problema "difícil" en el que está basado este protocolo en tiempo subexponencial cuántico. El algoritmo está descrito en <a href="http://qip2011.quantumlah.org/scientificprogramme/abstract/1012.4019.pdf">este paper</a> por Andrew M. Childs, David Jao y Vladimir Soukharev. El cuál hace uso extenso de la CONMUTATIVIDAD del anillo de endomorfismos de la curva elíptica para resolver subexponencialmente el "Abelian Hidden Shift Problem" que es el nombre del problema que hace seguro al algoritmo descrito en la sección anterior.<br />
<br />
Por lo que debemos enfocarnos a curvas cuyo anillo de endomorismos no sea conmutativo... es decir... súpersingulares.<br />
<br />
<span style="font-size: large;"><b>¿En qué se basa la seguridad?, ¿qué tengo que romper si quiero hacer criptoanálisis a este algoritmo?</b></span><br />
<br />
<br />
Lo que hay que romper es el <i>"Abelian Hidden Shift Problem". </i> Algo así en español como "Problema oculto de desplazamiento oculto", ya que lo que estamos haciendo en el algoritmo anterior, es desplazar grupos, y adquireir nuevas curvas "desplazando" con puntos nuevos.<br />
<br />
Este problema en general consta de lo siguiente.<br />
<br />
-Sea $latex A$ un grupo abeliano finito.<br />
-Sea $latex S$ un conjunto finito.<br />
-Sea $latex f:A\to S$ y $latex g:A\to S$ dos funciones inyectivas.<br />
-Existe una $latex b\in A$ tal que para todo $latex x\in A$ tenemos que $latex f(x)=g(xb)$<br />
-El valor que un atacante quisiera saber es $latex b$.<br />
<br />
Vamos a reformular esto en términos de curvas elípticas de manera básica.<br />
<br />
-Tenemos dos curvas isógenas $latex E,\hat{E}$<br />
-Decimos que $latex f_0(a)=a*E$ y $latex f_1(a)=a*\hat{E}$.<br />
-Entonces $latex b*E=\hat{E}$<br />
-También $latex f_1(a)=a*\hat{E}=a*b*E=f_0(ab)$<br />
<br />
Resolver el <i>Abelian Hidden Shift Problem</i> en $latex f_0$ y $latex f_1$ es descubrir $latex b$.<br />
<br />
Esto realmente significa calcular la acción en las curvas elípticas<br />
<br />
Dicho esto, SIDH con curvas elípticas súpersingulares, la seguridad se obtiene es con llaves de 3000 bits para obtener seguridad cuántica exponencial de 128 bits, la cual es más que suficiente.<br />
<br />
Esto es todo por hoy, ahora saben cómo implementar un algoritmo que tenga seguridad cuántica.<br />
<br />
Espero les haya gustado.<br />
<br />
Más información, pueden ver el paper original de Luca De Feo, David Jao y Jerome Plut.<br />
<a href="https://eprint.iacr.org/2011/506.pdf">https://eprint.iacr.org/2011/506.pdf</a><br />
<br />
<br />
<b>Eduardo Ruíz Duarte (beck)</b><br />
<b>Twitter: @toorandom</b><br />
<b><br /></b>
<br />
<br />
<br />beckhttp://www.blogger.com/profile/15394216344733862200noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-24378736.post-61559649181017552032016-08-15T17:38:00.000-05:002016-08-15T18:33:38.677-05:00Definitud en lógica analítica de Solomon Feferman (Descanse en paz 1928-2016)Hace unos días murió uno de los grandes en Lógica, el cual en mis aires amateur de Lógico analítico me agradaba mucho entender sus ideas, él fue Solomon Feferman, alumno de Alfred Tarski, que a sus 87 años muere pero deja una nueva manera de observar la matemática que nos dejó Gödel después de demostrar sus teoremas de incompletud que rompieron la supuesta "perfección" de la matemática y la sumergieron en un objeto "imperfecto" lleno de hoyos y preguntas sin respuesta que son los indecidibles en el lenguaje de la teoría de conjuntos que gobierna a toda la matemática, eso lo explico y demuestro en mi blog aquí <a href="http://b3ck.blogspot.nl/2014/07/teoremas-de-incompletud-de-godel-bases.html?m=0">Incompletud de Gödel</a><br />
<br />
Hay nuevas cosas relacionadas hoy en día con un problema en lógica y conjuntos que se creía resuelto, más específico con la hipótesis del continuo, el cual es un problema en matemáticas que es indecidible, es decir no se puede demostrar con el sistema axiomático ZFC que sea verdadero o que sea falso, uno más de los hoyos en la matemática bajo este sistema axiomático que todos usamos que fue demostrado por Gödel en su teorema de incompletud que ahora es una herramienta formal que gobierna a la matemática.<br />
<br />
Sólo para recordar rápido un ejemplo en ZF (sin C) de la hipótesis del continuo es<br />
<br />
Sí ℵ = |ℕ| y ℑ=|ℝ| son los infinitos que corresponden a los tamaños de los conjuntos de números naturales y reales respectivamente (los cuales es bien sabido que no son iguales ya que por el teorema de Cantor Schroeder Bernstein no están en biyección y uno se puede construir como el conjunto potencia del otro) entonces NO existe un X tal que ℵ<|X|<ℑ.<br />
<br />
Es decir, no hay un infinito estrictamente intermedio.<br />
<br />
Esto lo explico en mi blog con más detalle aquí <a href="http://b3ck.blogspot.nl/2014/06/tipos-de-infinitos-grandes-y-chicos.html?m=0">Infinitos grandes y chicos</a><br />
<br />
En 1940 Gödel demostró que la hipótesis del continuo no era falsa.<br />
<br />
En 1964 Cohen demuestra que la hipótesis del continuo no es verdadera.<br />
<br />
Por lo tanto es indecidible. Es decir está demostrado usando teoría de modelos que no se puede demostrar que la hipótesis del continuo es demostrable falsa o verdadera.<br />
<br />
Pero hay más<br />
<br />
<div style="background-color: white; color: #1d2129; letter-spacing: -0.24px; line-height: 19.32px; margin-bottom: 6px; margin-top: 6px;">
<span style="font-family: inherit;">En 2011 Solomon Feferman encontró un argumento filosóficamente complejo en lógica analítica, en este paper se explica su teoría (Feferman) que propone una nueva teoría de "Definitud" usando un sub sistema semi intuicionista del sistema de teoría de conjuntos que usamos generalmente, el cuál es ZF, que acepte lógica clásica (donde toda proposición P tiene un valor de verdad) para operadores acotados (ej en el universo de los números reales. ∀x<span style="background-color: transparent;">></span><span style="letter-spacing: -0.24px; line-height: 19.32px;">0", "∃y</span><span style="background-color: transparent;"><</span><span style="letter-spacing: -0.24px; line-height: 19.32px;">0", "∀x ∊ ℝ", para todo x</span><span style="background-color: transparent;">></span><span style="letter-spacing: -0.24px; line-height: 19.32px;">0, Existe y</span><span style="background-color: transparent;"><</span><span style="letter-spacing: -0.24px; line-height: 19.32px;">0 , para todo x real ), y para operadores no acotados que uses lógica intuicionista (donde toda proposición no necesariamente tienen asignado un valor de verdad pero tiene una noción de pruebabilidad constructivista... Sí "pruebabilidad", es decir que se puede construir un camino lógico en el sistema axiomático de una teoría que conlleva a una demostración de su veracidad o falsedad) (ej. en teoría de conjuntos de un operador no acotado. ∀A ∅⊆A).</span></span></div>
<div style="background-color: white; color: #1d2129; letter-spacing: -0.24px; line-height: 19.32px; margin-bottom: 6px; margin-top: 6px;">
<span style="font-family: inherit;">Feferman define que una proposición P es matemáticamente definida si el subsistema semi intuicionista puede probar P∨¬P (Es decir que existe una demostración para la proposición P o su negación).</span></div>
<div style="background-color: white; margin-bottom: 6px; margin-top: 6px;">
<div style="color: #1d2129; letter-spacing: -0.24px; line-height: 19.32px;">
<span style="font-family: inherit;">Sólomon Feferman conjetura que la hipótesis del continuo NO está definida bajo este concepto de definitud por lo que la hipótesis del continuo está definida de manera "incompleta" y no tiene un valor de verdad. Koellner el mismo año propone que la teoría de conjuntos vista desde un sistema multiverso podría definir la hipótesis del continuo bajo la noción de Feferman.</span><br />
<span style="font-family: inherit;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit;">Un documento de Hamkins define y usa los "Set Theoretic Multiverses" pero no ahondaré en ello ya que estoy en proceso de comprenderlo pero para el curioso que sepa de ultrafiltros aquí lo tiene: <a href="https://arxiv.org/pdf/1108.4223.pdf">The Set theoretic multiverse</a></span></div>
<div style="color: #1d2129; letter-spacing: -0.24px; line-height: 19.32px;">
<span style="font-family: inherit;"><br /></span></div>
<div style="color: #1d2129; letter-spacing: -0.24px; line-height: 19.32px;">
<span style="font-family: inherit;">En este documento se demuestra la conjetura de Feferman.</span></div>
<a href="https://arxiv.org/pdf/1405.4481.pdf">https://arxiv.org/pdf/1405.4481.pdf</a><br />
<br />
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhh87cQVlZCiFY-8KjgQclrmfQdD3YyZXSjo4qQ_FndLTPSdfPEiXJxE161UqnAuJfNWf_pqiRou8zNvB76COOrdu6yTXXXwy95kH6w0-yVy8HhNwtv9pkZaoMNcucrt6tHvsKz/s1600/FEFERMAN.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="217" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhh87cQVlZCiFY-8KjgQclrmfQdD3YyZXSjo4qQ_FndLTPSdfPEiXJxE161UqnAuJfNWf_pqiRou8zNvB76COOrdu6yTXXXwy95kH6w0-yVy8HhNwtv9pkZaoMNcucrt6tHvsKz/s320/FEFERMAN.jpg" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
Solomon Feferman 1928-2016</div>
<br /></div>
beckhttp://www.blogger.com/profile/15394216344733862200noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-24378736.post-20436591474113439732016-07-17T19:13:00.001-05:002016-07-17T19:13:17.126-05:00Algebras de endomorfismos en curvas elípticas (Parte 1 Anillos de Endomorfismos)Hoy quiero hablar un poco de cómo analizar internamente la estructura de un grupo abeliano, lo cual lo haremos con el grupo abeliano que forma una curva elíptica.<br />
<br />
Es decir, a veces para poder entender a un objeto, es indispensable poder entender los morfismos internos del objeto.<br />
En este caso, lo que quiero es poder estudiar al grupo abeliano como un "espacio vectorial" y estudiar las transformaciones que hay en él... y pues con esto podemos incluso hablar de matrices, determinantes, trazas, polinomios característicos y valores propios.<br />
<br />
Pero primero en esta parte, le daremos estructura de anillo a los homomorfismos de la curva en si misma, y en la siguiente parte de este post le daremos ya estructura de álgebra.<br />
<br />
<b>Recordando muy informalmente curvas elípticas</b><br />
<br />
Recordemos rápidamente el contexto deseado, que son la curvas elípticas de una manera muy informal ya que he hablado antes de esto aquí en mi blog (busca keyword "elíptica").<br />
<br />
Las curvas elípticas son objetos muy usados en criptografía ya que proveen con su estructura geométrica una manera diferente de "sumar y restar" que al ésta ser sustituida en los algoritmos de llave pública como Diffie-Hellman que es el más usado en todas las telecomunicaciones en vez de grupos finitos (enteros módulo un número primo usualmente) resulta muy rápido y más seguro. Un ejemplo intuitivo de cómo funciona esta suma es el siguiente:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://tooagile-wpengine.netdna-ssl.com/wp-content/uploads/2015/12/ecP-Q-300x300.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://tooagile-wpengine.netdna-ssl.com/wp-content/uploads/2015/12/ecP-Q-300x300.png" /></a></div>
<br />
<br />
<br />
Lo que estamos viendo aquí es una curva $latex E$ en azul, y dos puntos en ella que son $latex P,Q\in E$ , que su suma está definida como la proyección con el eje $latex x$ del tercer punto de intersección de la linea que los une, que en este dibujo está denotado como $latex P+Q$.<br />
<br />
Siempre habrá este tercer punto de intersección si la curva es vista de manera proyectiva, lo cual veremos en la siguiente sección y es justificado por el <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/B%C3%A9zout%27s_theorem">teorema de Bézout</a>.<br />
<br />
Si quisieras calcular el punto $latex P+P$ se hace de manera parecida, sólo que la linea a considerar es la tangente a $latex P$ en la curva $latex E$.<br />
<br />
El negativo de un punto es sólo su proyección con el eje $latex x$ es decir si $latex (x,y)\in E$ entonces $latex -(x,y)=(x,-y)$, y sumar $latex P+ (-P)=\infty$ , donde este $latex \infty$ será explicado en la siguiente sección y este $latex \infty$ nos funcionará como el cero (identidad) en la estructura de grupo abeliano que tiene la curva.<br />
<br />
Bajo esta operación tenemos que la curva $latex E$ y sus puntos forman un grupo abeliano, es decir, con sus puntos bajo esta operación ya explicada es conmutativa, cada elemento tiene un inverso, es asociativa y cerrada, y lo más importante... es algebraica... es decir, hay fórmulas explícitas que no necesitan funciones raras para definirlas (como raíces cuadradas, logaritmos ni nada).<br />
<br />
Entrando un poco más en lo que significa "algebraico" es que su suma se puede definir con simples cocientes de polinomios, a eso me refiero con que algo sea "algebraico", y más allá de ser una curva, esto se le llama variedad abeliana, que es un objeto algebraico dotado de una estructura de grupo con una operación continua bajo cierta topología (Zariski), y que está dada por polinomios cuya operación explícita puede ser vista <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_curve_point_multiplication">aquí en wikipedia</a>.<br />
<br />
Puedes notar que también puedes calcular "$latex n$ veces el punto $latex P$ , es decir $latex P+P+\ldots +P$ ($latex n$ veces) para todo $latex n\in \mathbb{Z}$ , por lo que significa que podemos "hacer actuar a los enteros en la curva", esto es lo que se le conoce como un $latex \mathbb{Z}$-módulo, y todo grupo abeliano, tiene esta capacidad, por más abstracto que sea el grupo, siempre se puede hablar de "$latex n$ veces aplicar la operación + del gropo".<br />
<br />
La definición formal es que son curvas suaves proyectivas de género 1 con un punto distinguido.<br />
<br />
Suaves significa que son diferenciables en todos lados y no hay puntos dobles o nodales por ejemplo dos que cumplen la definición vistas en $latex \mathbb{R}\times\mathbb{R}$ serían:<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d0/ECClines-3.svg/346px-ECClines-3.svg.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="181" src="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d0/ECClines-3.svg/346px-ECClines-3.svg.png" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<b>Espacio proyectivo.</b><br />
<br />
Aquí justificamos este símbolo $latex \infty$.<br />
Proyectivo significa que en vez de vivir en espacios vectoriales usales como $latex \mathbb{R}^n$ o $latex \mathbb{F}_{q}$ , vive en un nuevo espacio que ahora definiremos que es $latex \mathbb{P}^n_\mathbb{R}$ o en $latex \mathbb{P}^n_{\mathbb{F}_q}$ respectivamente, donde estos espacios incluyen un punto nuevo, que es el infinito y múltiplos de vectores serán identificadas con un sólo punto.<br />
<br />
Este espacio proyectivo lo tengo bien explicado <a href="http://b3ck.blogspot.nl/2013/12/teorema-de-riemann-roch-y-teoria-de.html">aquí</a> pero a grandes rasgos es un espacio en el cual identificamos todos los múltiplos de un punto como el mismo punto, imaginen un espacio vectorial, donde un vector $latex v$ al aumentar su magnitud por una constante $latex c\neq 0 \in \mathbb{R}$ tenemos que el nuevo vector sería $latex c \cdot v$. Aquí , tenemos que por ejemplo en $latex \mathbb{R}^n$ los puntos $latex v$ y $latex c \cdot v$ serán identificados con el mismo vector, es decir es como una contracción y a este nuevo espacio con esta nueva regla lo denotamos como $latex \mathbb{P}^n_\mathbb{R}$.<br />
<br />
El punto $latex [0:0:0]$ no existe, lo cual es una consecuencia de las reglas que acabo de definir, por lo que al interesado en álgebra le serviría la definición que es: $latex \mathbb{P}^n_\mathbb{R}:=\mathbb{R}^{n+1}\setminus \lbrace \overline{0} \rbrace /\sim$ donde la relación $latex \sim$ es que si $latex \overline{u},\overline{v}\in \mathbb{R}^{n+1}$ entonces $latex \overline{u}\sim \overline{v}$ sí y sólo sí $latex \overline{u} = \lambda \overline{v}$ donde $latex \lambda\in \mathbb{R}^{*}$ , es decir esto nos colapsa toda una familia de puntos en $latex \mathbb{R}^{n+1}$ a un sólo punto que denotaremos como $latex [u] \in \mathbb{P}^n_\mathbb{R}$ y tenemos que en este caso $latex [u]=[v]$.<br />
<br />
<br />
Y de hecho las ecuaciones proyectivas de los ejemplos anteriores serían la ecuación homogénea que hace que los grados de todos los monomios sean iguales $latex y^2z=x^3-xz^2$ así como $latex y^2z=x^3-xz^2 + z^3$ donde ahora vemos que tiene otra variable $latex z$ que nos permitirá agregar otra familia de puntos, por ejemplo, los puntos de la ecuación afín serían los puntos de la forma $latex [x:y:1]$ pero también tenemos que la ecuación también tiene el punto $latex [0:1:0]$ que será el punto racional distinguido, y todas las ecuaciones cúbicas de esta forma lo contienen.<br />
<br />
<br />
También agregamos un punto muy especial como ya vimos que es usualmente $latex \infty:=[0:1:0]$ que es muy usado en el modelo matemático de lo que significa dibujar "horizontes" en un paisaje, y observando que unas vías del tren no son paralelas, ya que se tocan en el infinito, como lo pueden ver aquí.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://plus.maths.org/content/sites/plus.maths.org/files/features/projective/tracks1_small.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="213" src="https://plus.maths.org/content/sites/plus.maths.org/files/features/projective/tracks1_small.jpg" width="320" /></a></div>
<br />
<br />
<br />
Y bueno una curva elíptica de género 1 sin puntos raros, siempre es transformable a una ecuación de la forma $latex y^2 = x^3 + ax+b$ mediante sustitución de variables, a esta forma se le llama forma de Weierstrass.<br />
<br />
<b>Género de una curva</b><br />
<br />
El género es un poco más difícil de explicar en este post y con esta informalidad, pero imaginen que tiene que ver con que si la ecuación de la curva la vemos en el espacio complejo... su gráfica será una dona con 1 hoyo... si fueran dos hoyos tendría género 2, por lo que una curva elíptica tiene género 1 y se ve así "intuitivamente" como una función compleja:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgmj7cAiMv3IOAuwkaHdTIXuwr7tyawM_UTygZ3ESsFuYundBz_A_0m5NWAtakKrwnsjfdEEC5gnFvgdUCCQx2Wp6mzQJqeQPeNapU6LAVTkNMO2-Xb7fe9XuG04E-_JRSBgDGEKQ/s1600/torusgraph-poster.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgmj7cAiMv3IOAuwkaHdTIXuwr7tyawM_UTygZ3ESsFuYundBz_A_0m5NWAtakKrwnsjfdEEC5gnFvgdUCCQx2Wp6mzQJqeQPeNapU6LAVTkNMO2-Xb7fe9XuG04E-_JRSBgDGEKQ/s1600/torusgraph-poster.png" width="246" /></a></div>
<br />
<br />
<br />
A mi me gusta mucho el álgebra así que podemos calcular de hecho géneros de maneras más abstractas gracias aun teorema muy interesante, de Riemann-Roch, que nos dice el género de un objeto geométrico con la dimensión de ciertos espacios de funciones el cual tengo explicado de manera formal <a href="https://b3ck.blogspot.nl/2014/01/teorema-de-riemann-roch-y-divisores-en.html">aquí.</a><br />
<br />
Estoy trabajando en mi mente un artículo para explicar el teorema de Riemann-Roch sin necesitar álgebra tan dura, con pura teoría de espacios vectoriales, espero pronto tenerlo.<br />
<br />
El género cuando no hay puntos raros en la ecuación, se puede calcular con los grados de los monomios en una ecuación.<br />
<br />
<br />
En términos criptográficos, recuerden que hasta ahora las computadoras no saben cómo manejar a los números reales (ni complejos), de manera continua, es decir, cuando ustedes programan un "float" o "double" sabemos que tienen un "límite" en su representación, por lo que realmente la computadora sólo sabe manejar estructuras finitas.<br />
<br />
<b>Estructura finita asociada a las curvas para poder usada en criptografía y computación.</b><br />
<br />
Algo interesante de las curvas elípticas es que su estructura de grupo funciona en cualquier campo... no sólo en los números reales, los complejos o los racionales que son infinitos... sino en campos finitos, como son los enteros módulo p.<br />
<br />
De manera básica y para no entrar en detalles tenemos que si escogemos cualquier número primo $latex p$ , tenemos que si $latex a,b\in \mathbb{Z}$ podemos calcular que $latex a\cdot b\equiv c \bmod p$ donde $latex c$ será solamente el residuo de la división al calcular $latex a\cdot b/p $ , este residuo está entre el 0 y $latex p-1$, y todo entero se puede reducir módulo $latex p$ de la misma forma (dividiendo entre $latex p$ y calculando su residuo), este conjunto donde juntas a todos los elementos reducidos en sus respectivas clases se denota como $latex \mathbb{F}_p$ y consta de $latex p$ elementos, del 0 al $latex p-1$.<br />
<br />
<br />
La suma se define de manera similar y todo elemento tiene un inverso multiplicativo y aditivo, es decir para todo $latex [a]\in \mathbb{F}_p$ tenemos que existe un $latex [a]^{-1}\in \mathbb{F}_p$ tal que $latex [a]\cdot [a]^{-1} = [1]$ , por ejemplo en $latex \mathbb{F}_7$ tenemos que el inverso multiplicativo de $latex [3]$ es $latex [5]$ ya que $latex 5\cdot 3=15$ y $latex 15\equiv 1\bmod 7$ por lo que podemos decir abusando de la notación que "dividir entre $latex [3]$" módulo $latex 7$ equivale a multiplicar por $latex [5]$.<br />
Con la suma el negativo de $latex [a]\in \mathbb{F}_p$ es de hecho $latex [p-1]\cdot [a]$ ya que $latex (p-1)\cdot a = pa-a \equiv -a \bmod p$ , por ejemplo en $latex \mathbb{F}_7$ tenemos que $latex -[3]= (p-1)\cdot 3 = 6\cdot 3 = 18 \equiv 4 \bmod 7$ , por lo que $latex -[3] \equiv [4]$ y es fácil verificarlo ya que al sumar con su inverso aditivo al 3 tenemos que $latex -[3] + [3] = [4] + [3] \equiv 0 \bmod 7$ (ya que no deja residuo).<br />
<br />
Se pueden definir campos para cada potencia de $latex p$ es decir $latex \mathbb{F}_{p^n}$ pero eso queda de tarea para ustedes investigar cómo se hace.<br />
<br />
Con esto tenemos que si evaluamos todas las posibles soluciones de una curva elíptica bajo esta aritmética, tenemos que ya no se ve como una "curva", pero realmente lo es en el sentido algebraico, y se ve por ejemplo $latex y^2=x^3 - 4x+6$ sobre $latex \mathbb{F}_{197}$ así:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhkRbpYu40x8XAPAahwSoeCl8eJ0K0UAEqX-sGYmJKHC_1mb9UYcpa9G4QQneCDILktc9LKzo8Y3K3OlddJq-vEK2v3O8VSY1yBSHkRaPhrRVFHgbnMPb9h5uVgSIHJA4zkLSWN/s1600/ECF197.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="276" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhkRbpYu40x8XAPAahwSoeCl8eJ0K0UAEqX-sGYmJKHC_1mb9UYcpa9G4QQneCDILktc9LKzo8Y3K3OlddJq-vEK2v3O8VSY1yBSHkRaPhrRVFHgbnMPb9h5uVgSIHJA4zkLSWN/s320/ECF197.jpg" width="320" /></a></div>
<br />
<br />
Si implementan la regla de adición como en wikipedia, donde las divisiones que vean en las funciones que definen la suma de dos puntos las interpretan como "calcular el inverso multiplicativo" (lo cual se hace con el algoritmo de euclides extendido), una consecuencia del teorema fundamental del álgebra les dirán que las "lineas entre dos puntos" en aritmética modular también funcionan, esto es de manera informal pero sólo quiero meter la idea, en posts anteriores formalizo esto.<br />
<br />
<br />
<br />
<b>Grupos de homomorfismos en grupos abelianos (curvas elípticas en este caso)</b><br />
<br />
Recordemos que un homomorfismo entre dos grupos (o dos curvas) $latex G_1$ y $latex G_2$ es un mapeo que respeta la estructura de grupo en cada uno. Es decir si $latex \langle G_1,+\rangle$ y $latex \langle G_2,\oplus\rangle$ son sus respectivas operaciones. tenemos que $latex \alpha \in Hom(G_1,G_2)$ es un homomorfismo entre $latex G_1$ y $latex G_2$ , es decir $latex \alpha:G_1\rightarrow G_2$ si para $latex P,Q\in G_1$<br />
<br />
$latex \alpha(P+Q)=\alpha(P)\oplus \alpha(Q)$<br />
<br />
También tenemos que $latex \alpha$ también manda infinitos de un grupo a infinitos del otro.<br />
<br />
$latex \alpha(\infty_{G_1})=\infty_{G_2}$.<br />
<br />
<br />
Algo muy interesante es que el conjunto de todos los homomorfismos, es decir $latex Hom(G_1,G_2)$ forma un grupo abeliano, es decir, puedes sumar los homomorfismos, noten que ya no estamos hablando de los puntos de la curva solamente o de elementos de grupos en general, es decir si $latex \alpha,\beta\in Hom(G_1,G_2)$ definimos bajo la operación nueva de homomorfismos $latex \boxplus$ una nueva función $latex \alpha\boxplus \beta\in Hom(G_1,G_2)$ :<br />
<br />
$latex (\alpha\boxplus\beta):G_1\rightarrow G_2$<br />
$latex P\mapsto \alpha(P)\oplus \beta(P)$<br />
<br />
Es fácil demostrar que $latex \alpha\boxplus \beta$ también respeta estructura de grupo en $latex G_2$ (es decir que es un homomorfismo) , y pues tenemos que la identidad es el morfismo $latex [0]\in Hom(G_1,G_2)$ que manda todo al 0 del grupo $latex G_2$.<br />
También para que $latex Hom(G_1,G_2)$ sea grupo bajo la operación $latex \boxplus$, necesitamos un inverso, es decir, si $latex \alpha\in Hom(G_1,G_2)$ existe un $latex -\alpha \in Hom(G_1,G_2)$ y de hecho pueden ver que este es simplemente $latex -\alpha:G_1\rightarrow G_2$ que mapea $latex P\mapsto \alpha(-P)$ por lo que $latex \alpha\boxplus -\alpha$ está definido como $latex (x,y)\mapsto \alpha(x,y)\oplus \alpha(x,-y)$ y esto y si $latex \alpha(P)=Q\in G_2$ tenemos que es igual a $latex Q\oplus -Q=\infty_{G_2}$ , por lo que mapea al cero de $latex G_2$ y $latex (\alpha\boxplus -\alpha)(P)=\infty_{G_2}$ para todo $latex P\in G_1$ por lo que $latex \alpha\boxplus -\alpha=[0]\in Hom(G_1,G_2)$.<br />
<br />
De manera similar se puede demostrar que $latex \boxplus$ es asociativa, por lo que $latex Hom(G_1,G_2)$ es un grupo.<br />
<br />
También como mencionamos hace rato, todo grupo abeliano tiene estructura de $latex \mathbb{Z}$ módulo... es decir, en este ejemplo podemos hablar de aplicar en $latex Hom(G_1,G_2)$ la operación $latex \boxplus$ varias veces a sus elementos, (en este caso homomorfismos entre los dos grupos) es decir $latex n\alpha$ simplemente será:<br />
<br />
$latex n\alpha:G_1\mapsto G_2$<br />
$latex P\mapsto \alpha(P)\oplus\ldots \oplus \alpha(P)=\bigoplus_{k=1}^{n} \alpha(P)$<br />
<br />
Por lo que decimos que $latex Hom(G_1,G_2)$ tiene estructura de $latex \mathbb{Z}$ módulo.<br />
<br />
<b>Anillos de Endomorfismos entre grupos abelianos.</b><br />
<b><br /></b>
Este es un caso especial de $latex Hom(G_1,G_2)$ , ahora imaginen que $latex G_1=G_2$ por o que lo denotaremos simplemente por $latex G$ , y vamos a definir que $latex End(G):=Hom(G,G)$ pero adicionalmente para que sea un anillo tenemos que la operación multiplicación de endomorfismos $latex \alpha,\beta\in End(G)$ es $latex \alpha\circ \beta$ , es decir la composición entre ellos como funciones, es decir $latex (\alpha\circ\beta)(P)=\alpha(\beta(P))$.<br />
<br />
Como tenemos que $latex \alpha,\beta Hom(G,G)$ está bien definido $latex \alpha\circ \beta:G\rightarrow G$.<br />
<br />
La identidad bajo esta multiplicación es la función identidad , es decir, la que manda un punto a sí mismo, y la denotamos como $latex [1]\in End(G)$.<br />
<br />
Ustedes pueden verificar que la operación $latex \circ$ es distributiva con $latex \boxplus$ , es decir que si $latex \alpha,\beta,\gamma\in End(G)$ y $latex P\in G$:<br />
<br />
$latex (((\alpha\boxplus\beta)\circ \gamma)(P)=((\alpha\circ \gamma)\boxplus (\beta\circ \gamma))(P)$<br />
<br />
y usando que $latex \gamma$ también es in homomorfismo.<br />
<br />
$latex (\gamma\circ(\alpha\boxplus \beta))(P)=((\gamma\circ \alpha)\boxplus (\gamma\circ\beta))(P)$<br />
<br />
Es fácil ver que por default, en $latex End(G)$ hay una infinidad de endomorfismos, de hecho para toda $latex n\in \mathbb{Z}$ tenemos el mapeo $latex [n]\in End(G)$ el cual definimos como:<br />
<br />
$latex [n]:G\mapsto G$<br />
$latex P\mapsto P+\ldots +P$ (n veces)<br />
<br />
Donde $latex +$ es la operación del grupo $latex G$<br />
<br />
Entonces es fácil ver que de hecho, en un nivel más alto hay otro homomorfismo de anillos entre los enteros y $latex End(G)$ , es decir:<br />
<br />
$latex \Psi:\mathbb{Z}\rightarrow End(G)$<br />
$latex n\mapsto [n]$<br />
<br />
Y es homomorfismo ya que es fácil verificar que $latex \Psi(n+m)=\Psi(n)\oplus \Psi(m) = [n] \boxplus [m]=[n+m]$ y respeta la estructura de anillo ya que $latex \Psi(n\cdot m)=[n]\circ[m]=[nm]$.<br />
<br />
Con esto tenemos mucho para argumentar que $latex \mathbb{Z}$ es un subanillo de $latex End(G)$ ya que $latex End(G)$ no tiene torsión, es decir, el aplicar $latex n$ veces cualquier endomorfismo diferente de $latex [0]$ , nunca nos dará $latex [0]$ y el mapeo entre $latex \mathbb{Z}$ y $latex End(G)$ es inyectivo.<br />
<br />
Otra cosa es que $latex [n]\circ \alpha = \alpha \circ [n]$ es decir conmuta, y ustedes lo pueden demostrar fácilmente (pero no siempre es así entre cualquiera $latex \alpha,\beta\in End(G)$, que es cuando en el siguiente post definiremos que $latex End(G)$ está equipado con multiplicación compleja.<br />
<br />
En el caso en que se esté trabajando sobre un campo finito en el grupo de una curva elíptica $latex E$ como $latex \mathbb{F}_q$ existe otro endomorfismo muy famoso que es usado mucho en investigación en criptografía , que es el endomorfismo de Frobenius, $latex \phi\in End(E)$ que equivale a $latex (x,y)\mapsto (x^q,y^q)$ , es decir, elevar a la $latex q$ cada coordenada de un punto en la curva usando la reducción en el campo finito $latex \mathbb{F}_q$. Este homomorfismo también conmuta.<br />
<br />
Otro remark es que en una curva elíptica $latex \alpha,\beta\in End(E)$ son suprayectivos y por consecuencia $latex \alpha\circ\beta$ también lo es, por lo que jamás será el homomorfismo $latex [0]$ , esto nos dice que bajo la multiplicación del anillo $latex End(E)$ dada por la composición, nunca obtenemos el $latex [0]\in End(E)$ por lo que no existen múltiplos de 0, y $latex End(E)$ es un dominio entero, por lo que pueden usar las reglas de cancelación usuales entre sus elementos tanto por la izquierda como por la derecha.<br />
<br />
<br />
Espero les haya gustado, la parte 2 la haré pronto, donde extenderemos la estructura de $latex \mathbb{Z}$-módulo de $latex End(E)$ a un $latex \mathbb{Q}$-módulo a través de un tensor.<br />
<br />
Eduardo Ruíz Duarte (beck)<br />
twitter: @toorandom<br />
<br />
<br />
<br />beckhttp://www.blogger.com/profile/15394216344733862200noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-24378736.post-74677684624177655902016-04-17T17:50:00.000-05:002016-04-19T05:16:08.360-05:00Parametrización racional de curvas con teoría de GaloisEl siguiente teorema me parece que es de las cosas más importantes en álgebra, y es debido a David Hilbert e hizo nacer la teoría de Kummer, pero en eso no entraremos.<br />
<br />
Veremos cómo encontrar puntos racionales del círculo geométricamente y cómo hacerlo puramente algebraico.<br />
<br />
El teorema se puede explicar con un poco de teoría algebraica de números y teoría de Galois, lo que trataré de resumir en el contexto de este teorema sólo para poder entenderlo de manera informal.<br />
<div>
<br />
<b>Nota importante:</b><br />
Si no entienden el siguiente teorema, no importa, no se asusten ni dejen de leer los interesados, todo este post será dedicado a explorar cada concepto, hablaremos un poco de teoría de Galois, de Normas, Trazas y extensiones de campos, y veremos que este teorema inofensivo nos ayudará con muchos problemas geométricos.<br />
<br /></div>
<div>
<b><span style="color: red; font-size: large;">Teorema 90 (David Hilbert)</span></b></div>
<div>
Sea $latex L/K$ una extensión de campos cuyo grupo de Galois $latex G:=Gal(L/K)=Aut_{K}(L) =\langle \sigma \rangle$ es cíclico y si $latex x\in L$ tiene norma $latex 1$, es decir $latex N_{L/K}(x)=1$ , entonces existe $latex y\in L$ con $latex x = \frac{\sigma(y)}{y}$</div>
<div>
<br />
Seguramente hay muchas dudas, ¿por qué es tan importante?, vamos a analizar un problema, que es el de encontrar puntos con coordenadas racionales en una circunferencia, es decir con coordenadas $latex (\frac{a}{b},\frac{c}{d})$ con $latex a,b,c,d\in \mathbb{Z}$<br />
<br />
<b><span style="font-size: large;">Ejemplo para motivación </span></b><br />
<br /></div>
<div>
Todos sabemos que la parametrización de una circunferencia de radio 1 está dada por los puntos $latex (cos(\theta),sen(\theta) )$ con un parámetro $latex \theta$, ya que tenemos el teorema de Pitágoras que nos dice en este contexto que $latex cos^2(\theta) + sen^2(\theta)=1$ es decir, el coseno es el lado en $latex x$ y el seno el lado en $latex y$ de todos los posibles triángulos rectos cuyo ángulo en el origen es $latex \theta$ con hipotenusa $latex 1$ forma una familia infinita de triángulos que está parametrizada por una sóla variable $latex \theta$, por lo que decimos que la circunferencia es un objeto geométrico de dimensión 1.<br />
<br />
Las coordenadas $latex (cos(\theta),sen(\theta))$ justamente por la hipotenusa estar fijada a 1, formarían todos los puntos de una circunferencia de radio 1.<br />
<br />
Es decir, el círculo está definido justamente por triángulos de hipotenusa 1 (en rojo), con su lado en la base $latex x=cos(\theta)$ y en su altura $latex y=sen(\theta)$ por lo que es el conjunto de puntos en el plano tal que $latex x^2 + y^2 = 1$.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://www.mathmistakes.info/facts/TrigFacts/learn/images/ucdefp.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://www.mathmistakes.info/facts/TrigFacts/learn/images/ucdefp.gif" height="320" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Ahora, pero como algebrista, a mi me interesan los puntos racionales de esa circunferencia, es decir, todos los puntos cuyas coordenadas son puntos racionales, es decir cuando los puntos del círculo</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
$latex (x,y) \in\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}$, queremos excluir puntos como $latex (\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})$ o $latex (\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$ que respectivamente corresponden cuando el ángulo del eje $latex x$ y la hipotenusa es $latex 45^{o}=\frac{\pi}{4}$ y $latex 30^{o}=\frac{\pi}{6}$ que claramente pertenecen al círculo pero tienen componentes irracionales.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Si queremos localizar puntos racionales, primero nos aseguramos de conocer un punto racional (por ejemplo el $latex (-1,0)$ , después construimos la recta que pasa por $latex (-1,0)$ y un punto en general $latex (x,y)$, es decir, vamos a variar la pendiente $latex t$ de la recta que pasa por $latex (-1,0)$ , al final, al tener este haz de rectas parametrizadas por su pendiente $latex t$ para todo $latex t \in \mathbb{Q}$ vamos a intersectar esta recta con el círculo y ver qué nos da, es decir, vamos a buscar todas las intersecciones de las rectas fijadas en un punto racional del círculo y con pendiente racional, a ver si de pura <i>coincidencia</i> nos da un punto racional del círculo. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
La idea visual es ésta:</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://mathnow.files.wordpress.com/2009/11/sage0.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="291" src="https://mathnow.files.wordpress.com/2009/11/sage0.png" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
La recta que pasa por $latex (-1,0)$ y con pendiente parametrizada por $latex t$ está dada entonces por $latex y = t(x+1)$ , es fácil ver que esta familia de rectas para todo $latex t\in\mathbb{Q}$ son las rectas verdes en el dibujo de arriba que pasan con $latex (-1,0)$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Por otro lado, tenemos que como explicamos anteriormente, la ecuación del círculo algebraica está dada por todos los puntos $latex (x,y)$ cuya suma de sus cuadrados nos da una hipotenusa de tamaño 1, es decir $latex x^2 + y^2 = 1$.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Con esto, vamos a introducir la familia de rectas paramétrizadas por la pendiente dentro del círculo, sí, esto es que si las rectas son $latex y=t(x+1)$ entonces $latex y^2 = (t(x+1))^2$ , y si intersectamos este conjunto de soluciones en el plano con el conjunto de soluciones en el círculos nos queda $latex x^2 + t^2(x+1)^2 = 1$ que es una ecuación cuadrática, y de hecho representa explícitamente al polinomio $latex (t^2 + 1)x^2 + 2t^2x+t^2-1$.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Tenemos que este polinomio tiene como raíces a la $latex x=-1$ que ya conociamos, y también a $latex x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$ lo cual suena ya interesante.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
En otras palabras, el haz de rectas choca con el círculo en $latex x=-1$ y en $latex x= \frac{1-t^2}{1+t^2}$.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Vamos a despejar la $latex y$ en la familia de rectas dada esta nueva $latex x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$ que obtuvimos al intersectar con el círculo y obtenemos $latex y=\frac{2t}{1+t^2}$, con esto tenemos que estas dos ecuaciones como son parte del círculo y una recta racional, pues nos dieron <i>por suerte </i>una función racional, por lo que la ecuación del círculo funciona con estas soluciones, $latex \Big (\frac{1-t^2}{1+t^2}\big)^2 + \Big(\frac{2t}{1+t^2}\big)^2=1$ que es fácil verificar, y tenemos una nueva parametrización con números racionales del círculo, dada por todos los puntos $latex \Big(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2}\Big)\in \mathbb{Q}\times\mathbb{Q}$ con $latex t\in\mathbb{Q}$.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<b><span style="font-size: large;">¿Qué tiene que ver este ejemplo con el Teorema 90?</span></b></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<b><br /></b></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Vamos a contextualizar el ejemplo con las hipótesis, y ver ¿cuándo podemos parametrizar con funciones racionales? , ya que no siempre se puede hacer esto, el Teorema 90 de Hilbert nos puede decir en qué casos conviene buscar esta parametrización, y en qué caso, simplemente... no existe de manera natural (a veces existe con otras funciones modulares, o en otros espacios).</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Para ello necesitamos un poco de teoría.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<b><span style="font-size: large;">Embarrada de Teoría de Galois en este contexto y grupo Gal(L/K)</span></b></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Vamos a describir unos ejemplos, y definiciones, sin rigor, sólo queremos por ahora entender lo que nos dice el teorema 90 de Hilbert.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Tenemos que el campo en el que trabajamos es el de los racionales $latex \mathbb{Q}$ , vamos a extenderlo a que incluya el nuevo entero algebraico $latex i$ donde $latex i^2 = -1$, por lo que tenemos.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
$latex \mathbb{Q}(i) = \lbrace a+ib : x,y\in\mathbb{Q} \rbrace$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Este como pueden observar es un espacio vectorial sobre $latex \mathbb{Q}$ , son los números complejos racionales.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Vamos a ver qué es una extensión de campos pero antes una nota de cómo construir este espacio algebraicamente, ya que de esto se trata esto... de álgebra, después entraremos a la parte de extensiones de campos y teoría de Galois.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<b>Nota de construcción algebraica de </b>$latex \mathbb{Q}(i)$<b> para interesados, si no te interesa puedes omitir este párrafo: </b></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Decimos que $latex i \in \mathbb{Q}(i)$ es un entero algebraico sobre $latex \mathbb{Q}$ ya que podemos construir este nuevo campo tomando el anillo de polinomios con coeficientes en $latex \mathbb{Q}$ módulo el ideal máximo generado por el polinomio irreducible con coeficientes en $latex \mathbb{Q}$ que tiene como raíz a $latex i$ , y esto es: $latex \mathbb{Q}(i) = \mathbb{Q}[X]/\langle X^2 + 1 \rangle = \lbrace a+bX : X^2 + 1 = 0\rbrace$.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
La última construcción simplemente por el hecho de que $latex \mathbb{Q}[X]$ es un anillo (dominio euclídeo) , podemos usar el algoritmo de la división (como en la prepa la división sintética) y sólo dice que $latex \mathbb{Q}[X]/\langle X^2 + 1 \rangle$ son todos los polinomios en una variable módulo $latex X^2 + 1$ , lo que significa que todos los de la forma $latex g(X)(X^2 + 1)\equiv 0 \bmod X^2 + 1$, y como es un dominio entero si $latex g(X)\neq 0$ entonces eso implica que $latex X^2 = -1$ por lo que la variable $latex X$ en esta construcción actúa como la $latex i$ imaginaria, y así se construyen los números complejos algebraicamente.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Tenemos que la <b>extensión de campos</b> $latex \mathbb{Q}(i)/\mathbb{Q}$ como su construcción depende de un polinomio de grado 2 como lo hicimos anteriormente (no se puede con grado 1 ya que el campo resultante sería $latex \mathbb{Q}$ ) es un espacio vectorial de dimensión 2 con base $latex \lbrace 1,i \rbrace$.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Esta extensión $latex \mathbb{Q}(i)/\mathbb{Q}$ es <b>normal</b> lo que quiere decir que todos los polinomios irreducibles con coeficientes en el campo chico, es decir $latex \mathbb{Q}[X]$ que tienen alguna raiz en $latex \mathbb{Q}(i)$ entonces tienen todas ahí, en este caso es fácil, ya que si un polinomio cuadrático lo puedes factorizar, entonces lo puedes factorizar con factores lineales.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Un <b><span style="color: red;">antiejemplo de extensión normal</span></b> sería $latex \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\cong \mathbb{Q}[X]/\langle X^3 -2 \rangle$ sobre $latex \mathbb{Q}$, ya que $latex X^3 - 2$ tiene como raíz $latex \alpha=\sqrt[3]{2}\ $ y también tiene $latex \alpha\omega$ donde $latex \omega = e^{\frac{2\pi i}{3}}$ y pues $latex \omega \notin \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Regresando a $latex \mathbb{Q}(i)/\mathbb{Q}$ donde aparte de ser una <b>extensión</b> <b>normal</b> tenemos que también es una <b>extensión separable</b>, lo que significa que para todo $latex \beta \in \mathbb{Q}(i)$ tenemos que el <b>polinomio de grado mínimo</b> de $latex \beta$<b> </b>sobre $latex \mathbb{Q}$, <b> </b>$latex f(X)$ (es decir tal que $latex f(\beta)=0$) , tiene raíces diferentes.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Un <span style="color: red;"><b>antiejemplo de un polinomio separable</b> </span>sería el polinomio $latex X^3 - 2 \in \mathbb{F}_3[X]$ (con coeficientes en el campo finito de 3 elementos), ya que $latex X^3 - 2=(X+1)^3$ en ese campo, por lo que tiene una raíz triple.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Es fácil demostrar formalmente ya con estas observaciones que $latex \mathbb{Q}(i)/\mathbb{Q}$ <b>es una extensión de campos separable y normal</b> , por lo que decimos que la extensión es <b>Galois.</b></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<b><br /></b></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Estas extensiones $latex L/K$ se les puede asociar un grupo , que es el <b>Grupo de Galois</b>, este grupo está formado por todos los <b>Automorfismos</b> de $latex L$, (isomorfismos de $latex \psi:L\rightarrow L$) tal que dejan a $latex K$ fijo, es decir, que $latex \psi(K)=K$, cuya operación naturalmente es la composición de funciones, el hecho de considerar que fijen a $latex K$ sirve para tomar los automorfismos <b>interesantes, </b>es decir, que nos permitan estudiar a $latex L$ con respecto a $latex K$.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Este grupo mide la <b>simetría de la extensión de campos</b>, y de hecho el numero de elementos en el grupo de Galois, está acotado por $latex [L:K]!$ es decir, por el factorial del grado de la extensión (el caso de extensión de grado infinito existe, como por ejemplo $latex \bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}$, y obviamente es un resultado diferente pero no lo necesitamos aquí)</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
En el caso de $latex \mathbb{Q}(i)/\mathbb{Q}$ tenemos que el grado de la extensión es 2, y lo denotamos por $latex [\mathbb{Q}(i):\mathbb{Q}]=2$ (hay teoremas que te dicen cómo acotar también por el grado del polinomio mínimo, en este caso el polinomio mínimo de $latex i$ tiene grado 2) por lo que $latex |Gal(\mathbb{Q}(i)/\mathbb{Q})|=2$.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
De hecho, tenemos que $latex id\in Gal(\mathbb{Q}(i)/\mathbb{Q})$ por lo que ya tenemos un elemento de este grupo de Galois, ya que la identidad es un automorfismo.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
El otro elemento es un $latex \psi:\mathbb{Q}(i)\rightarrow \mathbb{Q}(i)$ tal que si $latex z=a+bi\in \mathbb{Q}(i)$ entonces $latex \psi(z)=\psi(a)+\psi(bi)=a+b\psi(i)$ ya que $latex a,b\in\mathbb{Q}$ y $latex \psi$ es un automorfismo, y como mencionamos anteriormente $latex \psi(\mathbb{Q})=\mathbb{Q}$.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Por otro lado tenemos que $latex i^2 = -1$ por lo que $latex \psi(-1)=\psi(i^2)=\psi(i)\psi(i)=\psi^{2}(i)=-1$, esto implica que $latex \psi(i)=\pm i$ , ya que $latex (-i)(-i)=-1$ y $latex (i)(i)=-1$ .</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Para la opción de $latex \psi$ tal que $latex \psi(i)=id(i)=i$ tenemos ya a la identidad, pero la otra opción $latex \psi(i)=-i$ tenemos ya el otro automorfismo, que es la conjugación por lo que.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
$latex Gal(\mathbb{Q}(i)/\mathbb{Q})=\lbrace id,\psi \rbrace$.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Y como es un grupo de grado primo (2) , es cíclico, es decir está generado por 1 sólo elemento, en este caso la conjugación, ya que $latex \psi \circ \psi = id$ </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-size: large;"><b>Normas y trazas </b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Para terminar de entender el Teorema 90 nos hace falta lo que es la norma.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Esto ya lo expliqué en otro post en mi blog <a href="http://b3ck.blogspot.nl/2015/03/normas-y-trazas-de-enteros-algebraicos.html">aquí</a>, pero doy un resumen en este contexto.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Lo que queremos es definir una manera de poder medir a los elementos de un campo $latex L$ con respecto a un valor en $latex K$ para una extensión de campos $latex L/K$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Considera la extensión $latex L/K$ y define los siguientes $latex K$-endomorfismos de $latex L\rightarrow L$ para todo elemento $latex \alpha \in L$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
$latex \mu_\alpha : L\rightarrow L$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
$latex z \mapsto \alpha z$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Es decir, es sólo multiplicar cualquier elemento $latex z\in L$ por $latex \alpha \in L$ , lo cual claramente es $latex K-$lineal, es decir $latex \mu_\alpha(z_1+z_2)=\mu_\alpha(z_1)+\mu_\alpha(z_2)$, por lo que le podemos asociar una matriz a $latex \mu_\alpha$, y tenemos entonces que la norma de $latex x\in L$ es:</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
$latex N_{L/K}(x) = det(\mu_x) \in K$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
$latex Tr_{L/K}(x) = Tr(\mu_x) \in K$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Es claro que $latex N_{L/K}(xy)=N_{L/K}(x)N_{L/K}(y)$ y $latex Tr_{L/K}(x+y)=Tr_{L/K}(x)+Tr_{L/K}(y)$ por propiedades de determinantes.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<b><span style="color: red;">Ejemplo. en </span></b>$latex \mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<b><br /></b></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Sea $latex \mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$ , y como espacios vectoriales fijemos la base $latex \lbrace 1, \sqrt{2} \rbrace$, entonces tenemos que si $latex \alpha=a+b\sqrt{2}\in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ entonces tenemos que las columnas de la matrix definida por la multiplicación por $latex \alpha$ , es decir la matriz asociada a $latex \mu_\alpha$ la podemos armar evaluando en los elementos de la base: </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
$latex \mu_\alpha(1) = a+b\sqrt{2}$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
$latex \mu_\alpha(\sqrt{2}) = 2b+ a\sqrt{2}$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Por lo que:</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
$latex \mu_\alpha = \mu^{*}_\alpha = \begin{pmatrix} a &2b \\ b & a \end{pmatrix}$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Es fácil ver que si para $latex \alpha=a+b\sqrt{2}\in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ multiplicamos la matriz $latex \mu^{*}_\alpha$ por cualquier elemento $latex x+y\sqrt{2}\in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ nos da el mapeo de multiplicación por $latex \alpha$, $latex \mu_\alpha$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Es decir:</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
$latex \mu^{*}_\alpha \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a &2b \\ b & a \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=(ax+2by,bx+ay)$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
El cual un cálculo rápido verifica que es lo mismo que esta matriz es lo mismo que el mapeo:</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
$latex \mu_\alpha(x+y\sqrt{2}) = \alpha(x+y\sqrt{2})=(a+b\sqrt{2})(x+y\sqrt{2}) =ax + 2by + (bx+ay)\sqrt{2}$ </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Por lo que tenemos que la norma y traza de $latex \alpha=a+b\sqrt{2}\in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ es:</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
$latex N_{\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q})}(\alpha)=det(\mu^{*}_\alpha)=a^2-2b^2$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
$latex Tr_{\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q})}(\alpha)=Tr(\mu^{*}_\alpha)=2a$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<b><span style="color: red;">Ejemplo. en </span></b>$latex \mathbb{Q}(i)/\mathbb{Q}$</div>
<div>
<br /></div>
<div>
No vamos a hacer el detalle aquí , pero tenemos que si usamos la base de $latex \mathbb{Q}(i)/\mathbb{Q}$ dada por $latex \lbrace 1,i \rbrace$ tenemos que para $latex \alpha=a+bi$ la matriz de la multiplicación por $latex \alpha$ </div>
<div>
<br /></div>
<div>
$latex \mu_{\alpha}:\mathbb{Q}(i) \rightarrow \mathbb{Q}$</div>
<div>
$latex z \mapsto \alpha z$</div>
<div>
<br /></div>
<div>
Por lo que las columnas generadas por $latex \mu_\alpha(1)=a+bi$ y $latex \mu_\alpha(i)=-b+ai$</div>
<div>
<br /></div>
<div>
por lo que </div>
<div>
<br /></div>
<div>
$latex \mu^{*}_\alpha = \begin{pmatrix}a&-b\\b & a\end{pmatrix}$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Por lo que:</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<br class="Apple-interchange-newline" /></div>
$latex N_{\mathbb{Q}(i)/\mathbb{Q})}(\alpha)=det(\mu^{*}_\alpha)=a^2+b^2$<br />
<div class="separator" style="clear: both;">
$latex Tr_{\mathbb{Q}(i)/\mathbb{Q})}(\alpha)=Tr(\mu^{*}_\alpha)=2a$</div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
Puedes notar que esta última norma, es la misma norma que utilizas en $latex \mathbb{C}$ , así es como formalmente se construyen las normas algebraicamente.</div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-size: large;"><b>Todo listo para El teorema 90 de Hilbert y el ejemplo de la parametrización racional de la circunferencia.</b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Vamos a volver a enunciar el teorema y luego el corolario del ejemplo de parametrización con todos los ejemplos y lo anterior ya desarrollado.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div>
<b><span style="color: red;">Teorema 90 (David Hilbert)</span></b></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Sea $latex L/K$ una extensión de campos cuyo grupo de Galois $latex G:=Gal(L/K)=Aut_{K}(L) =\langle \sigma \rangle$ es cíclico y si $latex x\in L$ tiene norma $latex 1$, es decir $latex N_{L/K}(x)=1$ , entonces existe $latex y\in L$ con $latex x = \frac{\sigma(y)}{y}$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div>
<b><span style="color: red;">Corolario 90 </span></b></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Considera la extensión de grado 2 $latex \mathbb{Q}(i)/\mathbb{Q}$ sabemos que es Galois y que tiene grupo $latex G:=Gal(\mathbb{Q}(i)/\mathbb{Q})=Aut_{\mathbb{Q}}(\mathbb{Q}(i)) =\langle \psi \rangle=\lbrace id, \psi \rbrace$ (donde $latex \psi$ es la conjugación como ya la construimos anteriormente), tenemos que este grupos es cíclico y de 2 elementos, si $latex \alpha=x+yi\in \mathbb{Q}(i)$ es tal que $latex N_{\mathbb{Q}(i)/\mathbb{Q})}(\alpha)=1$ esto implica que $latex N_{\mathbb{Q}(i)/\mathbb{Q})}(\alpha)=x^2 + y^2 = 1$ por lo que existe $latex \beta=c-di \in \mathbb{Q}(i)$ tal que:</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
$latex \alpha = \frac{\psi(\beta)}{\beta}=\frac{c+di}{c-di}=\frac{c^2-d^2}{c^2+d^2}+i\frac{2cd}{c^2+d^2}$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Por lo que $latex (\frac{c^2-d^2}{c^2+d^2}, \frac{2cd}{c^2+d^2} )\in \mathbb{Q}\times\mathbb{Q}$ es la caracterización de los puntos de norma 1 (circulo en este caso) , usando teoría de Galois.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Puedes verificar que $latex \Big(\frac{c^2-d^2}{c^2+d^2}\Big)^2 + \Big(\frac{2cd}{c^2+d^2} \Big)^2 = 1$ por lo que si $latex c=1$ obtenemos la misma ecuación de parametrización que construimos anteriormente dada por $latex \Big(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2}\Big)$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<b><span style="font-size: large;">Conclusión</span></b></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
El álgebra y la geometría son prácticamente lo mismo, un razonamiento puramente geométrico tiene respuesta algebraica,, de eso se encargó Alexander Grothendieck de formalizar, vimos que con teoría de Galois podemos llegar al mismo resultado geométrico.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
No me dio tiempo de demostrar el teorema 90, pero tal vez pronto lo haga, no es tan difícil teniendo más herramientas a la mano que sólo para el que tenga curiosidad le podrá ser útil.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Eduardo Ruiz Duarte (beck)</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
twitter: @toorandom</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
</div>
beckhttp://www.blogger.com/profile/15394216344733862200noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-24378736.post-29544134019703932272015-12-28T13:21:00.001-06:002015-12-28T13:34:24.045-06:00Cohomología de Monsky-Washnitzer y punto fijo de Lefschetz (parte 1 Cohomología Grothendieck-deRham Algebraico)Este es el último post de este año, mañana me voy de vacaciones a Israel pero vine a la oficina en 28 de diciembre para no sentirme culpable de estar en el mar muerto flotando y no continuando mis algoritmos y proyectos pendientes para mi trabajo de investigación en mi actual casa académica que es el Instituto Johann Bernoulli en los Países Bajos.<br />
<div>
<br /></div>
<div>
Parte de lo que estoy investigando tiene que ver con contar soluciones $latex \mathbb{F}_q$-racionales de jacobianas de curvas hiperelípticas de género 2, como ya lo he mencionado en posts anteriores, esto es importante, por razones prácticas y por razones puramente matemáticas.</div>
<div>
<br /></div>
<div>
En cuanto a las razones prácticas tenemos que estas jacobianas de curvas hiperelípticas están consideradas para suplir en un futuro a las curvas elípticas en criptografía, por lo que necesitamos ver maneras de extraer la cardinalidad de su conjunto de soluciónes con el fin de poder ver si el grupo abeliano asociado a la curva es <i>seguro</i> en términos criptográficos. Esta cardinalidad nos dará la traza del endomorfismo de Frobenius, y por lo tanto, podemos obtener también la cardinalidad de la curva hiperelíptica.</div>
<div>
<br /></div>
<div>
Las razones matemáticas son la riqueza matemática que conlleva poder conocer esto, ahora vamos a definir una teoría de cohomología útil para teoría de números que nos permite contar puntos, y que nace de la Cohomología de DeRham algebraica propuesta por Alexander Grothendieck así como del trabajo de Dwork quien probó que la función Zeta de una variedad algebraica sobre un campo finito es simplemente un cociente de polinomios.</div>
<div>
<br /></div>
<div>
Lo que queremos es que con esta teoría de Cohomología dada por Monsky-Washnitzer poder encontrar explícitamente la función zeta de una variedad $latex X$ sobre un campo finito $latex \mathbb{F}_q$ con $latex q=p^n$, esta cohomología es la misma que la de deRham algebraica pero aplicada a un anillo especial.</div>
<div>
<br /></div>
<div>
$latex \zeta_{\mathbb{F}_q}(t)=\exp{\sum_{s\geq 1} \frac{|X(\mathbb{F}_{q^s})|}{s}q^{-st}}$</div>
<div>
<br /></div>
<div>
Donde $latex |X(\mathbb{F}_{q^s})|$ denota el número de puntos racionales de $latex X$ en la extensión de grado $latex s$ de $latex \mathbb{F}_q$.</div>
<div>
<br /></div>
<div>
Queremos contar puntos, y un ingrediente crucial es el teorema del punto fijo de Lefschetz, que es la generalización del teorema del punto fijo de Brouwer el cual expuse <a href="http://b3ck.blogspot.nl/2015/12/teorema-de-punto-fijo-de-brouwer-y.html?m=0">aquí</a> en mi blog, este teorema en nuestro contexto nos dice básicamente que si $latex X$ es una variedad sobre un campo finito $latex \mathbb{F}_q$ y si $latex \bar{X}$ es el levantamiento (lifting) de $latex X$ a $latex \bar{\mathbb{F}_q}$ , sabemos que el endomorfismo de frobenius $latex \Phi_q$ va a mapear puntos con coordenadas $latex x_1,...,x_n$ a el punto con coordenadas $latex x_1^q, ..., x_n^q$, entonces los puntos fijos que $latex \Phi_q:\bar{X}\rightarrow\bar{X}$ son exactamente los puntos $latex X$ (porque Frobenius se comporta como la identidad en los puntos $latex \mathbb{F}_q$-racionales) entonces el teorema del punto fijo de Lefschetz implica que en el caso de que $latex X$ sea suave y bien portada como variedad:</div>
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<br /></div>
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$latex |X(\mathbb{F}_q)|=q^{\text{Dim }X} \sum_i (-1)^i Tr(\Phi_q)^{-1}|H^{i}(\bar{X},\mathbb{Q}_l)$</div>
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<br /></div>
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La cohomología que usaremos será la cohomología de deRham algebraica aplicada a un anillo especial que es un lifting (levantamiento) del anillo de coordenadas, hoy definiremos la cohomología de deRham y los problemas que nos va a causar no trabajar en el Lifting.</div>
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Hoy nos enfocaremos a construir esta cohomología definida en GAGA por Alexander Grothendieck, para cualquier anillo de tipo finito, que será la base de la cohomología de Monsky-Washnitzer aplicada a un anillo en específico.</div>
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Primero que todo, $latex \mathbb{K}$ es un campo perfecto y $latex A$ una $latex \mathbb{K}$-álgebra finitamente generada, que en el caso práctico puede ser un anillo de coordenadas de una variedad $latex X$ cuyas coordenadas a veces denotaremos como $latex \bar {x_i}$ para $latex i\leq n$ por lo que $latex A=\mathbb{K}[\bar{x_1},...,\bar{x_n}]=\mathbb{K}[x_1,...,x_n]/\langle f_1,...,f_r \rangle=\mathbb{K}[X]$ donde $latex X$ está definido por $latex \lbrace f_i \rbrace_{i=1}^{r}\subset \mathbb{K}[x_1,...,x_n]$ irreducibles sobre $latex \mathbb{K}$.</div>
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<b><span style="font-size: large;">Cohomología de DeRham </span></b><b><span style="font-size: large;">algebraica con diferenciales de Kähler</span></b></div>
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Ahorita queremos transportar el cálculo diferencial y análisis a álgebra, por lo que definiremos en abstracto lo que es una derivada y los diferenciales de un anillo de cierto modo generalizados, simplemente pidiendo simbólicamente la regla de Leibniz en este caso sobre el anillo de funciones de una variedad, donde la función de derivación sobre el álgebra finitamente generada será naturalmente heredada con la derivación parcial en cada variable de los polinomios.</div>
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<b><br /></b></div>
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<b>Definición: </b><span style="font-family: inherit;">$latex \Omega_{A/\mathbb{K}}$ es el $latex A$-módulo de diferenciales de Kähler, es decir, vamos a tomar $latex \forall a\in A$ los símbolos $latex\space da$ y las siguientes relaciones.</span></div>
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<span style="font-family: inherit;"><br /></span></div>
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<span style="font-family: inherit;">* $latex \space dk=0$ para $latex k\in\mathbb{K}$</span></div>
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<span style="font-family: inherit;">* $latex d(a+b)=da+db$ </span></div>
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<span style="font-family: inherit;">* $latex d(ab)=a\cdot db+b\cdot da$ donde $latex a,b\in A$</span></div>
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<br /></div>
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Por ejemplo, si tenemos que $latex A$ es el anillo de coordenadas de $latex X$ una curva dada por la intersección de irreducibles, es decir, $latex f_1,..,f_r \in \mathbb{K}[x_1,...,x_n]$ entonces:</div>
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<br /></div>
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$latex A=\mathbb{K}[x_1,...,x_n]/\langle f_1,...,f_r\rangle$</div>
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Entonces tenemos que explícitamente:</div>
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$latex \Omega_{A/\mathbb{K}}=\bigoplus _{i=1}^{n} Adx_i /\langle f_1,...,f_r \rangle$</div>
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donde $latex df:=\sum_{j=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_j} dx_j$ (Derivada total)</div>
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Es decir, como $latex A=\mathbb{K}[\bar{x_1},...,\bar{x_n}]$, tenemos que $latex \Omega_{A/\mathbb{K}}$ es un módulo libre en los generadores $latex d\bar{x_1},...,d\bar{x_n}$ y nota que el álgebra $latex A=\mathbb{K}[\bar {x_1},...,\bar{x_n}]$ está generada como una $latex \mathbb{K}$-álgebra por $latex \bar{x_1},...,\bar{x_n}$ por lo que $latex \Omega_{A/\mathbb{K}}$ esta generado como $latex \mathbb{K}[\bar{x_1},...,\bar{x_n}]$-módulo por $latex d\bar{x_1}, .., d\bar{x_n}$.</div>
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<br /></div>
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Existen muchas derivadas, pero la más natural $latex d:A\rightarrow \Omega_{A/\mathbb{K}}$ es la que manda $latex a\mapsto da$.</div>
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Como dije anteriormente, hay muchas derivadas, pero eso no perjudica la unicidad de $latex \Omega_{A/\mathbb{K}}$ ya que si nos encontramos con otra derivación $latex \mathbb{K}$-lineal $latex D:A\rightarrow M$ , ésta se factoriza de manera única como $latex A\xrightarrow{d}\Omega_{A/\mathbb{K}}\rightarrow M$.</div>
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De hecho si $latex A=\mathbb{K}[x_1,...,x_n]$ es el anillo de polinomios en $latex n$ variables, (es decir, el anillo de coordenadas del espacio afín $latex \mathbb{A}^n$ tenemos que $latex \Omega_{A/\mathbb{K}}\cong \bigoplus_{i=1}^n A$ , esto lo pueden demostrar ustedes utilizando el mapeo $latex A\rightarrow \bigoplus_{i=1}^n A$ dado por $latex f\mapsto (\frac{\partial f}{\partial x_1},...,\frac{\partial f}{\partial x_n})$ y notando que es una derivada $latex \mathbb{K}$-lineal y que el mapeo $latex \phi:\Omega_{A/\mathbb{K}}\mapsto \bigoplus_{i=1}^n A$ dado por $latex df\mapsto (\frac{\partial f}{\partial x_1},...,\frac{\partial f}{\partial x_n})$ es un isomorfismo con inverso $latex \psi:\bigoplus_{i=1}^n A \rightarrow \Omega_{A/\mathbb{K}}$ dado por $latex (f_1,...,f_n)\mapsto \sum_{i=1}^n f_idx_i$.</div>
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Una observación "geómetra algebraica" es que la curva definida por el álgebra $latex A$ (su anillo de coordenadas) , por más abstracto que sea esto y por más raro o más típico que sea el campo $latex \mathbb{K}$ es <i>suave</i>, sin singularidades extrañas en su geometría, entonces $latex \Omega_{A/\mathbb{K}}$ es un módulo localmente libre de rango exactamente la dimensión de Krull del anillo $latex A$ que coincide con la dimensión topológica de la variedad $latex X$ asociada al álgebra $latex A$. </div>
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Ahora vamos a construir los grupos de cohomología, para esta parte es necesario que entiendas lo que es el producto cuña $latex dx_i\wedge dx_j$, yo <a href="http://b3ck.blogspot.nl/2013/10/k-formas-diferenciales-y-derivada.html?m=0">aquí</a> lo expongo con ejemplos y de manera geométrica.</div>
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<b>Definición: </b>Sea $latex \Omega^k_{A/\mathbb{K}}=\bigwedge_{i=1}^k \Omega_{A/\mathbb{K}}$ , es decir en particular $latex \Omega^{0}_{A/\mathbb{K}}=A$ y $latex \Omega^{1}_{A/\mathbb{K}}=\Omega_{A/\mathbb{K}}$</div>
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Y construyamos el complejo de cadenas dado por </div>
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$latex d_{k}:\Omega^{k-1}_{A/\mathbb{K}}\rightarrow \Omega^{k}_{A/\mathbb{K}}$ </div>
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$latex f_0 df_1\wedge ... \wedge df_{k-1}\mapsto df_0\wedge df_1\wedge ... \wedge df_{k-1}$</div>
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Estas $latex d_j$ entre los módulos de diferenciales de orden $latex j$ y $latex j+1$ pueden demostrar que son derivaciones, y denotamos como $latex \Omega^{\bullet}_{A/\mathbb{K}}$ al complejo de cadenas resultante con su respectivo operador de frontera en cada flecha dado por $latex d_j$.</div>
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$latex \cdots\xrightarrow{d_{k-1}}\Omega^{k-1}_{A/\mathbb{K}}\xrightarrow{d_{k}} \Omega^k_{A/\mathbb{K}}\xrightarrow{d_{k+1}} \Omega^{k+1}_{A/\mathbb{K}}\xrightarrow{d_{k+2}}\cdots$</div>
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<br /></div>
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Pueden demostrar que en efecto $latex d_{k+1}\circ d_k =0$ por lo que $latex \text{Im}{d_k}\subseteq \ker d_{k+1}$, que es lo fundamental para construir la teoría de cohomología.</div>
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<span style="color: red; font-weight: bold;">Definición: </span>El <b>complejo de DeRham</b> para la $latex \mathbb{K}$-álgebra $latex A$ está dado por el complejo de cadenas $latex \Omega^{\bullet}_{A/\mathbb{K}}$ donde su i-ésimo grupo de Cohomología está definido como: </div>
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$latex H^{i}_{dR}(A/\mathbb{K}):=H^{i}(\Omega^{\bullet}_{A/\mathbb{K}})=\ker{d_{i+1}}/\text{Im} d_{i}$</div>
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Nota que si $latex \space i> KrullDim(A)=Dim(X)$ por las propiedades del producto cuña $latex \wedge$ tendrás dependencia lineal por lo que $latex \Omega^i_{A/\mathbb{K}=0$ que implica que $latex H^i(A/\mathbb{K})=0$ , nota que podemos generalizar esta construcción a esquemas de tipo finito por lo que es mejor denotar $latex H^{i}_{dR}(X/\mathbb{K}):=H^{i}_{dR}(A/\mathbb{K})$ donde $latex X=Spec(A)$ , esto es la generalización usando el espectro del anillo y lo tengo explicado <a href="http://b3ck.blogspot.nl/2015/11/motivacion-en-esquemas-gavillas.html?m=0">aquí</a> con ejemplos, pero si no te gusta esto, o te es muy complicado, sigue usando el anillo $latex A$.</div>
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<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
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<b><span style="font-size: large;">Cohomología en característica p</span></b></div>
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<b><span style="font-size: large;"><br /></span></b></div>
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Vamos a jugar un poco con esta cohomología y supongamos ahora que $latex \mathbb{K}=\mathbb{F}_p$, queremos definir una teoría de cohomología para variedades sobre $latex \mathbb{F}_p$ , el punto aquí será definir una teoría de cohomología con coeficientes en un campo de característica 0 relacionado muy cercanamente con $latex \mathbb{F}_p$ para una variedad afín sobre $latex \mathbb{F}_p$.</div>
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Primero, observemos por qué el párrafo anterior, considera $latex X=\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_p}$ es decir $latex A=\mathbb{F}_p[X]=\mathbb{F}_p[x]$, es fácil ver que $latex H^{1}_{dR}(A/\mathbb{F}_p)$ es un $latex \mathbb{F}_p$-espacio vectorial de dimensión infinita ya que por ejemplo $latex d_1(x^{pk})=0$ $latex \forall k\geq 0$ por lo que $latex \lbrace x^{pk-1}dx \rbrace_{k\geq 0} \not\subset \text{Im }d_1$ y $latex \lbrace x^{pk-1}dx \rbrace_{k\geq 0}\subset \Omega_{A/\mathbb{F}_p}$ $latex \forall k\geq 0$</div>
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</div>
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O sea tenemos que $latex d_1:A\rightarrow \Omega^{1}_{A/\mathbb{F}_p}$ está dado por $latex f\mapsto df$ y $latex d_2:\Omega^{1}_{A/\mathbb{F}_p}\rightarrow \Omega^{2}_{A/\mathbb{F}_p}$ está dado por $latex gdf\mapsto dg\wedge df$.</div>
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Con esto anterior y la observación de que $latex x^{pk-1}dx\notin \text{Im }d_1$ tenemos que:</div>
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$latex \ker d_2=\langle \lbrace cdf : f\in A,\text{ }\forall c\in\mathbb{F}_q\rbrace \cup \lbrace cx^{pk}df : k\geq 0\rbrace\rangle$</div>
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$latex \text{Im }d_1=\langle \lbrace df \in \Omega^{1}_{A/\mathbb{F}_q} : f=cx^{pk+r},\text{ }r\neq -1\rbrace\rangle$</div>
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Por lo tanto:</div>
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$latex H^{1}_{dR}(A/\mathbb{F}_q)=\ker d_{2}/\text{Im }d_{1}$</div>
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Es como $latex \mathbb{F}_p$-espacio vectorial tiene una infinidad de generadores dados por todos los valores que puede tener $latex k\geq 0$ ya que la Imágen de $latex d_1$ está totalmente contenida en la parte izquierda del kérnel de $latex d_2$ y la parte derecha es <b>infinita</b>.</div>
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Esto es un problema... tenemos que de hecho $latex \Omega^{1}_{A/\mathbb{F}_p}$ tiene dimensión infinita, esto no nos sirve de nada, es muy grande, necesitamos deshacernos de la característica $latex p$ que nos da problemas con las derivaciones de funciones polinomiales con exponente múltiplo de $latex p$.</div>
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El campo de característica 0 que usaremos es $latex \mathbb{Q}_p$ (campo de p-ádicos que lo puedes ver explicado en mi blog <a href="http://b3ck.blogspot.nl/2014/07/geometria-p-adica-completacion-de.html?m=0">aquí</a> )y considera su anillo de enteros asociado $latex \mathbb{Z}_p$ , es bien conocido que $latex \mathbb{Z}_p/p\mathbb{Z}_p\cong \mathbb{F}_p$, </div>
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<br /></div>
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Supón que tienes una $latex \mathbb{F}_p$-álgebra $latex A$ , entonces si pudieramos encontrar una $latex \mathbb{Z}_p$-álgebra suave $latex \tilde{A}$ con $latex \tilde{A}\otimes_{\mathbb{Z}_p}\mathbb{F}_p\cong A$ podrías considerar la cohomología de DeRham de la $latex \mathbb{Q}_p$-álgebra $latex \tilde{A}_{\mathbb{Q}_p}:=\tilde{A}\otimes_{\mathbb{Z}_p}\mathbb{Q}_p$</div>
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Con esto, ya nos deshacemos de la dimensión infinita, pero el problema es que levantar (lift) el álgebra $latex A$ como $latex \mathbb{Z}_p$-álgebra da diferentes grupos de cohomología , aunque finitos pero diferentes y necesitamos una manera de poder encontrar un lifting único que nos sirva para poder aplicar el teorema del punto fijo.</div>
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Por ejemplo si $latex A=\mathbb{F}_p[x]$ y $latex \tilde{A}_1=\mathbb{Z}_p[x]$ , $latex \tilde{A}_2=\mathbb{Z}_p[x,y]/\langle (1+px)y-1 \rangle$, puedes verificar que $latex H^1_dR(\tilde{A}_{1,\mathbb{Q}_p}/\mathbb{Q}_p)=0$ y $latex H^1_dR(\tilde{A}_{2,\mathbb{Q}_p}/\mathbb{Q}_p)$ tiene dimensión 1</div>
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Como vemos, tenemos dos liftings de $latex A$ con diferente grupo de cohomología.</div>
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Vamos a seguir después con el anillo en el que queremos trabajar la cohomología, para aplicar el teorema del punto fijo de Lefschetz por ahora nos quedamos aquí.</div>
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Después le seguimos, espero les haya interesando.</div>
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Eduardo Ruíz Duarte (beck)</div>
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twitter: @toorandom</div>
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beckhttp://www.blogger.com/profile/15394216344733862200noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-24378736.post-20010104154892750462015-12-21T21:27:00.002-06:002015-12-21T21:44:54.508-06:00Conjetura de Kaplansky, grupos y anillos de grupoHay un problema que lleva 25 años sin resolverse y fue descubierto por Irving Kaplansky, es de esos problemas que se ven bien fáciles de atacar pero pues resulta que no es tan fácil, yo me topé en mi trabajo de investigación para criptografía en variedades con un anillo de grupo que quería ver si tenía múltiplos de 0, y al leer literatura me topé con esto que es muy interesante y que yo tendré que demostrar en mi caso particular.<br />
<br />
Veremos un functor de la categoría de grupos a anillos (de hecho módulos), es decir, podemos asociar un anillo a todo grupo.<br />
<br />
La conjetura dice lo siguiente:<br />
<i><br /></i><b><span style="color: red;"><i>Conjetura: (Kaplansky)</i></span></b><br />
<i>Sea $latex \mathbb K$ un campo y $latex G$ un grupo libre de torsión, entonces el anillo de grupo $latex \mathbb{K}[G]$ no tiene divisores de $latex 0$ es decir es un dominio</i><br />
<br />
Para entender este enunciado vamos a definir todo y construir $latex \mathbb{K}[G]$<br />
<br />
Vamos a recordar todos los conceptos necesarios de esta conjetura a través de ejemplos no tan triviales de cada uno de los conceptos para poder adquirir intuición en la conjetura.<br />
<span style="font-size: large;"><br /></span><b><span style="font-size: large;">Grupos, anillos, campos, torsión a través de ejemplos</span></b><br />
<br />
<b>Grupos (no abelianos son los interesantes)</b><br />
<b><br /></b>Un <b>grupo </b>$latex (G, \cdot)$ es un conjunto con una operacion binaria que cumple<br />
a) Existe un $latex e\in G$ tal que $latex \forall g\in G$ tenemos que $latex g\cdot e=e\cdot g = g$ (hay neutro)<br />
b) Si $latex g\in G$ entonces $latex \exists h$ tal que $latex h\cdot g =g\cdot h=e$ (todos son invertibles)<br />
c) Si $latex g_1,g_2\in G$ entonces $latex g_1\cdot g_2 \in G$ (es cerrado)<br />
d) Si $latex g_1,g_2,g_3\in G$ entonces $latex (g_1\cdot g_2)\cdot g_3=g_1\cdot (g_2\cdot g_3)$ (es asociativo)<br />
<b>e)*</b> si sucede que $latex \forall g_1,g_2 \in G$ tenemos que $latex g_1\cdot g_2=g_2\cdot g_1$ (es conmutativo) decimos que $latex G$ es un<b> grupo abeliano</b><br />
<br />
<b><br /></b><b>Ejemplos:</b><br />
<br />
<i>No-Ejemplo:</i><br />
<br />
Las matrices con la multiplicación no forman un grupo ya que hay algunas que tienen determinante 0 y no son invertibles, por lo que no se cumple la propiedad <b>b</b><br />
<br />
$latex (Mat_{n}\mathbb R,\cdot)$<br />
<br />
<b>Ejemplo $latex SL_2(\mathbb C)$</b><br />
<br />
Las matrices sobre un campo, por ejemplo $latex \mathbb C$ de nxn cuyo determinante es 1 se les denota como $latex SL_n\mathbb C$ , es claro que es un grupo con la multiplicación de matrices ya que todos son invertibles, este se llama grupo especial lineal, y es "especial" porque es de hecho un subgrupo normal de otro mas grande que se llama $latex GL_n\mathbb C$ que es el grupo general lineal que consta de todas las matrices invertibles, es fácil mostrar que un subgrupo normal para los que saben un poco más de teoría de grupos , sabemos que el kernel de un morfismo de grupos es siempre un subgrupo normal y en este caso el operador de determinante induce un homomorfismo de grupos, en este caso $latex det:GL_n\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}^{\times}$ donde $latex \mathbb{C}^\times$ es el grupo multiplicativo de los complejos sin el 0, entonces, $latex Ker(det)=\lbrace A\in GL_n\mathbb C\mid det(A)=1\rbrace=SL_n\mathbb C$, de hecho si te gusta la geometría diferencial hay más en este grupo que ya me extendí mucho en el ejemplo pero tenemos que existe un álgebra de Lie (haces nacer un espacio vectorial donde se pueden multiplicar vectores junto con una operación especial llamada <i>corchete de Lie</i> ) de $latex SL_n\mathbb C$ que es $latex \mathfrak{sl}_n\mathbb C =\lbrace A\in SL_n\mathbb C \mid Tr(A)=0\rbrace$ donde el corchete de Lie es la multiplicación de estos elementos dado por $latex [g,h]=g^{-1}h^{-1}gh$<br />
<br />
La teoría en este grupo es hermosa y es favorita de muchos<i> ultra-ingenieros</i> (teoría de control) y de muchos físicos ya que tiene un entendimiento muy profundo, el hecho de que todos tengan determinante 1, y el determinante representar un polinomio con entradas en la matriz te dice que de hecho los elementos pertenecen a una variedad que se sumerge en un espacio y tiene cierta topología y se le da una interpretación a este grupo como el que preserva volúmenes y orientación con transformaciones de $latex \mathbb{C}^n$ (puedes usar $latex \mathbb R$) donde el determinante mide el cambio en volumen y orientación.<br />
<br />
<b><br /></b><b>Otro grupos con funciones $latex S_n$</b><br />
<br />
Otros ejemplos de grupos más aburridos pueden ser los números reales con la suma usual, o los reales sin el 0 con la multiplicación , estos son abelianos, otros más divertidos no conmutativos son las permutaciones $latex S_n$ que consta de todas las funciones que permutan $latex n$ elementos y su operación es la composición de estas funciones, por ejemplo si hacemos actuar a este grupo en el conjunto $latex X=[ 1,2,3 ]$ tenemos que hay un $latex \sigma_1\in S_3$ tal que intercambia los dos primeros, hay otro $latex \sigma_2$ que intercambia el primero por el tercero, y hay uno que no hace nada, por ejemplo $latex \sigma_1(X)=[2,1,3]$ y $latex \sigma_2(X)=[3,2,1]$ y $latex \sigma_1\circ \sigma_2(X)=[2,3,1]$ y $latex \sigma_2\circ \sigma_1(X)=[3,1,2]$ , este es un grupo (no abeliano) de $latex n!$ elementos , en este ejemplo tiene 6 elementos, toma en cuenta que consta de funciones y hay varios subgrupos de estos, que miden simetria, por ejemplo el grupo de las rotaciones de un cuadrado, donde no se vale por ejemplo intercambiar solo 2 vertices ya que "romperias el cuadrado" , o simplemente las rotaciones de un icosaedro, o un simplejo en dimensión 4, et cétera, hay otro tipo de grupos que alguna vez expuse aquí que se llama grupo de trenzas que tiene que ver con teoría de nudos, lo puedes explorar <a href="http://b3ck.blogspot.nl/2014/07/grupos-de-trenzas.html?m=0">aquí</a> en mi blog.<br />
<br />
<b>Campos</b><br />
<br />
Un <b>campo</b> es sólo una estructura que consta de un conjunto y que contiene dos operaciones cerradas en el conjunto relacionadas con la ley distributiva donde el conjunto con cada operación por sí misma forma un grupo abeliano (por ejemplo $latex (\mathbb R ,+ , \times)$ o $latex (\mathbb {F}_q,+,\times)$ pero no $latex (\mathbb{Z},+,\times)$ ya que los enteros con la multiplicación sólo tienen al 1 y -1 con inverso, los demás no por lo que no forma grupo abeliano con $latex \times$), hay campos más interesantes, por ejemplo todos los cocientes de polinomios en una variable $latex x$ sobre un campo $latex \mathbb K$ se le denota como $latex \mathbb K (x)$ donde un elemento de ahí puede ser $latex \frac{x^2-x}{x^3-x^2+1}$ estos campos de funciones polinomiales son interesantes cuando los haces en más variables y los elementos cumplen estar definidos sobre una superficie o una curva, y limitas que los denominadores de las funciones polinomiales no se anulen en algún punto de la curva (podrás encontrar un campo diferente para cada punto, eso le da una estructura muy rica a una curva algebraicamente), todo esto sigue conservando la estructura de campo y se puede estudiar la superficie/curva desde ciertas propiedades de este campo sin acudir ya a la geometría.<br />
<br />
<br />
<b>Anillos y dominios enteros</b><br />
<br />
Un <b>Anillo</b> es como un campo pero a la operación multiplicativa no le pides que tenga inversos, por ejemplo las matrices cuadradas sin pedir condiciones al determinante forman un anillo de hecho forman un grupo con la adición, los polinomios también son un anillo conmutativo, et cétera.<br />
<br />
<br />
Un anillo $latex R$ se dice que es un <b>dominio entero</b> si $latex \forall a,b\in R\setminus \lbrace 0 \rbrace$ se tiene que $latex a\cdot b \neq 0$<br />
<br />
Por ejemplo $latex Mat_2\mathbb Z$ no es un dominio entero ya que $latex \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.<br />
<br />
También tenemos que los polinomios con coeficientes en un campo si son un dominio entero, ya que no hay dos polinomios no nulos que al multiplicarse te den 0<br />
<br />
Otro no-ejemplo son los enteros módulo un número NO-primo, por ejemplo $latex (\mathbb Z/(10),+,\cdot)$ donde la suma y multiplicación es la usual módulo 10 (esto es de manera intuitiva que $latex a\cdot b = c$ donde $latex c$ es el residuo de la división $latex \frac{a\cdot b}{10}$, esta estructura es un anillo pero no es un dominio ya que por ejemplo $latex 5\cdot 2 \equiv 0 \bmod 10$ pero si lo hicieramos con un número primo $latex (\mathbb Z/(p),+,\cdot)$ por la naturaleza de $latex p$ no vas a encontrar dos números que multiplicados te den $latex p$ entonces no existirán "residuos 0" al multiplicar dos números y dividir entre $latex p$ , pero bueno de hecho esto ya es más que un anillo, es un campo finito, todos son invertibles, lo puedes demostrar si tienes ganas.<br />
<br />
Un grupo $latex G$ se dice que es <b>libre de torsión</b> si al iterar $latex n$ veces su operación con cualquier elemento $latex g\in G\setminus \lbrace e\rbrace$ no te da nunca el neutro de la operación $latex e\in G$ para todo $latex n\in \mathbb N$ , es decir, un grupo $latex G$ es libre de torsión si el elemento neutro es el único elemento de orden finito<br />
<br />
<b>Torsión en grupos</b><br />
<br />
Por ejemplo TODOS los grupos finitos <b>NO </b>son libres de torsión, ya que iterar en un $latex g\in G$ te da elementos de un subgrupo generado por $latex g$ denotado por $latex (g)$ y su cardinalidad divide la cardinalidad de $latex G$ entonces $latex e\in (g)$ incluye a $latex e\in G$ por lo que todos los elementos tienen torsión.<br />
<br />
Con esto ya excluimos TODA una familia de grupos de la conjetura de Kaplansky, ya que pedimos que sea infinito y sin torsión, por lo que todos los campos de característica p (que también son grupos) también quedan excluidos, y aquí es donde vamos viendo que todo se dificulta ya que los grupos a tratar deben ser más complicados, un grupo aburrido libre de torsión pues son los enteros $latex (\mathbb{Z},+)$ donde sumar nunca da 0 , las matrices tienen torsión ya que hay matrices que al elevarlas a la $latex n$ se anulan por ejemplo las matrices de 2x2 con coeficientes en el campo finito $latex \mathbb Z/(2)$ con la multiplicación tenemos que $latex \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ es la matriz identidad , por lo que ese elemento tiene orden 2<br />
<br />
<br />
<b><span style="font-size: large;">Conjetura de Kaplansky</span></b><br />
<b><br /></b>La conjetura propone construir un anillo dado un campo y un grupo y estudiar si es o no un dominio entero<br />
<br />
<b>Construcción de un anillo asociado a un grupo $latex G$ y un campo $latex \mathbb K$ </b><br />
<br />
<br />
Lo que haremos es construir un anillo desde un grupo denotado como $latex \mathbb{K}[G]$, es decir, tendremos que construir una suma y una multiplicación que cumpla todos los axiomas.<br />
<br />
<b>Grupos generados desde cualquier conjunto (Grupo libre abeliano)</b><br />
<br />
Ya estamos casi listos con las definiciones <i>aposteriori</i> con los ejemplos, vamos a construir un grupo dado un conjunto cualquiera, imaginen que tenemos el conjunto $latex A=\lbrace \alpha,\beta,\gamma\rbrace$, si nos preguntaran cómo podríamos construir un $latex \mathbb K$ espacio vectorial $latex V$ con el conjunto $latex A$ lo más adecuado es tomar las todas las combinaciones de sumas formales $latex k_1\alpha + k_2 \beta + k_3 \gamma$ $latex \forall k_i\in \mathbb K$, podemos generalizar esto apra cualquier conjunto de distinta cardinalidad, incluso infinita bajo ciertas condiciones (como por ejemplo que sólo un número finito de $latex k_i$ sean distintas de cero) y vamos a hacer más compacta la notación y a los elementos del campo vamos a ponerles un índice que nos indicará a qué elemento del conjunto está multiplicando, entonces:<br />
<div>
<br /></div>
<br />
$latex \sum k_\alpha \alpha \in V$ donde $latex \alpha \in A$ y $latex k_\alpha \in \mathbb K$<br />
<br />
La adición está definida de manera natural como<br />
<br />
$latex (\sum k_\alpha\cdot\alpha)+(\sum c_\alpha \cdot \alpha)=\sum (k_\alpha+c_\alpha)\cdot \alpha$<br />
<br />
También tenemos la multiplicación por un escalar, por ejemplo si tomamos un $latex a\in \mathbb K$<br />
<br />
$latex a(\sum k_\alpha \alpha)= \sum (a k_\alpha)\cdot \alpha$<br />
<br />
Es decir, es la usual la suma coordenada a coordenada en el espacio vectorial $latex V$, y la multiplicación por escalar, pero nosotros <i>somos más ambiciosos</i> y queremos darle una estructura de álgebra para poder multiplicar los vectores,<br />
<br />
Tenemos que observar que $latex A\subset V$ ya que si nos tomamos un $latex \gamma \in A$ tenemos que:<br />
<br />
$latex V\ni \gamma^{*} = \sum k_\alpha \alpha$ donde $latex k_\gamma = 1$ y $latex k_\alpha = 0$ $latex \forall \alpha \neq \gamma$ por lo que $latex A$ es base de $latex V$ .<br />
<br />
La multiplicación primera que se viene a la mente es una que es muy mediocre (al menos a mi se me ocurrió así) que es como la suma.. coordenada a coordenada pero eso no le da nada de estructura, pero bueno, ¿por qué no se puede ocurrir otra? , pues porque el conjunto $latex A$ no tiene nada de estructura..., no hay por donde podamos jugar.<br />
<br />
Pero qué sucedería si le metemos estructura a $latex A$ y le pedimos que sea un grupo.<br />
<br />
<br />
<b>Anillo de grupo asociado a un campo $latex \mathbb K$ y un grupo $latex G$ </b><br />
<b><br /></b>Este lo denotaremos por $latex \mathbb{K}[G]$ y la suma está definida de la misma manera que con $latex A$ , pero lo que nos importa ahora es la es la multiplicación y explotando la operación en $latex G$ podemos definir lo siguiente:<br />
<br />
Sean $latex \alpha.\beta \in G$ y $latex k_\alpha,k_\beta \in \mathbb K$ entonces definimos la multiplicación $latex \odot$ en $latex \mathbb{K}[G]$ como:<br />
<br />
<br />
$latex (\sum_{\alpha \in G} k_\alpha\cdot\alpha)\odot (\sum_{\beta \in G} k_\beta \cdot \beta)=\sum_{\alpha,\beta \in G} (k_\alpha k_\beta)\cdot \alpha\beta =\sum_{\gamma\in G} k_\gamma \cdot \gamma$<br />
<br />
Aquí tenemos que $latex \gamma = \alpha\beta\in G$ por lo que $latex \alpha=\gamma\beta^{-1}$<br />
<br />
entonces para poder definir la multiplicación de manera directa.<br />
<br />
<br />
tenemos que:<br />
<br />
$latex k_\gamma$ es la suma de todos los productos $latex k_\alpha k_\beta$ tal que $latex \gamma=\alpha \beta$.<br />
<br />
por lo que el coeficiente que le toca a $latex \gamma$ que es $latex k_\gamma$ está dado por:<br />
<br />
$latex k_\gamma=\sum_{\alpha\beta=\gamma} k_\alpha k_\beta=\sum_{\alpha \in G} k_\alpha k_{\alpha^{-1}\gamma}$<br />
<br />
La pregunta es, si suponemos que $latex \alpha,\beta \in\mathbb{K}[G]^{*}$ podría suceder que $latex \alpha\odot\beta=0$ , para cualquier campo $latex \mathbb{K}$ cuando $latex G$ es un grupo libre de torsión... no se sabe... hay algunos avances para ciertos $latex G$ y cuando $latex \mathbb{K}=\mathbb{C}$ , yo en particular estoy tratando de demostrar esto para un un grupo infinito de automorfismos de una variedad con su campo de funciones es decir algo así como $latex \mathcal{K}(V)[Aut_\mathcal{K}(V)]$.<br />
<br />
Espero les haya gustado.<br />
<br />
Eduardo Ruiz Duarte<br />
twitter: @toorandombeckhttp://www.blogger.com/profile/15394216344733862200noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-24378736.post-76346052537131451532015-12-02T11:13:00.000-06:002015-12-03T05:13:55.103-06:00Teorema de punto fijo de Brouwer y Equilibrio de Nash con topología generalHoy es el aniversario luctuoso de Luitzen Egbertus Jan Brouwer, fue un matemático Holandés que murió hace 49 años, él demostró uno de los tantos cientos de teoremas de punto fijo, pero el suyo (teorema de punto fijo de Brouwer<b>)</b>, considero es de los más importantes (Junto con el que es más importante para mí que es el de <b>Lefschetz </b>que se usa para hacer cohomología en campos finitos), el de Brouwer es un resultado que movió toda la teoría de topología de espacios euclídeos, ecuaciones diferenciales, topología algebraica y teoría de juegos, donde de hecho el <b>teorema del equilibrio de Nash</b> es una consecuencia/<b>corolario</b> del <b>teorema del punto fijo de Brouwer.</b><br />
<br />
También aparte del aniversario luctuoso de Brouwer escribo este post porque hace pocos meses John Nash murió en un accidente automovilístico, y con mi "modita" de escribir un poco de teoría para recordar sus grandes mentes, dejo este post, que como siempre es personal, sin tanto rigor, pero algunas demostraciones, podrán haber errores, los cuales con gusto me pueden corregir en los comentarios o contactarme.<br />
<br />
<b>Equilibrio de Nash</b><br />
<br />
Todos vieron esa película <i>"Beautiful Mind" </i>con Russell Crowe que hace el papel de John Nash, el teorema de John Nash sin matemáticas dice aproximadamente que en cualquier juego multijugador donde se permitan cambiar estrategias, y donde cada quién ya está en cierta parte de la evolución del juego donde se conocen las estrategias de los demás, siempre habrá un punto (de equilibrio de Nash) en el que al haber ejecutado su mejor estrategia cada quien, todos tendrán el mejor resultado posible visto individualmente.<br />
<br />
Esto quiere decir que está el punto final del juego donde uno gana y todos los demás pierden, pero también hay un punto en donde todos están en su mejor posición posible con respecto a su estrategia, donde al dejar el juego sería la maximización de sus ganancias.<br />
<br />
En la película esto lo ejemplifican de manera un poco machista en la escena del bar, donde al todos "competir" por la chica linda, a nadie los va a pelar por atascados o sólo a uno y los demás no podrán ligarse a las amigas de la chica linda porque no querrán ser "plato de segunda mesa", pero al cambiar la estrategia si no pela nadie a la linda y todos se van con sus amigas, la mayoría habrá "ligado". Este punto es el punto en donde se maximiza la ganancia de todos, esta maximización existe... SIEMPRE, y es lo que probó Nash, y es parte de la base de toda la economía mundial y teoría de decisiones.<br />
<br />
Esta teoría impactó mucho la teoría económica ya que Adam Smith antes había descrito el individualismo como principal estrategia para lograr los mejores objetivos, pero aquí entra un juego filosófico/social/económico donde a veces el individualismo no siempre es lo mejor, incluso para el individuo ganador, ya que la maximización de recursos de los contrincantes podría traer otro tipo de consecuencias positivas que en la evolución del juego traerían una mayor ganancia a otro plazo (por ejemplo Paz, economía sólida entre países, et cétera).<br />
<br />
<b>Teorema del punto fijo de Brouwer</b><br />
<br />
<br class="Apple-interchange-newline" />
Aquí expondré el Teorema del punto fijo de Brouwer, pero sólo en dimensión 1, recuerdo que esto fue parte de un examen que tuve, para dimensión $latex n$ desafortundamente no tengo el tiempo (ni tampoco la demostración en mi mente a la mano) para poder hacerla, aunque recuerdo que funciona con grupos de homología, espero pronto (en vacaciones) poder dedicarle un tiempo para dimensión $latex n$.<br />
<br />
<b>Teorema </b>(Punto fijo de Brouwer)<br />
Sea $latex f\in C^0$, $latex \mathbb{D}^n=\lbrace \bar{x}\in \mathbb{R}^n : ||\bar{x}||\leq 1 \rbrace$ y $latex f:\mathbb{D}^n \rightarrow \mathbb{D}^n$ entonces existe $latex \bar{x_0}\in \mathbb{D}^n$ tal que $latex f(\bar{x_0})=\bar{x_0}$<br />
<br />
En español: Si tenemos una función continua que va del disco cerrado de dimensión $latex n$ a sí mismo, entonces siempre habrá al menos un punto $latex \bar{x_0}\in \mathbb{D}^n$ donde la función se comporta como la identidad, es decir donde $latex f(\bar{x_0})=\bar{x_0}$.<br />
<br />
<b>Demostración para $latex n=1$, usando topología en vez del el trillado teorema de valor intermedio.</b><br />
<b><br /></b>
Primero vamos a ver qué significa geométricamente, con este dibujito que hice en <a href="https://www.desmos.com/calculator">este</a> sitio.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhbC-MxGgAcjF7N_XDefVRXmkEBgE-B3Ay7KeIF2jx0faoUQ3DQefTwB6fB2p1A89AoLJ0HnZgGST76VHZhbLpPvG-LGY0wPfNaqwMmcRWoImWk6QwS_Dr-FzJ0F3_DjQ3HO8MF/s1600/TPF.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhbC-MxGgAcjF7N_XDefVRXmkEBgE-B3Ay7KeIF2jx0faoUQ3DQefTwB6fB2p1A89AoLJ0HnZgGST76VHZhbLpPvG-LGY0wPfNaqwMmcRWoImWk6QwS_Dr-FzJ0F3_DjQ3HO8MF/s320/TPF.png" width="319" /></a></div>
<br />
Aquí tenemos una función $latex f$ en verde claramente continua en $latex \mathbb{D}^1=\lbrace x\in \mathbb{R} : |x| \leq 1\rbrace=[-1,1]$, es decir, el disco de dimensión 1 es un intervalo cerrado en $latex \mathbb{R}$ , también vemos en azul la función identidad que corresponde a la diagonal $latex \Delta=\lbrace (x,x) : x\in\mathbb{D}^1\rbrace \subsetneq \mathbb{D}^1\times\mathbb{D}^1$, que es justamente la gráfica de la función $latex y=x$ en $latex \mathbb{R}^2$ delimitada al cuadrado $latex [-1,1]\times[-1,1]=\mathbb{D}^1\times\mathbb{D}^1$.<br />
<br />
La gráfica verde de la función la definiremos como $latex G_f=\lbrace (x,f(x)) : x\in\mathbb{D}^1\ \rbrace\subsetneq \mathbb{D}^1\times\mathbb{D}^1$.<br />
<br />
Lo que queremos demostrar para cualquier $latex f\in C^0$ donde $latex f:\mathbb{D}^1\rightarrow \mathbb{D}^1$ es que $latex G_f\cap \Delta \neq \emptyset$, o sea que existe un punto $latex x_0\in \mathbb{D}^1$ tal que $latex f(x_0)=x_0$ y esto lo haremos muy rápidamente usando topología básica.<br />
<br />
Sólo necesitamos recordar que un <b>abierto básico</b> $latex U\subset \mathbb{R}^n$ es aquel que para todo $latex x\in U$ existe un $latex \epsilon$ > $latex 0$ tal que $latex B_\epsilon(x)\subset U$ es decir, siempre podemos encontrar una bola rellena alrededor de $latex x$ de radio $latex \epsilon$ (la medida del radio está dada por la métrica de $latex \mathbb{R}^n$) totalmente contenida en $latex U$, por más que ese $latex x$ esté cerca de la frontera/orilla de $latex U$, ese punto no puede estar en la frontera de $latex U$ porque la frontera de $latex U$ no es parte del abierto $latex U$ por cómo está definida la noción de abierto.<br />
<b><br /></b>
<b>Continuemos con la demostración</b>. sea $latex f(-1)=a$ y $latex f(1)=b$ , en el dibujo los podemos ver en rojo. Si $latex f(-1)=-1$ o $latex f(1)=1$ ya acabaríamos cuyo caso sería trivial, entonces vamos a suponer lo contrario que es que $latex f(-1)=a > -1$ y $latex f(1)=b < 1$.<br />
<br />
Lo que queremos usar es una idea de conexidad topológica, diciendo que cualquier camino entre los puntos rojos $latex (-1,a),(1,b)$ el cual lo denotamos por $latex \gamma_{a,b}\subset \mathbb{D}^1\times\mathbb{D}^1$ debe cruzar por $latex \Delta$ , lo cual intruitivamente parecería muy fácil, pero demostrarlo formalmente requiere topología, ya que lo estamos generalizando para cualquier función continua, sea como sea, y no sólo la función verde linda del dibujo.<br />
<br />
<br />
Tenemos que por hipótesis $latex f$ es continua, por lo que $latex G_f$ <b>está conectado (es conexo),</b> y esto es porque $latex G_f=Im(\Phi)$ (imagen de $latex \Phi$) donde $latex \Phi$:<br />
<br />
$latex \begin{aligned}\Phi:\mathbb{D}^1&\rightarrow \mathbb{D}^1\times\mathbb{D}^1 \\ x&\mapsto (x,f(x)) \end{aligned}$<br />
<br />
Donde este mapeo es fácil demostrar que es continuo usando la continuidad de $latex f$.<br />
Y de la continuidad es sabido por topología básica que una función continua $latex \phi:X\rightarrow Y$ entre dos espacios topológicos, si $latex X$ es conexo (o aún más fuerte, conexo por trayectorias) , entonces $latex Im(\phi)\subseteq Y$ también es conexo (por trayectorias si $latex X$ lo era), en este caso aquí la $latex \phi$ es nuestra $latex \Phi$. Este resultado es una especie de <b>generalización</b> del <b>teorema del valor intermedio</b> que todos vieron en su clase de cálculo 1.<br />
<br />
Ahora, construiremos dos conjuntos abiertos.<br />
<br />
$latex A=\lbrace (x,f(x)) : f(x) > x \rbrace$<br />
$latex B=\lbrace (x,f(x)) : f(x) < x \rbrace$<br />
<br />
Nota que estos dos conjuntos jamás pueden ser vacíos, ya que $latex (-1,a)\in A$ y $latex (1,b)\in B$.<br />
<br />
Estos dos conjuntos representan intuitivamente lo que está arriba ($latex A$) y lo que está abajo ($latex B$) de la diagonal $latex \Delta$, y también nota que no tienen puntos fijos (ya que es lo que queremos demostrar).<br />
<br />
Procediendo por contradicción, si suponemos que de hecho $latex f$ no tiene puntos fijos, entonces debería suceder que $latex G_f\cap \Delta = \emptyset$, lo cual implicaría que por como construimos $latex A$ y $latex B$ entonces $latex G_f = A\cup B$, pero $latex A,B\subset G_f$ son abiertos en $latex G_f$, y disjuntos, por lo que su unión es disjunta, esto contradice que la imagen de $latex \Phi$ que es $latex G_f$ es conexa $latex \blacksquare$<br />
<b><br /></b>
<b>Nota sobre $latex A$ y $latex B$ al final de la demostración</b><br />
<b><br /></b>
¿por qué $latex A$ y $latex B$ son abiertos EN $latex G_f$?<br />
<br />
Esto no lo justifiqué hace algunos años en mi examen, y me causó un comentario al final de la demostración en mi escrito, pero aquí dejo una idea con la que ustedes pueden demostrarlo (que es muy fácil en $latex \mathbb{R}$), ya que la métrica de $latex \mathbb{R}$ heredada a $latex G_f$ te permite demostrar que en este caso intervalos semi-abiertos/semi-cerrados (con un extremo que incluya su frontera) , realmente son ABIERTOS, ya que lo obtienes de la topología heredada de $latex \mathbb{R}^2$ intersectándolo con un abierto, por ejemplo si $latex \alpha\in \mathbb{D}^1$ y $latex \beta >1$:<br />
<br />
$latex U=(\alpha,1]=\mathbb{D}^1\cap (\alpha,\beta)$.<br />
<br />
Donde $latex (\alpha,\beta)\subset \mathbb{R}$ , por lo que $latex U\subset\mathbb{D}^1$ es abierto con respecto a $latex \mathbb{D}^1$.<br />
<br />
La demostración en general para cualquier dimensión, no existe generalizada de esta forma, se utiliza álgebra homológica para construir algo así como el teorema del valor intermedio generalizado, o el teorema que generaliza esto aún más es el de <b>Borsuk-Ulam </b> si eres más ambicioso.<br />
<br />
El teorema del equilibrio de Nash y el teorema del punto fijo de Brouwer están conectados en que la funcion de ganancia (que él demuestra que es continua) de todos los jugadores con respecto al espacio de todas las estrategias de cada uno (ambas están en N variables, donde N es el número de jugadores que es fínito para asegurar que se trabaje en un espacio compacto), tienen un punto fijo, y él demuestra que este punto es de equilibrio, no puedo entrar en más detalles de la prueba porque no conozco los artificios de teoría de Juegos a ese nivel, pero espero les haya servido.<br />
<br />
<br />
Eduardo Ruíz Duarte (beck)<br />
Twitter: @toorandom<br />
<br />
<br />beckhttp://www.blogger.com/profile/15394216344733862200noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-24378736.post-14010650997425601842015-11-24T20:36:00.001-06:002015-11-24T20:36:27.744-06:00Epifanías sobre inteligencia, evolución y altruismoEpifanías nocturnas, a ver si opinan o me corrigen, si niego lo que dicen trataré de poner un argumento, no es personal... Soy incrédulo, jodón y mamón.<br />
<br />
Epifanía 1.<br />
Ser altruista, amable, bueno y condescendiente es un error en el ADN, los humanos somos violentos, así hemos sobrevivido, evolucionamos cazando y aumentamos nuestra masa cerebral con proteínas que cazamos, no había lugar para la "piedad" o bondad con la presa, aún lo somos... Seguimos matando pero no con nuestras manos, el consumismo destruye el mundo (no es retórica... Matas árboles, animales por carne, contaminas, pisas a los demás para que tu gente/familia tengan lo mejor) los buenos, "misericordiosos" y piadosos no se reproducen porque mueren antes de enfrentarse al mundo, son asesinados por éste, el cual está lleno de gente en su proceso de supervivencia, esa característica memética/genética "positiva" no es parte del proceso evolutivo.<br />
<br />
Epifanía 2.<br />
Si un chimpancé y un humano están a 1.1 % de ADN de diferencia, a 4 % de un ratón y un chimpancé o un ratón no pueden entender para qué sirve un sombrero o un reloj, menos la razón por la que los humanos tenemos física cuántica o arte, No tienen ni la más mínima idea.<br />
<br />
¿Qué pasaría si existiera un ser con la configuración ideal que fuera superior a nosotros en 1 % ?<br />
<br />
¿qué tipo de ideas estarían fuera de nuestro entendimiento? (Sé que de haber respuesta la pregunta sería irrelevante... Sólo quiero opiniones)<br />
<br />
¿Será este concepto de "dios" algo sobrehumano de entender, y los ateos somos los atrasados evolutivamente? , al ser una minoría nos convierte en un grupo posiblemente con una mutación cuyo proceso de adaptación es imposible haciendo inminente la extinción del gen o mem.<br />
<br />
¿Existe una lógica más avanzada? , ¿cómo haría matemáticas un extraterrestre 1 % más desarrollado en su configuración genética?<br />
<br />
Para ésta última alguien (J. B. Nation) ya pensó en ello, vale la pena darle un vistazo.<br />
<br />
http://www.math.hawaii.edu/~jb/four.pdfbeckhttp://www.blogger.com/profile/15394216344733862200noreply@blogger.com6tag:blogger.com,1999:blog-24378736.post-52720991197531138482015-11-18T17:06:00.002-06:002015-12-07T05:06:14.622-06:00Motivación en esquemas, gavillas, espacios localmente anillados, topología de ZariskiAntes que todo, hace una semana se cumplió un año del fallecimiento del que fue para mí el máximo matemático moderno del siglo XX, Alexander Grothendieck (<a href="http://www.theguardian.com/science/2014/nov/25/alexander-grothendieck">aquí</a> su obituario), es por eso que escribo este post el cuál tiene que ver con la teoría que él desarrolló que ahora es la piedra angular de la geometría algebraica y ha servido para demostrar muchas cosas incluyendo las conjeturas de Weil en cuanto a las propiedades de la función zeta de Riemann de curvas sobre campos finitos, de hecho él demostró que esta función es racional.<br />
<br />
<br />
Antes de entrar en el post, dejo otro PDF de interés de una chica estudiante de Matemáticas que fue a visitarlo un año anes de morir, donde relata su experiencia la cual es un poco extraña<br />
<br />
<a href="http://www.math.utah.edu/~honigs/Grothendieck.pdf">http://www.math.utah.edu/~honigs/Grothendieck.pdf</a><br />
<br />
De la teoría que desarrolló Grothendieck tratará este post, daré una motivación, ejemplos y luego entraré de lleno a definir con base a la primera intuición lo que es un esquema en el sentido de Grothendieck, falta muchísimo para que este post sea.. "aceptable", de hecho jamás hablaré de espacios proyectivos, por lo que sólo me limitaré a esquemas afines, también cuando hablo de un anillo, éste es conmutativo con unidad y los campos son algebraicamente cerrados.<br />
<br />
Recuerdo que cuando estaba estudiando mi maestría en el IMATE-UNAM mi colega y amigo Ángel Zaldivar me decía que pusiera más énfasis en la teoría de esquemas, pero yo ya iba encarrerado con la geometría algebraica clásica para hacer mi proyecto que fue un artículo que encontraba fórmulas explícitas en la adición de la jacobiana de una curva hiperelíptica de género 2 así como el modelo afín no singular de la jacobiana embebida:<br />
a en $latex \mathbb{A}^4$ lo cual puedes ver <a href="http://dx.doi.org/10.1556/012.2015.52.2.1313">aquí (DOI)</a> .<br />
<br />
La teoría de Grothendieck, dota de muchísima estructura a un objeto, un anillo, pudiéndolo analizar a simple vista, y a nivel "atómico", haciéndole relucir su geometría... por más abstracto que sea, es lo que trataremos también de construir.<br />
<br />
Ahora que estoy haciendo mi doctorado, entendí por qué Ángel me decía eso, y bueno, he estudiado y usado ya esquemas para algunos resultados y por eso quise hacer una pequeña exposición muy elemental, básica y espero motivante (aunque no rigurosa).<br />
<b><br /></b>
<b><span style="font-size: large;">Motivación inicial:</span></b><br />
<br />
Empecemos con algo fácil.<br />
<br />
¿Cuál es la diferencia entre los conjuntos $latex \lbrace V(x) \cap V(y-x^2)\rbrace$ y $latex \lbrace V(y) \cap V(y-x^2) \rbrace$?<br />
<br />
Recuerden que si tenemos un conjunto de polinomios $latex S\subseteq k[x_1,...,x_n]$ entonces los ceros de los polinomios en $latex S$ son:<br />
<br />
$latex V(S):=\lbrace (a_1,...,a_n)\in \mathbb{A}^n(k) : f(a_1,..,a_n)=0$ $latex \forall f\in S\rbrace $<br />
<br />
Este $latex S$ podría ser un ideal de $latex k[x_1,...,x_n]$ y de hecho existe un operador dual a $latex V$ que nos da el ideal asociado a un conjunto de puntos:<br />
<br />
$latex I(V):= \lbrace f\in k[x_1,...,x_n] : f(a_1,...,a_n)=0$ $latex \forall (a_1,...,a_n)\in V\rbrace$<br />
<br />
Hay un teorema muy importante que marcó el inicio de todo esto desde mi punto de vista que es el teorema Nullstellensatz que en alemán significa "teorema de los ceros" de David Hilbert que dice que:<br />
<br />
Si $latex J\subset \bar{k}[x_1,...,x_n]$ es un ideal, entonces<br />
<br />
$latex I(V(J))=\sqrt{J}=\lbrace f\in k[x_1,...,x_n]: f^n\in J$ para algún $latex m\geq 1\rbrace$<br />
<br />
<br />
Regresando al ejemplo , tenemos la intersección de la línea vertical $latex x=0$ que es justamente el eje y, con la parábola $latex y-x^2=0$ que nos da sólo el punto $latex (0,0)$ , y por otro lado, la linea horizontal $latex y=0$ que es el eje x intersectado con la misma parábola, en ambos casos el único punto de intersección es el $latex (0,0)$ , es decir como conjuntos son lo mismo, ¿cuál es la diferencia? , si ven las gráficas en $latex \mathbb{R}^2$ verán<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiovgh-UmDAbmMkYMkwCS1GVKEngXW2-yoYQVjR59RvxNUxc62pqWoTmndoD00snhfJIvCY56UaJ6GznKq83KsyM8q5XsYRTtuKCtj6rZ8PuOGJJiDD_CNCO1VG233FfXKfxuLT/s1600/x0.png" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="188" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiovgh-UmDAbmMkYMkwCS1GVKEngXW2-yoYQVjR59RvxNUxc62pqWoTmndoD00snhfJIvCY56UaJ6GznKq83KsyM8q5XsYRTtuKCtj6rZ8PuOGJJiDD_CNCO1VG233FfXKfxuLT/s200/x0.png" width="200" /></a></div>
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiY53DwU-Te7sR_OWLdLngm7RPrA4a-TfUK82p-ItvI3eaoOb0E4lN6JkGGOh1FskESjp74qGPCqDHZKypdvOVCXeIt1jUjP7TgEx3q1wWowRaGp1L_CtY0-SBSeVlVMBlQ4SAu/s1600/y2.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" height="200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiY53DwU-Te7sR_OWLdLngm7RPrA4a-TfUK82p-ItvI3eaoOb0E4lN6JkGGOh1FskESjp74qGPCqDHZKypdvOVCXeIt1jUjP7TgEx3q1wWowRaGp1L_CtY0-SBSeVlVMBlQ4SAu/s200/y2.png" width="200" /></a><br />
<br />
La diferencia está en el álgebra detrás, la tangencia en la gráfica derecha se estudia a través de su álgebra afin asociada que es en este caso $latex k[x,y]/(y-x^2,y)\cong k[x]/(x^2)$ sin embargo , para la intersección transversal de la parábola con $latex x=0$ tenemos que $latex k[x,y]/(y-x^2,x)\cong k$, obviamente el primero no es un campo porque tiene un elemento nilpotente que es $latex x$, el segundo es isomorfo al campo base, y este ejemplo da una idea de una teoría que podría diferenciar en este caso cómo encontrar tangencia sin recurrir directamente a la geometría, lo que te permitirá analizar la geometría algebraicamente incluso de espacios que no son "visibles" de manera intruitiva (espacios de funciones, variedades sobre campos finitos, campos no arquimedianos, et cétera).<br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<b><span style="font-size: large;">Geometría algebraica pre-esquemas, con sabor a esquemas (Primera Parte)</span></b><br />
<b><br /></b>
Si tenemos una curva algebraica plana y queremos estudiarla como las anteriores, podemos primero pensar en una topología para ésta, así que las siguientes definiciones son importantes.<br />
<br />
<b>Definición: </b>Sea $latex V\in \mathbb{A}^n(k)$ un conjunto algebraico (es decir, está dado por uniones, intersecciones de ecuaciones polinomiales como vimos en el ejemplo, y puedes hacer que $latex V$ sea una curva elíptica o una parábola) entonces su <b>anillo de coordenadas </b>es $latex k[V]=k[x_1,...,xn]/I(V)$ , los elementos de este anillo se llaman <b>funciones regulares</b><br />
<br />
Recuerden que una variedad $latex X$ es <b>irreducible </b>si no es la unión de variedades, es decir que $latex X\neq Y\cup Z$ donde $latex Y,Z$ no son triviales, esto es fácil verlo algebraicamente ya que si te fijas en las ecuaciones que definen una variedad que no es irreducible, entonces es factorizable, por ejemplo si consideras $latex f(x,y)=x^3 y-x^2+x y^3-x y-y^2+1$, es fácil ver que no es irreducible, ya que es la unión de dos conjuntos algebraicos:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhe-5pLKY93OsdURCG7JjAA7r1NwnJrEO6TCB54edocS_CL8EshtsJew1Gjm0w8folbs2vPatiWYxG7zLfizMlJ_kmcnIIWWY8E8cmH9CAGC4n1BQIz3lFpeA6muNuQ6xONVOYG/s1600/paracirc.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="319" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhe-5pLKY93OsdURCG7JjAA7r1NwnJrEO6TCB54edocS_CL8EshtsJew1Gjm0w8folbs2vPatiWYxG7zLfizMlJ_kmcnIIWWY8E8cmH9CAGC4n1BQIz3lFpeA6muNuQ6xONVOYG/s320/paracirc.png" width="320" /></a></div>
<br />
<br />
Es una parábola y un círculo en la misma ecuación... y si factorizamos tenemos que $latex f(x,y)=(xy-1)(x^2+y^2-1)$ , es decir, el polinomio no es irreducible porque lo podemos factorizar... y por lo tanto podemos intuir (hay que probarlo) que si $latex f,g\in k[x_1,...,x_n]$ entonces $latex V(fg)=V(f)\cup V(g)$, es decir, el producto de dos ecuaciones polinomiales, tiene como ceros, la unión de los ceros de cada una de las ecuaciones polinomiales por separado.<br />
<br />
<br />
<br />
Regresando al anillo de coordenadas es el anillo de polinomios en $latex n$ variables módulo el ideal de polinomios que se anulan en los puntos de $latex V$ , los elementos de este anillo puedes verlos como funciones $latex f:V\rightarrow k$.<br />
<br />
Una <b>subvariedad </b>$latex W$ de $latex V$ es aquella que está contenida en $latex V$ is $latex W$ es algebraica, por ejemplo $latex V(x)\subset V(xy)$ , geométricamente $latex x=0$ es una línea vertical y $latex x y = 0$ tiene como gráfica los dos ejes coordenados, y la linea está contenida en la "cruz" siendo ambos definidos por ecuaciones polinomiales (algebraicos).<br />
<br />
<b><span style="font-size: large;">Topología de Zariski</span></b><br />
<br />
Ahora, la topología donde se trabaja esto inicialmente es la de <b>Zariski</b>, y definimos:<br />
<br />
<b>Definición: </b>Sea $latex k$ un campo y $latex X\subset \mathbb{A}^n(k)$ , es un <b>cerrado</b> de Zariski si $latex X$ es algebraico (es decir, un conjunto de puntos definido por polinomios), de manera dual tenemos que un <b>abierto</b> de Zariski es de la forma $latex U=\mathbb{A}^n(k)\setminus X$ donde $latex X$ es algebraico.<br />
<br />
<br />
<b>Ejemplo 1: </b> Considera $latex \mathbb{A}^1(k)$ , entonces un cerrado ahí está dado por cualquier subconjunto de la recta afín $latex \mathbb{A}^1(k)$ que pueda ser expresado por polinomios en una variable, como sabemos que todo polinomio tiene un número finito de raíces, entonces los cerrados corresponden a todos los subconjuntos de la recta que son finitos (los abiertos son conjuntos infinitos), aquí tenemos un ejemplo de topología cofinita.<br />
<br />
<b>Ejemplo 2:</b><br />
Si te subes a dimensión dos, veremos que aquí es diferente, por ejemplo, un punto es un cerrado, ya que intuitivamente lo puedes ver como la intersección de dos rectas, un círculo también es cerrado ya que se puede expresar como el conjunto de ceros de $latex x^2+y^2-1$ , y los abiertos aquí pues son muy grandes, los complementos de estos ejemplos son super densos , de hecho esta topología no es Hausdorff (no puedes encontrar dos abiertos que no se intersecten).<br />
<br />
Y para qué queremos esta topología tan rara? ,<br />
<br />
<b><span style="font-size: large;">Localización:</span></b><br />
<br />
Un punto nos da un ideal, es decir si $latex p=(a_1,...,a_n)\in V\subset \mathbb{A}^n(k)$ entonces $latex I(\lbrace p\rbrace)=(x-a_1,...,x-a_n)$, estos ideales pueden probar que son máximos, y por cada punto corresponde un ideal máximo cuando el campo base es algebraicamente cerrado, cuando no, hay teoría de Galois de por medio que hablaremos después,<br />
<br />
<b><br class="Apple-interchange-newline" />Definición: </b>Sea $latex k[V]:=k[x_1,...,x_n]/I(V)$ un anillo de coordenadas , tenemos que su campo de fracciones asociado es:<br />
<br />
$latex k(V):=\lbrace f/g: f,g\in k[V] , g\neq 0\rbrace/\sim$<br />
<br />
Donde $latex \sim$ es la relación de equivalencia usual de fracciones, o sea $latex a/b \sim c/d$ si $latex a\cdot c-b\cdot d=0$, es decir que su diferencia sea 0 en $latex k[V]$ lo cual significa que $latex ac-bd\in I(V)$<br />
<br />
<b>Definición: </b>Sea $latex k[V]:=k[x_1,...,x_n]/I(V)$ un anillo de coordenadas y $latex p\in V$ entonces la localización de $latex p$ en $latex k[V]$ es:<br />
<br />
$latex k_{p}[V]:=\lbrace f/g \in k(V) : g(p)\neq 0 \rbrace$<br />
<br />
Hasta aquí ya tenemos un anillo para cada punto de una variedad $latex V$ , ahora... este anillo localizado en $latex p$ tiene un sólo ideal máximo, el cual pueden demostrar que es $latex m_p=\lbrace f\in k_{p}[V] : f(p)=0\rbrace$<br />
<br />
Toda esta estructura que le hemos dado a una variedad dada por polinomios se puede generalizar, y a partir de aquí está todo lo anterior para cualquier anillo, podemos ver a los elementos del anillo conmutativo que queramos como si fueran funciones sobre un nuevo espacio $latex S p e c R$ que será el tema principal de este post (esquema afín).<br />
<br />
<b>Definición: </b>Sea $latex R$ un anillo conmutativo, definimos el <b>espectro primo </b>de $latex R$ como:<br />
<br />
$latex Spec R:=\lbrace \mathfrak{p} : \mathfrak{p}\subset R$ es un ideal primo $latex \rbrace$<br />
<br />
<b>Observación-definición</b>: Vamos a ver cómo ver los elementos de un anillo $latex R$ como funciones evaluadas en los puntos de nuestro nuevo espacio topológico $latex S p e c R$ , para que esto tenga sentido.<br />
<br />
Sea $latex f\in R$ y $latex \mathfrak{p}\in Spec R$ (un ideal primo), entonces $latex f(\mathfrak{p})=\bar{f}\in R/\mathfrak{p}$ donde $latex \bar{f}$ es la reducción de $latex f$ módulo $latex \mathfrak{p}$.<br />
<br />
<br />
Este espectro tan inocente que se ve, es un espacio localmente anillado (es decir, con una gavilla de anillos asociada, lo cual veremos más adelante), y de hecho, decimos que bajo la topología de Zariski $latex Y\subset Spec R$ es cerrado , si existe un ideal $latex \mathfrak{a}\subset R$ tal que:<br />
<br />
$latex Y=V(\mathfrak{a}):=\lbrace \mathfrak{p}\in Spec R: \mathfrak{a}\subset \mathfrak{p}\rbrace$<br />
<br />
Esto nos permite rápidamente comprender la definición de <b>cerrado</b> anterior ya que si $latex f\in R$ y $latex f(\mathfrak{p})=0$ para algún ideal primo $latex \mathfrak{p}\in Spec R$ es porque $latex f\in \mathfrak{p}$ <br />
<br />
Medítalo un poco, imagínate que otra vez $latex R=k[x_1,..,x_n]/I(V)$ , acuérdate de la acotación que hicimos, sobre los ideales asociados a puntos , estos son primos (máximos) i.e. pertenecen a $latex S p e c R$<br />
<br />
Podemos redefinir a los cerrados (conjuntos algebraicos) de $latex S p e c R$ , sea $latex \mathfrak{a}\subset R$ un ideal cualquiera, entonces:<br />
<br />
$latex Y=V(\mathfrak{a}):=\lbrace \mathfrak{p}\in Spec R: f(\mathfrak{p})=0$ $latex \forall f\in \mathfrak{a}\rbrace=\lbrace \mathfrak{p}\in Spec R : \mathfrak{a}\subset \mathfrak{p} $<br />
<br />
Esto creo que ya tiene más lógica, para poder localizar en$latex S p e c R$ tomemos en cuenta que si $latex f \in R$<br />
<br />
$latex V(f)=\lbrace \mathfrak{p}\in Spec R : f(\mathfrak{p})=0\rbrace$<br />
<br />
y el abierto asociado a $latex f\in R$ es el complemento de $latex V(f)$ en $latex S p e c R$<br />
<br />
$latex D(f)=\lbrace \mathfrak{p}\in Spec R: f(x)\neq 0 \rbrace$<br />
<br />
A este último a veces le dicen <i>dominio de f </i>por eso la letra $latex D$ , pero nosotros le llamaremos abierto de $latex f$.<br />
<br />
<b><span style="font-size: large;">Asociandole a cada abierto $latex U \subset X$ un anillo</span></b><br />
<br />
Regresemos al ejemplo donde $latex R=k[V]$ , donde $latex V$ es una variedad sobre $latex k$ , es decir, trabajamos en su anillo de coordenadas, sea $latex p=(a_1,...,x_n)\in V$, consideremos su ideal asociado que es $latex \mathfrak{p}=(x_1-a_1,...,x_n-a_n)$<br />
<br />
$latex U_\mathfrak{p}:=D(\mathfrak{p})=\lbrace x\in V : f(x)\neq 0$ $latex \forall f\in \mathfrak{p}\rbrace$<br />
<br />
Entonces tenemos que a $latex U$ le podemos asociar el siguiente anillo llamado <b>anillo de funciones regulares en </b>$latex U$<br />
<br />
$latex k[U_\mathfrak{p}] := \lbrace f/g\in k(V) : g\notin \mathfrak{p} \rbrace$<br />
<br />
Esto es justamente la <b>localización </b>en el punto $latex \mathfrak{p}\in Spec$ $latex k[V]$ , es decir:<br />
<br />
$latex k[U_\mathfrak{p}] = k_\mathfrak{p}[V]$<br />
<br />
<b>Ejemplo:</b><br />
<b><br /></b>
Sea $latex R=\mathbb{Z}$ , entonces $latex Spec\mathbb{Z}=\lbrace p\mathbb{Z} : p$ es primo $latex \rbrace$, $latex V(5)$ consta de todos los ideales primos que tienen al 5 como elemento, o sea $latex 5\mathbb{Z}$, $latex V(6)$ constaría de $latex \lbrace 3\mathbb{Z}, 2\mathbb{Z}$, $latex V(1)$ es vacío que es cerrado y abierto, et cétera, si localizamos en el ideal $latex (p)\subset \mathbb{Z}$ tenemos que:<br />
<br />
$latex \mathbb{Z}_{(p)}=\lbrace a/b \in \mathbb{Q} : b\notin (p) \rbrace$<br />
<br />
Justamente la localización es crucial para toda la teoría de esquemas, ya que como acaban de notarlo, a cualquier anillo le dimos una topología, y a cada abierto le asociamos un anillo, por lo que decimos que $latex S p e c R$ es un <b>espacio localmente anillado.</b> , la formalidad de esto es con una cosa que se llama <b>gavilla estructural asociada </b>al anillo, y veremos como construir esto en general.<br />
<br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<b><span style="font-size: large;">Gavillas, esquemas en general para cualquier espacio topológico (Segunda parte).</span></b><br />
<br />
Despues de todo lo anterior ahora viene la parte formal de la construcción anterior que fue un poco un revoltijo.<br />
<br />
Primero para poder empezar necesitamos comprender lo que es una gavilla (Sheaf en inglés) pero para entender una gavilla, debemos comenzar con lo que es una pre-gavilla la cual con propiedades adicionales nos dará la gavilla, las gavillas son interesantes porque podemos conservar datos de una espacio topológico de manera organizada y tener una estructura más rica en álgebra donde podemos explotar más las propiedades de un objeto para poder estudiarlo.<br />
<br />
<br />
<b>Definición: </b>Sea $latex X$ un espacio topológico, una <i>pregavilla </i>$latex \mathcal{F}$ de anillos en $latex X$ consiste en los siguientes objetos<br />
<br />
1) Para todo abierto $latex U\subseteq X$ le asociamos un anillo $latex \mathcal{F}(U)$<br />
2) Para toda inclusión $latex V\subseteq U$ de subconjuntos abiertos de $latex X$, tenemos el morfismos restricció $latex \rho_{UV}:\mathcal{F}(U)\rightarrow \mathcal{F}(V)$<br />
<br />
Este morfismo cumple:<br />
<br />
i) $latex \mathcal{F}(\emptyset) = 0$<br />
ii) $latex \rho_{UU}$ es el mapeo identidad de $latex \mathcal{F}(U)\rightarrow \mathcal{F}(U)$<br />
iii) Si $latex W\subseteq V\subseteq U$ son tres abiertos de $latex X$ entonces $latex \rho_{UW}=\rho_{VW}\circ \rho_{UV}$ , es decir el diagrama triangular de los mapeos conmuta.<br />
<br />
Estas pregavillas se pueden definir no sólo anillos sino a grupos abelianos, u objetos en cualquier categoría abeliana.<br />
<br />
Vamos a decir que si $latex \mathcal{F}$ es una pregavilla en $latex X$ entonces $latex \mathcal{F}(U)$ serán las secciones de la pregavilla $latex \mathcal{F}$ en el abierto $latex U$, a veces estas secciones son denotadas como $latex \Gamma(U,\mathcal{F})$ que son los anillos $latex \mathcal{F}(U)$ , también es común en la literatura que se escriba $latex s\mid_v:=\rho_{UV}(s)$ si $latex s\in \mathcal{F}(U)$ que es la restricción usual de morfismos en la categoría en cuestión, en este caso la de anillos.<br />
<br />
<br />
Ahora vamos a definir una <i>gavilla </i>(sheaf) la cual , es una pregavilla, pero le pediremos más cosas relacionadas con datos locales de las secciones para poder identificarlas<br />
<br />
<br />
<b>Definición: </b>Una pregavilla $latex \mathcal{F}$ sobre un espacio topológico $latex X$ es una <i>gavilla</i> si satisface las siguiente condicion sobre sus secciones:<br />
<br />
iv) Sea $latex U$ un abierto de $latex X$ y $latex \lbrace V_i \rbrace$ una cubeirta abiera de $latex U$, si $latex s\in\mathcal{F}(U)$ es un elemento tal que $latex s\mid_V=0$ $latex \forall i$ $latex \Rightarrow s=0$ , y si $latex s_i \in \mathcal{F}(V_i)$ $latex \forall i$ con la propiedad de que $latex \forall i,j$ $latex s_i|_{V_i\cap V_j}=s_j\mid_{V_i\cap V_j}$ entonces existe otro elemento $latex s\in \mathcal{F}(U)$ tal que $latex s\mid_{V_i}=s_i$ $latex \forall i$<br />
<br />
<br />
Bueno, mucha abstracción, veamos un ejemplo de algo que hayamos usado en este blog, el cual ma ayuda mucho a aterrizar conceptos a la hora de no estar familiarizado con algo.<br />
<br />
<br />
<br />
<b>Ejemplo (repitiendo la primera parte): </b>Sea $latex X$ una variedad sobre un campo $latex k$, recordemos que para cada abierto de la variedad usando la topología de Zariski, se cumple que estos no son puntos de algún polinomio restringido a $latex X$ y definimos $latex O(U)$ como el anillo de funciones regulares en $latex U$ , es decir son los cocientes de polinomios cuyo denominador está bien definido en el abierto $latex U$ y está identificado con todas las funciones regulares que van de $latex U\rightarrow k$ y definimos que para todo $latex V\subseteq U$ $latex \rho_{UV}:O(U)\rightarrow O(V)$ la restricción usual de morfismos , entonces decimos que $latex O$ es una gavilla de anillos en $latex X$ , con esto es claro que es una pregavilla, para verificar la condición <i>iv</i> sólo hay que notar que la función 0 también es localmente 0, y una función que es regular localmente en cada anillo, también es regular globalmente, y llamamos a $latex O$ la <i>gavilla de funciones regulares en </i>$latex X$<br />
Para un mejor tratado de este ejemplo con lujo de detalle, ver otro post anterior <a href="http://b3ck.blogspot.mx/2013/12/criptografia-campos-de-funciones-y.html">aqu</a>i.<br />
<br />
Ahora necesitamos comenzar a definir objetos locales en la gavilla.<br />
<br />
<b>Definición: </b>Si $latex \mathcal{F}$ es una pregavilla en $latex X$ y $latex P$ es un punto de $latex X$ , decimos que el <i>tallo </i>(stalk en inglés) $latex \mathcal{F}_P$ de $latex \mathcal{F}$ en $latex P$ es el límite inverso de los anillos $latex \mathcal{F}(U)$ para todo abierto $latex U$ que contiene $latex P$ via los mapeos de restricción $latex \rho$, es decir:<br />
<br />
$latex \mathcal{F}_P= \varinjlim_{P\in U} \mathcal{F}(U)$<br />
<br />
Esta definición intuitivamente, lo que nos dice, es que vamos a encontrar el anillo de cierto modo más chico de todos los abiertos $latex U\subseteq X$ que contienen a $latex P$, <b>esto les tiene que sonar a localización.</b><br />
<br />
<br />
<b>Definición: </b>Una pregavilla $latex \mathcal{F}$ en un espacio topológico $latex X$ es una <b>gavilla</b> si para todo $latex U\subset X$ y toda cubierta $latex U=\bigcup_{\lambda\in \Lambda} U_\lambda$ de abiertos $latex U_\lambda\subset X$ sucede que:<br />
<br />
<br />
1. Si $latex f,g\in \mathcal{F}(U)$ satisfacen $latex f\mid_{U_\lambda}=g\mid_{U_\lambda}$ para todo $latex \lambda\in\Lambda$ entonces $latex f=g$<br />
2. Si $latex f_\lambda\in \mathcal{F}(U_\lambda)$ con $latex \lambda\in \Lambda$ satisface que $latex f_\lambda\mid_{U_\lambda\cap U_\sigma}=f_{\sigma}\mid_{U_\lambda\cap U_\sigma}$ para todo $latex \lambda,\sigma\in \Lambda$, entonces existe un $latex f\in \mathcal{U}$ tal que $latex f\mid_{U_\lambda}=f_\lambda$ para toda $latex \lambda\in\Lambda$ , la cual será única, por (1) , esta condición se llama de "pegado" (gluing condition), es decir, una función que coincide en los overlaps de los abiertos en toda la cubierta, puedes encontrar otra que pasa por allí y es única.<br />
<br />
<b>Definición: </b> Un morfismo $latex \Phi$ entre dos gavillas $latex \mathcal{F},\mathcal{G}$ definidas sobre el espacio topológico $latex X$ , $latex \Phi:\mathcal{F}\rightarrow \mathcal{G}$ es un morfismo functorial en el sentido de morfismos entre la categoría de abiertos de $latex X$ a la categoría de anillos (de coordenadas si quieren aterrizar muy rapido, pero todo esto es en general) es decir, $latex \Phi$ consiste en una colección de morfismos<br />
<br />
$latex \phi_U:\mathcal{F}(U)\rightarrow \mathcal{G}(U)$ con $latex U\subset X$ abierto. que son compatibles con los morfismos de restricción , es decir si $latex U\subset V\subset X$<br />
<br />
$latex \mathcal{F}(V)\xrightarrow{\phi_V} \mathcal{G}(V)$ y $latex \mathcal{F}(U)\xrightarrow{\phi_U} \mathcal{G}(U)$ entonces, esto visto como un diagrama conmuta con los mapeos de restriccion , en este caso $latex \mathcal{F}(V)\xrightarrow{\rho_{U}^V} \mathcal{U}$ y $latex \mathcal{G}(V)\xrightarrow{\rho_U^{V}} \mathcal{G}(U)$<br />
Añadir leyenda<br />
<br />
Para terminar, ya con los esquemas, terminamos con la estructura global que guarda toda la información del espacio $latex X$, que es la de espacio localmente anillado y concluimos con la definición de esquema afín.<br />
<br />
<br />
<b>Definición: </b>Un espacio localmente anillado es un par $latex (X,O_X)$ donde $latex X$ es el espacio topológico y $latex O_X$ es una gavilla de anillos en $latex X$, la cual le llamamos <b>gavilla estructural de </b>$latex X$, tal que los tallos $latex O_{X,x}$ para cada $latex x\in X$ son anillos locales (con un sólo ideal máximo, como los del ejemplo en la primera sección).<br />
<br />
Un morfismos de espacios localmente anillados $latex (X,O_X)\rightarrow (Y,O_Y)$ es un par $latex (f,f^{\dagger})$ donde $latex f:X\rightarrow Y$ es un mapeo continuo entre los espacios topológicos, y $latex f^{\dagger}:O_Y\rightarrow f_{*}(O_X)$ es un morfismos de gavillas como lo definimos anteriormente en $latex Y$ , donde $latex f_{*}(O_X)$ es la gavilla en $latex Y$ que está dada por $latex V\mapsto O_X(f^{-1}(V))$ y con sus respectivos morfismos de restricción , por lo que $latex f^{\dagger}$ es el sistema de homomorfismos de anillos dado por:<br />
<br />
$latex f^{\dagger}(V):O_Y(V)\rightarrow O_X(f^{-1}(V))$ tal que $latex V\subset Y$ es abierto.<br />
<br />
Falta una condición para que un espacio sea localmente anillado.<br />
<br class="Apple-interchange-newline" />
Un mapeo $latex \psi:A\rightarrow B$ <b>es un mapeo local</b> si $latex A,B$ son anillos locales y si $latex m_A\subset A$ y $latex m_B\subset B$ son sus respectivos ideales máximos $latex \psi(m_A)\subset m_B$<br />
<br />
Entonces para que $latex (X,O_X)$ sea localmente anillado, también tiene qAñadir leyendaue cumplir la condición de que el mapeo $latex f^{\dagger}$ sea local entre todos los tallos, es decir que $latex f^{\dagger}_x:O_{Y,f(x)}\rightarrow O_{X,x}$ para todo $latex x\in X$ sea local.<br />
<span style="color: red;"><br /></span>
<span style="color: red;"><b>Definición final: </b></span><b> </b>Un<b> esquema afín </b>es un espacio localmente anillado $latex (X,O_X)$ tal que existe un isomorfismos de espacios localmente anillados entre $latex (X,O_X) \xrightarrow{\sim} (Spec A, O_{Spec A})$ , para algún anillo $latex A$, los morfismos entre esquemas afines son como los definimos anteriormente, morfismos de espacios localmente anillados.<br />
<br />
<br />
Como vimos anteriormente, esto es muy abstracto, pero si quieres darle forma, comienza usando un álgebra afin conocida, como anillo, como un anillo de coordenadas, y de ahí comienza a darle la estructura de esquema , con todas las definiciones que vimos en la primera parte.<br />
<br />
Todo esto fue muy rápido, lo siento, por la falta de rigor, pero no tengo tanto tiempo y realmente sí quería hacer esto, esto se lo debemos a Alexander Grothendieck<br />
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ef/Alexander_Grothendieck.jpg/220px-Alexander_Grothendieck.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ef/Alexander_Grothendieck.jpg/220px-Alexander_Grothendieck.jpg" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">1928-2014</td></tr>
</tbody></table>
<br />
<br />
Eduardo Ruíz Duarte (beck)<br />
Email: toorandom at g mail dot c om<br />
twitter: toorandom<br />
PGP: <a href="http://pgp.mit.edu:11371/pks/lookup?search=0xFEE7F2A0&op=index" style="font-family: Helvetica; font-size: small;"> <span style="color: red; font-size: small;"><b>FEE7 F2A0</b></span></a><br />
<br />
<br />
<br />beckhttp://www.blogger.com/profile/15394216344733862200noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-24378736.post-75009865494485706562015-07-22T10:02:00.000-05:002015-12-21T21:24:26.172-06:00Conjetura de Kaplansky, anillos de grupos a través de ejemplosHay un problema que lleva 25 años sin resolverse y fue descubierto por Irving Kaplansky, es de esos problemas que se ven bien fáciles de atacar pero pues resulta que no es tan fácil, yo me topé en mi trabajo de investigación con un anillo de grupo que quería ver si tenía múltiplos de 0, y al leer literatura me topé con esto que es muy interesante y que yo tendré que demostrar en mi caso particular.<br />
<br />
La conjetura dice lo siguiente:<br />
<i><br /></i>
<b><span style="color: red;"><i>Conjetura: (Kaplansky)</i></span></b><br />
<i>
Sea $latex \mathbb K$ un campo y $latex G$ un grupo libre de torsión, entonces el anillo de grupo $latex \mathbb{K}[G]$ no tiene divisores de $latex 0$ es decir es un dominio</i><br />
<br />
Para entender este enunciado vamos a definir todo y construir $latex \mathbb{K}[G]$<br />
<br />
Vamos a recordar todos los conceptos necesarios de esta conjetura a través de ejemplos no tan triviales de cada uno de los conceptos para poder adquirir intuición en la conjetura.<br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<b><span style="font-size: large;">Grupos, anillos, campos, torsión a través de ejemplos</span></b><br />
<br />
<b>Grupos (no abelianos son los interesantes)</b><br />
<b><br /></b>
Un <b>grupo </b>$latex (G, \cdot)$ es un conjunto con una operacion binaria que cumple<br />
a) Existe un $latex e\in G$ tal que $latex \forall g\in G$ tenemos que $latex g\cdot e=e\cdot g = g$ (hay neutro)<br />
b) Si $latex g\in G$ entonces $latex \exists h$ tal que $latex h\cdot g =g\cdot h=e$ (todos son invertibles)<br />
c) Si $latex g_1,g_2\in G$ entonces $latex g_1\cdot g_2 \in G$ (es cerrado)<br />
d) Si $latex g_1,g_2,g_3\in G$ entonces $latex (g_1\cdot g_2)\cdot g_3=g_1\cdot (g_2\cdot g_3)$ (es asociativo)<br />
<b>e)*</b> si sucede que $latex \forall g_1,g_2 \in G$ tenemos que $latex g_1\cdot g_2=g_2\cdot g_1$ (es conmutativo) decimos que $latex G$ es un<b> grupo abeliano</b><br />
<br />
<b><br /></b>
<b>Ejemplos:</b><br />
<br />
<i>No-Ejemplo:</i><br />
<br />
Las matrices con la multiplicación no forman un grupo ya que hay algunas que tienen determinante 0 y no son invertibles, por lo que no se cumple la propiedad <b>b</b><br />
<br />
$latex (Mat_{n}\mathbb R,\cdot)$<br />
<br />
<b>Ejemplo $latex SL_2(\mathbb C$</b><br />
<br />
Las matrices sobre un campo, por ejemplo $latex \mathbb C$ de nxn cuyo determinante es 1 se les denota como $latex SL_n\mathbb C$ , es claro que es un grupo con la multiplicación de matrices ya que todos son invertibles, este se llama grupo especial lineal, y es "especial" porque es de hecho un subgrupo normal de otro mas grande que se llama $latex GL_n\mathbb C$ que es el grupo general lineal que consta de todas las matrices invertibles, es fácil mostrar que un subgrupo normal para los que saben un poco más de teoría de grupos , sabemos que el kernel de un morfismo de grupos es siempre un subgrupo normal y en este caso el operador de determinante induce un homomorfismo de grupos, en este caso $latex det:GL_n\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}^{\times}$ donde $latex \mathbb{C}^\times$ es el grupo multiplicativo de los complejos sin el 0, entonces, $latex Ker(det)=\lbrace A\in GL_n\mathbb C\mid det(A)=1\rbrace=SL_n\mathbb C$, de hecho si te gusta la geometría diferencial hay más en este grupo que ya me extendí mucho en el ejemplo pero tenemos que existe un álgebra de Lie (haces nacer un espacio vectorial donde se pueden multiplicar vectores junto con una operación especial llamada <i>corchete de Lie</i> ) de $latex SL_n\mathbb C$ que es $latex \mathfrak{sl}_n\mathbb C =\lbrace A\in SL_n\mathbb C \mid Tr(A)=0\rbrace$ donde el corchete de Lie es la multiplicación de estos elementos dado por $latex [g,h]=g^{-1}h^{-1}gh$<br />
<br />
La teoría en este grupo es hermosa y es favorita de muchos<i> ultra-ingenieros</i> (teoría de control) y de muchos físicos ya que tiene un entendimiento muy profundo, el hecho de que todos tengan determinante 1, y el determinante representar un polinomio con entradas en la matriz te dice que de hecho los elementos pertenecen a una variedad que se sumerge en un espacio y tiene cierta topología y se le da una interpretación a este grupo como el que preserva volúmenes y orientación con transformaciones de $latex \mathbb{C}^n$ (puedes usar $latex \mathbb R$) donde el determinante mide el cambio en volumen y orientación.<br />
<br />
<b><br /></b>
<b>Otro grupos con funciones $latex S_n$</b><br />
<br />
Otros ejemplos de grupos más aburridos pueden ser los números reales con la suma usual, o los reales sin el 0 con la multiplicación , estos son abelianos, otros más divertidos no conmutativos son las permutaciones $latex S_n$ que consta de todas las funciones que permutan $latex n$ elementos y su operación es la composición de estas funciones, por ejemplo si hacemos actuar a este grupo en el conjunto $latex X=[ 1,2,3 ]$ tenemos que hay un $latex \sigma_1\in S_3$ tal que intercambia los dos primeros, hay otro $latex \sigma_2$ que intercambia el primero por el tercero, y hay uno que no hace nada, por ejemplo $latex \sigma_1(X)=[2,1,3]$ y $latex \sigma_2(X)=[3,2,1]$ y $latex \sigma_1\circ \sigma_2(X)=[2,3,1]$ y $latex \sigma_2\circ \sigma_1(X)=[3,1,2]$ , este es un grupo (no abeliano) de $latex n!$ elementos , en este ejemplo tiene 6 elementos, toma en cuenta que consta de funciones y hay varios subgrupos de estos, que miden simetria, por ejemplo el grupo de las rotaciones de un cuadrado, donde no se vale por ejemplo intercambiar solo 2 vertices ya que "romperias el cuadrado" , o simplemente las rotaciones de un icosaedro, o un simplejo en dimensión 4, et cétera, hay otro tipo de grupos que alguna vez expuse aquí que se llama grupo de trenzas que tiene que ver con teoría de nudos, lo puedes explorar <a href="http://b3ck.blogspot.nl/2014/07/grupos-de-trenzas.html?m=0">aquí</a> en mi blog.<br />
<br />
<b>Campos</b><br />
<br />
Un <b>campo</b> es sólo una estructura que consta de un conjunto y que contiene dos operaciones cerradas en el conjunto relacionadas con la ley distributiva donde el conjunto con cada operación por sí misma forma un grupo abeliano (por ejemplo $latex (\mathbb R ,+ , \times)$ o $latex (\mathbb {F}_q,+,\times)$ pero no $latex (\mathbb{Z},+,\times)$ ya que los enteros con la multiplicación sólo tienen al 1 y -1 con inverso, los demás no por lo que no forma grupo abeliano con $latex \times$), hay campos más interesantes, por ejemplo todos los cocientes de polinomios en una variable $latex x$ sobre un campo $latex \mathbb K$ se le denota como $latex \mathbb K (x)$ donde un elemento de ahí puede ser $latex \frac{x^2-x}{x^3-x^2+1}$ estos campos de funciones polinomiales son interesantes cuando los haces en más variables y los elementos cumplen estar definidos sobre una superficie o una curva, y limitas que los denominadores de las funciones polinomiales no se anulen en algún punto de la curva (podrás encontrar un campo diferente para cada punto, eso le da una estructura muy rica a una curva algebraicamente), todo esto sigue conservando la estructura de campo y se puede estudiar la superficie/curva desde ciertas propiedades de este campo sin acudir ya a la geometría.<br />
<br />
<br />
<b>Anillos y dominios enteros</b><br />
<br />
Un <b>Anillo</b> es como un campo pero a la operación multiplicativa no le pides que tenga inversos, por ejemplo las matrices cuadradas sin pedir condiciones al determinante forman un anillo de hecho forman un grupo con la adición, los polinomios también son un anillo conmutativo, et cétera.<br />
<br />
<br />
Un anillo $latex R$ se dice que es un <b>dominio entero</b> si $latex \forall a,b\in R\setminus \lbrace 0 \rbrace$ se tiene que $latex a\cdot b \neq 0$<br />
<br />
Por ejemplo $latex Mat_2\mathbb Z$ no es un dominio entero ya que $latex \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.<br />
<br />
También tenemos que los polinomios con coeficientes en un campo si son un dominio entero, ya que no hay dos polinomios no nulos que al multiplicarse te den 0<br />
<br />
Otro no-ejemplo son los enteros módulo un número NO-primo, por ejemplo $latex (\mathbb Z/(10),+,\cdot)$ donde la suma y multiplicación es la usual módulo 10 (esto es de manera intuitiva que $latex a\cdot b = c$ donde $latex c$ es el residuo de la división $latex \frac{a\cdot b}{10}$, esta estructura es un anillo pero no es un dominio ya que por ejemplo $latex 5\cdot 2 \equiv 0 \bmod 10$ pero si lo hicieramos con un número primo $latex (\mathbb Z/(p),+,\cdot)$ por la naturaleza de $latex p$ no vas a encontrar dos números que multiplicados te den $latex p$ entonces no existirán "residuos 0" al multiplicar dos números y dividir entre $latex p$ , pero bueno de hecho esto ya es más que un anillo, es un campo finito, todos son invertibles, lo puedes demostrar si tienes ganas.<br />
<br />
Un grupo $latex G$ se dice que es <b>libre de torsión</b> si al iterar $latex n$ veces su operación con cualquier elemento $latex g\in G\setminus \lbrace e\rbrace$ no te da nunca el neutro de la operación $latex e\in G$ para todo $latex n\in \mathbb N$ , es decir, un grupo $latex G$ es libre de torsión si el elemento neutro es el único elemento de orden finito<br />
<br />
<b>Torsión en grupos</b><br />
<br />
Por ejemplo TODOS los grupos finitos <b>NO </b>son libres de torsión, ya que iterar en un $latex g\in G$ te da elementos de un subgrupo generado por $latex g$ denotado por $latex (g)$ y su cardinalidad divide la cardinalidad de $latex G$ entonces $latex e\in (g)$ incluye a $latex e\in G$ por lo que todos los elementos tienen torsión.<br />
<br />
Con esto ya excluimos TODA una familia de grupos de la conjetura de Kaplansky, ya que pedimos que sea infinito y sin torsión, por lo que todos los campos de característica p (que también son grupos) también quedan excluidos, y aquí es donde vamos viendo que todo se dificulta ya que los grupos a tratar deben ser más complicados, un grupo aburrido libre de torsión pues son los enteros $latex (\mathbb{Z},+)$ donde sumar nunca da 0 , las matrices tienen torsión ya que hay matrices que al elevarlas a la $latex n$ se anulan por ejemplo las matrices de 2x2 con coeficientes en el campo finito $latex \mathbb Z/(2)$ con la multiplicación tenemos que $latex \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ es la matriz identidad , por lo que ese elemento tiene orden 2<br />
<br />
<br />
<b><span style="font-size: large;">Conjetura de Kaplansky</span></b><br />
<b><br /></b>
La conjetura propone construir un anillo dado un campo y un grupo y estudiar si es o no un dominio entero<br />
<br />
<b>Construcción de un anillo asociado a un grupo $latex G$ y un campo $latex \mathbb K$ </b><br />
<br />
<br />
Lo que haremos es construir un anillo desde un grupo denotado como $latex \mathbb{K}[G]$, es decir, tendremos que construir una suma y una multiplicación que cumpla todos los axiomas.<br />
<br />
<b>Grupos generados desde cualquier conjunto (Grupo libre abeliano)</b><br />
<br />
Ya estamos casi listos con las definiciones <i>aposteriori</i> con los ejemplos, vamos a construir un grupo dado un conjunto cualquiera, imaginen que tenemos el conjunto $latex A=\lbrace \alpha,\beta,\gamma\rbrace$, si nos preguntaran cómo podríamos construir un $latex \mathbb K$ espacio vectorial $latex V$ con el conjunto $latex A$ lo más adecuado es tomar las todas las combinaciones de sumas formales $latex k_1\alpha + k_2 \beta + k_3 \gamma$ $latex \forall k_i\in \mathbb K$, podemos generalizar esto apra cualquier conjunto de distinta cardinalidad, incluso infinita bajo ciertas condiciones (como por ejemplo que sólo un número finito de $latex k_i$ sean distintas de cero) y vamos a hacer más compacta la notación y a los elementos del campo vamos a ponerles un índice que nos indicará a qué elemento del conjunto está multiplicando, entonces:<br />
<div>
<br /></div>
<br />
$latex \sum k_\alpha \alpha \in V$ donde $latex \alpha \in A$ y $latex k_\alpha \in \mathbb K$<br />
<br />
La adición está definida de manera natural como<br />
<br />
$latex (\sum k_\alpha\cdot\alpha)+(\sum c_\alpha \cdot \alpha)=\sum (k_\alpha+c_\alpha)\cdot \alpha$<br />
<br />
También tenemos la multiplicación por un escalar, por ejemplo si tomamos un $latex a\in \mathbb K$<br />
<br />
$latex a(\sum k_\alpha \alpha)= \sum (a k_\alpha)\cdot \alpha$<br />
<br />
Es decir, es la usual la suma coordenada a coordenada en el espacio vectorial $latex V$, y la multiplicación por escalar, pero nosotros <i>somos más ambiciosos</i> y queremos darle una estructura de álgebra para poder multiplicar los vectores,<br />
<br />
Tenemos que observar que $latex A\subset V$ ya que si nos tomamos un $latex \gamma \in A$ tenemos que:<br />
<br />
$latex V\ni \gamma^{*} = \sum k_\alpha \alpha$ donde $latex k_\gamma = 1$ y $latex k_\alpha = 0$ $latex \forall \alpha \neq \gamma$ por lo que $latex A$ es base de $latex V$ .<br />
<br />
La multiplicación primera que se viene a la mente es una que es muy mediocre (al menos a mi se me ocurrió así) que es como la suma.. coordenada a coordenada pero eso no le da nada de estructura, pero bueno, ¿por qué no se puede ocurrir otra? , pues porque el conjunto $latex A$ no tiene nada de estructura..., no hay por donde podamos jugar.<br />
<br />
Pero qué sucedería si le metemos estructura a $latex A$ y le pedimos que sea un grupo.<br />
<br />
<br />
<b>Anillo de grupo asociado a un campo $latex \mathbb K$ y un grupo $latex G$ </b><br />
<b><br /></b>
Este lo denotaremos por $latex \mathbb{K}[G]$ y la suma está definida de la misma manera que con $latex A$ , pero lo que nos importa ahora es la es la multiplicación y explotando la operación en $latex G$ podemos definir lo siguiente:<br />
<br />
Sean $latex \alpha.\beta \in G$ y $latex k_\alpha,k_\beta \in \mathbb K$ entonces definimos la multiplicación $latex \odot$ en $latex \mathbb{K}[G]$ como:<br />
<br />
<br />
$latex (\sum_{\alpha \in G} k_\alpha\cdot\alpha)\odot (\sum_{\beta \in G} k_\beta \cdot \beta)=\sum_{\alpha,\beta \in G} (k_\alpha k_\beta)\cdot \alpha\beta =\sum_{\gamma\in G} k_\gamma \cdot \gamma$<br />
<br />
Aquí tenemos que $latex \gamma = \alpha\beta\in G$ por lo que $latex \alpha=\gamma\beta^{-1}$<br />
<br />
entonces para poder definir la multiplicación de manera directa.<br />
<br />
<br />
tenemos que:<br />
<br />
$latex k_\gamma$ es la suma de todos los productos $latex k_\alpha k_\beta$ tal que $latex \gamma=\alpha \beta$.<br />
<br />
por lo que el coeficiente que le toca a $latex \gamma$ que es $latex k_\gamma$ está dado por:<br />
<br />
$latex k_\gamma=\sum_{\alpha\beta=\gamma} k_\alpha k_\beta=\sum_{\alpha \in G} k_\alpha k_{\alpha^{-1}\gamma}$<br />
<br />
La pregunta es, si suponemos que $latex \alpha,\beta \mathbb{K}[G]^{*}$ podría suceder que $latex \alpha\odot\beta=0$ , para cualquier campo $latex \mathbb{K}$ cuando $latex G$ es un grupo libre de torsión... no se sabe... hay algunos avances para ciertos $latex G$ y cuando $latex \mathbb{K}=\mathbb{C}$ , yo en particular estoy tratando de demostrar esto para un caso muy en particular.<br />
<br />
Espero les haya gustado.<br />
<br />
Eduardo Ruiz Duarte<br />
twitter: @toorandom<br />
<br />beckhttp://www.blogger.com/profile/15394216344733862200noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-24378736.post-16852620531204133952015-07-21T20:27:00.001-05:002016-08-22T15:24:39.689-05:00Función zeta de Riemann y probabilidad de que dos enteros sean primos relativos<a href="https://www.blogger.com/blogger.g?blogID=24378736" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"></a><a href="https://www.blogger.com/blogger.g?blogID=24378736" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"></a><a href="https://www.blogger.com/blogger.g?blogID=24378736" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"></a><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
Este post está motivado en que ya estoy de vacaciones y quería hacer algo divertido y también para alguien muy especial que tiene la propiedad de ser <i>aniparkiomorfiginaica</i> que le gusta mucho la probabilidad y estadística, ella sabrá quién es.<br />
<br />
Otra motivación es que como siempre tengo problemas para dormir posiblemente por las grandes cantidades de café que introduzco a mi cuerpo, pero empecemos.<br />
<br />
Deduciremos una probabilidad que involucra a $latex \pi$ e involucra a números primos que está íntimamente relacionado con el problema del milenio sin solución gracias a Riemann (Conjetura de Riemann sobre la función $latex \zeta$ que puedes ver <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function">aquí</a>)<br />
<br />
La pregunta es realmente, ¿cuál es la probabilidad de que dos enteros positivos menores que cierto $latex N$ sean<b> primos relativos (no tengan factores en común más que 1)</b>?<br />
<div>
<br />
<br />
Por ejemplo, $latex (6,33)$ <b>no</b> son primos relativos porque $latex 6=3\cdot 2$ y $latex 33=11\cdot 3$ (comparten al $latex 3$)<br />
<br />
pero por ejemplo $latex (14,15)$ son primos relativos porque no comparten factores no triviales y $latex (c,p)$ donde $latex c$ es cualquier entero y $latex p$ es un número primo.<br />
<br /></div>
<div>
Esta demostración me gusta mucho, aquí la tienen, vamos a calcular esta probabilidad de obtener dos números primos relativos al azar</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<br /></div>
<div>
<b>Construcción:</b></div>
<div>
<b><br /></b></div>
<div>
Sean $latex x,y\in \mathbb{N}$ con $latex x,y>1$, como queremos que $latex x,y$ sean coprimos no deben tener ningún factor en común.</div>
<div>
<br /></div>
<div>
Empecemos facilito.</div>
<div>
<br /></div>
<div>
¿Cuál es la probabilidad de dos enteros positivos tengan al 2 como factor?<br />
<br />
Bueno, la probabilidad de que un sólo número tenga al $latex 2$ como factor es $latex 1/2$ ya que basta que sea par, y esto sucede el 50% de las veces, esto implica que la probabilidad de que los dos tengan al $latex 2$ como factor es $latex (1/2)^2$
<br />
<div>
<br /></div>
<div>
Entonces la probabilidad de que $latex \alpha,\beta$ <b>NO</b> tengan al 2 como factor es $latex 1-\Big({\frac{1}{2}}\Big)^2}$
<br />
<div>
<b><br /></b>
<b><br /></b>
Ahora para el 3, la probabilidad de manera similar de que no contengan en común al 3 es de $latex 1-\Big({\frac{1}{3}}\Big)^2}$
<br />
<div>
<br />
Ya que igualmente, "cada 3 números tienes un múltiplo de 3" , y así en general para todo primo $latex p$ tenemos.</div>
<div>
<br /></div>
<div>
Para cada $latex p$ tenemos que cada $latex p$ números pasarás por un múltiplo de $latex p$ a eso nos referimos con la probabilidad de que nos toque a $latex p$ como factor es $latex \frac{1}{p}$
<br />
Por lo tanto la probabilidad $latex P_{\alpha,\beta}$ de que dos enteros al azar $latex \alpha,\beta \in \mathbb{N}$ menores que cierto $latex N$ sean primos relativos es:<br />
<br />
$latex P_{\alpha,\beta}=\displaystyle \prod_{p\in \mathbb{P}}{1-\frac{1}{p^2}}} =(1-\frac{1}{2^2})\cdot (1-\frac{1}{3^2})\cdot (1-\frac{1}{5^2})\cdot ...\cdot(1-\frac{1}{{p_n}^2})\cdot ...$ <span style="color: red;"> </span><span style="color: blue;">***</span><br />
<br />
Donde $latex p_n\in\mathbb{P}$, la probabilidad se obtiene cuando multiplicas para todo número primo es decir cuando $latex n\rightarrow \infty$.<br />
<br />
Donde $latex \mathbb{P}$ son todos los números primos, los multiplicamos todos ya que son <b>sucesos probabilisticamente independientes.</b><br />
<b><br /></b>
Es decir, recuerda que la probabilidad de que sucedan dos eventos independientes $latex A$ y $latex B$ al mismo tiempo es en símbolos $latex P(A \wedge B)=P(A)\cdot P(B)$, con independientes me refiero a que el evento $latex A$ no tenga cierta relación con el evento $latex B$, y ¿por qué tener factores primos para cada primo son eventos independientes ? , fácil... porque los números SON primos, ya que si no lo fueran, digamos la probabilidad de tener a $latex 6$ como factor es dependiente de tener a $latex 2$ y $latex 3$ como factor, pero como aquí son números primos, todos son disjuntos con respecto a la medida de probabilidad que mide tener factores primos y por definición los primos son únicos en este sentido.<br />
<br />
Pero esto ¿qué? , esta fórmula es medio rara... y no nos dice nada...<br />
<br />
<br />
<span style="font-family: inherit;">Vamos a desarrollar eso para llegar a un resultado sorprendente, primero hay que recordar esta serie de cálculo que tiene que ver con sumas en progresiones geométricas , toma $latex a\in \mathbb{R}$ con $latex \mid a \mid$ <span style="background-color: white;"> < </span> $latex 1$ </span><br />
<br />
$latex \sum_{n=0}^{\infty} a^n = 1+a+a^2+... = \frac{1}{1-a}$ <span style="color: red;">**</span><br />
<br />
Por ejemplo si $latex a=1/7$<br />
<br />
$latex \sum_{n=0}^{\infty}\Big (\frac{1}{7}\Big)^n=1+\frac{1}{7}+\frac{1}{7^2}+...=\frac{1}{1-\frac{1}{7}}=\frac{7}{6}\approx 1.1666$<br />
<br />
De la fórmula <span style="color: red;">** </span> mete $latex a=(1/2)^2$, y después voltea la fracción, es decir pon el denominador arriba y el numerador abajo, (esto podemos hacer porque ningún denominador es 0)<br />
<br />
Entonces tenemos que el primer término de <span style="color: blue;">*** </span>a lo podemos expandir con la fórmula <span style="color: red;">** (volteada) </span>como:<br />
<br />
$latex 1-\frac{1}{2^2}} = \frac{1}{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+...\frac{1}{2^{2k}}+...}$<br />
<br />
Similarmente podemos desarrollar todos los términos de $latex P_{\alpha,\beta}$<br />
<br />
$latex P_{\alpha,\beta}=(\frac{1}{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+...\frac{1}{2^{2k}}+...})\cdot(\frac{1}{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^4}+...\frac{1}{3^{2k}}+...})\cdot ...$<br />
<br />
Observa cuidadosamente la ecuación anterior y fíjate que en los denominadores de los denominadores, están todos los posibles cuadrados perfectos de todos los números naturales, en todas sus combinaciones y sabores cuando $latex k\rightarrow \infty$ tenemos TODOS los cuadrados perfectos, por lo que esa suma horrible es lo mismo que la siguiente representacion<br />
<br />
<br />
$latex P_{\alpha,\beta}=\frac{1}{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^2}}=\frac{1}{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}+...}$, es bien sabido que esta serie en el denominador $latex \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$<br />
<br />
Es sabido el resultado de esta serie si juegas con la expansión en series de $latex \frac{sen(x)}{x}$ <br />
o como el <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_Basilea">problema de Basilea</a><br />
<br />
<br />
Por lo tanto, sabiendo esto, llegamos a este hermoso resultado en teoría analítica de números.<br />
<a href="https://www.blogger.com/blogger.g?blogID=24378736" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"></a><a href="https://www.blogger.com/blogger.g?blogID=24378736" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"></a><a href="https://www.blogger.com/blogger.g?blogID=24378736" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"></a><i><br /></i>
<b><span style="color: red;"><i>Teorema:</i></span></b><br />
<i>Sean $latex \alpha,\beta \in \mathbb{N}$ donde $latex \alpha,\beta$ <span style="background-color: white;">< $latex N$, entonces la probabilidad de que $latex \alpha$ y $latex \beta$ <b>NO </b>tengan factores en común (sean primos relativos) es: $latex P_{\alpha,\beta}=\frac{6}{\pi^2}\approx 0.6079...$</span></i><br />
<br />
<br />
De hecho, es equivalente esto a la función $latex \zeta$ de Riemann evaluada en $latex 2$ , y la fómula <span style="color: red;"> </span><span style="color: blue;">*** </span>que encontramos es justamente la representación con números primos de la función zeta de Riemann por Euler, pueden verlo <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function#Euler_product_formula">aquí</a> así como como la función zeta de Riemann en 2 $latex \zeta(2)$, esta función es de las más importantes en matemáticas ya que se ha buscado generalizar a muchos espacios, teoría de curvas, et cétera donde ya tiene solución, pero no en los complejos, la cual llevaría a conocer mejor la distribución de los números primos, si la resuelves te darán 1 millón de dólares, esta función es $latex \zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$ y necesitas demostrar que $latex \zeta(s) =0$ siempre que $latex s=\frac{1}{2}+it$ con $latex t\in \mathbb{R}$ , eso traerá consecuencias muy imporantes en teoría de números y distribución de primos, criptografía, et cétera, esto es sólo una probadita<br />
<br />
También con WolframAlpha pueden ver el valor de la función zeta de Riemann en 2 y en el valor que quieran:
<a href="http://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2Fzeta%282%29">aquí</a>
<br />
Espero les haya gustado<br />
<br />
Eduardo Ruíz Duarte<br />
twitter @toorandom</div>
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beckhttp://www.blogger.com/profile/15394216344733862200noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-24378736.post-74269250502710285152015-06-02T14:02:00.001-05:002015-06-02T14:03:36.856-05:00Sobre Campo de funciones de superficie de Kummer de una curva de género 2Estoy estudiando un campo de funciones especial para mi investigación que es un subcampo del campo de funciones de la superficie de Kummer de la jacobiana de una curva hiperelíptica $latex C$ de género 2 sobre un campo finito $latex \mathbb{F}_q$.<br />
<br />
Esto lo escribo meramente para poder saber si yo lo entiendo, pero cualquier duda escríbanme en los comentarios, ya que el tema es muy interesante.<br />
<br />
Para poder construir este subcampo primero necesito conocer bien el campo de funciones de la superficie de Kummer asociada a la Jacobiana que realmente es sólamente considerar los puntos de la jacobiana módulo la involución en sus elementos, es decir estamos pegando los puntos opuestos en la Jacobiana, lo que ya no nos permitirá diferenciar $latex P$ de $latex -P$ con $latex P\in \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)}$.<br />
<br />
La superficie de Kummer es cuártica en el espacio proyectivo de dimensión 3 $latex \mathbb{P}^3$ que tiene exactamente 16 singularidades nodales (es decir que si ese punto en una superficie en $latex \mathbb{P}^3$ es tal que si lo tomas como el origen de un sistema de coordenadas afín, la ecuación de esa superficie tiene la forma $latex 0=\alpha(x,y,z)+$ términos más grandes en grado con $latex \alpha$ una fórma cuadrática homogénea no degenerada.<br />
<br />
Vamos a construir la superficie de Kummer $latex K(C)$ asociada a $latex P\in\mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)}$.<br />
<br />
Sea $latex C$ la curva hiperelíptica de género 2 con modelo no singular sobre $latex \mathbb{F}_q$ de característica diferente de 2 dada por<br />
<br />
$latex y^2=f(x)=x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$ donde $latex a_i \in \mathbb{F}_q$<br />
<br />
donde $latex f$ no tiene raíces múltiples, entonces $latex C$ tiene un sólo punto al $latex \infty$ denotado por $latex P_\infty$ tal que si $latex \iota \in Aut_{\mathbb{F}_q}(C)$ es la involución hiperelíptica dada por el mapeo $latex (x,y)\mapsto (x,-y)$ y $latex \iota(P_\infty)=P_\infty$.<br />
<br />
La clase de divisores canónicos $latex [\omega]\in Pic^0(C)\cong \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)}$. en $latex C$ está dada por líneas verticales cortando la curva por lo que $latex 2P_\infty$ junto con estos 5 puntos $latex 2W_i$ donde $latex W_i$ es uno de los 5 puntos de Weierstrass son divisores canónicos.<br />
<br />
Tenemos ahora que como grupo abeliano $latex \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)}:= Div^0(C)/Pr(C)$, es decir los divisores de orden 0 (grupo abeliano libre de las sumas formales de puntos cuyos elementos cumplen que la suma de sus coeficientes sobre $latex \mathbb{Z}$ da 0) modulo los divisores principales que están formados por los divisores de orden cero nacidos de la intersección de funciones de la curva cuyos puntos tienen coeficiente el órden de intersección de ésta con la función.)<br />
<br />
$latex \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)}$ se obtiene via $latex Sym^2(C)$, es decir es la variedad de pares de puntos no ordenados de $latex C$ (es decir, el producto cartesiano de $latex C$ con sigo misma olvidando el orden), es fácil demostrar que $latex \Phi:Sym^2(C)\rightarrow \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)}$ con $latex \lbrace P,Q\rbrace\mapsto [P+Q-2\infty]$ donde $latex P,Q\in C$ donde la fibra sobre $latex 0\in \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)}$ es $latex \Phi^{-1}(0)=\lbrace \lbrace P,Q \rbrace \in Sym^2(C) \mid P+Q\in [\omega]\rbrace$ y la fibra sobre otro punto es solo otro punto.<br />
<br />
<br />
Ahora vamos a identificar el campo de funciones de $latex Sym^2(C)$ denotado por $latex \mathbb{F}_q(Sym^2(C))$ que es también el campo de funciones de $latex \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)}$ .<br />
<br />
Comenzamos, considera el producto cartesiano de la curva con si misma $latex C\times C$ y entonces metiendo ot<br />
<br />
Esto lo hice más para mi, pero pretendo complementar la construcción de esto mediante divisores de Mumford.<br />
ra nueva variable $latex z$ donde $latex z^2=f(z)$ es la misma curva $latex C$ tenemos que :<br />
<br />
$latex \mathbb{F}_q(C\times C)=\mathbb{F}_q(x,z,\sqrt{f(x)}, \sqrt{f(z)})$<br />
<br />
Por otro lado el campo de funciones de $latex Sym^2(C)$ son las funciones que son invariantes bajo permutacion de variables $latex (x,\sqrt{f(x)}) \leftrightarrow (z,\sqrt{f(z))$ es decir<br />
<br />
$latex \mathbb{F}_q(Sym^2(C))$ es el campo fijo de $latex \mathbb{F}_q(C\times C)$ bajo la acción del automorfismo $latex \tau\in Aut(C)$ dado por intercambiar $latex x$ por $latex z$ es decir $latex \tau(x)=z$ y $latex \tau(z)=x$ por lo que tenemos que<br />
$latex \mathbb{F}_q(Sym^2(C))=\mathbb{F}_q(x+z,xz,z\sqrt{f(x)}, x\sqrt{f(z)})$<br />
<br />
<br />
Puedes demostrar que $latex [\mathbb{F}_q(C\times C):\mathbb{F}_q(Sym^2(C))]=2$<br />
<br />
Ahora, el punto base $latex P_\infty$ implica que la involución de divisores $latex \hat \iota(D)=-D\in \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)} $ está inducida por la involución hiperelíptica $latex \iota$, de tal manera que el automorfismo inducido de $latex \mathbb{F}_q(Sym^2(C))$ está dado por el cambio de signo de los radicales, por lo que el automorfismo cambia el signo de $latex x\sqrt{f(z)}+z\sqrt{f(x)}$ y deja a los otros generadores fijos, por lo que el campo fijo es finalmente es el campo de funciones de la superficie de Kummer que queríamos construir partiendo de la construcción de la jacobiana módulo involución:<br />
$latex \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)}/(\hat\iota)=\mathcal{K}(\mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)})=\mathbb{F}_q(x+z,xz,z\sqrt{f(x)}\cdot x\sqrt{f(z)})$<br />
<br />
Y este es el campo de funciones de la superficie de Kummer asociada a la Jacobiana de una curva hiperelíptica de Género 2.<br />
<br />
Puedes probar Más explícitamente con esto:<br />
<b><br /></b>
<b>Corolario:</b><br />
Sea $latex f(x)=\prod_{i=1}^5{(x-\alpha_i)}$<br />
entonces $latex f(x)f(u)=\prod_{i=1}^5{(x-\alpha_i)(z-\alpha_i)}=\prod_{i=1}^5{(xz-(x+z)\alpha_i+\{\alpha_i}^2)}=\Delta(x,z)$<br />
<br />
Entonces tenemos que la superficie de Kummer de la jacobiana de una curva hiperelíptica de género 2 dada por $latex y^2=f(x)$ tiene como campo de funciones:<br />
<br />
$latex \mathbb{F}_q(x,z,t)$ tal que $latex t^2=\Delta(x,z)$<br />
<br />
Esto lo hice más para mi, pero pretendo complementar la construcción de esto mediante divisores de Mumford.<br />
<br />
Eduardo Ruíz Duarte<br />
twitter @toorandom<br />
<br />beckhttp://www.blogger.com/profile/15394216344733862200noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-24378736.post-91414217207072244422015-05-17T08:33:00.001-05:002015-05-17T08:43:14.139-05:00Fórmula de Barcán y filosofía analítica a través de lógica modalHoy hablaré de una fórmula ubicua en lógica modal y muchas teorías de filosofía, de hecho tiene consecuencias impresionantes en cuando a la visión del mundo y nuestro entorno<br />
<br />
<b>Fórmula de Barcán: </b><br />
<br />
$latex \forall x\square Px\rightarrow \square \forall x P x$<br />
Si todo necesariamente es $latex P$ entonces necesariamente todo es P<br />
<br />
Equivalente tenemos:<br />
$latex \lozenge \exists x P x \rightarrow \exists x \lozenge P x$<br />
<br />
Posiblemente hay un $latex x$ que es $latex P$ entonces existe un $latex x$ que posiblemente es $latex P$<br />
<br />
Esta Fórmula es muy usada en Lógica modal y tiene impacto directo en filosofía ya que como recordarán en lógica modal tienes los operadores cuadrado y rombo<br />
<br />
La lógica modal se usa para estudiar también teoría de decisiones por ejemplo en ingeniería se puede combinar con lógica difusa (o borrosa como le digan)<br />
<br />
<b>Operador modal</b> $latex \square$<br />
Denota cuando una verdad es "necesaria" lo cual significa que en todos los posibles escenarios... mundos... siempre es verdadero... como por ejemplo el hecho de que algún día vamos a morir, o el hecho de que "llueve o no llueve" eso siempre sucederá no importa lo que pase, lo cual en general es como "P o no P" (Pv~P)<br />
<br />
<b>Operador modal </b>$latex \lozenge$<br />
El operador rombo es posibilidad, es cuando una verdad puede ser posible en algún mundo pero no en todos, como el hecho de ser una persona exitosa o que llueva en otoño.<br />
<br />
Tengo un post relacionado con los teoremas de incompletud de Gödel donde explico toda la lógica simbólica y semántica de manera muy resumida <a href="http://b3ck.blogspot.nl/2014/07/teoremas-de-incompletud-de-godel-bases.html?m=0">aquí</a><br />
<br />
<br />
<b>Importancia e impacto</b><br />
La importancia de la fórmula de Barcán es que afirma algo raro, que si hay un objeto o situación que pueda existir en todos los mundos posibles (incluyendo nuestro mundo actual) entonces DEBE existir forzosamente en nuestro mundo actual.<br />
<br />
Entonces, esto tiene como consecuencia... que no existen las posibilidades... que todo es "actual" , y lo que es actual es lo que pudo haber existido bajo todas las circunstancias... y de hecho esta pequeña fórmula hace nacer una rama de la filosofía que le llaman "Actualismo" y por consiguiente su negación que se llama "Posibilismo" o "Realismo modal"<br />
<br />
Este tipo de argumentos, y lógica la usó Gödel para demostrar que existe un dios lo cual lo tengo explicado y demostrado <a href="http://b3ck.blogspot.nl/2014/04/existencia-de-dios-y-logica-de-godel.html?m=0">aquí</a> bajo el principio de plenitud "Si algo tiene posibilidades de suceder, eventualmente sucederá" , es casi suficiente el suponer esto para demostrar la existencia de dios con lógica modal.<br />
<br />
<br />
La discusión de la implicación al otro lado de la fórmula de Barcán la pueden ver en este hermoso paper de <a href="http://comet.lehman.cuny.edu/fitting/bookspapers/pdf/papers/Barcan.pdf">Melvin Fitting</a>.<br />
<br />
Eduardo Ruíz Duarte (beck)<br />
twitter: @toorandom<br />
<br />
Saludos<br />
<br />
<br />beckhttp://www.blogger.com/profile/15394216344733862200noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-24378736.post-82507163677451541432015-04-23T07:16:00.002-05:002015-04-23T10:39:25.250-05:00Teorema de dualidad de Poincaré (2/2)Ya por fin llegamos a la parte final, después de dos tópicos interesantes que fueron los dos posts anteriores que son la construcción de los grupos de <a href="http://b3ck.blogspot.nl/2015/04/teorema-de-dualidad-de-poincare-parte.html?m=0">homología</a> y <a href="http://b3ck.blogspot.nl/2015/04/teorema-de-dualidad-de-poincare-parte_22.html?m=0">cohomología</a> los cuales son necesarios y recomiendo les eches un ojo antes en ese orden si no lo has hecho antes de comenzar aquí, ahora voy a tratar de hacer ver el teorema de dualidad de Poincaré.<br />
<br />
Esto no será una demostración, sólo será una idea intuitiva, pero la demostración la pueden encontrar en cualquier texto de topología algebraica como Hatcher que creo que es el libro te texto por excelencia para topología algebraica.<br />
<br />
Formularemos el teorema considerando un cubo y un octaedro metidos uno en el otro<br />
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgwVXPTxrKEzg9pInGAgYtkbTbAQCs9rSC_yyFt3C5kYkb2Lo7nSFRatR5qXXD9RnqcR7w7An-InEG1na4UCP2yNNLmRdNKTtm3Cit5NI4gLzlCHnNzSWQp-DWWUvmFYTkrRqEa/s1600/poincare-duality.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgwVXPTxrKEzg9pInGAgYtkbTbAQCs9rSC_yyFt3C5kYkb2Lo7nSFRatR5qXXD9RnqcR7w7An-InEG1na4UCP2yNNLmRdNKTtm3Cit5NI4gLzlCHnNzSWQp-DWWUvmFYTkrRqEa/s1600/poincare-duality.png" height="93" width="320" /></a></div>
<br />
<b>Observaciones:</b><br />
<br />
a) Como pueden ver, en el lado izquierdo, los 6 vértices del octaedro verde tocan todas las 6 caras cuadradas del cubo rojo.<br />
<br />
b) Por otro lado, en la figura de enmedio, lo que ven es que los 8 vértices del cubo tocan cada una de las 8 caras del octaedro.<br />
<br />
c) En la última figura del lado derecho se pueden ver las dos figuras, y claramente podríamos verlo como una triangulación de las dos figuras en una esfera (complejo simplicial) $latex \mathbb{S}^2$ por lo que la dimensión en la que trabajamos es 2<br />
<br />
d) También pueden observar en la última figura que cada una de las aristas del octaedro toca sólo una vez a una cada una de las aristas del cubo, es decir están en correspondencia 1-1<br />
<br />
Entonces podemos ver que en $latex \mathbb{S}^2$ tenemos dos estructuras, la del cubo que la llamaremos $latex C$ y la del octaedro que le llamaremos $latex C^{*}$ , que corresponden a complejos de cadenas y podemos comenzar a intuir la dualidad.<br />
<br />
<b>Deducciones de complejos de cadenas en cubo y octaedro.</b><br />
<br />
Del punto <b>d) </b>podemos decir que las aristas , es decir , las $latex 1$-cadenas son iguales en $latex C$ y $latex C^{*}$ , por lo que $latex C_{1}=C^{*}_{1}$ , ya que estan en correspondencia 1-1 entre el octaedro y el cubo.<br />
<br />
Del punto<b> a) </b>Vemos que las caras del cubo (2-cadenas) están 1-1 con los vértices (0-cadenas) del octaedro, por lo que $latex C_2=C^{*}_0$<br />
<br />
De punto <b>b)</b> pueden ver que cada cara (2-cadena) del octaedro toca a cada vértice (0-cadenas) del cubo por lo que $latex C^{*}_2 = C_0$<br />
<br />
<b>Calcular homología y cohomología </b><br />
<br />
Ya estamos listos para calcular cohomología y homología, en la parte 1 calculamos la homología en $latex \mathbb{Z}$ para poder usar signos y preservar orientación, esta vez lo haremos sobre $latex \mathbb{F}_2$ para que sea más sencillo, es decir, nos <i>olvidamos</i> de la orientación de los símplices por un momento.<br />
<br />
Entonces tenemos la sucesión con el mapeo frontera $latex \partial$ que manda a las sumas de las fronteras con respecto a caras, aristas, vértices y su respectivo mapeo dual como ya lo definimos en la parte 1.5 (post anterior) de esta serie de post<br />
<br />
$latex C_2 \xrightarrow[]{\partial_2} C_1 \xrightarrow[]{\partial_1} C_0$<br />
<br />
$latex C^{*}_2 \xleftarrow[]{\delta_2}C^{*}_1\xleftarrow[]{\delta_1}C^{*}_0$<br />
<br />
<i>Recomendación para la visualización y motivación siguiente:</i><br />
<i>Fija una cara en los dibujos del cubo (yo fijaría la de hasta arriba) y observa la descripción siguiente</i><br />
<i>en términos de sus aristas y vértices, así como el vértice dual de la cara del cubo en el octaedro.</i><br />
<br />
Entonces ahora tenemos que $latex \partial_2$ toma una cara y lo mandará a la suma de sus fronteras que son $latex 1$-cadenas (Aristas), y en cohomología , el mapeo $latex \delta_0$ mandará un vértice del octaedro hacia las aristas del octaedro que son adyacentes a ese vértice, es decir lo manda a un elemento del grupo libre $latex C^{*}_1$<br />
<br />
Entonces tenemos que aplicando el operador frontera a una cara (2-cadena) del $latex C$, fija una cara de $latex C$ que la denotamos como $latex \square$ y sus aristas denotadas como $latex \mid_i$ y a los vértices de $latex C$ correspondientes a la arista $latex \mid_j$ los denotamos como $latex \bullet^{j}_1$ y $latex \bullet^{j}_2$.<br />
<br />
$latex \partial_2(\square)=\mid_1+\mid_2+\mid_3+\mid_4$<br />
$latex \partial_1(\mid_1)=\bullet^{1}_1+\bullet^{1}_2$<br />
<br />
Tenemos que por las observaciones, a $latex \square$ le corresponde un vértice en $latex C^{*}$<br />
el mapeo $latex \delta$ lo que hará será asignar a una $latex n-1$-cadena, la $latex n$-cadena que la contiene, es decir por ejemplo, una arista del octaedro la mandaria a las caras de las cuales es frontera esa arista, entonces si denotamos las caras del octaedro como $latex \triangle$ sus aristas como $latex \dagger_i$ y a sus vértices como $latex \star^{i}_1$ y $latex \star^{i}_2$<br />
<br />
Tenemos que por la observación <b>a)</b> tenemos que a $latex \square$ en $latex C$ le corresponde $latex \star$ en $latex C^{*}$<br />
<br />
por lo que<br />
<br />
$latex \delta_1(\star) = \dagger_1 + \dagger_2 + \dagger_3 + \dagger_4$<br />
<br />
ya que asigna ese vértice del octaedro a sus aristas que lo contienen.<br />
<br />
$latex \delta_2(\dagger_1 + \dagger_2)=\triangle_1 + \triangle_2$<br />
<br />
Es decir, de manera analoga, las dos aristas lo mandan a la cara que las contiene.<br />
<br />
Entonces tenemos que el mapeo $latex \delta_2$ hace lo mismo que el mapeo $latex \partial 0$ , y el mapeo $latex \delta_1$ lo mismo que $latex \partial_1$<br />
<br />
<br />
Entonces, tenemos que<br />
<br />
$latex C_2 \xrightarrow[]{\partial_2} C_1 \xrightarrow[]{\partial_1} C_0$ (Homología)<br />
<br />
$latex C^{*}_2 \xleftarrow[]{\delta_2}C^{*}_1\xleftarrow[]{\delta_1}C^{*}_0$ (Cohomología)<br />
<br />
Y si calculamos todos los mapeos como lo hicimos tenemos que los grupos de homología y cohomología se comportan así:<br />
<br />
<br />
$latex H_0(C)\cong H^{2}(C^{*},\mathbb{F}_2)$<br />
$latex H_1(C)\cong H^{1}(C^{*},\mathbb{F}_2)$<br />
$latex H_2(C)\cong H^{0}(C^{*},\mathbb{F}_2)$<br />
$latex ker\partial_{r}/Im\partial_{r+1}=H_r(C)\cong H^{2-r}(C^{*},\mathbb{F}_2)=ker\delta_{2-r+1}/Im\delta_{2-r}$<br />
<br />
Aquí tenemos que todo esto era sobre $latex \mathbb{S}^{2}$ es decir $latex n=2$<br />
<br />
Esto <b>NO es casualidad</b>, de hecho huele... no huele, apesta a teorema y es un <i>teoremón</i>.<br />
<br />
<br />
<b><span style="color: red;">Teorema de dualidad de Poincaré</span></b><br />
<br />
<i>Si</i> $latex X$<i> es una variedad orientable y cerrada de dimensión n (compacta, sin frontera como</i> $latex \mathbb{S}^{2}$ <i>o un n-toro) entonces su cohomología y homología están relacionadas así:</i><br />
<br />
$latex H_k(X)\cong H^{n-k}(X^{*},G)$<br />
<br />
<br />
Esto lo pueden experimentar ustedes, por ejemplo calculen la dualidad de un icosaedro a través de su cohomología para obtener un <b>dodecaedro</b>, ¿existirá un objeto geométrico que sea su propio dual? , este debería de existir... ya que todo esto yendo más lejos aún debe tener una "identidad" , y sí, de hecho es el <b>tetraedro</b>.<br />
<br />
Este resultado en topología, geometría, como podrán imaginarse los algebristas, es posible que tenga alguna equivalencia en álgebra... el semestre pasado tomé curso de geometría algebraica avanzada en la Universidad de Utrecht en Holanda y demostraron el teorema de dualidad de Serré, el cuál sólo mencionaré pero no desarrollaré ya que para eso necesitaría otros 3 posts más, pero lo que les puedo decir es que existe una relación entre el teorema de dualidad de Poincaré y el teorema de dualidad de Serré usando teoría de Hodge, de hecho <a href="http://math.stackexchange.com/questions/2403/precise-connection-between-poincare-duality-and-serre-duality">aquí</a> lo mencionan y desarrollan de manera muy aceptable.<br />
<br />
<b>Teorema de dualidad de Serré</b><br />
Sea $latex E$ un haz fibrado holomorfo sobre una variedad compleja suave compacta $latex V$ de dimensión $latex n$ (Existen generalizaciones para gavillas coherentes y haces vectoriales) , entonces:<br />
<br />
$latex H^{q}(V,E)\cong H^{n-q}(V,\Omega_n\otimes E^{*})^{*}$<br />
<br />
Donde $latex \Omega_n$ es el producto cuña n veces del haz cotangente de $latex V$ (en curvas esto es directo de Riemann-Roch que lo pueden consultar <a href="http://b3ck.blogspot.nl/search/label/Riemann-Roch?m=0">aquí</a> en mi blog y formas k formas diferenciales <a href="http://b3ck.blogspot.nl/2013/10/k-formas-diferenciales-y-derivada_18.html?m=0">aquí</a>), aquí * indica "dual" , en el mismo sentido que lo vimos aquí en esta serie de posts.<br />
<br />
Si les interesa más aquí tengo post de <a href="http://b3ck.blogspot.nl/search/label/De%20Rham?m=0">cohomología de De Rham</a> y <a href="http://b3ck.blogspot.nl/search/label/Cohomolog%C3%ADa%20de%20grupos?m=0">cohomología de grupos</a><br />
<br />
Espero les haya gustado mucho como a mi me gustó explicarlo, si hay dudas, críticas o recomendaciones favor de usar los comentarios o escribirme un correo o twitt.<br />
<br />
Y como fuente de todo esto es el libro de Allen Hatcher de Algebraic Topology, especificamente la parte 3.3<br />
<br />
Eduardo Ruíz Duarte (beck)<br />
twitter: @toorandom<br />
<br />
<br />
<br />beckhttp://www.blogger.com/profile/15394216344733862200noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-24378736.post-29528134535019172342015-04-22T12:13:00.001-05:002015-04-22T12:16:41.916-05:00Teorema de dualidad de Poincaré (parte 1.5/2 Cohomología)En el post <a href="http://b3ck.blogspot.nl/2015/04/teorema-de-dualidad-de-poincare-parte.html?m=0">pasado</a> vimos como construir grupos de homología simplicial, para poder entender la idea del teorema de dualidad de Poincaré necesitamos también entender lo que es cohomología y entender qué es lo que nos está diciendo de información sobre el objeto original, y qué mejor que con símplices, la homología simplicial es la más fácil de entender porque es visual, después de entender esto yo recomiendo irse ya a Cech, Cohomología de Grupos o a Monsky Washnitzer para trabajar con teoría de números.<br />
<br />
El próximo post (con suerte mañana) será ya culminación, ahora sólo definiremos rápidamente cohomología con respecto al post pasado.<br />
<br />
La cohomología es un invariante algebraico de la homología, y ya habiendo entendido homología es fácil dualizar la definición de grupos de Homología, el dual de la homología como es de esperarse va a cambiar flechas en los complejos de cadena (la cohomología es un functor contravariante y lo veremos a detalle en un momento), pero lo más impresionante en la dualización es que los grupos de Cohomología tienen estructura adicional, que es la de anillo, ya que existe una multiplicación natural llamada producto copa (cup product), pero no mencionaré casi nada sobre ello ya que el Teorema de dualidad expresa un resultado en términos de los grupos de homología y cohomología.<br />
<br />
Recuerden que calcular la homología $latex H_n(X)$ era haciendo dos cosas que son , el calcular<br />
Los grupos libres de $latex k-$símplices que son $latex C_k:=\Delta_k(X)$, o de homología singular o celular, pero en nuestro caso hablemos de lo que ya sabemos que es con símplices:<br />
<br />
$latex ... \xrightarrow[]{\partial_{n+1}} C_n \xrightarrow[]{\partial_n} C_{n-1} \xrightarrow[]{\partial_{n-1}} ... $<br />
<br />
y después el paso 2 es calcular los cocientes de fronteras y ciclos, ya que recuerden que demostramos para toda $latex n$ en el post pasado que $latex Im\partial_{n+1}\subseteq Ker\partial_{n}$ lo cual es lo mismo que $latex \partial_{n-1}\circ \partial_n = 0$, entonces tenemos los grupos de Homología $latex H_n(X)=Ker\partial_n/Im\partial_{n+1}$.<br />
<br />
Para obtener los anillos de la cohomología $latex H^{n}(X,G)$ para algún grupo $latex G$ que usualmente será $latex \mathbb{Z}$, necesitamos interpolar el paso 1 que mostrará la contravarianza de la cohomología, en vez de considerar la cadena de los $latex C_n$ vamos a considerar la co-cadena de los $latex C^{*}_n := Hom(C_n,G)$ que son los morfismos de los complejos simpliciales a $latex G$ y el mapeo $latex \partial_n$ lo sustituiremos por el mapeo de cofrontera dual $latex \delta_n$ y formaremos igualmente algo así como los grupos $latex ker \delta/Im\delta$ .<br />
<br />
Entonces, construyamos explícitamente todo, vamos a dualizar, considera entonces<br />
<br />
$latex ... \xrightarrow[]{\partial_{n+1}} C_n \xrightarrow[]{\partial_n} C_{n-1} \xrightarrow[]{\partial_{n-1}} ... $<br />
<br />
Dualizando cada $latex C_n$ tenemos que $latex C^{*}_n := Hom(C_n,G)$ y dualizando $latex \partial$ tenemos que $latex \delta_n := \partial_{n}^{*}:C^{*}_{n-1}\rightarrow C^{*}_{n}$<br />
<br />
<br />
Nota que $latex \delta_n$ tiene las flechas invertidas (dual de $latex \partial$) , esto es obvio que suceda por propiedades de homomorfismos, y que $latex \partial_n$ es un homomorfismo:<br />
<br />
$latex \partial_n:C_n\rightarrow C_{n-1}$<br />
<br />
Por lo tanto<br />
<br />
$latex \partial_n^{*}:Hom(C_{n-1},G)\rightarrow Hom(C_n,G)$<br />
$latex \phi \mapsto \phi\circ \partial_n$<br />
<br />
Por lo tanto tenemos que $latex \partial_n(\phi)=\phi\circ \partial_n$ es decir, lo que está haciendo $latex \partial^{*}$ es mandar el morfismo $latex C_{n-1}\xrightarrow[]{\phi} G$ a la composición $latex C_n \xrightarrow[]{\partial_n} C_{n-1}\xrightarrow[]{\phi} G$ , sabemos que los homomorfismos duales cumplen que $latex (\alpha\circ \beta)^{*}=\beta^{*}\circ \alpha^{*}$ y que $latex Id^{*}=Id$ asi como $latex 0^{*}=0$ por lo que si llamamos $latex \delta_n:=\partial_n^{*}$ tenemos que $latex \delta_n \circ \delta_{n-1}=0$ y ya tenemos de manera muy informal lo que necesitamos y por lo tanto tenemos que:<br />
<br />
<br />
$latex ... \xleftarrow[]{} C^{*}_{n+1}\xleftarrow[]{\delta_{n+1}}C^{*}_n \xleftarrow[]{\delta_n}C^{*}_{n-1}\xleftarrow[]{\delta_{n-1}}... $ y por lo tanto tenemos que los grupos de Cohomología para $latex X$ son:<br />
<br />
<br />
$latex H^{n}(X, G) := Ker\delta_{n+1} /Im\delta_n$<br />
<br />
El teorema de Dualidad de Poincaré muestra una característica geométrica y topológica "visible e intuitiva" que relaciona los grupos de cohomología de dimensión $latex k$ con los grupos de homología de dimensión $latex n-k$ donde $latex n$ es la dimensión de $latex X$ que es una variedad cerrada, esto lo terminaremos en el próximo post.<br />
<br />
Espero les haya servido y gustado<br />
<br />
Eduardo Ruíz Duarte (beck)<br />
Twitter: @toorandom<br />
<br />
<br />beckhttp://www.blogger.com/profile/15394216344733862200noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-24378736.post-53479573579544114252015-04-21T16:29:00.000-05:002015-04-22T12:16:18.438-05:00Teorema de dualidad de Poincaré (parte 1/2 Homología)Esta es la primera parte de la motivación del teorema de dualidad de Poincaré que nos muestra una propiedad universal de todos los objetos geométricos fundamentales, empezaremos con un poco de Homología, en este post no llego al teorema de dualidad pero será en el siguiente.<br />
<br />
El post <a href="http://b3ck.blogspot.nl/2015/04/teorema-de-dualidad-de-poincare-parte_22.html?m=0">siguiente</a> que es la parte 1.5/2 es la construcción de los grupos de cohomología usando los grupos de homología que definiremos enseguida.<br />
<br />
Poincaré fue el primero que comenzó con la teoría de homología y cohomología, pero no como lo conocemos ahora, él trabajaba con topología y lo que él quería era contar <i>hoyos</i> , esto podrá sonar muy trivial si se imaginan un toro o una esfera que saben que tiene 1 hoyo y 0 hoyos respectivamente, pero como se imaginarán existen espacios muy complicados, que en la práctica por ejemplo se puede traducir a superficies modeladas con ecuaciones que representan restricciones en un modelo de muchas dimensiones... si quieres imaginarte su geometría, estarás perdido, para eso tienes que fijarte en su topología para poder tener una intuición de <i>cómo se ve, </i>o sea yo te puedo decir que la ecuación $latex y^2 = x^3 - 1$ así de simple como la ves tiene un hoyo en $latex \mathbb{C}^2$ a pesar de que estos hoyos no se puedan visualizar tan intuitivamente.<br />
<br />
La técnica de medir estos hoyos, que al final serán invariantes topológicos se basa en muchas cosas, entre ellas la teoría de homología y cohomología las cuáles de manera tonta la puedes ver como cierta álgebra extraída de la topología del objeto.<br />
<br />
Ya hemos hablado antes de cohomología de deRham <a href="http://b3ck.blogspot.nl/2015/02/complejos-de-de-rham-y-cohomologia.html">aquí</a> o de cohomología de grupos <a href="http://b3ck.blogspot.nl/2014/09/cohomologia-de-grupos.html">acá</a> para extender este concepto de hoyos a objetos algebraicos a través de la cohomología de Cech, también tratamos de dar la idea de Cohomología usando cálculo <a href="http://b3ck.blogspot.nl/2014/01/cohomologia-de-de-rham-parte-1.html">aquí</a> por lo que voy a suponer que algunos conceptos ya son claros aunque tal vez repita algunos aquí.<br />
<br />
El concepto de dualidad de Poincaré es un resultado topológico que relaciona los grupos de homología y cohomología de una variedad $latex V$ cerrada orientable de dimensión $latex n$ (sin frontera como una circunferencia, toro o esfera $latex \mathbb{S}^2$ ) , de hecho dice que<br />
<br />
$latex H_{n-k}(V) \cong H^{k}(V)$<br />
<br />
Es decir que el $latex k-$ésimo grupo de cohomología es isomorfo al $latex n-k$-ésimo grupo de homología de una variedad orientable y cerrada $latex V$.<br />
<br />
Poincaré no definió el teorema anterior así, de hecho él lo definió en términos de números de Betti, (Enrico Betti) , estos números los bautizó Poincaré en su honor ya que Betti estudió superficies sin frontera en dimensiones altas lo cual fue el motivante para Poincaré, y los definió así:<br />
<br />
<b>Definición</b><br />
Sea $latex V$ una variedad de dimensión $latex n$ el número de Betti $latex B_r$ para una dimensión $latex r$ es el número máximo de subvariedades de $latex V$ de dimensión $latex r$ contenidas en $latex V$ que son linealmente independientes, +1<br />
<br />
<span style="color: red; font-weight: bold;">Teorema de dualidad de Poincaré: </span>Si $latex V$ es de dimensión $latex n$ orientable y cerrada entonces $latex B_r=B_{n-r}$<br />
<br />
<br />
Este tipo de resultados tienen aplicaciones en física cuántica y en estudio de la forma del universo, entre otras cosas que no conozco bien pero que bien si les interesa pueden investigarlo ustedes mismos y verán por qué en un momento.<br />
<div>
<br /></div>
<br />
También existe otra relación geométrica que es muy familiar para nosotros, que es la característica de Euler, tal vez algunos han experimentado con la fórmula característica de Euler<br />
<br />
$latex \chi=V-E+F$ , es decir vértices-aristas+caras , este número es interesante, ya que es un invariante topológico, si ustedes triangulan, cuadriculan, o dibujan cualquier <i>red </i>de aristas, vértices y caras en una esfera, SIEMPRE obtendrán $latex \chi=2$ , es decir una esfera triangulada y cuadriculada les dará 2, o si aplican la fórmula a un octaedro y a un cubo también... pero si aplican la fórmula a un toro triangulado o a una botella de Klein, verán que las cosas cambian, ya que no son topológicamente equivalentes a una esfera y obtendrán otros valores porque tienen hoyos.<br />
<br />
De hecho, esto puede ser generalizado a dimensiones altas, y lo que dice aquí se puede pasar a complejos de cadena, una cara es la frontera de una variedad, la frontera de una cara son las aristas, y la frontera de una arista son sus vértices $latex (V\leftarrow E \leftarrow F)$ y cuál es la frontera de una frontera ?, es decir si $latex X$ es una variedad y $latex \partial$ es el operador que te calcula la frontera qué es $latex \partial\partial X$ ? , si saben un poco de topología puntual, saben que la frontera de un objeto es un conjunto cerrado sin puntos interiores... por lo tanto la frontera de esto al no haber puntos interiores deberá ser vacía (no hay de donde tomar orilla).<br />
<br />
La generalización de esto, es decir ya no podemos hablar de aristas, caras ni vértices, sino de <i>símplices</i>, porque en dimensiónes más altas que 3 necesitarías otras palabras como "hipercara".<br />
<br />
<b>Teorema: </b>Sea $latex U$ una variedad de dimensión $latex n$<br />
$latex \chi_U = \sum_{r=0}^n (-1)^{r}\Delta_r = \sum_{r=0}^n (-1)^{r}B_r$<br />
<br />
La parte izquierda es la misma formula característica de Euler, $latex V-E+F$ pero en general para una variedad $latex U$ de cualquier dimensión $latex n$, donde $latex \Delta_r$ son los símplices de dimensión $latex r$ tomados en cualquier triangulación definida en $latex U$ (si $latex n=3$ entonces tienes la formula usual de Euler) , en la parte derecha tenemos los números de Betti de $latex X$ para cada una de las dimensiones $latex r$.<br />
<br />
<br />
De hecho a Platón o algún otro filósofo-matemático griego se les escapó una oportunidad de pasar aún más a la historia al estudiar los sólidos tridimensionales, sería considerado padre de la homología, ya que si hubiera dicho algo así como <i><b>"La frontera de la frontera es vacía" </b></i>seguro hubiera pasado a la historia de las matemáticas como lo hizo Euclides y muchos teoremas importantes en topología algebraica llevarían su nombre, de hecho en todas las teorías de Homología y Cohomología se necesita tener un operador frontera $latex \partial$<br />
<br />
Este resultado de Poincaré trataré de explicarlo sólo como una motivación que pretenderá dar una intuición geométrica-topológica de esto, pero para esto tendré que explicar un poquito de homología simplicial que es la más básica, pero es la necesaria para poder entender construcciones más ricas como la homología singular.<br />
<br />
<b>Definición</b><br />
Un $latex k-$símplice $latex \Delta_k$ es un triángulo generalizado a dimensión $latex k$, y es la envolvente conexa de $latex k+1$ puntos en $latex \mathbb{R}^{k+1}$ , es decir, es la intersección de todos los conjuntos convexos que contienen a esos puntos.<br />
<br />
Más fácil, es un triángulo generalizado, si $latex k=2$ tenemos que en $latex \mathbb{R}^{3}$ necesitamos $latex 2+1$ puntos para definir un $latex 2-$símplice , es decir.. un triángulo, un triángulo es el conjunto $latex \Delta_2=\lbrace (x_0,x_1,x_2)\in \mathbb{R}^3 : x_0+x_1+x_2=1,\space x_0,x_1\geq 0\rbrace$, en general<br />
<br />
<br />
$latex \Delta_n=\lbrace (x_0,...,x_n)\in \mathbb{R}^{n+1} : \sum_{i=0}^{n}x_i=1, \space x_i\geq 0\rbrace$<br />
<br />
Ése señoras y señores es un triángulo de dimensión $latex n$ generalizado, noten que lo expresamos en dimensión $latex \mathbb{R}^{n+1}$, podrían usar otro espacio euclídeo, no sólo $latex \mathbb{R}^k$, para $latex \Delta_0$ tenemos que $latex x_0=1$ es un punto, después $latex \Delta_1$ es una recta, $latex \Delta_2$ es un triángulo, $latex \Delta_3$ es un tetraedro, $latex \Delta_4$ es un pentatopo, etc... y este objeto es la base de la triangulación de cualquier variedad., noten que los puntos $latex v_0=(1,0,0...0) ,v_1=(0,1,0,0,...0), v_n=(0,0,...,0,1)$ son parte del conjunto y les llamamos <i><b>coordenadas baricéntricas</b> </i>y son los vértices del $latex n-$símplice y nos permiten de una manera referirnos a los símplices sólo identificados con estos puntos.<br />
<br />
<br />
<b>Definición (complejo simplicial): </b>Un $latex \Delta-complejo$ simplicial es un conjunto de símplices de cualquier dimensión, <i>pegados</i> de tal manera que sus intersecciones también son símplices,<br />
<br />
Vamos a denotar como $latex \Delta^{\alpha}_k$ como al $latex k-$símplice indexado por $latex \alpha$ , es decir denotar a la arista1, arista2, cara8, etc...<br />
<br />
Es decir, un complejo simplicial es un conjunto de simplejos (puntos, aristas, triangulos, tetraedros, et cétera) , que cumplen que si $latex \sigma \in \mathcal{K}$ entonces las caras de $latex \delta$ también están en $latex \mathcal{K}$ y que si $latex \sigma_1,\sigma_2\$ pertenecen al complejo simplicial entonces $latex \sigma_1\cap \sigma_2$ también es una símplice común (cara común, arista común, vértice común, tetraedro común).<br />
<br />
Ejemplo complejo simplicial No-Ejemplo complejo simplicial<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/50/Simplicial_complex_example.svg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/50/Simplicial_complex_example.svg" height="193" width="200" /> </a><a href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5c/Simplicial_complex_nonexample.svg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5c/Simplicial_complex_nonexample.svg" height="200" width="122" /></a></div>
<br />
<br />
Ya con esto definimos los objetos en los cuales nos vamos a enfocar, ahora vamos por el álgebra aquí.<br />
<br />
<b>Definición (k cadena): </b>Sea $latex X$ un $latex \Delta-$complejo simplicial, una $latex k-$cadena es una combinación lineal de $latex k-$símplices vista desde el grupo abeliano libre $latex \Delta_k(X)$ tomando como base todos los $latex k-$símplices de $latex X$, es decir es una $latex k-$cadena es una expresión de la forma<br />
<br />
$latex \sum_{i=0}^{n} n_i\Delta^{i}_k$<br />
<br />
<br />
Es decir por ejemplo es una expresión como $latex 4\Delta^{1}_3+8\Delta^{2}_3$ sería una $latex 3-$cadena formada por dos tetraedros.<br />
<br />
<br />
<b>Definición (k frontera débil): </b>La $latex k$-frontera de una $latex k$-cadena es la suma de los $latex k-1$-simplices en la $latex k$-cadena, la cual se obtiene al quitar una coordenada a cada uno de los $latex k-$símplices de la $latex k$-cadena.<br />
<br />
Vamos a desarrollar más esto que es importante, es décir como calcular la frontera.<br />
<br />
Si tenemos un $latex k$-símplice, sabemos que está dado por sus coordenadas baricéntricas, que son los vértices, entonces<br />
<br />
$latex \Delta_k = [v_0,v_1,...,v_k]$<br />
<br />
Si queremos calcular su frontera de esta $latex k$-cadena, como dijimos en la definición, es calcular la $latex k-1$-cadena quitando vértices de $latex \Delta_k$ es decir.<br />
<br />
$latex Fr(\Delta_k) = \sum_{i} [v_0, ..., \hat{v_i}, .. v_k]$<br />
<br />
Donde $latex \hat{v_i}$ significa quitar esa coordenada, y vamos a modificar la función de frontera anterior y substituirla por una $latex \partial$ que nos permitirá conservar orientación de las caras, aristas, etc..<br />
<br />
$latex \partial\Delta_k = \sum_{i} (-1)^{i}[v_0, ..., \hat{v_i}, .. v_k]$<br />
<br />
Por ejemplo, podemos ver como se calcula la frontera de una arista, cara y tetraedro en la siguiente imagen sacada del libro de topología algebraica de Hatcher<br />
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgaDKz0WZ3d5axi392mRFwr6PBLzXQqOiHuaucfZGAoSt6ZPDU5GKL1Py7XFByD3jHBShsqWgpKpAywfHqmtzum1OY8g-dxDktDk_OGFrUH82u8I4lzJVVs4EL7U8f7g0pCtOQG/s1600/hatcher.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgaDKz0WZ3d5axi392mRFwr6PBLzXQqOiHuaucfZGAoSt6ZPDU5GKL1Py7XFByD3jHBShsqWgpKpAywfHqmtzum1OY8g-dxDktDk_OGFrUH82u8I4lzJVVs4EL7U8f7g0pCtOQG/s1600/hatcher.png" height="166" width="400" /></a></div>
<span id="goog_1809020961"></span><span id="goog_1809020962"></span><br />
<br />
<br />
<br />
Aquí pueden ver cómo se ve la frontera de una arista $latex [v_0,v_1]$ et cétera<br />
<br />
<b>Definición (k-frontera fuerte)</b><br />
<b><br /></b>
La función de frontera definida entre los $latex k$-simplices y $latex k-1$-simplices de una complejo simplicial $latex X$, donde definimos $latex \Delta_k(X)$ como el grupo abeliano libre formado por los $latex k-$simplejos está definida como:<br />
<br />
$latex \partial_k:\Delta_k(X)\rightarrow \Delta_{k-1}(X)$<br />
$latex \Delta^{\alpha}_k \mapsto \sum_{i}(-1)^{i} \Delta^{\alpha}_k\mid [v_0,...,\hat{v_i},...,v_k]$<br />
<br />
<br />
Donde es fácil ver que el lado derecho en efecto es una $latex k-1$-cadena porque sólo estamos sumando las mismas coordenadas de $latex \Delta^{\alpha}_k$ pero quitándole una coordenada, convirtiéndola en una $latex k-1$-cadena.<br />
<br />
Es un ejercicio usual que prueben el siguiente teorema<br />
<br />
<b><span style="color: red;">Teorema</span>: </b>La composición en:<br />
<b><br /></b>
$latex \Delta_n(X)\xrightarrow{\partial_n}\Delta_{n-1}(X)\xrightarrow{\partial_{n-1}}\Delta_{n-1}(X)$<br />
<br />
Es 0, es decir $latex (\partial_{n-1}\circ \partial_{n})(\Delta_{n}^{\alpha})=0$ para cualquier $latex \Delta_{n}$ y $latex \forall n$<br />
<br />
<br />
De hecho esto es la algebrización de lo que Euclides o Platón pudieron haber hecho para pasar a la historia de <i>La frontera de la frontera es vacía,<b> </b></i><b>esto sucede en cualquier dimensión y para cualquier símplice en cualquier complejo simplicial.</b><br />
<br />
<br />
<b>Definición (k ciclo): </b>Un $latex k$-ciclo es una $latex k$-cadena cuya $latex k$-frontera es 0, y de hecho los $latex k-$ciclos son un subconjunto de las $latex k$-cadenas.<br />
<br />
<br />
Tenemos que $latex Im\partial_n \subset Ker \partial_{n-1}$ y de hecho los $latex n-$ciclos coinciden con $latex Im\partial_n$ y las $latex n$-fronteras coinciden con $latex Ker \partial_{n-1}$<br />
como todo lo estamos trabajando en el grupo abeliano libre $latex \Delta_k{X}$ para cualquier $latex k$ , podemos definir el cociente, y tenemos la siguiente definición.<br />
<br />
<b>Definición (n-ésimo grupo de Homología) </b><br />
<b><br /></b>
El $latex n$-ésimo grupo de Homología de $latex X$ es:<br />
<br />
$latex H_n(X)=ker\partial_{n}/im\partial_{n+1}$<br />
<br />
<br />
<b>Ejemplo $latex \mathbb{S}^2$</b><br />
El ejemplo obligado es $latex X=\mathbb{S}^1$ el círculo, donde tomas sólo un vértice $latex v$ y una arista $latex e$ que se cierra a si misma para que sea más simple, entonces puedes ver que de hecho $latex \Delta_0(X)$ el grupo abeliano libre generado por un vértice , y $latex \Delta_1(X)$ el generado por una arista pues es simplemente $latex \mathbb{Z}$ , para dimensiones más altas es 0, porque no hay símplices más grandes que quepan en el círculo.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi8VTGNSZan1_g9n6OL2GZyjaYaPg65AkapKw_FBzWA-juCQ948fEAsBoC2FySMdnHI6Ve6KFn4KgMiujiKDMrYcxgopb_qiXjthZTMYNwdhnxmyjxs492nUSBQkGwwqmdzuNE1/s1600/circulo.png" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi8VTGNSZan1_g9n6OL2GZyjaYaPg65AkapKw_FBzWA-juCQ948fEAsBoC2FySMdnHI6Ve6KFn4KgMiujiKDMrYcxgopb_qiXjthZTMYNwdhnxmyjxs492nUSBQkGwwqmdzuNE1/s1600/circulo.png" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<b>Ejemplo toro (dona):</b></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<b><br /></b></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Otro ejemplo que pueden desarrollar es el Toro, donde deberían de obtener $latex H_1(T)=\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}$ , y como hint pueden usar la definición básica del toro con flechas </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Klein_Bottle_Folding_1.svg/150px-Klein_Bottle_Folding_1.svg.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Klein_Bottle_Folding_1.svg/150px-Klein_Bottle_Folding_1.svg.png" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Que significa , <i>"doblar y pegar las aristas azules y despues doblar y pegar las aristas rojas", </i>como pueden ver en el siguiente dibujito,<i> </i>eso ya les define una configuración básica de <b>tres</b> aristas (1-símplices) $latex a,b,c$ también <b>dos</b> caras $latex U,L$ (2-símplices) y <b>un</b> solo vértice $latex v$ (0-símplice), lo cual es suficiente para calcular homología, recuerden que todo esto es invariante bajo configuraciones de triangulaciones, y realmente estarían calculando la homología de lo azul con lo rojo con la siguiente configuración donde solo hay un solo vértice.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
De hecho $latex \partial_1=0$ como en el ejemplo pasado haciendo que $latex H_0(T)=\mathbb{Z}$ y $latex \partial_2(U)=\partial_2(L)=a+b-c$ y $latex \lbrace a,b,a+b-c\rbrace$ es base $latex \Delta_1(T)$ por lo que $latex H_1(T)=\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$, todo esto lo pueden verificar ustedes, pero esto lo debi de haber dejado como ejercicio.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/db/Toroidal_coord.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/db/Toroidal_coord.png" height="240" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Espero les haya gustado, la siguiente parte veremos ya el teorema de dualidad de Poincaré </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Eduardo Ruíz Duarte (beck)</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
twitter: @toorandom</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />beckhttp://www.blogger.com/profile/15394216344733862200noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-24378736.post-68553609430744253002015-03-30T11:30:00.000-06:002015-03-30T11:30:20.784-06:00Normas y trazas de enteros algebraicos y polinomios característicos Hoy quería recordar un poco de teoría de números analítica ya que a veces cuando tenemos un campo, queremos trabajar con los equivalente a sus "enteros" en analogía con $latex \mathbb{Q}$ y sus enteros $latex \mathbb{Z}$.<br />
<br />
Entonces comencemos con la definición principal.<br />
<br />
<b>Definición: </b>Un campo numérico $latex K$ es una extensión de campos algebraica finita de $latex \mathbb{Q}$<br />
<br />
Esto quiere decir que $latex n=[K:\mathbb{Q}]<\infty$ es la dimensión del $latex \mathbb{Q}-$espacio vectorial $latex K$ , a $latex n$ nos referiremos como el grado de esta extensión.<br />
<br />
El ejemplo por excelencia es:<br />
<br />
$latex \mathbb{Q}(\sqrt{2}) = \lbrace x+y\sqrt{2} : x,y\in \mathbb{Q}\rbrace$<br />
<br />
O también pueden considerar $latex \mathbb{Q}(\zeta_n)$ que es al adjuntarle una raíz $latex n-$ésima de $latex 1$ (compleja), $latex \mathbb{R}$ <b>no </b>es un ejemplo de campo.<br />
<br />
Ahora, si $latex \alpha\in K$ con $latex K$ de grado $latex n$ como $latex K$ es un $latex \mathbb{Q}-$espacio vectorial entonces existe una dependencia $latex \mathbb{Q}-$lineal entre $latex \lbrace 1,\alpha,...,\alpha^n\rbrace$ (ya que tiene dimensión $latex n$ y hay $latex n+1$ ahí), esto significa que existe un polinomio $latex f(x)\in \mathbb{Q}[x]$ tal que $latex f(\alpha)=0$ , si esto pasa decimos que $latex \alpha$ es un <b>número algebraico</b> y decimos que $latex \alpha$ es un <b>entero algebraico </b>si $latex \alpha$ es raíz de un polinomio mónico en $latex \mathbb[x]$.<br />
<br />
Otro ejemplo obligatorio, es que $latex \sqrt{2}\in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ <b>es un entero</b> <b>algebraico</b> ya que es raíz es $latex x^2-2\in\mathbb{Z}[x]$ así como $latex i\in\mathbb{Q}(i)$ ya que es raíz de $latex x^2+1\in \mathbb{Z}[x]$, como es de esperarse $latex a/b\in\mathbb{Q}$ no son enteros (a menos que $latex b\mid a$ ya que no existe un polinomio mónico con coeficientes enteros que los tenga como raíz.<br />
<br />
Hasta aquí hemos extendido un poco la definición de lo que es para nosotros un número entero en términos de la existencia de un polinomio mónico con coeficientes enteros.<br />
<br />
<b>Definición: </b> El polinomio mínimo de $latex \alpha\in K$ es un $latex f\in\mathbb{Q}[x]$ mónico, tal que $latex f(\alpha)=0$ y $latex f$ es de grado mínimo.<br />
<br />
Es un buen ejercicio demostrar que $latex \alpha\in K$ es un <b>entero algebraico</b> si y sólo sí su polinomio mínimo tiene coeficientes enteros.<br />
<br />
Si demostramos lo anterior tenemos que con todo esto.<br />
<br />
<b>Proposición: </b>Los enteros algebraicos de $latex \mathbb{Q}$ son $latex \mathbb{Z}$<br />
<br />
Esto también es fácil ya que si $latex a/b\in\mathbb{Q}$ entonces su mínimo polinomio es $latex x-a/b$ que por el ejercicio anterior sucede que $latex b\in\lbrace -1,1\rbrace$<br />
<br />
<b>Definición: </b>Los enteros algebraicos de $latex K$ forman un anillo que lo denotamos como $latex \mathcal{O}_K$ y le llamamos <b>anillo de enteros de </b>$latex K$<br />
<br />
El hecho de que $latex \mathcal{O}_K$ forma un anillo no es trivial, o sea, que la suma y producto de enteros algebraicos es un entero algebraico, pero tampoco es tan difícil , traten de visualizarlo con propiedades de sus polinomios moninos, y ver como pueden construir el polinomio monico que corresponde al producto y suma de dos números algebraicos, o también pueden demostrar que si $latex \alpha$ es un entero algebraico entonces $latex \mathbb{Z}[\alpha]$ es finitamente generado como grupo, es decir si $latex z\in \mathbb{Z}[\alpha]$ entonces $latex z=\sum_{i\leq m}z_i n_i$ es decir $latex \mathbb{Z}[\alpha]=\bigoplus_{i\leq m}\alpha^i \mathbb{Z}$.<br />
<br />
<br />
Como un <b>no-ejemplo</b> tenemos a $latex \mathbb{Z}[\frac{1}{2}]$ está generado por todas las potencias de $latex \frac{1}{2}$ por lo que no es finitamente generado y su polinomio mínimo es $latex x-1/2$<br />
<br />
Otros corolarios de esto son que $latex K=\mathbb{Q}\mathcal{O}_K<br />
<br />
<b><span style="font-size: large;">Normas y trazas de enteros algebraicos</span></b><br />
<b><br /></b>
Si $latex L/K$ es una extensión finita de campos numéricos y $latex \alpha\in L$ entonces el mapeo de multiplicación por $latex \alpha$ está dado por:<br />
<br />
$latex \mu_\alpha:L\rightarrow L$<br />
$latex x\mapsto \alpha x$<br />
<br />
Esto es un mapeo $latex K$-lineal de $latex L$ a $latex L$ es decir un endomorfismo por lo que $latex \mu_\alpha\in End_K(L)$ $latex \forall \alpha\in L$<br />
<br />
Como $latex \mu_\alpha \in End_K(L)$ entonces es una matriz y decimos que la <b>norma </b>y <b>traza </b>de $latex \alpha\in L$ están dadas por:<br />
<br />
$latex N_{L/K}(\alpha)=det(\mu_\alpha)\in K$<br />
$latex Tr_{L/K}(\alpha)=Tr(\mu_\alpha)\in K$ <br />
<br />
Tenemos que<br />
$latex N_{L/K}(\alpha\beta)=N_{L/K}(\alpha)N_{L/K}(\beta)$<br />
$latex Tr_{L/K}(\alpha+\beta)=Tr_{L/K}(\alpha)+Tr_{L/K}(\beta)$<br />
<br />
por las propiedades de traza y determinantes usuales, por lo que si en particular $latex n=[L:K]$ y $latex a\in K$<br />
<br />
$latex N_{L/K}(a\alpha)=a^n N_{L/K}$<br />
$latex Tr_{L/K}(a\alpha)=aTr_{L/K}(\alpha)$<br />
<br />
De hecho si $latex a\in K$ entonces $latex \mu_a$ si $latex \mathbb{I}$ es la matriz identidad entonces $latex \mu_a=a\mathbb{I}$.<br />
<br />
También tenemos al <b>polinomio característico </b>de $latex \alpha\in L$ definido como:<br />
<br />
$latex \chi(x)=det(\mathbb{I}x-\mu_\alpha)\in K[x]$ , donde es fácil ver que su término constante es $latex \pm N_{L/K}(\alpha)$ y el término de $latex x^{n-1}$ es $latex -Tr_{L/K}(\alpha)$ ya que $latex \chi(x)$ es un polinomio mónico de grado $latex n=[L:K]$<br />
<br />
<br />
Es hora de un <b>Ejemplo</b><br />
<br />
Como lo hemos hecho $latex L=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ y $latex K=\mathbb{Q}$ entonces $latex 2=[L:K]$ por lo que podemos poner una base para el $latex \mathbb{Q}$ espacio vectorial $latex \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ , la cual por simplicidad será $latex \lbrace 1,\sqrt{2} \rbrace$, entonces sea $latex \alpha \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ , ahora calculemos $latex \mu_\alpha$ , tenemos que $latex \alpha = a+b\sqrt{2}$, para calcular la matriz, como vimos anteriormente $latex \mu_\alpha$ es un operador lineal , así que basta con aplicarlo a los elementos de la base para obtener su matriz.<br />
<br />
$latex \mu_\alpha(1)=a+b\sqrt{2}$<br />
$latex \mu_\alpha(\sqrt{2})=\sqrt{2}a+2b=2b+a\sqrt{2}$<br />
<br />
Por lo que tenemos que:<br />
<br />
$latex \mu_\alpha = \begin{pmatrix}a & 2b\\ b&a\end{pmatrix}=M_\alpha$<br />
<br />
Ya que si $latex z=s+t\sqrt{2}\in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ entonces<br />
<br />
$latex M_\alpha \begin{pmatrix}s\\ t\end{pmatrix}=(as+2bt,bs+at)=as+2bt+(bs+at)\sqrt{2}$<br />
$latex =(a+b\sqrt{2})(s+t\sqrt{2})=\alpha z =\mu_\alpha(z)$<br />
<br />
Por lo que $latex N_{\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}}(\alpha)=a^2-2b^2$ y $latex Tr_{\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}}(\alpha)=2a$<br />
<br />
Y el polinomio característico está dado por:<br />
<br />
$latex \chi(x)=det \begin{pmatrix}x-a & -b\\ -2b&x-a\end{pmatrix}=x^2-2ax+a^2-2b^2$<br />
<br />
<b>$latex K$-monomorfismos a $latex \overline K=\mathbb{C}$</b><br />
<br />
Para relacionar la traza y norma tenemos que existen $latex n=[L:\mathbb{Q}]$ monomorfismos $latex \sigma_i:L\rightarrow \mathbb{C}$ , ya que si $latex L=K(\alpha)$ con $latex \alpha\in L$ entonces existe $latex f\in K[x]$ polinomio mínimo de $latex \alpha$ y es un resultado sabido que $latex f$ no tiene raices repetidas en $latex \overline{K}=\mathbb{C}$ por lo que tiene $latex n$ raíces diferentes, llamémosles $latex \alpha_i$ y definimos $latex \sigma_i(\alpha)=\alpha_i$, esto se puede demostrar para $latex K(\alpha,\beta)$ y en general por inducción.<br />
<br />
<b>Definición: </b>Si $latex L/K$ es una extensión algebraica finita de grado $latex n$ entonces y $latex \alpha\in L$ con $latex \sigma_1, ..., \sigma_n$ los $latex K-$monomorfismos de $latex L$ a $latex \mathbb{C}$ entonces $latex \sigma_1(\alpha), ... , \sigma_n(\alpha)$ son los <b>conjugados </b>de $latex \alpha$<br />
<br />
<b>Teorema</b> Sea $latex L/K$ una extension algebraica finita de grado $latex n$ y $latex \sigma_1, ..., \sigma_n$ los $latex K-$monomorfismos de $latex L$ a $latex \mathbb{C}$ que fijan $latex K$ entonces tenemos que para todo $latex \alpha\in L$<br />
<br />
$latex N_{L/K}(\alpha)=\prod_{i=1}^{n}\sigma_i{\alpha}$<br />
$latex Tr_{L/K}(\alpha)=\sum_{i=1}^{n}\sigma_i{\alpha}$<br />
<br />
<br />
Esto se puede demostrar primero notando que si $latex \alpha\in L$ y $latex f\in K[x]$ es su polinomio mínimo, entonces:<br />
<br />
$latex f(x)=\chi_{K(\alpha)/K}(x)$ y que por Cayley Hamilton $latex \chi_{K(\alpha)/K}(\mu_\alpha)=0$<br />
<br />
<b>Ejemplo</b><br />
<b><br /></b>
Sea $latex \mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$ y $latex \alpha=a+b\sqrt{2}\in\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ entonces:<br />
<br />
$latex \sigma_1(a+b\sqrt{2})=a+b\sqrt{2}$<br />
$latex \sigma_2(a+b\sqrt{2})=a-b\sqrt{2}$<br />
<br />
Por lo que:<br />
<br />
$latex N_{\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}}(\alpha)=\sigma_1(a+b\sqrt{2})\sigma_2(a+b\sqrt{2})=a^2-2b^2$<br />
<br />
y<br />
<br />
$latex Tr_{\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}}(\alpha)=\sigma_1(\alpha)+\sigma_2(\alpha)$<br />
<br />
<br />
Que claramente da lo mismo que como lo calculamos anteriormente.<br />
<br />
Queda para ustedes que calculen el polinomio característico de este caso, y que también consideren $latex \mathbb{Q}(i,\sqrt{2})$<br />
<br />
<b><span style="color: red;">Corolario </span> $latex N_{K/\mathbb{Q}}(\alpha)=\pm 1$ con $latex \alpha\in \mathcal{O}_K$ $latex \Leftrightarrow$ $latex \alpha$ es invertible</b><br />
<br />
Eduardo Ruiz Duarte (beck)<br />
twitter: @toorandom<br />
<br />
<b><br /></b>beckhttp://www.blogger.com/profile/15394216344733862200noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-24378736.post-20026707717194995872015-03-25T11:06:00.004-06:002015-03-25T16:12:27.600-06:00Homosexuality and evolution, an attempt of an a priori argument to end homophobiaWhat I am going to say here doesn't have any proof, and maybe is not entirely true, but is something I would like to propose as a conjecture, and I have thought for some time, I don't know the answers a priori, because I am not a professional in other areas in science and sociology, but maybe it could be a good theory and I propose a way to take the proof apriori with a possible argument, maybe you can refute it immediately, but the aim of this is to generate a consistent strong theory to avoid discrimination and homophobia.<br />
<br />
In the next words when I say <i>homosexual</i> I will be referring to lesbians or male gays.<br />
<br />
<b><span style="font-size: large;">Introduction</span></b><br />
<br />
Lets start, some moments ago I was chatting with a friend, she told me that she has a 'friend' that was a complete retrograde, in the sense that she <i>forbids completely</i> the adoption between homosexuals, or that the best birth control system is god's word in your heart, I do not pretend to offend anybody but if you are going to make an argument trying to <i>forbid </i>or <i>not approve </i>you must have an <i>a priori </i>argument, and not an argument based on a religious belief or a personal point of view, otherwise, you are imposing an idea like a dictator, making you retrograde.<br />
<br />
What I am going to say is a possible-scientific reason to stop being an asshole, and maybe could be a good multidisciplinary work between mathematicians, sociologists, philosophers and evolutive biologists.<br />
<br />
The next argument relies in the existence of models to measure situations in the nature, that proves that there is an equilibrium in the reproduction of species, interaction between species and natural resources consumption, this equilibrium is well modeled with five theories which I think are the bridges between mathematics, genetics, macro economy, evolutive biology and game theory, these models are described at the end of this post as an appendix, (<b>Lotka-Volterra equations, Malthus model, logistic function, Nash equilibrium and Memetics)</b>.<br />
<br />
The idea of this is provide a way to prove this:<br />
<br />
<span style="color: red;"><i>Conjecture:</i></span><br />
<i>Homosexuality is a consequence of evolution.</i><br />
<b><br /></b>
<b><span style="font-size: large;">Development of the conjecture and possible proof:</span></b><br />
<b><br /></b>
<br />
The models of population growth in terms of natural resources and interaction between species tell us that the convergence of the population when $latex t\rightarrow \infty$ is 0 when the function representing resource consumption is increasing over time, this in common sense is obvious, but more important than obvious, is that it has a mathematical model to prove it, and this models are <b>Malthus equation </b>and <b>Logistic equation</b>.<br />
<br />
Another important theory here is <b>Darwinian</b> evolution which occurs with <b>natural selection</b> meaning that the individuals that adapt better to their environment will spread their genes with more frequency because they will be healthier for more time, this better adaptation is done because of a <b>random mutation</b> that makes the individual <i>better </i>than the others in terms of survival circumstances.<br />
<br />
Another fact is that there is an excess of population in terms of some resources, (see variable $latex K$ in the <i>logistic equation</i> at the end of this post), there are more humans that the natural resources can support, but this IS NOT because we are lacking of food (this is important to understand), this is because the economic model that prevails (capitalism) bounds this resources in terms of wealth, so there are MORE humans than resources in function of wealth and economy.<br />
<br />
So, If you accept the last paragraph, then we can continue, I accept that the last paragraph is a problem that exists, I dont know why but I have an idea that can be wrong or bad, but the veracity of the next paragraph does no depend on the veracity of the original conjeture (is used only to give an idea of why there's an overpopulation)<br />
<br />
<b><span style="color: red;"><i>Conjecture (independent of the original conjecture)</i></span></b><br />
<i>The population increases in function of the advances in medicine </i><br />
<br />
This may sound a little cruel, but we are trying to make science, not ethics.<br />
<br />
With the advances of medicine, people that develops a mortal disease young due to a <i>letal gene</i> does not die and reproduces passing his/her lethal gene to the next generations, slowing down evolution, (note that there's no such thing as anti-evolution, evolution always <i>goes up </i>in terms of adaptation).<br />
<br />
So, technology in medicine make us overpopulated, note that is easy to show that evolution occurs and there are examples of this, if there were not a treatment of <i><b>wisdom teeth</b> </i>people would die of impacted teeth or infection at maybe a young age, making the population with wisdom teeth less and less over generations.<br />
<br />
In the book <b><i>Selfish Gene</i> </b>from Richard Dawkins, he mentions that a non ethical way to evolve faster will be to only permit child conception in the biological limit of age in order to permit the death generated by letal genes, and in consequence, more genetically healthy human beings.<br />
<br />
<br />
Now, lets return to the original idea.<br />
<br />
We know now (or at least I hope I could convince you) that there's an overpopulation in terms of some natural resource which at the same time is in function of the economic model, and that the persistence of humans even when "<i>they have to die" </i>makes harder the natural selection.<br />
<br />
Now we are in a point where humans in order to win the battle of resources they first most prevail and the <b>Nash Equilibrium </b><i>(see the end of the post for details)</i> tell us that there's a point over time when the players (humans) with mixed strategies in this battle will take the most efficient decision in terms of the best decisions of the other, which is the equilibrium, if we identify the capabilities of each player (human) we will be sitting in the <b>Lotka-Volterra</b> equations, when we will identify which is the predator and the pray in terms of the economic model.<br />
<br />
This <b>Equilibrium</b> I claim is <b>homosexuality</b>, which is the most natural way to solve the overpopulation, and proving that homosexuality is a natural property of the genes, a mutation in the human DNA, just as the mutation of distinguishing frequencies in our eyes and not just amplitude (colors) which was a mutation that prevailed making evolution of our eyes<br />
<br />
<b><span style="font-size: large;">First questions of this argument with a possible answer</span></b><br />
<br />
<b><span style="color: red;">1)</span> </b>Gay people are not new, there are proofs they have been in society from centuries ago and we did not have overpopulation problems.<br />
<br />
<b>Possible answer:</b><br />
Yes, gays have been in the society for centuries,<br />
<br />
But what I claim is that overpopulation has been there too since centuries, and as I said before, not because there's not food... is because the<i> overpopulation is in terms of the economic model</i>, people cannot take an apple from a tree without taking it from somebody's territory (in most cases), so he/she has to pay to the wealthiest, this makes <b>Malthus</b> and <b>Logistic</b> <b>model</b> of <b>population vs resources </b>being in function of the capabilities of <i>resource taking, </i>so if this is true (Is a conjecture as I said) it justifies the same argument.<br />
<br />
<br />
<span style="color: red;">2) </span>Darwinian Evolution confirms that the genes must be spreaded, and homosexuality is not spreaded with a homosexual couple (just in an artificial way which takes you to question 3).<br />
<br />
<b>Possible answer:</b><br />
Darwinian evolution is proved to be at the level of particles (See Dawkins, first chapter of Selfish Gene), particles tend to form stable structures, and this structures tend to form particles that are self replicable, this is the principle of evolution pre-life in the planet, and is proven using the <i>primordial soup experiment</i> which consists in the simulation of the condition of the early earth with methane, hidrogen and amonia in combination with lightening, in a period of time monomers will form, then polymers and then self-replicatation molecules, which are the predecesors of the DNA.<br />
This same behaviour is the basis of <b>Darwinian sociology</b> where the concept of spreading the gene will be a cultural concept for the next generation.<br />
<br />
<b><span style="color: red;">3) </span></b>Gays can use <i>in vitro </i>methods to procreate children or "rent female" wombs (in the case of male gays)<br />
<br />
<b>Possible answer:</b><br />
<br />
For this I need to introduce a concept, Memetics<br />
<br />
<span style="color: #252525;"><span style="background-color: white; line-height: 22.3999996185303px;"><b><i>Memetics (Richard Dawkins work for a treatment):</i></b></span></span><br />
<span style="color: #252525;"><span style="background-color: white; line-height: 22.3999996185303px;"><i>Theory of mental content based on an analogy with Darwinian evolution, is an approach to evolutionary models of cultural information transfer where the unit transfer is a meme.</i></span></span><br />
<br />
<b>Darwinian sociology</b> makes the adaptation, natural selection and gene spreading to be taken in a cultural level, and there it can be introduced the concept of <b>memetics</b>, and consider evolution something more complex in humans than just a biological facts because human are equiped with reasoning and a brain capable of thinking in complex dynamic situations.<br />
<br />
Gay people can adopt, procreate artificially or not having children, gays are not capable of reproducing themselves, but when they adopt or procreate they spread the gene that makes them homosexual with a probability of 50%, or in the case of adoption, memetics from Richard Dawkins can be used and they will spread the <i>Meme (See Memetics), </i>which partially answers the previous question and justifies their existence as an evolutionary individual capable of reproducing his/her genes and memes.<br />
<br />
<br />
<b><span style="font-size: large;">Direct consequences of this conjecture</span></b><br />
<br />
Homosexuality cannot be a disease, or a "condition", in darwinian evolution a mutation that affects the species wont prevail, so homosexuality is a property in human beings making them a naturally evolved organism.<br />
<br />
<b><span style="font-size: large;">Personal conclusion</span></b><br />
<b><span style="font-size: large;"><br /></span></b>
Homosexuality is the direct consequence of a future in society when the convergence is of not having men or women, gay or not gay, but having just individuals or human beings, making them the key to find an equilibrium as a specie.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<b><span style="font-size: large;">Appendix of used arguments in the previous idea for interaction models for resources modeling in function of population and competition.</span></b></div>
<b><span style="font-size: large;"><br /></span></b>
<b>Nash Equilibrium</b><br />
John Nash proved that in a game, (in this case the battle of resources between humans) with mixed strategies (this means that, if there are different set of specific rules to win a game, you can randomly change strategies to win a game) there's always a point of <b>Nash equilibrium</b> between the parts, this means that , if $latex A$ is compiting with $latex B$ , the Nash equilibrium is the point were $latex A$ has the best decision taking in consideration $latex B$ decisions in the evolution of the game, and the same with $latex B$, $latex B$ has the best decision in consideration of $latex A$<br />
<br />
<b>Lotka-Volterra </b>Equations tell us the dynamics of two species, where one of this species is a predator of the other (the prey).<br />
<br />
$latex \frac{dx}{dt}=\alpha x -\beta xy$<br />
$latex \frac{dy}{dt}=\delta xy -\gamma y$<br />
<br />
This equations tell us that if $latex x$ are the number of preys, and $latex y$ are the number of predators , $latex \frac{dx}{dt}$ and $latex \frac{dy}{dt}$ are the changes in population of each other over time $latex t$, $latex \alpha,\beta,\gamma,\delta$ are values that represent the interaction of the species in terms of statistical analysis via observation.<br />
<br />
The solution is a function which will tell you what will happen over time with both species and this equations can be generalized to the interaction of more than two.<br />
<br />
<b>Malthus equation</b><br />
<b><br /></b>
Lotka-Volterra equations can be combined with this equation which tells you how the population of an species grow, and what Malthus proved is that is exponential over time.<br />
<br />
$latex P(t)=\hat{P} e^{\lambda t}}$<br />
<br />
Where $latex P(t)$ is the population at time $latex t$ and $latex \hat{P}$ is the initial number of individuals, and $latex \lambda}$ is a constant (what we want to convert in a function in this idea) that measures the interaction of this specie with their natural resources (or even with other individuals)<br />
<br />
<b>Logistic equation</b><br />
<b><br /></b>
An improved version of the last one is given when you can measure the MAXIMUM number of individuals $latex K$ that an environment can provide resources in a way that no individual will lack of food or a resource that is natural to their lives.<br />
<br />
$latex \frac{dP}{dt}=\lambda P(1-P/K)$<br />
<br />
<br />
<br />
Eduardo Ruíz Duarte (beck)<br />
twitter: @toorandom<br />
<br />beckhttp://www.blogger.com/profile/15394216344733862200noreply@blogger.com3