Cohomología de Monsky-Washnitzer y punto fijo de Lefschetz (parte 1 Cohomología Grothendieck-deRham Algebraico)

Este es el último post de este año, mañana me voy de vacaciones a Israel pero vine a la oficina en 28 de diciembre para no sentirme culpable de estar en el mar muerto flotando y no continuando mis algoritmos y proyectos pendientes para mi trabajo de investigación en mi actual casa académica que es el Instituto Johann Bernoulli en los Países Bajos.

Parte de lo que estoy investigando tiene que ver con contar soluciones $latex \mathbb{F}_q$-racionales de jacobianas de curvas hiperelípticas de género 2, como ya lo he mencionado en posts anteriores, esto es importante, por razones prácticas y por razones puramente matemáticas.

En cuanto a las razones prácticas tenemos que estas jacobianas de curvas hiperelípticas están consideradas para suplir en un futuro a las curvas elípticas en criptografía, por lo que necesitamos ver maneras de extraer la cardinalidad de su conjunto de soluciónes con el fin de poder ver si el grupo abeliano asociado a la curva es seguro en términos criptográficos. Esta cardinalidad nos dará la traza del endomorfismo de Frobenius, y por lo tanto, podemos obtener también la cardinalidad de la curva hiperelíptica.

Las razones matemáticas son la riqueza matemática que conlleva poder conocer esto, ahora vamos a definir una teoría de cohomología útil para teoría de números que nos permite contar puntos, y que nace de la Cohomología de DeRham algebraica propuesta por Alexander Grothendieck así como del trabajo de Dwork quien probó que la función Zeta de una variedad algebraica sobre un campo finito es simplemente un cociente de polinomios.

Lo que queremos es que con esta teoría de Cohomología dada por Monsky-Washnitzer poder encontrar explícitamente la función zeta de una variedad $latex X$ sobre un campo finito $latex \mathbb{F}_q$ con $latex q=p^n$, esta cohomología es la misma que la de deRham algebraica pero aplicada a un anillo especial.

$latex \zeta_{\mathbb{F}_q}(t)=\exp{\sum_{s\geq 1} \frac{|X(\mathbb{F}_{q^s})|}{s}q^{-st}}$

Donde $latex |X(\mathbb{F}_{q^s})|$ denota el número de puntos racionales de $latex X$ en la extensión de grado $latex s$ de $latex \mathbb{F}_q$.

Queremos contar puntos, y un ingrediente crucial es el teorema del punto fijo de Lefschetz, que es la generalización del teorema del punto fijo de Brouwer el cual expuse aquí en mi blog, este teorema en nuestro contexto nos dice básicamente que si $latex X$ es una variedad sobre un campo finito $latex \mathbb{F}_q$ y si $latex \bar{X}$ es el levantamiento (lifting) de $latex X$ a $latex \bar{\mathbb{F}_q}$ , sabemos que el endomorfismo de frobenius $latex \Phi_q$ va a mapear puntos con coordenadas $latex x_1,...,x_n$ a el punto con coordenadas $latex x_1^q, ..., x_n^q$, entonces los puntos fijos que $latex \Phi_q:\bar{X}\rightarrow\bar{X}$ son exactamente los puntos $latex X$ (porque Frobenius se comporta como la identidad en los puntos $latex \mathbb{F}_q$-racionales) entonces el teorema del punto fijo de Lefschetz implica que en el caso de que $latex X$ sea suave y bien portada como variedad:

$latex |X(\mathbb{F}_q)|=q^{\text{Dim }X} \sum_i (-1)^i Tr(\Phi_q)^{-1}|H^{i}(\bar{X},\mathbb{Q}_l)$

La cohomología que usaremos será la cohomología de deRham algebraica aplicada a un anillo especial que es un lifting (levantamiento) del anillo de coordenadas, hoy definiremos la cohomología de deRham y los problemas que nos va a causar no trabajar en el Lifting.

Hoy nos enfocaremos a construir esta cohomología definida en GAGA por Alexander Grothendieck, para cualquier anillo de tipo finito, que será la base de la cohomología de Monsky-Washnitzer aplicada a un anillo en específico.

Primero que todo, $latex \mathbb{K}$ es un campo perfecto y $latex A$ una $latex \mathbb{K}$-álgebra finitamente generada, que en el caso práctico puede ser un anillo de coordenadas de una variedad $latex X$ cuyas coordenadas a veces denotaremos como $latex \bar {x_i}$ para $latex i\leq n$ por lo que $latex A=\mathbb{K}[\bar{x_1},...,\bar{x_n}]=\mathbb{K}[x_1,...,x_n]/\langle f_1,...,f_r \rangle=\mathbb{K}[X]$ donde $latex X$ está definido por $latex \lbrace f_i \rbrace_{i=1}^{r}\subset \mathbb{K}[x_1,...,x_n]$ irreducibles sobre $latex \mathbb{K}$.

Cohomología de DeRham algebraica con diferenciales de Kähler

Ahorita queremos transportar el cálculo diferencial y análisis a álgebra, por lo que definiremos en abstracto lo que es una derivada y los diferenciales de un anillo de cierto modo generalizados, simplemente pidiendo simbólicamente la regla de Leibniz en este caso sobre el anillo de funciones de una variedad, donde la función de derivación sobre el álgebra finitamente generada será naturalmente heredada con la derivación parcial en cada variable de los polinomios.

Definición: $latex \Omega_{A/\mathbb{K}}$  es el $latex A$-módulo de diferenciales de Kähler, es decir, vamos a tomar $latex \forall a\in A$ los símbolos $latex\space da$ y las siguientes relaciones.

* $latex \space dk=0$ para $latex k\in\mathbb{K}$

* $latex d(a+b)=da+db$ 

* $latex d(ab)=a\cdot db+b\cdot da$ donde $latex a,b\in A$

Por ejemplo, si tenemos que $latex A$ es el anillo de coordenadas de $latex X$ una curva dada por la intersección de irreducibles, es decir, $latex f_1,..,f_r \in \mathbb{K}[x_1,...,x_n]$ entonces:

$latex A=\mathbb{K}[x_1,...,x_n]/\langle f_1,...,f_r\rangle$

Entonces tenemos que explícitamente:

$latex \Omega_{A/\mathbb{K}}=\bigoplus _{i=1}^{n} Adx_i /\langle f_1,...,f_r \rangle$

donde $latex df:=\sum_{j=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_j} dx_j$ (Derivada total)

Es decir, como $latex A=\mathbb{K}[\bar{x_1},...,\bar{x_n}]$, tenemos que $latex \Omega_{A/\mathbb{K}}$ es un módulo libre en los generadores $latex d\bar{x_1},...,d\bar{x_n}$ y nota que el álgebra $latex A=\mathbb{K}[\bar {x_1},...,\bar{x_n}]$ está generada como una $latex \mathbb{K}$-álgebra por $latex \bar{x_1},...,\bar{x_n}$ por lo que $latex \Omega_{A/\mathbb{K}}$ esta generado como $latex \mathbb{K}[\bar{x_1},...,\bar{x_n}]$-módulo por $latex d\bar{x_1}, .., d\bar{x_n}$.

Existen muchas derivadas, pero la más natural $latex d:A\rightarrow \Omega_{A/\mathbb{K}}$ es la que manda $latex a\mapsto da$.

Como dije anteriormente, hay muchas derivadas, pero eso no perjudica la unicidad de $latex \Omega_{A/\mathbb{K}}$ ya que si nos encontramos con otra derivación $latex \mathbb{K}$-lineal $latex D:A\rightarrow M$ , ésta se factoriza de manera única como $latex A\xrightarrow{d}\Omega_{A/\mathbb{K}}\rightarrow M$.

De hecho si $latex A=\mathbb{K}[x_1,...,x_n]$ es el anillo de polinomios en $latex n$ variables, (es decir, el anillo de coordenadas del espacio afín $latex \mathbb{A}^n$ tenemos que $latex \Omega_{A/\mathbb{K}}\cong \bigoplus_{i=1}^n A$ , esto lo pueden demostrar ustedes utilizando el mapeo $latex A\rightarrow \bigoplus_{i=1}^n A$ dado por $latex f\mapsto (\frac{\partial f}{\partial x_1},...,\frac{\partial f}{\partial x_n})$ y notando que es una derivada $latex \mathbb{K}$-lineal y que el mapeo $latex \phi:\Omega_{A/\mathbb{K}}\mapsto \bigoplus_{i=1}^n A$ dado por $latex df\mapsto (\frac{\partial f}{\partial x_1},...,\frac{\partial f}{\partial x_n})$ es un isomorfismo con inverso $latex \psi:\bigoplus_{i=1}^n A \rightarrow \Omega_{A/\mathbb{K}}$ dado por $latex (f_1,...,f_n)\mapsto \sum_{i=1}^n f_idx_i$.

Una observación "geómetra algebraica" es que la curva definida por el álgebra $latex A$ (su anillo de coordenadas) , por más abstracto que sea esto y por más raro o más típico que sea el campo $latex \mathbb{K}$ es suave, sin singularidades extrañas en su geometría, entonces $latex \Omega_{A/\mathbb{K}}$ es un módulo localmente libre de rango exactamente la dimensión de Krull del anillo $latex A$ que coincide con la dimensión topológica de la variedad $latex X$ asociada al álgebra $latex A$.  

Ahora vamos a construir los grupos de cohomología, para esta parte es necesario que entiendas lo que es el producto cuña $latex dx_i\wedge dx_j$, yo aquí lo expongo con ejemplos y de manera geométrica.

Definición: Sea $latex \Omega^k_{A/\mathbb{K}}=\bigwedge_{i=1}^k \Omega_{A/\mathbb{K}}$ , es decir en particular $latex \Omega^{0}_{A/\mathbb{K}}=A$ y $latex \Omega^{1}_{A/\mathbb{K}}=\Omega_{A/\mathbb{K}}$

Y construyamos el complejo de cadenas dado por 

                 $latex d_{k}:\Omega^{k-1}_{A/\mathbb{K}}\rightarrow \Omega^{k}_{A/\mathbb{K}}$ 

$latex f_0 df_1\wedge ... \wedge df_{k-1}\mapsto df_0\wedge df_1\wedge ... \wedge df_{k-1}$

Estas $latex d_j$ entre los módulos de diferenciales de orden $latex j$ y  $latex j+1$ pueden demostrar que son derivaciones, y denotamos como $latex \Omega^{\bullet}_{A/\mathbb{K}}$ al complejo de cadenas resultante con su respectivo operador de frontera en cada flecha dado por $latex d_j$.

$latex \cdots\xrightarrow{d_{k-1}}\Omega^{k-1}_{A/\mathbb{K}}\xrightarrow{d_{k}} \Omega^k_{A/\mathbb{K}}\xrightarrow{d_{k+1}} \Omega^{k+1}_{A/\mathbb{K}}\xrightarrow{d_{k+2}}\cdots$

Pueden demostrar que en efecto $latex d_{k+1}\circ d_k =0$ por lo que $latex \text{Im}{d_k}\subseteq \ker d_{k+1}$, que es lo fundamental para construir la teoría de cohomología.

Definición: El complejo de DeRham para la $latex \mathbb{K}$-álgebra $latex A$ está dado por el complejo de cadenas $latex \Omega^{\bullet}_{A/\mathbb{K}}$ donde su i-ésimo grupo de Cohomología está definido como: 

$latex H^{i}_{dR}(A/\mathbb{K}):=H^{i}(\Omega^{\bullet}_{A/\mathbb{K}})=\ker{d_{i+1}}/\text{Im} d_{i}$

Nota que si $latex \space i> KrullDim(A)=Dim(X)$ por las propiedades del producto cuña $latex \wedge$ tendrás dependencia lineal por lo que $latex \Omega^i_{A/\mathbb{K}=0$ que implica que $latex H^i(A/\mathbb{K})=0$ , nota que podemos generalizar esta construcción a esquemas de tipo finito por lo que es mejor denotar $latex H^{i}_{dR}(X/\mathbb{K}):=H^{i}_{dR}(A/\mathbb{K})$ donde $latex X=Spec(A)$ , esto es la generalización usando el espectro del anillo y lo tengo explicado aquí con ejemplos, pero si no te gusta esto, o te es muy complicado, sigue usando el anillo $latex A$.

Cohomología en característica p

Vamos a jugar un poco con esta cohomología y supongamos ahora que $latex \mathbb{K}=\mathbb{F}_p$, queremos definir una teoría de cohomología para variedades sobre $latex \mathbb{F}_p$ , el punto aquí será definir una teoría de cohomología con coeficientes en un campo de característica 0 relacionado muy cercanamente con $latex \mathbb{F}_p$ para una variedad afín sobre $latex \mathbb{F}_p$.

Primero, observemos por qué el párrafo anterior, considera $latex X=\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_p}$ es decir $latex A=\mathbb{F}_p[X]=\mathbb{F}_p[x]$, es fácil ver que $latex H^{1}_{dR}(A/\mathbb{F}_p)$ es un $latex \mathbb{F}_p$-espacio vectorial de dimensión infinita ya que por ejemplo $latex d_1(x^{pk})=0$ $latex \forall k\geq 0$ por lo que $latex \lbrace x^{pk-1}dx \rbrace_{k\geq 0} \not\subset \text{Im }d_1$ y $latex \lbrace x^{pk-1}dx \rbrace_{k\geq 0}\subset \Omega_{A/\mathbb{F}_p}$  $latex \forall k\geq 0$

  

O sea tenemos que $latex d_1:A\rightarrow \Omega^{1}_{A/\mathbb{F}_p}$ está dado por $latex f\mapsto df$ y $latex d_2:\Omega^{1}_{A/\mathbb{F}_p}\rightarrow \Omega^{2}_{A/\mathbb{F}_p}$ está dado por $latex gdf\mapsto dg\wedge df$.

Con esto anterior y la observación de que $latex x^{pk-1}dx\notin \text{Im }d_1$ tenemos que:

$latex \ker d_2=\langle \lbrace cdf : f\in A,\text{ }\forall c\in\mathbb{F}_q\rbrace \cup \lbrace cx^{pk}df : k\geq 0\rbrace\rangle$

$latex \text{Im }d_1=\langle \lbrace df \in \Omega^{1}_{A/\mathbb{F}_q} : f=cx^{pk+r},\text{ }r\neq -1\rbrace\rangle$

Por lo tanto:

$latex H^{1}_{dR}(A/\mathbb{F}_q)=\ker d_{2}/\text{Im }d_{1}$

Es como $latex \mathbb{F}_p$-espacio vectorial tiene una infinidad de generadores dados por todos los valores que puede tener $latex k\geq 0$ ya que la Imágen de $latex d_1$ está totalmente contenida en la parte izquierda del kérnel de $latex d_2$ y la parte derecha es infinita.

Esto es un problema... tenemos que de hecho $latex \Omega^{1}_{A/\mathbb{F}_p}$ tiene dimensión infinita, esto no nos sirve de nada, es muy grande, necesitamos deshacernos de la característica $latex p$ que nos da problemas con las derivaciones de funciones polinomiales con exponente múltiplo de $latex p$.

El campo de característica 0 que usaremos es $latex \mathbb{Q}_p$ (campo de p-ádicos que lo puedes ver explicado en mi blog aquí )y considera su anillo de enteros asociado $latex \mathbb{Z}_p$ , es bien conocido que $latex \mathbb{Z}_p/p\mathbb{Z}_p\cong \mathbb{F}_p$, 

Supón que tienes una $latex \mathbb{F}_p$-álgebra $latex A$ , entonces si pudieramos encontrar una $latex \mathbb{Z}_p$-álgebra suave $latex \tilde{A}$ con $latex \tilde{A}\otimes_{\mathbb{Z}_p}\mathbb{F}_p\cong A$ podrías considerar la cohomología de DeRham de la $latex \mathbb{Q}_p$-álgebra $latex \tilde{A}_{\mathbb{Q}_p}:=\tilde{A}\otimes_{\mathbb{Z}_p}\mathbb{Q}_p$

Con esto, ya nos deshacemos de la dimensión infinita, pero el problema es que levantar (lift) el álgebra $latex A$ como $latex \mathbb{Z}_p$-álgebra da diferentes grupos de cohomología , aunque finitos pero diferentes y necesitamos una manera de poder encontrar un lifting único que nos sirva para poder aplicar el teorema del punto fijo.

Por ejemplo si $latex A=\mathbb{F}_p[x]$ y $latex \tilde{A}_1=\mathbb{Z}_p[x]$ , $latex \tilde{A}_2=\mathbb{Z}_p[x,y]/\langle (1+px)y-1 \rangle$, puedes verificar que $latex H^1_dR(\tilde{A}_{1,\mathbb{Q}_p}/\mathbb{Q}_p)=0$ y $latex H^1_dR(\tilde{A}_{2,\mathbb{Q}_p}/\mathbb{Q}_p)$ tiene dimensión 1

Como vemos, tenemos dos liftings de $latex A$ con diferente grupo de cohomología.

Vamos a seguir después con el anillo en el que queremos trabajar la cohomología, para aplicar el teorema del punto fijo de Lefschetz por ahora nos quedamos aquí.

Después le seguimos, espero les haya interesando.

Eduardo Ruíz Duarte (beck)

twitter: @toorandom

Teorema de dualidad de Poincaré (2/2)

Ya por fin llegamos a la parte final, después de dos tópicos interesantes que fueron los dos posts anteriores que son la construcción de los grupos de homología y cohomología los cuales son necesarios y recomiendo les eches un ojo antes en ese orden si no lo has hecho antes de comenzar aquí, ahora voy a tratar de hacer ver el teorema de dualidad de Poincaré.

Esto no será una demostración, sólo será una idea intuitiva, pero la demostración la pueden encontrar en cualquier texto de topología algebraica como Hatcher que creo que es el libro te texto por excelencia para topología algebraica.

Formularemos el teorema considerando un cubo y un octaedro metidos uno en el otro

Observaciones:

a) Como pueden ver, en el lado izquierdo, los 6 vértices del octaedro verde tocan todas las 6 caras cuadradas del cubo rojo.

b) Por otro lado, en la figura de enmedio, lo que ven es que los 8 vértices del cubo tocan cada una de las 8 caras del octaedro.

c) En la última figura del lado derecho se pueden ver las dos figuras, y claramente podríamos verlo como una triangulación de las dos figuras en una esfera (complejo simplicial) $latex \mathbb{S}^2$ por lo que la dimensión en la que trabajamos es 2

d) También pueden observar en la última figura que cada una de las aristas del octaedro toca sólo una vez a una cada una de las aristas del cubo, es decir están en correspondencia 1-1

Entonces podemos ver que en $latex \mathbb{S}^2$ tenemos dos estructuras, la del cubo que la llamaremos $latex C$ y la del octaedro que le llamaremos $latex C^{*}$ , que corresponden a complejos de cadenas y podemos comenzar a intuir la dualidad.

Deducciones de complejos de cadenas en cubo y octaedro.

Del punto d) podemos decir que las aristas , es decir , las $latex 1$-cadenas son iguales en $latex C$ y $latex C^{*}$ , por lo que $latex C_{1}=C^{*}_{1}$ , ya que estan en correspondencia 1-1 entre el octaedro y el cubo.

Del punto a) Vemos que las caras del cubo (2-cadenas) están 1-1 con los vértices (0-cadenas) del octaedro, por lo que $latex C_2=C^{*}_0$

De punto b) pueden ver que cada cara (2-cadena) del octaedro toca a cada vértice (0-cadenas) del cubo por lo que $latex C^{*}_2 = C_0$

Calcular homología y cohomología 

Ya estamos listos para calcular cohomología y homología, en la parte 1 calculamos la homología en $latex \mathbb{Z}$ para poder usar signos y preservar orientación, esta vez lo haremos sobre $latex \mathbb{F}_2$ para que sea más sencillo, es decir, nos olvidamos de la orientación de los símplices por un momento.

Entonces tenemos la sucesión con el mapeo frontera $latex \partial$ que manda a las sumas de las fronteras con respecto a caras, aristas, vértices y su respectivo mapeo dual como ya lo definimos en la parte 1.5 (post anterior) de esta serie de post

$latex C_2 \xrightarrow[]{\partial_2} C_1 \xrightarrow[]{\partial_1} C_0$

$latex C^{*}_2 \xleftarrow[]{\delta_2}C^{*}_1\xleftarrow[]{\delta_1}C^{*}_0$

Recomendación para la visualización y motivación siguiente:
Fija una cara en los dibujos del cubo (yo fijaría la de hasta arriba) y observa la descripción siguiente
en términos de sus aristas y vértices, así como el vértice dual de la cara del cubo en el octaedro.

Entonces ahora tenemos que $latex \partial_2$ toma una cara y lo mandará a la suma de sus fronteras que son $latex 1$-cadenas (Aristas), y en cohomología , el mapeo $latex \delta_0$ mandará un vértice  del octaedro hacia las aristas del octaedro que son adyacentes a ese vértice, es decir lo manda a un elemento del grupo libre $latex C^{*}_1$

Entonces tenemos que aplicando el operador frontera a una cara (2-cadena) del $latex C$, fija una cara de $latex C$ que la denotamos como $latex \square$ y sus aristas denotadas como $latex \mid_i$ y a los vértices de $latex C$ correspondientes a la arista $latex \mid_j$ los denotamos como $latex \bullet^{j}_1$ y $latex \bullet^{j}_2$.

$latex \partial_2(\square)=\mid_1+\mid_2+\mid_3+\mid_4$
$latex \partial_1(\mid_1)=\bullet^{1}_1+\bullet^{1}_2$

Tenemos que por las observaciones, a $latex \square$ le corresponde un vértice en $latex C^{*}$
el mapeo $latex \delta$ lo que hará será asignar a una $latex n-1$-cadena, la $latex  n$-cadena que la contiene, es decir por ejemplo, una arista del octaedro la mandaria a las caras de las cuales es frontera esa arista, entonces si denotamos las caras del octaedro como $latex \triangle$ sus aristas como $latex \dagger_i$ y a sus vértices como $latex \star^{i}_1$ y $latex \star^{i}_2$

Tenemos que por la observación a) tenemos que a $latex \square$ en $latex C$ le corresponde $latex \star$ en $latex C^{*}$

por lo que

$latex \delta_1(\star) = \dagger_1 + \dagger_2 + \dagger_3 + \dagger_4$

ya que asigna ese vértice del octaedro a sus aristas que lo contienen.

$latex \delta_2(\dagger_1 + \dagger_2)=\triangle_1 + \triangle_2$

Es decir, de manera analoga, las dos aristas lo mandan a la cara que las contiene.

Entonces tenemos que el mapeo $latex \delta_2$ hace lo mismo que el mapeo $latex \partial 0$ , y el mapeo $latex \delta_1$ lo mismo que $latex \partial_1$


Entonces, tenemos que

$latex C_2 \xrightarrow[]{\partial_2} C_1 \xrightarrow[]{\partial_1} C_0$   (Homología)

$latex C^{*}_2 \xleftarrow[]{\delta_2}C^{*}_1\xleftarrow[]{\delta_1}C^{*}_0$ (Cohomología)

Y si calculamos todos los mapeos como lo hicimos tenemos que los grupos de homología y cohomología se comportan así:


$latex H_0(C)\cong H^{2}(C^{*},\mathbb{F}_2)$
$latex H_1(C)\cong H^{1}(C^{*},\mathbb{F}_2)$
$latex H_2(C)\cong H^{0}(C^{*},\mathbb{F}_2)$
$latex ker\partial_{r}/Im\partial_{r+1}=H_r(C)\cong H^{2-r}(C^{*},\mathbb{F}_2)=ker\delta_{2-r+1}/Im\delta_{2-r}$

Aquí tenemos que todo esto era sobre $latex \mathbb{S}^{2}$ es decir $latex n=2$

Esto NO es casualidad, de hecho huele... no huele, apesta a teorema y es un teoremón.


Teorema de dualidad de Poincaré

Si $latex X$ es una variedad orientable y cerrada de dimensión n (compacta, sin frontera como $latex \mathbb{S}^{2}$ o un n-toro) entonces su cohomología y homología están relacionadas así:

$latex H_k(X)\cong H^{n-k}(X^{*},G)$


Esto lo pueden experimentar ustedes, por ejemplo calculen la dualidad de un icosaedro a través de su cohomología para obtener un dodecaedro, ¿existirá un objeto geométrico que sea su propio dual?  , este debería de existir... ya que todo esto yendo más lejos aún debe tener una "identidad" , y sí, de hecho es el tetraedro.

Este resultado en topología, geometría, como podrán imaginarse los algebristas, es posible que tenga alguna equivalencia en álgebra... el semestre pasado tomé curso de geometría algebraica avanzada en la Universidad de Utrecht en Holanda y demostraron el teorema de dualidad de Serré, el cuál sólo mencionaré pero no desarrollaré ya que para eso necesitaría otros 3 posts más, pero lo que les puedo decir es que existe una relación entre el teorema de dualidad de Poincaré y el teorema de dualidad de Serré usando teoría de Hodge, de hecho aquí lo mencionan y desarrollan de manera muy aceptable.

Teorema de dualidad de Serré
Sea $latex E$ un haz fibrado holomorfo sobre una variedad compleja suave compacta $latex V$ de dimensión $latex n$ (Existen generalizaciones para gavillas coherentes y haces vectoriales) , entonces:

$latex H^{q}(V,E)\cong H^{n-q}(V,\Omega_n\otimes E^{*})^{*}$

Donde $latex \Omega_n$ es el producto cuña n veces del haz cotangente de $latex V$ (en curvas esto es directo de Riemann-Roch que lo pueden consultar aquí en mi blog y formas k formas diferenciales aquí), aquí * indica "dual" , en el mismo sentido que lo vimos aquí en esta serie de posts.

Si les interesa más aquí tengo post de cohomología de De Rham y cohomología de grupos

Espero les haya gustado mucho como a mi me gustó explicarlo, si hay dudas, críticas o recomendaciones favor de usar los comentarios o escribirme un correo o twitt.

Y como fuente de todo esto es el libro de Allen Hatcher de Algebraic Topology, especificamente la parte 3.3

Eduardo Ruíz Duarte (beck)
twitter: @toorandom

Teorema de dualidad de Poincaré (parte 1/2 Homología)

Esta es la primera parte de la motivación del teorema de dualidad de Poincaré que nos muestra una propiedad universal de todos los objetos geométricos fundamentales, empezaremos con un poco de Homología, en este post no llego al teorema de dualidad pero será en el siguiente.

El post siguiente que es la parte 1.5/2 es la construcción de los grupos de cohomología usando los grupos de homología que definiremos enseguida.

Poincaré fue el primero que comenzó con la teoría de homología y cohomología, pero no como lo conocemos ahora, él trabajaba con topología y lo que él quería era contar hoyos , esto podrá sonar muy trivial si se imaginan un toro o una esfera que saben que tiene 1 hoyo y 0 hoyos respectivamente, pero como se imaginarán existen espacios muy complicados, que en la práctica por ejemplo se puede traducir a superficies modeladas con ecuaciones que representan restricciones en un modelo de muchas dimensiones... si quieres imaginarte su geometría, estarás perdido, para eso tienes que fijarte en su topología para poder tener una intuición de cómo se ve, o sea yo te puedo decir que la ecuación $latex y^2 = x^3 - 1$ así de simple como la ves tiene un hoyo en $latex \mathbb{C}^2$ a pesar de que estos hoyos no se puedan visualizar tan intuitivamente.

La técnica de medir estos hoyos, que al final serán invariantes topológicos se basa en muchas cosas, entre ellas la teoría de homología y cohomología las cuáles de manera tonta la puedes ver como cierta álgebra extraída de la topología del objeto.

Ya hemos hablado antes de cohomología de deRham aquí o de cohomología de grupos acá para extender este concepto de hoyos a objetos algebraicos a través de la cohomología de Cech, también tratamos de dar la idea de Cohomología usando cálculo aquí por lo que voy a suponer que algunos conceptos ya son claros aunque tal vez repita algunos aquí.

El concepto de dualidad de Poincaré es un resultado topológico que relaciona los grupos de homología y cohomología de una variedad $latex V$ cerrada orientable de dimensión $latex n$ (sin frontera como una circunferencia, toro o esfera $latex \mathbb{S}^2$ ) , de hecho dice que

$latex H_{n-k}(V) \cong H^{k}(V)$

Es decir que el $latex k-$ésimo grupo de cohomología es isomorfo al $latex n-k$-ésimo grupo de homología de una variedad orientable y cerrada $latex V$.

Poincaré no definió el teorema anterior así, de hecho él lo definió en términos de números de Betti, (Enrico Betti) , estos números los bautizó Poincaré en su honor ya que Betti estudió superficies sin frontera en dimensiones altas lo cual fue el motivante para Poincaré, y los definió así:

Definición
Sea $latex V$ una variedad de dimensión $latex n$ el número de Betti $latex B_r$ para una dimensión $latex r$ es el número máximo de subvariedades de $latex V$ de dimensión $latex r$ contenidas en $latex V$ que son linealmente independientes, +1

Teorema de dualidad de Poincaré: Si $latex V$ es de dimensión $latex n$ orientable y cerrada entonces $latex B_r=B_{n-r}$


Este tipo de resultados tienen aplicaciones en física cuántica y en estudio de la forma del universo, entre otras cosas que no conozco bien pero que bien si les interesa pueden investigarlo ustedes mismos y verán por qué en un momento.

También existe otra relación geométrica que es muy familiar para nosotros, que es la característica de Euler, tal vez algunos han experimentado con la fórmula característica de Euler

$latex \chi=V-E+F$ , es decir vértices-aristas+caras , este número es interesante, ya que es un invariante topológico, si ustedes triangulan, cuadriculan, o dibujan cualquier red de aristas, vértices y caras en una esfera, SIEMPRE obtendrán $latex \chi=2$ , es decir una esfera triangulada y cuadriculada les dará 2, o si aplican la fórmula a un octaedro y a un cubo también... pero si aplican la fórmula a un toro triangulado o a una botella de Klein, verán que las cosas cambian, ya que no son topológicamente equivalentes a una esfera y obtendrán otros valores porque tienen hoyos.

De hecho, esto puede ser generalizado a dimensiones altas, y lo que dice aquí se puede pasar a complejos de cadena, una cara es la frontera de una variedad, la frontera de una cara son las aristas, y la frontera de una arista son sus vértices $latex (V\leftarrow E \leftarrow F)$ y cuál es la frontera de una frontera ?, es decir si $latex X$ es una variedad y $latex \partial$ es el operador que te calcula la frontera qué es $latex \partial\partial X$ ? , si saben un poco de topología puntual, saben que la frontera de un objeto es un conjunto cerrado sin puntos interiores... por lo tanto la frontera de esto al no haber puntos interiores deberá ser vacía (no hay de donde tomar orilla).

La generalización de esto, es decir ya no podemos hablar de aristas, caras ni vértices, sino de símplices, porque en dimensiónes más altas que 3 necesitarías otras palabras como "hipercara".

Teorema: Sea $latex U$ una variedad  de dimensión $latex n$
$latex \chi_U = \sum_{r=0}^n (-1)^{r}\Delta_r = \sum_{r=0}^n (-1)^{r}B_r$

La parte izquierda es la misma formula característica de Euler, $latex V-E+F$ pero en general para una variedad $latex U$ de cualquier dimensión $latex n$, donde $latex \Delta_r$ son los símplices de dimensión $latex r$ tomados en cualquier triangulación definida en $latex U$ (si $latex n=3$ entonces tienes la formula usual de Euler) , en la parte derecha tenemos los números de Betti de $latex X$ para cada una de las dimensiones $latex r$.


De hecho a Platón o algún otro filósofo-matemático griego se les escapó una oportunidad de pasar aún más a la historia al estudiar los sólidos tridimensionales, sería considerado padre de la homología, ya que si hubiera dicho algo así como "La frontera de la frontera es vacía" seguro hubiera pasado a la historia de las matemáticas como lo hizo Euclides y muchos teoremas importantes en topología algebraica llevarían su nombre, de hecho en todas las teorías de Homología y Cohomología se necesita tener un operador frontera $latex \partial$

Este resultado de Poincaré trataré de explicarlo sólo como una motivación que pretenderá dar una intuición geométrica-topológica de esto, pero para esto tendré que explicar un poquito de homología simplicial que es la más básica, pero es la necesaria para poder entender construcciones más ricas como la homología singular.

Definición
Un $latex k-$símplice $latex \Delta_k$ es un triángulo generalizado a dimensión $latex k$, y es la envolvente conexa de $latex k+1$ puntos en $latex \mathbb{R}^{k+1}$ , es decir, es la intersección de todos los conjuntos convexos que contienen a esos puntos.

Más fácil, es un triángulo generalizado, si $latex k=2$ tenemos que en $latex \mathbb{R}^{3}$ necesitamos $latex 2+1$ puntos para definir un $latex 2-$símplice , es decir.. un triángulo, un triángulo es el conjunto $latex \Delta_2=\lbrace (x_0,x_1,x_2)\in \mathbb{R}^3 : x_0+x_1+x_2=1,\space x_0,x_1\geq 0\rbrace$, en general


$latex \Delta_n=\lbrace (x_0,...,x_n)\in \mathbb{R}^{n+1} : \sum_{i=0}^{n}x_i=1, \space x_i\geq 0\rbrace$

Ése señoras y señores es un triángulo de dimensión $latex n$ generalizado, noten que lo expresamos en dimensión $latex \mathbb{R}^{n+1}$, podrían usar otro espacio euclídeo, no sólo $latex \mathbb{R}^k$, para $latex \Delta_0$ tenemos que $latex x_0=1$ es un punto, después $latex \Delta_1$ es una recta, $latex \Delta_2$ es un triángulo,  $latex \Delta_3$ es un tetraedro, $latex \Delta_4$ es un pentatopo, etc... y este objeto es la base de la triangulación de cualquier variedad., noten que los puntos $latex v_0=(1,0,0...0) ,v_1=(0,1,0,0,...0), v_n=(0,0,...,0,1)$  son parte del conjunto y les llamamos coordenadas baricéntricas y son los vértices del $latex n-$símplice y nos permiten de una manera referirnos a los símplices sólo identificados con estos puntos.


Definición (complejo simplicial): Un $latex \Delta-complejo$ simplicial es un conjunto  de símplices de cualquier dimensión, pegados de tal manera que sus intersecciones también son símplices,

Vamos a denotar como $latex \Delta^{\alpha}_k$ como al $latex k-$símplice indexado por $latex \alpha$ , es decir denotar a la arista1, arista2, cara8, etc...

Es decir, un complejo simplicial es un conjunto de simplejos (puntos, aristas, triangulos, tetraedros, et cétera) , que cumplen que si $latex \sigma \in \mathcal{K}$ entonces las caras de $latex \delta$ también están en $latex \mathcal{K}$ y que si $latex \sigma_1,\sigma_2\$ pertenecen al complejo simplicial entonces $latex \sigma_1\cap \sigma_2$ también es una símplice común (cara común, arista común, vértice común, tetraedro común).

Ejemplo complejo simplicial                                         No-Ejemplo complejo simplicial

               

Ya con esto definimos los objetos en los cuales nos vamos a enfocar, ahora vamos por el álgebra aquí.

Definición (k cadena): Sea $latex X$ un $latex \Delta-$complejo simplicial, una $latex k-$cadena es una combinación lineal de $latex k-$símplices vista desde el grupo abeliano libre $latex \Delta_k(X)$ tomando como base todos los $latex k-$símplices de $latex X$, es decir es una $latex k-$cadena es una expresión de la forma

$latex \sum_{i=0}^{n} n_i\Delta^{i}_k$


Es decir por ejemplo es una expresión como $latex 4\Delta^{1}_3+8\Delta^{2}_3$ sería una $latex 3-$cadena formada por dos tetraedros.


Definición (k frontera débil): La $latex k$-frontera de una $latex k$-cadena es la suma de los $latex k-1$-simplices en la $latex k$-cadena, la cual se obtiene al quitar una coordenada a cada uno de los $latex k-$símplices de la $latex k$-cadena.

Vamos a desarrollar más esto que es importante, es décir como calcular la frontera.

Si tenemos un $latex k$-símplice, sabemos que está dado por sus coordenadas baricéntricas, que son los vértices, entonces

$latex \Delta_k = [v_0,v_1,...,v_k]$

Si queremos calcular su frontera de esta $latex k$-cadena, como dijimos en la definición, es calcular la $latex k-1$-cadena quitando vértices de $latex \Delta_k$ es decir.

$latex Fr(\Delta_k) = \sum_{i} [v_0, ..., \hat{v_i}, .. v_k]$

Donde $latex \hat{v_i}$ significa quitar esa coordenada, y vamos a modificar la función de frontera anterior y substituirla por una $latex \partial$ que nos permitirá conservar orientación de las caras, aristas, etc..

$latex \partial\Delta_k = \sum_{i} (-1)^{i}[v_0, ..., \hat{v_i}, .. v_k]$

Por ejemplo, podemos ver como se calcula la frontera de una arista, cara y tetraedro en la siguiente imagen sacada del libro de topología algebraica de Hatcher

Aquí pueden ver cómo se ve la frontera de una arista $latex [v_0,v_1]$ et cétera

Definición (k-frontera fuerte)

La función de frontera definida entre los $latex k$-simplices  y $latex k-1$-simplices de una complejo simplicial $latex X$, donde definimos $latex \Delta_k(X)$ como el grupo abeliano libre formado por los $latex k-$simplejos está definida como:

$latex \partial_k:\Delta_k(X)\rightarrow \Delta_{k-1}(X)$
$latex \Delta^{\alpha}_k \mapsto \sum_{i}(-1)^{i} \Delta^{\alpha}_k\mid [v_0,...,\hat{v_i},...,v_k]$


Donde es fácil ver que el lado derecho en efecto es una $latex k-1$-cadena porque sólo estamos sumando las mismas coordenadas de $latex \Delta^{\alpha}_k$ pero quitándole una coordenada, convirtiéndola en una $latex k-1$-cadena.

Es un ejercicio usual que prueben el siguiente teorema

Teorema: La composición en:

$latex \Delta_n(X)\xrightarrow{\partial_n}\Delta_{n-1}(X)\xrightarrow{\partial_{n-1}}\Delta_{n-1}(X)$

Es 0, es decir $latex (\partial_{n-1}\circ \partial_{n})(\Delta_{n}^{\alpha})=0$ para cualquier $latex \Delta_{n}$ y $latex \forall n$


De hecho esto es la algebrización de lo que Euclides o Platón pudieron haber hecho para pasar a la historia de La frontera de la frontera es vacía, esto sucede en cualquier dimensión y para cualquier símplice en cualquier complejo simplicial.


Definición (k ciclo): Un $latex k$-ciclo es una $latex k$-cadena cuya $latex k$-frontera es 0, y de hecho los $latex k-$ciclos son un subconjunto de las $latex k$-cadenas.


Tenemos que $latex Im\partial_n \subset Ker \partial_{n-1}$ y de hecho los $latex n-$ciclos coinciden con $latex Im\partial_n$ y las $latex n$-fronteras coinciden con  $latex Ker \partial_{n-1}$
como todo lo estamos trabajando en el grupo abeliano libre $latex \Delta_k{X}$ para cualquier $latex k$ , podemos definir el cociente, y tenemos la siguiente definición.

Definición (n-ésimo grupo de Homología) 

El $latex n$-ésimo grupo de Homología de $latex X$  es:

$latex H_n(X)=ker\partial_{n}/im\partial_{n+1}$


Ejemplo $latex \mathbb{S}^2$
El ejemplo obligado es $latex X=\mathbb{S}^1$ el círculo, donde tomas sólo un vértice $latex v$ y una arista $latex e$ que se cierra a si misma para que sea más simple, entonces puedes ver que de hecho $latex \Delta_0(X)$ el grupo abeliano libre generado por un vértice , y $latex \Delta_1(X)$ el generado por una arista pues es simplemente $latex \mathbb{Z}$ , para dimensiones más altas es 0, porque no hay símplices más grandes que quepan en el círculo.

Ejemplo toro (dona):

Otro ejemplo que pueden desarrollar es el Toro, donde deberían de obtener $latex H_1(T)=\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}$ , y como hint pueden usar la definición básica del toro con flechas 

Que significa , "doblar y pegar las aristas azules y despues doblar y pegar las aristas rojas", como pueden ver en el siguiente dibujito, eso ya les define una configuración básica de tres aristas (1-símplices) $latex a,b,c$ también dos caras $latex U,L$ (2-símplices) y un solo vértice $latex v$ (0-símplice), lo cual es suficiente para calcular homología, recuerden que todo esto es invariante bajo configuraciones de triangulaciones, y realmente estarían calculando la homología de lo azul con lo rojo con la siguiente configuración donde solo hay un solo vértice.

De hecho $latex \partial_1=0$ como en el ejemplo pasado haciendo que $latex H_0(T)=\mathbb{Z}$ y $latex \partial_2(U)=\partial_2(L)=a+b-c$ y $latex \lbrace a,b,a+b-c\rbrace$ es base $latex \Delta_1(T)$ por lo que $latex H_1(T)=\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$, todo esto lo pueden verificar ustedes, pero esto lo debi de haber dejado como ejercicio.

Espero les haya gustado, la siguiente parte veremos ya el teorema de dualidad de Poincaré 

Eduardo Ruíz Duarte (beck)

twitter: @toorandom

Complejos de de Rham y cohomología (Derivaciones parte 1/4)

Esta es una especie de continuación de un post donde traté de llegar desde el cálculo hasta la cohomología de de Rham utilizando rotacional, divergencia y gradiente (De Rham), pero es hora de hacerlo formalmente, y para ello necesitaremos imaginarnos unos espacios que se llaman diferenciales de Kähler, antes hablé de diferenciales y k-formas diferenciales , pero lo retomaremos, el punto de este post será poder usar la cohomología de de Rham para saber si una curva hiperelíptica sobre un campo finito es segura criptográficamente hablando calculando el número de elementos de su jacobiana el cuál nos dice sobre su seguridad de acuerdo a su factorización, y para esto utilizaremos el teorema del punto fijo de Lefschetz sobre el morfismo de Frobenius en característica 0 p-ádico (lift a $latex \mathbb{Q}_p$) definido en el primer grupo de cohomología de una subálgebra de de Rham, para eso primero veremos como construir toda el álgebra de de Rham usando diferenciales de Kähler.

Pero antes de todo esto necesitamos empezar con los preliminares, que serán el concepto de derivacion en cualquier álgebra.


Derivaciones en un punto

La derivada en dirección de un vector tangente $latex v$ a un punto $latex p\in \mathbb{R}^n$ de una función $latex f\in C^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ es un número real:

$latex D_v(f):=\sum_{i=1}^n x_i(v) \frac{\partial f}{\partial x_i}(p)$

Donde $latex x_i$ son las coordenadas en $latex \mathbb{R}^n$ y $latex x_i(v)=v_i$ (i-ésimo componente de $latex v$)

Para todo vector tangente $latex v$ a un punto $latex p\in \mathbb{R}^n$ tenemos que la derivada direccional en $latex p$ nos da un mapeo de espacios vectoriales

$latex D_v:C^{\infty}_p\rightarrow \mathbb{R}$


que manda $latex f$ definida en $latex p$ a un número real, en general la función $latex D_v$ está definida como:

$latex D_v=\sum x_i(v) \frac{\partial}{\partial x^{i}}\mid_p$


Tenemos que $latex \forall v\in T_p(\mathbb{R}^n)$ hay un $latex D_v$ y todos cumplen la regla de Leibniz, es decir $latex D_v(fg)=(D_vf)g(p)+f(p)D_vg$.

Todos los mapeos $latex \mathbb{R}$-lineales $latex D:C^{\infty}_p\rightarrow \mathbb{R}$ que satisfacen la regla de Leibniz son derivaciones en $latex p$  y denotamos a todas las derivaciones en $latex p$ como $latex \mathbb{D}_p(\mathbb{R}^n)$ y de hecho este espacio es un espacio vectorial ya que dos derivaciones sumadas en el mismo punto es una derivación, y como es $latex \mathbb{R}$-lineal no pierden la propiedad de Leibniz al multiplicarlas por un escalar, entonces por ahora ya tenemos que TODAS las derivadas direccionales en $latex p$ son todas las derivadas en $latex p$ por lo que tenemos un mapeo.


$latex \phi:T_p(\mathbb{R}^n)\rightarrow \mathbb{D}_p(\mathbb{R}^n)$
$latex v\mapsto D_v=\sum x_i(v) \frac{\partial}{\partial x^{i}}\mid_p$


Como $latex D_v$ es lineal en $latex v$ , el mapeo $latex \phi$ es un mapeo de espacios vectoriales, faltaría ver qué sucede con las constantes, es decir que si $latex D\in \mathbb{D}_p(\mathbb{R}^n)$ entonces si $latex c\in\mathbb{R}$ entonces $latex D(c)=0$ pero esto se sigue que la linealidad y la regla de Leibniz haciendo que $latex c=1c$.

Función $latex \delta$ de Kronecker

Ésta es una función muy útil para la notación
$latex \delta_j^i=\left\{\begin{array}{11} 1&\mbox{if } i=j\\ 0 & \mbox{if }i \neq j \end{array}\right$

Ahora, tenemos que es fácil demostrar que $latex \phi$ definido previamente es un isomorfismo, es decir $latex T_p(\mathbb{R}^n) \cong \mathbb{D}_p(\mathbb{R}^n)$ ya que si procedemos naturalmente al suponer que $latex D_v=0$ para algún $latex v\in T_p(\mathbb{R}^n)$ entonces $latex 0=D_v(x_j)=\sum_i v^i \frac{\partial}{\partial x_i}\mid_p x_j = \sum_i x_i(v)\delta_i^j = x_j(v)$ y entonces $latex v=0$ lo que nos dice que $latex \phi$ es inyectiva.

Aquí la función $latex \delta$ nos ayuda a eliminar las parciales en las variables que no son iguales al índice con notación más limpia, la suprayectividad la pueden demostrar ustedes.

Lo que sucede aquí es que para todo vector tangente a $latex p$ tenemos una derivación en $latex p$ entonces si ambos son espacios vectoriales, uno de puntos... y otro de derivaciones, lo más natural es identificar sus bases estándares, si $latex \lbrace e_1,e_2,...,e_n \rbrace$ es base de $latex T_p(\mathbb{R}^n)$ entonces bajo este isomorfismo tenemos que:

$latex \phi(e_i) = \sum_i \delta_i^j \frac{\partial}{\partial x_i}\mid_p=\frac{\partial}{\partial x_i}$

Por lo que: 

$latex \bigg \lbrace \frac{\partial}{\partial x_1}\mid _p,..., \frac{\partial}{\partial x_n}\mid_p\bigg\rbrace$ genera al espacio vectorial $latex \mathbb{D}_p(\mathbb{R}^n)$ y es su base estándar.

Con esto nos conviene denotar a los vectores $latex v\in T_p(\mathbb{R}^n)$ tangentes a $latex p$ más explícitamente en términos de la base de $latex \mathbb{D}_p(\mathbb{R}^n)$ los cuales son puntos $latex v=\sum v_i e_i = \sum x_i(v) e_i = (v_1,...,v_n)$ como:

$latex v=\sum v_i \frac{\partial}{\partial x_i}\mid_p$


Campos vectoriales

Si $latex U\subset \mathbb{R}^n$ es un abierto un campo vectorial $latex X$ es una función que asigna a $latex p\in U$ un vector tangente $latex X_p \in T_p(\mathbb{R})^n$, este vector $latex X_p$ en términos de la base $latex \bigg \lbrace \frac{\partial}{\partial x_j}\mid_p \bigg \rbrace$ es:

$latex X_p=\sum a_i(p) \frac{\partial}{\partial x_i}\mid_p = (a_1,...,a_n)$ 

con $latex p\in U$, $latex a_i\in C^\infty(U)$, $latex a_i(p)\in \mathbb{R}$ 

Podemos omitir la $latex p$ en este caso y decir que el campo vectorial $latex X=\sum a_i \partial/\partial x_j$ 

Ejemplos típicos:

$latex X=\frac{-y}{\sqrt{x^2+y^2}}\frac{\partial}{\partial x}+\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\frac{\partial}{\partial y}= \bigg ( \frac{-y}{\sqrt{x^2+y^2}},\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \bigg )$

y

$latex Z=\frac{x\partial}{\partial x} + \frac{-y\partial}{\partial y}=(x,-y)$

Es importante la notación como punto y la de vector para que noten la base y la importancia del operador $latex \partial/\partial x_i$

Aquí están los dos campos vectoriales dibujados en $latex \mathbb{R}^2\setminus \lbrace 0 \rbrace$ y $latex \mathbb{R}^2$ respectivamente, ustedes vean la definición y el dibujo.

Entonces un campo vectorial $latex X=\sum a_i \partial/\partial x_j$ nos permite "mover" la $latex p\in U\subset \mathbb{R}^n$  , podemos multiplicar cualquier función $latex f\in C^{\infty}(U)$ por un campo vectorial $latex X$ y aún así seguir teniendo un campo vectorial ya que $latex fX=\sum (fa^i)\partial/\partial x_i$ es un campo vectorial $latex C^\infty$ en $latex U$ por lo que podemos sumarlos y multiplicar por 'escalares' del anillo $latex C^\infty(U)$ entonces tenemos que todos los campos vectoriales en $latex U$ los denotamos por $latex \mathfrak{X}(U)$ es un $latex C^\infty(U)-$módulo 


Derivaciones a partir de campos vectoriales

Vamos a definir más derivaciones ahora a partir de esto.

Sea $latex X \in \mathfrak{X}(U)$ con $latex U\subset \mathbb{R}^n$ y sea $latex f\in C^{\infty}(U)$ definimos la función $latex Xf$ en $latex U$ como:

$latex (Xf)(p)=X_pf = \sun a_i(p)\frac{\partial f}{\partial x_i}(p)$   $latex \forall p\in U$

sin la $latex p$ tenemos que la función es $latex Xf=\sum a_i \frac{\partial f}{\partial x_i}$
donde se ve claramente que $latex Xf\in C^\infty(U)$ , por lo que podemos definir a el campo vectorial $latex X$ como una función que mapea funciones a funciones

$latex X:C^{\infty}(U)\rightarrow C^\infty(U)$
$latex f\mapsto Xf$


Como podemos intuirlo este mapeo para todo campo vectorial cumple la regla de Leibniz es decir

$latex X(fg)=(Xf)g+fXg$

Ya que puntualmente se cumplirá la regla de Leibniz si ustedes lo verifican.

Una derivación en el álgebra $latex C^\infty(U)$ sobre  $latex \mathbb{R}$ es un mapeo $latex \mathbb{R}$-lineal
$latex D:C^{\infty}(U)\rightarrow C^{\infty}(U)$ tal que $latex D(ab)=(Da)b+aDb$ donde $latex a,b\in C^{\infty}(U)$ .

Todas las derivaciones de $latex C^{\infty}(U)$ están cerradas bajo suma y multiplicaciones escalar por lo que forma un espacio vectorial el cual lo llamamos $latex Der(C^{\infty}(U))$ y esto funciona con cualquier álgebra, no sólo con las funciones infinito diferenciales, por lo que tenemos el siguiente mapeo


$latex \Phi:\mathfrak{X}(U)\rightarrow Der(C^{\infty}(U))$
$latex X\mapsto [f\mapsto Xf]$

Esto como imaginarán es un isomorfismo lo que quiere decir es que todos los campos vectoriales de un abierto $latex U$ pueden ser identificados con derivaciones del álgebra $latex C^{\infty}(U)$.

Cohomología de grupos

Queremos estudiar el la jacobiana $latex \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q}(\mathcal{C})$ de una curva $latex \mathcal{C}$ hiperelíptica de género 2 con puntos $latex [f(t),g(t)] \in \mathcal{C}(\mathbb{F}_{q}(t))$, es decir en el campo de funciones racionales en una variable con coeficientes en $latex \mathbb{F}_q$, esto es para darle más estructura a la curva ya que en cierta extensión de $latex \mathbb{F}_q$ tendremos que será isomorfa a $latex \mathcal{C}(\mathbb{F}_q)$ porque ambas tendrán el mismo $latex j-$invariante, a esta nueva curva en la extensión del campo se le llama el twist de $latex \mathcal{C}$, más adelante veremos como usar el $latex \j-$invariante para clasificar curvas, pero primero necesitamos las herramientas necesarias, todo esto con el fin de poder demostrar el teorema de Hasse-Weil de una forma distinta el cual tiene aplicaciones importantes en criptografía con curvas algebraicas.

Sea $latex G$ un grupo finito y sea $latex M$ un grupo abeliano en el cual $latex G$ actúa, denotamos a la acción de $latex \sigma \in G$ en $latex m\in M$ por $latex m \rightarrow m^\sigma$.

Sean $latex m,n\in M$, entonces decimos que $latex M$ es un $latex G-$módulo derecho si la acción de $latex G$ en $latex M$ satisface:

$latex m^e = m$              $latex (m+n)^\sigma = m^\sigma + n^\sigma$            $latex (m^\sigma)^\tau = m^{\sigma\tau}$

Si $latex M,G$ son $latex G-$módulos, un $latex G-$homomorfismo es un homomorfismo de grupos abelianos $latex \phi:M\rightarrow N$ que conmuta con la acción de $latex G$, en símbolos:

$latex \phi(m^\sigma)=\phi(m)^\sigma$    $latex \forall m\in M$ y $latex \sigma \in G$

Definimos el 0-ésimo grupo de cohomología del $latex G-$módulo $latex M$ 

$latex H^0(G,M)=\lbrace m\in M : m^\sigma = m$    $latex \forall \sigma \in G \rbrace$

Es decir, es el submódulo de $latex M$ que tiene todos los elementos que son invariantes bajo los elementos de $latex G$, recuerden que este $latex G$ puede ser un grupo de automorfismos por ejemplo.

Recordemos que un complejo de co-cadenas es una sucesión de grupos abelianos o de módulos $latex (M_\bullet,d_\bullet)$ que están conectados por homomorfismos $latex d_{i}:M^i \rightarrow M^{i+1}$ llamados operadores de cofrontera, ya que pedimos que $latex d^{n+1}\circ d^n = 0$   $latex \forall n$ , esto es dual con los complejos de cadena, solo que en homología los operadores de frontera decrementan la dimensión mientras que en co cadenas la aumentan. 

$latex ... \rightarrow M^{-2} \xrightarrow{d_{-2}} M^{-1} \xrightarrow{d_{-1}} M^0 \xrightarrow{d_0} M^1 \xrightarrow{d_1}  ... \rightarrow M^{n-1} \xrightarrow{d_{n-1}}M^n\rightarrow ...$

Una propiedad básica de esto es que si tenemos una sucesión exacta de $latex G-$módulos, otra sucesión exacta.

Es decir

$latex 0\rightarrow P \xrightarrow{\phi} M \xrightarrow{\psi} N \rightarrow 0$

Tenemos que también es exacta

$latex 0\rightarrow H^0(G,P)\rightarrow H^0(G,M)\rightarrow H^0(G,N)$

Pero el mapeo último no será suprayectivo, para medir que "tan no suprayectivo" es, vamos a definir la parte de cohomología de grupos.

Definición: Sea $latex M$ un $latex G-$módulo, el grupo de n-cocadenas de $latex G$ a $latex M$ es:

$latex C^n(G,M)=\lbrace \omega:G^n\rightarrow M \rbrace$

Es decir, son todos los mapeos de $latex G^n$ a $latex M$

Definición: Decimos que el i-ésimo diferencial 

$latex d^{i}_{M}:C^i(G,M)\rightarrow C^{i+1}(G,M)$

Es el mapeo.

$latex d^i(f)(g_0,g_1,...,g_i)=$

$latex g_0 f(g_1,...,g_i)+\displaystyle \sum_{j=1}^i {(-1)^j f(g_0,...,g_{j-1}g_j,g_{j+1},...,g_i) } + (-1)^{i+1}f(g_0,...,g_{i-1})$

Esta función está pensada para que funcione como un operador de co-frontera, y que anule su diferencial en una dimensión más baja, asó como en homología, y podamos construir sucesiones exactas, es decir.

$latex d^{i+1} \circ d^i = 0$

Definición: El grupo n-cociclos de $latex G$ a $latex M$ (con coeficientes en $latex M$) es:

$latex Z^n(G,M)=ker(d^n)$

Definición: El grupo de n-cofronteras

$latex B^n(G,M)=im(d^{n-1})$ para $latex n\geq 1$

y para $latex n=0$ 

$latex B^0(G,M)=0$

Bueno... hasta ahora qué tanto tenemos?

Recordemos que   $latex d^{i+1} \circ d^i = 0$  por lo que es fácil notar que $latex C^{\bullet}(G,M)=(C^i(G,M),d^i)$ es un complejo de co-cadenas y entonces como $latex B^i(G,M)\leq Z^i(G,M)$ podemos definir el n-ésimo grupo de cohomología

$latex H^n(G,M)=Z^n(G,M)/B^n(G,M)$

Este grupo medirá qué tan alejado está un complejo de cadenas de ser exacto.

Una cosa importante en cohomología es que convierte una sucesión exacta corta de $latex G-$módulos en una sucesión exacta larga de grupos abelianos.

A nosotros nos interesa mucho $latex H^0(G,M)$ el cuál ya definimos y $latex H^1(G,M)$

Por lo que podemos ver que:

$latex H^0(G,M)=M^G$ es decir son los $latex G-$invariantes

ya que: 

Si $latex m\in M$ entonces $latex d^0(m)(g)=gm-m$ por lo que $latex ker(d_0)=M^G$

También tenemos que

$latex Z^1(G,M)=\lbrace f:G\rightarrow M \mid f(gh)=gf(h)+f(g) \rbrace$

Esto es fácil de ver también directamente de la definición... otra cosa que hay que observar es que si la acción de $latex G$ es trivial entonces

$latex H^0(G,M)=M$ y $latex H^1(G,M)=Mor(G,M)$ 

lo cual también es evidente.

Espero les haya servido.

Eduardo Ruiz Duarte (beck)

twitter: @toorandom

Cohomología de de-Rham (parte 1 motivación desde análisis básico)

Aquí en mi blog he publicado cosas relacionadas con formas diferenciales, funciones alternantes, rotacionales, espacios tangentes, productos tensoriales de k-álgebras, de hecho construimos todas las funciones diferenciales en una variedad y vimos la derivada direccional como un funcional lineal y todo esto fue con álgebra, de hecho construimos un anillo en posts anteriores, por lo que ya estamos listos para poder definir un tema un poco más profundo, lo que haremos es examinar la cohomología de formas diferenciales.

Sabemos que una función continua real que está definida en un abierto de $latex \mathbb{R}$ tiene una función primitiva, es decir, se integra. Pero... ¿qué pasa con funciones multivariables? .

Para empezar vamos a restringirnos a funciones $latex C^{\infty}$ , es decir que tienen derivadas parciales continuas de todos los ordenes.

Con el propósito de saber por qué estamos examinando esta teoría , pongamos un ejemplo.

Sea $latex f:U\rightarrow \mathbb{R}^2$ diferenciable definida en un abierto de $latex \mathbb{R}^2$

Pregunta $latex \star$

¿Existe una función $latex F:U\rightarrow \mathbb{R}$ tal que:

* $latex \frac{\partial F}{\partial x_1}=f_1$  y   $latex \frac{\partial F}{\partial x_2}=f_2$  con $latex f=(f_1,f_2)$?

Sabemos que


$latex \frac{\partial^2 F}{\partial x_2 \partial x_1} = \frac{\partial^2 F}{\partial x_1\partial x_2}$

Por lo que deberíamos tener que

** $latex \frac{\partial f_1}{x_2}=\frac{\partial f_2}{x_1}$


Ahora, ¿existe $latex F$ suponiendo que $latex f=(f_1,f_2)$ satisface ** , ¿es esa condición de la igualdad suficiente?


Ejemplo:

Considera la función $latex f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ dada por:

$latex f(x_1,x_2) = \Big ( \frac{-x_2}{x_1^2+x_2^2} , \frac{x_1}{x_1^2+x_2^2} \Big )$


Como ejercicio puedes calcular las parciales de esa función y verás que en efecto se satisfacen las ecuaciones de ** , sin embargo no existe una función $latex F:\mathbb{R}^2-\lbrace 0 \rbrace \rightarrow \mathbb{R}$ que satisface *, y esto es fácil verlo, supongamos que sí existe, entonces:


$latex \int_{0}^{2\pi} \frac{d}{d\theta}F(cos\theta, sen\theta)d\theta = F(1,0)-F(1,0)=0$


Por otro lado, si desarrollamos el término de la integral con la regla de la cadena:

$latex \frac{d}{d\theta}F(cos\theta, sen\theta)$

$latex = \frac{\partial F}{\partial x}\cdot (-sen\theta) +\frac{\partial F}{\partial y}\cdot cos\theta$
$latex = -f_1(cos\theta,sen\theta)\cdot sen\theta + f_2(cos\theta, sen\theta)\cdot cos\theta = 1$

Esto es claro 1, sustituye y usa la $latex f$ original , por lo que la integral no puede ser 0 y esta contradicción significa que tal $latex F$ no existe.

Definición: Un subconjunto $latex X\subset \mathbb{R}^n$ se dice que es estrellado con respecto a un punto $latex x_0 \in X$ si el segmento $latex \lbrace tx_0 + (1-t)x \mid t\in [0,1]\rbrace$ está contenido en $latex X$ para todo $latex x\in X$

Teorema 1: Sea $latex U \subset \mathbb{R}^2$ un abierto estrellado, entonces para toda función diferenciable $latex (f_1,f_2):U\rightarrow \mathbb{R}^2$ que satisface **, tenemos que la pregunta $latex \star$ tiene solución.

La demostración es un poco de talacha, ya la hice y no es difícil, pero el punto es ver que el que se pueda definir la primitiva de una función depende de la topología del abierto $latex U$, esto no es coincidencia, podemos definir un invariante.


Por simplicidad y como esto es motivación para lo fuerte, seguiremos en $latex \mathbb{R}^2$.

Dado el abierto $latex U\subset \mathbb{R}^2$ y sea $latex C^{\infty}(U,\mathbb{R}^2)$ todas las funciones diferenciables $latex \phi:U\rightarrow \mathbb{R}^2$ , esto es uno de los primero ejemplos de espacios vectoriales de funciones, puedes demostrar que lo son bajo la suma usual y producto por escalares, puedes ver a la $latex \phi$ como un campo vectorial sobre $latex U$ (dibujando $latex \phi(u)$ con el punto $latex u\in U$.

Como lo habíamos definido antes en otro post, pero aquí en dimensión 2, tenemos el gradiente y rotacional:

$latex grad:C^{\infty}(U.\mathbb{R})\rightarrow C^{\infty}(U,\mathbb{R}^2)$
$latex grad(\phi)=\Big( \frac{\partial \phi}{\partial x_1},\frac{\partial \phi}{\partial x_2}\Big)$

 $latex rot:C^{\infty}(U.\mathbb{R}^{2})\rightarrow C^{\infty}(U,\mathbb{R})$

$latex rot(\phi_1,\phi_2)=\frac{\partial \phi_1}{\partial x_2} - \frac{\partial \phi_2}{\partial x_1}$

Aquí empieza lo interesante:


Nota que $latex rot \circ grad=0$, eso significa que el kernel del rotacional contiene a la imagen del gradiente .

Tenemos que el rotacional y gradiente son operadores lineales esto es que $latex Im(grad)$ es un subespacio de $latex Ker(rot)$, por lo que podemos hablar de el cociente de espacios vectoriales, es decir el espacio de clases $latex \alpha + Im(grad)$ donde $latex \alpha \in Ker(rot)$

***

$latex H^1(U)= Ker(rot)/Im(grad)$

Con esta definición podemos reformular el teorema 1

Teorema 1a: $latex U\subset \mathbb{R}^2 estrellado \Rightarrow H^1(U)=0$

Por otro lado , tenemos que el Ejemplo que desarrollamos $latex H^1(\mathbb{R}-\lbrace 0 \rbrace)\neq 0$.

De hecho se puede demostrar con un poco de cuidado que:

$latex H^1(\mathbb{R}^2 - \displaystyle \cup_{i=1}^k \lbrace x_i \rbrace) \cong \mathbb{R}^k$

De hecho... $latex k$ será el número de componentes conexas del espacio en cuestión, por lo que podemos decir que la dimensión de $latex H^1(U)$ es el número de hoyos en $latex U$

Podemos definir en analogía con *** a $latex H^0(U)=Ker(grad)$.

Lo anterior de los hoyos y eso es algo que suena muy importante por lo que realmente creo que debemos demostrarlo, y no es difícil, por lo que vamos a definir un criterio de conexidad para $latex U$

Teorema 2: Un abierto $latex U\subset \mathbb{R}^k$ es conexo $latex \Leftrightarrow$ $latex H^0(U)=\mathbb{R}$

Demostración:

Tenemos que $latex H^0(U)=Ker(grad)$. por lo que supón que tienes que $latex grad(f)=0$, esto implica que $latex f$ es localmente constante, o sea que todo $latex x_0 \in U$ tiene una vecindad $latex V(x_0)$ con $latex f(x)=f(x_0)$ cuando $latex x \in V(x_0)$ , si $latex U$ es conexo, entonces toda función localmente constante es constante, de hecho , si $latex x_0 \in U$ el conjunto:

$latex \lbrace x\in U\mid f(x)=f(x_0)\rbrace = f^{-1}(f(x_0))$

Es cerrado porque recuerden que $latex f$ es continuo, diferenciable, etcétera, también es abierto ya que $latex f$ es localmente constante, por lo que es igual a $latex U$ y $latex H^0(U)=\mathbb{R}$.

Para el regreso es más fácil ya que si $latex U$ no es conexo, entonces existe una función sobre
$latex f:U\rightarrow \lbrace 0,1 \rbrace$ tal que es localmente constante, entonces $latex grad(f)=0$ por lo que $latex dim H^0(U)>1$   $latex \blacksquare$

De hecho con lo que vimos anteriormente con el número de hoyos podrías extender esta demostración para decir que la dimensión es el número de componentes conexos.

En $latex \mathbb{R}^3$ las cosas son más interesantes.


En tres dimensiones tenemos el operador de divergencia que también lo habíamos construido en un post anterior, si extendemos $latex grad$ y $latex rot$ a $latex \mathbb{R}^3$ de manera natural y definimos

$latex div(f_1,f_2,f_3)=\frac{\partial f_1}{\partial x_1} + \frac{\partial f_2}{\partial x_2} + \frac{\partial f_3}{x_3}$

Podemos notar que aquí también sucede que $latex rot \circ grad = 0$ y adicionalmente que $latex div \circ rot=0$

Construimos de manera similar a $latex H^0(U)$ y $latex H^1(U)$ y definimos:

$latex H^2(U)=Ker(div)/Im(rot)$


Ya se imaginarán por donde voy los que han llevado un poco de topología algebraica,
el siguiente post será ya con complejos CW para ir aterrizando la idea.

saludos

Eduardo Ruíz Duarte (beck)
Twitter: @toorandom