Intuición en transformada de Fourier discreta y correlaciones entre señales

Me he visto en la necesidad de ocupar un poco de análisis de Fourier, y ahora se está poniendo de moda mucho usar Fourier en teoría de Números como es en uno de los problemas del milenio, que es la conjetura de Goldbach que dice que todo número par mayor que 2 puede expresarse como suma de dos números primos.

Harald Helfgott decidió probar la conjetura de Goldbach débil (todo impar mayor que 5 es suma de 3 primos) hace un par de años usando teorema de Convolución, esto es algo muy de teoría de análisis complejo y real, y yo no me imaginaría que la solución fuera por aquí, el teorema de la convolución generalmente se usa en el contexto de señales y Análisis de Fourier, en otro momento lo expondré aquí, la explicación sencilla de Helfgott y su solución aquí.


Yo no soy experto en Fourier, pero lo he usado para varios proyectos y me interesa mucho, les expongo aquí una manera intuitiva de entender la transformada de Fourier discreta.

La Transformada de Fourier trasforma una función periódica en otra función en el espacio de frecuencia, es decir, busca otra representación de la función en términos de combinaciones lineales de otras funciones, en este caso senos y cosenos, como algunos sabrán, toda función se puede aproximar por senos y cosenos por partes, estos coeficientes de senos y cosenos que arman la función original son la información de la transformada de Fourier de una función $latex f$.

$latex \hat{f}(\psi)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-2\pi it\psi}dt$

donde su inversa está dada por

$latex f(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}\hat{f}(\psi)e^{2\pi i\psi t}d\psi$

Donde $latex t$ es el tiempo y $latex f(t)$ es el valor de la señal en el tiempo $latex t$,  $latex e^{2\pi i t}=cos(2\pi t)+isen(2\pi t)$ y $latex \psi$ es el valor de frecuencia.

La teoría aquí es muy bonita, pero también muy complicada, así que nos adentraremos en la parte discreta

Transformada de Fourier discreta.

La transformada de Fourier discreta (TFD) es un funcional (una función de funciones) que toma como argumento una función $latex f$ que es una señal en el tiempo y te regresa otra función $latex \hat{f}$ que contiene la información de la frecuencia en la señal original.

Para términos prácticos, una señal será sólo una sucesión de números, por ejemplo:

$latex \tilde{f}=\lbrace 1.9, -3.1, 12.3,4.8,22.9,-13.2, 11.8,4.8,-0.3 \rbrace$

Dónde $latex \tilde{f}(n)$ es el valor $latex n-$ésimo comenzando por el $latex 0$, $latex \tilde{f}(0)=1.9$

Le pongo tilde porque queremos trabajar con otra versión de esta señal que ahora explico.

Señales de promedio cero

Queremos comparar señales, para ello necesitamos trabajar con las señales "normalizadas" , en el sentido que si vamos a correlacionar $latex f$ con $latex g$ , una correlación "0" nos indique que son totalmente diferentes, para esto, sólo basta con trabajar con las señales "centradas" en su promedio y basta con restar a cada coeficiente el promedio de la señal en el intervalo de tiempo, si repitiéramos esto en la señal verían que el promedio de la señal ya sería 0 y no habría nada que restar, por eso le llamo "normalización" , en el caso del ejemplo, vemos que el promedio es $latex 4.6$ por lo que la nueva señal quedaría.

$latex f=\lbrace -2.7,-7.7,7.7,.2,18.3,-17.8,7.2,.2,-4.9 \rbrace$

La cual tiene promedio 0.

Correlación entre dos señales

Ahora, ¿cómo comparo dos señales normalizadas $latex f$ y $latex g$?

La manera más usual para señales discretas de tamaño $latex N$:

$latex \displaystyle \sum_{i=0}^N {f(i)g(i)}$

Si se fijan, gracias a la normalización tenemos las señales centradas en su promedio, por lo que si esta suma da 0 nos indicaría que no se parecen nada, ya que si $latex f(i)g(i)\geq 0$ es porque ambos valores tienen el mismo signo $latex f(i)g(i)\leq 0$ nos indicaría que difieren en signo y son "muy diferentes" , las sumas se van a ir acumulando positivamente si no hay estos cambios de signo, por lo que indica que entre más grande sea el número de la suma, más grande es la correlación siendo el máximo de correlación la suma de cuadrados de cada señal, si es un número muy grande negativo indicará que están inversamente correlacionadas (no se cancelan con los positivos) , y si es 0 , es porque las correlaciones siempre se "matan" entre negativas y positivas (no hay correlación).

Aquí dejo como se ven dos señales correlacionadas y no correlacionadas.

Para que esta medida tenga sentido, recuerden que tienen que normalizar ambas señales.

Ahora, entonces, si recuerdan, la transformada de Fourier, se multiplica la función por una exponencial compleja, es decir, están correlacionando la función con una exponencial compleja que al final son senos y cosenos, es decir... están comparando la función con senos y cosenos, y viendo qué tanto se parecen en cierto tiempo $latex t$.

La transformada para tiempo discreto $latex n$ de Fourier para una señal $latex f$ de $latex N$ valores en el tiempo se define como:

$latex F(k):=\displaystyle \sum_{n=0}^{N-1} {f(n)e^{{-2\pi i kn}/N}}$ donde $latex k\in \lbrace 0,...,N-1\rbrace$

Para cada $latex k$ obtenemos un coeficiente de Fourier, hasta ahora... creo que vamos bien, no es difícil en términos prácticos, pero ... qué es correlacionar con la exponencial compleja esa? , se ve feo y raro, pero no, recuerden que.

$latex e^{-i\theta} = cos(\theta)-isen(\theta)$ 

Entonces realmente tenemos que:

$latex F(k):=\displaystyle \sum_{n=0}^{N-1} {f(n)(cos({2\pi kn}/N) - i sen({2\pi kn}/N))$ 

$latex F(k):=\displaystyle \sum_{n=0}^{N-1} {f(n)cos({2\pi kn}/N)}-i\displaystyle \sum_{n=0}^{N-1} {f(n)sen({2\pi kn}/N)}$

Tenemos que para $latex k$ hay una función diferente.

El juego de signos es por las propiedades de paridad del seno y coseno.

Entonces lo que tenemos aquí es que la transformada de fourier realmente guarda la información en senos y cosenos que es lo que dijimos al principio (para eso se usa la exponencial) , es decir correlaciones con ambos tipos de sinusoides, y el usar la parte compleja, tiene un significado tan simple, como el hecho de hacer "linealmente independientes" a las correlaciones, ya que al final lo que nos interesará será el número real que multiplica a la parte imaginario, y no per sé la $latex i$ de análisis complejo (al menos no en este caso).

¿De qué nos sirve?

Veamos un ejemplo, supongamos que tenemos la siguiente señal $latex x(n)$ con 100 sampleos de tiempo, es decir $latex N=100$

En este caso los coeficientes para cada seno y coseno definido por $latex k$ los denotaremos como $latex X(k)$, es decir.

$latex X(k)=\displaystyle \sum_{n=0}^{N-1} {x(n)cos({2\pi kn}/N)}-i\displaystyle \sum_{n=0}^{N-1} {x(n)sen({2\pi kn}/N)}$

Para $latex k=0$ tenemos que $latex \displaystyle \sum_{i=0}^{N-1}x(n)$ 

Es decir solo es la suma de los valores de la señal ($latex sen(0)=0$ , $latex cos(0)=1$) 

Por lo que $latex X(0)\cong 0$ ya que la señal está normalizada y tiene promedio 0.

Para $latex k=1$ tenemos la siguiente información de cada sumando de la serie la transformada de fourier.

Como pueden ver en la gráfica b) y c) que la $latex X(1)=1+0i$  , es decir, no se parece nada la señal $latex x(n)$ en azul a la negra y roja tanto en seno como en coseno, pueden ver en b) , sin ser muy rigurosos en la siguiente oración: "la mitad de la señal está arriba del 0, y la otra mitad abajo" por lo que la correlación dará 0, lo mismo con c), también se cancela al sumarse sus valores. es decir, no se parecen (recuerden que b, respectivamente c) es la parte (real respectivamente compleja) de $latex X(1)$.

Ahora, veamos que pasa en $latex k=3$

Aquí vemos en $latex k=3$ que el seno con la señal  en c) tiene gran parte positiva, y poco negativo... 

por lo que la correlación nos indicará que es grande (no se cancela con negativos en la función original) y si ven en a) , pueden ver que el seno en negro en esa $latex k$ "asemeja" a la función $latex x(n)$ mientras que el coseno realmente no se parece en nada, nunca coincide con $latex x(n)$... y de hecho $latex X(3)=0+49i$.

Realmente lo que estamos buscando aquí en la transformada de Fourier, es cuando una senoidal se parece a la función original... y qué creen? , ya la encontramos, 

La gráfica de esta transformada de fourier se ve así para $latex k=1...20$

Como pueden ver, la transformada de Fourier, nos dice que $latex X(10)$ en el coseno se parece mucho a la función $latex x(n)$  y en $latex k=3$ tenemos que $latex X(3)$ en la parte imaginaria el seno se parece mucho a la función original, es decir hay correlación alta por ejemplo en el coseno con   $latex cos(\pi t/5)$.

Pero bueno Si quiere ver todo de golpe, sin importarles si es seno y coseno (al final ambas funciones son la misma solamente recorridas) , pueden calcular su densidad espectral para cada valor $latex k$ la cual les dirá si hay sinusoides presentes en la señal la cual se define como

$latex DS_{k}(x)=\mathfrak{R}(X(k))^2 + \mathfrak{I}(X(k))^2$

Que es la suma de los cuadrados de la parte real e imaginaria de la transformada de Fourier para cada $latex k$

Por lo que en este ejemplo, la gráfica de la densidad espectral que ya carece de parte imaginaria, junta toda la información (aunque se pierde de qué tipo de sinodal viene, pero esto es fácil deducirlo)

Aquí pueden ver perfectamente que en $latex k=3$ y en $latex k=10$ existen sinusoides interesantes muy correlacionadas con la señal, 

Mucho se habla de Frecuencia, para esto, lo más popular es usar Hz , es decir "cosas que suceden en un segundo" , y para transformar la $latex k$ en Hz , basta decidir "cada cuanto sucede un suceso" a este número llamale $latex r$ , uso $latex r$ porque es de "sampling rate" , y tenemos que en Hz, la frecuencia es $latex \xi=kr/N$ donde $latex N$ es el número de samples, o el número de valores en tu tiempo discreto, entonces ya pueden sustituir la $latex k$ por la frecuencia $latex \xi$.

Espero les haya servido como a mi, las imágenes las saqué de este sitio 

http://practicalcryptography.com

Aquí les dejo del mismo sitio los valores de la señal $latex x[n]$ en el ejemplo.

1.000000, 0.616019, -0.074742, -0.867709, -1.513756, -1.814072, -1.695685, -1.238285, -0.641981, -0.148568, 0.052986, -0.099981, -0.519991, -1.004504, -1.316210, -1.277204, -0.840320, -0.109751, 0.697148, 1.332076, 1.610114, 1.479484, 1.039674, 0.500934, 0.100986, 0.011428, 0.270337, 0.767317, 1.286847, 1.593006, 1.522570, 1.050172, 0.300089, -0.500000, -1.105360, -1.347092, -1.195502, -0.769329, -0.287350, 0.018736, -0.003863, -0.368315, -0.942240, -1.498921, -1.805718, -1.715243, -1.223769, -0.474092, 0.298324, 0.855015, 1.045127, 0.861789, 0.442361, 0.012549, -0.203743, -0.073667, 0.391081, 1.037403, 1.629420, 1.939760, 1.838000, 1.341801, 0.610829, -0.114220, -0.603767, -0.726857, -0.500000, -0.078413, 0.306847, 0.441288, 0.212848, -0.342305, -1.051947, -1.673286, -1.986306, -1.878657, -1.389067, -0.692377, -0.032016, 0.373796, 0.415623, 0.133682, -0.299863, -0.650208, -0.713739, -0.399757, 0.231814, 0.991509, 1.632070, 1.942987, 1.831075, 1.355754, 0.705338, 0.123579, -0.184921, -0.133598, 0.213573, 0.668583, 0.994522, 1.000000

Eduardo Ruíz Duarte (beck)

twitter: @toorandom

Matemáticas del sonido, ondas, oscilaciones, construyendo el concepto de vibración

Recientemente me he tenido que meter a un poco de temas de análisis de fourier y cosas de señales de audio, por lo que se me hizo justo el tener que regresar algo del conocimiento a mi blog.

Pero pues aquí siempre trato de poner lo que sea más interesante para el público, tratando de no llegar a cosas muy abstractas (aunque a veces no me aguanto) , pero pues hoy lo que haremos es tratar de ver el por qué el sonido se ve como una onda.


Todo el mundo hemos escuchado que el sonido es debido a vibraciones, es decir, la música está compuesta de vibraciones.

Por ejemplo los músicos (y los aficionados como yo) utilizamos una cosa que se llama diapasón, el cual es un como tenedor que al golpearlo generará vibraciones que harán que aire se mueva y producirá una onda, pero... ¿por qué digo esto? , ¿cuál onda? , ¿qué forma tiene la onda?

Este es un diapasón por si no lo conocen, generalmente vibra a una frecuencia de 440HZ para producir una nota musical que se llama "LA" (4) , eso de los 440 HZ es simplemente que en 1 segundo produce 440 sucesos que trataremos de explicar ahora mismo.

Entonces ¿Por qué vibra el diapasón?


La respuesta es con pura física y matemática simple, cuando le pegas a un diapasón, éste se deforma y después existe otra fuerza que lo regresa a su posición original.

Pero esto tiene inercia y también se deforma en la posición contraria y regresa y otra vez a la posición original, et cétera... y continúa en el tiempo hasta que la oscilación eventualmente termina.

Mientras el diapasón está oscilando, éste está empujando al aire, la presión de las ondas es lo que llega a nuestro oído.

El resultado del sonido depende de dos factores, es el balance de la fuerza que hace que vuelva a su posición original para estar en equilibrio y la inercia que hace que se doble hacia el otro lado y regrese y se doble, es decir que se "exceda" la deformación de manera contraria.

Veamos este dibujito, que nos muestra a qué me refiero con la deformación y la posición del diapasón.

Mi meta en este post es hacer ver y explicar cómo vibra el diapasón cuando lo golpeas

El desplazamiento del diapazón al golpearlo lo denotaremos por $latex x$ , con propósitos de hacer esto lo más simple posible, supón que la fuerza que tiende a dejar el diapasón en su posición original es PROPORCIONAL al desplazamiento del diapazón al golpearlo... es decir a $latex x$, claramente esta fuerza es negativa ya que es la fuerza contraria con la que le pegamos al diapazón con el martillo.

Entonces lo que tenemos aquí es que cuando el diapasón es empujado en la dirección positiva $latex x$ la fuerza que estamos tratando de modelar lo "jala" en la dirección negativa $latex -x$ por lo tanto:


$latex F=-kx$


Donde $latex F$ es la fuerza de restauración del diapasón (también le podemos decir elasticidad ya que mide la fuera en que deformándose vuelve a su posición original) y $latex k$  es la variable de proporcionalidad que acabamos de explicar, y es negativa también por lo que acabamos de explicar.

Pero todos en la secundaria aprendimos la segunda ley de Newton, que nos dice que "Fuerza es igual a masa por aceleración"  $latex F=ma$ donde $latex m$ es la masa del diapasón y $latex a$ es la aceleración.

Entonces tenemos ahora que $latex -kx = ma$

Como nosotros queremos saber la mecánica del diapasón, , lo único que hemos derivado es la relación que hay entre la posición y la aceleración... parecería que es suficiente, pero ¿dónde están las ondas? , ¿dónde están las frecuencias?


Recordemos que también en la prepa nos enseñaron que en términos de física la segunda derivada del desplazamiento con respecto al tiempo es la aceleración, es decir en símbolos, podemos reescribir la ecuación $latex -kx=ma$ sustituyendo la aceleración y despejando:


$latex \frac{d^{2}x}{dt^2}=-(kx/m)=-\frac{k}{m}x$


Esta ecuación ya se ve con más forma, tenemos que resolverla ya que de hecho esta ecuación ya nos da movimiento


Lo que nos dice esta ecuación es que necesitamos una función $latex x(t)$ (que depende del tiempo) que sea proporcional a su segunda derivada.

En otras palabras... queremos encontrar una función $latex x(t)$ que derivándola dos veces nos de la misma función $latex x(t)$ multiplicada por $latex -\frac{k}{m}$ es decir nos dé   $latex -\frac{k}{m}x(t)$

¿Creo que ya vamos viendo qué onda no?, para aquellos que llevaron cálculo  es fácil intuir cuál es esta función.

En la prepa aprendimos que:

$latex \frac{d}{dt}sen(\omega t) = \omega cos(\omega t)$

y que:

$latex \frac{d}{dt}cos(\omega t) = -\omega sen(\omega t)$

Aquí a este $latex \omega$ algunos lo conocieron como frecuencia de oscilación, ya que el variar esta $latex \omega$ cambia el periodo del seno y coseno, es decir, modificar esta $latex \omega$ hace que salgan más o menos crestas y valles en la onda en un mismo intervalo de tiempo.


Si calculamos la aceleración de $latex sen(\omega t)$ y de $latex cos(\omega t)$ tenemos que:


$latex \frac{d^2}{dt^2}sen(\omega t)=-\omega^2 sen(\omega t)$

y

$latex \frac{d^2}{dt^2}cos(\omega t)=-\omega^2 cos(\omega t)$


Donde pueden ver que hemos encontrado la función (las funciones) que cumplen el diapasón, ya que su segunda derivada nos da si misma por una constante negativa.

Pero realmente la solución en términos prácticos es única, el coseno y el seno no son más que una versión "atrasada" del otro por lo que generalmente la solución general a este problema se le llama sinusoide.


Para que la ecuación del diapasón esté completa, basta sólamente observar que nuestra primera relación se satisface perfectamente si $latex \frac{-k}{m}=-\omega^2$ eso quiere decir que:

$latex \omega=\sqrt{k/m}$


Esta ecuación que acabamos de construir es la del movimiento armónico simple, y en muchos problemas de oscilación aparece como primera aproximación, por ejemplo un péndulo o en cualquier situación donde la fuerza de restauración del objeto es proporcional al desplazamiento que provocó la fuerza en él.

Ahora... observando que $latex \omega=\sqrt{k/m}$ recuerda que $latex \omega$ es la frecuencia de la oscilación... te dice qué tan rápido el diapasón está vibrando... cuando el tiempo $latex t$ está cambiando por $latex 2\pi/\omega$ el argumento $latex \omega t$ cambia por $latex 2\pi$ radianes, y el seno o coseno pasa por un ciclo completo, esto quiere decir que el periodo de la vibración es $latex 2\pi/\omega$.

Entre más grande sea la frecuencia $latex \omega$ más chico será el periodo (inversamente proporcionales).


Recuerden que $latex m$ es la masa del diapasón, y si está es muy grande entonces la frecuencia será menor (jueguen con los números) , lo cual confirma lo intuitivo de la vida, sabemos que los objetos con mas masa vibran menos, y se oyen menos.

También la misma ecuación $latex \omega=\sqrt{k/m}$ nos dice que entre más grande sea $latex k$ que es la constante de restauración, es más grande la frecuencia de la vibración... esto también hace sentido, piensen en la cuerda de una guitarra.

En pocas palabras lo que nos dice todo esto es que la frecuencia de una vibración es proporcional a la raíz cuadrada de $latex k/m$ es decir para doblar la frecuencia de un diapasón, necesitaríamos 4 veces más masa.


Esta proporcionalidad entre frecuencia y oscilación con la raíz cuadrada de la razón entre la masa y la elasticidad (k) y la medida de la inercia es un fenómeno muy general que sucede en muchísimas situaciónes y es muy importante en física.

Como dijimos hace rato el coseno y el seno son lo mismo pero uno más atrasado que el otro... de hecho

$latex cos(\omega t)=sen(\omega t + \pi/2)$

Es decir... el seno y el coseno difieren en fase por el ángulo $latex \pi/2$

Es fácil ver diferenciando que la ecuación que calculamos al principio:

$latex \frac{d^{2}x}{dt^2}=-(kx/m)=-\frac{k}{m}x$

Se satisface con seno o coseno en cualquier fase, sólo deriva dos veces:

$latex x(t)=sen(\omega t+\phi)$  

y verás que siempre obtendrás $latex -\omega^2 x(t)$ para cualquier valor de $latex \phi$


La fase relativa $latex \phi$ realmente es arbitraria y está determinada por la posición del origen del tiempo, para ver esto , sólamente desplaza el tiempo por un factor $latex \tau$  y verás a que llegas a la misma $latex \phi$ , en símbolos

$latex sen[\omega(t+\tau)]=sen[\omega t + \omega \tau ] = sen[\omega t + \phi]$

Esta trivialidad sólo es para mostrar que el recorrer el tiempo por $latex \tau$ resulta en recorrer por un arbitrario $latex \phi=\omega \tau$, es decir al momento de desplazar el tiempo siempre TODAS las sinusoides tienen la misma FORMA.

Matemáticamente es que el conjunto de todos los sinusoides en una frecuencia física está cerrado bajo desplazamiento de tiempo, si lo vemos en su gráfica vemos que  la forma de un sinusoide siempre es la misma sin importar cuándo la observemos, los sinusoides en la misma frecuencia también están cerrados bajo adición y eso lo veremos después que es el principio de todo el análisis de señales y de mostrar que toda señal es suma de senos y cosenos.


Espero les haya servido

Eduardo Ruiz Duarte (beck)
twitter: @toorandom