Grupos de Lie y un ejemplo desarrollado

En el post anterior vimos lo que es una variedad, como matemáticos lo que nos interesa siempre es darle una estructura analítica a los objetos y esta estructura generalizara para poder estudiar mejor el objeto a través de sus funciones o propiedades.

Ahora lo que haremos es darle estructura de grupo a una variedad.


Un grupo de Lie es una variedad que es un grupo también de tal manera que la operación de los elementos del grupo es suave (suave en el sentido diferencial).

Los grupos $latex GL(n,\mathbb{R})$ o $latex SL(n,\mathbb{C})$, grupos ortogonales, simplécticos entre otros son grupos de Lie Famosos, por ejemplo $latex GL(n,\mathbb{R})$ como variedad es disconexo y con dos componentes (matrices con determinante positivo y negativo) y tiene dimensión $latex n^2$.

Otra cosa es que un grupo de Lie es un espacio homogéneo en el sentido de que la translación por la izquierda de un elemento del grupo $latex g$ es un difeomorfismo del grupo en si mismo que manda la identidad a $latex g$ (un automorfismo diferenciable)


Esto lo que nos hace ver es que un grupo de Lie, localmente se ve igual alrededor de cualquier punto, y va a ser clave el espacio tangente a la identidad ya que nos hará definir la operación corchete $latex [ , ]$ que convertirá el grupo en un álgebra de Lie.


Comencemos un poco más formalmente.


Definición: $latex G$ es un grupo de Lie si es una variedad $latex C^{\infty}$  tal que las siguientes dos operaciones de obtener inverso y multiplicación son infinito diferenciables  $latex C^\infty$

$latex \mu: G\times G \rightarrow G$ ,  $latex \mu(a,b)=ab$

$latex \iota:G\rightarrow G$ ,  $latex \iota(a)=a^{-1}$


Ahora, si $latex a\in G$ , denota por $latex l_a:G\rightarrow G$, $latex l_a(x)=\mu(a,x)=ax$ a la operación de multiplicación izquierda por $latex a$ , y la derecha como $latex r_a:G\rightarrow G$, $latex r_a(x)=xa$

Es fácil ver que son difeomorfismos.

Definición: Un mapeo $latex F:H \rightarrow G$ entre dos grupos de Lie $latex H$ y $latex G$ es un homomorfismo de grupos de Lie si $latex F$ es $latex C^\infty$ y $latex F$ es un homomorfismo de grupos.

Esto es que

$latex F(hx)=F(h)F(x) \Leftrightarrow F\circ l_h = l_{F(h)}\circ F$     $latex \forall h\in H$


Ejemplo $latex SL(n,\mathbb{R})$

Regresamos al ejemplo introductorio pero vamos a desarrollarlo ya con estas definiciones.


Tenemos que $latex SL(n,\mathbb{R})$ es un subgrupo de matrices de determinante 1 de $latex GL(n,\mathbb{R})$ , aquí el chiste de verlo como variedad es que veas los elementos de las matrices que pertenecen al grupo como vectores, en el grupo general lineal tienes $n^2 -1$ entradas, es decir lo puedes ver como un vector de ese tamaño, el grupo special lineal que es subgrupo del general tiene dimensión $latex n^2 -1$ y es una subvariedad.

$latex \mu:GL(n,\mathbb{R}) \times GL(n,\mathbb{R})\rightarrow GL(n,\mathbb{R})$
$latex (A,B)\mapsto AB$

es $latex C^\infty$ ya que

$latex (AB)_{ij} = \displaystyle \sum_{k=1}^n {a_{ik}b_{kj}} $

Es un simple polinomio y por lo tanto es una función $latex C^\infty$ de las coordenadas $latex a_{ik},b_{kj}$


Ahora para demostrar que $latex SL(n, \mathbb{R})$ tiene operación de grupo suave, no se sigue de esto , ya que $latex \lbrace a_{ij} \rbrace _{1\leq i , j\leq n}$ no es un sistema de coordenadas en las matrices de $latex SL(n,\mathbb{R}$ ya que como vimos le sobra una (su dimensión es $latex n^2-1$)


Pero sí sabemos que $latex SL(n,\mathbb{R}) \times SL(n,\mathbb{R})$ es una subvariedad de $latex GL(n,\mathbb{R}) \times GL(n,\mathbb{R})$

entonces podemos hacer el mapeo de inclusión:


$latex i:SL(n,\mathbb{R}) \times SL(n,\mathbb{R}) \hookrightarrow GL(n,\mathbb{R}) \times GL(n,\mathbb{R})$

Es relativamente sencillo demostrar que eso es un encaje, toma un $latex p\in SL(n,\mathbb{R}) \times SL(n,\mathbb{R})$ y toma una carta $latex (V,y^1,...,y^n, y^{n+1},...,y^m)$
 para $latex GL(n,\mathbb{R}) \times GL(n,\mathbb{R})$ alrededor de $latex p$ tal que $latex V\cap N$ son los ceros de $latex y^{n+1},...,y^{m}$, para $latex p\in SL(n,\mathbb{R}) \times SL(n,\mathbb{R})$ toma $latex (V\cap N, y^1, ..., y^n)$ y para $latex M$ la inclusión $latex i$ se ve así:


$latex (y^1, ..., y^n) \mapsto (y^1, ..., y^n, 0,...,0)$

Donde claramente se ve que es un encaje , y por lo tanto la operación en $latex SL(n,\mathbb{R})$ también es diferenciable por ser un encaje en el grupo general lineal que consta de un polinomio.


Falta ver que el obtener el inverso también es suave.


Sea $latex \hat{\iota}: SL(n,\mathbb{R}) \rightarrow SL(n,\mathbb{R})$  el mapeo inverso, vamos a ver que es $latex C^\infty$, sea $latex i:SL(n,\mathbb{R}) \hookrightarrow GL(n,\mathbb{R})$ la inclusión y sea $latex \iota: SL(n,\mathbb{R}) \rightarrow SL(n,\mathbb{R})$ el mapeo inverso en $latex GL(n,\mathbb{R})$ (El cual sabemos que es diferenciable, recuerden que para invertir basta un número de operaciones finitas en la matriz que son sumas y multiplicaciones, pero aquí le quitamos una dimensión y tenemos que demostrar que también sigue siendo diferenciable). consideremos la composición de los dos mapeos $latex C^\infty$

$latex \iota \circ i: SL(n,\mathbb{R}) \xrightarrow{i} GL(n,\mathbb{R}) \xrightarrow{\iota} GL(n,\mathbb{R})$

Esto es $latex C^\infty$ ya que su imagen está contenida en la subvariedad $latex SL(n,\mathbb{R})$ que es regular por lo que el mapeo inducido $latex \hat{\iota}$ es $latex C^\infty$ el cual es un resultado básico de geometría diferencial , por lo tanto $latex SL(n,\mathbb{R})$ es un grupo de lie $latex \blacksquare$



En el siguiente post abordaremos el espacio tangente a la identidad de un grupo de Lie para darle estructura de álgebra.


Espero les haya gustado

Eduardo Ruiz Duarte (beck)
twitter: @toorandom

Variedades

Quise volver a recapitular algo de las cosas más hermosas que he estudiado cuando llevé mi curso de geometría diferencial con el Dr. Gregor Weingart, a los físicos les gusta mucho porque con esto pueden medir cualquier cosa  que tenga estructura de variedad y eso les sirve en astrofísica.

Para poder agarrar mejor este post te recomiendo le eches un vistazo a estas entradas
que publiqué anteriormente si comienzas a sentir que no entiendes mucho.

Teorema de la función inversa
Teorema de la función implícita
Espacios tangente en variedades y derivaciones
K-formas diferenciales (1 de 2)
K-formas diferenciales (2 de 2)


Empecemos tratando de recordar cosas.

Variedades diferenciales

Sabemos que para todo $latex m\in \mathbb{R}$, sea $latex \mathbb{R}^m$ el espacio vectorial $latex m$-dimensional equipado con la topología inducida por la métrica usual estándar que es la distancia $latex d(x,y)$ entre dos puntos $latex x,y\in \mathbb{R}^m$ dada por:

$latex d(x,y)=\sqrt{\displaystyle \sum_{i=1}^{m} (x_i-y_i)^2}$

En la práctica los casos usuales son $latex m=2,3$ pero en otras áreas de matemáticas y física el valor de $latex m$ puede ser más grande, en la teoría no hay ni por qué justificarlo.


También tenemos que para todo $latex n,r\in\mathbb{N}$ y un abierto $latex U$ de $latex \mathbb{R}^m$, denotamos por $latex C^r(U,\mathbb{R}^n)$ todas las funciones que son $latex r$ veces continuas diferenciables de $latex U$ a $latex \mathbb{R}^n$ , cuando hablamos de mapeos suaves $latex U \rightarrow \mathbb{R}^n$ nos referimos exactamente a los elementos (son funciones) de:


$latex C^\infty(U,\mathbb{R}^n)=\displaystyle \bigcap_{r=1}^\infty {C^r(U,\mathbb{R}^n)$

Entonces aquí ya tenemos todas las funciones suaves (infinitamente diferenciables) que van de un abierto a $latex \mathbb{R}^n$



Definición (Variedad Topológica, Carta):  Sea $latex (M,\Tau)$ un espacio topológico Hausdorff (Que para dos puntos distintos del espacio puedes encontrar una vecindad de cada uno que no choca con la otra) que tenga base numerable, decimos que $latex M$ es una variedad topológica si existe un número natural $latex m$ y para todo punto $latex p\in M$ , una vecindad $latex U$ abierta de $latex p$ y un mapeo continuo $latex x:U\rightarrow \mathbb{R}^m$ que es un homeomorfismo sobreyectivo en su imagen $latex x(U)$ el cual es un abierto de $latex \mathbb{R}^m$

El par $latex (U,x)$ es llamado carta coordenada local de $latex M$ y $latex m$ es la dimensión y la denotamos en $latex M$ como $latex M^m$



Lo que decimos aquí, una variedad topológica $latex M$ es localmente homeomorfa a $latex \mathbb{R}^m$ para algún $latex m\in\mathbb{N}$.



Estructura diferencial


Vamos a darle estructura diferencial para poder comenzar a explotar la metrica

Definición (atlas) : Si $latex M$ es una variedad topológica , entonces un $latex C^{r}-atlas$ en $latex M$ es la colección:


$latex \mathcal{A}=\lbrace (U_\alpha, x_\alpha) \mid \alpha \in I\rbrace$

Es decir son todas las cartas locales definidas anteriormente que cubren todo $latex M$, es decir.


$latex M=\bigcup_\alpha U_\alpha$

Y para todo $latex \alpha,\beta\in I$ tenemos los correspondientes mapeos de transición:


$latex x_\beta \circ {x}_{\alpha}^{-1} \mid_{x_\alpha(U_\alpha \cap U_\beta)} : x_\alpha(U_\alpha \cap U_\beta) \rightarrow \mathbb{R}^m$

Son $latex r-veces$ diferenciables.

¿Esto qué significa?

Los mapeos de transición nos dan una manera de comparar dos cartas de átlases diferentes, para comparar esto, se compone una carta con la inversa de otra, pero esto podría no estar definido así que lo hacemos sólo en su intersección, eso es lo que ves en los subindices.


Esto lo podemos ver con el siguiente dibujo, espero se entienda.

Ejemplo:


Sea $latex \hat{\mathbb{C}}$ el plano complejo extendido dado por $latex \hat{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\cup \lbrace \infty \rbrace$ y sea $latex \mathbb{C}^{*}=\mathbb{C}\setminus \lbrace 0 \rbrace$, $latex U_0=\mathbb{C}$  y $latex U_\infty = \hat{\mathbb{C}} \setminus \lbrace 0 \rbrace$

Definimos la coordenadas locales:

$latex x_0:U_0\rightarrow \mathbb{C}$ y $latex x_\infty:U_\infty \rightarrow \mathbb{C}$ en $latex \hat{\mathbb{C}}$ por:

$latex x_0:z\mapsto z$
$latex x_\infty:w \mapsto 1/w$

Tenemos que de este atlas "chiquito" los correspondientes mapeso de transición:

$latex x_\infty \circ x_0^{-1}$ y $latex x_0\circ x_\infty^{-1}:\mathbb{C}^{*} \rightarrow \mathbb{C}^{*}$

Están dados ambos por $latex z\mapsto 1/z$ por lo que $latex \mathcal{A}=\lbrace (U_0,x_0),(U_\infty,x_\infty)$ es un $latex C^{\omega}$-atlas (analítico) en la esfera de Riemann $latex \hat{\mathbb{C}}$.


La variedad analítica $latex (\hat{\mathbb{C}},\mathcal{A})$ se le llama Esfera de Riemann.



También ya con esto es fácil intuir que el producto de dos variedades $latex M_1,M_2$ de clase $latex C^{r}$ y sea $latex M=M_1\times M_2$ el espacio producto equipado con la topología de Tychonoff
Entonces existe un atlas para $latex M$  que la hace una variedad diferenciable de clase $latex C^r$ con
$latex dim M = dim M_1 + dim M_2$


Dejaré esto por ahora aquí, luego continúamos con algo más profundo.

Espacios tangente y derivaciones

Ya vimos cómo funcionan las k-formas diferenciales y de hecho construímos con ellas el rotacional, divergencia y gradiente, vamos ahora a construir el espacio tangente, como repito, esto es con el fin de poder entender qué sucede en la topología de Zariski a la hora de definir el espacio tangente allí y usar las herramientas de geometría diferencial en geometría algebraica para el cálculo de singularidades, ahora lo haremos en $latex \mathbb{R}^n$ después esto se podrá dar el salgo a geometría algebraica para definirlo en $latex \mathbb{A}^{n}_{\mathbb{K}$ o en $latex \mathbb{P}^{n}_{\mathbb{K}$ , todo esto es para después definir orientación lo cual es un tema a mi gusto un poco complicado, pero es necesario para saber la "dirección" de la derivada y cómo se comportan los campos vectoriales.

Estoy suponiendo que el lector conoce lo que es una variedad (diferenciable) en $latex \mathbb{R}^n$, si no lo conoce, de manera rápida, una variedad de dimensión n es un espacio topológico en el cual para todo punto de éste existe un abierto al cual pertenece ese punto, y ese abierto es homeomorfo a $latex \mathbb{R}^n$, esta variedad es diferenciable si no tiene autointersecciones, picos, etcétera .

Recuerden cuando hace muchos años quemaban a los físicos por decir que la tierra era esférica, donde como siempre, la iglesia decía que eran unos blasfemos porque ellos afirmaban que era plana, bueno... esto es porque la tierra es localmente euclídea (una variedad) , es decir... es homeomorfa a la esfera de dimensión 2     $latex \mathbb{S}^2$ por lo que los religiosos por verla localmente euclídea pensaban que su forma era de $latex \mathbb{R}^2$ .
(ver la definición de variedad diferenciable y variedad en otro recurso en línea si así no te quedó claro antes de continuar).

Definición: Un mapeo suave $latex \gamma : [a,b] \rightarrow M$ de un intervalo a una subvariedad diferenciable $latex M \subset \mathbb{R}^n$ es una curva suave en $latex M \\$


Definición: Sea $latex M \subset \mathbb{R}^n$ una variedad diferenciable, y $latex p \in M$.
Un vector $latex v \\$ es un vector tangente a $latex M \\$ en $latex p$ si existe una curva suave $latex \gamma_{p}:[-\epsilon,\epsilon]\rightarrow M$ que pase por $latex p =\gamma_{p}(0)$  tal que $latex v=\gamma_{p}\prime (0)$, El espacio tangente $latex T_{p}M$ de $latex M \\$ en $latex p \\$ es el conjunto de todos los vectores tangentes a $latex M \\$ en $latex p \\$

Teorema:
Sea $latex M \\ $ una variedad en $latex \mathbb{R}^n$ de dimensión k, entonces tenemos que  $latex \forall p \in M$ existe un abierto $latex U \ni p$  tal que $latex M \\$ está definida en $latex U \\$ como la solución de un sistema de $latex (n-k) \\$ funciones reales diferenciables $latex \rho_{1}, ..., \rho_{n-k}$ definidos en $latex U \\$, es decir:

$latex (\rho_{1}=0)\cap ... \cap (\rho_{n-k}=0)=M\cap U$

y $latex \forall p \in M \cap U$, los vectores

$latex \nabla \rho_{1}(p),...,\nabla \rho_{n-k}(p)$

son linealmente independientes y:

$latex T_{p}M= generado\lbrace \nabla \rho_{1}(p),...,\nabla \rho_{n-k}(p) \rbrace ^{\perp}$

y $latex dim(T_{p}M)=k$

Es fácil ver que la definición con curva suaves y la del espacio ortogonal de los gradientes son equivalentes, aquí esbozo la demostración:


Sea $latex \gamma:[-\epsilon,\epsilon]\rightarrow M$ con funciones coordenadas $latex \gamma_{1}, ... \gamma_{n}$

Y tenemos que $latex M \\$ está definida por las $latex f_{i} \\$ :

$latex f_{i}(\gamma_{1}(t), ..., \gamma_{n}(t)) = 0$     $latex \forall t \in [-\epsilon, \epsilon]$    $latex 1 \leq i \leq n-k$

Esto sucede porque la imagen de $latex Im(\gamma) \subset M$, si diferenciamos (jacobiana) con respecto a $latex t \\$  tenemos que por la regla de la cadena:

$latex \frac{\partial{f_{i}}}{x_{1}}(x(0))x_{1}\prime (0)+...+\frac{\partial{f_{i}}}{x_{n}}(x(0))x_{n}\prime (0)=0$    $latex \Leftrightarrow \nabla f_{i}(x(0)) \cdot x\prime (0)=0 \Leftrightarrow$ $latex \nabla f_{i}(x(0) \perp x\prime (0)$
$latex \square \\$

Ahora vamos definir el concepto final de este post para terminar de ver de que trata la estructura del espacio tangente.


Definicion: Denotemos por $latex (f,U)$ a un abierto de $latex M \\$ tal que $latex p\in U$ y $latex f \\$ diferenciable en $latex U$, decimos que:

$latex (f,U) \sim (g,V)$

Si en el abierto $latex U \cap V$ tenemos que $latex f=g$ , esto claramente es una relación de equivalencia por lo que podemos definir el espacio vectorial:

$latex C_{p}^{\infty} =\lbrace (f,U) \rbrace / \sim $

El espacio tangente $latex T_{p}M$ consiste en todos los mapeos lineales:

  $latex d:C_{p}^{\infty} \rightarrow C_{p}^{\infty}$

Tal que:

$latex d(fg)=fd(g)+gd(f)$

Es decir que cumplen la regla de Leibniz (son derivaciones!)

Este espacio es muy importante ya que captura las propiedades de funciones cercanas a $latex p \\$


Eduardo Ruiz Duarte (beck)
rduarte@ciencias.unam.mx
@toorandom

k-formas diferenciales y derivada exterior (Parte 1/2, k-formas $latex \wedge$)

Estos conceptos son de suma importancia en varias areas de matemáticas, no sólo en geometría diferencial, también en geometría algebraica por ejemplo al definir espacios tangentes con la topología de Zariski, pero también he visto que hay ciertas confusiones, por lo que trataré de dejar el concepto claro con lo que sé y mis notas del curso de geometría diferencial que tomé con el Dr. Gregor Weingart.
Para esto primero veremos lo que son las k-formas y el producto cuña en esta primera parte. 

Estoy suponiendo que el lector tiene conocimiento de lo que significa el determinante en términos de volumen, a grandes rasgos si tú tienes vectores en un espacio de Banach donde sí se vale el teorema de Ptolomeo (La relación entre los lados de un paralelogramo y sus diagonales), estos espacios de Banach son espacios de Hilbert y pueden dar luz a un único producto interno, y con este al determinante, ejemplos de estos espacios son los famosos $latex \mathbb{R}^n$ y $latex \mathbb{C}^m$, así que regresando al determinante formando la matriz $latex A=(v_1,...,v_k)$
y consideras $latex A^{T}$ entonces el volumen del paralelepípedo generado por los vectores $latex \lbrace v_1, ..., v_k \rbrace$ es $latex \sqrt{det(A^{T}A)}$, si te cuesta trabajo visualizarlo, imagina sólamente un vector $latex A=v \in \mathbb{R}^{n}$ , tenemos que $latex \sqrt{det(A^{T}A)}=\sqrt{det(v\cdot v)}=\sqrt{det({a_1}^{2}+...+{a_n}^{2})}=\sqrt{{a_1}^{2}+...+{a_n}^{2}}=||{v}||$
el cual pues es el "volumen" (longitud) del vector.

Trataremos primero de entender 2-formas elementales en $latex \mathbb{R}^3$, y llamaremos $latex x_1,x_2,x_3$ los ejes coordenados de $latex \mathbb{R}^3$. Ahí tendremos tres 2-formas elementales que serán denotadas por $latex dx_1 \wedge dx_{2} , dx_{1} \wedge dx_{3}, dx_{2} \wedge dx_{3}$

En palabras burdas, $latex dx_{i} \wedge dx_{j}$ es un operador que es el area (con signo) de la proyección en el plano $latex x_{i}x_{j}$ de un paralelepípedo en  $latex \mathbb{R}^3$.

Como ejemplo, a mi me lo explicaron siempre suponiendo que ya lo conocía... a veces necesito ejemplos para poder entender lo que me están diciendo o demostrando.

Considera los vectores $latex {v_{1}}^{T}=(1,2,3)$ y $latex {v_{2}}^{T}=(3,2,1)$ , si los dibujan verán que forman un paralelepitedo $latex P$ en $latex \mathbb{R}^3$, considera la proyección:

$latex \rho : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2$
$latex (x_1,x_2,x_3) \mapsto (x_1,x_2)$

Es decir de $latex \mathbb{R}^3$ al plano $latex x_{1} x_{2}$

Definimos $latex dx_{1} \wedge dx_{2}$ actuando en el paralelepípedo $latex P$ como el area de
$latex \rho(P)$ es decir:

$latex dx_{1}\wedge dx_{2}(P)=A(\rho (P) )$

Entonces tenemos que $latex \rho(P)$ es el paralelogramo en este ejemplo formado por $latex \rho(v_{1})$ y $latex \rho(v_{2})$ es decir por los vectores $latex (1,2)$ y $latex (3,2)$

Esto nos dice que:

$latex dx_{1} \wedge dx_{2}(P)=det(\rho(v_{1}),\rho(v_{2}))= det\begin{pmatrix} 1& 3\\2&2 \end{pmatrix}=-4$

En general en $latex \mathbb{R}^{3}$ , dados dos vectores columna que forman un paralelogramo $latex v_{1}^{T}$ y $latex v_{2}^{T}$ para la matriz $latex A=(v_{1}^T,v_{2}^T)=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32} \end{pmatrix}$
Tenemos que el area del paralelogramo en la proyección en el plano $latex x_{1}x_{2}$ es:

$latex dx_{1}\wedge dx_{2}(A)=det \begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}\\a_{21}&a_{22} \end{pmatrix}$

De manera similar para los planos $latex x_{i}x_{j}$

Ahora, cuando vemos una integral $latex \int{f(x)}dx$ el significado de dx lo puedes deducir como una 1-forma que es la longitud en el eje x, este operador es el "volumen" en una dimensión como lo mencioné al inicio de este post, el "volumen" aquí es la longitud, por lo que:

Si $latex v=(a_{i},a_{j},a_{k})$ entonces $latex dx_{s}(v^{T})=a_{s}$ el cual es la proyección $latex \rho_{s}$ en la s-ésima coordenada.

Ahora cómo generalizamos esto a k-formas?, es decir, este operador $latex \wedge$ queremos que nos calcule el volumen de paralelepípedos k-dimensionales en un espacio de Hilbert n-dimensional, en este caso usamos $latex \mathbb{R}^{n}$

Para la generalización en $latex \mathbb{R}^{n}$ , tenemos que si sus coordenadas son $latex x_1,x_2,...,x_n$ Si tenemos una subsucesión $latex \Omega=(i_1,i_2,..,i_k)$ de tamaño $latex k$ de $latex (1,2,...,n)$ donde $latex 1\leq i_{1}< ...< i_{k} \leq 1$
$latex A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1k}\\ \vdots&\vdots&\vdots &\vdots\\ a_{n1}&\cdots &\cdots& a_{nk} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A_{1}\\ \vdots \\ A_{k}\end{pmatrix}$ Es una matriz de $latex n\times k$ donde sus columnas generan el paralelepípedo k-dimensional en $latex \mathbb{R}^{n}$, denotamos sus renglones por $latex A_{i}$
Lo que queremos es un operador que actúe en la matriz $latex A$ para darnos el (hiper)volumen del paralelepipedo proyectado en el (hiper)espacio $latex {x_{i}}_{1} {x_{i}}_{2}...{x_{i}}_{k}$ por lo que la k-forma es el siguiente operador:

$latex \displaystyle dx_{\Omega}=d{x_{i}}_{1} \wedge d{x_{i}}_{2}\wedge ...\wedge d{x_{i}}_{k}$

Donde

$latex \displaystyle {dx}_{\Omega}(A)=d{x_{i}}_{1} \wedge d{x_{i}}_{2}\wedge ...\wedge d{x_{i}}_{k}(A)=det \begin{pmatrix}A_{i_{1}}\\ \vdots \\ A_{i_{k}}\end{pmatrix} $

Ya con esto es suficiente para que puedas comenzar a jugar, es decir... este producto es conmutativo ?
La respuesta es NO, depende, pero no es tan grave, es anticonmutativo en el caso de 1-formas esto es porque para un paralelepípedo P
$latex dx_{i} \wedge dx_{j}(P)=det(\rho(v_{i}),\rho(v_{j}))=-det(\rho(v_{j}),\rho(v_{i}))=-dx_{j} \wedge dx_{i}(P)$
al final es una propiedad elemental de matrices, al cambiar columnas o renglones se alterna el signo, por lo que tenemos que este es un operador alternante
, ahora, aquí usamos el determinante, pero todos los operadores que tengan las características del determinante serán k-formas

De hecho decimos que una k-forma real $latex \omega$ sobre $latex \mathbb{R}$ es es una función:

$latex \omega :M_{nk}(\mathbb{R})\rightarrow \mathbb{R}$

Que satisface multilinearidad, lo cual se expresa usando como argumento para $latex \omega$ la matriz de $latex n\times k$ separada por columnas $latex \Lambda=(A_{i},...,\lambda B + \mu C,...,A_{k})$:

$latex \omega(\Lambda)=\omega(A_{1},...,\lambda B+ \mu C, ..., A_{k})=\lambda \omega(A_{1},...,B,...,A_{k})+\mu \omega(A_{1},...,C,...,A_{k})$

Es decir las propiedades del determinante, pero estas funciones alternantes son en general, es por eso que a las k-formas primeras les llamamos "elementales" , pero estas son las generales.

Ya con esto el teorema principal que no demostraré, pero ya se imaginarán el por qué de su veracidad es el siguiente:

Teorema: Las k-formas del espacio vectorial $latex \mathbb{R}^{n}$ forman un espacio vectorial de dimensión $latex \begin{pmatrix}n\\ k\end{pmatrix}$ donde las k-formas elementales forman una base para éste, este espacio vectorial se denota como $latex \displaystyle {\bigwedge}^{k}(\mathbb{R}^{n})$
$latex \square$

Ahora, si $latex \tau,\sigma$ son l-forma y k-forma respectivamente tenemos que
$latex \tau \wedge \sigma = (-1)^{lk}\sigma \wedge \tau=0 \Leftrightarrow l,k$ son impares

(en el caso de 1-formas por eso se alterna el signo) esto es fácil demostrarlo con lo que hemos visto, sólo tienes que desarrollar el producto cuña bien con una k-forma y una l-forma en general

Ahí se ve lo que pasa con la alternancia. Para esto puedes demostrar que el producto cuña ($latex \wedge$) de dos 1-formas te da 2-formas, y con las propiedades de alternancia y multilinearidad podemos definir lo que es una k-forma diferenciable y la derivada exterior, pero esto lo veremos en la parte 2 de este post
Espero les haya servido de algo
Eduardo Ruiz Duarte(beck)
rduarte@ciencias.unam.mx