## Monday, June 13, 2011

### How to break RSA explicitly with OpenSSL keys

Everybody talks about how vulnerable is RSA and the importance of prime numbers envolved in the creation of keys, people knows that the security is based on the complexity of factorization,
some days before I posted how to break a key and people asked me to make a post of it.

We are going to break a RSA key of 256 bits, this size is not too big but is not insignificant in less than 5 minutes, this is another reason to do research in other schemes like discrete logarithm over other algebraic platforms, I have been doing speeches about jacobians of algebraic curves and other abelian varieties.

I will introduce RSA for those who don't know how it works and then we are going to break it :)

Key generation:

- two random primes are generated (p,q)
- compute n=pq this number will be the modulus
- compute phi(n)=(p-1)(q-1) (phi(n) is the function that counts the relative primes to n, and is (p-1)(q-1) because p and q are primes)
- Chose e such that 1 less than e less than phi(n) and gcd(phi(n),e) = 1 (OpenSSL generally assigns something near to 2^16 like 65537)
- Compute d = e^-1 mod phi(n)

(d,p,q) is the private key
(e,n) is the public key

Encryption:

- A is going to receive M so A sends to B (e,n)
- B computes c=M^e mod n and sends to A

Decryption:

- A computes M=c^d mod n and is the same as M=(M^e)^d mod n is the same as M (it's easy to prove that the last equation is M)

The security is that, if someone gets the public key (e,n) we have that d = e^-1 mod phi(n) and is the same as d = e^-1 mod (p-1)(q-1)

This person need to factorize n=pq to get e^-1 mod (p-1)(q-1) because this person must know (p-1)(q-1) to compute the inverse of e

How to break RSA given a public key generated with OpenSSL

First we need a test environment

We generate the private key (this is p,q) and we save it to privada.pem

We generate the public key with the previous private.pem (this is e,n) and we save it to pub.pem
openssl rsa -in privada.pem -pubout -out pub.pem

We extract the modulus n and the exponent n from the public key
openssl rsa -in pub.pem -pubin -text -modulus

This will give us a lot of info, and in the info you will find

Exponent: 65537 (0x10001)

Exponent is "e" and Modulus is "n"

We convert to decimal the modulus

69986008711415694391421268580269058232048146719704518153244714221529713444447

Then we factorize with msieve that is available here, this msieve works using the number field sieve, this algorithm is the fastest to factorize (turing algorithm) you will have to compile it and it requieres GMP and other standard stuff

To factorize that modulus n, you just need to run it with msieve as follows

msieve -v 69986008711415694391421268580269058232048146719704518153244714221529713444447

It will take 2 minutes in a home computer (this is because we are working with 256 bits, but in my university theres a cluster called Kanbalam, it can break 768 bits in weeks)

When it finishes it will show you the factors

prp39 factor: 258903250452187592132630852021175987089
prp39 factor: 270317226953240634960995990331891792623

Now, the last step is to build the private key with the (e,p,q) , and I made a libcrypto code that generates a PEM private , and is available for you as a CGI from my website, you just need to put the p,q and e in the GET (URL) and it will show you the private key (note that previously we showed that e=65537)

http://math.co.ro/cgi-bin/genpriv?p=258903250452187592132630852021175987089&q=270317226953240634960995990331891792623&e=65537

the output of the website will be the following:

Llave privada de 258903250452187592132630852021175987089,270317226953240634960995990331891792623 y 65537 por Eduardo Ruiz Duarte (beck) toorandom@gmail.com

-----BEGIN RSA PRIVATE KEY-----
MIGqAgEAAiEAmrqtW76VSia9uxVWi3rrNlHQYF6laHMp+EnbH5hxhl8CAwEAAQIh
AIb+e6Vhn6p0JnCE618BvRfp5+WyQWSxb7Fz8aTB5FTBAhEAy100RZ5hZCzjbv48
M2I67wIRAMLG88hDEnjIwaItDgCYK5ECEE4kDBfMGaQCU4msirk7v2UCEFDOY1MA

6Iftmc+ja3y5pNECEF2g5ukd6W4XRpU1d9AwY/4=
-----END RSA PRIVATE KEY-----

If you compare the initial key (privada.pem) with this new key that I will save in "brokenkey.pem"
you will see that they are the same and we did not use any information of the private key generated at the begining to get this brokenkey.pem

9cd4b5a39be5717978b9035ddc5fc887 brokenkey.pem

Eduardo Ruiz Duarte
toorandom at gmail d0t com

## Friday, June 10, 2011

### Cómo romper RSA explícitamente con llaves OpenSSL

Todo el mundo habla de lo vulnerable que es RSA y de la importancia de los números primos envueltos en las llaves,
muchos saben que la seguridad radica en la dificultad de factorizar, hace poco en twitter a muchos les interesó el cómo se hace, ahora lo dejo aquí en mi blog para que lo hagan ustedes, vamos a romper una llave RSA de 256 bits la cual no es tan grande pero tampoco es tristemente pequeña en menos de 5 minutos, una razón mas para investigar más con otro tipo de esquemas de logaritmo discreto como los que ya he mencionado aquí y de los cuales me la paso dando charlas sobre Jacobianas con curvas algebraicas u otras variedades abelianas.

Dejo antes una reseña de ¿cómo funciona RSA? y después a romper RSA :)

Generación de llaves:

- Se generan dos números primos grandes (p,q) aleatorios
- Se computa n=pq el cual servirá como módulo
- Se computa phi(n)=(p-1)(q-1) (phi función de conteo de primos relativos con n, y es (p-1)(q-1) por ser primos p y q)
- Escoges un e tal que 1 menor que e menor que phi(n) y mcd(phi(n),e) = 1 (OpenSSL generalmente asigna algo cercano a 2^16 como 65537)
- Computas d = e^-1 mod phi(n)

(e,n) es la llave publica

- a A le van a mandar M entonces A le manda a B (e,n)
- B computa c=M^e mod n y se lo manda a A

- A computa m=c^d mod n que es lo mismo que m=(m^e)^d mod n que es m (es fácil demostrar que eso es m)

La seguridad radica en que si alguien obtiene la llave pública (e,n) como d = e^-1 mod phi(n) , o sea d = e^-1 mod (p-1)(q-1)

tendría que factorizar n=pq para obtener e^-1 mod (p-1)(q-1)

Como romper RSA dada una llave pública SSL

Primero generamos un ambiente de pruebas.

Generamos llave pública con la privada (o sea e,n) en pub.pem
openssl rsa -in privada.pem -pubout -out pub.pem

Extraemos módulo n y exponente e, o sea n , y e de la llave publica
openssl rsa -in pub.pem -pubin -text -modulus

Lo cual nos dará mucha info, y en esa info vendrá lo siguiente:

Exponent: 65537 (0x10001)

Exponent es "e" y Modulus es "n"

Convertimos a decimal esa cosa:

69986008711415694391421268580269058232048146719704518153244714221529713444447

Lo factorizamos con msieve que está disponible aquí
el cual su funcionamiento, es con la criba numérica (GNFS) el cual es el algoritmo más rápido hasta ahora para factorizar, éste hay que compilarlo , solo requiere -lgmp (gnu multiprecision) y otras cosas estándar

Para factorizar ese número basta correr después de haber compilado , de la siguiente manera

msieve -v 69986008711415694391421268580269058232048146719704518153244714221529713444447

Tardará de 2 minutos en una computadora normal (esto es porque es de 256 bits, pero seguro en Kanbalam de la UNAM se puede romper 768 bits en cuestión de días,
ya que es paralelizable y soporta resumen.

Ya que termina te mostrará los factores.

prp39 factor: 258903250452187592132630852021175987089
prp39 factor: 270317226953240634960995990331891792623

Construimos la llave privada, para esto, hice un programa con libcrypto que te la genera en formato PEM y lo publiqué en mi sitio como un CGI
Sólo manda a llamar mi página con los parámetros de los números primos en la URL y el exponente 65537 que sacamos en otro paso atrás

http://math.co.ro/cgi-bin/genpriv?p=258903250452187592132630852021175987089&q=270317226953240634960995990331891792623&e=65537

y la página te sacará lo siguiente:

Llave privada de 258903250452187592132630852021175987089,270317226953240634960995990331891792623 y 65537 por Eduardo Ruiz Duarte (beck) toorandom@gmail.com

-----BEGIN RSA PRIVATE KEY-----
MIGqAgEAAiEAmrqtW76VSia9uxVWi3rrNlHQYF6laHMp+EnbH5hxhl8CAwEAAQIh
AIb+e6Vhn6p0JnCE618BvRfp5+WyQWSxb7Fz8aTB5FTBAhEAy100RZ5hZCzjbv48
M2I67wIRAMLG88hDEnjIwaItDgCYK5ECEE4kDBfMGaQCU4msirk7v2UCEFDOY1MA

6Iftmc+ja3y5pNECEF2g5ukd6W4XRpU1d9AwY/4=
-----END RSA PRIVATE KEY-----

Y si comparas la llave inicial (privada.pem) con esta que sacamos la cual guardé en "llaverota.pem"
verás que son la misma y no utilizamos ninguna información de la llave privada generada originalmente para llegar a llaverota.pem