Wednesday, April 16, 2014

Existencia de dios a priori y lógica de Gödel, explicación de demostración y fundamentos de lógica modal


Nota. Este post no pretende establecer una posición sobre la existencia de dios o no, sino sólo tratar de comprender el argumento ontológico de Gödel de manera quasi-formal. Este es el argumento a priori mejor desarrollado sobre la existencia de dios a través de lógica modal. Exploraremos esta lógica de manera reducida en este post, errores deberán existir los cuales agradecería me los hicieran ver a través de los comentarios.

Este post lo re-escribo con el propósito de conmemorar el 40 aniversario luctuoso de uno de mis personajes preferidos. Kurt F. Gödel.

Desde muy temprana edad he sido ateo por razones que luego platicaré en mi blog que fueron divertidas en mi infancia. Este ateísmo últimamente me ha hecho querer profundizar un poco en el por qué de mi decisión ideológica. Acabo de leer el excelente libro de Richard Dawkins The God Delusion, ya que aparte de las matemáticas, siempre he sido muy entusiasta de la teología y el pensamiento racional. Las religiones son la razón de lo que somos hoy en día, ya que por más ateos que seamos, muchas de las costumbres, moralidad y ética; fueron heredadas de las religiones (ej. monogamia, tabú sexual, et cétera). Por esto, el entendimiento de la teología garantiza un mejor estudio antropológico e histórico de las sociedades tempranas e incluso futuras (¿será?).

Al leer el libro de Richard Dawkins me topé con que él discute argumentos ontológicos como el de la existencia de dios según Anselmo de Canterbury (sacerdote en el año 1093), así como otros autores cn otras situaciones similares. Sin embargo,  no discute uno de los argumentos de un gran personaje que para los adoradores de Einstein debería ser superior en su pensamiento deductivo y racional, Kurt Gödel.

Kurt fue un lógico alemán que fundamentó lo que David Hilbert no terminó relacionado con la meta-matemática. Esto es el estudio de la maquinaria que gobierna a las matemáticas (lenguaje, símbolos, reglas de inferencia, sistemas formales, demostraciones, axiomas). El trabajo de Gödel es respetado por todos los matemáticos debido a que sin éste el pensamiento matemático sería diferente en función a la teoría de la demostración en cualquier sistema formal.

Hoy daré mi punto de vista sobre dios y lo que he leído, así como su relación con la matemática. No soy experto en el área, pero la he estudiado, así que demostraré los teoremas que plantea Gödel con palabras para todos los oídos (¿ojos?).  Si los expertos en lógica que lean esto notan alguna equivocación favor de corregirme, lo agradeceré.

Primero que todo, si tú quieres demostrar que algo existe necesitas definirlo. Anselmo de Canterbury define a dios cómo:

Dios es lo que nada podría concebirse mayor a éste en términos de perfección

Kurt quiere formalizar el siguiente planteamiento de Anselmo de Canterbury. Éste es una demostración por reducción al absurdo de la existencia de dios:

Dios, es por definición lo más grande y perfecto que se puede concebir, dios existe en el entendimiento, en la mente, y si dios existe en el entendimiento, podríamos imaginarlo más grande y perfecto al existir en la realidad por lo tanto dios existe.

Este último párrafo por Anselmo de Canterbury fue diseñado a modo de dirigirlo no a los humanos sino al mismísimo dios a través de la oración. En mi opinión es absurdo, ya que si dios existiera, por qué éste necesitaría convencerse de su propia existencia. 

¿Cuál es la disyuntiva del argumento de Anselmo con una verdadera demostración?

Tú puedes concebir aunque seas ateo a un ser tan superlativo como quieras, aunque niegues que realmente pueda existir, después, el argumento afirma que si un ser no existe en el mundo real significa que es imperfecto, pero como dios es perfecto por lo tanto voilá dios existe

El problema aquí está en una premisa de Anselmo que es muy fuerte. Aquí la expongo con la regla de inferencia modus tollendo tollens $latex ((P\Rightarrow Q)\wedge \neg Q)\Rightarrow \neg P$. Tollendo Tollens hace "más digerible el sentido del problema del argumento de Anselmo". De ser "verdadero" lo siguiente, la lógica de Anselmo de Cantenbury deberá ser correcta y dios existe.

"X no existe ergo X es imperfecto"


El problema aquí de Anselmo, es que utiliza artificios dialécticos para obtener conclusiones universales a través de la retórica en la definición de dios. Eso desde el punto de vista racional no sirve para nada.

Para que la lógica funcione, la deducción de una proposición en un sistema formal con ciertas reglas de inferencia se basa en las propiedades de los objetos a evaluar. Y aquí Anselmo no está analizando el objeto "dios" lógicamente. Por otro lado, Gödel encontró el problema raíz, del argumento ontológico de Anselmo. Este problema fue mencionado antes por Immanuel Kant y es que: 

Existencia NO es una propiedad”.


, Anselmo utiliza la existencia como una propiedad intrínseca de un objeto, pero, ¿cómo puede haber un objeto que tenga la propiedad de "no existir"? Bueno, no todo está perdido, y es donde entra la lógica modal. En ésta lógica, se utilizan diferentes situaciones en las cuales una proposición puede ser verdadera o falsa, o SIEMPRE verdadera como la proposición "Llueve o no llueve" la cual nunca es falsa en cualquier circunstancia.
 Gödel sustituye este concepto por la propiedad de que sea “necesaria su existencia en X situación”, es decir agrega un operador simbólico que es distinto a la existencia clásica y es muy importante desde el punto de vista formal, semántico e interpretativo en lógica modal la cual resumiremos pronto.
Anselmo estaba usando sin querer lógica modal. Digo "sin querer" ya que en su época no existía aún de manera formal, Gödel la define como veremos abajo.

Lógica modal

Antes de llegar a la parte simbólica que es la que te podrá hacer leer el argumento ontológico de Gödel, veremos lo que es la lógica modal. Primero imagina cómo tú haces deducciones de tu entorno de ciertas situaciones. O sea, tu lógica sin saberlo funciona usando miles de premisas y miles de situaciones comparables. Es decir tu lógica no está acotada a un simple $latex P \rightarrow Q$ (P entonces Q).

En la lógica modal, imagina que la realidad es el que vives hoy y ahora.  Por otro lado, también sabes que la realidad podría ser distinta dependiendo de factores que la pudieran haber alterado o factores los cuales alterarían el futuro. Todo esto con distintas posibilidades de mundos según los posibles factores de desarrollo de éste. Es decir existen otras posibles realidades.

En la lógica modal todas las realidades posibles son denotadas por $latex \Diamond$ y las necesarias denotadas por $latex \Box$. Es decir, hay situaciones que pueden suceder, y hay situaciones que siempre suceden respectivamente. Veámoslo con más detalle.

¿Qué significa $latex \Diamond P$ ? 

Esto es que $latex P$ es posiblemente verdadero, es decir existe una posible realidad en la que $latex P$ podría ser verdadero. Esto es equivalente a que en algún mundo, y en el desarrollo de sus condiciones y premisas podrían hacer que $latex P$ fuera verdadero. 
A manera de ejemplo, existe un mundo, una realidad en la que tú no hubieras existido, (si hubieran atropellado a tus padres, o si hubieran abortado, o si tu bisabuelo hubiera muerto en una guerrilla).

¿Qué significa $latex \Box P$ ? 

Esta es "más fuerte" ya que dice que $latex P$ es verdadero en todos los mundos/realidades posibles , es fácil mostrar que existen proposiciones que son verdaderas en todos los mundos por ejemplo 
$latex \Box (\neg P \lor P)$

 En particular esto dice con palabras: "en todos los mundos o llueve o no llueve". Esa proposición es verdadera en todos los mundos para cualquier $latex P$, esto se le llama el principio del tercero excluido. Es decir, para que esta proposición sea falsa tendría que suceder algo diferente a "llover" o "no llover". Lo cual clásicamente es imposible. 

Entonces tenemos aquí que con lógica simbólica a manera de resumen el significado de los símbolos:
  • $latex P$:     $latex P$ es una proposición que es verdadera en la realidad actual, en el mundo real.
  • $latex \Diamond P$:   $latex P$ es posiblemente verdadero, es decir es verdadero en algún/os mundos posibles.
  • $latex \Box P$:  $latex P$ es necesariamente verdadero, es decir no hay ninguna situación/mundo/realidad en donde $latex P$ pudiese ser falso.
Para profundizar un poco en este tipo de pensamiento lógico, recomiendo vean literatura la cual es vasta en internet sobre lógica modal. Pero creo que con esto podemos avanzar un poco. 

Gödel, al poder corregir a Anselmo y convertir en propiedad la existencia de dios a través de esta lógica, demuestra que el objeto dios necesariamente existe, (noten que no es el dios cotidiano, es el de la definición de perfección. Esta lógica modal,  nosotros usamos diariamente para hacer deducciones, así que no es tan misteriosa o rara.

Ahora vamos a analizar la demostración de Gödel. 
Recuerden que las matemáticas se crean a partir de axiomas (Ax) , que son las reglas del juego. Dentro del juego hay objetos los cuales se deben definir (Df) para poder establecer equivalencias entre ellos. Cuando se juega con los axiomas, se crean proposiciones (Pr) universales dentro del sistema. Después con estas proposiciones, se crean teoremas (Th) que generalizan situaciones. Estos teoremas se pueden deducir corolarios (Cr) que son consecuencias particulares importantes del teorema. 
Tenemos que si $latex P$ es una proposición, por ejemplo "N es primo si y solo si N no tiene factores distintos a 1 y N", denotaremos como $latex P(N)$ a la fórmula que evalúa a $latex N$ la cuál puede ser verdadera (1) o falsa (0). En particular con este ejemplo, $latex P(3)=1$, $latex P(10)=0$.  

Aquí tenemos la demostración de Gödel que en 1970 en su lecho de muerte se la mostró a su alumna Dana Scott. Ella la publico sin su permiso después de morir (me parece, chéquenlo). Trataré de dar una explicación a cada renglón abajo.


Esta demostración de Gödel, más que demostrar la existencia de dios, yo lo veo como una construcción axiomática mínima. Ésta construcción, es suficiente para que se pueda inferir la existencia de dios a priori. Si tú no crees en estos axiomas, esto no implicará la existencia de dios en tu contexto.

Por esto anterior,  hay que suponer ciertos principios axiomáticos donde vivirá nuestro argumento, los cuales Gödel consideraba universales. Uno de estos es el Principio de plenitud el cual fue estudiado desde Aristóteles hasta Immanuel Kant, el cual dice que:

Cualquier cosa que pueda suceder, eventualmente sucederá

Esto no lo veo descabellado y suena modal ¿no?, lo explico desde mi punto de vista ya que esto ya entra en los límites de la matemática con filosofía.
La idea anterior se basa en todas las posibles situaciones en las que algo pueda existir. Desde mi punto de vista, suponiendo la infinitud del universo y el tiempo, si ese algo tiene la posibilidad de ser verdadero, y existen una infinidad de variables en una infinidad de tiempo, eventualmente ese algo podrá ser verdadero. Esto recuerda a la analogía de los chimpancés tecleando al azar en máquinas de escribir. En algún momento finito del tiempo, podrán haber escrito todo Hamlet de W. Shakespeare.

Gödel argumenta que dios existe en algún mundo posible usando este principio de plenitud y un conjunto de otros axiomas. Esto es argumentando la consistencia lógica ciertos objetos al tener la propiedad "de dios" o más informalmente, de ser " buenos o positivos o divinos".
Otra cosa que define Gödel en su demostración son las esencias:

Si $latex x$ es un objeto en algún mundo posible, entonces la propiedad $latex P$ se dice ser una esencia de $latex x$ si la formula $latex P(x)$ es verdadera en ese mundo y si $latex P$ conlleva todas las propiedades que $latex x$ tiene en ese mundo

Otra definición importante es de la existencia necesaria:

 $latex x$ necesariamente existe si para toda esencia $latex P$ lo siguiente es verdadero:
En todo mundo posible, existe un elemento $latex y$ donde $latex P(y)$ es verdadero 

Entonces tenemos ahora que la propiedad $latex P$ significa que $latex P(x)=1$ si y sólo sí $latex x$ tiene la propiedad de ser algo positivo. Es decir todas las cosas que en su totalidad puedan hacer llegar a la definición de dios. En otras palabras, podemos definir al objeto dios como aquel que tiene todas las propiedades positivas o buenas. Un objeto con la característica de tener todas las propiedades positivas, lo llamaremos divino.

Vamos ahora a explicar cada línea de manera coloquial  y de manera más coloquial en negritas.

  • Axioma 1. Si $latex \phi$ tiene la propiedad de ser positivoy es necesariamente verdadero que todo lo que tenga la propiedad $latex \phi$ implica que también tiene la propiedad $latex \psi$ entonces $latex \psi$ también es bueno o positivo o divino. Esto quiere decir que si $latex X$ es bueno y ese $latex X$ tiene la propiedad $latex Y$ en todos los mundos entonces $latex Y$ tiene que ser positivo.

  • Axioma 2. Para toda propiedad $latex \phi$ tenemos que sólamente una $latex \phi$ o $latex \neg \phi$ es positivo. O sea que si $latex \neg X$ es positivo tenemos que $latex X$ es malo, esto es análogo al principio del tercero excluido.

  • Teorema 1. Aquí es donde se usa el principio de plenitud. Si $latex \phi$ es bueno es posible que exista un objeto con la propiedad $latex \phi$. Es decir, existe un mundo en el que puede existir algo bueno. 
Demostración (con mucho choro por contradicción pero es necesario):

Supongamos que existe un $latex \phi$ bueno, PERO que necesariamente nada tiene la propiedad $latex \phi$ (recuerden que necesariamente es algo que sucede o no en todos los mundos). Buscamos contradicción ya que estamos usando las reglas de inferencia usuales, en este caso el principio del tercero excluido para reducción al absurdo.

Si suponemos lo anterior entonces la propiedad $latex \phi$ implicaría por vacuidad TODAS las propiedades. En particular, tendríamos que $latex \phi \Rightarrow \neg \phi$, que por el axioma 1 implicaría que $latex \neg \phi$ es bueno. Por o tanto $latex \phi$ y $latex \neg \phi$ tienen la propiedad de ser positivos, lo que contradice el axioma 2 y por lo tanto la suposición es falsa.  Por el tercero excluido tenemos que entonces la negación de la suposición es verdadera y esto implica que si $latex X$ es bueno, debe existir una realidad donde haya algún objeto con la propiedad $latex X$.

  • Definición 1. Llamamos a algo $latex x$ divino cuando tiene todas las propiedades positivas. Se usa la letra G porque en inglés es "God-like" o "similar a dios" pero con fines prácticos le llamaré "divino"
  • Axioma 3. Tener la propiedad de divino implica que también tiene la propiedad de positivo
  • Teorema 2. Es posible (en el sentido de lógica modal, es decir existe un mundo en el cual...) que exista algo divino este teorema se explica por si solo.
Demostración:

Sabemos por el teorema 1 que si $latex \phi$ es bueno debe existir algún objeto en un posible mundo que tenga la propiedad $latex \phi$. Si cambiamos a $latex \phi$ por el la propiedad "ser divino" proveniente del axioma 3, tenemos la demostración del teorema 2 $latex \blacksquare$.  
Realmente no sé por que Gödel le llama Teorema... yo le llamaría Corolario... pero tal vez es por el hecho de que el objeto al que se aplica es directamente un axioma y no una proposición
  • Definición 2. Aquí define lo que anteriormente ya habíamos mencionado sobre esencia, que de nuevo resumidamente tenemos que $latex \phi$ es la esencia de un objeto $latex x$ cuando:
  1. $latex x$ tiene la propiedad $latex \phi$
  2. La propiedad $latex \phi$ fuerza a todas las propiedades de $latex x$ a ser verdaderas.
  • Axioma 4. Si $latex \phi$ es positivo entonces $latex \phi$ es necesariamente positivo. Es decir en el sentido modal, $latex \phi$ en todas las realidades y mundos deberá ser positivo. (aquí es donde comienza la onda complicada filosófica desde mi punto de vista)
  • Teorema 3. Si un objeto es divino entonces ser divino es su esencia
Demostración:

Recordemos que si $latex x$ es divino entonces tenemos que este $latex x$ tiene TODAS las propiedades positivas  por el axioma 2.  Esto quiere decir que TODAS las propiedades de algún objeto divino son buenas/positivas. Por lo tanto son necesariamente positivas (recuerden que en el sentido modal la palabra "necesario") por el axioma 4.  qed. $latex \blacksquare$
  • Definición 3: Decimos que $latex x$ es indispensable, denotado por $latex E(x)$ cuando algo que tenga esencia DEBE existir.
  • Axioma 5: Ser indispensable es bueno
  • Teorema 4. Lo divino necesariamente existe  (es decir en todas las realidades y mundos existe el objeto con la propiedad  divino definido aquí previamente teniendo todas las propiedades buenas)
Demostración:

Si algo es divino, entonces tiene por definición todas las propiedades buenas, vemos por el axioma 5 que esto es indispensable ya que es una propiedad buena.

Por definición un objeto con esencia que es divino, por el teorema 3, debe existir.  

Esto significa que si algo divino existe, entonces necesariamente existe para que algo divino exista.

Por otro lado ya probamos el teorema 2, y tenemos que es posible que algo divino exista (en el sentido modal hay un mundo en el que algo divino existe).

Por lo tanto es posible que sea necesario que algo divino exista. Esto implica que necesariamente existe algo divino. Es decir existe una realidad donde se deduce que en todas las realidades existe algo divino, por lo que sí existe en una realidad, existe en todas las realidades. Por lo tanto lo divino existe en todas las realidades)  QED. 

Cómo ven esta demostración no tiene error en la lógica, es decir es deductiva, y representa un conocimiento a priori sobre la existencia de dios

¿Pero entonces por qué SOY ateo?

Los axiomas son demasiado fuertes para mí como para poder ser aceptados por mi mente.
recuerden que los axiomas no se demuestran, sino representan las reglas con las que vamos a poder razonar dentro de un sistema. El axioma 5 por ejemplo es muy duro para mí. El decir que lo indispensable es bueno... creo que es algo muy filosófico. El axioma 1 no me gusta tampoco, es decir, algo bueno en todas las realidades está compuesto de implicaciones a él mismo que son buenas. El axioma 4 también implica que lo que es positivo, siempre es positivo en todos los contextos. Hay realmente que ser muy claro en qué es ser positivo para que esto sea menos filosófico.

Si los axiomas te gustan, existe algo divino.  Pero olviden a sus dioses con nombre e identidad, esos no son de los que Gödel hablaba. El sólo hablaba de un ser máximo en perfección repleto de todas las propiedades buenas o positivas. 

Esto lo intenté explicar ayudado de mi libro de lógica A new introduction to Modal Logic y de lo que recordé de mi curso y notas de Lógica II de hace algunos años. Aquí lo que usé para lógica modal realmente debería de estudiarse si les interesa como Lógica Modal S5 que es la que Gödel utilizó.

¿Tú qué opinas? , ¿dios existe?


                                  Kurt Friedrich Gödel, Abril 28 de 1906 - Enero 14 de 1978 

Eduardo Ruíz Duarte (PGP:FEE7 F2A0)
Twitter: @toorandom


3 comments:

Juan García said...

Yo soy ATEO y afirmo que dios si EXISTE y además es REAL: http://ateosinnatos.blogspot.com/2014/01/dios-existe-y-es-real.html
Saludos cordiales.

Víctor Hugo said...

Muy interesante tu aporte, me agrada que tengas este tipo de pensamiento y cuestiones lo que a ti llega. El libro de Richard Dawkins también lo he leído, concuerdo en todo aquello en lo que se dedica a desmentir muchas mentiras biblicas, pues hay mucho mito y cuentos absurdos. Ahora bien, en tu demostración habría que definir bajo que contexto se considera algo bueno, ¿Que es bueno? Sabemos que hemos creado un sistema moral, donde hemos definido lo que es "bueno" o "malo" pero ¿Realmente lo bueno es bueno? Un terremoto donde mueren millones de personas ¿Es algo malo? o es ¿Bueno? bajo que contexto? ¿El que un planta carnivora mate a una mosca? ¿Es mala o buena? En fin, utilizando los conceptos que tenemos para definir a un dios o Dios, sería caer en paradojas o aceptaciones por medio de axiomas, que en aplicaría a una realidad limitada donde se define algo como "bueno" cuando quizas no lo sea así. Disfrute de leer tú escrito!

Ricardo Serrano said...

Yo haré una definición un poquito más física:

Dios es el ser que creó el universo y es un ser, ósea tiene conciencia de si mismo.

Alguien/Algo creó el universo
Ax 1: El big bang es la forma en la que se creó el universo. (supongo que se puede debatir).
Ax 2: La ley de la conservación de la energía es absoluta en el universo. Aunque matemáticamente alguien podría debatirla, es la ley más absolutamente prevalente de la física, en agujeros negros, a niveles cuánticos, la ley de la conservación de la energía siempre se cumple, a diferencia de todo el resto de leyes, sea la ley de la gravedad, las leyes del electromagnetismo o lo que sea, hay escalas y singularidades que las rompen en un millón de pedazos.

Si se conserva la energía no puede de la nada aparecer un punto con toda la energía, dimensiones, y materia que existe hoy en el universo. El big bang dice que el universo se creó de la nada, entonces hubo algo que violó el principio de conservación de la energía. Al tener el universo ese principio, tal algo tuvo que estar por fuera de ese universo. Muchas veces se resuelve que sin dimensiones o sin tiempo entonces no hay causalidad, pero la conservación de la energía no requiere eso, para que una media esté en mi pieza, tuvo que estar en otra parte y en otra configuración, así sea por fuera de todas las dimensiones existentes.

Ese alguien es inteligente.
Ahí hay 2 formas 1: que el universo haya sido creado de manera única: entonces eso significa que todo lo que existe en el no es casualidad y tuvo que ser ingeniado de forma perfecta para que no colapse.
La segunda, que todas las formas de universos y creaciones se hayan o puedan ser creadas y algunas colapsen porque si y otras lleven 15.000 millones de años como nosotros. En este caso, también habrá todas las formas posibles de crear la "máquina crea universos", ósea las leyes de esa física. Como esas leyes no tienen que seguir el principio de conservación de la energía, tampoco tienen que seguir las reglas de orden de la computación (P<NP<EXP, ... etc) y entonces existiría una máquina con computación nivel oráculo que lo que creó el universo podría usar para su propia inteligencia.