Dominios de factorización única, enteros Gaussianos y números de Heegner

Recientemente alguien me preguntó algo sobre factorización en anillos y unidades de los anillos, y decidí hacer un post sobre esto, esto es un post básico podría decirse de álgebra conmutativa.

Este post pretende que se comprenda el concepto de factorización en general en cualquier anillo numérico (extensión algebraica de $latex \mathbb{Z}$) a través de ejemplos y explorar, comprender y demostrar propiedades de la factorización de los enteros extendidos con una constante imaginaria (enteros gaussianos).

Todos conocemos el anillo $latex \mathbb{Z}$ que consiste en todos los enteros, y sabemos que los enteros son un subanillo de los números racionales $latex \mathbb{Q}$.

¿Qué es ser entero?, es decir, conocemos el caso particular mencionado anteriormente pero como vimos un  post pasado, hay otros campos que podemos extender.

Lo que queremos investigar es el fenómeno de "factorización única", es decir, en $latex \mathbb{Z}$ no es es muy natural decir que todo entero se puede factorizar en primos de manera única salvo permutación. Pero vamos a ver cómo el concepto de elemento primo es aún más general.

Definición: Un anillo $latex R$ conmutativo le llamamos dominio entero  si cuando ab=0 para $latex a,b\in R$ tenemos que $latex a=0$ o $latex b=0$.
También decimos que un elemento $latex u\in R$ es una unidad si tiene un inverso bajo la multiplicación del anillo $latex R$ , es decir, si existe un $latex u^{-1}$ tal que $latex uu^{-1}=1$. Siempre que todo elemento no cero de $latex R$ sea unidad, diremos que $latex R$ es un campo.

Aquí tenemos que el ejemplo usual $latex \mathbb{Z}$ es un dominio y sus únicos elementos invertibles son el $latex 1,-1$

Otra definición importante es la de irreducibilidad.

Definición: Sea $latex R$ un dominio y $latex a,b\in R$ , $latex a\mid b$ si existe un $latex c$ tal que $latex b=ac$ , es decir $latex a$ divide a $latex b$.  Un elemento no cero $latex p\in R$ es irreducible si no es unidad y si siempre que $latex a\mid p$ tenemos que $latex a$ es una unidad o $latex a=up$ para alguna unidad $latex u$.

Noten que si una unidad la podemos factorizar entonces todo factor debe ser también una unidad, por ejemplo si $latex u=ab$ entonces $latex abu^{-1}=1$ entonces $latex bu^{-1}$ debe ser un inverso de $latex a$ .

Con esto ya tenemos lo necesario para poder definir lo que es factorización única.

Definición: Un dominio $latex R$ tiene factorización única si todo elemento no cero $latex a\in R$ puede ser escrito de manera única como

$latex a=u\prod p_i^{d_i}$

Donde $latex u$ es una unidad y los $latex p_i$ son urreducibles. Nota que uso la palabra irreducible en vez de "primo", en general no son lo mismo, sólo significan lo mismo en los enteros, ya que todo irreducible es primo, pero veremos ejemplos donde no lo es.

Si un anillo cumple la definición única le diremos DFU (Dominio de factorización única)

Ejemplos:

* Los enteros $latex \mathbb{Z}$ son un dominio que no es un campo y sus únicas unidades son el 1 y -1, un entero es irreducible sí y sólo si es un número primo o un número primo negativo. Una consecuencia del teorema fundamental de la aritmética es justamente que $latex \mathbb{Z}$ es un DFU.

* Los campos $latex \mathbb{Q}$ y $latex \mathbb{R}$ son campos, y éstos no tienen irreducibles, por lo tanto son trivialmente un DFU.

*Una familia infinita de dominios la podemos construir si tomamos un entero $latex n\in \mathbb{Z}$ que no sea cuadrado

$latex \mathbb{Z}[\sqrt{n}]=\lbrace a+b\sqrt{n}:a,b\in\mathbb{Z} \rbrace$.

Vamos a profundizar en uno en especial en la siguiente sección cuando $latex n=-1$.

Enteros Gaussianos

Si $latex n=-1$ tenemos la colección de números complejos $latex a+bi$ con $latex a,b\in \mathbb{Z}$, imagínen los puntos de plano complejo o de $latex \mathbb{R}^2$ que tienen coordenadas enteras, es decir una retícula que asemeja cuadrados.

Estos enteros son muy importantes, son $latex \mathbb{Z}[i]$

Estos enteros son como $latex \mathbb{Z}$ pero con algunas cosas raras adicionales, ya que hay más unidades aparte del 1 y -1, también tenemos a $latex i$ y $latex -i$ ya que $latex i\cdot (-i)=1$ .

También tenemos que $latex 2$ es irreducible como un entero en $latex \mathbb{Z}$ pero no como un entero gaussiano en $latex \mathbb{Z}[i]$ ya que $latex 2=(1+i)(1-i)$.

De hecho si un número primo $latex p=a^2 + b^2$ es decir es suma de enteros cuadrados, entonces p no es irreducible como un entero Gaussiano, ya que siempre va a poder factorizarse como $latex p=(a+bi)(a-bi)$. (**)

Vamos a definir lo que es la norma en un anillo en general, pero por ahora, sólo la definiremos para estos enteros que es $latex N(a+bi)=|a+bi|^{2}=a^2 + b^2$, es decir $latex N:\mathbb{Z}[i]\to \mathbb{Z}^{+}$.

La propiedad importante de la norma es que $latex N(wz)=N(w)N(z)$ lo que implica que si $latex u$ es una unidad entonces
$latex 1=N(1)=N(uu^{-1})=N(u)N(u^{-1})$ y como $latex N(u)$ debe ser un entero no negativo por como está definida la norma entonces debe ser 1 forzosamente, por lo que toda unidad tiene norma 1.

 Ahora vamos a examinar la propiedad (**), si $latex p$ es un primo y supongamos que podemos factorizarlo de manera no trivial como $latex p=wz$ en $latex \mathbb{Z}[i]$ , entonces usando la norma sabemos que $latex N(p)=p^2$ por la definición de norma, pero también sabemos que p=wz por lo que $latex N(p)=N(w)N(z)$ por lo que $latex p^2=N(w)N(z)$, como la factorización es no trivial, tenemos que $latex N(w)$ y $latex N(z)$ no son 1 por lo que $latex w,z$ no son unidades, y esto implica que $latex N(w)=N(z)=p$  por lo que si $latex w=\alpha+\beta i$ entonces $latex N(w)=\alpha^2 + \beta^2 = p$ por lo que $latex p$ es suma de dos cuadrados.

Bueno con lo anterior, vemos el poder de la norma, de hecho nos permite diferenciar irreducibles en $latex \mathbb{Z}[i]$ ya que para todo factor $latex p$ de un entero $latex n$ si $latex p$ no es suma de dos cuadrados entonces es irreducible, y si $latex p=a^2  + b^2$ entonces podemos sustituir en la factorización de $latex n$ a las $latex p$ por $latex (a+bi)(a-bi)$ y cada uno de estos factores es irreducible.

Un dato interesante de los enteros gaussianos es que también es un DFU y de hecho con la norma podemos darnos cuenta de toda la factorización en $latex \mathbb{Z}[i]$ ya que todos los irreducibles son los primos $latex p$ que no son suma de dos cuadrados así como todos los $latex a\pm bi$ tal que $latex a^2+b^2$ es un número primo. Para mostrar lo último considera $latex z=a+bi \in \mathbb{Z}[i]$ entonces $latex N(z)=a^2+b^2=z\bar{z}$ (su conjugado) . Como $latex N(z)$ es un entero normal positivo, y sabemos que en $latex \mathbb{Z}$ hay factorización única por lo que todo factor irreducible de $latex z$ debe ser factor de $latex N(z)$  por lo que si $latex N(z)=a^2+b^2$ es primo es irreducible.


¿Quiénes no son DFU?

¿Y qué?, ¿Cuándo no es DFU?,

Para mostrar eso formalmente debería introducir un grupo especial, que se llama grupo de clases de ideales asociado a un anillo, pero eso terminaría con la naturaleza elemental de este post, pero pronto lo haré en una siguiente sección, éste consiste en el cociente del grupo de ideales fraccionarios del campo de fracciones del anillo $latex R$ módulo los ideales principales de $latex R$, este grupo está íntimamente asociado al grupo de Picard de orden 0 de una curva algebraica que se estudia mucho en criptografía pero se ve de manera más "fácil" esto es la generalización pero eso es otro tema.

Hay un problema en matemáticas que estudian los grupos de clases de ideales para saber cuándo hay o no factorización única, de hecho eso lo mide el grupo de clases de ideales en sus elementos ( el area de matemáticas es class field theory), por ejemplo algo raro es que $latex \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ NO es DFU, pero si consideramos los anillos con raiz cuadrada de $latex n$ que son $latex \mathbb{Z}[\sqrt{-n}]$ para $latex n\in \lbrace 1,2,3,7,11,19,43,67,163 \rbrace$ estos son los ÚNICOS enteros cuya raíz cuadrada imaginaria nos forman un dominio de factorización única, es decir para -5 o -13 no tenemos la propiedad de DFU, y de hecho lo que sucede es que el Class Group asociado al anillo es trivial (tiene un sólo elemento) sí y sólo si el anillo es un DFU.

Esto fue conjeturado por Gauss, probado con errores por Heegner y formalizado por Baker y Stark, de hecho estos 9 números raritos se llaman Números de Heegner.

Esto es impresionante ¿no? , es decir, qué tienen de raro esos 9 números que nos forman anillos con factorización única que otros números primos no puedan hacer... ¿qué hay en la geometría de estas retículas?

Espero les haya gustado

Eduardo Ruíz Duarte (beck)
twitter: @toorandom

Normas y trazas de enteros algebraicos y polinomios característicos

Hoy quería recordar un poco de teoría de números analítica ya que a veces cuando tenemos un campo, queremos trabajar con los equivalente a sus "enteros" en analogía con $latex \mathbb{Q}$ y sus enteros $latex \mathbb{Z}$.

Entonces comencemos con la definición principal.

Definición: Un campo numérico $latex K$ es una extensión de campos algebraica finita de $latex \mathbb{Q}$

Esto quiere decir que $latex n=[K:\mathbb{Q}]<\infty$ es la dimensión del $latex \mathbb{Q}-$espacio vectorial $latex K$ , a $latex n$ nos referiremos como el grado de esta extensión.

El ejemplo por excelencia es:

$latex \mathbb{Q}(\sqrt{2}) = \lbrace x+y\sqrt{2} : x,y\in \mathbb{Q}\rbrace$

O también pueden considerar $latex \mathbb{Q}(\zeta_n)$ que es al adjuntarle una raíz $latex n-$ésima de  $latex 1$ (compleja), $latex \mathbb{R}$ no es un ejemplo de campo.

Ahora, si $latex \alpha\in K$ con $latex K$ de grado $latex n$ como $latex K$ es un $latex \mathbb{Q}-$espacio vectorial entonces existe una dependencia $latex \mathbb{Q}-$lineal entre $latex \lbrace 1,\alpha,...,\alpha^n\rbrace$ (ya que tiene dimensión $latex n$ y hay $latex n+1$ ahí), esto significa que existe un polinomio $latex f(x)\in \mathbb{Q}[x]$ tal que $latex f(\alpha)=0$ , si esto pasa decimos que $latex \alpha$ es un número algebraico y decimos que $latex \alpha$ es un entero algebraico si $latex \alpha$ es raíz de un polinomio mónico en $latex \mathbb[x]$.

Otro ejemplo obligatorio, es que $latex \sqrt{2}\in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ es un entero algebraico ya que es raíz es $latex x^2-2\in\mathbb{Z}[x]$ así como $latex i\in\mathbb{Q}(i)$ ya que es raíz de $latex x^2+1\in \mathbb{Z}[x]$, como es de esperarse $latex a/b\in\mathbb{Q}$ no son enteros (a menos que $latex b\mid a$ ya que no existe un polinomio mónico con coeficientes enteros que los tenga como raíz.

Hasta aquí hemos extendido un poco la definición de lo que es para nosotros un número entero en términos de la existencia de un polinomio mónico con coeficientes enteros.

Definición:  El polinomio mínimo de $latex \alpha\in K$ es un $latex f\in\mathbb{Q}[x]$ mónico, tal que $latex f(\alpha)=0$ y $latex f$ es de grado mínimo.

Es un buen ejercicio demostrar que $latex \alpha\in K$ es un entero algebraico si y sólo sí su polinomio mínimo tiene coeficientes enteros.

Si demostramos lo anterior tenemos que con todo esto.

Proposición: Los enteros algebraicos de $latex \mathbb{Q}$ son $latex \mathbb{Z}$

Esto también es fácil ya que si $latex a/b\in\mathbb{Q}$ entonces su mínimo polinomio es $latex x-a/b$ que por el ejercicio anterior sucede que $latex b\in\lbrace -1,1\rbrace$

Definición: Los enteros algebraicos de $latex K$ forman un anillo que lo denotamos como $latex \mathcal{O}_K$ y le llamamos anillo de enteros de $latex K$

El hecho de que $latex \mathcal{O}_K$ forma un anillo no es trivial, o sea, que la suma y producto de enteros algebraicos es un entero algebraico, pero tampoco es tan difícil , traten de visualizarlo con propiedades de sus polinomios moninos, y ver como pueden construir el polinomio monico que corresponde al producto y suma de dos números algebraicos, o también pueden demostrar que si $latex \alpha$ es un entero algebraico entonces $latex \mathbb{Z}[\alpha]$ es finitamente generado como grupo, es decir si $latex z\in \mathbb{Z}[\alpha]$ entonces $latex z=\sum_{i\leq m}z_i n_i$ es decir $latex \mathbb{Z}[\alpha]=\bigoplus_{i\leq m}\alpha^i \mathbb{Z}$.


Como un no-ejemplo tenemos a $latex \mathbb{Z}[\frac{1}{2}]$ está generado por todas las potencias de $latex \frac{1}{2}$ por lo que no es finitamente generado y su polinomio mínimo es $latex x-1/2$

Otros corolarios de esto son que $latex K=\mathbb{Q}\mathcal{O}_K

Normas y trazas de enteros algebraicos

Si $latex L/K$ es una extensión finita de campos numéricos y $latex \alpha\in L$ entonces el mapeo de multiplicación por $latex \alpha$ está dado por:

$latex \mu_\alpha:L\rightarrow L$
$latex x\mapsto \alpha x$

Esto es un mapeo $latex K$-lineal de $latex L$ a $latex L$ es decir un endomorfismo por lo que $latex \mu_\alpha\in End_K(L)$ $latex \forall \alpha\in L$

Como $latex \mu_\alpha \in End_K(L)$ entonces es una matriz y decimos que la norma y traza de $latex \alpha\in L$ están dadas por:

$latex N_{L/K}(\alpha)=det(\mu_\alpha)\in K$
$latex Tr_{L/K}(\alpha)=Tr(\mu_\alpha)\in K$ 

Tenemos que
$latex N_{L/K}(\alpha\beta)=N_{L/K}(\alpha)N_{L/K}(\beta)$
$latex Tr_{L/K}(\alpha+\beta)=Tr_{L/K}(\alpha)+Tr_{L/K}(\beta)$

por las propiedades de traza y determinantes usuales, por lo que si en particular $latex n=[L:K]$ y $latex a\in K$

$latex N_{L/K}(a\alpha)=a^n N_{L/K}$
$latex Tr_{L/K}(a\alpha)=aTr_{L/K}(\alpha)$

De hecho si $latex a\in K$ entonces $latex \mu_a$ si $latex \mathbb{I}$ es la matriz identidad entonces $latex \mu_a=a\mathbb{I}$.

También tenemos al polinomio característico de $latex \alpha\in L$ definido como:

$latex \chi(x)=det(\mathbb{I}x-\mu_\alpha)\in K[x]$ , donde es fácil ver que su término constante es $latex \pm N_{L/K}(\alpha)$ y el término de $latex x^{n-1}$ es $latex -Tr_{L/K}(\alpha)$ ya que $latex \chi(x)$ es un polinomio mónico de grado $latex n=[L:K]$


Es hora de un Ejemplo

Como lo hemos hecho $latex L=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ y $latex K=\mathbb{Q}$ entonces $latex 2=[L:K]$ por lo que podemos poner una base para el $latex \mathbb{Q}$ espacio vectorial $latex \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ , la cual por simplicidad será $latex \lbrace 1,\sqrt{2} \rbrace$, entonces sea $latex \alpha \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ , ahora calculemos $latex \mu_\alpha$ , tenemos que $latex \alpha = a+b\sqrt{2}$, para calcular la matriz, como vimos anteriormente $latex \mu_\alpha$ es un operador lineal , así que basta con aplicarlo a los elementos de la base para obtener su matriz.

$latex \mu_\alpha(1)=a+b\sqrt{2}$
$latex \mu_\alpha(\sqrt{2})=\sqrt{2}a+2b=2b+a\sqrt{2}$

Por lo que tenemos que:

$latex \mu_\alpha = \begin{pmatrix}a & 2b\\ b&a\end{pmatrix}=M_\alpha$

Ya que si $latex z=s+t\sqrt{2}\in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ entonces

$latex M_\alpha \begin{pmatrix}s\\ t\end{pmatrix}=(as+2bt,bs+at)=as+2bt+(bs+at)\sqrt{2}$
$latex =(a+b\sqrt{2})(s+t\sqrt{2})=\alpha z =\mu_\alpha(z)$

Por lo que $latex N_{\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}}(\alpha)=a^2-2b^2$ y $latex Tr_{\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}}(\alpha)=2a$

Y el polinomio característico está dado por:

$latex \chi(x)=det \begin{pmatrix}x-a & -b\\ -2b&x-a\end{pmatrix}=x^2-2ax+a^2-2b^2$

$latex K$-monomorfismos a $latex \overline K=\mathbb{C}$

Para relacionar la traza y norma tenemos que existen  $latex n=[L:\mathbb{Q}]$ monomorfismos $latex \sigma_i:L\rightarrow \mathbb{C}$ , ya que si $latex L=K(\alpha)$ con $latex \alpha\in L$ entonces existe $latex f\in K[x]$ polinomio mínimo de $latex \alpha$ y es un resultado sabido que $latex f$ no tiene raices repetidas en $latex \overline{K}=\mathbb{C}$ por lo que tiene $latex n$ raíces diferentes, llamémosles $latex \alpha_i$ y definimos $latex \sigma_i(\alpha)=\alpha_i$, esto se puede demostrar para $latex K(\alpha,\beta)$ y en general por inducción.

Definición: Si $latex L/K$ es una extensión algebraica finita de grado $latex n$ entonces y $latex \alpha\in L$ con $latex \sigma_1, ..., \sigma_n$ los $latex K-$monomorfismos de $latex L$ a $latex \mathbb{C}$ entonces $latex \sigma_1(\alpha), ... , \sigma_n(\alpha)$ son los conjugados de $latex \alpha$

Teorema Sea $latex L/K$ una extension algebraica finita de grado $latex n$ y $latex \sigma_1, ..., \sigma_n$ los $latex K-$monomorfismos de $latex L$ a $latex \mathbb{C}$ que fijan $latex K$ entonces tenemos que para todo $latex \alpha\in L$

$latex N_{L/K}(\alpha)=\prod_{i=1}^{n}\sigma_i{\alpha}$
$latex Tr_{L/K}(\alpha)=\sum_{i=1}^{n}\sigma_i{\alpha}$


Esto se puede demostrar primero notando que si $latex \alpha\in L$ y $latex f\in K[x]$ es su polinomio mínimo, entonces:

$latex f(x)=\chi_{K(\alpha)/K}(x)$ y que por Cayley Hamilton $latex \chi_{K(\alpha)/K}(\mu_\alpha)=0$

Ejemplo

Sea $latex \mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$ y $latex \alpha=a+b\sqrt{2}\in\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ entonces:

$latex \sigma_1(a+b\sqrt{2})=a+b\sqrt{2}$
$latex \sigma_2(a+b\sqrt{2})=a-b\sqrt{2}$

Por lo que:

$latex N_{\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}}(\alpha)=\sigma_1(a+b\sqrt{2})\sigma_2(a+b\sqrt{2})=a^2-2b^2$

y

$latex Tr_{\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}}(\alpha)=\sigma_1(\alpha)+\sigma_2(\alpha)$


Que claramente da lo mismo que como lo calculamos anteriormente.

Queda para ustedes que calculen el polinomio característico de este caso, y que también consideren $latex \mathbb{Q}(i,\sqrt{2})$

Corolario  $latex N_{K/\mathbb{Q}}(\alpha)=\pm 1$ con $latex \alpha\in \mathcal{O}_K$ $latex \Leftrightarrow$ $latex \alpha$ es invertible

Eduardo Ruiz Duarte (beck)
twitter: @toorandom