Wednesday, July 22, 2015

Conjetura de Kaplansky, anillos de grupos a través de ejemplos

Hay un problema que lleva 25 años sin resolverse y fue descubierto por Irving Kaplansky, es de esos problemas que se ven bien fáciles de atacar pero pues resulta que no es tan fácil, yo me topé en mi trabajo de investigación con un anillo de grupo que quería ver si tenía múltiplos de 0, y al leer literatura me topé con esto que es muy interesante y que yo tendré que demostrar en mi caso particular.

La conjetura dice lo siguiente:

Conjetura: (Kaplansky)
Sea $latex \mathbb K$ un campo y $latex G$ un grupo libre de torsión, entonces el  anillo de grupo $latex \mathbb{K}[G]$ no tiene divisores de $latex 0$ es decir es un dominio

Para entender este enunciado vamos a definir todo y construir $latex \mathbb{K}[G]$

Vamos a recordar todos los conceptos necesarios de esta conjetura a través de ejemplos no tan triviales de cada uno de los conceptos para poder adquirir intuición en la conjetura.

Grupos, anillos, campos, torsión a través de ejemplos

Grupos (no abelianos son los interesantes)

Un grupo $latex (G, \cdot)$ es un conjunto con una operacion binaria que cumple
a) Existe un $latex e\in G$ tal que $latex \forall g\in G$ tenemos que $latex g\cdot e=e\cdot g = g$ (hay neutro)
b) Si $latex g\in G$ entonces $latex \exists h$ tal que $latex h\cdot g =g\cdot h=e$ (todos son invertibles)
c) Si $latex g_1,g_2\in G$ entonces $latex g_1\cdot g_2 \in G$ (es cerrado)
d) Si $latex g_1,g_2,g_3\in G$ entonces $latex (g_1\cdot g_2)\cdot g_3=g_1\cdot (g_2\cdot g_3)$ (es asociativo)
e)* si sucede que $latex \forall g_1,g_2 \in G$ tenemos que $latex g_1\cdot g_2=g_2\cdot g_1$  (es conmutativo) decimos que $latex G$ es un grupo abeliano


Ejemplos:

No-Ejemplo:

Las matrices con la multiplicación no forman un grupo ya que hay algunas que tienen determinante 0 y no son invertibles, por lo que no se cumple la propiedad b

$latex (Mat_{n}\mathbb R,\cdot)$

Ejemplo $latex SL_2(\mathbb C$

Las matrices sobre un campo, por ejemplo $latex \mathbb C$ de nxn cuyo determinante es 1 se les denota como $latex SL_n\mathbb C$ , es claro que es un grupo con la multiplicación de matrices ya que todos son invertibles, este se llama grupo especial lineal, y es "especial" porque es de hecho un subgrupo normal de otro mas grande que se llama $latex GL_n\mathbb C$ que es el grupo general lineal que consta de todas las matrices invertibles, es fácil mostrar que un subgrupo normal para los que saben un poco más de teoría de grupos , sabemos que el kernel de un morfismo de grupos es siempre un subgrupo normal y en este caso el operador de determinante induce un homomorfismo de grupos, en este caso $latex det:GL_n\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}^{\times}$ donde $latex \mathbb{C}^\times$ es el grupo multiplicativo de los complejos sin el 0, entonces, $latex Ker(det)=\lbrace A\in GL_n\mathbb C\mid det(A)=1\rbrace=SL_n\mathbb C$, de hecho si te gusta la geometría diferencial hay más en este grupo que ya me extendí mucho en el ejemplo pero tenemos que existe un álgebra de Lie (haces nacer un espacio vectorial donde se pueden multiplicar vectores junto con una operación especial llamada corchete de Lie ) de $latex SL_n\mathbb C$ que es $latex \mathfrak{sl}_n\mathbb C =\lbrace A\in SL_n\mathbb C \mid Tr(A)=0\rbrace$ donde el corchete de Lie es la multiplicación de estos elementos dado por $latex [g,h]=g^{-1}h^{-1}gh$

La teoría en este grupo es hermosa y es favorita de muchos ultra-ingenieros (teoría de control) y de muchos físicos ya que tiene un entendimiento muy profundo, el hecho de que todos tengan determinante 1, y el determinante representar un polinomio con entradas en la matriz te dice que de hecho los elementos pertenecen a una variedad que se sumerge en un espacio y tiene cierta topología y se le da una interpretación a este grupo como el que preserva volúmenes y orientación con transformaciones de $latex \mathbb{C}^n$ (puedes usar $latex \mathbb R$) donde el determinante mide el cambio en volumen y orientación.


Otro grupos con funciones $latex S_n$

Otros ejemplos de grupos más aburridos pueden ser los números reales con la suma usual, o los reales sin el 0 con la multiplicación , estos son abelianos, otros más divertidos no conmutativos son las permutaciones $latex S_n$ que consta de todas las funciones que permutan $latex n$ elementos y su operación es la composición de estas funciones, por ejemplo si hacemos actuar a este grupo en el conjunto $latex X=[ 1,2,3 ]$ tenemos que hay un $latex \sigma_1\in S_3$ tal que intercambia los dos primeros, hay otro $latex \sigma_2$ que intercambia el primero por el tercero, y hay uno que no hace nada, por ejemplo $latex \sigma_1(X)=[2,1,3]$ y $latex \sigma_2(X)=[3,2,1]$ y $latex \sigma_1\circ \sigma_2(X)=[2,3,1]$ y $latex \sigma_2\circ \sigma_1(X)=[3,1,2]$ , este es un grupo (no abeliano) de $latex n!$ elementos , en este ejemplo tiene 6 elementos, toma en cuenta que consta de funciones y hay varios subgrupos de estos, que miden simetria, por ejemplo el grupo de las rotaciones de un cuadrado, donde no se vale por ejemplo intercambiar solo 2 vertices ya que "romperias el cuadrado" , o simplemente las rotaciones de un icosaedro, o un simplejo en dimensión 4, et cétera, hay otro tipo de grupos que alguna vez expuse aquí que se llama grupo de trenzas que tiene que ver con teoría de nudos, lo puedes explorar aquí en mi blog.

Campos

Un campo es sólo una estructura que consta de un conjunto y que contiene dos operaciones cerradas en el conjunto relacionadas con la ley distributiva donde el conjunto con cada operación por sí misma forma un grupo abeliano (por ejemplo $latex (\mathbb R ,+ , \times)$  o $latex (\mathbb {F}_q,+,\times)$ pero no $latex (\mathbb{Z},+,\times)$ ya que los enteros  con la multiplicación sólo tienen al 1 y -1 con inverso, los demás no por lo que no forma grupo abeliano con $latex \times$), hay campos más interesantes, por ejemplo todos los cocientes de polinomios en una variable $latex x$ sobre un campo $latex \mathbb K$ se le denota como $latex \mathbb K (x)$ donde un elemento de ahí puede ser $latex \frac{x^2-x}{x^3-x^2+1}$ estos campos de funciones polinomiales son interesantes cuando los haces en más variables y los elementos cumplen estar definidos sobre una superficie o una curva, y limitas que los denominadores de las funciones polinomiales no se anulen en algún punto de la curva (podrás encontrar un campo diferente para cada punto, eso le da una estructura muy rica a una curva algebraicamente), todo esto sigue conservando la estructura de campo y se puede estudiar la superficie/curva desde ciertas propiedades de este campo sin acudir ya a la geometría.


Anillos y dominios enteros

Un Anillo es como un campo pero a la operación multiplicativa no le pides que tenga inversos, por ejemplo las matrices cuadradas sin pedir condiciones al determinante forman un anillo de hecho forman un grupo con la adición, los polinomios también son un anillo conmutativo, et cétera.


Un anillo $latex R$ se dice que es un dominio entero si $latex \forall a,b\in R\setminus \lbrace 0 \rbrace$ se tiene que $latex a\cdot b \neq 0$

Por ejemplo $latex Mat_2\mathbb Z$ no es un dominio entero ya que $latex \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

También tenemos que los polinomios con coeficientes en un campo si son un dominio entero, ya que no hay dos polinomios no nulos que al multiplicarse te den 0

Otro no-ejemplo son los enteros módulo un número NO-primo, por ejemplo $latex (\mathbb Z/(10),+,\cdot)$  donde la suma y multiplicación es la usual módulo 10 (esto es de manera intuitiva que $latex a\cdot b = c$ donde $latex c$ es el residuo de la división $latex \frac{a\cdot b}{10}$, esta estructura es un anillo pero no es un dominio ya que por ejemplo $latex 5\cdot 2 \equiv 0 \bmod 10$ pero si lo hicieramos con un número primo $latex (\mathbb Z/(p),+,\cdot)$ por la naturaleza de $latex p$ no vas a encontrar dos números que multiplicados te den $latex p$ entonces no existirán "residuos 0" al multiplicar dos números y dividir entre $latex p$ , pero bueno de hecho esto ya es más que un anillo, es un campo finito, todos son invertibles, lo puedes demostrar si tienes ganas.

Un grupo $latex G$ se dice que es libre de torsión si al iterar $latex n$ veces su operación con cualquier elemento $latex g\in G\setminus \lbrace e\rbrace$  no te da nunca el neutro de la operación $latex e\in G$ para todo $latex n\in \mathbb N$ , es decir, un grupo $latex G$ es libre de torsión si el elemento neutro es el único elemento de orden finito

Torsión en grupos

Por ejemplo TODOS los grupos finitos NO son libres de torsión, ya que iterar en un $latex g\in G$ te da elementos de un subgrupo generado por $latex g$ denotado por $latex (g)$ y su cardinalidad divide la cardinalidad de $latex G$ entonces $latex e\in (g)$ incluye a $latex e\in G$ por lo que todos los elementos tienen torsión.

Con esto ya excluimos TODA una familia de grupos de la conjetura de Kaplansky, ya que pedimos que sea infinito y sin torsión, por lo que todos los campos de característica p (que también son grupos) también quedan excluidos, y aquí es donde vamos viendo que todo se dificulta ya que los grupos a tratar deben ser más complicados, un grupo aburrido libre de torsión pues son los enteros $latex (\mathbb{Z},+)$ donde sumar nunca da 0 , las matrices tienen torsión ya que hay matrices que al elevarlas a la $latex n$ se anulan por ejemplo las matrices de 2x2 con coeficientes en el campo finito $latex \mathbb Z/(2)$ con la multiplicación tenemos que $latex \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ es la matriz identidad , por lo que ese elemento tiene orden 2


Conjetura de Kaplansky

La conjetura propone construir un anillo dado un campo y un grupo  y estudiar si es o no un dominio entero

Construcción de un anillo asociado a un grupo $latex G$ y un campo $latex \mathbb K$ 


Lo que haremos es construir un anillo desde un grupo denotado como $latex \mathbb{K}[G]$, es decir, tendremos que construir una suma y una multiplicación que cumpla todos los axiomas.

Grupos generados desde cualquier conjunto (Grupo libre abeliano)

Ya estamos casi listos con las definiciones aposteriori con los ejemplos, vamos a construir un grupo dado un conjunto cualquiera, imaginen que tenemos el conjunto $latex A=\lbrace \alpha,\beta,\gamma\rbrace$, si nos preguntaran cómo podríamos construir un $latex \mathbb K$ espacio vectorial  $latex V$ con el conjunto $latex A$ lo más adecuado es tomar las todas las combinaciones de sumas formales $latex k_1\alpha + k_2 \beta + k_3 \gamma$ $latex \forall k_i\in \mathbb K$, podemos generalizar esto apra cualquier conjunto de distinta cardinalidad, incluso infinita bajo ciertas condiciones (como por ejemplo que sólo un número finito de $latex k_i$ sean distintas de cero) y vamos a hacer más compacta la notación y a los elementos del campo vamos a ponerles un índice que nos indicará a qué elemento del conjunto está multiplicando, entonces:


$latex \sum k_\alpha \alpha \in V$ donde $latex \alpha \in A$ y $latex k_\alpha \in \mathbb K$

La adición está definida de manera natural como

$latex (\sum k_\alpha\cdot\alpha)+(\sum c_\alpha \cdot \alpha)=\sum (k_\alpha+c_\alpha)\cdot \alpha$

También tenemos la multiplicación por un escalar, por ejemplo si tomamos un $latex a\in \mathbb K$

$latex a(\sum k_\alpha \alpha)= \sum (a k_\alpha)\cdot \alpha$

Es decir, es la usual la suma coordenada a coordenada en el espacio vectorial $latex V$, y la multiplicación por escalar, pero nosotros somos más ambiciosos y queremos darle una estructura de álgebra para poder multiplicar los vectores,

Tenemos que observar que $latex A\subset V$ ya que si nos tomamos un $latex \gamma \in A$ tenemos que:

$latex V\ni \gamma^{*} = \sum k_\alpha \alpha$ donde $latex k_\gamma = 1$ y $latex k_\alpha = 0$ $latex \forall \alpha \neq \gamma$ por lo que $latex A$ es base de $latex V$ .

La multiplicación primera que se viene a la mente es una que es muy mediocre (al menos a mi se me ocurrió así) que es como la suma.. coordenada a coordenada pero eso no le da nada de estructura, pero bueno, ¿por qué no se puede ocurrir otra? , pues porque el conjunto $latex A$ no tiene nada de estructura..., no hay por donde podamos jugar.

Pero qué sucedería si le metemos estructura a $latex A$ y le pedimos que sea un grupo.


Anillo de grupo asociado a un campo $latex \mathbb K$ y un grupo $latex G$ 

Este lo denotaremos por $latex \mathbb{K}[G]$ y la suma está definida de la misma manera que con $latex A$ , pero lo que nos importa ahora es la es la multiplicación y explotando la operación en $latex G$ podemos definir lo siguiente:

Sean $latex \alpha.\beta \in G$ y $latex k_\alpha,k_\beta \in \mathbb K$ entonces definimos la multiplicación $latex \odot$ en $latex \mathbb{K}[G]$ como:


$latex (\sum_{\alpha \in G} k_\alpha\cdot\alpha)\odot (\sum_{\beta \in G} k_\beta \cdot \beta)=\sum_{\alpha,\beta \in G} (k_\alpha k_\beta)\cdot \alpha\beta =\sum_{\gamma\in G} k_\gamma \cdot \gamma$

Aquí tenemos que $latex \gamma = \alpha\beta\in G$ por lo que $latex \alpha=\gamma\beta^{-1}$

entonces para poder definir la multiplicación de manera directa.


tenemos que:

$latex k_\gamma$ es la suma de todos los productos $latex k_\alpha k_\beta$ tal que $latex \gamma=\alpha \beta$.

por lo que el coeficiente que le toca a $latex \gamma$ que es $latex k_\gamma$ está dado por:

$latex k_\gamma=\sum_{\alpha\beta=\gamma} k_\alpha k_\beta=\sum_{\alpha \in G} k_\alpha k_{\alpha^{-1}\gamma}$

La pregunta es, si suponemos que $latex \alpha,\beta \mathbb{K}[G]^{*}$ podría suceder que $latex \alpha\odot\beta=0$ , para cualquier campo $latex \mathbb{K}$ cuando $latex G$ es un grupo libre de torsión... no se sabe... hay algunos avances para ciertos $latex G$ y cuando $latex \mathbb{K}=\mathbb{C}$ , yo en particular estoy tratando de demostrar esto para un caso muy en particular.

Espero les haya gustado.

Eduardo Ruiz Duarte
twitter: @toorandom

Tuesday, July 21, 2015

Función zeta de Riemann y probabilidad de que dos enteros sean primos relativos


Este post está motivado en que ya estoy de vacaciones y quería hacer algo divertido y también para alguien muy especial que tiene la propiedad de ser aniparkiomorfiginaica que le gusta mucho la probabilidad y estadística, ella sabrá quién es.

Otra motivación es que como siempre tengo problemas para dormir posiblemente por las grandes cantidades de café que introduzco a mi cuerpo, pero empecemos.

Deduciremos una probabilidad que involucra a $latex \pi$ e involucra a números primos que está íntimamente relacionado con el problema del milenio sin solución gracias a Riemann (Conjetura de Riemann sobre la función $latex \zeta$ que puedes ver aquí)

La pregunta es realmente, ¿cuál es la probabilidad de que dos enteros positivos menores que cierto $latex N$ sean primos relativos (no tengan factores en común más que 1)?


Por ejemplo, $latex (6,33)$ no son primos relativos  porque $latex 6=3\cdot 2$ y $latex 33=11\cdot 3$ (comparten al $latex 3$)

pero por ejemplo $latex (14,15)$ son primos relativos porque no comparten factores no triviales y $latex (c,p)$ donde $latex c$ es cualquier entero y $latex p$ es un número primo.

Esta demostración me gusta mucho, aquí la tienen, vamos a calcular esta probabilidad de obtener dos números primos relativos al azar


Construcción:

Sean $latex x,y\in \mathbb{N}$ con $latex x,y>1$, como queremos que $latex x,y$ sean coprimos no deben tener ningún factor en común.

Empecemos facilito.

¿Cuál es la probabilidad de dos enteros positivos tengan al 2 como factor?

Bueno, la probabilidad de que un sólo número tenga al $latex 2$ como factor es $latex 1/2$ ya que basta que sea par, y esto sucede el 50% de las veces, esto implica que la probabilidad de que los dos tengan al $latex 2$ como factor es $latex (1/2)^2$

Entonces la probabilidad de que $latex \alpha,\beta$ NO tengan al 2 como factor es $latex 1-\Big({\frac{1}{2}}\Big)^2}$


Ahora para el 3, la probabilidad de manera similar de que no contengan en común al 3 es de $latex 1-\Big({\frac{1}{3}}\Big)^2}$

Ya que igualmente, "cada 3 números tienes un múltiplo de 3" , y así en general para todo primo $latex p$ tenemos.

Para cada $latex p$ tenemos que cada $latex p$ números pasarás por un múltiplo de $latex p$ a eso nos referimos con la probabilidad de que nos toque a $latex p$ como factor es $latex \frac{1}{p}$
Por lo tanto la probabilidad $latex P_{\alpha,\beta}$ de que dos enteros al azar $latex \alpha,\beta \in \mathbb{N}$ menores que cierto $latex N$  sean primos relativos es:

$latex P_{\alpha,\beta}=\displaystyle \prod_{p\in \mathbb{P}}{1-\frac{1}{p^2}}} =(1-\frac{1}{2^2})\cdot (1-\frac{1}{3^2})\cdot (1-\frac{1}{5^2})\cdot ...\cdot(1-\frac{1}{{p_n}^2})\cdot ...$  ***

Donde $latex p_n\in\mathbb{P}$, la probabilidad se obtiene cuando multiplicas para todo número primo es decir cuando $latex n\rightarrow \infty$.

Donde $latex \mathbb{P}$ son todos los números primos, los multiplicamos todos ya que son sucesos probabilisticamente independientes.

Es decir, recuerda que la probabilidad de que sucedan dos eventos independientes $latex A$ y $latex B$ al mismo tiempo es en símbolos $latex P(A \wedge B)=P(A)\cdot P(B)$, con independientes me refiero a que el evento $latex A$ no tenga cierta relación con el evento $latex B$, y ¿por qué tener factores primos para cada primo son eventos independientes ? , fácil... porque los números SON primos, ya que si no lo fueran, digamos la probabilidad de tener a $latex 6$ como factor es dependiente de tener a $latex 2$ y $latex 3$ como factor, pero como aquí son números primos, todos son disjuntos con respecto a la medida de probabilidad que mide tener factores primos y por definición los primos son únicos en este sentido.

Pero esto ¿qué? , esta fórmula es medio rara... y no nos dice nada...


Vamos a desarrollar eso para llegar a un resultado sorprendente, primero hay que recordar esta serie de cálculo que tiene que ver con sumas en progresiones geométricas , toma $latex a\in \mathbb{R}$ con $latex \mid a \mid$  <  $latex 1$  

$latex \sum_{n=0}^{\infty} a^n = 1+a+a^2+... = \frac{1}{1-a}$   **

Por ejemplo si $latex a=1/7$

$latex \sum_{n=0}^{\infty}\Big (\frac{1}{7}\Big)^n=1+\frac{1}{7}+\frac{1}{7^2}+...=\frac{1}{1-\frac{1}{7}}=\frac{7}{6}\approx 1.1666$

De la fórmula  **   mete $latex a=(1/2)^2$,  y después voltea la fracción, es decir pon el denominador arriba y el numerador abajo, (esto podemos hacer  porque ningún denominador es 0)

Entonces tenemos que el primer término de *** a lo podemos expandir con la fórmula ** (volteada) como:

$latex 1-\frac{1}{2^2}} = \frac{1}{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+...\frac{1}{2^{2k}}+...}$

Similarmente podemos desarrollar todos los términos de $latex P_{\alpha,\beta}$

$latex P_{\alpha,\beta}=(\frac{1}{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+...\frac{1}{2^{2k}}+...})\cdot(\frac{1}{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^4}+...\frac{1}{3^{2k}}+...})\cdot ...$

Observa cuidadosamente la ecuación anterior y fíjate que en los denominadores de los denominadores, están todos los posibles cuadrados perfectos de todos los números naturales, en todas sus combinaciones y sabores cuando $latex k\rightarrow \infty$ tenemos TODOS los cuadrados perfectos, por lo que esa suma horrible es lo mismo que la siguiente representacion


$latex P_{\alpha,\beta}=\frac{1}{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^2}}=\frac{1}{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}+...}$, es bien sabido que esta serie en el denominador $latex \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$

Es sabido el resultado de esta serie si juegas con la expansión en series de $latex \frac{sen(x)}{x}$
o como el problema de Basilea


Por lo tanto, sabiendo esto, llegamos a este hermoso resultado en teoría analítica de números.

Teorema:
Sean $latex \alpha,\beta \in \mathbb{N}$ donde $latex \alpha,\beta$  < $latex N$, entonces la probabilidad de que $latex \alpha$ y $latex \beta$ NO tengan factores en común (sean primos relativos) es:   $latex P_{\alpha,\beta}=\frac{6}{\pi^2}\approx 0.6079...$


De hecho, es equivalente esto a la función $latex \zeta$ de Riemann evaluada en $latex 2$ , y la fómula  *** que encontramos es justamente la representación con números primos de la función zeta de Riemann por Euler, pueden verlo aquí así como como la función zeta de Riemann en 2 $latex \zeta(2)$, esta función es de las más importantes en matemáticas ya que se ha buscado generalizar a muchos espacios, teoría de curvas, et cétera donde ya tiene solución, pero no en los complejos, la cual llevaría a conocer mejor la distribución de los números primos, si la resuelves te darán 1 millón de dólares, esta función es $latex \zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$ y necesitas demostrar que $latex \zeta(s) =0$ siempre que $latex s=\frac{1}{2}+it$ con $latex t\in \mathbb{R}$ , eso traerá consecuencias muy imporantes en teoría de números y distribución de primos, criptografía, et cétera, esto es sólo una probadita

También con WolframAlpha pueden ver el valor de la función zeta de Riemann en 2 y en el valor que quieran: aquí
Espero les haya gustado

Eduardo Ruíz Duarte
twitter @toorandom