Cohomología de grupos

Queremos estudiar el la jacobiana $latex \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q}(\mathcal{C})$ de una curva $latex \mathcal{C}$ hiperelíptica de género 2 con puntos $latex [f(t),g(t)] \in \mathcal{C}(\mathbb{F}_{q}(t))$, es decir en el campo de funciones racionales en una variable con coeficientes en $latex \mathbb{F}_q$, esto es para darle más estructura a la curva ya que en cierta extensión de $latex \mathbb{F}_q$ tendremos que será isomorfa a $latex \mathcal{C}(\mathbb{F}_q)$ porque ambas tendrán el mismo $latex j-$invariante, a esta nueva curva en la extensión del campo se le llama el twist de $latex \mathcal{C}$, más adelante veremos como usar el $latex \j-$invariante para clasificar curvas, pero primero necesitamos las herramientas necesarias, todo esto con el fin de poder demostrar el teorema de Hasse-Weil de una forma distinta el cual tiene aplicaciones importantes en criptografía con curvas algebraicas.

Sea $latex G$ un grupo finito y sea $latex M$ un grupo abeliano en el cual $latex G$ actúa, denotamos a la acción de $latex \sigma \in G$ en $latex m\in M$ por $latex m \rightarrow m^\sigma$.

Sean $latex m,n\in M$, entonces decimos que $latex M$ es un $latex G-$módulo derecho si la acción de $latex G$ en $latex M$ satisface:

$latex m^e = m$              $latex (m+n)^\sigma = m^\sigma + n^\sigma$            $latex (m^\sigma)^\tau = m^{\sigma\tau}$

Si $latex M,G$ son $latex G-$módulos, un $latex G-$homomorfismo es un homomorfismo de grupos abelianos $latex \phi:M\rightarrow N$ que conmuta con la acción de $latex G$, en símbolos:

$latex \phi(m^\sigma)=\phi(m)^\sigma$    $latex \forall m\in M$ y $latex \sigma \in G$

Definimos el 0-ésimo grupo de cohomología del $latex G-$módulo $latex M$ 

$latex H^0(G,M)=\lbrace m\in M : m^\sigma = m$    $latex \forall \sigma \in G \rbrace$

Es decir, es el submódulo de $latex M$ que tiene todos los elementos que son invariantes bajo los elementos de $latex G$, recuerden que este $latex G$ puede ser un grupo de automorfismos por ejemplo.

Recordemos que un complejo de co-cadenas es una sucesión de grupos abelianos o de módulos $latex (M_\bullet,d_\bullet)$ que están conectados por homomorfismos $latex d_{i}:M^i \rightarrow M^{i+1}$ llamados operadores de cofrontera, ya que pedimos que $latex d^{n+1}\circ d^n = 0$   $latex \forall n$ , esto es dual con los complejos de cadena, solo que en homología los operadores de frontera decrementan la dimensión mientras que en co cadenas la aumentan. 

$latex ... \rightarrow M^{-2} \xrightarrow{d_{-2}} M^{-1} \xrightarrow{d_{-1}} M^0 \xrightarrow{d_0} M^1 \xrightarrow{d_1}  ... \rightarrow M^{n-1} \xrightarrow{d_{n-1}}M^n\rightarrow ...$

Una propiedad básica de esto es que si tenemos una sucesión exacta de $latex G-$módulos, otra sucesión exacta.

Es decir

$latex 0\rightarrow P \xrightarrow{\phi} M \xrightarrow{\psi} N \rightarrow 0$

Tenemos que también es exacta

$latex 0\rightarrow H^0(G,P)\rightarrow H^0(G,M)\rightarrow H^0(G,N)$

Pero el mapeo último no será suprayectivo, para medir que "tan no suprayectivo" es, vamos a definir la parte de cohomología de grupos.

Definición: Sea $latex M$ un $latex G-$módulo, el grupo de n-cocadenas de $latex G$ a $latex M$ es:

$latex C^n(G,M)=\lbrace \omega:G^n\rightarrow M \rbrace$

Es decir, son todos los mapeos de $latex G^n$ a $latex M$

Definición: Decimos que el i-ésimo diferencial 

$latex d^{i}_{M}:C^i(G,M)\rightarrow C^{i+1}(G,M)$

Es el mapeo.

$latex d^i(f)(g_0,g_1,...,g_i)=$

$latex g_0 f(g_1,...,g_i)+\displaystyle \sum_{j=1}^i {(-1)^j f(g_0,...,g_{j-1}g_j,g_{j+1},...,g_i) } + (-1)^{i+1}f(g_0,...,g_{i-1})$

Esta función está pensada para que funcione como un operador de co-frontera, y que anule su diferencial en una dimensión más baja, asó como en homología, y podamos construir sucesiones exactas, es decir.

$latex d^{i+1} \circ d^i = 0$

Definición: El grupo n-cociclos de $latex G$ a $latex M$ (con coeficientes en $latex M$) es:

$latex Z^n(G,M)=ker(d^n)$

Definición: El grupo de n-cofronteras

$latex B^n(G,M)=im(d^{n-1})$ para $latex n\geq 1$

y para $latex n=0$ 

$latex B^0(G,M)=0$

Bueno... hasta ahora qué tanto tenemos?

Recordemos que   $latex d^{i+1} \circ d^i = 0$  por lo que es fácil notar que $latex C^{\bullet}(G,M)=(C^i(G,M),d^i)$ es un complejo de co-cadenas y entonces como $latex B^i(G,M)\leq Z^i(G,M)$ podemos definir el n-ésimo grupo de cohomología

$latex H^n(G,M)=Z^n(G,M)/B^n(G,M)$

Este grupo medirá qué tan alejado está un complejo de cadenas de ser exacto.

Una cosa importante en cohomología es que convierte una sucesión exacta corta de $latex G-$módulos en una sucesión exacta larga de grupos abelianos.

A nosotros nos interesa mucho $latex H^0(G,M)$ el cuál ya definimos y $latex H^1(G,M)$

Por lo que podemos ver que:

$latex H^0(G,M)=M^G$ es decir son los $latex G-$invariantes

ya que: 

Si $latex m\in M$ entonces $latex d^0(m)(g)=gm-m$ por lo que $latex ker(d_0)=M^G$

También tenemos que

$latex Z^1(G,M)=\lbrace f:G\rightarrow M \mid f(gh)=gf(h)+f(g) \rbrace$

Esto es fácil de ver también directamente de la definición... otra cosa que hay que observar es que si la acción de $latex G$ es trivial entonces

$latex H^0(G,M)=M$ y $latex H^1(G,M)=Mor(G,M)$ 

lo cual también es evidente.

Espero les haya servido.

Eduardo Ruiz Duarte (beck)

twitter: @toorandom

A días de iniciar mi PhD en Países Bajos (aka Holanda)

Como algunos sabrán, apliqué en una universidad en los Países Bajos con el fin de poder hacer mi PhD en matemáticas, trabajaré con curvas hiperelípticas de género 2 con el fin de poder encontrar relaciones con números primos usando campos de funciones globales y locales de éstas.

Estaré muy metido con temas relacionados con puntos racionales de curvas algebraicas, tests de primalidad y algoritmos de factorización en primos cierto tipo de números con el fin de poder hacer algún avance en el área de criptografía asimétrica y criptoanálisis algebraico.

Todo esto es que mis herramientas principales (por ahora) vendrán de la geometría algebraica y álgebra conmutativa como son las curvas elípticas, análisis complejo, variedades abelianas, teoría de divisores, jacobianas, funciones Zeta, teorema de Hasse-Weil, Hasse-Minkowski, Mordell-Weil, teorías de Manin-Mumford entre otras que irán surgiendo.

Todo esto es impresionante y me causa mucho placer el investigarlo y comprenderlo, así como visualizarlo con programación, y más con el tutor que voy quién es muy respetado en el área, es algo que tengo que hacer... si no lo hago me arrepentiré por siempre y es algo que he querido hacer desde que tomé mi primera clase de teoría de números y cuando tuve mi primer acercamiento con números primos hace ya algunos años haciendo un programa que los detecta de manera visual, aquí está

Mi consejo para todos los lectores, es:

El statu quo económico y social así como la zona de confort son peligrosas, pero también cómodas, a veces vale la pena abandonarlas para perseguir algo más grande, ya que te puedes frustrar, pero también cuando logren un paso de su meta tampoco crean que será fácil, estoy nervioso, ansioso y un poco asustado, las metas son difíciles por definición, si no lo fueran, simplemente serían acciones cotidianas.

Lo que se tiene como meta, en mi caso es algo que no es fácil (al menos para mí)... no me considero un "genio" sólo alguien muy curioso y tengo que estudiar bastante para comprender lo que necesito, quiero lograrlo, sólo tengo que organizarme.

En el preámbulo de mi doctorado estuve en Budapest en el congreso de criptología de europa central hace un par de meses investigando un endomorfismo en la jacobiana de curvas hiperelípticas de género 2 y afortunadamente sí pude publicar algo y dar una charla y esto que haré considero será la continuación de ello, si a alguien le interesa el artículo está por aquí en la IACR .

Ahora, en la parte humana y cotidiana comienzo a darme cuenta de lo complicado que es psicológicamente el poder mudarme de país, yo tenía mi casa armada en una zona de confort interesante, mis relaciones humanas y amigos limitados a mi poca capacidad social, pero funcionales y con confianza existente, un trabajo estable, que tal vez no me llenaba del todo, pero sí me permitía poder seguir estudiando e investigando.

Materialmente es difícil, todas mis cosas tengo que regalarlas o mal venderlas, pero bueno, supongo que es un entrenamiento para no tener que aferrarme a lo material, y me alegro de lo que doné y regalé al mismo tiempo... ya que a mucha gente le servirá.

También comienza a caerme el veinte de toda la gente a la que ya no veré en mucho tiempo (cuatro años), de lo lejos que estaré, porque no me iré a Estados Unidos o Canadá, estaré a 12 horas de avión de un vuelo caro y aparte a otras 2 horas de tren desde Ámsterdam, en un pueblo de prácticamente estudiantes que se llama Groningen de 198 mil habitantes (imagina que la delegación Benito Juárez que es donde vivo actualmente tiene 385 mil personas) que está muy cerca de la frontera con Alemania al noreste de los Países Bajos.

Es decir, voy a hacer un cambio radical en la vida, en costumbres, dejo de trabajar para un magnate y comienzo a trabajar para mí, dejo a la gente de toda la vida, destruyo bienes materiales, pago deudas y me desfalco, me junto con amigos/as para despedirme, me hacen comidas/cenas de despedida, conozco gente nueva a la que me duele dejar... voy solo, no soy tan sociable, mis relaciones sociales en México han representado un gran logro, hay que volver a comenzar con otra cultura, otro idioma, otra economía y otras responsabilidades ya no será tan fácil obtener lo que quiero materialmente como lo era aquí en México, ahora soy un estudihambre.

Al ver lo que dejo y ver las calles, llenas de gente y atascadas de tránsito en el D.F. me doy cuenta... que sí voy a extrañar mucho de lo que critico, pero también me pregunto... ¿qué realmente es lo que hacemos los seres humanos aquí en el mundo? ¿acaso venimos a ser felices como todos dicen? ... no lo creo... creo que pensar que venimos a ser felices es muy egoísta, pero lo que sí sé es que aunque es egoísta lo hacemos casi todos y lo hago yo, por el hecho de no saber la respuesta... me sorprende ver a tanta gente caminando, tanta gente de la que no sé nada, ni ellos de mí pero con vidas tan complejas como la de cualquiera de nosotros, y me pregunto ¿acaso estoy haciendo las cosas bien?

Saludos

twitter: @toorandom
Eduardo Ruíz Duarte (beck)