Cohomología de Monsky-Washnitzer y punto fijo de Lefschetz (parte 1 Cohomología Grothendieck-deRham Algebraico)

Este es el último post de este año, mañana me voy de vacaciones a Israel pero vine a la oficina en 28 de diciembre para no sentirme culpable de estar en el mar muerto flotando y no continuando mis algoritmos y proyectos pendientes para mi trabajo de investigación en mi actual casa académica que es el Instituto Johann Bernoulli en los Países Bajos.

Parte de lo que estoy investigando tiene que ver con contar soluciones $latex \mathbb{F}_q$-racionales de jacobianas de curvas hiperelípticas de género 2, como ya lo he mencionado en posts anteriores, esto es importante, por razones prácticas y por razones puramente matemáticas.

En cuanto a las razones prácticas tenemos que estas jacobianas de curvas hiperelípticas están consideradas para suplir en un futuro a las curvas elípticas en criptografía, por lo que necesitamos ver maneras de extraer la cardinalidad de su conjunto de soluciónes con el fin de poder ver si el grupo abeliano asociado a la curva es seguro en términos criptográficos. Esta cardinalidad nos dará la traza del endomorfismo de Frobenius, y por lo tanto, podemos obtener también la cardinalidad de la curva hiperelíptica.

Las razones matemáticas son la riqueza matemática que conlleva poder conocer esto, ahora vamos a definir una teoría de cohomología útil para teoría de números que nos permite contar puntos, y que nace de la Cohomología de DeRham algebraica propuesta por Alexander Grothendieck así como del trabajo de Dwork quien probó que la función Zeta de una variedad algebraica sobre un campo finito es simplemente un cociente de polinomios.

Lo que queremos es que con esta teoría de Cohomología dada por Monsky-Washnitzer poder encontrar explícitamente la función zeta de una variedad $latex X$ sobre un campo finito $latex \mathbb{F}_q$ con $latex q=p^n$, esta cohomología es la misma que la de deRham algebraica pero aplicada a un anillo especial.

$latex \zeta_{\mathbb{F}_q}(t)=\exp{\sum_{s\geq 1} \frac{|X(\mathbb{F}_{q^s})|}{s}q^{-st}}$

Donde $latex |X(\mathbb{F}_{q^s})|$ denota el número de puntos racionales de $latex X$ en la extensión de grado $latex s$ de $latex \mathbb{F}_q$.

Queremos contar puntos, y un ingrediente crucial es el teorema del punto fijo de Lefschetz, que es la generalización del teorema del punto fijo de Brouwer el cual expuse aquí en mi blog, este teorema en nuestro contexto nos dice básicamente que si $latex X$ es una variedad sobre un campo finito $latex \mathbb{F}_q$ y si $latex \bar{X}$ es el levantamiento (lifting) de $latex X$ a $latex \bar{\mathbb{F}_q}$ , sabemos que el endomorfismo de frobenius $latex \Phi_q$ va a mapear puntos con coordenadas $latex x_1,...,x_n$ a el punto con coordenadas $latex x_1^q, ..., x_n^q$, entonces los puntos fijos que $latex \Phi_q:\bar{X}\rightarrow\bar{X}$ son exactamente los puntos $latex X$ (porque Frobenius se comporta como la identidad en los puntos $latex \mathbb{F}_q$-racionales) entonces el teorema del punto fijo de Lefschetz implica que en el caso de que $latex X$ sea suave y bien portada como variedad:

$latex |X(\mathbb{F}_q)|=q^{\text{Dim }X} \sum_i (-1)^i Tr(\Phi_q)^{-1}|H^{i}(\bar{X},\mathbb{Q}_l)$

La cohomología que usaremos será la cohomología de deRham algebraica aplicada a un anillo especial que es un lifting (levantamiento) del anillo de coordenadas, hoy definiremos la cohomología de deRham y los problemas que nos va a causar no trabajar en el Lifting.

Hoy nos enfocaremos a construir esta cohomología definida en GAGA por Alexander Grothendieck, para cualquier anillo de tipo finito, que será la base de la cohomología de Monsky-Washnitzer aplicada a un anillo en específico.

Primero que todo, $latex \mathbb{K}$ es un campo perfecto y $latex A$ una $latex \mathbb{K}$-álgebra finitamente generada, que en el caso práctico puede ser un anillo de coordenadas de una variedad $latex X$ cuyas coordenadas a veces denotaremos como $latex \bar {x_i}$ para $latex i\leq n$ por lo que $latex A=\mathbb{K}[\bar{x_1},...,\bar{x_n}]=\mathbb{K}[x_1,...,x_n]/\langle f_1,...,f_r \rangle=\mathbb{K}[X]$ donde $latex X$ está definido por $latex \lbrace f_i \rbrace_{i=1}^{r}\subset \mathbb{K}[x_1,...,x_n]$ irreducibles sobre $latex \mathbb{K}$.

Cohomología de DeRham algebraica con diferenciales de Kähler

Ahorita queremos transportar el cálculo diferencial y análisis a álgebra, por lo que definiremos en abstracto lo que es una derivada y los diferenciales de un anillo de cierto modo generalizados, simplemente pidiendo simbólicamente la regla de Leibniz en este caso sobre el anillo de funciones de una variedad, donde la función de derivación sobre el álgebra finitamente generada será naturalmente heredada con la derivación parcial en cada variable de los polinomios.

Definición: $latex \Omega_{A/\mathbb{K}}$  es el $latex A$-módulo de diferenciales de Kähler, es decir, vamos a tomar $latex \forall a\in A$ los símbolos $latex\space da$ y las siguientes relaciones.

* $latex \space dk=0$ para $latex k\in\mathbb{K}$

* $latex d(a+b)=da+db$ 

* $latex d(ab)=a\cdot db+b\cdot da$ donde $latex a,b\in A$

Por ejemplo, si tenemos que $latex A$ es el anillo de coordenadas de $latex X$ una curva dada por la intersección de irreducibles, es decir, $latex f_1,..,f_r \in \mathbb{K}[x_1,...,x_n]$ entonces:

$latex A=\mathbb{K}[x_1,...,x_n]/\langle f_1,...,f_r\rangle$

Entonces tenemos que explícitamente:

$latex \Omega_{A/\mathbb{K}}=\bigoplus _{i=1}^{n} Adx_i /\langle f_1,...,f_r \rangle$

donde $latex df:=\sum_{j=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_j} dx_j$ (Derivada total)

Es decir, como $latex A=\mathbb{K}[\bar{x_1},...,\bar{x_n}]$, tenemos que $latex \Omega_{A/\mathbb{K}}$ es un módulo libre en los generadores $latex d\bar{x_1},...,d\bar{x_n}$ y nota que el álgebra $latex A=\mathbb{K}[\bar {x_1},...,\bar{x_n}]$ está generada como una $latex \mathbb{K}$-álgebra por $latex \bar{x_1},...,\bar{x_n}$ por lo que $latex \Omega_{A/\mathbb{K}}$ esta generado como $latex \mathbb{K}[\bar{x_1},...,\bar{x_n}]$-módulo por $latex d\bar{x_1}, .., d\bar{x_n}$.

Existen muchas derivadas, pero la más natural $latex d:A\rightarrow \Omega_{A/\mathbb{K}}$ es la que manda $latex a\mapsto da$.

Como dije anteriormente, hay muchas derivadas, pero eso no perjudica la unicidad de $latex \Omega_{A/\mathbb{K}}$ ya que si nos encontramos con otra derivación $latex \mathbb{K}$-lineal $latex D:A\rightarrow M$ , ésta se factoriza de manera única como $latex A\xrightarrow{d}\Omega_{A/\mathbb{K}}\rightarrow M$.

De hecho si $latex A=\mathbb{K}[x_1,...,x_n]$ es el anillo de polinomios en $latex n$ variables, (es decir, el anillo de coordenadas del espacio afín $latex \mathbb{A}^n$ tenemos que $latex \Omega_{A/\mathbb{K}}\cong \bigoplus_{i=1}^n A$ , esto lo pueden demostrar ustedes utilizando el mapeo $latex A\rightarrow \bigoplus_{i=1}^n A$ dado por $latex f\mapsto (\frac{\partial f}{\partial x_1},...,\frac{\partial f}{\partial x_n})$ y notando que es una derivada $latex \mathbb{K}$-lineal y que el mapeo $latex \phi:\Omega_{A/\mathbb{K}}\mapsto \bigoplus_{i=1}^n A$ dado por $latex df\mapsto (\frac{\partial f}{\partial x_1},...,\frac{\partial f}{\partial x_n})$ es un isomorfismo con inverso $latex \psi:\bigoplus_{i=1}^n A \rightarrow \Omega_{A/\mathbb{K}}$ dado por $latex (f_1,...,f_n)\mapsto \sum_{i=1}^n f_idx_i$.

Una observación "geómetra algebraica" es que la curva definida por el álgebra $latex A$ (su anillo de coordenadas) , por más abstracto que sea esto y por más raro o más típico que sea el campo $latex \mathbb{K}$ es suave, sin singularidades extrañas en su geometría, entonces $latex \Omega_{A/\mathbb{K}}$ es un módulo localmente libre de rango exactamente la dimensión de Krull del anillo $latex A$ que coincide con la dimensión topológica de la variedad $latex X$ asociada al álgebra $latex A$.  

Ahora vamos a construir los grupos de cohomología, para esta parte es necesario que entiendas lo que es el producto cuña $latex dx_i\wedge dx_j$, yo aquí lo expongo con ejemplos y de manera geométrica.

Definición: Sea $latex \Omega^k_{A/\mathbb{K}}=\bigwedge_{i=1}^k \Omega_{A/\mathbb{K}}$ , es decir en particular $latex \Omega^{0}_{A/\mathbb{K}}=A$ y $latex \Omega^{1}_{A/\mathbb{K}}=\Omega_{A/\mathbb{K}}$

Y construyamos el complejo de cadenas dado por 

                 $latex d_{k}:\Omega^{k-1}_{A/\mathbb{K}}\rightarrow \Omega^{k}_{A/\mathbb{K}}$ 

$latex f_0 df_1\wedge ... \wedge df_{k-1}\mapsto df_0\wedge df_1\wedge ... \wedge df_{k-1}$

Estas $latex d_j$ entre los módulos de diferenciales de orden $latex j$ y  $latex j+1$ pueden demostrar que son derivaciones, y denotamos como $latex \Omega^{\bullet}_{A/\mathbb{K}}$ al complejo de cadenas resultante con su respectivo operador de frontera en cada flecha dado por $latex d_j$.

$latex \cdots\xrightarrow{d_{k-1}}\Omega^{k-1}_{A/\mathbb{K}}\xrightarrow{d_{k}} \Omega^k_{A/\mathbb{K}}\xrightarrow{d_{k+1}} \Omega^{k+1}_{A/\mathbb{K}}\xrightarrow{d_{k+2}}\cdots$

Pueden demostrar que en efecto $latex d_{k+1}\circ d_k =0$ por lo que $latex \text{Im}{d_k}\subseteq \ker d_{k+1}$, que es lo fundamental para construir la teoría de cohomología.

Definición: El complejo de DeRham para la $latex \mathbb{K}$-álgebra $latex A$ está dado por el complejo de cadenas $latex \Omega^{\bullet}_{A/\mathbb{K}}$ donde su i-ésimo grupo de Cohomología está definido como: 

$latex H^{i}_{dR}(A/\mathbb{K}):=H^{i}(\Omega^{\bullet}_{A/\mathbb{K}})=\ker{d_{i+1}}/\text{Im} d_{i}$

Nota que si $latex \space i> KrullDim(A)=Dim(X)$ por las propiedades del producto cuña $latex \wedge$ tendrás dependencia lineal por lo que $latex \Omega^i_{A/\mathbb{K}=0$ que implica que $latex H^i(A/\mathbb{K})=0$ , nota que podemos generalizar esta construcción a esquemas de tipo finito por lo que es mejor denotar $latex H^{i}_{dR}(X/\mathbb{K}):=H^{i}_{dR}(A/\mathbb{K})$ donde $latex X=Spec(A)$ , esto es la generalización usando el espectro del anillo y lo tengo explicado aquí con ejemplos, pero si no te gusta esto, o te es muy complicado, sigue usando el anillo $latex A$.

Cohomología en característica p

Vamos a jugar un poco con esta cohomología y supongamos ahora que $latex \mathbb{K}=\mathbb{F}_p$, queremos definir una teoría de cohomología para variedades sobre $latex \mathbb{F}_p$ , el punto aquí será definir una teoría de cohomología con coeficientes en un campo de característica 0 relacionado muy cercanamente con $latex \mathbb{F}_p$ para una variedad afín sobre $latex \mathbb{F}_p$.

Primero, observemos por qué el párrafo anterior, considera $latex X=\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_p}$ es decir $latex A=\mathbb{F}_p[X]=\mathbb{F}_p[x]$, es fácil ver que $latex H^{1}_{dR}(A/\mathbb{F}_p)$ es un $latex \mathbb{F}_p$-espacio vectorial de dimensión infinita ya que por ejemplo $latex d_1(x^{pk})=0$ $latex \forall k\geq 0$ por lo que $latex \lbrace x^{pk-1}dx \rbrace_{k\geq 0} \not\subset \text{Im }d_1$ y $latex \lbrace x^{pk-1}dx \rbrace_{k\geq 0}\subset \Omega_{A/\mathbb{F}_p}$  $latex \forall k\geq 0$

  

O sea tenemos que $latex d_1:A\rightarrow \Omega^{1}_{A/\mathbb{F}_p}$ está dado por $latex f\mapsto df$ y $latex d_2:\Omega^{1}_{A/\mathbb{F}_p}\rightarrow \Omega^{2}_{A/\mathbb{F}_p}$ está dado por $latex gdf\mapsto dg\wedge df$.

Con esto anterior y la observación de que $latex x^{pk-1}dx\notin \text{Im }d_1$ tenemos que:

$latex \ker d_2=\langle \lbrace cdf : f\in A,\text{ }\forall c\in\mathbb{F}_q\rbrace \cup \lbrace cx^{pk}df : k\geq 0\rbrace\rangle$

$latex \text{Im }d_1=\langle \lbrace df \in \Omega^{1}_{A/\mathbb{F}_q} : f=cx^{pk+r},\text{ }r\neq -1\rbrace\rangle$

Por lo tanto:

$latex H^{1}_{dR}(A/\mathbb{F}_q)=\ker d_{2}/\text{Im }d_{1}$

Es como $latex \mathbb{F}_p$-espacio vectorial tiene una infinidad de generadores dados por todos los valores que puede tener $latex k\geq 0$ ya que la Imágen de $latex d_1$ está totalmente contenida en la parte izquierda del kérnel de $latex d_2$ y la parte derecha es infinita.

Esto es un problema... tenemos que de hecho $latex \Omega^{1}_{A/\mathbb{F}_p}$ tiene dimensión infinita, esto no nos sirve de nada, es muy grande, necesitamos deshacernos de la característica $latex p$ que nos da problemas con las derivaciones de funciones polinomiales con exponente múltiplo de $latex p$.

El campo de característica 0 que usaremos es $latex \mathbb{Q}_p$ (campo de p-ádicos que lo puedes ver explicado en mi blog aquí )y considera su anillo de enteros asociado $latex \mathbb{Z}_p$ , es bien conocido que $latex \mathbb{Z}_p/p\mathbb{Z}_p\cong \mathbb{F}_p$, 

Supón que tienes una $latex \mathbb{F}_p$-álgebra $latex A$ , entonces si pudieramos encontrar una $latex \mathbb{Z}_p$-álgebra suave $latex \tilde{A}$ con $latex \tilde{A}\otimes_{\mathbb{Z}_p}\mathbb{F}_p\cong A$ podrías considerar la cohomología de DeRham de la $latex \mathbb{Q}_p$-álgebra $latex \tilde{A}_{\mathbb{Q}_p}:=\tilde{A}\otimes_{\mathbb{Z}_p}\mathbb{Q}_p$

Con esto, ya nos deshacemos de la dimensión infinita, pero el problema es que levantar (lift) el álgebra $latex A$ como $latex \mathbb{Z}_p$-álgebra da diferentes grupos de cohomología , aunque finitos pero diferentes y necesitamos una manera de poder encontrar un lifting único que nos sirva para poder aplicar el teorema del punto fijo.

Por ejemplo si $latex A=\mathbb{F}_p[x]$ y $latex \tilde{A}_1=\mathbb{Z}_p[x]$ , $latex \tilde{A}_2=\mathbb{Z}_p[x,y]/\langle (1+px)y-1 \rangle$, puedes verificar que $latex H^1_dR(\tilde{A}_{1,\mathbb{Q}_p}/\mathbb{Q}_p)=0$ y $latex H^1_dR(\tilde{A}_{2,\mathbb{Q}_p}/\mathbb{Q}_p)$ tiene dimensión 1

Como vemos, tenemos dos liftings de $latex A$ con diferente grupo de cohomología.

Vamos a seguir después con el anillo en el que queremos trabajar la cohomología, para aplicar el teorema del punto fijo de Lefschetz por ahora nos quedamos aquí.

Después le seguimos, espero les haya interesando.

Eduardo Ruíz Duarte (beck)

twitter: @toorandom

Conjetura de Kaplansky, grupos y anillos de grupo

Hay un problema que lleva 25 años sin resolverse y fue descubierto por Irving Kaplansky, es de esos problemas que se ven bien fáciles de atacar pero pues resulta que no es tan fácil, yo me topé en mi trabajo de investigación para criptografía en variedades con un anillo de grupo que quería ver si tenía múltiplos de 0, y al leer literatura me topé con esto que es muy interesante y que yo tendré que demostrar en mi caso particular.

Veremos un functor de la categoría de grupos a anillos (de hecho módulos), es decir, podemos asociar un anillo a todo grupo.

La conjetura dice lo siguiente:

Conjetura: (Kaplansky)
Sea $latex \mathbb K$ un campo y $latex G$ un grupo libre de torsión, entonces el  anillo de grupo $latex \mathbb{K}[G]$ no tiene divisores de $latex 0$ es decir es un dominio

Para entender este enunciado vamos a definir todo y construir $latex \mathbb{K}[G]$

Vamos a recordar todos los conceptos necesarios de esta conjetura a través de ejemplos no tan triviales de cada uno de los conceptos para poder adquirir intuición en la conjetura.

Grupos, anillos, campos, torsión a través de ejemplos

Grupos (no abelianos son los interesantes)

Un grupo $latex (G, \cdot)$ es un conjunto con una operacion binaria que cumple
a) Existe un $latex e\in G$ tal que $latex \forall g\in G$ tenemos que $latex g\cdot e=e\cdot g = g$ (hay neutro)
b) Si $latex g\in G$ entonces $latex \exists h$ tal que $latex h\cdot g =g\cdot h=e$ (todos son invertibles)
c) Si $latex g_1,g_2\in G$ entonces $latex g_1\cdot g_2 \in G$ (es cerrado)
d) Si $latex g_1,g_2,g_3\in G$ entonces $latex (g_1\cdot g_2)\cdot g_3=g_1\cdot (g_2\cdot g_3)$ (es asociativo)
e)* si sucede que $latex \forall g_1,g_2 \in G$ tenemos que $latex g_1\cdot g_2=g_2\cdot g_1$  (es conmutativo) decimos que $latex G$ es un grupo abeliano


Ejemplos:

No-Ejemplo:

Las matrices con la multiplicación no forman un grupo ya que hay algunas que tienen determinante 0 y no son invertibles, por lo que no se cumple la propiedad b

$latex (Mat_{n}\mathbb R,\cdot)$

Ejemplo $latex SL_2(\mathbb C)$

Las matrices sobre un campo, por ejemplo $latex \mathbb C$ de nxn cuyo determinante es 1 se les denota como $latex SL_n\mathbb C$ , es claro que es un grupo con la multiplicación de matrices ya que todos son invertibles, este se llama grupo especial lineal, y es "especial" porque es de hecho un subgrupo normal de otro mas grande que se llama $latex GL_n\mathbb C$ que es el grupo general lineal que consta de todas las matrices invertibles, es fácil mostrar que un subgrupo normal para los que saben un poco más de teoría de grupos , sabemos que el kernel de un morfismo de grupos es siempre un subgrupo normal y en este caso el operador de determinante induce un homomorfismo de grupos, en este caso $latex det:GL_n\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}^{\times}$ donde $latex \mathbb{C}^\times$ es el grupo multiplicativo de los complejos sin el 0, entonces, $latex Ker(det)=\lbrace A\in GL_n\mathbb C\mid det(A)=1\rbrace=SL_n\mathbb C$, de hecho si te gusta la geometría diferencial hay más en este grupo que ya me extendí mucho en el ejemplo pero tenemos que existe un álgebra de Lie (haces nacer un espacio vectorial donde se pueden multiplicar vectores junto con una operación especial llamada corchete de Lie ) de $latex SL_n\mathbb C$ que es $latex \mathfrak{sl}_n\mathbb C =\lbrace A\in SL_n\mathbb C \mid Tr(A)=0\rbrace$ donde el corchete de Lie es la multiplicación de estos elementos dado por $latex [g,h]=g^{-1}h^{-1}gh$

La teoría en este grupo es hermosa y es favorita de muchos ultra-ingenieros (teoría de control) y de muchos físicos ya que tiene un entendimiento muy profundo, el hecho de que todos tengan determinante 1, y el determinante representar un polinomio con entradas en la matriz te dice que de hecho los elementos pertenecen a una variedad que se sumerge en un espacio y tiene cierta topología y se le da una interpretación a este grupo como el que preserva volúmenes y orientación con transformaciones de $latex \mathbb{C}^n$ (puedes usar $latex \mathbb R$) donde el determinante mide el cambio en volumen y orientación.


Otro grupos con funciones $latex S_n$

Otros ejemplos de grupos más aburridos pueden ser los números reales con la suma usual, o los reales sin el 0 con la multiplicación , estos son abelianos, otros más divertidos no conmutativos son las permutaciones $latex S_n$ que consta de todas las funciones que permutan $latex n$ elementos y su operación es la composición de estas funciones, por ejemplo si hacemos actuar a este grupo en el conjunto $latex X=[ 1,2,3 ]$ tenemos que hay un $latex \sigma_1\in S_3$ tal que intercambia los dos primeros, hay otro $latex \sigma_2$ que intercambia el primero por el tercero, y hay uno que no hace nada, por ejemplo $latex \sigma_1(X)=[2,1,3]$ y $latex \sigma_2(X)=[3,2,1]$ y $latex \sigma_1\circ \sigma_2(X)=[2,3,1]$ y $latex \sigma_2\circ \sigma_1(X)=[3,1,2]$ , este es un grupo (no abeliano) de $latex n!$ elementos , en este ejemplo tiene 6 elementos, toma en cuenta que consta de funciones y hay varios subgrupos de estos, que miden simetria, por ejemplo el grupo de las rotaciones de un cuadrado, donde no se vale por ejemplo intercambiar solo 2 vertices ya que "romperias el cuadrado" , o simplemente las rotaciones de un icosaedro, o un simplejo en dimensión 4, et cétera, hay otro tipo de grupos que alguna vez expuse aquí que se llama grupo de trenzas que tiene que ver con teoría de nudos, lo puedes explorar aquí en mi blog.

Campos

Un campo es sólo una estructura que consta de un conjunto y que contiene dos operaciones cerradas en el conjunto relacionadas con la ley distributiva donde el conjunto con cada operación por sí misma forma un grupo abeliano (por ejemplo $latex (\mathbb R ,+ , \times)$  o $latex (\mathbb {F}_q,+,\times)$ pero no $latex (\mathbb{Z},+,\times)$ ya que los enteros  con la multiplicación sólo tienen al 1 y -1 con inverso, los demás no por lo que no forma grupo abeliano con $latex \times$), hay campos más interesantes, por ejemplo todos los cocientes de polinomios en una variable $latex x$ sobre un campo $latex \mathbb K$ se le denota como $latex \mathbb K (x)$ donde un elemento de ahí puede ser $latex \frac{x^2-x}{x^3-x^2+1}$ estos campos de funciones polinomiales son interesantes cuando los haces en más variables y los elementos cumplen estar definidos sobre una superficie o una curva, y limitas que los denominadores de las funciones polinomiales no se anulen en algún punto de la curva (podrás encontrar un campo diferente para cada punto, eso le da una estructura muy rica a una curva algebraicamente), todo esto sigue conservando la estructura de campo y se puede estudiar la superficie/curva desde ciertas propiedades de este campo sin acudir ya a la geometría.


Anillos y dominios enteros

Un Anillo es como un campo pero a la operación multiplicativa no le pides que tenga inversos, por ejemplo las matrices cuadradas sin pedir condiciones al determinante forman un anillo de hecho forman un grupo con la adición, los polinomios también son un anillo conmutativo, et cétera.


Un anillo $latex R$ se dice que es un dominio entero si $latex \forall a,b\in R\setminus \lbrace 0 \rbrace$ se tiene que $latex a\cdot b \neq 0$

Por ejemplo $latex Mat_2\mathbb Z$ no es un dominio entero ya que $latex \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

También tenemos que los polinomios con coeficientes en un campo si son un dominio entero, ya que no hay dos polinomios no nulos que al multiplicarse te den 0

Otro no-ejemplo son los enteros módulo un número NO-primo, por ejemplo $latex (\mathbb Z/(10),+,\cdot)$  donde la suma y multiplicación es la usual módulo 10 (esto es de manera intuitiva que $latex a\cdot b = c$ donde $latex c$ es el residuo de la división $latex \frac{a\cdot b}{10}$, esta estructura es un anillo pero no es un dominio ya que por ejemplo $latex 5\cdot 2 \equiv 0 \bmod 10$ pero si lo hicieramos con un número primo $latex (\mathbb Z/(p),+,\cdot)$ por la naturaleza de $latex p$ no vas a encontrar dos números que multiplicados te den $latex p$ entonces no existirán "residuos 0" al multiplicar dos números y dividir entre $latex p$ , pero bueno de hecho esto ya es más que un anillo, es un campo finito, todos son invertibles, lo puedes demostrar si tienes ganas.

Un grupo $latex G$ se dice que es libre de torsión si al iterar $latex n$ veces su operación con cualquier elemento $latex g\in G\setminus \lbrace e\rbrace$  no te da nunca el neutro de la operación $latex e\in G$ para todo $latex n\in \mathbb N$ , es decir, un grupo $latex G$ es libre de torsión si el elemento neutro es el único elemento de orden finito

Torsión en grupos

Por ejemplo TODOS los grupos finitos NO son libres de torsión, ya que iterar en un $latex g\in G$ te da elementos de un subgrupo generado por $latex g$ denotado por $latex (g)$ y su cardinalidad divide la cardinalidad de $latex G$ entonces $latex e\in (g)$ incluye a $latex e\in G$ por lo que todos los elementos tienen torsión.

Con esto ya excluimos TODA una familia de grupos de la conjetura de Kaplansky, ya que pedimos que sea infinito y sin torsión, por lo que todos los campos de característica p (que también son grupos) también quedan excluidos, y aquí es donde vamos viendo que todo se dificulta ya que los grupos a tratar deben ser más complicados, un grupo aburrido libre de torsión pues son los enteros $latex (\mathbb{Z},+)$ donde sumar nunca da 0 , las matrices tienen torsión ya que hay matrices que al elevarlas a la $latex n$ se anulan por ejemplo las matrices de 2x2 con coeficientes en el campo finito $latex \mathbb Z/(2)$ con la multiplicación tenemos que $latex \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ es la matriz identidad , por lo que ese elemento tiene orden 2


Conjetura de Kaplansky

La conjetura propone construir un anillo dado un campo y un grupo  y estudiar si es o no un dominio entero

Construcción de un anillo asociado a un grupo $latex G$ y un campo $latex \mathbb K$ 


Lo que haremos es construir un anillo desde un grupo denotado como $latex \mathbb{K}[G]$, es decir, tendremos que construir una suma y una multiplicación que cumpla todos los axiomas.

Grupos generados desde cualquier conjunto (Grupo libre abeliano)

Ya estamos casi listos con las definiciones aposteriori con los ejemplos, vamos a construir un grupo dado un conjunto cualquiera, imaginen que tenemos el conjunto $latex A=\lbrace \alpha,\beta,\gamma\rbrace$, si nos preguntaran cómo podríamos construir un $latex \mathbb K$ espacio vectorial  $latex V$ con el conjunto $latex A$ lo más adecuado es tomar las todas las combinaciones de sumas formales $latex k_1\alpha + k_2 \beta + k_3 \gamma$ $latex \forall k_i\in \mathbb K$, podemos generalizar esto apra cualquier conjunto de distinta cardinalidad, incluso infinita bajo ciertas condiciones (como por ejemplo que sólo un número finito de $latex k_i$ sean distintas de cero) y vamos a hacer más compacta la notación y a los elementos del campo vamos a ponerles un índice que nos indicará a qué elemento del conjunto está multiplicando, entonces:

$latex \sum k_\alpha \alpha \in V$ donde $latex \alpha \in A$ y $latex k_\alpha \in \mathbb K$

La adición está definida de manera natural como

$latex (\sum k_\alpha\cdot\alpha)+(\sum c_\alpha \cdot \alpha)=\sum (k_\alpha+c_\alpha)\cdot \alpha$

También tenemos la multiplicación por un escalar, por ejemplo si tomamos un $latex a\in \mathbb K$

$latex a(\sum k_\alpha \alpha)= \sum (a k_\alpha)\cdot \alpha$

Es decir, es la usual la suma coordenada a coordenada en el espacio vectorial $latex V$, y la multiplicación por escalar, pero nosotros somos más ambiciosos y queremos darle una estructura de álgebra para poder multiplicar los vectores,

Tenemos que observar que $latex A\subset V$ ya que si nos tomamos un $latex \gamma \in A$ tenemos que:

$latex V\ni \gamma^{*} = \sum k_\alpha \alpha$ donde $latex k_\gamma = 1$ y $latex k_\alpha = 0$ $latex \forall \alpha \neq \gamma$ por lo que $latex A$ es base de $latex V$ .

La multiplicación primera que se viene a la mente es una que es muy mediocre (al menos a mi se me ocurrió así) que es como la suma.. coordenada a coordenada pero eso no le da nada de estructura, pero bueno, ¿por qué no se puede ocurrir otra? , pues porque el conjunto $latex A$ no tiene nada de estructura..., no hay por donde podamos jugar.

Pero qué sucedería si le metemos estructura a $latex A$ y le pedimos que sea un grupo.


Anillo de grupo asociado a un campo $latex \mathbb K$ y un grupo $latex G$ 

Este lo denotaremos por $latex \mathbb{K}[G]$ y la suma está definida de la misma manera que con $latex A$ , pero lo que nos importa ahora es la es la multiplicación y explotando la operación en $latex G$ podemos definir lo siguiente:

Sean $latex \alpha.\beta \in G$ y $latex k_\alpha,k_\beta \in \mathbb K$ entonces definimos la multiplicación $latex \odot$ en $latex \mathbb{K}[G]$ como:


$latex (\sum_{\alpha \in G} k_\alpha\cdot\alpha)\odot (\sum_{\beta \in G} k_\beta \cdot \beta)=\sum_{\alpha,\beta \in G} (k_\alpha k_\beta)\cdot \alpha\beta =\sum_{\gamma\in G} k_\gamma \cdot \gamma$

Aquí tenemos que $latex \gamma = \alpha\beta\in G$ por lo que $latex \alpha=\gamma\beta^{-1}$

entonces para poder definir la multiplicación de manera directa.


tenemos que:

$latex k_\gamma$ es la suma de todos los productos $latex k_\alpha k_\beta$ tal que $latex \gamma=\alpha \beta$.

por lo que el coeficiente que le toca a $latex \gamma$ que es $latex k_\gamma$ está dado por:

$latex k_\gamma=\sum_{\alpha\beta=\gamma} k_\alpha k_\beta=\sum_{\alpha \in G} k_\alpha k_{\alpha^{-1}\gamma}$

La pregunta es, si suponemos que $latex \alpha,\beta \in\mathbb{K}[G]^{*}$ podría suceder que $latex \alpha\odot\beta=0$ , para cualquier campo $latex \mathbb{K}$ cuando $latex G$ es un grupo libre de torsión... no se sabe... hay algunos avances para ciertos $latex G$ y cuando $latex \mathbb{K}=\mathbb{C}$ , yo en particular estoy tratando de demostrar esto para un un grupo infinito de automorfismos de una variedad con su campo de funciones es decir algo así como $latex \mathcal{K}(V)[Aut_\mathcal{K}(V)]$.

Espero les haya gustado.

Eduardo Ruiz Duarte
twitter: @toorandom

Teorema de punto fijo de Brouwer y Equilibrio de Nash con topología general

Hoy es el aniversario luctuoso de Luitzen Egbertus Jan Brouwer, fue un matemático Holandés que murió hace 49 años, él demostró uno de los tantos cientos de teoremas de punto fijo, pero el suyo (teorema de punto fijo de Brouwer), considero es de los más importantes (Junto con el que es más importante para mí que es el de Lefschetz que se usa para hacer cohomología en campos finitos), el de Brouwer es un resultado que movió toda la teoría de topología de espacios euclídeos, ecuaciones diferenciales, topología algebraica y teoría de juegos, donde de hecho el teorema del equilibrio de Nash es una consecuencia/corolario del teorema del punto fijo de Brouwer.

También aparte del aniversario luctuoso de Brouwer escribo este post porque hace pocos meses John Nash murió en un accidente automovilístico, y con mi "modita" de escribir un poco de teoría para recordar sus grandes mentes, dejo este post, que como siempre es personal, sin tanto rigor, pero algunas demostraciones, podrán haber errores, los cuales con gusto me pueden corregir en los comentarios o contactarme.

Equilibrio de Nash

Todos vieron esa película "Beautiful Mind" con Russell Crowe que hace el papel de John Nash, el teorema de John Nash sin matemáticas dice aproximadamente que en cualquier juego multijugador donde se permitan cambiar estrategias, y donde cada quién ya está en cierta parte de la evolución del juego donde se conocen las estrategias de los demás, siempre habrá un punto (de equilibrio de Nash) en el que al haber ejecutado su mejor estrategia cada quien, todos tendrán el mejor resultado posible visto individualmente.

Esto quiere decir que está el punto final del juego donde uno gana y todos los demás pierden, pero también hay un punto en donde todos están en su mejor posición posible con respecto a su estrategia, donde al dejar el juego sería la maximización de sus ganancias.

En la película esto lo ejemplifican de manera un poco machista en la escena del bar, donde al todos "competir" por la chica linda, a nadie los va a pelar por atascados o sólo a uno y los demás no podrán ligarse a las amigas de la chica linda porque no querrán ser "plato de segunda mesa", pero al cambiar la estrategia si no pela nadie a la linda y todos se van con sus amigas, la mayoría habrá "ligado". Este punto es el punto en donde se maximiza la ganancia de todos, esta maximización existe... SIEMPRE, y es lo que probó Nash, y es parte de la base de toda la economía mundial y teoría de decisiones.

Esta teoría impactó mucho la teoría económica ya que Adam Smith antes había descrito el individualismo como principal estrategia para lograr los mejores objetivos, pero aquí entra un juego filosófico/social/económico donde a veces el individualismo no siempre es lo mejor, incluso para el individuo ganador, ya que la maximización de recursos de los contrincantes podría traer otro tipo de consecuencias positivas que en la evolución del juego traerían una mayor ganancia a otro plazo (por ejemplo Paz, economía sólida entre países, et cétera).

Teorema del punto fijo de Brouwer


Aquí expondré el Teorema del punto fijo de Brouwer, pero sólo en dimensión 1, recuerdo que esto fue parte de un examen que tuve, para dimensión $latex n$ desafortundamente no tengo el tiempo (ni tampoco la demostración en mi mente a la mano) para poder hacerla, aunque recuerdo que funciona con grupos de homología, espero pronto (en vacaciones) poder dedicarle un tiempo para dimensión $latex n$.

Teorema (Punto fijo de Brouwer)
Sea $latex f\in C^0$, $latex \mathbb{D}^n=\lbrace \bar{x}\in \mathbb{R}^n : ||\bar{x}||\leq 1 \rbrace$ y $latex f:\mathbb{D}^n \rightarrow \mathbb{D}^n$ entonces existe $latex \bar{x_0}\in \mathbb{D}^n$ tal que $latex f(\bar{x_0})=\bar{x_0}$

En español: Si tenemos una función continua que va del disco cerrado de dimensión $latex n$ a sí mismo, entonces siempre habrá al menos un punto $latex \bar{x_0}\in \mathbb{D}^n$ donde la función se comporta como la identidad, es decir donde $latex f(\bar{x_0})=\bar{x_0}$.

Demostración para $latex n=1$, usando topología en vez del el trillado teorema de valor intermedio.

Primero vamos a ver qué significa geométricamente, con este dibujito que hice en este sitio.

Aquí tenemos una función $latex f$ en verde claramente continua en $latex \mathbb{D}^1=\lbrace x\in \mathbb{R} : |x| \leq 1\rbrace=[-1,1]$, es decir, el disco de dimensión 1 es un intervalo cerrado en $latex \mathbb{R}$ , también vemos en azul la función identidad que corresponde a la diagonal $latex \Delta=\lbrace (x,x) : x\in\mathbb{D}^1\rbrace \subsetneq \mathbb{D}^1\times\mathbb{D}^1$, que es justamente la gráfica de la función $latex y=x$ en $latex \mathbb{R}^2$ delimitada al cuadrado $latex [-1,1]\times[-1,1]=\mathbb{D}^1\times\mathbb{D}^1$.

La gráfica verde de la función la definiremos como $latex G_f=\lbrace (x,f(x)) : x\in\mathbb{D}^1\ \rbrace\subsetneq \mathbb{D}^1\times\mathbb{D}^1$.

Lo que queremos demostrar para cualquier $latex f\in C^0$ donde $latex f:\mathbb{D}^1\rightarrow \mathbb{D}^1$ es que $latex G_f\cap \Delta \neq \emptyset$, o sea que existe un punto $latex x_0\in \mathbb{D}^1$ tal que $latex f(x_0)=x_0$ y esto lo haremos muy rápidamente usando topología básica.

Sólo necesitamos recordar que un abierto básico  $latex U\subset \mathbb{R}^n$ es aquel que para todo $latex x\in U$ existe un $latex \epsilon$ >  $latex 0$ tal que $latex B_\epsilon(x)\subset U$ es decir, siempre podemos encontrar una bola rellena alrededor de $latex x$ de radio $latex \epsilon$ (la medida del radio está dada por la métrica de $latex \mathbb{R}^n$) totalmente contenida en $latex U$, por más que ese $latex x$ esté cerca de la frontera/orilla de $latex U$, ese punto no puede estar en la frontera de $latex U$ porque la frontera de $latex U$ no es parte del abierto $latex U$ por cómo está definida la noción de abierto.

Continuemos con la demostración. sea $latex f(-1)=a$ y $latex f(1)=b$ , en el dibujo los podemos ver en rojo. Si $latex f(-1)=-1$ o $latex f(1)=1$ ya acabaríamos cuyo caso sería trivial, entonces vamos a suponer lo contrario que es que $latex f(-1)=a > -1$ y $latex f(1)=b < 1$.

Lo que queremos usar es una idea de conexidad topológica, diciendo que cualquier camino entre los puntos rojos $latex (-1,a),(1,b)$ el cual lo denotamos por $latex \gamma_{a,b}\subset \mathbb{D}^1\times\mathbb{D}^1$ debe cruzar por $latex \Delta$ , lo cual intruitivamente parecería muy fácil, pero demostrarlo formalmente requiere topología, ya que lo estamos generalizando para cualquier función continua, sea como sea, y no sólo la función verde linda del dibujo.


Tenemos que por hipótesis $latex f$ es continua, por lo que $latex G_f$ está conectado (es conexo), y esto es porque $latex G_f=Im(\Phi)$ (imagen de $latex \Phi$) donde $latex \Phi$:

$latex \begin{aligned}\Phi:\mathbb{D}^1&\rightarrow \mathbb{D}^1\times\mathbb{D}^1 \\ x&\mapsto (x,f(x)) \end{aligned}$

Donde este mapeo es fácil demostrar que es continuo usando la continuidad de $latex f$.
Y de la continuidad es sabido por topología básica que una función continua $latex \phi:X\rightarrow Y$ entre dos espacios topológicos, si $latex X$ es conexo (o aún más fuerte, conexo por trayectorias) , entonces $latex Im(\phi)\subseteq Y$ también es conexo (por trayectorias si $latex X$ lo era), en este caso aquí la $latex \phi$ es nuestra $latex \Phi$. Este resultado es una especie de generalización del teorema del valor intermedio que todos vieron en su clase de cálculo 1.

Ahora, construiremos dos conjuntos abiertos.

$latex A=\lbrace (x,f(x)) : f(x) > x \rbrace$
$latex B=\lbrace (x,f(x)) : f(x) < x \rbrace$

Nota que estos dos conjuntos jamás pueden ser vacíos, ya que $latex (-1,a)\in A$ y $latex (1,b)\in B$.

Estos dos conjuntos representan intuitivamente lo que está arriba ($latex A$) y lo que está abajo ($latex B$) de la diagonal $latex \Delta$, y también nota que no tienen puntos fijos (ya que es lo que queremos demostrar).

Procediendo por contradicción, si suponemos que de hecho $latex f$ no tiene puntos fijos, entonces debería suceder que $latex G_f\cap \Delta = \emptyset$, lo cual implicaría que por como construimos $latex A$ y $latex B$ entonces $latex G_f = A\cup B$, pero $latex A,B\subset G_f$ son abiertos en $latex G_f$, y disjuntos, por lo que su unión es disjunta, esto contradice que la imagen de $latex \Phi$ que es $latex G_f$ es conexa $latex \blacksquare$

Nota sobre $latex A$ y $latex B$ al final de la demostración

¿por qué $latex A$ y $latex B$ son abiertos EN $latex G_f$?

Esto no lo justifiqué hace algunos años en mi examen, y me causó un comentario al final de la demostración en mi escrito, pero aquí dejo una idea con la que ustedes pueden demostrarlo (que es muy fácil en $latex \mathbb{R}$), ya que la métrica de $latex \mathbb{R}$ heredada a $latex G_f$ te permite demostrar que en este caso intervalos semi-abiertos/semi-cerrados  (con un extremo que incluya su frontera) , realmente son ABIERTOS, ya que lo obtienes de la topología heredada de $latex \mathbb{R}^2$ intersectándolo con un abierto, por ejemplo si $latex \alpha\in \mathbb{D}^1$ y $latex \beta >1$:

$latex U=(\alpha,1]=\mathbb{D}^1\cap (\alpha,\beta)$.

Donde $latex (\alpha,\beta)\subset \mathbb{R}$ , por lo que $latex U\subset\mathbb{D}^1$ es abierto con respecto a $latex \mathbb{D}^1$.

La demostración en general para cualquier dimensión, no existe generalizada de esta forma, se utiliza álgebra homológica para construir algo así como el teorema del valor intermedio generalizado, o el teorema que generaliza esto aún más es el de Borsuk-Ulam  si eres más ambicioso.

El teorema del equilibrio de Nash y el teorema del punto fijo de Brouwer están conectados en que la funcion de ganancia (que él demuestra que es continua) de todos los jugadores con respecto al espacio de todas las estrategias de cada uno (ambas están en N variables, donde N es el número de jugadores que es fínito para asegurar que se trabaje en un espacio compacto), tienen un punto fijo, y él demuestra que este punto es de equilibrio, no puedo entrar en más detalles de la prueba porque no conozco los artificios de teoría de Juegos a ese nivel, pero espero les haya servido.


Eduardo Ruíz Duarte (beck)
Twitter: @toorandom

Epifanías sobre inteligencia, evolución y altruismo

Epifanías nocturnas, a ver si opinan o me corrigen, si niego lo que dicen trataré de poner un argumento, no es personal... Soy incrédulo, jodón y mamón.

Epifanía 1.
Ser altruista, amable, bueno y condescendiente es un error en el ADN, los humanos somos violentos, así hemos sobrevivido, evolucionamos cazando y aumentamos nuestra masa cerebral con proteínas que cazamos, no había lugar para la "piedad" o bondad con la presa, aún lo somos... Seguimos matando pero no con nuestras manos, el consumismo destruye el mundo (no es retórica... Matas árboles, animales por carne, contaminas, pisas a los demás para que tu gente/familia tengan lo mejor) los buenos, "misericordiosos" y piadosos no se reproducen porque mueren antes de enfrentarse al mundo, son asesinados por éste, el cual está lleno de gente en su proceso de supervivencia, esa característica memética/genética "positiva" no es parte del proceso evolutivo.

Epifanía 2.
Si un chimpancé y un humano están a 1.1 % de ADN de diferencia, a 4 % de un ratón y un chimpancé o un ratón no pueden entender para qué sirve un sombrero o un reloj, menos la razón por la que los humanos tenemos física cuántica o arte, No tienen ni la más mínima idea.

¿Qué pasaría si existiera un ser con la configuración ideal que fuera superior a nosotros en 1 % ?

¿qué tipo de ideas estarían fuera de nuestro entendimiento? (Sé que de haber respuesta la pregunta sería irrelevante... Sólo quiero opiniones)

¿Será este concepto de "dios" algo sobrehumano de entender, y los ateos somos los atrasados evolutivamente? , al ser una minoría nos convierte en un grupo posiblemente con una mutación cuyo proceso de adaptación es imposible haciendo inminente la extinción del gen o mem.

¿Existe una lógica más avanzada? , ¿cómo haría matemáticas un extraterrestre 1 % más desarrollado en su configuración genética?

Para ésta última alguien (J. B. Nation) ya pensó en ello, vale la pena darle un vistazo.

http://www.math.hawaii.edu/~jb/four.pdf

Motivación en esquemas, gavillas, espacios localmente anillados, topología de Zariski

Antes que todo, hace una semana se cumplió un año del fallecimiento del que fue para mí el máximo matemático moderno del siglo XX, Alexander Grothendieck (aquí su obituario), es por eso que escribo este post el cuál tiene que ver con la teoría que él desarrolló que ahora es la piedra angular de la geometría algebraica y ha servido para demostrar muchas cosas incluyendo las conjeturas de Weil en cuanto a las propiedades de la función zeta de Riemann de curvas sobre campos finitos, de hecho él demostró que esta función es racional.


Antes de entrar en el post, dejo otro PDF de interés de una chica estudiante de Matemáticas que fue a visitarlo un año anes de morir, donde relata su experiencia la cual es un poco extraña

http://www.math.utah.edu/~honigs/Grothendieck.pdf

De la teoría que desarrolló Grothendieck tratará este post, daré una motivación, ejemplos y luego entraré de lleno a definir con base a la primera intuición lo que es un esquema en el sentido de Grothendieck, falta muchísimo para que este post sea.. "aceptable", de hecho jamás hablaré de espacios proyectivos, por lo que sólo me limitaré a esquemas afines, también cuando hablo de un anillo, éste es conmutativo con unidad y los campos son algebraicamente cerrados.

Recuerdo que cuando estaba estudiando mi maestría en el IMATE-UNAM mi colega y amigo Ángel Zaldivar me decía que pusiera más énfasis en la teoría de esquemas, pero yo ya iba encarrerado con la geometría algebraica clásica para hacer mi proyecto que fue un artículo que encontraba fórmulas explícitas en la adición de la jacobiana de una curva hiperelíptica de género 2 así como el modelo afín no singular de la jacobiana embebida:
a en $latex \mathbb{A}^4$ lo cual puedes ver aquí (DOI) .

La teoría de Grothendieck, dota de muchísima estructura a un objeto, un anillo, pudiéndolo analizar a simple vista, y a nivel "atómico", haciéndole relucir su geometría... por más abstracto que sea, es lo que trataremos también de construir.

Ahora que estoy haciendo mi doctorado, entendí por qué Ángel me decía eso, y bueno, he estudiado y usado ya esquemas para algunos resultados y por eso quise hacer una pequeña exposición muy elemental, básica y espero motivante (aunque no rigurosa).

Motivación inicial:

Empecemos con algo fácil.

¿Cuál es la diferencia entre los conjuntos $latex \lbrace V(x) \cap V(y-x^2)\rbrace$ y $latex \lbrace V(y) \cap V(y-x^2) \rbrace$?

Recuerden que si tenemos un conjunto de polinomios $latex S\subseteq k[x_1,...,x_n]$ entonces los ceros de los polinomios en $latex S$ son:

$latex V(S):=\lbrace (a_1,...,a_n)\in \mathbb{A}^n(k) : f(a_1,..,a_n)=0$ $latex \forall f\in S\rbrace $

Este $latex S$ podría ser un ideal de $latex k[x_1,...,x_n]$  y de hecho existe un operador dual a $latex V$ que nos da el ideal asociado a un conjunto de puntos:

$latex I(V):= \lbrace f\in k[x_1,...,x_n] : f(a_1,...,a_n)=0$ $latex \forall (a_1,...,a_n)\in V\rbrace$

Hay un teorema muy importante que marcó el inicio de todo esto desde mi punto de vista que es el teorema Nullstellensatz que en alemán significa "teorema de los ceros" de David Hilbert que dice que:

Si $latex J\subset \bar{k}[x_1,...,x_n]$ es un ideal, entonces

$latex I(V(J))=\sqrt{J}=\lbrace f\in k[x_1,...,x_n]: f^n\in J$ para algún $latex m\geq 1\rbrace$


Regresando al ejemplo , tenemos la intersección de la línea vertical $latex x=0$ que es justamente el eje y, con la parábola $latex y-x^2=0$ que nos da sólo el punto $latex (0,0)$ , y por otro lado, la linea horizontal $latex y=0$ que es el eje x intersectado con la misma parábola, en ambos casos el único punto de intersección es el $latex (0,0)$ , es decir como conjuntos son lo mismo, ¿cuál es la diferencia? , si ven las gráficas en $latex \mathbb{R}^2$ verán

 

La diferencia está en el álgebra detrás, la tangencia en la gráfica derecha se estudia a través de su álgebra afin asociada que es en este caso $latex k[x,y]/(y-x^2,y)\cong k[x]/(x^2)$ sin embargo , para la intersección transversal de la parábola con $latex x=0$ tenemos que $latex k[x,y]/(y-x^2,x)\cong k$, obviamente el primero no es un campo porque tiene un elemento nilpotente que es $latex x$, el segundo es isomorfo al campo base, y este ejemplo da una idea de una teoría que podría diferenciar en este caso cómo encontrar tangencia sin recurrir directamente a la geometría, lo que te permitirá analizar la geometría algebraicamente incluso de espacios que no son "visibles" de manera intruitiva (espacios de funciones, variedades sobre campos finitos, campos no arquimedianos, et cétera).


Geometría algebraica pre-esquemas, con sabor a esquemas (Primera Parte)

Si tenemos una curva algebraica plana y queremos estudiarla como las anteriores, podemos primero pensar en una topología para ésta, así que las siguientes definiciones son importantes.

Definición: Sea $latex V\in \mathbb{A}^n(k)$ un conjunto algebraico (es decir, está dado por uniones, intersecciones de ecuaciones polinomiales como vimos en el ejemplo, y puedes hacer que $latex V$ sea una curva elíptica o una parábola) entonces su anillo de coordenadas es $latex k[V]=k[x_1,...,xn]/I(V)$ , los elementos de este anillo se llaman funciones regulares

Recuerden que una variedad $latex X$ es irreducible si no es la unión de variedades, es decir que $latex X\neq Y\cup Z$ donde $latex Y,Z$ no son triviales, esto es fácil verlo algebraicamente ya que si te fijas en las ecuaciones que definen una variedad que no es irreducible, entonces es factorizable, por ejemplo si consideras $latex f(x,y)=x^3 y-x^2+x y^3-x y-y^2+1$, es fácil ver que no es irreducible, ya que es la unión de dos conjuntos algebraicos:

Es una parábola y un círculo en la misma ecuación... y si factorizamos tenemos que $latex f(x,y)=(xy-1)(x^2+y^2-1)$ , es decir, el polinomio no es irreducible porque lo podemos factorizar... y por lo tanto podemos intuir (hay que probarlo) que si $latex f,g\in k[x_1,...,x_n]$ entonces $latex V(fg)=V(f)\cup V(g)$, es decir, el producto de dos ecuaciones polinomiales, tiene como ceros, la unión de los ceros de cada una de las ecuaciones polinomiales por separado.



Regresando al anillo de coordenadas es el anillo de polinomios en $latex n$ variables módulo el ideal de polinomios que se anulan en los puntos de $latex V$ , los elementos de este anillo puedes verlos como funciones $latex f:V\rightarrow k$.

Una subvariedad $latex W$ de $latex V$ es aquella que está contenida en $latex V$ is $latex W$ es algebraica, por ejemplo $latex V(x)\subset V(xy)$ , geométricamente $latex x=0$ es una línea vertical y $latex x y = 0$  tiene como gráfica los dos ejes coordenados, y la linea está contenida en la "cruz" siendo ambos definidos por ecuaciones polinomiales (algebraicos).

Topología de Zariski

Ahora, la topología donde se trabaja esto inicialmente es la de Zariski, y definimos:

Definición: Sea $latex k$ un campo y $latex X\subset \mathbb{A}^n(k)$ , es un cerrado de Zariski si $latex X$ es algebraico (es decir, un conjunto de puntos definido por polinomios), de manera dual tenemos que un abierto de Zariski es de la forma $latex U=\mathbb{A}^n(k)\setminus X$ donde $latex X$ es algebraico.


Ejemplo 1:  Considera $latex \mathbb{A}^1(k)$ , entonces un cerrado ahí está dado por cualquier subconjunto de la recta afín $latex \mathbb{A}^1(k)$ que pueda ser expresado por polinomios en una variable, como sabemos que todo polinomio tiene un número finito de raíces, entonces los cerrados corresponden a todos los subconjuntos de la recta que son finitos (los abiertos son conjuntos infinitos), aquí tenemos un ejemplo de topología cofinita.

Ejemplo 2:
Si te subes a dimensión dos, veremos que aquí es diferente, por ejemplo, un punto es un cerrado, ya que intuitivamente lo puedes ver como la intersección de dos rectas, un círculo también es cerrado ya que se puede expresar como el conjunto de ceros de $latex x^2+y^2-1$ , y los abiertos aquí pues son muy grandes, los complementos de estos ejemplos son super densos , de hecho esta topología no es Hausdorff (no puedes encontrar dos abiertos que no se intersecten).

Y para qué queremos esta topología tan rara? ,

Localización:

Un punto nos da un ideal, es decir si $latex p=(a_1,...,a_n)\in V\subset \mathbb{A}^n(k)$ entonces $latex I(\lbrace p\rbrace)=(x-a_1,...,x-a_n)$, estos ideales pueden probar que son máximos, y por cada punto corresponde un ideal máximo cuando el campo base es algebraicamente cerrado, cuando no, hay teoría de Galois de por medio que hablaremos después,


Definición: Sea $latex k[V]:=k[x_1,...,x_n]/I(V)$ un anillo de coordenadas , tenemos que su campo de fracciones asociado es:

$latex k(V):=\lbrace f/g: f,g\in k[V] , g\neq 0\rbrace/\sim$

Donde $latex \sim$ es la relación de equivalencia usual de fracciones, o sea $latex a/b \sim c/d$ si $latex a\cdot c-b\cdot d=0$, es decir que su diferencia sea 0 en $latex k[V]$ lo cual significa que $latex ac-bd\in I(V)$

Definición: Sea $latex k[V]:=k[x_1,...,x_n]/I(V)$ un anillo de coordenadas y $latex p\in V$ entonces la localización de $latex p$ en $latex k[V]$ es:

$latex k_{p}[V]:=\lbrace f/g \in k(V) : g(p)\neq 0 \rbrace$

Hasta aquí ya tenemos un anillo para cada punto de una variedad $latex V$ , ahora... este anillo localizado en $latex p$ tiene un sólo ideal máximo, el cual pueden demostrar que es $latex m_p=\lbrace f\in k_{p}[V] : f(p)=0\rbrace$

Toda esta estructura que le hemos dado a una variedad dada por polinomios se puede generalizar, y a partir de aquí está todo lo anterior para cualquier anillo, podemos ver a los elementos del anillo conmutativo que queramos como si fueran funciones sobre un nuevo espacio $latex S p e c R$  que será el tema principal de este post (esquema afín).

Definición: Sea $latex R$ un anillo conmutativo, definimos el espectro primo de $latex R$ como:

$latex Spec R:=\lbrace \mathfrak{p} : \mathfrak{p}\subset R$ es un ideal primo $latex \rbrace$

Observación-definición: Vamos a ver cómo ver los elementos de un anillo $latex R$ como funciones evaluadas en los puntos de nuestro nuevo espacio topológico $latex S p e c R$  , para que esto tenga sentido.

Sea $latex f\in R$ y $latex \mathfrak{p}\in Spec R$ (un ideal primo), entonces $latex f(\mathfrak{p})=\bar{f}\in R/\mathfrak{p}$ donde $latex \bar{f}$ es la reducción de $latex f$ módulo $latex \mathfrak{p}$.


Este espectro tan inocente que se ve, es un espacio localmente anillado (es decir, con una gavilla de anillos asociada, lo cual veremos más adelante), y de hecho, decimos que bajo la topología de Zariski $latex Y\subset Spec R$ es cerrado , si existe un ideal $latex \mathfrak{a}\subset R$ tal que:

$latex Y=V(\mathfrak{a}):=\lbrace \mathfrak{p}\in Spec R: \mathfrak{a}\subset \mathfrak{p}\rbrace$

Esto nos permite rápidamente comprender la definición de cerrado anterior ya que si $latex f\in R$ y $latex f(\mathfrak{p})=0$ para algún ideal primo $latex \mathfrak{p}\in Spec R$ es porque $latex f\in \mathfrak{p}$

Medítalo un poco, imagínate que otra vez $latex R=k[x_1,..,x_n]/I(V)$ , acuérdate de la acotación que hicimos, sobre los ideales asociados a puntos , estos son primos (máximos) i.e. pertenecen a $latex S p e c R$

Podemos redefinir a los cerrados (conjuntos algebraicos) de $latex S p e c R$ , sea $latex \mathfrak{a}\subset R$ un ideal cualquiera, entonces:

$latex Y=V(\mathfrak{a}):=\lbrace \mathfrak{p}\in Spec R: f(\mathfrak{p})=0$ $latex \forall f\in \mathfrak{a}\rbrace=\lbrace \mathfrak{p}\in Spec R : \mathfrak{a}\subset \mathfrak{p} $

Esto creo que ya tiene más lógica, para poder localizar en$latex S p e c R$  tomemos en cuenta que si $latex f \in R$

$latex V(f)=\lbrace \mathfrak{p}\in Spec R : f(\mathfrak{p})=0\rbrace$

y el abierto asociado a $latex f\in R$ es el complemento de $latex V(f)$ en $latex S p e c R$

$latex D(f)=\lbrace \mathfrak{p}\in Spec R: f(x)\neq 0 \rbrace$

A este último a veces le dicen dominio de f por eso la letra $latex D$ , pero nosotros le llamaremos abierto de $latex f$.

Asociandole a cada abierto $latex U \subset X$ un anillo

Regresemos al ejemplo donde $latex R=k[V]$ , donde $latex V$ es una variedad sobre $latex k$ , es decir, trabajamos en su anillo de coordenadas, sea $latex p=(a_1,...,x_n)\in V$, consideremos su ideal asociado que es $latex \mathfrak{p}=(x_1-a_1,...,x_n-a_n)$

$latex U_\mathfrak{p}:=D(\mathfrak{p})=\lbrace x\in V : f(x)\neq 0$ $latex \forall f\in \mathfrak{p}\rbrace$

Entonces tenemos que a $latex U$ le podemos asociar el siguiente anillo llamado anillo de funciones regulares en $latex U$

$latex k[U_\mathfrak{p}] := \lbrace f/g\in k(V) : g\notin \mathfrak{p} \rbrace$

Esto es justamente la localización en el punto $latex \mathfrak{p}\in Spec$ $latex k[V]$ , es decir:

$latex k[U_\mathfrak{p}] = k_\mathfrak{p}[V]$

Ejemplo:

Sea $latex R=\mathbb{Z}$ , entonces $latex Spec\mathbb{Z}=\lbrace p\mathbb{Z} : p$ es primo $latex \rbrace$, $latex V(5)$ consta de todos los ideales primos que tienen al 5 como elemento, o sea $latex 5\mathbb{Z}$, $latex V(6)$ constaría de $latex \lbrace 3\mathbb{Z}, 2\mathbb{Z}$, $latex V(1)$ es vacío que es cerrado y abierto, et cétera, si localizamos en el ideal $latex (p)\subset \mathbb{Z}$ tenemos que:

$latex \mathbb{Z}_{(p)}=\lbrace a/b \in \mathbb{Q} : b\notin (p) \rbrace$

Justamente la localización es crucial para toda la teoría de esquemas, ya que como acaban de notarlo, a cualquier anillo le dimos una topología, y a cada abierto le asociamos un anillo, por lo que decimos que $latex S p e c R$ es un espacio localmente anillado. , la formalidad de esto es con una cosa que se llama gavilla estructural asociada al anillo, y veremos como construir esto en general.


Gavillas, esquemas en general para cualquier espacio topológico (Segunda parte).

Despues de todo lo anterior ahora viene la parte formal de la construcción anterior que fue un poco un revoltijo.

Primero para poder empezar necesitamos comprender lo que es una gavilla (Sheaf en inglés) pero para entender una gavilla, debemos comenzar con lo que es una pre-gavilla la cual con propiedades adicionales nos dará la gavilla, las gavillas son interesantes porque podemos conservar datos de una espacio topológico de manera organizada y tener una estructura más rica en álgebra donde podemos explotar más las propiedades de un objeto para poder estudiarlo.


Definición: Sea $latex X$ un espacio topológico, una pregavilla $latex \mathcal{F}$ de anillos en $latex X$ consiste en los siguientes objetos

1) Para todo abierto $latex U\subseteq X$ le asociamos un anillo  $latex \mathcal{F}(U)$
2) Para toda inclusión $latex V\subseteq U$ de subconjuntos abiertos de $latex X$, tenemos el morfismos restricció $latex \rho_{UV}:\mathcal{F}(U)\rightarrow \mathcal{F}(V)$

Este morfismo cumple:

i) $latex \mathcal{F}(\emptyset) = 0$
ii) $latex \rho_{UU}$ es el mapeo identidad de $latex \mathcal{F}(U)\rightarrow \mathcal{F}(U)$
iii) Si $latex W\subseteq V\subseteq U$ son tres abiertos de $latex X$ entonces $latex \rho_{UW}=\rho_{VW}\circ \rho_{UV}$ , es decir el diagrama triangular de los mapeos conmuta.

Estas pregavillas se pueden definir no sólo anillos sino a grupos abelianos,  u objetos en cualquier categoría abeliana.

Vamos a decir que si $latex \mathcal{F}$ es una pregavilla en $latex X$ entonces $latex \mathcal{F}(U)$  serán las secciones de la pregavilla $latex \mathcal{F}$ en el abierto $latex U$, a veces estas secciones son denotadas como $latex \Gamma(U,\mathcal{F})$ que son los anillos $latex \mathcal{F}(U)$ , también es común en la literatura que se escriba $latex s\mid_v:=\rho_{UV}(s)$ si $latex s\in \mathcal{F}(U)$ que es la restricción usual de morfismos en la categoría en cuestión, en este caso la de anillos.


Ahora vamos a definir una gavilla (sheaf) la cual , es una pregavilla, pero le pediremos más cosas relacionadas con datos locales de las secciones para poder identificarlas


Definición: Una pregavilla $latex \mathcal{F}$ sobre un espacio topológico $latex X$ es una gavilla si satisface las siguiente condicion sobre sus secciones:

iv) Sea $latex U$ un abierto de $latex X$ y $latex \lbrace V_i \rbrace$ una cubeirta abiera de $latex U$, si $latex s\in\mathcal{F}(U)$ es un elemento tal que $latex s\mid_V=0$ $latex \forall i$ $latex \Rightarrow s=0$ , y si $latex s_i \in \mathcal{F}(V_i)$ $latex \forall i$ con la propiedad de que $latex \forall i,j$  $latex s_i|_{V_i\cap V_j}=s_j\mid_{V_i\cap V_j}$ entonces existe otro elemento $latex s\in \mathcal{F}(U)$ tal que $latex s\mid_{V_i}=s_i$ $latex \forall i$


Bueno, mucha abstracción, veamos un ejemplo de algo que hayamos usado en este blog, el cual ma ayuda mucho a aterrizar conceptos a la hora de no estar familiarizado con algo.



Ejemplo (repitiendo la primera parte): Sea $latex X$ una variedad sobre un campo $latex k$, recordemos que para cada abierto de la variedad usando la topología de Zariski, se cumple que estos no son puntos de algún polinomio  restringido a $latex X$ y definimos $latex O(U)$ como el anillo de funciones regulares en $latex U$ , es decir son los cocientes de polinomios cuyo denominador está bien definido en el abierto $latex U$ y está identificado con todas las funciones regulares que van de $latex U\rightarrow k$ y definimos que para todo $latex V\subseteq U$ $latex \rho_{UV}:O(U)\rightarrow O(V)$ la restricción usual de morfismos , entonces decimos que $latex O$ es una gavilla de anillos en $latex X$ , con esto es claro que es una pregavilla, para verificar la condición iv sólo hay que notar que la función 0 también es localmente 0, y una función que es regular localmente en cada anillo, también es regular globalmente, y llamamos a $latex O$ la gavilla de funciones regulares en $latex X$
Para un mejor tratado de este ejemplo con lujo de detalle, ver otro post anterior aqui.

Ahora necesitamos comenzar a definir objetos locales en la gavilla.

Definición: Si $latex \mathcal{F}$ es una pregavilla en $latex X$ y $latex P$ es un punto de $latex X$ , decimos que el tallo (stalk en inglés) $latex \mathcal{F}_P$ de $latex \mathcal{F}$ en $latex P$ es el límite inverso de los anillos $latex \mathcal{F}(U)$ para todo abierto $latex U$ que contiene $latex P$ via los mapeos de restricción $latex \rho$, es decir:

$latex \mathcal{F}_P= \varinjlim_{P\in U} \mathcal{F}(U)$

Esta definición intuitivamente, lo que nos dice, es que vamos a encontrar el anillo de cierto modo más chico de todos los abiertos $latex U\subseteq X$ que contienen a $latex P$, esto les tiene que sonar a localización.


Definición: Una pregavilla $latex \mathcal{F}$ en un espacio topológico $latex X$ es una gavilla si para todo $latex U\subset X$ y toda cubierta $latex U=\bigcup_{\lambda\in \Lambda} U_\lambda$ de abiertos $latex U_\lambda\subset X$ sucede que:


1. Si $latex f,g\in \mathcal{F}(U)$ satisfacen $latex f\mid_{U_\lambda}=g\mid_{U_\lambda}$ para todo $latex \lambda\in\Lambda$ entonces $latex f=g$
2. Si $latex f_\lambda\in \mathcal{F}(U_\lambda)$  con $latex \lambda\in \Lambda$ satisface que $latex f_\lambda\mid_{U_\lambda\cap U_\sigma}=f_{\sigma}\mid_{U_\lambda\cap U_\sigma}$ para todo $latex \lambda,\sigma\in \Lambda$, entonces existe un $latex f\in \mathcal{U}$ tal que $latex f\mid_{U_\lambda}=f_\lambda$ para toda $latex \lambda\in\Lambda$ , la cual será única, por (1) , esta condición se llama de "pegado" (gluing condition), es decir, una función que coincide en los overlaps de los abiertos en toda la cubierta, puedes encontrar otra que pasa por allí y es única.

Definición:  Un morfismo $latex \Phi$ entre dos gavillas $latex \mathcal{F},\mathcal{G}$ definidas sobre el espacio topológico $latex X$ , $latex \Phi:\mathcal{F}\rightarrow \mathcal{G}$ es un morfismo functorial en el sentido de morfismos entre la categoría de abiertos de $latex X$ a la categoría de anillos (de coordenadas si quieren aterrizar muy rapido, pero todo esto es en general) es decir, $latex \Phi$ consiste en una colección de morfismos

$latex \phi_U:\mathcal{F}(U)\rightarrow \mathcal{G}(U)$ con $latex U\subset X$ abierto. que son compatibles con los morfismos de restricción , es decir si $latex U\subset V\subset X$

$latex \mathcal{F}(V)\xrightarrow{\phi_V} \mathcal{G}(V)$  y $latex \mathcal{F}(U)\xrightarrow{\phi_U} \mathcal{G}(U)$ entonces, esto visto como un diagrama conmuta con los mapeos de restriccion , en este caso $latex \mathcal{F}(V)\xrightarrow{\rho_{U}^V} \mathcal{U}$ y $latex \mathcal{G}(V)\xrightarrow{\rho_U^{V}} \mathcal{G}(U)$
Añadir leyenda

Para terminar, ya con los esquemas, terminamos con la estructura global que guarda toda la información del espacio $latex X$, que es la de espacio localmente anillado y concluimos con la definición de esquema afín.


Definición: Un espacio localmente anillado es un par $latex (X,O_X)$ donde $latex X$ es el espacio topológico y $latex O_X$ es una gavilla de anillos en $latex X$, la cual le llamamos gavilla estructural de $latex X$,  tal que los tallos $latex O_{X,x}$ para cada $latex x\in X$ son anillos locales (con un sólo ideal máximo, como los del ejemplo en la primera sección).

Un morfismos de espacios localmente anillados $latex (X,O_X)\rightarrow (Y,O_Y)$ es un par $latex (f,f^{\dagger})$  donde $latex f:X\rightarrow Y$ es un mapeo continuo entre los espacios topológicos, y $latex f^{\dagger}:O_Y\rightarrow f_{*}(O_X)$ es un morfismos de gavillas como lo definimos anteriormente en $latex Y$ , donde $latex f_{*}(O_X)$ es la gavilla en $latex Y$ que está dada por $latex V\mapsto O_X(f^{-1}(V))$ y con sus respectivos morfismos de restricción , por lo que $latex f^{\dagger}$ es el sistema de homomorfismos de anillos dado por:

$latex f^{\dagger}(V):O_Y(V)\rightarrow O_X(f^{-1}(V))$ tal que $latex V\subset Y$ es abierto.

Falta una condición para que un espacio sea localmente anillado.

 Un mapeo $latex \psi:A\rightarrow B$ es un mapeo local si $latex A,B$ son anillos locales y si $latex m_A\subset A$ y $latex m_B\subset B$ son sus respectivos ideales máximos $latex \psi(m_A)\subset m_B$

Entonces para que $latex (X,O_X)$ sea localmente anillado, también tiene qAñadir leyendaue cumplir la condición de que el mapeo $latex f^{\dagger}$ sea local entre todos los tallos, es decir que $latex f^{\dagger}_x:O_{Y,f(x)}\rightarrow O_{X,x}$ para todo $latex x\in X$ sea local.

Definición final:  Un esquema afín es un espacio localmente anillado $latex (X,O_X)$ tal que existe un isomorfismos de espacios localmente anillados entre $latex (X,O_X) \xrightarrow{\sim} (Spec A, O_{Spec A})$ , para algún anillo $latex A$, los morfismos entre esquemas afines son como los definimos anteriormente, morfismos de espacios localmente anillados.


Como vimos anteriormente, esto es muy abstracto, pero si quieres darle forma, comienza usando un álgebra afin conocida, como anillo, como un anillo de coordenadas, y de ahí comienza a darle la estructura de esquema , con todas las definiciones que vimos en la primera parte.

Todo esto fue muy rápido, lo siento, por la falta de rigor, pero no tengo tanto tiempo y realmente sí quería hacer esto, esto se lo debemos a Alexander Grothendieck

1928-2014

                                         
Eduardo Ruíz Duarte (beck)
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twitter: toorandom
PGP:  FEE7 F2A0

Conjetura de Kaplansky, anillos de grupos a través de ejemplos

Hay un problema que lleva 25 años sin resolverse y fue descubierto por Irving Kaplansky, es de esos problemas que se ven bien fáciles de atacar pero pues resulta que no es tan fácil, yo me topé en mi trabajo de investigación con un anillo de grupo que quería ver si tenía múltiplos de 0, y al leer literatura me topé con esto que es muy interesante y que yo tendré que demostrar en mi caso particular.

La conjetura dice lo siguiente:

Conjetura: (Kaplansky)
Sea $latex \mathbb K$ un campo y $latex G$ un grupo libre de torsión, entonces el  anillo de grupo $latex \mathbb{K}[G]$ no tiene divisores de $latex 0$ es decir es un dominio

Para entender este enunciado vamos a definir todo y construir $latex \mathbb{K}[G]$

Vamos a recordar todos los conceptos necesarios de esta conjetura a través de ejemplos no tan triviales de cada uno de los conceptos para poder adquirir intuición en la conjetura.

Grupos, anillos, campos, torsión a través de ejemplos

Grupos (no abelianos son los interesantes)

Un grupo $latex (G, \cdot)$ es un conjunto con una operacion binaria que cumple
a) Existe un $latex e\in G$ tal que $latex \forall g\in G$ tenemos que $latex g\cdot e=e\cdot g = g$ (hay neutro)
b) Si $latex g\in G$ entonces $latex \exists h$ tal que $latex h\cdot g =g\cdot h=e$ (todos son invertibles)
c) Si $latex g_1,g_2\in G$ entonces $latex g_1\cdot g_2 \in G$ (es cerrado)
d) Si $latex g_1,g_2,g_3\in G$ entonces $latex (g_1\cdot g_2)\cdot g_3=g_1\cdot (g_2\cdot g_3)$ (es asociativo)
e)* si sucede que $latex \forall g_1,g_2 \in G$ tenemos que $latex g_1\cdot g_2=g_2\cdot g_1$  (es conmutativo) decimos que $latex G$ es un grupo abeliano


Ejemplos:

No-Ejemplo:

Las matrices con la multiplicación no forman un grupo ya que hay algunas que tienen determinante 0 y no son invertibles, por lo que no se cumple la propiedad b

$latex (Mat_{n}\mathbb R,\cdot)$

Ejemplo $latex SL_2(\mathbb C$

Las matrices sobre un campo, por ejemplo $latex \mathbb C$ de nxn cuyo determinante es 1 se les denota como $latex SL_n\mathbb C$ , es claro que es un grupo con la multiplicación de matrices ya que todos son invertibles, este se llama grupo especial lineal, y es "especial" porque es de hecho un subgrupo normal de otro mas grande que se llama $latex GL_n\mathbb C$ que es el grupo general lineal que consta de todas las matrices invertibles, es fácil mostrar que un subgrupo normal para los que saben un poco más de teoría de grupos , sabemos que el kernel de un morfismo de grupos es siempre un subgrupo normal y en este caso el operador de determinante induce un homomorfismo de grupos, en este caso $latex det:GL_n\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}^{\times}$ donde $latex \mathbb{C}^\times$ es el grupo multiplicativo de los complejos sin el 0, entonces, $latex Ker(det)=\lbrace A\in GL_n\mathbb C\mid det(A)=1\rbrace=SL_n\mathbb C$, de hecho si te gusta la geometría diferencial hay más en este grupo que ya me extendí mucho en el ejemplo pero tenemos que existe un álgebra de Lie (haces nacer un espacio vectorial donde se pueden multiplicar vectores junto con una operación especial llamada corchete de Lie ) de $latex SL_n\mathbb C$ que es $latex \mathfrak{sl}_n\mathbb C =\lbrace A\in SL_n\mathbb C \mid Tr(A)=0\rbrace$ donde el corchete de Lie es la multiplicación de estos elementos dado por $latex [g,h]=g^{-1}h^{-1}gh$

La teoría en este grupo es hermosa y es favorita de muchos ultra-ingenieros (teoría de control) y de muchos físicos ya que tiene un entendimiento muy profundo, el hecho de que todos tengan determinante 1, y el determinante representar un polinomio con entradas en la matriz te dice que de hecho los elementos pertenecen a una variedad que se sumerge en un espacio y tiene cierta topología y se le da una interpretación a este grupo como el que preserva volúmenes y orientación con transformaciones de $latex \mathbb{C}^n$ (puedes usar $latex \mathbb R$) donde el determinante mide el cambio en volumen y orientación.


Otro grupos con funciones $latex S_n$

Otros ejemplos de grupos más aburridos pueden ser los números reales con la suma usual, o los reales sin el 0 con la multiplicación , estos son abelianos, otros más divertidos no conmutativos son las permutaciones $latex S_n$ que consta de todas las funciones que permutan $latex n$ elementos y su operación es la composición de estas funciones, por ejemplo si hacemos actuar a este grupo en el conjunto $latex X=[ 1,2,3 ]$ tenemos que hay un $latex \sigma_1\in S_3$ tal que intercambia los dos primeros, hay otro $latex \sigma_2$ que intercambia el primero por el tercero, y hay uno que no hace nada, por ejemplo $latex \sigma_1(X)=[2,1,3]$ y $latex \sigma_2(X)=[3,2,1]$ y $latex \sigma_1\circ \sigma_2(X)=[2,3,1]$ y $latex \sigma_2\circ \sigma_1(X)=[3,1,2]$ , este es un grupo (no abeliano) de $latex n!$ elementos , en este ejemplo tiene 6 elementos, toma en cuenta que consta de funciones y hay varios subgrupos de estos, que miden simetria, por ejemplo el grupo de las rotaciones de un cuadrado, donde no se vale por ejemplo intercambiar solo 2 vertices ya que "romperias el cuadrado" , o simplemente las rotaciones de un icosaedro, o un simplejo en dimensión 4, et cétera, hay otro tipo de grupos que alguna vez expuse aquí que se llama grupo de trenzas que tiene que ver con teoría de nudos, lo puedes explorar aquí en mi blog.

Campos

Un campo es sólo una estructura que consta de un conjunto y que contiene dos operaciones cerradas en el conjunto relacionadas con la ley distributiva donde el conjunto con cada operación por sí misma forma un grupo abeliano (por ejemplo $latex (\mathbb R ,+ , \times)$  o $latex (\mathbb {F}_q,+,\times)$ pero no $latex (\mathbb{Z},+,\times)$ ya que los enteros  con la multiplicación sólo tienen al 1 y -1 con inverso, los demás no por lo que no forma grupo abeliano con $latex \times$), hay campos más interesantes, por ejemplo todos los cocientes de polinomios en una variable $latex x$ sobre un campo $latex \mathbb K$ se le denota como $latex \mathbb K (x)$ donde un elemento de ahí puede ser $latex \frac{x^2-x}{x^3-x^2+1}$ estos campos de funciones polinomiales son interesantes cuando los haces en más variables y los elementos cumplen estar definidos sobre una superficie o una curva, y limitas que los denominadores de las funciones polinomiales no se anulen en algún punto de la curva (podrás encontrar un campo diferente para cada punto, eso le da una estructura muy rica a una curva algebraicamente), todo esto sigue conservando la estructura de campo y se puede estudiar la superficie/curva desde ciertas propiedades de este campo sin acudir ya a la geometría.


Anillos y dominios enteros

Un Anillo es como un campo pero a la operación multiplicativa no le pides que tenga inversos, por ejemplo las matrices cuadradas sin pedir condiciones al determinante forman un anillo de hecho forman un grupo con la adición, los polinomios también son un anillo conmutativo, et cétera.


Un anillo $latex R$ se dice que es un dominio entero si $latex \forall a,b\in R\setminus \lbrace 0 \rbrace$ se tiene que $latex a\cdot b \neq 0$

Por ejemplo $latex Mat_2\mathbb Z$ no es un dominio entero ya que $latex \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

También tenemos que los polinomios con coeficientes en un campo si son un dominio entero, ya que no hay dos polinomios no nulos que al multiplicarse te den 0

Otro no-ejemplo son los enteros módulo un número NO-primo, por ejemplo $latex (\mathbb Z/(10),+,\cdot)$  donde la suma y multiplicación es la usual módulo 10 (esto es de manera intuitiva que $latex a\cdot b = c$ donde $latex c$ es el residuo de la división $latex \frac{a\cdot b}{10}$, esta estructura es un anillo pero no es un dominio ya que por ejemplo $latex 5\cdot 2 \equiv 0 \bmod 10$ pero si lo hicieramos con un número primo $latex (\mathbb Z/(p),+,\cdot)$ por la naturaleza de $latex p$ no vas a encontrar dos números que multiplicados te den $latex p$ entonces no existirán "residuos 0" al multiplicar dos números y dividir entre $latex p$ , pero bueno de hecho esto ya es más que un anillo, es un campo finito, todos son invertibles, lo puedes demostrar si tienes ganas.

Un grupo $latex G$ se dice que es libre de torsión si al iterar $latex n$ veces su operación con cualquier elemento $latex g\in G\setminus \lbrace e\rbrace$  no te da nunca el neutro de la operación $latex e\in G$ para todo $latex n\in \mathbb N$ , es decir, un grupo $latex G$ es libre de torsión si el elemento neutro es el único elemento de orden finito

Torsión en grupos

Por ejemplo TODOS los grupos finitos NO son libres de torsión, ya que iterar en un $latex g\in G$ te da elementos de un subgrupo generado por $latex g$ denotado por $latex (g)$ y su cardinalidad divide la cardinalidad de $latex G$ entonces $latex e\in (g)$ incluye a $latex e\in G$ por lo que todos los elementos tienen torsión.

Con esto ya excluimos TODA una familia de grupos de la conjetura de Kaplansky, ya que pedimos que sea infinito y sin torsión, por lo que todos los campos de característica p (que también son grupos) también quedan excluidos, y aquí es donde vamos viendo que todo se dificulta ya que los grupos a tratar deben ser más complicados, un grupo aburrido libre de torsión pues son los enteros $latex (\mathbb{Z},+)$ donde sumar nunca da 0 , las matrices tienen torsión ya que hay matrices que al elevarlas a la $latex n$ se anulan por ejemplo las matrices de 2x2 con coeficientes en el campo finito $latex \mathbb Z/(2)$ con la multiplicación tenemos que $latex \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ es la matriz identidad , por lo que ese elemento tiene orden 2


Conjetura de Kaplansky

La conjetura propone construir un anillo dado un campo y un grupo  y estudiar si es o no un dominio entero

Construcción de un anillo asociado a un grupo $latex G$ y un campo $latex \mathbb K$ 


Lo que haremos es construir un anillo desde un grupo denotado como $latex \mathbb{K}[G]$, es decir, tendremos que construir una suma y una multiplicación que cumpla todos los axiomas.

Grupos generados desde cualquier conjunto (Grupo libre abeliano)

Ya estamos casi listos con las definiciones aposteriori con los ejemplos, vamos a construir un grupo dado un conjunto cualquiera, imaginen que tenemos el conjunto $latex A=\lbrace \alpha,\beta,\gamma\rbrace$, si nos preguntaran cómo podríamos construir un $latex \mathbb K$ espacio vectorial  $latex V$ con el conjunto $latex A$ lo más adecuado es tomar las todas las combinaciones de sumas formales $latex k_1\alpha + k_2 \beta + k_3 \gamma$ $latex \forall k_i\in \mathbb K$, podemos generalizar esto apra cualquier conjunto de distinta cardinalidad, incluso infinita bajo ciertas condiciones (como por ejemplo que sólo un número finito de $latex k_i$ sean distintas de cero) y vamos a hacer más compacta la notación y a los elementos del campo vamos a ponerles un índice que nos indicará a qué elemento del conjunto está multiplicando, entonces:

$latex \sum k_\alpha \alpha \in V$ donde $latex \alpha \in A$ y $latex k_\alpha \in \mathbb K$

La adición está definida de manera natural como

$latex (\sum k_\alpha\cdot\alpha)+(\sum c_\alpha \cdot \alpha)=\sum (k_\alpha+c_\alpha)\cdot \alpha$

También tenemos la multiplicación por un escalar, por ejemplo si tomamos un $latex a\in \mathbb K$

$latex a(\sum k_\alpha \alpha)= \sum (a k_\alpha)\cdot \alpha$

Es decir, es la usual la suma coordenada a coordenada en el espacio vectorial $latex V$, y la multiplicación por escalar, pero nosotros somos más ambiciosos y queremos darle una estructura de álgebra para poder multiplicar los vectores,

Tenemos que observar que $latex A\subset V$ ya que si nos tomamos un $latex \gamma \in A$ tenemos que:

$latex V\ni \gamma^{*} = \sum k_\alpha \alpha$ donde $latex k_\gamma = 1$ y $latex k_\alpha = 0$ $latex \forall \alpha \neq \gamma$ por lo que $latex A$ es base de $latex V$ .

La multiplicación primera que se viene a la mente es una que es muy mediocre (al menos a mi se me ocurrió así) que es como la suma.. coordenada a coordenada pero eso no le da nada de estructura, pero bueno, ¿por qué no se puede ocurrir otra? , pues porque el conjunto $latex A$ no tiene nada de estructura..., no hay por donde podamos jugar.

Pero qué sucedería si le metemos estructura a $latex A$ y le pedimos que sea un grupo.


Anillo de grupo asociado a un campo $latex \mathbb K$ y un grupo $latex G$ 

Este lo denotaremos por $latex \mathbb{K}[G]$ y la suma está definida de la misma manera que con $latex A$ , pero lo que nos importa ahora es la es la multiplicación y explotando la operación en $latex G$ podemos definir lo siguiente:

Sean $latex \alpha.\beta \in G$ y $latex k_\alpha,k_\beta \in \mathbb K$ entonces definimos la multiplicación $latex \odot$ en $latex \mathbb{K}[G]$ como:


$latex (\sum_{\alpha \in G} k_\alpha\cdot\alpha)\odot (\sum_{\beta \in G} k_\beta \cdot \beta)=\sum_{\alpha,\beta \in G} (k_\alpha k_\beta)\cdot \alpha\beta =\sum_{\gamma\in G} k_\gamma \cdot \gamma$

Aquí tenemos que $latex \gamma = \alpha\beta\in G$ por lo que $latex \alpha=\gamma\beta^{-1}$

entonces para poder definir la multiplicación de manera directa.


tenemos que:

$latex k_\gamma$ es la suma de todos los productos $latex k_\alpha k_\beta$ tal que $latex \gamma=\alpha \beta$.

por lo que el coeficiente que le toca a $latex \gamma$ que es $latex k_\gamma$ está dado por:

$latex k_\gamma=\sum_{\alpha\beta=\gamma} k_\alpha k_\beta=\sum_{\alpha \in G} k_\alpha k_{\alpha^{-1}\gamma}$

La pregunta es, si suponemos que $latex \alpha,\beta \mathbb{K}[G]^{*}$ podría suceder que $latex \alpha\odot\beta=0$ , para cualquier campo $latex \mathbb{K}$ cuando $latex G$ es un grupo libre de torsión... no se sabe... hay algunos avances para ciertos $latex G$ y cuando $latex \mathbb{K}=\mathbb{C}$ , yo en particular estoy tratando de demostrar esto para un caso muy en particular.

Espero les haya gustado.

Eduardo Ruiz Duarte
twitter: @toorandom

Función zeta de Riemann y probabilidad de que dos enteros sean primos relativos

Este post está motivado en que ya estoy de vacaciones y quería hacer algo divertido y también para alguien muy especial que tiene la propiedad de ser aniparkiomorfiginaica que le gusta mucho la probabilidad y estadística, ella sabrá quién es.

Otra motivación es que como siempre tengo problemas para dormir posiblemente por las grandes cantidades de café que introduzco a mi cuerpo, pero empecemos.

Deduciremos una probabilidad que involucra a $latex \pi$ e involucra a números primos que está íntimamente relacionado con el problema del milenio sin solución gracias a Riemann (Conjetura de Riemann sobre la función $latex \zeta$ que puedes ver aquí)

La pregunta es realmente, ¿cuál es la probabilidad de que dos enteros positivos menores que cierto $latex N$ sean primos relativos (no tengan factores en común más que 1)?

Por ejemplo, $latex (6,33)$ no son primos relativos  porque $latex 6=3\cdot 2$ y $latex 33=11\cdot 3$ (comparten al $latex 3$)

pero por ejemplo $latex (14,15)$ son primos relativos porque no comparten factores no triviales y $latex (c,p)$ donde $latex c$ es cualquier entero y $latex p$ es un número primo.

Esta demostración me gusta mucho, aquí la tienen, vamos a calcular esta probabilidad de obtener dos números primos relativos al azar

Construcción:

Sean $latex x,y\in \mathbb{N}$ con $latex x,y>1$, como queremos que $latex x,y$ sean coprimos no deben tener ningún factor en común.

Empecemos facilito.

¿Cuál es la probabilidad de dos enteros positivos tengan al 2 como factor?

Bueno, la probabilidad de que un sólo número tenga al $latex 2$ como factor es $latex 1/2$ ya que basta que sea par, y esto sucede el 50% de las veces, esto implica que la probabilidad de que los dos tengan al $latex 2$ como factor es $latex (1/2)^2$

Entonces la probabilidad de que $latex \alpha,\beta$ NO tengan al 2 como factor es $latex 1-\Big({\frac{1}{2}}\Big)^2}$

Ahora para el 3, la probabilidad de manera similar de que no contengan en común al 3 es de $latex 1-\Big({\frac{1}{3}}\Big)^2}$

Ya que igualmente, "cada 3 números tienes un múltiplo de 3" , y así en general para todo primo $latex p$ tenemos.

Para cada $latex p$ tenemos que cada $latex p$ números pasarás por un múltiplo de $latex p$ a eso nos referimos con la probabilidad de que nos toque a $latex p$ como factor es $latex \frac{1}{p}$
Por lo tanto la probabilidad $latex P_{\alpha,\beta}$ de que dos enteros al azar $latex \alpha,\beta \in \mathbb{N}$ menores que cierto $latex N$  sean primos relativos es:

$latex P_{\alpha,\beta}=\displaystyle \prod_{p\in \mathbb{P}}{1-\frac{1}{p^2}}} =(1-\frac{1}{2^2})\cdot (1-\frac{1}{3^2})\cdot (1-\frac{1}{5^2})\cdot ...\cdot(1-\frac{1}{{p_n}^2})\cdot ...$  ***

Donde $latex p_n\in\mathbb{P}$, la probabilidad se obtiene cuando multiplicas para todo número primo es decir cuando $latex n\rightarrow \infty$.

Donde $latex \mathbb{P}$ son todos los números primos, los multiplicamos todos ya que son sucesos probabilisticamente independientes.

Es decir, recuerda que la probabilidad de que sucedan dos eventos independientes $latex A$ y $latex B$ al mismo tiempo es en símbolos $latex P(A \wedge B)=P(A)\cdot P(B)$, con independientes me refiero a que el evento $latex A$ no tenga cierta relación con el evento $latex B$, y ¿por qué tener factores primos para cada primo son eventos independientes ? , fácil... porque los números SON primos, ya que si no lo fueran, digamos la probabilidad de tener a $latex 6$ como factor es dependiente de tener a $latex 2$ y $latex 3$ como factor, pero como aquí son números primos, todos son disjuntos con respecto a la medida de probabilidad que mide tener factores primos y por definición los primos son únicos en este sentido.

Pero esto ¿qué? , esta fórmula es medio rara... y no nos dice nada...


Vamos a desarrollar eso para llegar a un resultado sorprendente, primero hay que recordar esta serie de cálculo que tiene que ver con sumas en progresiones geométricas , toma $latex a\in \mathbb{R}$ con $latex \mid a \mid$  <  $latex 1$  

$latex \sum_{n=0}^{\infty} a^n = 1+a+a^2+... = \frac{1}{1-a}$   **

Por ejemplo si $latex a=1/7$

$latex \sum_{n=0}^{\infty}\Big (\frac{1}{7}\Big)^n=1+\frac{1}{7}+\frac{1}{7^2}+...=\frac{1}{1-\frac{1}{7}}=\frac{7}{6}\approx 1.1666$

De la fórmula  **   mete $latex a=(1/2)^2$,  y después voltea la fracción, es decir pon el denominador arriba y el numerador abajo, (esto podemos hacer  porque ningún denominador es 0)

Entonces tenemos que el primer término de *** a lo podemos expandir con la fórmula ** (volteada) como:

$latex 1-\frac{1}{2^2}} = \frac{1}{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+...\frac{1}{2^{2k}}+...}$

Similarmente podemos desarrollar todos los términos de $latex P_{\alpha,\beta}$

$latex P_{\alpha,\beta}=(\frac{1}{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+...\frac{1}{2^{2k}}+...})\cdot(\frac{1}{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^4}+...\frac{1}{3^{2k}}+...})\cdot ...$

Observa cuidadosamente la ecuación anterior y fíjate que en los denominadores de los denominadores, están todos los posibles cuadrados perfectos de todos los números naturales, en todas sus combinaciones y sabores cuando $latex k\rightarrow \infty$ tenemos TODOS los cuadrados perfectos, por lo que esa suma horrible es lo mismo que la siguiente representacion


$latex P_{\alpha,\beta}=\frac{1}{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^2}}=\frac{1}{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}+...}$, es bien sabido que esta serie en el denominador $latex \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$

Es sabido el resultado de esta serie si juegas con la expansión en series de $latex \frac{sen(x)}{x}$
o como el problema de Basilea


Por lo tanto, sabiendo esto, llegamos a este hermoso resultado en teoría analítica de números.

Teorema:
Sean $latex \alpha,\beta \in \mathbb{N}$ donde $latex \alpha,\beta$  < $latex N$, entonces la probabilidad de que $latex \alpha$ y $latex \beta$ NO tengan factores en común (sean primos relativos) es:   $latex P_{\alpha,\beta}=\frac{6}{\pi^2}\approx 0.6079...$


De hecho, es equivalente esto a la función $latex \zeta$ de Riemann evaluada en $latex 2$ , y la fómula  *** que encontramos es justamente la representación con números primos de la función zeta de Riemann por Euler, pueden verlo aquí así como como la función zeta de Riemann en 2 $latex \zeta(2)$, esta función es de las más importantes en matemáticas ya que se ha buscado generalizar a muchos espacios, teoría de curvas, et cétera donde ya tiene solución, pero no en los complejos, la cual llevaría a conocer mejor la distribución de los números primos, si la resuelves te darán 1 millón de dólares, esta función es $latex \zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$ y necesitas demostrar que $latex \zeta(s) =0$ siempre que $latex s=\frac{1}{2}+it$ con $latex t\in \mathbb{R}$ , eso traerá consecuencias muy imporantes en teoría de números y distribución de primos, criptografía, et cétera, esto es sólo una probadita

También con WolframAlpha pueden ver el valor de la función zeta de Riemann en 2 y en el valor que quieran: aquí
Espero les haya gustado

Eduardo Ruíz Duarte
twitter @toorandom