Epifanías nocturnas, a ver si opinan o me corrigen, si niego lo que dicen trataré de poner un argumento, no es personal... Soy incrédulo, jodón y mamón.
Epifanía 1.
Ser altruista, amable, bueno y condescendiente es un error en el ADN, los humanos somos violentos, así hemos sobrevivido, evolucionamos cazando y aumentamos nuestra masa cerebral con proteínas que cazamos, no había lugar para la "piedad" o bondad con la presa, aún lo somos... Seguimos matando pero no con nuestras manos, el consumismo destruye el mundo (no es retórica... Matas árboles, animales por carne, contaminas, pisas a los demás para que tu gente/familia tengan lo mejor) los buenos, "misericordiosos" y piadosos no se reproducen porque mueren antes de enfrentarse al mundo, son asesinados por éste, el cual está lleno de gente en su proceso de supervivencia, esa característica memética/genética "positiva" no es parte del proceso evolutivo.
Epifanía 2.
Si un chimpancé y un humano están a 1.1 % de ADN de diferencia, a 4 % de un ratón y un chimpancé o un ratón no pueden entender para qué sirve un sombrero o un reloj, menos la razón por la que los humanos tenemos física cuántica o arte, No tienen ni la más mínima idea.
¿Qué pasaría si existiera un ser con la configuración ideal que fuera superior a nosotros en 1 % ?
¿qué tipo de ideas estarían fuera de nuestro entendimiento? (Sé que de haber respuesta la pregunta sería irrelevante... Sólo quiero opiniones)
¿Será este concepto de "dios" algo sobrehumano de entender, y los ateos somos los atrasados evolutivamente? , al ser una minoría nos convierte en un grupo posiblemente con una mutación cuyo proceso de adaptación es imposible haciendo inminente la extinción del gen o mem.
¿Existe una lógica más avanzada? , ¿cómo haría matemáticas un extraterrestre 1 % más desarrollado en su configuración genética?
Para ésta última alguien (J. B. Nation) ya pensó en ello, vale la pena darle un vistazo.
http://www.math.hawaii.edu/~jb/four.pdf
Tuesday, November 24, 2015
Wednesday, November 18, 2015
Motivación en esquemas, gavillas, espacios localmente anillados, topología de Zariski
Antes que todo, hace una semana se cumplió un año del fallecimiento del que fue para mí el máximo matemático moderno del siglo XX, Alexander Grothendieck (aquí su obituario), es por eso que escribo este post el cuál tiene que ver con la teoría que él desarrolló que ahora es la piedra angular de la geometría algebraica y ha servido para demostrar muchas cosas incluyendo las conjeturas de Weil en cuanto a las propiedades de la función zeta de Riemann de curvas sobre campos finitos, de hecho él demostró que esta función es racional.
Antes de entrar en el post, dejo otro PDF de interés de una chica estudiante de Matemáticas que fue a visitarlo un año anes de morir, donde relata su experiencia la cual es un poco extraña
http://www.math.utah.edu/~honigs/Grothendieck.pdf
De la teoría que desarrolló Grothendieck tratará este post, daré una motivación, ejemplos y luego entraré de lleno a definir con base a la primera intuición lo que es un esquema en el sentido de Grothendieck, falta muchísimo para que este post sea.. "aceptable", de hecho jamás hablaré de espacios proyectivos, por lo que sólo me limitaré a esquemas afines, también cuando hablo de un anillo, éste es conmutativo con unidad y los campos son algebraicamente cerrados.
Recuerdo que cuando estaba estudiando mi maestría en el IMATE-UNAM mi colega y amigo Ángel Zaldivar me decía que pusiera más énfasis en la teoría de esquemas, pero yo ya iba encarrerado con la geometría algebraica clásica para hacer mi proyecto que fue un artículo que encontraba fórmulas explícitas en la adición de la jacobiana de una curva hiperelíptica de género 2 así como el modelo afín no singular de la jacobiana embebida:
a en $latex \mathbb{A}^4$ lo cual puedes ver aquí (DOI) .
La teoría de Grothendieck, dota de muchísima estructura a un objeto, un anillo, pudiéndolo analizar a simple vista, y a nivel "atómico", haciéndole relucir su geometría... por más abstracto que sea, es lo que trataremos también de construir.
Ahora que estoy haciendo mi doctorado, entendí por qué Ángel me decía eso, y bueno, he estudiado y usado ya esquemas para algunos resultados y por eso quise hacer una pequeña exposición muy elemental, básica y espero motivante (aunque no rigurosa).
Motivación inicial:
Empecemos con algo fácil.
¿Cuál es la diferencia entre los conjuntos $latex \lbrace V(x) \cap V(y-x^2)\rbrace$ y $latex \lbrace V(y) \cap V(y-x^2) \rbrace$?
Recuerden que si tenemos un conjunto de polinomios $latex S\subseteq k[x_1,...,x_n]$ entonces los ceros de los polinomios en $latex S$ son:
$latex V(S):=\lbrace (a_1,...,a_n)\in \mathbb{A}^n(k) : f(a_1,..,a_n)=0$ $latex \forall f\in S\rbrace $
Este $latex S$ podría ser un ideal de $latex k[x_1,...,x_n]$ y de hecho existe un operador dual a $latex V$ que nos da el ideal asociado a un conjunto de puntos:
$latex I(V):= \lbrace f\in k[x_1,...,x_n] : f(a_1,...,a_n)=0$ $latex \forall (a_1,...,a_n)\in V\rbrace$
Hay un teorema muy importante que marcó el inicio de todo esto desde mi punto de vista que es el teorema Nullstellensatz que en alemán significa "teorema de los ceros" de David Hilbert que dice que:
Si $latex J\subset \bar{k}[x_1,...,x_n]$ es un ideal, entonces
$latex I(V(J))=\sqrt{J}=\lbrace f\in k[x_1,...,x_n]: f^n\in J$ para algún $latex m\geq 1\rbrace$
Regresando al ejemplo , tenemos la intersección de la línea vertical $latex x=0$ que es justamente el eje y, con la parábola $latex y-x^2=0$ que nos da sólo el punto $latex (0,0)$ , y por otro lado, la linea horizontal $latex y=0$ que es el eje x intersectado con la misma parábola, en ambos casos el único punto de intersección es el $latex (0,0)$ , es decir como conjuntos son lo mismo, ¿cuál es la diferencia? , si ven las gráficas en $latex \mathbb{R}^2$ verán
La diferencia está en el álgebra detrás, la tangencia en la gráfica derecha se estudia a través de su álgebra afin asociada que es en este caso $latex k[x,y]/(y-x^2,y)\cong k[x]/(x^2)$ sin embargo , para la intersección transversal de la parábola con $latex x=0$ tenemos que $latex k[x,y]/(y-x^2,x)\cong k$, obviamente el primero no es un campo porque tiene un elemento nilpotente que es $latex x$, el segundo es isomorfo al campo base, y este ejemplo da una idea de una teoría que podría diferenciar en este caso cómo encontrar tangencia sin recurrir directamente a la geometría, lo que te permitirá analizar la geometría algebraicamente incluso de espacios que no son "visibles" de manera intruitiva (espacios de funciones, variedades sobre campos finitos, campos no arquimedianos, et cétera).
Geometría algebraica pre-esquemas, con sabor a esquemas (Primera Parte)
Si tenemos una curva algebraica plana y queremos estudiarla como las anteriores, podemos primero pensar en una topología para ésta, así que las siguientes definiciones son importantes.
Definición: Sea $latex V\in \mathbb{A}^n(k)$ un conjunto algebraico (es decir, está dado por uniones, intersecciones de ecuaciones polinomiales como vimos en el ejemplo, y puedes hacer que $latex V$ sea una curva elíptica o una parábola) entonces su anillo de coordenadas es $latex k[V]=k[x_1,...,xn]/I(V)$ , los elementos de este anillo se llaman funciones regulares
Recuerden que una variedad $latex X$ es irreducible si no es la unión de variedades, es decir que $latex X\neq Y\cup Z$ donde $latex Y,Z$ no son triviales, esto es fácil verlo algebraicamente ya que si te fijas en las ecuaciones que definen una variedad que no es irreducible, entonces es factorizable, por ejemplo si consideras $latex f(x,y)=x^3 y-x^2+x y^3-x y-y^2+1$, es fácil ver que no es irreducible, ya que es la unión de dos conjuntos algebraicos:
Es una parábola y un círculo en la misma ecuación... y si factorizamos tenemos que $latex f(x,y)=(xy-1)(x^2+y^2-1)$ , es decir, el polinomio no es irreducible porque lo podemos factorizar... y por lo tanto podemos intuir (hay que probarlo) que si $latex f,g\in k[x_1,...,x_n]$ entonces $latex V(fg)=V(f)\cup V(g)$, es decir, el producto de dos ecuaciones polinomiales, tiene como ceros, la unión de los ceros de cada una de las ecuaciones polinomiales por separado.
Regresando al anillo de coordenadas es el anillo de polinomios en $latex n$ variables módulo el ideal de polinomios que se anulan en los puntos de $latex V$ , los elementos de este anillo puedes verlos como funciones $latex f:V\rightarrow k$.
Una subvariedad $latex W$ de $latex V$ es aquella que está contenida en $latex V$ is $latex W$ es algebraica, por ejemplo $latex V(x)\subset V(xy)$ , geométricamente $latex x=0$ es una línea vertical y $latex x y = 0$ tiene como gráfica los dos ejes coordenados, y la linea está contenida en la "cruz" siendo ambos definidos por ecuaciones polinomiales (algebraicos).
Topología de Zariski
Ahora, la topología donde se trabaja esto inicialmente es la de Zariski, y definimos:
Definición: Sea $latex k$ un campo y $latex X\subset \mathbb{A}^n(k)$ , es un cerrado de Zariski si $latex X$ es algebraico (es decir, un conjunto de puntos definido por polinomios), de manera dual tenemos que un abierto de Zariski es de la forma $latex U=\mathbb{A}^n(k)\setminus X$ donde $latex X$ es algebraico.
Ejemplo 1: Considera $latex \mathbb{A}^1(k)$ , entonces un cerrado ahí está dado por cualquier subconjunto de la recta afín $latex \mathbb{A}^1(k)$ que pueda ser expresado por polinomios en una variable, como sabemos que todo polinomio tiene un número finito de raíces, entonces los cerrados corresponden a todos los subconjuntos de la recta que son finitos (los abiertos son conjuntos infinitos), aquí tenemos un ejemplo de topología cofinita.
Ejemplo 2:
Si te subes a dimensión dos, veremos que aquí es diferente, por ejemplo, un punto es un cerrado, ya que intuitivamente lo puedes ver como la intersección de dos rectas, un círculo también es cerrado ya que se puede expresar como el conjunto de ceros de $latex x^2+y^2-1$ , y los abiertos aquí pues son muy grandes, los complementos de estos ejemplos son super densos , de hecho esta topología no es Hausdorff (no puedes encontrar dos abiertos que no se intersecten).
Y para qué queremos esta topología tan rara? ,
Localización:
Un punto nos da un ideal, es decir si $latex p=(a_1,...,a_n)\in V\subset \mathbb{A}^n(k)$ entonces $latex I(\lbrace p\rbrace)=(x-a_1,...,x-a_n)$, estos ideales pueden probar que son máximos, y por cada punto corresponde un ideal máximo cuando el campo base es algebraicamente cerrado, cuando no, hay teoría de Galois de por medio que hablaremos después,
Definición: Sea $latex k[V]:=k[x_1,...,x_n]/I(V)$ un anillo de coordenadas , tenemos que su campo de fracciones asociado es:
$latex k(V):=\lbrace f/g: f,g\in k[V] , g\neq 0\rbrace/\sim$
Donde $latex \sim$ es la relación de equivalencia usual de fracciones, o sea $latex a/b \sim c/d$ si $latex a\cdot c-b\cdot d=0$, es decir que su diferencia sea 0 en $latex k[V]$ lo cual significa que $latex ac-bd\in I(V)$
Definición: Sea $latex k[V]:=k[x_1,...,x_n]/I(V)$ un anillo de coordenadas y $latex p\in V$ entonces la localización de $latex p$ en $latex k[V]$ es:
$latex k_{p}[V]:=\lbrace f/g \in k(V) : g(p)\neq 0 \rbrace$
Hasta aquí ya tenemos un anillo para cada punto de una variedad $latex V$ , ahora... este anillo localizado en $latex p$ tiene un sólo ideal máximo, el cual pueden demostrar que es $latex m_p=\lbrace f\in k_{p}[V] : f(p)=0\rbrace$
Toda esta estructura que le hemos dado a una variedad dada por polinomios se puede generalizar, y a partir de aquí está todo lo anterior para cualquier anillo, podemos ver a los elementos del anillo conmutativo que queramos como si fueran funciones sobre un nuevo espacio $latex S p e c R$ que será el tema principal de este post (esquema afín).
Definición: Sea $latex R$ un anillo conmutativo, definimos el espectro primo de $latex R$ como:
$latex Spec R:=\lbrace \mathfrak{p} : \mathfrak{p}\subset R$ es un ideal primo $latex \rbrace$
Observación-definición: Vamos a ver cómo ver los elementos de un anillo $latex R$ como funciones evaluadas en los puntos de nuestro nuevo espacio topológico $latex S p e c R$ , para que esto tenga sentido.
Sea $latex f\in R$ y $latex \mathfrak{p}\in Spec R$ (un ideal primo), entonces $latex f(\mathfrak{p})=\bar{f}\in R/\mathfrak{p}$ donde $latex \bar{f}$ es la reducción de $latex f$ módulo $latex \mathfrak{p}$.
Este espectro tan inocente que se ve, es un espacio localmente anillado (es decir, con una gavilla de anillos asociada, lo cual veremos más adelante), y de hecho, decimos que bajo la topología de Zariski $latex Y\subset Spec R$ es cerrado , si existe un ideal $latex \mathfrak{a}\subset R$ tal que:
$latex Y=V(\mathfrak{a}):=\lbrace \mathfrak{p}\in Spec R: \mathfrak{a}\subset \mathfrak{p}\rbrace$
Esto nos permite rápidamente comprender la definición de cerrado anterior ya que si $latex f\in R$ y $latex f(\mathfrak{p})=0$ para algún ideal primo $latex \mathfrak{p}\in Spec R$ es porque $latex f\in \mathfrak{p}$
Medítalo un poco, imagínate que otra vez $latex R=k[x_1,..,x_n]/I(V)$ , acuérdate de la acotación que hicimos, sobre los ideales asociados a puntos , estos son primos (máximos) i.e. pertenecen a $latex S p e c R$
Podemos redefinir a los cerrados (conjuntos algebraicos) de $latex S p e c R$ , sea $latex \mathfrak{a}\subset R$ un ideal cualquiera, entonces:
$latex Y=V(\mathfrak{a}):=\lbrace \mathfrak{p}\in Spec R: f(\mathfrak{p})=0$ $latex \forall f\in \mathfrak{a}\rbrace=\lbrace \mathfrak{p}\in Spec R : \mathfrak{a}\subset \mathfrak{p} $
Esto creo que ya tiene más lógica, para poder localizar en$latex S p e c R$ tomemos en cuenta que si $latex f \in R$
$latex V(f)=\lbrace \mathfrak{p}\in Spec R : f(\mathfrak{p})=0\rbrace$
y el abierto asociado a $latex f\in R$ es el complemento de $latex V(f)$ en $latex S p e c R$
$latex D(f)=\lbrace \mathfrak{p}\in Spec R: f(x)\neq 0 \rbrace$
A este último a veces le dicen dominio de f por eso la letra $latex D$ , pero nosotros le llamaremos abierto de $latex f$.
Asociandole a cada abierto $latex U \subset X$ un anillo
Regresemos al ejemplo donde $latex R=k[V]$ , donde $latex V$ es una variedad sobre $latex k$ , es decir, trabajamos en su anillo de coordenadas, sea $latex p=(a_1,...,x_n)\in V$, consideremos su ideal asociado que es $latex \mathfrak{p}=(x_1-a_1,...,x_n-a_n)$
$latex U_\mathfrak{p}:=D(\mathfrak{p})=\lbrace x\in V : f(x)\neq 0$ $latex \forall f\in \mathfrak{p}\rbrace$
Entonces tenemos que a $latex U$ le podemos asociar el siguiente anillo llamado anillo de funciones regulares en $latex U$
$latex k[U_\mathfrak{p}] := \lbrace f/g\in k(V) : g\notin \mathfrak{p} \rbrace$
Esto es justamente la localización en el punto $latex \mathfrak{p}\in Spec$ $latex k[V]$ , es decir:
$latex k[U_\mathfrak{p}] = k_\mathfrak{p}[V]$
Ejemplo:
Sea $latex R=\mathbb{Z}$ , entonces $latex Spec\mathbb{Z}=\lbrace p\mathbb{Z} : p$ es primo $latex \rbrace$, $latex V(5)$ consta de todos los ideales primos que tienen al 5 como elemento, o sea $latex 5\mathbb{Z}$, $latex V(6)$ constaría de $latex \lbrace 3\mathbb{Z}, 2\mathbb{Z}$, $latex V(1)$ es vacío que es cerrado y abierto, et cétera, si localizamos en el ideal $latex (p)\subset \mathbb{Z}$ tenemos que:
$latex \mathbb{Z}_{(p)}=\lbrace a/b \in \mathbb{Q} : b\notin (p) \rbrace$
Justamente la localización es crucial para toda la teoría de esquemas, ya que como acaban de notarlo, a cualquier anillo le dimos una topología, y a cada abierto le asociamos un anillo, por lo que decimos que $latex S p e c R$ es un espacio localmente anillado. , la formalidad de esto es con una cosa que se llama gavilla estructural asociada al anillo, y veremos como construir esto en general.
Gavillas, esquemas en general para cualquier espacio topológico (Segunda parte).
Despues de todo lo anterior ahora viene la parte formal de la construcción anterior que fue un poco un revoltijo.
Primero para poder empezar necesitamos comprender lo que es una gavilla (Sheaf en inglés) pero para entender una gavilla, debemos comenzar con lo que es una pre-gavilla la cual con propiedades adicionales nos dará la gavilla, las gavillas son interesantes porque podemos conservar datos de una espacio topológico de manera organizada y tener una estructura más rica en álgebra donde podemos explotar más las propiedades de un objeto para poder estudiarlo.
Definición: Sea $latex X$ un espacio topológico, una pregavilla $latex \mathcal{F}$ de anillos en $latex X$ consiste en los siguientes objetos
1) Para todo abierto $latex U\subseteq X$ le asociamos un anillo $latex \mathcal{F}(U)$
2) Para toda inclusión $latex V\subseteq U$ de subconjuntos abiertos de $latex X$, tenemos el morfismos restricció $latex \rho_{UV}:\mathcal{F}(U)\rightarrow \mathcal{F}(V)$
Este morfismo cumple:
i) $latex \mathcal{F}(\emptyset) = 0$
ii) $latex \rho_{UU}$ es el mapeo identidad de $latex \mathcal{F}(U)\rightarrow \mathcal{F}(U)$
iii) Si $latex W\subseteq V\subseteq U$ son tres abiertos de $latex X$ entonces $latex \rho_{UW}=\rho_{VW}\circ \rho_{UV}$ , es decir el diagrama triangular de los mapeos conmuta.
Estas pregavillas se pueden definir no sólo anillos sino a grupos abelianos, u objetos en cualquier categoría abeliana.
Vamos a decir que si $latex \mathcal{F}$ es una pregavilla en $latex X$ entonces $latex \mathcal{F}(U)$ serán las secciones de la pregavilla $latex \mathcal{F}$ en el abierto $latex U$, a veces estas secciones son denotadas como $latex \Gamma(U,\mathcal{F})$ que son los anillos $latex \mathcal{F}(U)$ , también es común en la literatura que se escriba $latex s\mid_v:=\rho_{UV}(s)$ si $latex s\in \mathcal{F}(U)$ que es la restricción usual de morfismos en la categoría en cuestión, en este caso la de anillos.
Ahora vamos a definir una gavilla (sheaf) la cual , es una pregavilla, pero le pediremos más cosas relacionadas con datos locales de las secciones para poder identificarlas
Definición: Una pregavilla $latex \mathcal{F}$ sobre un espacio topológico $latex X$ es una gavilla si satisface las siguiente condicion sobre sus secciones:
iv) Sea $latex U$ un abierto de $latex X$ y $latex \lbrace V_i \rbrace$ una cubeirta abiera de $latex U$, si $latex s\in\mathcal{F}(U)$ es un elemento tal que $latex s\mid_V=0$ $latex \forall i$ $latex \Rightarrow s=0$ , y si $latex s_i \in \mathcal{F}(V_i)$ $latex \forall i$ con la propiedad de que $latex \forall i,j$ $latex s_i|_{V_i\cap V_j}=s_j\mid_{V_i\cap V_j}$ entonces existe otro elemento $latex s\in \mathcal{F}(U)$ tal que $latex s\mid_{V_i}=s_i$ $latex \forall i$
Bueno, mucha abstracción, veamos un ejemplo de algo que hayamos usado en este blog, el cual ma ayuda mucho a aterrizar conceptos a la hora de no estar familiarizado con algo.
Ejemplo (repitiendo la primera parte): Sea $latex X$ una variedad sobre un campo $latex k$, recordemos que para cada abierto de la variedad usando la topología de Zariski, se cumple que estos no son puntos de algún polinomio restringido a $latex X$ y definimos $latex O(U)$ como el anillo de funciones regulares en $latex U$ , es decir son los cocientes de polinomios cuyo denominador está bien definido en el abierto $latex U$ y está identificado con todas las funciones regulares que van de $latex U\rightarrow k$ y definimos que para todo $latex V\subseteq U$ $latex \rho_{UV}:O(U)\rightarrow O(V)$ la restricción usual de morfismos , entonces decimos que $latex O$ es una gavilla de anillos en $latex X$ , con esto es claro que es una pregavilla, para verificar la condición iv sólo hay que notar que la función 0 también es localmente 0, y una función que es regular localmente en cada anillo, también es regular globalmente, y llamamos a $latex O$ la gavilla de funciones regulares en $latex X$
Para un mejor tratado de este ejemplo con lujo de detalle, ver otro post anterior aqui.
Ahora necesitamos comenzar a definir objetos locales en la gavilla.
Definición: Si $latex \mathcal{F}$ es una pregavilla en $latex X$ y $latex P$ es un punto de $latex X$ , decimos que el tallo (stalk en inglés) $latex \mathcal{F}_P$ de $latex \mathcal{F}$ en $latex P$ es el límite inverso de los anillos $latex \mathcal{F}(U)$ para todo abierto $latex U$ que contiene $latex P$ via los mapeos de restricción $latex \rho$, es decir:
$latex \mathcal{F}_P= \varinjlim_{P\in U} \mathcal{F}(U)$
Esta definición intuitivamente, lo que nos dice, es que vamos a encontrar el anillo de cierto modo más chico de todos los abiertos $latex U\subseteq X$ que contienen a $latex P$, esto les tiene que sonar a localización.
Definición: Una pregavilla $latex \mathcal{F}$ en un espacio topológico $latex X$ es una gavilla si para todo $latex U\subset X$ y toda cubierta $latex U=\bigcup_{\lambda\in \Lambda} U_\lambda$ de abiertos $latex U_\lambda\subset X$ sucede que:
1. Si $latex f,g\in \mathcal{F}(U)$ satisfacen $latex f\mid_{U_\lambda}=g\mid_{U_\lambda}$ para todo $latex \lambda\in\Lambda$ entonces $latex f=g$
2. Si $latex f_\lambda\in \mathcal{F}(U_\lambda)$ con $latex \lambda\in \Lambda$ satisface que $latex f_\lambda\mid_{U_\lambda\cap U_\sigma}=f_{\sigma}\mid_{U_\lambda\cap U_\sigma}$ para todo $latex \lambda,\sigma\in \Lambda$, entonces existe un $latex f\in \mathcal{U}$ tal que $latex f\mid_{U_\lambda}=f_\lambda$ para toda $latex \lambda\in\Lambda$ , la cual será única, por (1) , esta condición se llama de "pegado" (gluing condition), es decir, una función que coincide en los overlaps de los abiertos en toda la cubierta, puedes encontrar otra que pasa por allí y es única.
Definición: Un morfismo $latex \Phi$ entre dos gavillas $latex \mathcal{F},\mathcal{G}$ definidas sobre el espacio topológico $latex X$ , $latex \Phi:\mathcal{F}\rightarrow \mathcal{G}$ es un morfismo functorial en el sentido de morfismos entre la categoría de abiertos de $latex X$ a la categoría de anillos (de coordenadas si quieren aterrizar muy rapido, pero todo esto es en general) es decir, $latex \Phi$ consiste en una colección de morfismos
$latex \phi_U:\mathcal{F}(U)\rightarrow \mathcal{G}(U)$ con $latex U\subset X$ abierto. que son compatibles con los morfismos de restricción , es decir si $latex U\subset V\subset X$
$latex \mathcal{F}(V)\xrightarrow{\phi_V} \mathcal{G}(V)$ y $latex \mathcal{F}(U)\xrightarrow{\phi_U} \mathcal{G}(U)$ entonces, esto visto como un diagrama conmuta con los mapeos de restriccion , en este caso $latex \mathcal{F}(V)\xrightarrow{\rho_{U}^V} \mathcal{U}$ y $latex \mathcal{G}(V)\xrightarrow{\rho_U^{V}} \mathcal{G}(U)$
Añadir leyenda
Para terminar, ya con los esquemas, terminamos con la estructura global que guarda toda la información del espacio $latex X$, que es la de espacio localmente anillado y concluimos con la definición de esquema afín.
Definición: Un espacio localmente anillado es un par $latex (X,O_X)$ donde $latex X$ es el espacio topológico y $latex O_X$ es una gavilla de anillos en $latex X$, la cual le llamamos gavilla estructural de $latex X$, tal que los tallos $latex O_{X,x}$ para cada $latex x\in X$ son anillos locales (con un sólo ideal máximo, como los del ejemplo en la primera sección).
Un morfismos de espacios localmente anillados $latex (X,O_X)\rightarrow (Y,O_Y)$ es un par $latex (f,f^{\dagger})$ donde $latex f:X\rightarrow Y$ es un mapeo continuo entre los espacios topológicos, y $latex f^{\dagger}:O_Y\rightarrow f_{*}(O_X)$ es un morfismos de gavillas como lo definimos anteriormente en $latex Y$ , donde $latex f_{*}(O_X)$ es la gavilla en $latex Y$ que está dada por $latex V\mapsto O_X(f^{-1}(V))$ y con sus respectivos morfismos de restricción , por lo que $latex f^{\dagger}$ es el sistema de homomorfismos de anillos dado por:
$latex f^{\dagger}(V):O_Y(V)\rightarrow O_X(f^{-1}(V))$ tal que $latex V\subset Y$ es abierto.
Falta una condición para que un espacio sea localmente anillado.
Un mapeo $latex \psi:A\rightarrow B$ es un mapeo local si $latex A,B$ son anillos locales y si $latex m_A\subset A$ y $latex m_B\subset B$ son sus respectivos ideales máximos $latex \psi(m_A)\subset m_B$
Entonces para que $latex (X,O_X)$ sea localmente anillado, también tiene qAñadir leyendaue cumplir la condición de que el mapeo $latex f^{\dagger}$ sea local entre todos los tallos, es decir que $latex f^{\dagger}_x:O_{Y,f(x)}\rightarrow O_{X,x}$ para todo $latex x\in X$ sea local.
Definición final: Un esquema afín es un espacio localmente anillado $latex (X,O_X)$ tal que existe un isomorfismos de espacios localmente anillados entre $latex (X,O_X) \xrightarrow{\sim} (Spec A, O_{Spec A})$ , para algún anillo $latex A$, los morfismos entre esquemas afines son como los definimos anteriormente, morfismos de espacios localmente anillados.
Como vimos anteriormente, esto es muy abstracto, pero si quieres darle forma, comienza usando un álgebra afin conocida, como anillo, como un anillo de coordenadas, y de ahí comienza a darle la estructura de esquema , con todas las definiciones que vimos en la primera parte.
Todo esto fue muy rápido, lo siento, por la falta de rigor, pero no tengo tanto tiempo y realmente sí quería hacer esto, esto se lo debemos a Alexander Grothendieck
Eduardo Ruíz Duarte (beck)
Email: toorandom at g mail dot c om
twitter: toorandom
PGP: FEE7 F2A0
Antes de entrar en el post, dejo otro PDF de interés de una chica estudiante de Matemáticas que fue a visitarlo un año anes de morir, donde relata su experiencia la cual es un poco extraña
http://www.math.utah.edu/~honigs/Grothendieck.pdf
De la teoría que desarrolló Grothendieck tratará este post, daré una motivación, ejemplos y luego entraré de lleno a definir con base a la primera intuición lo que es un esquema en el sentido de Grothendieck, falta muchísimo para que este post sea.. "aceptable", de hecho jamás hablaré de espacios proyectivos, por lo que sólo me limitaré a esquemas afines, también cuando hablo de un anillo, éste es conmutativo con unidad y los campos son algebraicamente cerrados.
Recuerdo que cuando estaba estudiando mi maestría en el IMATE-UNAM mi colega y amigo Ángel Zaldivar me decía que pusiera más énfasis en la teoría de esquemas, pero yo ya iba encarrerado con la geometría algebraica clásica para hacer mi proyecto que fue un artículo que encontraba fórmulas explícitas en la adición de la jacobiana de una curva hiperelíptica de género 2 así como el modelo afín no singular de la jacobiana embebida:
a en $latex \mathbb{A}^4$ lo cual puedes ver aquí (DOI) .
La teoría de Grothendieck, dota de muchísima estructura a un objeto, un anillo, pudiéndolo analizar a simple vista, y a nivel "atómico", haciéndole relucir su geometría... por más abstracto que sea, es lo que trataremos también de construir.
Ahora que estoy haciendo mi doctorado, entendí por qué Ángel me decía eso, y bueno, he estudiado y usado ya esquemas para algunos resultados y por eso quise hacer una pequeña exposición muy elemental, básica y espero motivante (aunque no rigurosa).
Motivación inicial:
Empecemos con algo fácil.
¿Cuál es la diferencia entre los conjuntos $latex \lbrace V(x) \cap V(y-x^2)\rbrace$ y $latex \lbrace V(y) \cap V(y-x^2) \rbrace$?
Recuerden que si tenemos un conjunto de polinomios $latex S\subseteq k[x_1,...,x_n]$ entonces los ceros de los polinomios en $latex S$ son:
$latex V(S):=\lbrace (a_1,...,a_n)\in \mathbb{A}^n(k) : f(a_1,..,a_n)=0$ $latex \forall f\in S\rbrace $
Este $latex S$ podría ser un ideal de $latex k[x_1,...,x_n]$ y de hecho existe un operador dual a $latex V$ que nos da el ideal asociado a un conjunto de puntos:
$latex I(V):= \lbrace f\in k[x_1,...,x_n] : f(a_1,...,a_n)=0$ $latex \forall (a_1,...,a_n)\in V\rbrace$
Hay un teorema muy importante que marcó el inicio de todo esto desde mi punto de vista que es el teorema Nullstellensatz que en alemán significa "teorema de los ceros" de David Hilbert que dice que:
Si $latex J\subset \bar{k}[x_1,...,x_n]$ es un ideal, entonces
$latex I(V(J))=\sqrt{J}=\lbrace f\in k[x_1,...,x_n]: f^n\in J$ para algún $latex m\geq 1\rbrace$
Regresando al ejemplo , tenemos la intersección de la línea vertical $latex x=0$ que es justamente el eje y, con la parábola $latex y-x^2=0$ que nos da sólo el punto $latex (0,0)$ , y por otro lado, la linea horizontal $latex y=0$ que es el eje x intersectado con la misma parábola, en ambos casos el único punto de intersección es el $latex (0,0)$ , es decir como conjuntos son lo mismo, ¿cuál es la diferencia? , si ven las gráficas en $latex \mathbb{R}^2$ verán
La diferencia está en el álgebra detrás, la tangencia en la gráfica derecha se estudia a través de su álgebra afin asociada que es en este caso $latex k[x,y]/(y-x^2,y)\cong k[x]/(x^2)$ sin embargo , para la intersección transversal de la parábola con $latex x=0$ tenemos que $latex k[x,y]/(y-x^2,x)\cong k$, obviamente el primero no es un campo porque tiene un elemento nilpotente que es $latex x$, el segundo es isomorfo al campo base, y este ejemplo da una idea de una teoría que podría diferenciar en este caso cómo encontrar tangencia sin recurrir directamente a la geometría, lo que te permitirá analizar la geometría algebraicamente incluso de espacios que no son "visibles" de manera intruitiva (espacios de funciones, variedades sobre campos finitos, campos no arquimedianos, et cétera).
Geometría algebraica pre-esquemas, con sabor a esquemas (Primera Parte)
Si tenemos una curva algebraica plana y queremos estudiarla como las anteriores, podemos primero pensar en una topología para ésta, así que las siguientes definiciones son importantes.
Definición: Sea $latex V\in \mathbb{A}^n(k)$ un conjunto algebraico (es decir, está dado por uniones, intersecciones de ecuaciones polinomiales como vimos en el ejemplo, y puedes hacer que $latex V$ sea una curva elíptica o una parábola) entonces su anillo de coordenadas es $latex k[V]=k[x_1,...,xn]/I(V)$ , los elementos de este anillo se llaman funciones regulares
Recuerden que una variedad $latex X$ es irreducible si no es la unión de variedades, es decir que $latex X\neq Y\cup Z$ donde $latex Y,Z$ no son triviales, esto es fácil verlo algebraicamente ya que si te fijas en las ecuaciones que definen una variedad que no es irreducible, entonces es factorizable, por ejemplo si consideras $latex f(x,y)=x^3 y-x^2+x y^3-x y-y^2+1$, es fácil ver que no es irreducible, ya que es la unión de dos conjuntos algebraicos:
Es una parábola y un círculo en la misma ecuación... y si factorizamos tenemos que $latex f(x,y)=(xy-1)(x^2+y^2-1)$ , es decir, el polinomio no es irreducible porque lo podemos factorizar... y por lo tanto podemos intuir (hay que probarlo) que si $latex f,g\in k[x_1,...,x_n]$ entonces $latex V(fg)=V(f)\cup V(g)$, es decir, el producto de dos ecuaciones polinomiales, tiene como ceros, la unión de los ceros de cada una de las ecuaciones polinomiales por separado.
Regresando al anillo de coordenadas es el anillo de polinomios en $latex n$ variables módulo el ideal de polinomios que se anulan en los puntos de $latex V$ , los elementos de este anillo puedes verlos como funciones $latex f:V\rightarrow k$.
Una subvariedad $latex W$ de $latex V$ es aquella que está contenida en $latex V$ is $latex W$ es algebraica, por ejemplo $latex V(x)\subset V(xy)$ , geométricamente $latex x=0$ es una línea vertical y $latex x y = 0$ tiene como gráfica los dos ejes coordenados, y la linea está contenida en la "cruz" siendo ambos definidos por ecuaciones polinomiales (algebraicos).
Topología de Zariski
Ahora, la topología donde se trabaja esto inicialmente es la de Zariski, y definimos:
Definición: Sea $latex k$ un campo y $latex X\subset \mathbb{A}^n(k)$ , es un cerrado de Zariski si $latex X$ es algebraico (es decir, un conjunto de puntos definido por polinomios), de manera dual tenemos que un abierto de Zariski es de la forma $latex U=\mathbb{A}^n(k)\setminus X$ donde $latex X$ es algebraico.
Ejemplo 1: Considera $latex \mathbb{A}^1(k)$ , entonces un cerrado ahí está dado por cualquier subconjunto de la recta afín $latex \mathbb{A}^1(k)$ que pueda ser expresado por polinomios en una variable, como sabemos que todo polinomio tiene un número finito de raíces, entonces los cerrados corresponden a todos los subconjuntos de la recta que son finitos (los abiertos son conjuntos infinitos), aquí tenemos un ejemplo de topología cofinita.
Ejemplo 2:
Si te subes a dimensión dos, veremos que aquí es diferente, por ejemplo, un punto es un cerrado, ya que intuitivamente lo puedes ver como la intersección de dos rectas, un círculo también es cerrado ya que se puede expresar como el conjunto de ceros de $latex x^2+y^2-1$ , y los abiertos aquí pues son muy grandes, los complementos de estos ejemplos son super densos , de hecho esta topología no es Hausdorff (no puedes encontrar dos abiertos que no se intersecten).
Y para qué queremos esta topología tan rara? ,
Localización:
Un punto nos da un ideal, es decir si $latex p=(a_1,...,a_n)\in V\subset \mathbb{A}^n(k)$ entonces $latex I(\lbrace p\rbrace)=(x-a_1,...,x-a_n)$, estos ideales pueden probar que son máximos, y por cada punto corresponde un ideal máximo cuando el campo base es algebraicamente cerrado, cuando no, hay teoría de Galois de por medio que hablaremos después,
Definición: Sea $latex k[V]:=k[x_1,...,x_n]/I(V)$ un anillo de coordenadas , tenemos que su campo de fracciones asociado es:
$latex k(V):=\lbrace f/g: f,g\in k[V] , g\neq 0\rbrace/\sim$
Donde $latex \sim$ es la relación de equivalencia usual de fracciones, o sea $latex a/b \sim c/d$ si $latex a\cdot c-b\cdot d=0$, es decir que su diferencia sea 0 en $latex k[V]$ lo cual significa que $latex ac-bd\in I(V)$
Definición: Sea $latex k[V]:=k[x_1,...,x_n]/I(V)$ un anillo de coordenadas y $latex p\in V$ entonces la localización de $latex p$ en $latex k[V]$ es:
$latex k_{p}[V]:=\lbrace f/g \in k(V) : g(p)\neq 0 \rbrace$
Hasta aquí ya tenemos un anillo para cada punto de una variedad $latex V$ , ahora... este anillo localizado en $latex p$ tiene un sólo ideal máximo, el cual pueden demostrar que es $latex m_p=\lbrace f\in k_{p}[V] : f(p)=0\rbrace$
Toda esta estructura que le hemos dado a una variedad dada por polinomios se puede generalizar, y a partir de aquí está todo lo anterior para cualquier anillo, podemos ver a los elementos del anillo conmutativo que queramos como si fueran funciones sobre un nuevo espacio $latex S p e c R$ que será el tema principal de este post (esquema afín).
Definición: Sea $latex R$ un anillo conmutativo, definimos el espectro primo de $latex R$ como:
$latex Spec R:=\lbrace \mathfrak{p} : \mathfrak{p}\subset R$ es un ideal primo $latex \rbrace$
Observación-definición: Vamos a ver cómo ver los elementos de un anillo $latex R$ como funciones evaluadas en los puntos de nuestro nuevo espacio topológico $latex S p e c R$ , para que esto tenga sentido.
Sea $latex f\in R$ y $latex \mathfrak{p}\in Spec R$ (un ideal primo), entonces $latex f(\mathfrak{p})=\bar{f}\in R/\mathfrak{p}$ donde $latex \bar{f}$ es la reducción de $latex f$ módulo $latex \mathfrak{p}$.
Este espectro tan inocente que se ve, es un espacio localmente anillado (es decir, con una gavilla de anillos asociada, lo cual veremos más adelante), y de hecho, decimos que bajo la topología de Zariski $latex Y\subset Spec R$ es cerrado , si existe un ideal $latex \mathfrak{a}\subset R$ tal que:
$latex Y=V(\mathfrak{a}):=\lbrace \mathfrak{p}\in Spec R: \mathfrak{a}\subset \mathfrak{p}\rbrace$
Esto nos permite rápidamente comprender la definición de cerrado anterior ya que si $latex f\in R$ y $latex f(\mathfrak{p})=0$ para algún ideal primo $latex \mathfrak{p}\in Spec R$ es porque $latex f\in \mathfrak{p}$
Medítalo un poco, imagínate que otra vez $latex R=k[x_1,..,x_n]/I(V)$ , acuérdate de la acotación que hicimos, sobre los ideales asociados a puntos , estos son primos (máximos) i.e. pertenecen a $latex S p e c R$
Podemos redefinir a los cerrados (conjuntos algebraicos) de $latex S p e c R$ , sea $latex \mathfrak{a}\subset R$ un ideal cualquiera, entonces:
$latex Y=V(\mathfrak{a}):=\lbrace \mathfrak{p}\in Spec R: f(\mathfrak{p})=0$ $latex \forall f\in \mathfrak{a}\rbrace=\lbrace \mathfrak{p}\in Spec R : \mathfrak{a}\subset \mathfrak{p} $
Esto creo que ya tiene más lógica, para poder localizar en$latex S p e c R$ tomemos en cuenta que si $latex f \in R$
$latex V(f)=\lbrace \mathfrak{p}\in Spec R : f(\mathfrak{p})=0\rbrace$
y el abierto asociado a $latex f\in R$ es el complemento de $latex V(f)$ en $latex S p e c R$
$latex D(f)=\lbrace \mathfrak{p}\in Spec R: f(x)\neq 0 \rbrace$
A este último a veces le dicen dominio de f por eso la letra $latex D$ , pero nosotros le llamaremos abierto de $latex f$.
Asociandole a cada abierto $latex U \subset X$ un anillo
Regresemos al ejemplo donde $latex R=k[V]$ , donde $latex V$ es una variedad sobre $latex k$ , es decir, trabajamos en su anillo de coordenadas, sea $latex p=(a_1,...,x_n)\in V$, consideremos su ideal asociado que es $latex \mathfrak{p}=(x_1-a_1,...,x_n-a_n)$
$latex U_\mathfrak{p}:=D(\mathfrak{p})=\lbrace x\in V : f(x)\neq 0$ $latex \forall f\in \mathfrak{p}\rbrace$
Entonces tenemos que a $latex U$ le podemos asociar el siguiente anillo llamado anillo de funciones regulares en $latex U$
$latex k[U_\mathfrak{p}] := \lbrace f/g\in k(V) : g\notin \mathfrak{p} \rbrace$
Esto es justamente la localización en el punto $latex \mathfrak{p}\in Spec$ $latex k[V]$ , es decir:
$latex k[U_\mathfrak{p}] = k_\mathfrak{p}[V]$
Ejemplo:
Sea $latex R=\mathbb{Z}$ , entonces $latex Spec\mathbb{Z}=\lbrace p\mathbb{Z} : p$ es primo $latex \rbrace$, $latex V(5)$ consta de todos los ideales primos que tienen al 5 como elemento, o sea $latex 5\mathbb{Z}$, $latex V(6)$ constaría de $latex \lbrace 3\mathbb{Z}, 2\mathbb{Z}$, $latex V(1)$ es vacío que es cerrado y abierto, et cétera, si localizamos en el ideal $latex (p)\subset \mathbb{Z}$ tenemos que:
$latex \mathbb{Z}_{(p)}=\lbrace a/b \in \mathbb{Q} : b\notin (p) \rbrace$
Justamente la localización es crucial para toda la teoría de esquemas, ya que como acaban de notarlo, a cualquier anillo le dimos una topología, y a cada abierto le asociamos un anillo, por lo que decimos que $latex S p e c R$ es un espacio localmente anillado. , la formalidad de esto es con una cosa que se llama gavilla estructural asociada al anillo, y veremos como construir esto en general.
Gavillas, esquemas en general para cualquier espacio topológico (Segunda parte).
Despues de todo lo anterior ahora viene la parte formal de la construcción anterior que fue un poco un revoltijo.
Primero para poder empezar necesitamos comprender lo que es una gavilla (Sheaf en inglés) pero para entender una gavilla, debemos comenzar con lo que es una pre-gavilla la cual con propiedades adicionales nos dará la gavilla, las gavillas son interesantes porque podemos conservar datos de una espacio topológico de manera organizada y tener una estructura más rica en álgebra donde podemos explotar más las propiedades de un objeto para poder estudiarlo.
Definición: Sea $latex X$ un espacio topológico, una pregavilla $latex \mathcal{F}$ de anillos en $latex X$ consiste en los siguientes objetos
1) Para todo abierto $latex U\subseteq X$ le asociamos un anillo $latex \mathcal{F}(U)$
2) Para toda inclusión $latex V\subseteq U$ de subconjuntos abiertos de $latex X$, tenemos el morfismos restricció $latex \rho_{UV}:\mathcal{F}(U)\rightarrow \mathcal{F}(V)$
Este morfismo cumple:
i) $latex \mathcal{F}(\emptyset) = 0$
ii) $latex \rho_{UU}$ es el mapeo identidad de $latex \mathcal{F}(U)\rightarrow \mathcal{F}(U)$
iii) Si $latex W\subseteq V\subseteq U$ son tres abiertos de $latex X$ entonces $latex \rho_{UW}=\rho_{VW}\circ \rho_{UV}$ , es decir el diagrama triangular de los mapeos conmuta.
Estas pregavillas se pueden definir no sólo anillos sino a grupos abelianos, u objetos en cualquier categoría abeliana.
Vamos a decir que si $latex \mathcal{F}$ es una pregavilla en $latex X$ entonces $latex \mathcal{F}(U)$ serán las secciones de la pregavilla $latex \mathcal{F}$ en el abierto $latex U$, a veces estas secciones son denotadas como $latex \Gamma(U,\mathcal{F})$ que son los anillos $latex \mathcal{F}(U)$ , también es común en la literatura que se escriba $latex s\mid_v:=\rho_{UV}(s)$ si $latex s\in \mathcal{F}(U)$ que es la restricción usual de morfismos en la categoría en cuestión, en este caso la de anillos.
Ahora vamos a definir una gavilla (sheaf) la cual , es una pregavilla, pero le pediremos más cosas relacionadas con datos locales de las secciones para poder identificarlas
Definición: Una pregavilla $latex \mathcal{F}$ sobre un espacio topológico $latex X$ es una gavilla si satisface las siguiente condicion sobre sus secciones:
iv) Sea $latex U$ un abierto de $latex X$ y $latex \lbrace V_i \rbrace$ una cubeirta abiera de $latex U$, si $latex s\in\mathcal{F}(U)$ es un elemento tal que $latex s\mid_V=0$ $latex \forall i$ $latex \Rightarrow s=0$ , y si $latex s_i \in \mathcal{F}(V_i)$ $latex \forall i$ con la propiedad de que $latex \forall i,j$ $latex s_i|_{V_i\cap V_j}=s_j\mid_{V_i\cap V_j}$ entonces existe otro elemento $latex s\in \mathcal{F}(U)$ tal que $latex s\mid_{V_i}=s_i$ $latex \forall i$
Bueno, mucha abstracción, veamos un ejemplo de algo que hayamos usado en este blog, el cual ma ayuda mucho a aterrizar conceptos a la hora de no estar familiarizado con algo.
Ejemplo (repitiendo la primera parte): Sea $latex X$ una variedad sobre un campo $latex k$, recordemos que para cada abierto de la variedad usando la topología de Zariski, se cumple que estos no son puntos de algún polinomio restringido a $latex X$ y definimos $latex O(U)$ como el anillo de funciones regulares en $latex U$ , es decir son los cocientes de polinomios cuyo denominador está bien definido en el abierto $latex U$ y está identificado con todas las funciones regulares que van de $latex U\rightarrow k$ y definimos que para todo $latex V\subseteq U$ $latex \rho_{UV}:O(U)\rightarrow O(V)$ la restricción usual de morfismos , entonces decimos que $latex O$ es una gavilla de anillos en $latex X$ , con esto es claro que es una pregavilla, para verificar la condición iv sólo hay que notar que la función 0 también es localmente 0, y una función que es regular localmente en cada anillo, también es regular globalmente, y llamamos a $latex O$ la gavilla de funciones regulares en $latex X$
Para un mejor tratado de este ejemplo con lujo de detalle, ver otro post anterior aqui.
Ahora necesitamos comenzar a definir objetos locales en la gavilla.
Definición: Si $latex \mathcal{F}$ es una pregavilla en $latex X$ y $latex P$ es un punto de $latex X$ , decimos que el tallo (stalk en inglés) $latex \mathcal{F}_P$ de $latex \mathcal{F}$ en $latex P$ es el límite inverso de los anillos $latex \mathcal{F}(U)$ para todo abierto $latex U$ que contiene $latex P$ via los mapeos de restricción $latex \rho$, es decir:
$latex \mathcal{F}_P= \varinjlim_{P\in U} \mathcal{F}(U)$
Esta definición intuitivamente, lo que nos dice, es que vamos a encontrar el anillo de cierto modo más chico de todos los abiertos $latex U\subseteq X$ que contienen a $latex P$, esto les tiene que sonar a localización.
Definición: Una pregavilla $latex \mathcal{F}$ en un espacio topológico $latex X$ es una gavilla si para todo $latex U\subset X$ y toda cubierta $latex U=\bigcup_{\lambda\in \Lambda} U_\lambda$ de abiertos $latex U_\lambda\subset X$ sucede que:
1. Si $latex f,g\in \mathcal{F}(U)$ satisfacen $latex f\mid_{U_\lambda}=g\mid_{U_\lambda}$ para todo $latex \lambda\in\Lambda$ entonces $latex f=g$
2. Si $latex f_\lambda\in \mathcal{F}(U_\lambda)$ con $latex \lambda\in \Lambda$ satisface que $latex f_\lambda\mid_{U_\lambda\cap U_\sigma}=f_{\sigma}\mid_{U_\lambda\cap U_\sigma}$ para todo $latex \lambda,\sigma\in \Lambda$, entonces existe un $latex f\in \mathcal{U}$ tal que $latex f\mid_{U_\lambda}=f_\lambda$ para toda $latex \lambda\in\Lambda$ , la cual será única, por (1) , esta condición se llama de "pegado" (gluing condition), es decir, una función que coincide en los overlaps de los abiertos en toda la cubierta, puedes encontrar otra que pasa por allí y es única.
Definición: Un morfismo $latex \Phi$ entre dos gavillas $latex \mathcal{F},\mathcal{G}$ definidas sobre el espacio topológico $latex X$ , $latex \Phi:\mathcal{F}\rightarrow \mathcal{G}$ es un morfismo functorial en el sentido de morfismos entre la categoría de abiertos de $latex X$ a la categoría de anillos (de coordenadas si quieren aterrizar muy rapido, pero todo esto es en general) es decir, $latex \Phi$ consiste en una colección de morfismos
$latex \phi_U:\mathcal{F}(U)\rightarrow \mathcal{G}(U)$ con $latex U\subset X$ abierto. que son compatibles con los morfismos de restricción , es decir si $latex U\subset V\subset X$
$latex \mathcal{F}(V)\xrightarrow{\phi_V} \mathcal{G}(V)$ y $latex \mathcal{F}(U)\xrightarrow{\phi_U} \mathcal{G}(U)$ entonces, esto visto como un diagrama conmuta con los mapeos de restriccion , en este caso $latex \mathcal{F}(V)\xrightarrow{\rho_{U}^V} \mathcal{U}$ y $latex \mathcal{G}(V)\xrightarrow{\rho_U^{V}} \mathcal{G}(U)$
Añadir leyenda
Para terminar, ya con los esquemas, terminamos con la estructura global que guarda toda la información del espacio $latex X$, que es la de espacio localmente anillado y concluimos con la definición de esquema afín.
Definición: Un espacio localmente anillado es un par $latex (X,O_X)$ donde $latex X$ es el espacio topológico y $latex O_X$ es una gavilla de anillos en $latex X$, la cual le llamamos gavilla estructural de $latex X$, tal que los tallos $latex O_{X,x}$ para cada $latex x\in X$ son anillos locales (con un sólo ideal máximo, como los del ejemplo en la primera sección).
Un morfismos de espacios localmente anillados $latex (X,O_X)\rightarrow (Y,O_Y)$ es un par $latex (f,f^{\dagger})$ donde $latex f:X\rightarrow Y$ es un mapeo continuo entre los espacios topológicos, y $latex f^{\dagger}:O_Y\rightarrow f_{*}(O_X)$ es un morfismos de gavillas como lo definimos anteriormente en $latex Y$ , donde $latex f_{*}(O_X)$ es la gavilla en $latex Y$ que está dada por $latex V\mapsto O_X(f^{-1}(V))$ y con sus respectivos morfismos de restricción , por lo que $latex f^{\dagger}$ es el sistema de homomorfismos de anillos dado por:
$latex f^{\dagger}(V):O_Y(V)\rightarrow O_X(f^{-1}(V))$ tal que $latex V\subset Y$ es abierto.
Falta una condición para que un espacio sea localmente anillado.
Un mapeo $latex \psi:A\rightarrow B$ es un mapeo local si $latex A,B$ son anillos locales y si $latex m_A\subset A$ y $latex m_B\subset B$ son sus respectivos ideales máximos $latex \psi(m_A)\subset m_B$
Entonces para que $latex (X,O_X)$ sea localmente anillado, también tiene qAñadir leyendaue cumplir la condición de que el mapeo $latex f^{\dagger}$ sea local entre todos los tallos, es decir que $latex f^{\dagger}_x:O_{Y,f(x)}\rightarrow O_{X,x}$ para todo $latex x\in X$ sea local.
Definición final: Un esquema afín es un espacio localmente anillado $latex (X,O_X)$ tal que existe un isomorfismos de espacios localmente anillados entre $latex (X,O_X) \xrightarrow{\sim} (Spec A, O_{Spec A})$ , para algún anillo $latex A$, los morfismos entre esquemas afines son como los definimos anteriormente, morfismos de espacios localmente anillados.
Como vimos anteriormente, esto es muy abstracto, pero si quieres darle forma, comienza usando un álgebra afin conocida, como anillo, como un anillo de coordenadas, y de ahí comienza a darle la estructura de esquema , con todas las definiciones que vimos en la primera parte.
Todo esto fue muy rápido, lo siento, por la falta de rigor, pero no tengo tanto tiempo y realmente sí quería hacer esto, esto se lo debemos a Alexander Grothendieck
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| 1928-2014 |
Eduardo Ruíz Duarte (beck)
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