Es decir, a veces para poder entender a un objeto, es indispensable poder entender los morfismos internos del objeto.
En este caso, lo que quiero es poder estudiar al grupo abeliano como un "espacio vectorial" y estudiar las transformaciones que hay en él... y pues con esto podemos incluso hablar de matrices, determinantes, trazas, polinomios característicos y valores propios.
Pero primero en esta parte, le daremos estructura de anillo a los homomorfismos de la curva en si misma, y en la siguiente parte de este post le daremos ya estructura de álgebra.
Recordando muy informalmente curvas elípticas
Recordemos rápidamente el contexto deseado, que son la curvas elípticas de una manera muy informal ya que he hablado antes de esto aquí en mi blog (busca keyword "elíptica").
Las curvas elípticas son objetos muy usados en criptografía ya que proveen con su estructura geométrica una manera diferente de "sumar y restar" que al ésta ser sustituida en los algoritmos de llave pública como Diffie-Hellman que es el más usado en todas las telecomunicaciones en vez de grupos finitos (enteros módulo un número primo usualmente) resulta muy rápido y más seguro. Un ejemplo intuitivo de cómo funciona esta suma es el siguiente:
Lo que estamos viendo aquí es una curva $latex E$ en azul, y dos puntos en ella que son $latex P,Q\in E$ , que su suma está definida como la proyección con el eje $latex x$ del tercer punto de intersección de la linea que los une, que en este dibujo está denotado como $latex P+Q$.
Siempre habrá este tercer punto de intersección si la curva es vista de manera proyectiva, lo cual veremos en la siguiente sección y es justificado por el teorema de Bézout.
Si quisieras calcular el punto $latex P+P$ se hace de manera parecida, sólo que la linea a considerar es la tangente a $latex P$ en la curva $latex E$.
El negativo de un punto es sólo su proyección con el eje $latex x$ es decir si $latex (x,y)\in E$ entonces $latex -(x,y)=(x,-y)$, y sumar $latex P+ (-P)=\infty$ , donde este $latex \infty$ será explicado en la siguiente sección y este $latex \infty$ nos funcionará como el cero (identidad) en la estructura de grupo abeliano que tiene la curva.
Bajo esta operación tenemos que la curva $latex E$ y sus puntos forman un grupo abeliano, es decir, con sus puntos bajo esta operación ya explicada es conmutativa, cada elemento tiene un inverso, es asociativa y cerrada, y lo más importante... es algebraica... es decir, hay fórmulas explícitas que no necesitan funciones raras para definirlas (como raíces cuadradas, logaritmos ni nada).
Entrando un poco más en lo que significa "algebraico" es que su suma se puede definir con simples cocientes de polinomios, a eso me refiero con que algo sea "algebraico", y más allá de ser una curva, esto se le llama variedad abeliana, que es un objeto algebraico dotado de una estructura de grupo con una operación continua bajo cierta topología (Zariski), y que está dada por polinomios cuya operación explícita puede ser vista aquí en wikipedia.
Puedes notar que también puedes calcular "$latex n$ veces el punto $latex P$ , es decir $latex P+P+\ldots +P$ ($latex n$ veces) para todo $latex n\in \mathbb{Z}$ , por lo que significa que podemos "hacer actuar a los enteros en la curva", esto es lo que se le conoce como un $latex \mathbb{Z}$-módulo, y todo grupo abeliano, tiene esta capacidad, por más abstracto que sea el grupo, siempre se puede hablar de "$latex n$ veces aplicar la operación + del gropo".
La definición formal es que son curvas suaves proyectivas de género 1 con un punto distinguido.
Suaves significa que son diferenciables en todos lados y no hay puntos dobles o nodales por ejemplo dos que cumplen la definición vistas en $latex \mathbb{R}\times\mathbb{R}$ serían:
Aquí justificamos este símbolo $latex \infty$.
Proyectivo significa que en vez de vivir en espacios vectoriales usales como $latex \mathbb{R}^n$ o $latex \mathbb{F}_{q}$ , vive en un nuevo espacio que ahora definiremos que es $latex \mathbb{P}^n_\mathbb{R}$ o en $latex \mathbb{P}^n_{\mathbb{F}_q}$ respectivamente, donde estos espacios incluyen un punto nuevo, que es el infinito y múltiplos de vectores serán identificadas con un sólo punto.
Este espacio proyectivo lo tengo bien explicado aquí pero a grandes rasgos es un espacio en el cual identificamos todos los múltiplos de un punto como el mismo punto, imaginen un espacio vectorial, donde un vector $latex v$ al aumentar su magnitud por una constante $latex c\neq 0 \in \mathbb{R}$ tenemos que el nuevo vector sería $latex c \cdot v$. Aquí , tenemos que por ejemplo en $latex \mathbb{R}^n$ los puntos $latex v$ y $latex c \cdot v$ serán identificados con el mismo vector, es decir es como una contracción y a este nuevo espacio con esta nueva regla lo denotamos como $latex \mathbb{P}^n_\mathbb{R}$.
El punto $latex [0:0:0]$ no existe, lo cual es una consecuencia de las reglas que acabo de definir, por lo que al interesado en álgebra le serviría la definición que es: $latex \mathbb{P}^n_\mathbb{R}:=\mathbb{R}^{n+1}\setminus \lbrace \overline{0} \rbrace /\sim$ donde la relación $latex \sim$ es que si $latex \overline{u},\overline{v}\in \mathbb{R}^{n+1}$ entonces $latex \overline{u}\sim \overline{v}$ sí y sólo sí $latex \overline{u} = \lambda \overline{v}$ donde $latex \lambda\in \mathbb{R}^{*}$ , es decir esto nos colapsa toda una familia de puntos en $latex \mathbb{R}^{n+1}$ a un sólo punto que denotaremos como $latex [u] \in \mathbb{P}^n_\mathbb{R}$ y tenemos que en este caso $latex [u]=[v]$.
Y de hecho las ecuaciones proyectivas de los ejemplos anteriores serían la ecuación homogénea que hace que los grados de todos los monomios sean iguales $latex y^2z=x^3-xz^2$ así como $latex y^2z=x^3-xz^2 + z^3$ donde ahora vemos que tiene otra variable $latex z$ que nos permitirá agregar otra familia de puntos, por ejemplo, los puntos de la ecuación afín serían los puntos de la forma $latex [x:y:1]$ pero también tenemos que la ecuación también tiene el punto $latex [0:1:0]$ que será el punto racional distinguido, y todas las ecuaciones cúbicas de esta forma lo contienen.
También agregamos un punto muy especial como ya vimos que es usualmente $latex \infty:=[0:1:0]$ que es muy usado en el modelo matemático de lo que significa dibujar "horizontes" en un paisaje, y observando que unas vías del tren no son paralelas, ya que se tocan en el infinito, como lo pueden ver aquí.
Y bueno una curva elíptica de género 1 sin puntos raros, siempre es transformable a una ecuación de la forma $latex y^2 = x^3 + ax+b$ mediante sustitución de variables, a esta forma se le llama forma de Weierstrass.
Género de una curva
El género es un poco más difícil de explicar en este post y con esta informalidad, pero imaginen que tiene que ver con que si la ecuación de la curva la vemos en el espacio complejo... su gráfica será una dona con 1 hoyo... si fueran dos hoyos tendría género 2, por lo que una curva elíptica tiene género 1 y se ve así "intuitivamente" como una función compleja:
A mi me gusta mucho el álgebra así que podemos calcular de hecho géneros de maneras más abstractas gracias aun teorema muy interesante, de Riemann-Roch, que nos dice el género de un objeto geométrico con la dimensión de ciertos espacios de funciones el cual tengo explicado de manera formal aquí.
Estoy trabajando en mi mente un artículo para explicar el teorema de Riemann-Roch sin necesitar álgebra tan dura, con pura teoría de espacios vectoriales, espero pronto tenerlo.
El género cuando no hay puntos raros en la ecuación, se puede calcular con los grados de los monomios en una ecuación.
En términos criptográficos, recuerden que hasta ahora las computadoras no saben cómo manejar a los números reales (ni complejos), de manera continua, es decir, cuando ustedes programan un "float" o "double" sabemos que tienen un "límite" en su representación, por lo que realmente la computadora sólo sabe manejar estructuras finitas.
Estructura finita asociada a las curvas para poder usada en criptografía y computación.
Algo interesante de las curvas elípticas es que su estructura de grupo funciona en cualquier campo... no sólo en los números reales, los complejos o los racionales que son infinitos... sino en campos finitos, como son los enteros módulo p.
De manera básica y para no entrar en detalles tenemos que si escogemos cualquier número primo $latex p$ , tenemos que si $latex a,b\in \mathbb{Z}$ podemos calcular que $latex a\cdot b\equiv c \bmod p$ donde $latex c$ será solamente el residuo de la división al calcular $latex a\cdot b/p $ , este residuo está entre el 0 y $latex p-1$, y todo entero se puede reducir módulo $latex p$ de la misma forma (dividiendo entre $latex p$ y calculando su residuo), este conjunto donde juntas a todos los elementos reducidos en sus respectivas clases se denota como $latex \mathbb{F}_p$ y consta de $latex p$ elementos, del 0 al $latex p-1$.
La suma se define de manera similar y todo elemento tiene un inverso multiplicativo y aditivo, es decir para todo $latex [a]\in \mathbb{F}_p$ tenemos que existe un $latex [a]^{-1}\in \mathbb{F}_p$ tal que $latex [a]\cdot [a]^{-1} = [1]$ , por ejemplo en $latex \mathbb{F}_7$ tenemos que el inverso multiplicativo de $latex [3]$ es $latex [5]$ ya que $latex 5\cdot 3=15$ y $latex 15\equiv 1\bmod 7$ por lo que podemos decir abusando de la notación que "dividir entre $latex [3]$" módulo $latex 7$ equivale a multiplicar por $latex [5]$.
Con la suma el negativo de $latex [a]\in \mathbb{F}_p$ es de hecho $latex [p-1]\cdot [a]$ ya que $latex (p-1)\cdot a = pa-a \equiv -a \bmod p$ , por ejemplo en $latex \mathbb{F}_7$ tenemos que $latex -[3]= (p-1)\cdot 3 = 6\cdot 3 = 18 \equiv 4 \bmod 7$ , por lo que $latex -[3] \equiv [4]$ y es fácil verificarlo ya que al sumar con su inverso aditivo al 3 tenemos que $latex -[3] + [3] = [4] + [3] \equiv 0 \bmod 7$ (ya que no deja residuo).
Se pueden definir campos para cada potencia de $latex p$ es decir $latex \mathbb{F}_{p^n}$ pero eso queda de tarea para ustedes investigar cómo se hace.
Con esto tenemos que si evaluamos todas las posibles soluciones de una curva elíptica bajo esta aritmética, tenemos que ya no se ve como una "curva", pero realmente lo es en el sentido algebraico, y se ve por ejemplo $latex y^2=x^3 - 4x+6$ sobre $latex \mathbb{F}_{197}$ así:
Si implementan la regla de adición como en wikipedia, donde las divisiones que vean en las funciones que definen la suma de dos puntos las interpretan como "calcular el inverso multiplicativo" (lo cual se hace con el algoritmo de euclides extendido), una consecuencia del teorema fundamental del álgebra les dirán que las "lineas entre dos puntos" en aritmética modular también funcionan, esto es de manera informal pero sólo quiero meter la idea, en posts anteriores formalizo esto.
Grupos de homomorfismos en grupos abelianos (curvas elípticas en este caso)
Recordemos que un homomorfismo entre dos grupos (o dos curvas) $latex G_1$ y $latex G_2$ es un mapeo que respeta la estructura de grupo en cada uno. Es decir si $latex \langle G_1,+\rangle$ y $latex \langle G_2,\oplus\rangle$ son sus respectivas operaciones. tenemos que $latex \alpha \in Hom(G_1,G_2)$ es un homomorfismo entre $latex G_1$ y $latex G_2$ , es decir $latex \alpha:G_1\rightarrow G_2$ si para $latex P,Q\in G_1$
$latex \alpha(P+Q)=\alpha(P)\oplus \alpha(Q)$
También tenemos que $latex \alpha$ también manda infinitos de un grupo a infinitos del otro.
$latex \alpha(\infty_{G_1})=\infty_{G_2}$.
Algo muy interesante es que el conjunto de todos los homomorfismos, es decir $latex Hom(G_1,G_2)$ forma un grupo abeliano, es decir, puedes sumar los homomorfismos, noten que ya no estamos hablando de los puntos de la curva solamente o de elementos de grupos en general, es decir si $latex \alpha,\beta\in Hom(G_1,G_2)$ definimos bajo la operación nueva de homomorfismos $latex \boxplus$ una nueva función $latex \alpha\boxplus \beta\in Hom(G_1,G_2)$ :
$latex (\alpha\boxplus\beta):G_1\rightarrow G_2$
$latex P\mapsto \alpha(P)\oplus \beta(P)$
Es fácil demostrar que $latex \alpha\boxplus \beta$ también respeta estructura de grupo en $latex G_2$ (es decir que es un homomorfismo) , y pues tenemos que la identidad es el morfismo $latex [0]\in Hom(G_1,G_2)$ que manda todo al 0 del grupo $latex G_2$.
También para que $latex Hom(G_1,G_2)$ sea grupo bajo la operación $latex \boxplus$, necesitamos un inverso, es decir, si $latex \alpha\in Hom(G_1,G_2)$ existe un $latex -\alpha \in Hom(G_1,G_2)$ y de hecho pueden ver que este es simplemente $latex -\alpha:G_1\rightarrow G_2$ que mapea $latex P\mapsto \alpha(-P)$ por lo que $latex \alpha\boxplus -\alpha$ está definido como $latex (x,y)\mapsto \alpha(x,y)\oplus \alpha(x,-y)$ y esto y si $latex \alpha(P)=Q\in G_2$ tenemos que es igual a $latex Q\oplus -Q=\infty_{G_2}$ , por lo que mapea al cero de $latex G_2$ y $latex (\alpha\boxplus -\alpha)(P)=\infty_{G_2}$ para todo $latex P\in G_1$ por lo que $latex \alpha\boxplus -\alpha=[0]\in Hom(G_1,G_2)$.
De manera similar se puede demostrar que $latex \boxplus$ es asociativa, por lo que $latex Hom(G_1,G_2)$ es un grupo.
También como mencionamos hace rato, todo grupo abeliano tiene estructura de $latex \mathbb{Z}$ módulo... es decir, en este ejemplo podemos hablar de aplicar en $latex Hom(G_1,G_2)$ la operación $latex \boxplus$ varias veces a sus elementos, (en este caso homomorfismos entre los dos grupos) es decir $latex n\alpha$ simplemente será:
$latex n\alpha:G_1\mapsto G_2$
$latex P\mapsto \alpha(P)\oplus\ldots \oplus \alpha(P)=\bigoplus_{k=1}^{n} \alpha(P)$
Por lo que decimos que $latex Hom(G_1,G_2)$ tiene estructura de $latex \mathbb{Z}$ módulo.
Anillos de Endomorfismos entre grupos abelianos.
Este es un caso especial de $latex Hom(G_1,G_2)$ , ahora imaginen que $latex G_1=G_2$ por o que lo denotaremos simplemente por $latex G$ , y vamos a definir que $latex End(G):=Hom(G,G)$ pero adicionalmente para que sea un anillo tenemos que la operación multiplicación de endomorfismos $latex \alpha,\beta\in End(G)$ es $latex \alpha\circ \beta$ , es decir la composición entre ellos como funciones, es decir $latex (\alpha\circ\beta)(P)=\alpha(\beta(P))$.
Como tenemos que $latex \alpha,\beta Hom(G,G)$ está bien definido $latex \alpha\circ \beta:G\rightarrow G$.
La identidad bajo esta multiplicación es la función identidad , es decir, la que manda un punto a sí mismo, y la denotamos como $latex [1]\in End(G)$.
Ustedes pueden verificar que la operación $latex \circ$ es distributiva con $latex \boxplus$ , es decir que si $latex \alpha,\beta,\gamma\in End(G)$ y $latex P\in G$:
$latex (((\alpha\boxplus\beta)\circ \gamma)(P)=((\alpha\circ \gamma)\boxplus (\beta\circ \gamma))(P)$
y usando que $latex \gamma$ también es in homomorfismo.
$latex (\gamma\circ(\alpha\boxplus \beta))(P)=((\gamma\circ \alpha)\boxplus (\gamma\circ\beta))(P)$
Es fácil ver que por default, en $latex End(G)$ hay una infinidad de endomorfismos, de hecho para toda $latex n\in \mathbb{Z}$ tenemos el mapeo $latex [n]\in End(G)$ el cual definimos como:
$latex [n]:G\mapsto G$
$latex P\mapsto P+\ldots +P$ (n veces)
Donde $latex +$ es la operación del grupo $latex G$
Entonces es fácil ver que de hecho, en un nivel más alto hay otro homomorfismo de anillos entre los enteros y $latex End(G)$ , es decir:
$latex \Psi:\mathbb{Z}\rightarrow End(G)$
$latex n\mapsto [n]$
Y es homomorfismo ya que es fácil verificar que $latex \Psi(n+m)=\Psi(n)\oplus \Psi(m) = [n] \boxplus [m]=[n+m]$ y respeta la estructura de anillo ya que $latex \Psi(n\cdot m)=[n]\circ[m]=[nm]$.
Con esto tenemos mucho para argumentar que $latex \mathbb{Z}$ es un subanillo de $latex End(G)$ ya que $latex End(G)$ no tiene torsión, es decir, el aplicar $latex n$ veces cualquier endomorfismo diferente de $latex [0]$ , nunca nos dará $latex [0]$ y el mapeo entre $latex \mathbb{Z}$ y $latex End(G)$ es inyectivo.
Otra cosa es que $latex [n]\circ \alpha = \alpha \circ [n]$ es decir conmuta, y ustedes lo pueden demostrar fácilmente (pero no siempre es así entre cualquiera $latex \alpha,\beta\in End(G)$, que es cuando en el siguiente post definiremos que $latex End(G)$ está equipado con multiplicación compleja.
En el caso en que se esté trabajando sobre un campo finito en el grupo de una curva elíptica $latex E$ como $latex \mathbb{F}_q$ existe otro endomorfismo muy famoso que es usado mucho en investigación en criptografía , que es el endomorfismo de Frobenius, $latex \phi\in End(E)$ que equivale a $latex (x,y)\mapsto (x^q,y^q)$ , es decir, elevar a la $latex q$ cada coordenada de un punto en la curva usando la reducción en el campo finito $latex \mathbb{F}_q$. Este homomorfismo también conmuta.
Otro remark es que en una curva elíptica $latex \alpha,\beta\in End(E)$ son suprayectivos y por consecuencia $latex \alpha\circ\beta$ también lo es, por lo que jamás será el homomorfismo $latex [0]$ , esto nos dice que bajo la multiplicación del anillo $latex End(E)$ dada por la composición, nunca obtenemos el $latex [0]\in End(E)$ por lo que no existen múltiplos de 0, y $latex End(E)$ es un dominio entero, por lo que pueden usar las reglas de cancelación usuales entre sus elementos tanto por la izquierda como por la derecha.
Espero les haya gustado, la parte 2 la haré pronto, donde extenderemos la estructura de $latex \mathbb{Z}$-módulo de $latex End(E)$ a un $latex \mathbb{Q}$-módulo a través de un tensor.
Eduardo Ruíz Duarte (beck)
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