Dos teoremas básicos que debes comprender de cálculo si quieres hacer investigación aunque creas que "no los vas a usar" (creeme que sí) (Teorema de la función inversa)

Si estás desde un smartphone o tablet, no verás los símbolos bien, por lo que te recomiendo dar click aquí para poder visualizar correctamente este post.

Vamos a explorar hoy 1 de 2 teoremas muy importantes en cálculo/análisis ya más serio a nivel universitario que todo matemático (físico, ingeniero o cualquier científico) debe comprender (y demostrar preferentemente) estos teoremas aparecerán muy frecuentemente en análisis, geometría algebraica, topología algebraica y diferencial, incluso en álgebra también (Teoría de Lie), geometría cuántica y algunas cosas que utilicen geometrías que incluyan de alguna manera a los números reales (como los complejos) por lo que considero (y no sólo yo) son fundamentales.

Hoy veremos el teorema de la función inversa e intentaré dar las herramientas para poder comprenderlo, en el siguiente post veremos el teorema de la función implícita


Este teorema vagamente relaciona directamente la inversa de la derivada de una función vectorial con la derivada de la inversa de esa misma función vectorial, veremos como comprender intuitivamente TODA la construcción de esto, así que empecemos con la derivada en una variable para poder comprender la derivada en varias variables.


Recordemos la derivada usual univariable que hemos visto en posts anteriores para una función $latex f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ donde $latex f^{\prime}(a)$ recordemos que era:


$latex f^{\prime} (a):= \lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$



Esto existe si y sólo sí :

 $latex \lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}-f^{\prime}(a)=0$

El cual es equivalente a:



 $latex \lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)-f^{\prime}(a)(x-a)}{x-a}=0$


y también es equivalente a lo que le da más sentido a funciones $latex f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ :


 $latex \lim_{x\to a} \frac{\mid f(x)-f(a)-f^{\prime}(a)(x-a)\mid}{\mid x-a\mid }=0$




Donde $latex f^{\prime}(a)$ es una matriz de $latex 1\times 1$




Ahora, después de ver la derivada de esta forma, veamos la definición para funciones más en general.


Definición: Una función $latex f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ es diferenciable en $latex a\in \mathbb{R}^n$ si existe una matriz $latex A:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ de $latex m\times n$  tal que:


$latex \lim_{x \to a}\frac{\mid f(x)-f(a)-A\cdot (x-a)\mid} {\mid x-a \mid }=0$

Si este $latex a$ existe, denotamos a esta matriz $latex A$ por $latex Df(a)$ que es la derivada de $latex f$ en $latex a$ y le llamamos Jacobiana.


Nota que $latex f(x),f(a)$ y $latex A\cdot (x-a)$ están todos en $latex \mathbb{R}^m$ por lo que:

$latex \mid f(x)-f(a)-A\cdot (x-a)\mid$ es la norma de un vector en $latex \mathbb{R}^m$.

También toma en cuenta que $latex \mid x-a\mid $ es la norma de un vector en $latex \mathbb{R}^n$ .

Aquí podemos ver que $latex Df(a)$ juega el papel de $latex f^{\prime}(a)$ en funciones de $latex \mathbb{R}$ en $latex \mathbb{R}$


La manera más eficiente de calcular esta matriz Jacobiana se puede demostrar con el limite anterior definido y un poco de talacha que está dada por el siguiente teorema.



Teorema 1. Sea $latex f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ dada explícitamente por $latex m$ funciones


$latex f(x_1,...,x_n)=\begin{pmatrix} f_{1}(x_1,...,x_n)\\ \vdots \\ f_{m}(x_1,...,x_m)\end{pmatrix}$


Si las $latex f_i$ son diferenciables entonces la Jacobiana está dada por:


$latex Df(x)=\begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}&\hdots & \frac{\partial f_1}{x_n}\\ \vdots & \space & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{x_1}&\hdots&\frac{\partial f_m}{x_n} \end{pmatrix}$



Es fácil ver que esta matriz cumple la definición de diferenciabilidad para una $latex a\in \mathbb{R}^n$ sustituyéndola en la definición de diferenciabilidad entre funciones vectoriales que mencionamos previamente.
 

Ahora veamos otro teorema importante.


Teorema 2. Sea $latex f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ y Sea $latex g:\mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^l$ diferenciables.

Entonces la composición:


$latex g \circ f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^l$

También es diferenciable y si suponemos que $latex f(a)=b$ su derivada está dada por:


$latex D(g\circ f)(a)=D(g)(b)\cdot D(f)(a)$

Esta regla de la cadena dice que para encontrar la derivada de la composición $latex g\circ f$ se multiplica la Jacobiana de $latex g$ evaluada en b por la Jacobiana de $latex f$ evaluada en $latex a$

La intuición de esto es regresandonos a la derivada en una variable, tenemos que $latex f^{\prime}(a)$ es la pendiente de la linea que pasa tangente a la función $latex y=f(x)$ en el punto $latex (a,f(a))$ en $latex \mathbb{R}^2$.

Si construimos la ecuación de tal tangente tenemos que está dada por.


$latex y=f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)$

La cual como ya hemos oído es la "mejor aproximación lineal" a la función $latex f(x)$ cerca de $latex x=a$


Pues aquí un criterio razonable para la derivada de $latex f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ es que sea la mejor aproximación lineal al objeto $latex y=f(x)$ que vive en $latex \mathbb{R}^{n+m}$, pero pues esta es precisamente la definición, la cual construimos intuitivamente en el principio en analogía con el plano $latex \mathbb{R}^2$:

$latex \lim_{x \to a}\frac{\mid f(x)-f(a)-Df(a)\cdot (x-a)\mid} {\mid x-a \mid }=0$

Aquí lo que estamos viendo análogamente con $latex \mathbb{R}^2$ es que $latex y=f(x)$ lo podemos aproximar con la función lineal:


$latex y\approx f(a)+Df(x)\cdot (x-a)$


Ahora veamos el teorema final, ya entendido esto.

Teorema 3 (Teorema de la función inversa): 

Sea $latex f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ continua diferenciable y supón que el $latex Det(Df(a))\neq 0$ para algún punto $latex a\in \mathbb{R}^n$ entonces existe una vecindad abierta de $latex a\in U\subset \mathbb{R}^n$ y una vecindad abierta de $latex f(a)\in V \subset \mathbb{R}^m$ tal que $latex f:U\rightarrow V$ es biyectiva con inversa diferenciable $latex g:V\rightarrow U$

Vamos a analizar este teorema... y esbozar su demostración.


Demostración (informal)

¿Cuándo una función $latex f$ tiene inversa?

Como vimos anteriormente tenemos que la aproximación lineal en $latex x=a$ es: 

$latex f(x)\approx f(a)+Df(x)\cdot (x-a)$


Sabemos por álgebra lineal que $latex Df(a)$ es invertible si y sólo sí $latex Det(Df(a))\neq 0$ , por lo que $latex f(x)$ debería ser invertible (localmente, en su aproximación) si $latex f(a)+Df(a)\cdot (x-a)$ es invertible, lo cual sucede precisamente cuando $latex Det(Df(a))\neq 0$


Considera

$latex y = f(a)+Df(x)\cdot (x-a)$   


Aquí el vector $latex y$ es escrito explícitamente en función del vector variable $latex x$.

Pero si la inversa de $latex Df(a)$ existe , podemos escribir $latex x$ explícitamente en función de $latex y$ , es decir... despejarla para obtener la función inversa multiplicando por la izquierda por la jacobiana inversa y despejando $latex x$ (con cuidado porque la matriz no es necesariamente cuadrada y no es conmutativo el producto de matrices o puede no estar definido), y esto se ve así:


$latex x=a+Df(a)^{-1} \cdot (y-f(a))$

Es decir ya despejamos a $latex x$ en función de $latex y$ utilizando la invertibilidad de la Jacobiana, y observamos que $latex y$ y $latex x$ se ven similares.

Esto se ve claramente sabiendo que invertimos" una ecuación lineal (la mejor aproximación lineal en $latex (a,b=f(a))\in \mathbb{R}^{n+m}$) como $latex x(y)$ es la inversa de $latex y(x)=f(x)$ podemos ver que la derivada de $latex x(y)$ es justamente su pendiente vista como ecuación lineal que es $latex Df(a)^{-1}$ .

Es decir, la derivada de la inversa en $latex f(a)=b$ ($latex x^{\prime}$) es la pendiente de la inversa de la aproximación lineal de $latex f$ en $latex x=a$ que coincide con la jacobiana inversa de $latex f$ en $latex x=a$. 

En otras palabras con esto tenemos que si $latex f^{-1}$ es la inversa de $latex f$ , entonces lo que en símbolos dijimos es precisamente que la derivada de $latex f^{-1}$ es simplemente la inversa de la derivada de la función $latex f$ original.

 de hecho si $latex b=f(a)$ en símbolos esto es que:

$latex Df^{-1}(b)=Df(a)^{-1}$

Esto también se puede demostrar utilizando el teorema 2 sin tanto choro como el que puse que es con la regla de la cadena aplicandola a $latex f^-1 \circ f = I$


Con esto habremos encontrado la función $latex g$ que dice el teorema justo en la aproximación alrededor de $latex a$ y $latex b$ que nos dan las vecindades $latex U $ y $latex V$ del teorema.


Si hay dudas y comentarios


Eduardo Ruíz Duarte (beck)
twitter: @toorandom

Existencia de dios a priori y lógica de Gödel, explicación de demostración y fundamentos de lógica modal

Nota. Este post no pretende establecer una posición sobre la existencia de dios o no, sino sólo tratar de comprender el argumento ontológico de Gödel de manera quasi-formal. Este es el argumento a priori mejor desarrollado sobre la existencia de dios a través de lógica modal. Exploraremos esta lógica de manera reducida en este post, errores deberán existir los cuales agradecería me los hicieran ver a través de los comentarios.

Este post lo re-escribo con el propósito de conmemorar el 40 aniversario luctuoso de uno de mis personajes preferidos. Kurt F. Gödel.

Desde muy temprana edad he sido ateo por razones que luego platicaré en mi blog que fueron divertidas en mi infancia. Este ateísmo últimamente me ha hecho querer profundizar un poco en el por qué de mi decisión ideológica. Acabo de leer el excelente libro de Richard Dawkins The God Delusion, ya que aparte de las matemáticas, siempre he sido muy entusiasta de la teología y el pensamiento racional. Las religiones son la razón de lo que somos hoy en día, ya que por más ateos que seamos, muchas de las costumbres, moralidad y ética; fueron heredadas de las religiones (ej. monogamia, tabú sexual, et cétera). Por esto, el entendimiento de la teología garantiza un mejor estudio antropológico e histórico de las sociedades tempranas e incluso futuras (¿será?).

Al leer el libro de Richard Dawkins me topé con que él discute argumentos ontológicos como el de la existencia de dios según Anselmo de Canterbury (sacerdote en el año 1093), así como otros autores cn otras situaciones similares. Sin embargo,  no discute uno de los argumentos de un gran personaje que para los adoradores de Einstein debería ser superior en su pensamiento deductivo y racional, Kurt Gödel.

Kurt fue un lógico alemán que fundamentó lo que David Hilbert no terminó relacionado con la meta-matemática. Esto es el estudio de la maquinaria que gobierna a las matemáticas (lenguaje, símbolos, reglas de inferencia, sistemas formales, demostraciones, axiomas). El trabajo de Gödel es respetado por todos los matemáticos debido a que sin éste el pensamiento matemático sería diferente en función a la teoría de la demostración en cualquier sistema formal.

Hoy daré mi punto de vista sobre dios y lo que he leído, así como su relación con la matemática. No soy experto en el área, pero la he estudiado, así que demostraré los teoremas que plantea Gödel con palabras para todos los oídos (¿ojos?).  Si los expertos en lógica que lean esto notan alguna equivocación favor de corregirme, lo agradeceré.

Primero que todo, si tú quieres demostrar que algo existe necesitas definirlo. Anselmo de Canterbury define a dios cómo:

Dios es lo que nada podría concebirse mayor a éste en términos de perfección

Kurt quiere formalizar el siguiente planteamiento de Anselmo de Canterbury. Éste es una demostración por reducción al absurdo de la existencia de dios:

Dios, es por definición lo más grande y perfecto que se puede concebir, dios existe en el entendimiento, en la mente, y si dios existe en el entendimiento, podríamos imaginarlo más grande y perfecto al existir en la realidad por lo tanto dios existe.

Este último párrafo por Anselmo de Canterbury fue diseñado a modo de dirigirlo no a los humanos sino al mismísimo dios a través de la oración. En mi opinión es absurdo, ya que si dios existiera, por qué éste necesitaría convencerse de su propia existencia. 

¿Cuál es la disyuntiva del argumento de Anselmo con una verdadera demostración?

Tú puedes concebir aunque seas ateo a un ser tan superlativo como quieras, aunque niegues que realmente pueda existir, después, el argumento afirma que si un ser no existe en el mundo real significa que es imperfecto, pero como dios es perfecto por lo tanto voilá dios existe

El problema aquí está en una premisa de Anselmo que es muy fuerte. Aquí la expongo con la regla de inferencia modus tollendo tollens $latex ((P\Rightarrow Q)\wedge \neg Q)\Rightarrow \neg P$. Tollendo Tollens hace "más digerible el sentido del problema del argumento de Anselmo". De ser "verdadero" lo siguiente, la lógica de Anselmo de Cantenbury deberá ser correcta y dios existe.

"X no existe ergo X es imperfecto"

El problema aquí de Anselmo, es que utiliza artificios dialécticos para obtener conclusiones universales a través de la retórica en la definición de dios. Eso desde el punto de vista racional no sirve para nada.

Para que la lógica funcione, la deducción de una proposición en un sistema formal con ciertas reglas de inferencia se basa en las propiedades de los objetos a evaluar. Y aquí Anselmo no está analizando el objeto "dios" lógicamente. Por otro lado, Gödel encontró el problema raíz, del argumento ontológico de Anselmo. Este problema fue mencionado antes por Immanuel Kant y es que: 

“Existencia NO es una propiedad”.

Sí, Anselmo utiliza la existencia como una propiedad intrínseca de un objeto, pero, ¿cómo puede haber un objeto que tenga la propiedad de "no existir"? Bueno, no todo está perdido, y es donde entra la lógica modal. En ésta lógica, se utilizan diferentes situaciones en las cuales una proposición puede ser verdadera o falsa, o SIEMPRE verdadera como la proposición "Llueve o no llueve" la cual nunca es falsa en cualquier circunstancia.

 Gödel sustituye este concepto por la propiedad de que sea “necesaria su existencia en X situación”, es decir agrega un operador simbólico que es distinto a la existencia clásica y es muy importante desde el punto de vista formal, semántico e interpretativo en lógica modal la cual resumiremos pronto.

Anselmo estaba usando sin querer lógica modal. Digo "sin querer" ya que en su época no existía aún de manera formal, Gödel la define como veremos abajo.

Lógica modal

Antes de llegar a la parte simbólica que es la que te podrá hacer leer el argumento ontológico de Gödel, veremos lo que es la lógica modal. Primero imagina cómo tú haces deducciones de tu entorno de ciertas situaciones. O sea, tu lógica sin saberlo funciona usando miles de premisas y miles de situaciones comparables. Es decir tu lógica no está acotada a un simple $latex P \rightarrow Q$ (P entonces Q).

En la lógica modal, imagina que la realidad es el que vives hoy y ahora.  Por otro lado, también sabes que la realidad podría ser distinta dependiendo de factores que la pudieran haber alterado o factores los cuales alterarían el futuro. Todo esto con distintas posibilidades de mundos según los posibles factores de desarrollo de éste. Es decir existen otras posibles realidades.

En la lógica modal todas las realidades posibles son denotadas por $latex \Diamond$ y las necesarias denotadas por $latex \Box$. Es decir, hay situaciones que pueden suceder, y hay situaciones que siempre suceden respectivamente. Veámoslo con más detalle.

¿Qué significa $latex \Diamond P$ ? 

Esto es que $latex P$ es posiblemente verdadero, es decir existe una posible realidad en la que $latex P$ podría ser verdadero. Esto es equivalente a que en algún mundo, y en el desarrollo de sus condiciones y premisas podrían hacer que $latex P$ fuera verdadero. 

A manera de ejemplo, existe un mundo, una realidad en la que tú no hubieras existido, (si hubieran atropellado a tus padres, o si hubieran abortado, o si tu bisabuelo hubiera muerto en una guerrilla).

¿Qué significa $latex \Box P$ ? 

Esta es "más fuerte" ya que dice que $latex P$ es verdadero en todos los mundos/realidades posibles , es fácil mostrar que existen proposiciones que son verdaderas en todos los mundos por ejemplo 

$latex \Box (\neg P \lor P)$

 En particular esto dice con palabras: "en todos los mundos o llueve o no llueve". Esa proposición es verdadera en todos los mundos para cualquier $latex P$, esto se le llama el principio del tercero excluido. Es decir, para que esta proposición sea falsa tendría que suceder algo diferente a "llover" o "no llover". Lo cual clásicamente es imposible. 

Entonces tenemos aquí que con lógica simbólica a manera de resumen el significado de los símbolos:

• $latex P$:     $latex P$ es una proposición que es verdadera en la realidad actual, en el mundo real.
• $latex \Diamond P$:   $latex P$ es posiblemente verdadero, es decir es verdadero en algún/os mundos posibles.
• $latex \Box P$:  $latex P$ es necesariamente verdadero, es decir no hay ninguna situación/mundo/realidad en donde $latex P$ pudiese ser falso.

Para profundizar un poco en este tipo de pensamiento lógico, recomiendo vean literatura la cual es vasta en internet sobre lógica modal. Pero creo que con esto podemos avanzar un poco. 

Gödel, al poder corregir a Anselmo y convertir en propiedad la existencia de dios a través de esta lógica, demuestra que el objeto dios necesariamente existe, (noten que no es el dios cotidiano, es el de la definición de perfección. Esta lógica modal,  nosotros usamos diariamente para hacer deducciones, así que no es tan misteriosa o rara.

Ahora vamos a analizar la demostración de Gödel. 

Recuerden que las matemáticas se crean a partir de axiomas (Ax) , que son las reglas del juego. Dentro del juego hay objetos los cuales se deben definir (Df) para poder establecer equivalencias entre ellos. Cuando se juega con los axiomas, se crean proposiciones (Pr) universales dentro del sistema. Después con estas proposiciones, se crean teoremas (Th) que generalizan situaciones. Estos teoremas se pueden deducir corolarios (Cr) que son consecuencias particulares importantes del teorema. 

Tenemos que si $latex P$ es una proposición, por ejemplo "N es primo si y solo si N no tiene factores distintos a 1 y N", denotaremos como $latex P(N)$ a la fórmula que evalúa a $latex N$ la cuál puede ser verdadera (1) o falsa (0). En particular con este ejemplo, $latex P(3)=1$, $latex P(10)=0$.  

Aquí tenemos la demostración de Gödel que en 1970 en su lecho de muerte se la mostró a su alumna Dana Scott. Ella la publico sin su permiso después de morir (me parece, chéquenlo). Trataré de dar una explicación a cada renglón abajo.

Esta demostración de Gödel, más que demostrar la existencia de dios, yo lo veo como una construcción axiomática mínima. Ésta construcción, es suficiente para que se pueda inferir la existencia de dios a priori. Si tú no crees en estos axiomas, esto no implicará la existencia de dios en tu contexto.

Por esto anterior,  hay que suponer ciertos principios axiomáticos donde vivirá nuestro argumento, los cuales Gödel consideraba universales. Uno de estos es el Principio de plenitud el cual fue estudiado desde Aristóteles hasta Immanuel Kant, el cual dice que:

Cualquier cosa que pueda suceder, eventualmente sucederá

Esto no lo veo descabellado y suena modal ¿no?, lo explico desde mi punto de vista ya que esto ya entra en los límites de la matemática con filosofía.
La idea anterior se basa en todas las posibles situaciones en las que algo pueda existir. Desde mi punto de vista, suponiendo la infinitud del universo y el tiempo, si ese algo tiene la posibilidad de ser verdadero, y existen una infinidad de variables en una infinidad de tiempo, eventualmente ese algo podrá ser verdadero. Esto recuerda a la analogía de los chimpancés tecleando al azar en máquinas de escribir. En algún momento finito del tiempo, podrán haber escrito todo Hamlet de W. Shakespeare.

Gödel argumenta que dios existe en algún mundo posible usando este principio de plenitud y un conjunto de otros axiomas. Esto es argumentando la consistencia lógica ciertos objetos al tener la propiedad "de dios" o más informalmente, de ser " buenos o positivos o divinos".

Otra cosa que define Gödel en su demostración son las esencias:

Si $latex x$ es un objeto en algún mundo posible, entonces la propiedad $latex P$ se dice ser una esencia de $latex x$ si la formula $latex P(x)$ es verdadera en ese mundo y si $latex P$ conlleva todas las propiedades que $latex x$ tiene en ese mundo

Otra definición importante es de la existencia necesaria:

 $latex x$ necesariamente existe si para toda esencia $latex P$ lo siguiente es verdadero:

En todo mundo posible, existe un elemento $latex y$ donde $latex P(y)$ es verdadero 

Entonces tenemos ahora que la propiedad $latex P$ significa que $latex P(x)=1$ si y sólo sí $latex x$ tiene la propiedad de ser algo positivo. Es decir todas las cosas que en su totalidad puedan hacer llegar a la definición de dios. En otras palabras, podemos definir al objeto dios como aquel que tiene todas las propiedades positivas o buenas. Un objeto con la característica de tener todas las propiedades positivas, lo llamaremos divino.

Vamos ahora a explicar cada línea de manera coloquial  y de manera más coloquial en negritas.

• Axioma 1. Si $latex \phi$ tiene la propiedad de ser positivoy es necesariamente verdadero que todo lo que tenga la propiedad $latex \phi$ implica que también tiene la propiedad $latex \psi$ entonces $latex \psi$ también es bueno o positivo o divino. Esto quiere decir que si $latex X$ es bueno y ese $latex X$ tiene la propiedad $latex Y$ en todos los mundos entonces $latex Y$ tiene que ser positivo.

• Axioma 2. Para toda propiedad $latex \phi$ tenemos que sólamente una $latex \phi$ o $latex \neg \phi$ es positivo. O sea que si $latex \neg X$ es positivo tenemos que $latex X$ es malo, esto es análogo al principio del tercero excluido.

• Teorema 1. Aquí es donde se usa el principio de plenitud. Si $latex \phi$ es bueno es posible que exista un objeto con la propiedad $latex \phi$. Es decir, existe un mundo en el que puede existir algo bueno. 

Demostración (con mucho choro por contradicción pero es necesario):

Supongamos que existe un $latex \phi$ bueno, PERO que necesariamente nada tiene la propiedad $latex \phi$ (recuerden que necesariamente es algo que sucede o no en todos los mundos). Buscamos contradicción ya que estamos usando las reglas de inferencia usuales, en este caso el principio del tercero excluido para reducción al absurdo.

Si suponemos lo anterior entonces la propiedad $latex \phi$ implicaría por vacuidad TODAS las propiedades. En particular, tendríamos que $latex \phi \Rightarrow \neg \phi$, que por el axioma 1 implicaría que $latex \neg \phi$ es bueno. Por o tanto $latex \phi$ y $latex \neg \phi$ tienen la propiedad de ser positivos, lo que contradice el axioma 2 y por lo tanto la suposición es falsa.  Por el tercero excluido tenemos que entonces la negación de la suposición es verdadera y esto implica que si $latex X$ es bueno, debe existir una realidad donde haya algún objeto con la propiedad $latex X$.

• Definición 1. Llamamos a algo $latex x$ divino cuando tiene todas las propiedades positivas. Se usa la letra G porque en inglés es "God-like" o "similar a dios" pero con fines prácticos le llamaré "divino"

• Axioma 3. Tener la propiedad de divino implica que también tiene la propiedad de positivo

• Teorema 2. Es posible (en el sentido de lógica modal, es decir existe un mundo en el cual...) que exista algo divino este teorema se explica por si solo.

Demostración:

Sabemos por el teorema 1 que si $latex \phi$ es bueno debe existir algún objeto en un posible mundo que tenga la propiedad $latex \phi$. Si cambiamos a $latex \phi$ por el la propiedad "ser divino" proveniente del axioma 3, tenemos la demostración del teorema 2 $latex \blacksquare$.  
Realmente no sé por que Gödel le llama Teorema... yo le llamaría Corolario... pero tal vez es por el hecho de que el objeto al que se aplica es directamente un axioma y no una proposición

• Definición 2. Aquí define lo que anteriormente ya habíamos mencionado sobre esencia, que de nuevo resumidamente tenemos que $latex \phi$ es la esencia de un objeto $latex x$ cuando:

1. $latex x$ tiene la propiedad $latex \phi$
2. La propiedad $latex \phi$ fuerza a todas las propiedades de $latex x$ a ser verdaderas.

• Axioma 4. Si $latex \phi$ es positivo entonces $latex \phi$ es necesariamente positivo. Es decir en el sentido modal, $latex \phi$ en todas las realidades y mundos deberá ser positivo. (aquí es donde comienza la onda complicada filosófica desde mi punto de vista)

• Teorema 3. Si un objeto es divino entonces ser divino es su esencia

Demostración:

Recordemos que si $latex x$ es divino entonces tenemos que este $latex x$ tiene TODAS las propiedades positivas  por el axioma 2.  Esto quiere decir que TODAS las propiedades de algún objeto divino son buenas/positivas. Por lo tanto son necesariamente positivas (recuerden que en el sentido modal la palabra "necesario") por el axioma 4.  qed. $latex \blacksquare$

• Definición 3: Decimos que $latex x$ es indispensable, denotado por $latex E(x)$ cuando algo que tenga esencia DEBE existir.

• Axioma 5: Ser indispensable es bueno

• Teorema 4. Lo divino necesariamente existe  (es decir en todas las realidades y mundos existe el objeto con la propiedad  divino definido aquí previamente teniendo todas las propiedades buenas)

Demostración:

Si algo es divino, entonces tiene por definición todas las propiedades buenas, vemos por el axioma 5 que esto es indispensable ya que es una propiedad buena.

Por definición un objeto con esencia que es divino, por el teorema 3, debe existir.  

Esto significa que si algo divino existe, entonces necesariamente existe para que algo divino exista.

Por otro lado ya probamos el teorema 2, y tenemos que es posible que algo divino exista (en el sentido modal hay un mundo en el que algo divino existe).

Por lo tanto es posible que sea necesario que algo divino exista. Esto implica que necesariamente existe algo divino. Es decir existe una realidad donde se deduce que en todas las realidades existe algo divino, por lo que sí existe en una realidad, existe en todas las realidades. Por lo tanto lo divino existe en todas las realidades)  QED. 

Cómo ven esta demostración no tiene error en la lógica, es decir es deductiva, y representa un conocimiento a priori sobre la existencia de dios

¿Pero entonces por qué SOY ateo?

Los axiomas son demasiado fuertes para mí como para poder ser aceptados por mi mente.

recuerden que los axiomas no se demuestran, sino representan las reglas con las que vamos a poder razonar dentro de un sistema. El axioma 5 por ejemplo es muy duro para mí. El decir que lo indispensable es bueno... creo que es algo muy filosófico. El axioma 1 no me gusta tampoco, es decir, algo bueno en todas las realidades está compuesto de implicaciones a él mismo que son buenas. El axioma 4 también implica que lo que es positivo, siempre es positivo en todos los contextos. Hay realmente que ser muy claro en qué es ser positivo para que esto sea menos filosófico.

Si los axiomas te gustan, existe algo divino.  Pero olviden a sus dioses con nombre e identidad, esos no son de los que Gödel hablaba. El sólo hablaba de un ser máximo en perfección repleto de todas las propiedades buenas o positivas. 

Esto lo intenté explicar ayudado de mi libro de lógica A new introduction to Modal Logic y de lo que recordé de mi curso y notas de Lógica II de hace algunos años. Aquí lo que usé para lógica modal realmente debería de estudiarse si les interesa como Lógica Modal S5 que es la que Gödel utilizó.

¿Tú qué opinas? , ¿dios existe?

                                  Kurt Friedrich Gödel, Abril 28 de 1906 - Enero 14 de 1978 

Eduardo Ruíz Duarte (PGP:FEE7 F2A0)

Twitter: @toorandom

Sobre falacias y mál pensamiento deductivo/inductivo en medios de comunicación y contaminación intelectual

Pongo aquí extractos de comentarios que puse en un post en facebook que se tornó interesante, tal vez le falte estructura gramatical, luego lo acomodo mejor, son copy paste de una red social, acomodados muy rápidamente.


¿Ya leyeron este mini libro en linea? , se lo echan en 15 minutos y puede que les cambie la vida, este libro discute algo de lo que me he quejado muy seguido a lo largo de mi vida sobre la argumentación de los mexicanos (y otros) así como el mal uso del lenguaje, es decir, muchos argumentan con falacias (razonamientos circulares, ad-hominem, etcétera) y aún así aceptan las proposiciones de los demás las cuales después se convertirán en premisas de futuras argumentaciones y cambian su manera de pensar por tener un mal razonamiento inductivo o deductivo y viven la vida sin encontrar la verdad.

Estas personas 'creen' que algo es 'verdad' aunque sus premisas fueron nacidas de falsas argumentaciones generadas por falacias, y con esto se genera una cadena.

https://bookofbadarguments.com/es/


También en facebook que es de donde nace este post, Roberto Andrade Fonseca mencionó un gran libro que se llama "How to Lie with statistics" el cual puse lo que sigue:




Jejé pa los que leyeron el libro que comenta Roberto, ya ven que el autor inventó una palabra al final para denotar este tipo de prácticas estadísticas, creo que en México hay un expertise amplio del gobierno en “satisticulation”

Otro tipo de falacia que no habla en el libro es la mencionada en el de Huff, que es más técnica pero que va ligada con la semántica y presentación de los datos crudos para hacer creer que la realidad es distinta o la "post hoc" eso es muy de los medios de comunicación en México, que como algo ocurrio antes entonces si algo ocurre bajo las mismas premisas tiempo después la argumentación deberá ser la misma.




Ese libro lo debería leer Omar Chito recuerdo cuando hace poco comenzamos a discutir mucho este tipo de argumentaciones y tratar de ser tajantes a la hora de detectarlo en un debate entre amigos, empresarios, conferencistas o lo que sea con el fin de no hacer evolucionar una proposición falsa hasta que se convierta en una premisa generalizada no comprobada para la opinión pública lo cual genera ignorancia generalizada por culpa del mal razonamiento




Y aquí puse otro post relacionado con una hipótesis que tengo sobre el mal uso del lenguaje


Otro comentario sobre las falacias es que me parece que cada día hay más tipos de falacias ya que creo que éstas dependen de la sociedad.




Por ejemplo, algunas veces he visto que comentarios de personas o argumentos son tachados por la manera de imponerlos, entonces para evitar caer en una falacia Ad-hominem o a la autoridad los que defienden la proposición comienzan a meter cosas en sus argumentos como:

IMHO (In my humble opinion, En mi humilde opinion)
AFAIK (As far as I know, hasta donde yo sé)
YO CREO (enfatizando las mayúsculas del lenguaje u otros símbolos)

Et cétera...

Esto desde mi punto de vista provoca 2 falacias.

1. Hacer creer a la contraparte que la persona por estar siendo humilde su proposición deberá ser verdadera.

2. El hacer creer que como su punto de vista se localiza supuestamente en un estado neutral de pensamiento, la argumentación debe ser libre de prejucios

Yo llamaría a esta falacia de humildad recursiva.

No sé qué opinen Omar Chito Lara Carlos López Roberto Andrade Fonseca
O todos los demás que no se han integrado al tema como Octavio Ruiz Cervera

Esto nació por el post anterior del mini libro de falacias y mi odio por los debates inundados de premisas nacidas de argumentación falaz que evolucionan a través del mal pensamiento inductivo/deductivo



También a la idea anterior que planteo Roberto Fonseca añade un comentario interesante aunque a mi gusto erróneo diciendo que eso más que falacia es retórica, donde yo creo lo siguiente:


La retórica en estricto sentido de la palabra es una fábrica de falacias

¿Por qué?

Simplemente porque haces un gran uso del lenguaje con el FIN de convencer a tu contraparte con esa cualidad, es decir, la veracidad del argumento no sólo depende de las premisas sino también de algo más superficial en ese contexto que es el adornado de la semántica.

Otra falacia con respecto a la retórica es que provoca otras falacias como ad-hominem ya que la gente con bastante capacidad retórica automáticamente es considerada un intelectual en su área (no todas las personas para no caer en otra falacia, y es claro que no todas porque yo estoy argumentando esto, no hay paradoja)

Entonces como su retórica es impecable => es intelectual por lo tanto ad-hominem



(En mi humilde opinión) (ja)







Me gusta · · Promocionar · Compartir