Complejos de de Rham y cohomología (Derivaciones parte 1/4)

Esta es una especie de continuación de un post donde traté de llegar desde el cálculo hasta la cohomología de de Rham utilizando rotacional, divergencia y gradiente (De Rham), pero es hora de hacerlo formalmente, y para ello necesitaremos imaginarnos unos espacios que se llaman diferenciales de Kähler, antes hablé de diferenciales y k-formas diferenciales , pero lo retomaremos, el punto de este post será poder usar la cohomología de de Rham para saber si una curva hiperelíptica sobre un campo finito es segura criptográficamente hablando calculando el número de elementos de su jacobiana el cuál nos dice sobre su seguridad de acuerdo a su factorización, y para esto utilizaremos el teorema del punto fijo de Lefschetz sobre el morfismo de Frobenius en característica 0 p-ádico (lift a $latex \mathbb{Q}_p$) definido en el primer grupo de cohomología de una subálgebra de de Rham, para eso primero veremos como construir toda el álgebra de de Rham usando diferenciales de Kähler.

Pero antes de todo esto necesitamos empezar con los preliminares, que serán el concepto de derivacion en cualquier álgebra.


Derivaciones en un punto

La derivada en dirección de un vector tangente $latex v$ a un punto $latex p\in \mathbb{R}^n$ de una función $latex f\in C^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ es un número real:

$latex D_v(f):=\sum_{i=1}^n x_i(v) \frac{\partial f}{\partial x_i}(p)$

Donde $latex x_i$ son las coordenadas en $latex \mathbb{R}^n$ y $latex x_i(v)=v_i$ (i-ésimo componente de $latex v$)

Para todo vector tangente $latex v$ a un punto $latex p\in \mathbb{R}^n$ tenemos que la derivada direccional en $latex p$ nos da un mapeo de espacios vectoriales

$latex D_v:C^{\infty}_p\rightarrow \mathbb{R}$


que manda $latex f$ definida en $latex p$ a un número real, en general la función $latex D_v$ está definida como:

$latex D_v=\sum x_i(v) \frac{\partial}{\partial x^{i}}\mid_p$


Tenemos que $latex \forall v\in T_p(\mathbb{R}^n)$ hay un $latex D_v$ y todos cumplen la regla de Leibniz, es decir $latex D_v(fg)=(D_vf)g(p)+f(p)D_vg$.

Todos los mapeos $latex \mathbb{R}$-lineales $latex D:C^{\infty}_p\rightarrow \mathbb{R}$ que satisfacen la regla de Leibniz son derivaciones en $latex p$  y denotamos a todas las derivaciones en $latex p$ como $latex \mathbb{D}_p(\mathbb{R}^n)$ y de hecho este espacio es un espacio vectorial ya que dos derivaciones sumadas en el mismo punto es una derivación, y como es $latex \mathbb{R}$-lineal no pierden la propiedad de Leibniz al multiplicarlas por un escalar, entonces por ahora ya tenemos que TODAS las derivadas direccionales en $latex p$ son todas las derivadas en $latex p$ por lo que tenemos un mapeo.


$latex \phi:T_p(\mathbb{R}^n)\rightarrow \mathbb{D}_p(\mathbb{R}^n)$
$latex v\mapsto D_v=\sum x_i(v) \frac{\partial}{\partial x^{i}}\mid_p$


Como $latex D_v$ es lineal en $latex v$ , el mapeo $latex \phi$ es un mapeo de espacios vectoriales, faltaría ver qué sucede con las constantes, es decir que si $latex D\in \mathbb{D}_p(\mathbb{R}^n)$ entonces si $latex c\in\mathbb{R}$ entonces $latex D(c)=0$ pero esto se sigue que la linealidad y la regla de Leibniz haciendo que $latex c=1c$.

Función $latex \delta$ de Kronecker

Ésta es una función muy útil para la notación
$latex \delta_j^i=\left\{\begin{array}{11} 1&\mbox{if } i=j\\ 0 & \mbox{if }i \neq j \end{array}\right$

Ahora, tenemos que es fácil demostrar que $latex \phi$ definido previamente es un isomorfismo, es decir $latex T_p(\mathbb{R}^n) \cong \mathbb{D}_p(\mathbb{R}^n)$ ya que si procedemos naturalmente al suponer que $latex D_v=0$ para algún $latex v\in T_p(\mathbb{R}^n)$ entonces $latex 0=D_v(x_j)=\sum_i v^i \frac{\partial}{\partial x_i}\mid_p x_j = \sum_i x_i(v)\delta_i^j = x_j(v)$ y entonces $latex v=0$ lo que nos dice que $latex \phi$ es inyectiva.

Aquí la función $latex \delta$ nos ayuda a eliminar las parciales en las variables que no son iguales al índice con notación más limpia, la suprayectividad la pueden demostrar ustedes.

Lo que sucede aquí es que para todo vector tangente a $latex p$ tenemos una derivación en $latex p$ entonces si ambos son espacios vectoriales, uno de puntos... y otro de derivaciones, lo más natural es identificar sus bases estándares, si $latex \lbrace e_1,e_2,...,e_n \rbrace$ es base de $latex T_p(\mathbb{R}^n)$ entonces bajo este isomorfismo tenemos que:

$latex \phi(e_i) = \sum_i \delta_i^j \frac{\partial}{\partial x_i}\mid_p=\frac{\partial}{\partial x_i}$

Por lo que: 

$latex \bigg \lbrace \frac{\partial}{\partial x_1}\mid _p,..., \frac{\partial}{\partial x_n}\mid_p\bigg\rbrace$ genera al espacio vectorial $latex \mathbb{D}_p(\mathbb{R}^n)$ y es su base estándar.

Con esto nos conviene denotar a los vectores $latex v\in T_p(\mathbb{R}^n)$ tangentes a $latex p$ más explícitamente en términos de la base de $latex \mathbb{D}_p(\mathbb{R}^n)$ los cuales son puntos $latex v=\sum v_i e_i = \sum x_i(v) e_i = (v_1,...,v_n)$ como:

$latex v=\sum v_i \frac{\partial}{\partial x_i}\mid_p$


Campos vectoriales

Si $latex U\subset \mathbb{R}^n$ es un abierto un campo vectorial $latex X$ es una función que asigna a $latex p\in U$ un vector tangente $latex X_p \in T_p(\mathbb{R})^n$, este vector $latex X_p$ en términos de la base $latex \bigg \lbrace \frac{\partial}{\partial x_j}\mid_p \bigg \rbrace$ es:

$latex X_p=\sum a_i(p) \frac{\partial}{\partial x_i}\mid_p = (a_1,...,a_n)$ 

con $latex p\in U$, $latex a_i\in C^\infty(U)$, $latex a_i(p)\in \mathbb{R}$ 

Podemos omitir la $latex p$ en este caso y decir que el campo vectorial $latex X=\sum a_i \partial/\partial x_j$ 

Ejemplos típicos:

$latex X=\frac{-y}{\sqrt{x^2+y^2}}\frac{\partial}{\partial x}+\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\frac{\partial}{\partial y}= \bigg ( \frac{-y}{\sqrt{x^2+y^2}},\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \bigg )$

y

$latex Z=\frac{x\partial}{\partial x} + \frac{-y\partial}{\partial y}=(x,-y)$

Es importante la notación como punto y la de vector para que noten la base y la importancia del operador $latex \partial/\partial x_i$

Aquí están los dos campos vectoriales dibujados en $latex \mathbb{R}^2\setminus \lbrace 0 \rbrace$ y $latex \mathbb{R}^2$ respectivamente, ustedes vean la definición y el dibujo.

Entonces un campo vectorial $latex X=\sum a_i \partial/\partial x_j$ nos permite "mover" la $latex p\in U\subset \mathbb{R}^n$  , podemos multiplicar cualquier función $latex f\in C^{\infty}(U)$ por un campo vectorial $latex X$ y aún así seguir teniendo un campo vectorial ya que $latex fX=\sum (fa^i)\partial/\partial x_i$ es un campo vectorial $latex C^\infty$ en $latex U$ por lo que podemos sumarlos y multiplicar por 'escalares' del anillo $latex C^\infty(U)$ entonces tenemos que todos los campos vectoriales en $latex U$ los denotamos por $latex \mathfrak{X}(U)$ es un $latex C^\infty(U)-$módulo 


Derivaciones a partir de campos vectoriales

Vamos a definir más derivaciones ahora a partir de esto.

Sea $latex X \in \mathfrak{X}(U)$ con $latex U\subset \mathbb{R}^n$ y sea $latex f\in C^{\infty}(U)$ definimos la función $latex Xf$ en $latex U$ como:

$latex (Xf)(p)=X_pf = \sun a_i(p)\frac{\partial f}{\partial x_i}(p)$   $latex \forall p\in U$

sin la $latex p$ tenemos que la función es $latex Xf=\sum a_i \frac{\partial f}{\partial x_i}$
donde se ve claramente que $latex Xf\in C^\infty(U)$ , por lo que podemos definir a el campo vectorial $latex X$ como una función que mapea funciones a funciones

$latex X:C^{\infty}(U)\rightarrow C^\infty(U)$
$latex f\mapsto Xf$


Como podemos intuirlo este mapeo para todo campo vectorial cumple la regla de Leibniz es decir

$latex X(fg)=(Xf)g+fXg$

Ya que puntualmente se cumplirá la regla de Leibniz si ustedes lo verifican.

Una derivación en el álgebra $latex C^\infty(U)$ sobre  $latex \mathbb{R}$ es un mapeo $latex \mathbb{R}$-lineal
$latex D:C^{\infty}(U)\rightarrow C^{\infty}(U)$ tal que $latex D(ab)=(Da)b+aDb$ donde $latex a,b\in C^{\infty}(U)$ .

Todas las derivaciones de $latex C^{\infty}(U)$ están cerradas bajo suma y multiplicaciones escalar por lo que forma un espacio vectorial el cual lo llamamos $latex Der(C^{\infty}(U))$ y esto funciona con cualquier álgebra, no sólo con las funciones infinito diferenciales, por lo que tenemos el siguiente mapeo


$latex \Phi:\mathfrak{X}(U)\rightarrow Der(C^{\infty}(U))$
$latex X\mapsto [f\mapsto Xf]$

Esto como imaginarán es un isomorfismo lo que quiere decir es que todos los campos vectoriales de un abierto $latex U$ pueden ser identificados con derivaciones del álgebra $latex C^{\infty}(U)$.