The arithmetic geometry of the Fields Medal 2018, perfectoid spaces (part 1/2, Affinoid Spaces)

Today, the fields medal was awarded. One of the recipients is the German director of the Max Planck institute Peter Scholze (he has only 30 years old!). He obtained his Ph.D. inventing and studying his notion of perfectoid spaces which is the topic that I will introduce, but first I will talk about affinoid spaces today.

I have been attending seminars with that is now ex-group of algebraic geometry at the university of Groningen where I made my Ph.D. during the past five months related to overconvergent sheaves and rigid geometry leaded by Jaap Top, Marius van der Put and Stephen Mueller. I learnt there about affinoid spaces and Frobenius structures. I will just define and give some motivation of their invention here and then I will try to give a very brief and informal description of a perfectoid space tomorrow in a continuation of this post.


Why?

One of the main purposes of all these mathematics is to study points on algebraic varieties. For example, is well known by Gerd Faltings  (see here) that the number of solutions of an algebraic curve defined by $latex C(x,y)=0$ of genus $latex g \geq 2$ has a finite number of solutions over any finite extension of $latex \mathbb{Q}$, which we denote by $latex k$. In other words, there is just a finite number of $latex (\tfrac{a}{b},\tfrac{c}{d})$ where $latex a,b,c,d\in O_k$ and $latex c,d\neq 0$ and $latex C(\tfrac{a}{b},\tfrac{c}{d})=0$.

There are bounds for the number of points of $latex C/k$, in fact, if we fix $latex k=\mathbb{Q}$, $latex O_k=\mathbb{Z}$ and $latex C/\mathbb{Q}$ is hyperelliptic, one has that #$latex C(k)\leq 8rg+33(g-1)+1$ where $latex r=\text{rank}(J)$ and $latex J$ is the algebraic group variety associated to the curve $latex C$ which must have rank at most $latex g-3$.  This bound was presented to me in Groningen by professor Michael Stoll from the University of Bayreuth (see here). He uses Chabauty-Coleman integration to obtain this.

The problem is that this bound is very restricted, does not work for varieties of arbitrary dimension, and only works for a very well behaved family of curves (hyperelliptic). For the restriction of $latex r\leq g-3$ there is current hot develpments by Bas Edixhoven, Rene Schoof and others in Leiden using Poincare Torsors on the Neron Severi group of $latex J$.


p-adic numbers (recall)

Consider the non-archimidean field $latex \mathbb{Q}_p$  (here you can construct them using the Cauchy completion of $latex \mathbb{Q}$ under the weird absolute value $latex |x|_p=|p^n\tfrac{a}{b} |_p=p^{-n}$ with $latex p$ prime and $latex a,b\in\mathbb{Z}$ (just as you construct $latex \mathbb{R}$ from the convergent sequences over $latex \mathbb{Q}$. It is handy to represent the elements of $latex \mathbb{Q}_p$ as the "Laurent series" of the form $latex \sum_{i=-m}^\infty a_ip^i\in\mathbb{Q}_p$ where $latex a_i\in\{0,...,p-1\}$ and $latex m\in\mathbb{Z}^+$ (see Theorem 3.4 here).

There is very nice theory that we wont expose here, such that taking the curve $latex C/\mathbb{Q}_p$ can tell us information of $latex C/\mathbb{Q}$. You can imagine this field $latex \mathbb{Q}_p$ as being something that approximates a solution point of $latex C$ over $latex \mathbb{Q}$, since its elements are power series in p, and we will use this "imagination" which is very informal, to indeed, pursue this objective. For the algebrist it is easier to define these numbers. We start with the inverse limit of the rings $latex \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ which we denote by $latex \mathbb{Z}_p$. A p-adic integer $latex m$ is then a sequence $latex (a_n)_{n\geq 1}$ such that $latex a_n$ is in $latex \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$. If $latex n \leq m$, then $latex a_n \equiv a_m (\bmod p^n)$. It is easy to check that the ring of fractions of $latex \mathbb{Z}_p$ is in fact what we described before, the field $latex \mathbb{Q}_p$ which has characteristic 0.

Affinoid algebras and spaces.

Consider the field $latex \mathbb{Q}_p$ for some prime $latex p$. Consider the ring of formal power series in the variables $latex x_1,...,x_n$ and the subring $latex \tau_n\subset \mathbb{Q}_p[[x_1,...,x_n]]$ of all the strictly convergent series, that is, if we denote the power series in multi index notation as $latex \sigma:=\sum_{I} c_I x^I$,  then $latex \sigma\in\tau_n$ if and only if $latex |c_I|_p=0$ as $latex I\to \infty$. This give us a feature of $latex \tau_n$, first,... it is a ring and an algebra (prove it). Moreover, every element  $latex \sigma\in\tau_n$ has a norm, $latex ||\sigma||=\sup\{c_I\}_{I}$, making $latex \tau_n$ a Banach $latex \mathbb{Q}_p$-algebra of countable type. So here, we reduced the horribly big ring of formal power series to something which cohomologically will be more "manageable", in fact $latex \tau_n$ is a unique factorization domain with Krull dimension $latex n$.

An affinoid algebra is any $latex A:=\tau_n/(J)$ where $latex J$ is a closed ideal of $latex A$.  An affinoid space $latex X$ is the maximal spectrum of this ring, that is $latex X=\text{Specm}(A)$ (set of maximal ideals of $latex A$, which can be regarded as points).

Imagine that to study $latex C/\mathbb{Q}$ you will consider the space of points $latex X_C:=\text{Specm}\;\tau_2/(C(x,y))$, which can be given many topologies, like the Zariski (very coarse unfortunately), Grothendieck or étale Topology and others.


Tomorrow (I hope) I will continue with perfectoid spaces and I will try to develop an example of how to work with these spaces which allow us to work with "mixed characteristic", namely, characteristic 0 and p.


The geometry of curves over $latex K:= \mathbb{Q}_p$ is very interesting, here, as a matter of morbosity, I leave you of the Berkovich projective line using these ideas for $latex \mathbb{P}^1(K)$.

Eduardo Ruiz Duarte
Twitter: @torandom
PGP: FEE7 F2A0

Matemáticas, música y recuerdos

Hoy, en mi trabajo por alguna razón mientras trataba de entender algo un poco abstracto en álgebra, me acordé de mi maestro de piano cuando era niño (1993) y tuve una emoción un poco filosófica y nostálgica. Intenté buscarlo en internet para ver si existía algún registro de él, una foto o una grabación... no tuve éxito. Él vivía de dar conciertos en salones pequeños y de dar clases de canto y piano a niños y adultos en su casa ubicada en el barrio de Coyoacán. No era un virtuoso pero era muy trabajador, muy apasionado y una persona muy noble y pura. Él perfeccionaba cualquier pieza si se lo proponía. Tenía cuatro pianos de cola en su casa. Siempre sacaba piezas nuevas para interpretarlas en conciertos y salones locales en Coyoacán como la Sala Rodolfo Usigli y otros lugares. En su casa tenía una foto de Dolores del Río, era fanático de su belleza. Recuerdo que un sábado por la tarde de un 13 de octubre (era el día de San Eduardo por eso lo recuerdo), después de yo llegar de los "boy scouts", entré a mi casa en la calle de Malintzin en la colonia Del Carmen en Coyoacán y me topé con la sorpresa de que había un piano para mí (de hecho era una pianola). Las clases las tomaba antes de este piano en su casa. Mi madre y él lo escogieron muy cuidadosamente ya que "tenían que estar en perfectísimo estado los martinetes" para darme la gran sorpresa y por fin poder practicar en un instrumento de verdad, lo cual les agradezco infinitamente tanto a mi madre María G. Duarte como a él.
Él me entrenó para entrar a la Escuela Nacional de Música de la UNAM donde estudié piano desde 1996 hasta la huelga (2000). Pude pasar sin ningún problema gracias a que perfeccioné con él el Minueto en Sol Mayor de Johann Sebastian Bach que presenté en mi examen de admisión siendo un niño. Mi maestro tenía un sueño un poco peculiar, que era ir a la casa de Beethoven en Bonn, Alemania. Ahora que lo analizo, iré a Bonn este sábado, entonces tal vez me acordé hoy de mi maestro ya que siempre me decía: "Tú eres bueno en matemáticas porque te gusta tocar el piano" (noten la lógica). Otra anécdota es que solía decír que yo tenía muy "buen oído" y le encantaba al final de mi clase tocar acordes mientras yo miraba hacia otro lado y preguntarme cuáles notas eran las que él estaba tocando. Gracias a él pude interpretar varias melodías de Beethoven, (Sonata Opus 27 no. 2 fue a la que más tiempo le dedicamos), Preludios de Chopin, Mazurkas y varios arreglos de Mozart. Yo siempre era rebelde y quería tocar cosas "modernas". Recuerdo que le insistía en que tocáramos a Di Blassio o Richard Clayderman y él sólo se reía como diciéndome "no seas naco" (obvio él no decía eso pero seguro tenía la intención). Le agradezco mucho el haberme mostrado la belleza de la música clásica. Mi madre siempre le sugirió que vendiera uno de sus grandes pianos para poder viajar a Bonn y conocer a su héroe, pero él los amaba y jamás se quiso deshacer de alguno de ellos.
Falleció en la primavera del 2000 de cáncer prostático, justo cuando ya no podía pagar su casa y mantener sus pianos por culpa de su enfermdad. Había abandonado su casa de Coyoacán para ir a un pequeño departamento en Acoxpa. Como ya no tenía espacio en su nueva casa nos regaló sus macetas de jazmines que florecieron por muchos años.
Su nombre era Aurelio de Alba, era originario de Durango, mi emoción surgió al no encontrar absolutamente nada en internet. No tuvo hijos y sólo tenía un hermano de edad similar que era maestro particular de inglés. Ambos ya no viven. Mi maestro murió primero que su hermano quien vendió todos los pianos ya que no había más qué hacer con ellos. Qué difícil y triste es pensar en el hecho de que ya nadie se acuerde de él más que mi madre y yo; que no haya un sólo registro de sus bellas melodías. ¿Cuántos humanos así han dejado de existir en la mente de todos los que están vivos hoy en día?. Les dejo la melodía que él más amaba y que decenas de veces lo escuché interpretar (Intermezzo de Manuel María Ponce).
Que en Paz descanse maestro Aurelio.

Eduardo