Hoy quería recordar un poco de teoría de números analítica ya que a veces cuando tenemos un campo, queremos trabajar con los equivalente a sus "enteros" en analogía con $latex \mathbb{Q}$ y sus enteros $latex \mathbb{Z}$.
Entonces comencemos con la definición principal.
Definición: Un campo numérico $latex K$ es una extensión de campos algebraica finita de $latex \mathbb{Q}$
Esto quiere decir que $latex n=[K:\mathbb{Q}]<\infty$ es la dimensión del $latex \mathbb{Q}-$espacio vectorial $latex K$ , a $latex n$ nos referiremos como el grado de esta extensión.
El ejemplo por excelencia es:
$latex \mathbb{Q}(\sqrt{2}) = \lbrace x+y\sqrt{2} : x,y\in \mathbb{Q}\rbrace$
O también pueden considerar $latex \mathbb{Q}(\zeta_n)$ que es al adjuntarle una raíz $latex n-$ésima de $latex 1$ (compleja), $latex \mathbb{R}$ no es un ejemplo de campo.
Ahora, si $latex \alpha\in K$ con $latex K$ de grado $latex n$ como $latex K$ es un $latex \mathbb{Q}-$espacio vectorial entonces existe una dependencia $latex \mathbb{Q}-$lineal entre $latex \lbrace 1,\alpha,...,\alpha^n\rbrace$ (ya que tiene dimensión $latex n$ y hay $latex n+1$ ahí), esto significa que existe un polinomio $latex f(x)\in \mathbb{Q}[x]$ tal que $latex f(\alpha)=0$ , si esto pasa decimos que $latex \alpha$ es un número algebraico y decimos que $latex \alpha$ es un entero algebraico si $latex \alpha$ es raíz de un polinomio mónico en $latex \mathbb[x]$.
Otro ejemplo obligatorio, es que $latex \sqrt{2}\in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ es un entero algebraico ya que es raíz es $latex x^2-2\in\mathbb{Z}[x]$ así como $latex i\in\mathbb{Q}(i)$ ya que es raíz de $latex x^2+1\in \mathbb{Z}[x]$, como es de esperarse $latex a/b\in\mathbb{Q}$ no son enteros (a menos que $latex b\mid a$ ya que no existe un polinomio mónico con coeficientes enteros que los tenga como raíz.
Hasta aquí hemos extendido un poco la definición de lo que es para nosotros un número entero en términos de la existencia de un polinomio mónico con coeficientes enteros.
Definición: El polinomio mínimo de $latex \alpha\in K$ es un $latex f\in\mathbb{Q}[x]$ mónico, tal que $latex f(\alpha)=0$ y $latex f$ es de grado mínimo.
Es un buen ejercicio demostrar que $latex \alpha\in K$ es un entero algebraico si y sólo sí su polinomio mínimo tiene coeficientes enteros.
Si demostramos lo anterior tenemos que con todo esto.
Proposición: Los enteros algebraicos de $latex \mathbb{Q}$ son $latex \mathbb{Z}$
Esto también es fácil ya que si $latex a/b\in\mathbb{Q}$ entonces su mínimo polinomio es $latex x-a/b$ que por el ejercicio anterior sucede que $latex b\in\lbrace -1,1\rbrace$
Definición: Los enteros algebraicos de $latex K$ forman un anillo que lo denotamos como $latex \mathcal{O}_K$ y le llamamos anillo de enteros de $latex K$
El hecho de que $latex \mathcal{O}_K$ forma un anillo no es trivial, o sea, que la suma y producto de enteros algebraicos es un entero algebraico, pero tampoco es tan difícil , traten de visualizarlo con propiedades de sus polinomios moninos, y ver como pueden construir el polinomio monico que corresponde al producto y suma de dos números algebraicos, o también pueden demostrar que si $latex \alpha$ es un entero algebraico entonces $latex \mathbb{Z}[\alpha]$ es finitamente generado como grupo, es decir si $latex z\in \mathbb{Z}[\alpha]$ entonces $latex z=\sum_{i\leq m}z_i n_i$ es decir $latex \mathbb{Z}[\alpha]=\bigoplus_{i\leq m}\alpha^i \mathbb{Z}$.
Como un no-ejemplo tenemos a $latex \mathbb{Z}[\frac{1}{2}]$ está generado por todas las potencias de $latex \frac{1}{2}$ por lo que no es finitamente generado y su polinomio mínimo es $latex x-1/2$
Otros corolarios de esto son que $latex K=\mathbb{Q}\mathcal{O}_K
Normas y trazas de enteros algebraicos
Si $latex L/K$ es una extensión finita de campos numéricos y $latex \alpha\in L$ entonces el mapeo de multiplicación por $latex \alpha$ está dado por:
$latex \mu_\alpha:L\rightarrow L$
$latex x\mapsto \alpha x$
Esto es un mapeo $latex K$-lineal de $latex L$ a $latex L$ es decir un endomorfismo por lo que $latex \mu_\alpha\in End_K(L)$ $latex \forall \alpha\in L$
Como $latex \mu_\alpha \in End_K(L)$ entonces es una matriz y decimos que la norma y traza de $latex \alpha\in L$ están dadas por:
$latex N_{L/K}(\alpha)=det(\mu_\alpha)\in K$
$latex Tr_{L/K}(\alpha)=Tr(\mu_\alpha)\in K$
Tenemos que
$latex N_{L/K}(\alpha\beta)=N_{L/K}(\alpha)N_{L/K}(\beta)$
$latex Tr_{L/K}(\alpha+\beta)=Tr_{L/K}(\alpha)+Tr_{L/K}(\beta)$
por las propiedades de traza y determinantes usuales, por lo que si en particular $latex n=[L:K]$ y $latex a\in K$
$latex N_{L/K}(a\alpha)=a^n N_{L/K}$
$latex Tr_{L/K}(a\alpha)=aTr_{L/K}(\alpha)$
De hecho si $latex a\in K$ entonces $latex \mu_a$ si $latex \mathbb{I}$ es la matriz identidad entonces $latex \mu_a=a\mathbb{I}$.
También tenemos al polinomio característico de $latex \alpha\in L$ definido como:
$latex \chi(x)=det(\mathbb{I}x-\mu_\alpha)\in K[x]$ , donde es fácil ver que su término constante es $latex \pm N_{L/K}(\alpha)$ y el término de $latex x^{n-1}$ es $latex -Tr_{L/K}(\alpha)$ ya que $latex \chi(x)$ es un polinomio mónico de grado $latex n=[L:K]$
Es hora de un Ejemplo
Como lo hemos hecho $latex L=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ y $latex K=\mathbb{Q}$ entonces $latex 2=[L:K]$ por lo que podemos poner una base para el $latex \mathbb{Q}$ espacio vectorial $latex \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ , la cual por simplicidad será $latex \lbrace 1,\sqrt{2} \rbrace$, entonces sea $latex \alpha \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ , ahora calculemos $latex \mu_\alpha$ , tenemos que $latex \alpha = a+b\sqrt{2}$, para calcular la matriz, como vimos anteriormente $latex \mu_\alpha$ es un operador lineal , así que basta con aplicarlo a los elementos de la base para obtener su matriz.
$latex \mu_\alpha(1)=a+b\sqrt{2}$
$latex \mu_\alpha(\sqrt{2})=\sqrt{2}a+2b=2b+a\sqrt{2}$
Por lo que tenemos que:
$latex \mu_\alpha = \begin{pmatrix}a & 2b\\ b&a\end{pmatrix}=M_\alpha$
Ya que si $latex z=s+t\sqrt{2}\in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ entonces
$latex M_\alpha \begin{pmatrix}s\\ t\end{pmatrix}=(as+2bt,bs+at)=as+2bt+(bs+at)\sqrt{2}$
$latex =(a+b\sqrt{2})(s+t\sqrt{2})=\alpha z =\mu_\alpha(z)$
Por lo que $latex N_{\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}}(\alpha)=a^2-2b^2$ y $latex Tr_{\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}}(\alpha)=2a$
Y el polinomio característico está dado por:
$latex \chi(x)=det \begin{pmatrix}x-a & -b\\ -2b&x-a\end{pmatrix}=x^2-2ax+a^2-2b^2$
$latex K$-monomorfismos a $latex \overline K=\mathbb{C}$
Para relacionar la traza y norma tenemos que existen $latex n=[L:\mathbb{Q}]$ monomorfismos $latex \sigma_i:L\rightarrow \mathbb{C}$ , ya que si $latex L=K(\alpha)$ con $latex \alpha\in L$ entonces existe $latex f\in K[x]$ polinomio mínimo de $latex \alpha$ y es un resultado sabido que $latex f$ no tiene raices repetidas en $latex \overline{K}=\mathbb{C}$ por lo que tiene $latex n$ raíces diferentes, llamémosles $latex \alpha_i$ y definimos $latex \sigma_i(\alpha)=\alpha_i$, esto se puede demostrar para $latex K(\alpha,\beta)$ y en general por inducción.
Definición: Si $latex L/K$ es una extensión algebraica finita de grado $latex n$ entonces y $latex \alpha\in L$ con $latex \sigma_1, ..., \sigma_n$ los $latex K-$monomorfismos de $latex L$ a $latex \mathbb{C}$ entonces $latex \sigma_1(\alpha), ... , \sigma_n(\alpha)$ son los conjugados de $latex \alpha$
Teorema Sea $latex L/K$ una extension algebraica finita de grado $latex n$ y $latex \sigma_1, ..., \sigma_n$ los $latex K-$monomorfismos de $latex L$ a $latex \mathbb{C}$ que fijan $latex K$ entonces tenemos que para todo $latex \alpha\in L$
$latex N_{L/K}(\alpha)=\prod_{i=1}^{n}\sigma_i{\alpha}$
$latex Tr_{L/K}(\alpha)=\sum_{i=1}^{n}\sigma_i{\alpha}$
Esto se puede demostrar primero notando que si $latex \alpha\in L$ y $latex f\in K[x]$ es su polinomio mínimo, entonces:
$latex f(x)=\chi_{K(\alpha)/K}(x)$ y que por Cayley Hamilton $latex \chi_{K(\alpha)/K}(\mu_\alpha)=0$
Ejemplo
Sea $latex \mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$ y $latex \alpha=a+b\sqrt{2}\in\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ entonces:
$latex \sigma_1(a+b\sqrt{2})=a+b\sqrt{2}$
$latex \sigma_2(a+b\sqrt{2})=a-b\sqrt{2}$
Por lo que:
$latex N_{\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}}(\alpha)=\sigma_1(a+b\sqrt{2})\sigma_2(a+b\sqrt{2})=a^2-2b^2$
y
$latex Tr_{\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}}(\alpha)=\sigma_1(\alpha)+\sigma_2(\alpha)$
Que claramente da lo mismo que como lo calculamos anteriormente.
Queda para ustedes que calculen el polinomio característico de este caso, y que también consideren $latex \mathbb{Q}(i,\sqrt{2})$
Corolario $latex N_{K/\mathbb{Q}}(\alpha)=\pm 1$ con $latex \alpha\in \mathcal{O}_K$ $latex \Leftrightarrow$ $latex \alpha$ es invertible
Eduardo Ruiz Duarte (beck)
twitter: @toorandom
No comments:
Post a Comment