Wednesday, April 22, 2015

Teorema de dualidad de Poincaré (parte 1.5/2 Cohomología)

En el post pasado vimos como construir grupos de homología simplicial, para poder entender la idea del teorema de dualidad de Poincaré necesitamos también entender lo que es cohomología y entender qué es lo que nos está diciendo de información sobre el objeto original, y qué mejor que con símplices, la homología simplicial es la más fácil de entender porque es visual, después de entender esto yo recomiendo irse ya a Cech, Cohomología de Grupos o a Monsky Washnitzer para trabajar con teoría de números.

El próximo post (con suerte mañana) será ya culminación, ahora sólo definiremos rápidamente cohomología con respecto al post pasado.

La cohomología es un invariante algebraico de la homología, y ya habiendo entendido homología es fácil dualizar la definición de grupos de Homología, el dual de la homología como es de esperarse va a cambiar flechas en los complejos de cadena (la cohomología es un functor contravariante y lo veremos a detalle en un momento), pero lo más impresionante en la dualización es que los grupos de Cohomología tienen estructura adicional, que es la de anillo, ya que existe una multiplicación natural llamada producto copa (cup product), pero no mencionaré casi nada sobre ello ya que el Teorema de dualidad expresa un resultado en términos de los grupos de homología y cohomología.

Recuerden que calcular la homología $latex H_n(X)$ era haciendo dos cosas que son , el calcular
Los grupos libres de $latex k-$símplices que son $latex C_k:=\Delta_k(X)$, o de homología singular o celular, pero en nuestro caso hablemos de lo que ya sabemos que es con símplices:

$latex ... \xrightarrow[]{\partial_{n+1}} C_n \xrightarrow[]{\partial_n} C_{n-1} \xrightarrow[]{\partial_{n-1}} ... $

y después el paso 2 es calcular los cocientes de fronteras y ciclos, ya que recuerden que demostramos para toda $latex n$ en el post pasado que $latex Im\partial_{n+1}\subseteq Ker\partial_{n}$ lo cual es lo mismo que $latex \partial_{n-1}\circ \partial_n = 0$, entonces tenemos los grupos de Homología $latex H_n(X)=Ker\partial_n/Im\partial_{n+1}$.

Para obtener los anillos de la cohomología $latex H^{n}(X,G)$ para algún grupo $latex G$ que usualmente será $latex \mathbb{Z}$, necesitamos interpolar el paso 1 que mostrará la contravarianza de la cohomología, en vez de considerar la cadena de los $latex C_n$ vamos a considerar la co-cadena de los $latex C^{*}_n := Hom(C_n,G)$ que son los morfismos de los complejos simpliciales a $latex G$ y el mapeo $latex \partial_n$ lo sustituiremos por el mapeo de cofrontera dual $latex \delta_n$ y formaremos igualmente algo así como los grupos $latex ker \delta/Im\delta$ .

Entonces, construyamos explícitamente todo, vamos a dualizar, considera entonces

$latex ... \xrightarrow[]{\partial_{n+1}} C_n \xrightarrow[]{\partial_n} C_{n-1} \xrightarrow[]{\partial_{n-1}} ... $

Dualizando cada $latex C_n$ tenemos que $latex C^{*}_n := Hom(C_n,G)$  y dualizando $latex \partial$ tenemos que $latex \delta_n := \partial_{n}^{*}:C^{*}_{n-1}\rightarrow C^{*}_{n}$


Nota que $latex \delta_n$ tiene las flechas invertidas (dual de $latex \partial$) , esto es obvio que suceda por propiedades de homomorfismos, y que $latex \partial_n$ es un homomorfismo:

$latex \partial_n:C_n\rightarrow C_{n-1}$

Por lo tanto

$latex \partial_n^{*}:Hom(C_{n-1},G)\rightarrow Hom(C_n,G)$
$latex \phi \mapsto \phi\circ \partial_n$

Por lo tanto tenemos que $latex \partial_n(\phi)=\phi\circ \partial_n$ es decir, lo que está haciendo $latex \partial^{*}$ es mandar el morfismo $latex C_{n-1}\xrightarrow[]{\phi} G$ a la composición $latex C_n \xrightarrow[]{\partial_n} C_{n-1}\xrightarrow[]{\phi} G$ , sabemos que los homomorfismos duales cumplen que $latex (\alpha\circ \beta)^{*}=\beta^{*}\circ \alpha^{*}$ y que $latex Id^{*}=Id$ asi como $latex 0^{*}=0$ por lo que si llamamos $latex \delta_n:=\partial_n^{*}$ tenemos que $latex \delta_n \circ \delta_{n-1}=0$ y ya tenemos de manera muy informal lo que necesitamos y por lo tanto tenemos que:


$latex ... \xleftarrow[]{} C^{*}_{n+1}\xleftarrow[]{\delta_{n+1}}C^{*}_n \xleftarrow[]{\delta_n}C^{*}_{n-1}\xleftarrow[]{\delta_{n-1}}... $ y por lo tanto tenemos que los grupos de Cohomología para $latex X$ son:


$latex H^{n}(X, G) := Ker\delta_{n+1} /Im\delta_n$

El teorema de Dualidad de Poincaré muestra una característica geométrica y topológica "visible e intuitiva" que relaciona los grupos de cohomología de dimensión $latex k$ con los grupos de homología de dimensión $latex n-k$ donde $latex n$ es la dimensión de $latex X$ que es una variedad cerrada, esto lo terminaremos en el próximo post.

Espero les haya servido y gustado

Eduardo Ruíz Duarte (beck)
Twitter: @toorandom


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