Esto no será una demostración, sólo será una idea intuitiva, pero la demostración la pueden encontrar en cualquier texto de topología algebraica como Hatcher que creo que es el libro te texto por excelencia para topología algebraica.
Formularemos el teorema considerando un cubo y un octaedro metidos uno en el otro
Observaciones:
a) Como pueden ver, en el lado izquierdo, los 6 vértices del octaedro verde tocan todas las 6 caras cuadradas del cubo rojo.
b) Por otro lado, en la figura de enmedio, lo que ven es que los 8 vértices del cubo tocan cada una de las 8 caras del octaedro.
c) En la última figura del lado derecho se pueden ver las dos figuras, y claramente podríamos verlo como una triangulación de las dos figuras en una esfera (complejo simplicial) $latex \mathbb{S}^2$ por lo que la dimensión en la que trabajamos es 2
d) También pueden observar en la última figura que cada una de las aristas del octaedro toca sólo una vez a una cada una de las aristas del cubo, es decir están en correspondencia 1-1
Entonces podemos ver que en $latex \mathbb{S}^2$ tenemos dos estructuras, la del cubo que la llamaremos $latex C$ y la del octaedro que le llamaremos $latex C^{*}$ , que corresponden a complejos de cadenas y podemos comenzar a intuir la dualidad.
Deducciones de complejos de cadenas en cubo y octaedro.
Del punto d) podemos decir que las aristas , es decir , las $latex 1$-cadenas son iguales en $latex C$ y $latex C^{*}$ , por lo que $latex C_{1}=C^{*}_{1}$ , ya que estan en correspondencia 1-1 entre el octaedro y el cubo.
Del punto a) Vemos que las caras del cubo (2-cadenas) están 1-1 con los vértices (0-cadenas) del octaedro, por lo que $latex C_2=C^{*}_0$
De punto b) pueden ver que cada cara (2-cadena) del octaedro toca a cada vértice (0-cadenas) del cubo por lo que $latex C^{*}_2 = C_0$
Calcular homología y cohomología
Ya estamos listos para calcular cohomología y homología, en la parte 1 calculamos la homología en $latex \mathbb{Z}$ para poder usar signos y preservar orientación, esta vez lo haremos sobre $latex \mathbb{F}_2$ para que sea más sencillo, es decir, nos olvidamos de la orientación de los símplices por un momento.
Entonces tenemos la sucesión con el mapeo frontera $latex \partial$ que manda a las sumas de las fronteras con respecto a caras, aristas, vértices y su respectivo mapeo dual como ya lo definimos en la parte 1.5 (post anterior) de esta serie de post
$latex C_2 \xrightarrow[]{\partial_2} C_1 \xrightarrow[]{\partial_1} C_0$
$latex C^{*}_2 \xleftarrow[]{\delta_2}C^{*}_1\xleftarrow[]{\delta_1}C^{*}_0$
Recomendación para la visualización y motivación siguiente:
Fija una cara en los dibujos del cubo (yo fijaría la de hasta arriba) y observa la descripción siguiente
en términos de sus aristas y vértices, así como el vértice dual de la cara del cubo en el octaedro.
Entonces ahora tenemos que $latex \partial_2$ toma una cara y lo mandará a la suma de sus fronteras que son $latex 1$-cadenas (Aristas), y en cohomología , el mapeo $latex \delta_0$ mandará un vértice del octaedro hacia las aristas del octaedro que son adyacentes a ese vértice, es decir lo manda a un elemento del grupo libre $latex C^{*}_1$
Entonces tenemos que aplicando el operador frontera a una cara (2-cadena) del $latex C$, fija una cara de $latex C$ que la denotamos como $latex \square$ y sus aristas denotadas como $latex \mid_i$ y a los vértices de $latex C$ correspondientes a la arista $latex \mid_j$ los denotamos como $latex \bullet^{j}_1$ y $latex \bullet^{j}_2$.
$latex \partial_2(\square)=\mid_1+\mid_2+\mid_3+\mid_4$
$latex \partial_1(\mid_1)=\bullet^{1}_1+\bullet^{1}_2$
Tenemos que por las observaciones, a $latex \square$ le corresponde un vértice en $latex C^{*}$
el mapeo $latex \delta$ lo que hará será asignar a una $latex n-1$-cadena, la $latex n$-cadena que la contiene, es decir por ejemplo, una arista del octaedro la mandaria a las caras de las cuales es frontera esa arista, entonces si denotamos las caras del octaedro como $latex \triangle$ sus aristas como $latex \dagger_i$ y a sus vértices como $latex \star^{i}_1$ y $latex \star^{i}_2$
Tenemos que por la observación a) tenemos que a $latex \square$ en $latex C$ le corresponde $latex \star$ en $latex C^{*}$
por lo que
$latex \delta_1(\star) = \dagger_1 + \dagger_2 + \dagger_3 + \dagger_4$
ya que asigna ese vértice del octaedro a sus aristas que lo contienen.
$latex \delta_2(\dagger_1 + \dagger_2)=\triangle_1 + \triangle_2$
Es decir, de manera analoga, las dos aristas lo mandan a la cara que las contiene.
Entonces tenemos que el mapeo $latex \delta_2$ hace lo mismo que el mapeo $latex \partial 0$ , y el mapeo $latex \delta_1$ lo mismo que $latex \partial_1$
Entonces, tenemos que
$latex C_2 \xrightarrow[]{\partial_2} C_1 \xrightarrow[]{\partial_1} C_0$ (Homología)
$latex C^{*}_2 \xleftarrow[]{\delta_2}C^{*}_1\xleftarrow[]{\delta_1}C^{*}_0$ (Cohomología)
Y si calculamos todos los mapeos como lo hicimos tenemos que los grupos de homología y cohomología se comportan así:
$latex H_0(C)\cong H^{2}(C^{*},\mathbb{F}_2)$
$latex H_1(C)\cong H^{1}(C^{*},\mathbb{F}_2)$
$latex H_2(C)\cong H^{0}(C^{*},\mathbb{F}_2)$
$latex ker\partial_{r}/Im\partial_{r+1}=H_r(C)\cong H^{2-r}(C^{*},\mathbb{F}_2)=ker\delta_{2-r+1}/Im\delta_{2-r}$
Aquí tenemos que todo esto era sobre $latex \mathbb{S}^{2}$ es decir $latex n=2$
Esto NO es casualidad, de hecho huele... no huele, apesta a teorema y es un teoremón.
Teorema de dualidad de Poincaré
Si $latex X$ es una variedad orientable y cerrada de dimensión n (compacta, sin frontera como $latex \mathbb{S}^{2}$ o un n-toro) entonces su cohomología y homología están relacionadas así:
$latex H_k(X)\cong H^{n-k}(X^{*},G)$
Esto lo pueden experimentar ustedes, por ejemplo calculen la dualidad de un icosaedro a través de su cohomología para obtener un dodecaedro, ¿existirá un objeto geométrico que sea su propio dual? , este debería de existir... ya que todo esto yendo más lejos aún debe tener una "identidad" , y sí, de hecho es el tetraedro.
Este resultado en topología, geometría, como podrán imaginarse los algebristas, es posible que tenga alguna equivalencia en álgebra... el semestre pasado tomé curso de geometría algebraica avanzada en la Universidad de Utrecht en Holanda y demostraron el teorema de dualidad de Serré, el cuál sólo mencionaré pero no desarrollaré ya que para eso necesitaría otros 3 posts más, pero lo que les puedo decir es que existe una relación entre el teorema de dualidad de Poincaré y el teorema de dualidad de Serré usando teoría de Hodge, de hecho aquí lo mencionan y desarrollan de manera muy aceptable.
Teorema de dualidad de Serré
Sea $latex E$ un haz fibrado holomorfo sobre una variedad compleja suave compacta $latex V$ de dimensión $latex n$ (Existen generalizaciones para gavillas coherentes y haces vectoriales) , entonces:
$latex H^{q}(V,E)\cong H^{n-q}(V,\Omega_n\otimes E^{*})^{*}$
Donde $latex \Omega_n$ es el producto cuña n veces del haz cotangente de $latex V$ (en curvas esto es directo de Riemann-Roch que lo pueden consultar aquí en mi blog y formas k formas diferenciales aquí), aquí * indica "dual" , en el mismo sentido que lo vimos aquí en esta serie de posts.
Si les interesa más aquí tengo post de cohomología de De Rham y cohomología de grupos
Espero les haya gustado mucho como a mi me gustó explicarlo, si hay dudas, críticas o recomendaciones favor de usar los comentarios o escribirme un correo o twitt.
Y como fuente de todo esto es el libro de Allen Hatcher de Algebraic Topology, especificamente la parte 3.3
Eduardo Ruíz Duarte (beck)
twitter: @toorandom
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