En el post anterior vimos lo que es una variedad, como matemáticos lo que nos interesa siempre es darle una estructura analítica a los objetos y esta estructura generalizara para poder estudiar mejor el objeto a través de sus funciones o propiedades.
Ahora lo que haremos es darle estructura de grupo a una variedad.
Un grupo de Lie es una variedad que es un grupo también de tal manera que la operación de los elementos del grupo es suave (suave en el sentido diferencial).
Los grupos $latex GL(n,\mathbb{R})$ o $latex SL(n,\mathbb{C})$, grupos ortogonales, simplécticos entre otros son grupos de Lie Famosos, por ejemplo $latex GL(n,\mathbb{R})$ como variedad es disconexo y con dos componentes (matrices con determinante positivo y negativo) y tiene dimensión $latex n^2$.
Otra cosa es que un grupo de Lie es un espacio homogéneo en el sentido de que la translación por la izquierda de un elemento del grupo $latex g$ es un difeomorfismo del grupo en si mismo que manda la identidad a $latex g$ (un automorfismo diferenciable)
Esto lo que nos hace ver es que un grupo de Lie, localmente se ve igual alrededor de cualquier punto, y va a ser clave el espacio tangente a la identidad ya que nos hará definir la operación corchete $latex [ , ]$ que convertirá el grupo en un álgebra de Lie.
Comencemos un poco más formalmente.
Definición: $latex G$ es un grupo de Lie si es una variedad $latex C^{\infty}$ tal que las siguientes dos operaciones de obtener inverso y multiplicación son infinito diferenciables $latex C^\infty$
$latex \mu: G\times G \rightarrow G$ , $latex \mu(a,b)=ab$
$latex \iota:G\rightarrow G$ , $latex \iota(a)=a^{-1}$
Ahora, si $latex a\in G$ , denota por $latex l_a:G\rightarrow G$, $latex l_a(x)=\mu(a,x)=ax$ a la operación de multiplicación izquierda por $latex a$ , y la derecha como $latex r_a:G\rightarrow G$, $latex r_a(x)=xa$
Es fácil ver que son difeomorfismos.
Definición: Un mapeo $latex F:H \rightarrow G$ entre dos grupos de Lie $latex H$ y $latex G$ es un homomorfismo de grupos de Lie si $latex F$ es $latex C^\infty$ y $latex F$ es un homomorfismo de grupos.
Esto es que
$latex F(hx)=F(h)F(x) \Leftrightarrow F\circ l_h = l_{F(h)}\circ F$ $latex \forall h\in H$
Ejemplo $latex SL(n,\mathbb{R})$
Regresamos al ejemplo introductorio pero vamos a desarrollarlo ya con estas definiciones.
Tenemos que $latex SL(n,\mathbb{R})$ es un subgrupo de matrices de determinante 1 de $latex GL(n,\mathbb{R})$ , aquí el chiste de verlo como variedad es que veas los elementos de las matrices que pertenecen al grupo como vectores, en el grupo general lineal tienes $n^2 -1$ entradas, es decir lo puedes ver como un vector de ese tamaño, el grupo special lineal que es subgrupo del general tiene dimensión $latex n^2 -1$ y es una subvariedad.
$latex \mu:GL(n,\mathbb{R}) \times GL(n,\mathbb{R})\rightarrow GL(n,\mathbb{R})$
$latex (A,B)\mapsto AB$
es $latex C^\infty$ ya que
$latex (AB)_{ij} = \displaystyle \sum_{k=1}^n {a_{ik}b_{kj}} $
Es un simple polinomio y por lo tanto es una función $latex C^\infty$ de las coordenadas $latex a_{ik},b_{kj}$
Ahora para demostrar que $latex SL(n, \mathbb{R})$ tiene operación de grupo suave, no se sigue de esto , ya que $latex \lbrace a_{ij} \rbrace _{1\leq i , j\leq n}$ no es un sistema de coordenadas en las matrices de $latex SL(n,\mathbb{R}$ ya que como vimos le sobra una (su dimensión es $latex n^2-1$)
Pero sí sabemos que $latex SL(n,\mathbb{R}) \times SL(n,\mathbb{R})$ es una subvariedad de $latex GL(n,\mathbb{R}) \times GL(n,\mathbb{R})$
entonces podemos hacer el mapeo de inclusión:
$latex i:SL(n,\mathbb{R}) \times SL(n,\mathbb{R}) \hookrightarrow GL(n,\mathbb{R}) \times GL(n,\mathbb{R})$
Es relativamente sencillo demostrar que eso es un encaje, toma un $latex p\in SL(n,\mathbb{R}) \times SL(n,\mathbb{R})$ y toma una carta $latex (V,y^1,...,y^n, y^{n+1},...,y^m)$
para $latex GL(n,\mathbb{R}) \times GL(n,\mathbb{R})$ alrededor de $latex p$ tal que $latex V\cap N$ son los ceros de $latex y^{n+1},...,y^{m}$, para $latex p\in SL(n,\mathbb{R}) \times SL(n,\mathbb{R})$ toma $latex (V\cap N, y^1, ..., y^n)$ y para $latex M$ la inclusión $latex i$ se ve así:
$latex (y^1, ..., y^n) \mapsto (y^1, ..., y^n, 0,...,0)$
Donde claramente se ve que es un encaje , y por lo tanto la operación en $latex SL(n,\mathbb{R})$ también es diferenciable por ser un encaje en el grupo general lineal que consta de un polinomio.
Falta ver que el obtener el inverso también es suave.
Sea $latex \hat{\iota}: SL(n,\mathbb{R}) \rightarrow SL(n,\mathbb{R})$ el mapeo inverso, vamos a ver que es $latex C^\infty$, sea $latex i:SL(n,\mathbb{R}) \hookrightarrow GL(n,\mathbb{R})$ la inclusión y sea $latex \iota: SL(n,\mathbb{R}) \rightarrow SL(n,\mathbb{R})$ el mapeo inverso en $latex GL(n,\mathbb{R})$ (El cual sabemos que es diferenciable, recuerden que para invertir basta un número de operaciones finitas en la matriz que son sumas y multiplicaciones, pero aquí le quitamos una dimensión y tenemos que demostrar que también sigue siendo diferenciable). consideremos la composición de los dos mapeos $latex C^\infty$
$latex \iota \circ i: SL(n,\mathbb{R}) \xrightarrow{i} GL(n,\mathbb{R}) \xrightarrow{\iota} GL(n,\mathbb{R})$
Esto es $latex C^\infty$ ya que su imagen está contenida en la subvariedad $latex SL(n,\mathbb{R})$ que es regular por lo que el mapeo inducido $latex \hat{\iota}$ es $latex C^\infty$ el cual es un resultado básico de geometría diferencial , por lo tanto $latex SL(n,\mathbb{R})$ es un grupo de lie $latex \blacksquare$
En el siguiente post abordaremos el espacio tangente a la identidad de un grupo de Lie para darle estructura de álgebra.
Espero les haya gustado
Eduardo Ruiz Duarte (beck)
twitter: @toorandom
Thursday, June 26, 2014
Tuesday, June 24, 2014
Variedades
Quise volver a recapitular algo de las cosas más hermosas que he estudiado cuando llevé mi curso de geometría diferencial con el Dr. Gregor Weingart, a los físicos les gusta mucho porque con esto pueden medir cualquier cosa que tenga estructura de variedad y eso les sirve en astrofísica.
Para poder agarrar mejor este post te recomiendo le eches un vistazo a estas entradas
que publiqué anteriormente si comienzas a sentir que no entiendes mucho.
Teorema de la función inversa
Teorema de la función implícita
Espacios tangente en variedades y derivaciones
K-formas diferenciales (1 de 2)
K-formas diferenciales (2 de 2)
Empecemos tratando de recordar cosas.
Variedades diferenciales
Sabemos que para todo $latex m\in \mathbb{R}$, sea $latex \mathbb{R}^m$ el espacio vectorial $latex m$-dimensional equipado con la topología inducida por la métrica usual estándar que es la distancia $latex d(x,y)$ entre dos puntos $latex x,y\in \mathbb{R}^m$ dada por:
$latex d(x,y)=\sqrt{\displaystyle \sum_{i=1}^{m} (x_i-y_i)^2}$
En la práctica los casos usuales son $latex m=2,3$ pero en otras áreas de matemáticas y física el valor de $latex m$ puede ser más grande, en la teoría no hay ni por qué justificarlo.
También tenemos que para todo $latex n,r\in\mathbb{N}$ y un abierto $latex U$ de $latex \mathbb{R}^m$, denotamos por $latex C^r(U,\mathbb{R}^n)$ todas las funciones que son $latex r$ veces continuas diferenciables de $latex U$ a $latex \mathbb{R}^n$ , cuando hablamos de mapeos suaves $latex U \rightarrow \mathbb{R}^n$ nos referimos exactamente a los elementos (son funciones) de:
$latex C^\infty(U,\mathbb{R}^n)=\displaystyle \bigcap_{r=1}^\infty {C^r(U,\mathbb{R}^n)$
Entonces aquí ya tenemos todas las funciones suaves (infinitamente diferenciables) que van de un abierto a $latex \mathbb{R}^n$
Definición (Variedad Topológica, Carta): Sea $latex (M,\Tau)$ un espacio topológico Hausdorff (Que para dos puntos distintos del espacio puedes encontrar una vecindad de cada uno que no choca con la otra) que tenga base numerable, decimos que $latex M$ es una variedad topológica si existe un número natural $latex m$ y para todo punto $latex p\in M$ , una vecindad $latex U$ abierta de $latex p$ y un mapeo continuo $latex x:U\rightarrow \mathbb{R}^m$ que es un homeomorfismo sobreyectivo en su imagen $latex x(U)$ el cual es un abierto de $latex \mathbb{R}^m$
El par $latex (U,x)$ es llamado carta coordenada local de $latex M$ y $latex m$ es la dimensión y la denotamos en $latex M$ como $latex M^m$
Lo que decimos aquí, una variedad topológica $latex M$ es localmente homeomorfa a $latex \mathbb{R}^m$ para algún $latex m\in\mathbb{N}$.
Estructura diferencial
Vamos a darle estructura diferencial para poder comenzar a explotar la metrica
Definición (atlas) : Si $latex M$ es una variedad topológica , entonces un $latex C^{r}-atlas$ en $latex M$ es la colección:
$latex \mathcal{A}=\lbrace (U_\alpha, x_\alpha) \mid \alpha \in I\rbrace$
Es decir son todas las cartas locales definidas anteriormente que cubren todo $latex M$, es decir.
$latex M=\bigcup_\alpha U_\alpha$
Y para todo $latex \alpha,\beta\in I$ tenemos los correspondientes mapeos de transición:
$latex x_\beta \circ {x}_{\alpha}^{-1} \mid_{x_\alpha(U_\alpha \cap U_\beta)} : x_\alpha(U_\alpha \cap U_\beta) \rightarrow \mathbb{R}^m$
Son $latex r-veces$ diferenciables.
¿Esto qué significa?
Los mapeos de transición nos dan una manera de comparar dos cartas de átlases diferentes, para comparar esto, se compone una carta con la inversa de otra, pero esto podría no estar definido así que lo hacemos sólo en su intersección, eso es lo que ves en los subindices.
Esto lo podemos ver con el siguiente dibujo, espero se entienda.
.jpg)
Ejemplo:
Sea $latex \hat{\mathbb{C}}$ el plano complejo extendido dado por $latex \hat{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\cup \lbrace \infty \rbrace$ y sea $latex \mathbb{C}^{*}=\mathbb{C}\setminus \lbrace 0 \rbrace$, $latex U_0=\mathbb{C}$ y $latex U_\infty = \hat{\mathbb{C}} \setminus \lbrace 0 \rbrace$
Definimos la coordenadas locales:
$latex x_0:U_0\rightarrow \mathbb{C}$ y $latex x_\infty:U_\infty \rightarrow \mathbb{C}$ en $latex \hat{\mathbb{C}}$ por:
$latex x_0:z\mapsto z$
$latex x_\infty:w \mapsto 1/w$
Tenemos que de este atlas "chiquito" los correspondientes mapeso de transición:
$latex x_\infty \circ x_0^{-1}$ y $latex x_0\circ x_\infty^{-1}:\mathbb{C}^{*} \rightarrow \mathbb{C}^{*}$
Están dados ambos por $latex z\mapsto 1/z$ por lo que $latex \mathcal{A}=\lbrace (U_0,x_0),(U_\infty,x_\infty)$ es un $latex C^{\omega}$-atlas (analítico) en la esfera de Riemann $latex \hat{\mathbb{C}}$.
La variedad analítica $latex (\hat{\mathbb{C}},\mathcal{A})$ se le llama Esfera de Riemann.
También ya con esto es fácil intuir que el producto de dos variedades $latex M_1,M_2$ de clase $latex C^{r}$ y sea $latex M=M_1\times M_2$ el espacio producto equipado con la topología de Tychonoff
Entonces existe un atlas para $latex M$ que la hace una variedad diferenciable de clase $latex C^r$ con
$latex dim M = dim M_1 + dim M_2$
Dejaré esto por ahora aquí, luego continúamos con algo más profundo.
Para poder agarrar mejor este post te recomiendo le eches un vistazo a estas entradas
que publiqué anteriormente si comienzas a sentir que no entiendes mucho.
Teorema de la función inversa
Teorema de la función implícita
Espacios tangente en variedades y derivaciones
K-formas diferenciales (1 de 2)
K-formas diferenciales (2 de 2)
Empecemos tratando de recordar cosas.
Variedades diferenciales
Sabemos que para todo $latex m\in \mathbb{R}$, sea $latex \mathbb{R}^m$ el espacio vectorial $latex m$-dimensional equipado con la topología inducida por la métrica usual estándar que es la distancia $latex d(x,y)$ entre dos puntos $latex x,y\in \mathbb{R}^m$ dada por:
$latex d(x,y)=\sqrt{\displaystyle \sum_{i=1}^{m} (x_i-y_i)^2}$
En la práctica los casos usuales son $latex m=2,3$ pero en otras áreas de matemáticas y física el valor de $latex m$ puede ser más grande, en la teoría no hay ni por qué justificarlo.
También tenemos que para todo $latex n,r\in\mathbb{N}$ y un abierto $latex U$ de $latex \mathbb{R}^m$, denotamos por $latex C^r(U,\mathbb{R}^n)$ todas las funciones que son $latex r$ veces continuas diferenciables de $latex U$ a $latex \mathbb{R}^n$ , cuando hablamos de mapeos suaves $latex U \rightarrow \mathbb{R}^n$ nos referimos exactamente a los elementos (son funciones) de:
$latex C^\infty(U,\mathbb{R}^n)=\displaystyle \bigcap_{r=1}^\infty {C^r(U,\mathbb{R}^n)$
Entonces aquí ya tenemos todas las funciones suaves (infinitamente diferenciables) que van de un abierto a $latex \mathbb{R}^n$
Definición (Variedad Topológica, Carta): Sea $latex (M,\Tau)$ un espacio topológico Hausdorff (Que para dos puntos distintos del espacio puedes encontrar una vecindad de cada uno que no choca con la otra) que tenga base numerable, decimos que $latex M$ es una variedad topológica si existe un número natural $latex m$ y para todo punto $latex p\in M$ , una vecindad $latex U$ abierta de $latex p$ y un mapeo continuo $latex x:U\rightarrow \mathbb{R}^m$ que es un homeomorfismo sobreyectivo en su imagen $latex x(U)$ el cual es un abierto de $latex \mathbb{R}^m$
El par $latex (U,x)$ es llamado carta coordenada local de $latex M$ y $latex m$ es la dimensión y la denotamos en $latex M$ como $latex M^m$
Lo que decimos aquí, una variedad topológica $latex M$ es localmente homeomorfa a $latex \mathbb{R}^m$ para algún $latex m\in\mathbb{N}$.
Estructura diferencial
Vamos a darle estructura diferencial para poder comenzar a explotar la metrica
Definición (atlas) : Si $latex M$ es una variedad topológica , entonces un $latex C^{r}-atlas$ en $latex M$ es la colección:
$latex \mathcal{A}=\lbrace (U_\alpha, x_\alpha) \mid \alpha \in I\rbrace$
Es decir son todas las cartas locales definidas anteriormente que cubren todo $latex M$, es decir.
$latex M=\bigcup_\alpha U_\alpha$
Y para todo $latex \alpha,\beta\in I$ tenemos los correspondientes mapeos de transición:
$latex x_\beta \circ {x}_{\alpha}^{-1} \mid_{x_\alpha(U_\alpha \cap U_\beta)} : x_\alpha(U_\alpha \cap U_\beta) \rightarrow \mathbb{R}^m$
Son $latex r-veces$ diferenciables.
¿Esto qué significa?
Los mapeos de transición nos dan una manera de comparar dos cartas de átlases diferentes, para comparar esto, se compone una carta con la inversa de otra, pero esto podría no estar definido así que lo hacemos sólo en su intersección, eso es lo que ves en los subindices.
Esto lo podemos ver con el siguiente dibujo, espero se entienda.
Ejemplo:
Sea $latex \hat{\mathbb{C}}$ el plano complejo extendido dado por $latex \hat{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\cup \lbrace \infty \rbrace$ y sea $latex \mathbb{C}^{*}=\mathbb{C}\setminus \lbrace 0 \rbrace$, $latex U_0=\mathbb{C}$ y $latex U_\infty = \hat{\mathbb{C}} \setminus \lbrace 0 \rbrace$
Definimos la coordenadas locales:
$latex x_0:U_0\rightarrow \mathbb{C}$ y $latex x_\infty:U_\infty \rightarrow \mathbb{C}$ en $latex \hat{\mathbb{C}}$ por:
$latex x_0:z\mapsto z$
$latex x_\infty:w \mapsto 1/w$
Tenemos que de este atlas "chiquito" los correspondientes mapeso de transición:
$latex x_\infty \circ x_0^{-1}$ y $latex x_0\circ x_\infty^{-1}:\mathbb{C}^{*} \rightarrow \mathbb{C}^{*}$
Están dados ambos por $latex z\mapsto 1/z$ por lo que $latex \mathcal{A}=\lbrace (U_0,x_0),(U_\infty,x_\infty)$ es un $latex C^{\omega}$-atlas (analítico) en la esfera de Riemann $latex \hat{\mathbb{C}}$.
La variedad analítica $latex (\hat{\mathbb{C}},\mathcal{A})$ se le llama Esfera de Riemann.
También ya con esto es fácil intuir que el producto de dos variedades $latex M_1,M_2$ de clase $latex C^{r}$ y sea $latex M=M_1\times M_2$ el espacio producto equipado con la topología de Tychonoff
Entonces existe un atlas para $latex M$ que la hace una variedad diferenciable de clase $latex C^r$ con
$latex dim M = dim M_1 + dim M_2$
Dejaré esto por ahora aquí, luego continúamos con algo más profundo.
Monday, June 23, 2014
Función zeta de Riemann y probabilidad de que dos enteros sean primos relativos
Este post está motivado en que ya estoy de vacaciones y quería hacer algo divertido y también para alguien muy especial que le gusta mucho la probabilidad y estadística, ella sabrá quién es.
Otra motivación es que como siempre tengo problemas para dormir posiblemente por las grandes cantidades de café que introduzco a mi cuerpo, pero empecemos.
Deduciremos una probabilidad que involucra a $latex \pi$ e involucra a números primos que está íntimamente relacionado con el problema del milenio sin solución gracias a Riemann (Conjetura de Riemann sobre la función $latex \zeta$ que puedes ver aquí)
La pregunta es realmente, ¿cuál es la probabilidad de que dos enteros positivos menores que cierto $latex N$ sean primos relativos (no tengan factores en común más que 1)?
Por ejemplo, $latex (6,33)$ no son primos relativos porque $latex 6=3\cdot 2$ y $latex 33=11\cdot 3$ (comparten al $latex 3$)
pero por ejemplo $latex (14,15)$ son primos relativos porque no comparten factores no triviales y $latex (c,p)$ donde $latex c$ es cualquier entero y $latex p$ es un número primo.
Ahora para el 3, la probabilidad de manera similar de que no lo contenga es de $latex 1-\Big({\frac{1}{3}}\Big)^2}$
Ya que igualmente, "cada 3 números tienes un múltiplo de 3" , y así en general para todo primo $latex p$ tenemos.
Otra motivación es que como siempre tengo problemas para dormir posiblemente por las grandes cantidades de café que introduzco a mi cuerpo, pero empecemos.
Deduciremos una probabilidad que involucra a $latex \pi$ e involucra a números primos que está íntimamente relacionado con el problema del milenio sin solución gracias a Riemann (Conjetura de Riemann sobre la función $latex \zeta$ que puedes ver aquí)
La pregunta es realmente, ¿cuál es la probabilidad de que dos enteros positivos menores que cierto $latex N$ sean primos relativos (no tengan factores en común más que 1)?
Por ejemplo, $latex (6,33)$ no son primos relativos porque $latex 6=3\cdot 2$ y $latex 33=11\cdot 3$ (comparten al $latex 3$)
pero por ejemplo $latex (14,15)$ son primos relativos porque no comparten factores no triviales y $latex (c,p)$ donde $latex c$ es cualquier entero y $latex p$ es un número primo.
Esta demostración me gusta mucho, aquí la tienen.
Construcción:
Sean $latex x,y\in \mathbb{N}$ con $latex x,y>1$, como queremos que $latex x,y$ sean coprimos no deben tener ningún factor en común.
Empecemos facilito.
¿Cuál es la probabilidad de dos enteros positivos tengan al 2 como factor?
Bueno, la probabilidad de que un sólo número tenga al $latex 2$ como factor es $latex 1/2$ ya que basta que sea par, y esto sucede el 50% de las veces, esto implica que la probabilidad de que los dos tengan al $latex 2$ como factor es $latex (1/2)^2$
Bueno, la probabilidad de que un sólo número tenga al $latex 2$ como factor es $latex 1/2$ ya que basta que sea par, y esto sucede el 50% de las veces, esto implica que la probabilidad de que los dos tengan al $latex 2$ como factor es $latex (1/2)^2$
Entonces la probabilidad de que $latex \alpha,\beta$ NO tengan al 2 como factor es $latex 1-\Big({\frac{1}{2}}\Big)^2}$
Ahora para el 3, la probabilidad de manera similar de que no lo contenga es de $latex 1-\Big({\frac{1}{3}}\Big)^2}$
Ya que igualmente, "cada 3 números tienes un múltiplo de 3" , y así en general para todo primo $latex p$ tenemos.
Para cada $latex p$ cada $latex p$ numeros pasarás por un múltiplo de $latex p$ a eso nos referimos con la probabilidad de que nos toque a $latex p$ como factor es $latex \frac{1}{p}$.
Por lo tanto la probabilidad $latex P_{\alpha,\beta}$ de que dos enteros al azar $latex \alpha,\beta \in \mathbb{N}$ menores que cierto $latex N$ sean primos relativos es:
$latex P_{\alpha,\beta}=\displaystyle \prod_{p\in \mathbb{P}}{1-\frac{1}{p^2}}} =(1-\frac{1}{2^2})\cdot (1-\frac{1}{3^2})\cdot (1-\frac{1}{5^2})\cdot ...\cdot(1-\frac{1}{{p_n}^2})\cdot ...$ ***
Donde $latex p_n\in\mathbb{P}$ , la probabilidad se obtiene cuando multiplicas para todo número primo es decir cuando $latex n\rightarrow \infty$.
Donde $latex \mathbb{P}$ son todos los números primos, los multiplicamos todos ya que son sucesos probabilisticamente independientes.
Es decir, recuerda que la probabilidad de que sucedan dos eventos independientes $latex A$ y $latex B$ al mismo tiempo es en símbolos $latex P(A \wedge B)=P(A)P(B)$ , con independientes me refiero a que el evento $latex A$ no tenga cierta relación con el evento $latex B$ , y ¿por qué tener factores primos para cada primo son eventos independientes ? , fácil... porque los números son primos, ya que si no lo fueran, digamos la probabilidad de tener a $latex 6$ como factor es dependiente de tener a $latex 2$ y $latex 3$ como factor, pero como aquí son números primos, todos son disjuntos con respecto a la medida de probabilidad que mide tener factores primos y por definición los primos son únicos en este sentido.
Pero esto ¿qué? , es medio obvio... y no nos dice nada...
Vamos a desarrollar eso para llegar a un resultado sorprendente, primero hay que recordar esta serie de cálculo que tiene que ver con sumas en progresiones geométricas , toma $latex a\in \mathbb{R}$ con $latex \mid a \mid$ < $latex 1$
$latex \sum_{n=0}^{\infty} a^n = 1+a+a^2+... = \frac{1}{1-a}$ **
Por ejemplo si $latex a=1/7$
$latex \sum_{n=0}^{\infty}\Big (\frac{1}{7}\Big)^n=1+\frac{1}{7}+\frac{1}{7^2}+...=\frac{1}{1-\frac{1}{7}}=\frac{7}{6}\approx 1.1666$
De la fórmula ** mete $latex a=(1/2)^2$, y después voltea la fracción, es decir pon el denominador arriba y el numerador abajo, (esto podemos hacer porque ningún denominador es 0)
Entonces tenemos que el primer término de *** a lo podemos expandir con la fórmula ** (volteada) como:
$latex 1-\frac{1}{2^2}} = \frac{1}{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+...\frac{1}{2^{2k}}+...}$
Similarmente podemos desarrollar todos los términos de $latex P_{\alpha,\beta}$
$latex P_{\alpha,\beta}=(\frac{1}{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+...\frac{1}{2^{2k}}+...})\cdot(\frac{1}{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^4}+...\frac{1}{3^{2k}}+...})\cdot ...$
Observa cuidadosamente la ecuación anterior y fíjate que en los denominadores de los denominadores, están todos los posibles cuadrados perfectos de todos los números naturales, en todas sus combinaciones y sabores cuando $latex k\rightarrow \infty$ tenemos TODOS los cuadrados perfectos, por lo que esa suma horrible es lo mismo que la siguiente representacion
$latex P_{\alpha,\beta}=\frac{1}{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^2}}=\frac{1}{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}+...}$ , es bien sabido que esta serie en el denominador $latex \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$
Es sabido el resultado de esta serie si juegas con la expansión en series de $latex \frac{sen(x)}{x}$
o como el problema de Basilea
Por lo tanto, sabiendo esto, llegamos a este hermoso resultado en teoría analítica de números.
Teorema:
Sean $latex \alpha,\beta \in \mathbb{N}$ donde $latex \alpha,\beta$ < $latex N$ , entonces la probabilidad de que $latex \alpha$ y $latex \beta$ NO tengan factores en común (sean primos relativos) es: $latex P_{\alpha,\beta}=\frac{6}{\pi^2}\approx 0.6079...$
De hecho, es equivalente esto a la función $latex \zeta$ de Riemann evaluada en $latex 2$ , y la fómula *** que encontramos es justamente la representación con números primos de la función zeta de Riemann por Euler, pueden verlo aquí así como como la función zeta de Riemann en 2 $latex \zeta(2)$
Espero les haya gustado
Eduardo Ruíz Duarte
twitter @toorandom
Por lo tanto la probabilidad $latex P_{\alpha,\beta}$ de que dos enteros al azar $latex \alpha,\beta \in \mathbb{N}$ menores que cierto $latex N$ sean primos relativos es:
$latex P_{\alpha,\beta}=\displaystyle \prod_{p\in \mathbb{P}}{1-\frac{1}{p^2}}} =(1-\frac{1}{2^2})\cdot (1-\frac{1}{3^2})\cdot (1-\frac{1}{5^2})\cdot ...\cdot(1-\frac{1}{{p_n}^2})\cdot ...$ ***
Donde $latex p_n\in\mathbb{P}$ , la probabilidad se obtiene cuando multiplicas para todo número primo es decir cuando $latex n\rightarrow \infty$.
Donde $latex \mathbb{P}$ son todos los números primos, los multiplicamos todos ya que son sucesos probabilisticamente independientes.
Es decir, recuerda que la probabilidad de que sucedan dos eventos independientes $latex A$ y $latex B$ al mismo tiempo es en símbolos $latex P(A \wedge B)=P(A)P(B)$ , con independientes me refiero a que el evento $latex A$ no tenga cierta relación con el evento $latex B$ , y ¿por qué tener factores primos para cada primo son eventos independientes ? , fácil... porque los números son primos, ya que si no lo fueran, digamos la probabilidad de tener a $latex 6$ como factor es dependiente de tener a $latex 2$ y $latex 3$ como factor, pero como aquí son números primos, todos son disjuntos con respecto a la medida de probabilidad que mide tener factores primos y por definición los primos son únicos en este sentido.
Pero esto ¿qué? , es medio obvio... y no nos dice nada...
Vamos a desarrollar eso para llegar a un resultado sorprendente, primero hay que recordar esta serie de cálculo que tiene que ver con sumas en progresiones geométricas , toma $latex a\in \mathbb{R}$ con $latex \mid a \mid$ < $latex 1$
$latex \sum_{n=0}^{\infty} a^n = 1+a+a^2+... = \frac{1}{1-a}$ **
Por ejemplo si $latex a=1/7$
$latex \sum_{n=0}^{\infty}\Big (\frac{1}{7}\Big)^n=1+\frac{1}{7}+\frac{1}{7^2}+...=\frac{1}{1-\frac{1}{7}}=\frac{7}{6}\approx 1.1666$
De la fórmula ** mete $latex a=(1/2)^2$, y después voltea la fracción, es decir pon el denominador arriba y el numerador abajo, (esto podemos hacer porque ningún denominador es 0)
Entonces tenemos que el primer término de *** a lo podemos expandir con la fórmula ** (volteada) como:
$latex 1-\frac{1}{2^2}} = \frac{1}{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+...\frac{1}{2^{2k}}+...}$
Similarmente podemos desarrollar todos los términos de $latex P_{\alpha,\beta}$
$latex P_{\alpha,\beta}=(\frac{1}{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+...\frac{1}{2^{2k}}+...})\cdot(\frac{1}{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^4}+...\frac{1}{3^{2k}}+...})\cdot ...$
Observa cuidadosamente la ecuación anterior y fíjate que en los denominadores de los denominadores, están todos los posibles cuadrados perfectos de todos los números naturales, en todas sus combinaciones y sabores cuando $latex k\rightarrow \infty$ tenemos TODOS los cuadrados perfectos, por lo que esa suma horrible es lo mismo que la siguiente representacion
$latex P_{\alpha,\beta}=\frac{1}{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^2}}=\frac{1}{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}+...}$ , es bien sabido que esta serie en el denominador $latex \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$
Es sabido el resultado de esta serie si juegas con la expansión en series de $latex \frac{sen(x)}{x}$
o como el problema de Basilea
Por lo tanto, sabiendo esto, llegamos a este hermoso resultado en teoría analítica de números.
Teorema:
Sean $latex \alpha,\beta \in \mathbb{N}$ donde $latex \alpha,\beta$ < $latex N$ , entonces la probabilidad de que $latex \alpha$ y $latex \beta$ NO tengan factores en común (sean primos relativos) es: $latex P_{\alpha,\beta}=\frac{6}{\pi^2}\approx 0.6079...$
De hecho, es equivalente esto a la función $latex \zeta$ de Riemann evaluada en $latex 2$ , y la fómula *** que encontramos es justamente la representación con números primos de la función zeta de Riemann por Euler, pueden verlo aquí así como como la función zeta de Riemann en 2 $latex \zeta(2)$
Espero les haya gustado
Eduardo Ruíz Duarte
twitter @toorandom
Wednesday, June 18, 2014
Destrucción del lenguaje humano a través de nuevas falacias y mala argumentación
El lenguaje en la sociedad va cambiando, bien lo dice el Dr. Noam Chomsky en su libro "Piratas y emperadores" que muchos de los problemas sociopolíticos y diplomáticos que generan guerras y conflicto en general tienen raíces muy profundas en un mal uso del lenguaje (semántica, pragmalingüistica), llegando a tener que inventar palabras y expresiones que conllevan a argumentos falaces y al final a mal entender ciertas situaciones que se vuelven negativas para alguien, todo esto debido a la naturaleza humana.
Este post pretende mostrar cierto tipo de falacias que creo que nos están invadiendo últimamente y mostrar el hecho de que correlación en sucesos estadísticos no implica causalidad entre ellos.
Como muchos ya saben una falacia es una argumentación que parecería verdadera pero no lo es, por ejemplo:
"Mujeres que usan ropa en colores obscuros más propensas a cáncer que hombres"
Explicación:
Las mujeres en tonos obscuros de ropa estadísticamente son más depresivas, por lo que su cantidad de endorfinas hace que haya menor producción energética celular y por lo tanto daño en el ADN mitocontrial generando deficiencias en los procesos de respiración celular como lo es en el ciclo de Krebs, haciendo células cada vez más ineficientes.
Por otro lado los hombres con ropa obscura estadísticamente gozan de un buen estatus social y tienden a ser más felices y menos suceptibles a enfermedades debido a sus altos niveles de serotonina y dopamina, también por razones culturales un estudio en X universidad arrojó que las mujeres los encuentran más atractivos por lo que su vida sexual es más activa fomentando la oxitocina en su cuerpo, éstas sustancias son el gran enemigo del cáncer a nivel químico.
Obvio lo anterior es una completa idiotez, pero salió de mi mente sólo juntando ciertas ideas que "localmente" son verdaderas pero globalmente son una estupidez, la mayoría de la gente lo creería si éste lo ve escrito en alguna revista. Está de moda este tipo de "investigaciones" por Universidades muy renombradas como Stanford, Harvard u Oxford que dicen que hicieron este tipo de estudios pero luego son mal interpretados por revistas de "ciencia", y como me dijo un amigo... también está de moda ser científico en las ciencias sociales y las humanidades... y a veces tienen una metodología incorrecta a la hora de argumentar porque no saben que:
Correlación NO implica Causalidad
Esto ¿qué significa?... que si los datos de ciertos estudios presentan un comportamiento similar en sus gráficas no significa que alguno sea causa de otro... por ejemplo vean esta gráfica tomada de esta excelente página http://www.tylervigen.com
Divorcios en el estado de Maine, EEUU VS Consumo de margarina per cápita de los gringos
Esta gráfica muestra una correlación de más de 0.99:
Las argumentaciones como la estupidez que leyeron hace rato implicarían que como están íntimamente correlacionados, deberán ser causa uno del otro.
Obvio este tipo de argumentaciones se vuelven una verdad para un gran porcentaje de la gente sin si quiera ver la verdadera publicación de la investigación, que quizá está mal interpretada por la revista de divulgación tipo "muy interesante" o "selecciones", y esa verdad viene respaldada por una falacia ad hominem, ad autoritarum (sólo porque X lo dice es verdad, sólo porque Y persona es experta en Z cosa tiene que ser verdadero) o simplemente por creer que la correlación implica causalidad.
Hay que evitar creer en esto porque después se vuelve una mentira masiva y llegar a la fuente, como tema de conversación puede ser interesante o incluso chistoso... pero si te gusta el formalismo o un debate serio no creo que sea conveniente usar estos argumento, si leen a Chomsky verán que poco a poco ir enfermando al cerebro con tantas cosas falsas puede tener consecuencias negativas.
Ahora por otro lado creo en el nacimiento de otro tipo de falacias, en la jerga nueva de internet nacen otras expresiones que se usan como preámbulo antes de contra argumentar a alguien algo de lo cual no estamos de acuerdo, dos ejemplos son:
IMHO (In my humble opinion, En mi humilde opinion)
AFAIK (As far as I know, hasta donde yo sé)
Et cétera...
Este tipo de expresiones desde mi punto de vista provoca 2 falacias.
1. El hacer creer que como su punto de vista se localiza supuestamente en un estado neutral de pensamiento, la argumentación deberá ser libre de prejucios sólo con poner la nueva palabra antes que el argumento (ésta palabra no aporta nada a la idea).
2. Hacer creer a la contraparte que la persona por estar siendo "humilde" su proposición deberá ser verdadera.
Lo enfatizo porque he observado que la gente se prende cuando no se utilizan este tipo de preámbulos a la hora de contra-argumentar, a veces para mostrar cierta educación y evitar llegar a verse déspota, sabelotodo o simplemente mamón, pero ése tipo de cosas son las que nos critican algunos Españoles, Argentinos y otros, nos disculpamos demasiado cuando hablamos, seamos directos con la idea... si tu argumento es correcto no necesitas disculparte antes de hablar.
También creo que toda la retórica política es bazofia y está repleta de esto, las ideas se hacen complicadas y generalizadas para poder interpretarse de una infinidad de maneras haciendo imposible el hecho de transmitir la idea, la cual es la más importante para transmitir como fin del lenguaje.
Hay un libro en línea "Un libro ilustrado de los malos argumentos" que lo pueden leer en 15 minutos, recomendación de un gran amigo mío Omar Lara Salazar, es muy corto y tiene dibujos, creo que debería de ser un libro obligatorio para los niños en 5to o 6to de primaria que les recomiendo mucho, es para entender las falacias más usuales y que cada vez que debatas tanto tú como la otra persona aprendan uno del otro y no sólo desechen la información.
https://bookofbadarguments.com/es/
Espero les haya gustado el post, opinen.
(IMHO) In my humble opinion
Eduardo Ruíz Duarte
twitter: @toorandom
Este post pretende mostrar cierto tipo de falacias que creo que nos están invadiendo últimamente y mostrar el hecho de que correlación en sucesos estadísticos no implica causalidad entre ellos.
Como muchos ya saben una falacia es una argumentación que parecería verdadera pero no lo es, por ejemplo:
"Mujeres que usan ropa en colores obscuros más propensas a cáncer que hombres"
Explicación:
Las mujeres en tonos obscuros de ropa estadísticamente son más depresivas, por lo que su cantidad de endorfinas hace que haya menor producción energética celular y por lo tanto daño en el ADN mitocontrial generando deficiencias en los procesos de respiración celular como lo es en el ciclo de Krebs, haciendo células cada vez más ineficientes.
Por otro lado los hombres con ropa obscura estadísticamente gozan de un buen estatus social y tienden a ser más felices y menos suceptibles a enfermedades debido a sus altos niveles de serotonina y dopamina, también por razones culturales un estudio en X universidad arrojó que las mujeres los encuentran más atractivos por lo que su vida sexual es más activa fomentando la oxitocina en su cuerpo, éstas sustancias son el gran enemigo del cáncer a nivel químico.
Obvio lo anterior es una completa idiotez, pero salió de mi mente sólo juntando ciertas ideas que "localmente" son verdaderas pero globalmente son una estupidez, la mayoría de la gente lo creería si éste lo ve escrito en alguna revista. Está de moda este tipo de "investigaciones" por Universidades muy renombradas como Stanford, Harvard u Oxford que dicen que hicieron este tipo de estudios pero luego son mal interpretados por revistas de "ciencia", y como me dijo un amigo... también está de moda ser científico en las ciencias sociales y las humanidades... y a veces tienen una metodología incorrecta a la hora de argumentar porque no saben que:
Correlación NO implica Causalidad
Esto ¿qué significa?... que si los datos de ciertos estudios presentan un comportamiento similar en sus gráficas no significa que alguno sea causa de otro... por ejemplo vean esta gráfica tomada de esta excelente página http://www.tylervigen.com
Divorcios en el estado de Maine, EEUU VS Consumo de margarina per cápita de los gringos
Esta gráfica muestra una correlación de más de 0.99:
Las argumentaciones como la estupidez que leyeron hace rato implicarían que como están íntimamente correlacionados, deberán ser causa uno del otro.
Obvio este tipo de argumentaciones se vuelven una verdad para un gran porcentaje de la gente sin si quiera ver la verdadera publicación de la investigación, que quizá está mal interpretada por la revista de divulgación tipo "muy interesante" o "selecciones", y esa verdad viene respaldada por una falacia ad hominem, ad autoritarum (sólo porque X lo dice es verdad, sólo porque Y persona es experta en Z cosa tiene que ser verdadero) o simplemente por creer que la correlación implica causalidad.
Hay que evitar creer en esto porque después se vuelve una mentira masiva y llegar a la fuente, como tema de conversación puede ser interesante o incluso chistoso... pero si te gusta el formalismo o un debate serio no creo que sea conveniente usar estos argumento, si leen a Chomsky verán que poco a poco ir enfermando al cerebro con tantas cosas falsas puede tener consecuencias negativas.
Ahora por otro lado creo en el nacimiento de otro tipo de falacias, en la jerga nueva de internet nacen otras expresiones que se usan como preámbulo antes de contra argumentar a alguien algo de lo cual no estamos de acuerdo, dos ejemplos son:
IMHO (In my humble opinion, En mi humilde opinion)
AFAIK (As far as I know, hasta donde yo sé)
Et cétera...
Este tipo de expresiones desde mi punto de vista provoca 2 falacias.
1. El hacer creer que como su punto de vista se localiza supuestamente en un estado neutral de pensamiento, la argumentación deberá ser libre de prejucios sólo con poner la nueva palabra antes que el argumento (ésta palabra no aporta nada a la idea).
2. Hacer creer a la contraparte que la persona por estar siendo "humilde" su proposición deberá ser verdadera.
Lo enfatizo porque he observado que la gente se prende cuando no se utilizan este tipo de preámbulos a la hora de contra-argumentar, a veces para mostrar cierta educación y evitar llegar a verse déspota, sabelotodo o simplemente mamón, pero ése tipo de cosas son las que nos critican algunos Españoles, Argentinos y otros, nos disculpamos demasiado cuando hablamos, seamos directos con la idea... si tu argumento es correcto no necesitas disculparte antes de hablar.
También creo que toda la retórica política es bazofia y está repleta de esto, las ideas se hacen complicadas y generalizadas para poder interpretarse de una infinidad de maneras haciendo imposible el hecho de transmitir la idea, la cual es la más importante para transmitir como fin del lenguaje.
Hay un libro en línea "Un libro ilustrado de los malos argumentos" que lo pueden leer en 15 minutos, recomendación de un gran amigo mío Omar Lara Salazar, es muy corto y tiene dibujos, creo que debería de ser un libro obligatorio para los niños en 5to o 6to de primaria que les recomiendo mucho, es para entender las falacias más usuales y que cada vez que debatas tanto tú como la otra persona aprendan uno del otro y no sólo desechen la información.
https://bookofbadarguments.com/es/
Espero les haya gustado el post, opinen.
(IMHO) In my humble opinion
Eduardo Ruíz Duarte
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Tuesday, June 17, 2014
Matemáticas del sonido, ondas, oscilaciones, construyendo el concepto de vibración
Recientemente me he tenido que meter a un poco de temas de análisis de fourier y cosas de señales de audio, por lo que se me hizo justo el tener que regresar algo del conocimiento a mi blog.
Pero pues aquí siempre trato de poner lo que sea más interesante para el público, tratando de no llegar a cosas muy abstractas (aunque a veces no me aguanto) , pero pues hoy lo que haremos es tratar de ver el por qué el sonido se ve como una onda.
Todo el mundo hemos escuchado que el sonido es debido a vibraciones, es decir, la música está compuesta de vibraciones.
Por ejemplo los músicos (y los aficionados como yo) utilizamos una cosa que se llama diapasón, el cual es un como tenedor que al golpearlo generará vibraciones que harán que aire se mueva y producirá una onda, pero... ¿por qué digo esto? , ¿cuál onda? , ¿qué forma tiene la onda?
Este es un diapasón por si no lo conocen, generalmente vibra a una frecuencia de 440HZ para producir una nota musical que se llama "LA" (4) , eso de los 440 HZ es simplemente que en 1 segundo produce 440 sucesos que trataremos de explicar ahora mismo.
Entonces ¿Por qué vibra el diapasón?
La respuesta es con pura física y matemática simple, cuando le pegas a un diapasón, éste se deforma y después existe otra fuerza que lo regresa a su posición original.
Pero esto tiene inercia y también se deforma en la posición contraria y regresa y otra vez a la posición original, et cétera... y continúa en el tiempo hasta que la oscilación eventualmente termina.
Mientras el diapasón está oscilando, éste está empujando al aire, la presión de las ondas es lo que llega a nuestro oído.
El resultado del sonido depende de dos factores, es el balance de la fuerza que hace que vuelva a su posición original para estar en equilibrio y la inercia que hace que se doble hacia el otro lado y regrese y se doble, es decir que se "exceda" la deformación de manera contraria.
Veamos este dibujito, que nos muestra a qué me refiero con la deformación y la posición del diapasón.
Mi meta en este post es hacer ver y explicar cómo vibra el diapasón cuando lo golpeas
El desplazamiento del diapazón al golpearlo lo denotaremos por $latex x$ , con propósitos de hacer esto lo más simple posible, supón que la fuerza que tiende a dejar el diapasón en su posición original es PROPORCIONAL al desplazamiento del diapazón al golpearlo... es decir a $latex x$, claramente esta fuerza es negativa ya que es la fuerza contraria con la que le pegamos al diapazón con el martillo.
Entonces lo que tenemos aquí es que cuando el diapasón es empujado en la dirección positiva $latex x$ la fuerza que estamos tratando de modelar lo "jala" en la dirección negativa $latex -x$ por lo tanto:
$latex F=-kx$
Donde $latex F$ es la fuerza de restauración del diapasón (también le podemos decir elasticidad ya que mide la fuera en que deformándose vuelve a su posición original) y $latex k$ es la variable de proporcionalidad que acabamos de explicar, y es negativa también por lo que acabamos de explicar.
Pero todos en la secundaria aprendimos la segunda ley de Newton, que nos dice que "Fuerza es igual a masa por aceleración" $latex F=ma$ donde $latex m$ es la masa del diapasón y $latex a$ es la aceleración.
Entonces tenemos ahora que $latex -kx = ma$
Como nosotros queremos saber la mecánica del diapasón, , lo único que hemos derivado es la relación que hay entre la posición y la aceleración... parecería que es suficiente, pero ¿dónde están las ondas? , ¿dónde están las frecuencias?
Recordemos que también en la prepa nos enseñaron que en términos de física la segunda derivada del desplazamiento con respecto al tiempo es la aceleración, es decir en símbolos, podemos reescribir la ecuación $latex -kx=ma$ sustituyendo la aceleración y despejando:
$latex \frac{d^{2}x}{dt^2}=-(kx/m)=-\frac{k}{m}x$
Esta ecuación ya se ve con más forma, tenemos que resolverla ya que de hecho esta ecuación ya nos da movimiento
Lo que nos dice esta ecuación es que necesitamos una función $latex x(t)$ (que depende del tiempo) que sea proporcional a su segunda derivada.
En otras palabras... queremos encontrar una función $latex x(t)$ que derivándola dos veces nos de la misma función $latex x(t)$ multiplicada por $latex -\frac{k}{m}$ es decir nos dé $latex -\frac{k}{m}x(t)$
¿Creo que ya vamos viendo qué onda no?, para aquellos que llevaron cálculo es fácil intuir cuál es esta función.
En la prepa aprendimos que:
$latex \frac{d}{dt}sen(\omega t) = \omega cos(\omega t)$
y que:
$latex \frac{d}{dt}cos(\omega t) = -\omega sen(\omega t)$
Aquí a este $latex \omega$ algunos lo conocieron como frecuencia de oscilación, ya que el variar esta $latex \omega$ cambia el periodo del seno y coseno, es decir, modificar esta $latex \omega$ hace que salgan más o menos crestas y valles en la onda en un mismo intervalo de tiempo.
Si calculamos la aceleración de $latex sen(\omega t)$ y de $latex cos(\omega t)$ tenemos que:
$latex \frac{d^2}{dt^2}sen(\omega t)=-\omega^2 sen(\omega t)$
y
$latex \frac{d^2}{dt^2}cos(\omega t)=-\omega^2 cos(\omega t)$
Donde pueden ver que hemos encontrado la función (las funciones) que cumplen el diapasón, ya que su segunda derivada nos da si misma por una constante negativa.
Pero realmente la solución en términos prácticos es única, el coseno y el seno no son más que una versión "atrasada" del otro por lo que generalmente la solución general a este problema se le llama sinusoide.
Para que la ecuación del diapasón esté completa, basta sólamente observar que nuestra primera relación se satisface perfectamente si $latex \frac{-k}{m}=-\omega^2$ eso quiere decir que:
$latex \omega=\sqrt{k/m}$
Esta ecuación que acabamos de construir es la del movimiento armónico simple, y en muchos problemas de oscilación aparece como primera aproximación, por ejemplo un péndulo o en cualquier situación donde la fuerza de restauración del objeto es proporcional al desplazamiento que provocó la fuerza en él.
Ahora... observando que $latex \omega=\sqrt{k/m}$ recuerda que $latex \omega$ es la frecuencia de la oscilación... te dice qué tan rápido el diapasón está vibrando... cuando el tiempo $latex t$ está cambiando por $latex 2\pi/\omega$ el argumento $latex \omega t$ cambia por $latex 2\pi$ radianes, y el seno o coseno pasa por un ciclo completo, esto quiere decir que el periodo de la vibración es $latex 2\pi/\omega$.
Entre más grande sea la frecuencia $latex \omega$ más chico será el periodo (inversamente proporcionales).
Recuerden que $latex m$ es la masa del diapasón, y si está es muy grande entonces la frecuencia será menor (jueguen con los números) , lo cual confirma lo intuitivo de la vida, sabemos que los objetos con mas masa vibran menos, y se oyen menos.
También la misma ecuación $latex \omega=\sqrt{k/m}$ nos dice que entre más grande sea $latex k$ que es la constante de restauración, es más grande la frecuencia de la vibración... esto también hace sentido, piensen en la cuerda de una guitarra.
En pocas palabras lo que nos dice todo esto es que la frecuencia de una vibración es proporcional a la raíz cuadrada de $latex k/m$ es decir para doblar la frecuencia de un diapasón, necesitaríamos 4 veces más masa.
Esta proporcionalidad entre frecuencia y oscilación con la raíz cuadrada de la razón entre la masa y la elasticidad (k) y la medida de la inercia es un fenómeno muy general que sucede en muchísimas situaciónes y es muy importante en física.
Como dijimos hace rato el coseno y el seno son lo mismo pero uno más atrasado que el otro... de hecho
$latex cos(\omega t)=sen(\omega t + \pi/2)$
Es decir... el seno y el coseno difieren en fase por el ángulo $latex \pi/2$
y verás que siempre obtendrás $latex -\omega^2 x(t)$ para cualquier valor de $latex \phi$
La fase relativa $latex \phi$ realmente es arbitraria y está determinada por la posición del origen del tiempo, para ver esto , sólamente desplaza el tiempo por un factor $latex \tau$ y verás a que llegas a la misma $latex \phi$ , en símbolos
$latex sen[\omega(t+\tau)]=sen[\omega t + \omega \tau ] = sen[\omega t + \phi]$
Esta trivialidad sólo es para mostrar que el recorrer el tiempo por $latex \tau$ resulta en recorrer por un arbitrario $latex \phi=\omega \tau$, es decir al momento de desplazar el tiempo siempre TODAS las sinusoides tienen la misma FORMA.
Matemáticamente es que el conjunto de todos los sinusoides en una frecuencia física está cerrado bajo desplazamiento de tiempo, si lo vemos en su gráfica vemos que la forma de un sinusoide siempre es la misma sin importar cuándo la observemos, los sinusoides en la misma frecuencia también están cerrados bajo adición y eso lo veremos después que es el principio de todo el análisis de señales y de mostrar que toda señal es suma de senos y cosenos.
Espero les haya servido
Eduardo Ruiz Duarte (beck)
twitter: @toorandom
Pero pues aquí siempre trato de poner lo que sea más interesante para el público, tratando de no llegar a cosas muy abstractas (aunque a veces no me aguanto) , pero pues hoy lo que haremos es tratar de ver el por qué el sonido se ve como una onda.
Todo el mundo hemos escuchado que el sonido es debido a vibraciones, es decir, la música está compuesta de vibraciones.
Por ejemplo los músicos (y los aficionados como yo) utilizamos una cosa que se llama diapasón, el cual es un como tenedor que al golpearlo generará vibraciones que harán que aire se mueva y producirá una onda, pero... ¿por qué digo esto? , ¿cuál onda? , ¿qué forma tiene la onda?
Este es un diapasón por si no lo conocen, generalmente vibra a una frecuencia de 440HZ para producir una nota musical que se llama "LA" (4) , eso de los 440 HZ es simplemente que en 1 segundo produce 440 sucesos que trataremos de explicar ahora mismo.
Entonces ¿Por qué vibra el diapasón?
La respuesta es con pura física y matemática simple, cuando le pegas a un diapasón, éste se deforma y después existe otra fuerza que lo regresa a su posición original.
Pero esto tiene inercia y también se deforma en la posición contraria y regresa y otra vez a la posición original, et cétera... y continúa en el tiempo hasta que la oscilación eventualmente termina.
Mientras el diapasón está oscilando, éste está empujando al aire, la presión de las ondas es lo que llega a nuestro oído.
El resultado del sonido depende de dos factores, es el balance de la fuerza que hace que vuelva a su posición original para estar en equilibrio y la inercia que hace que se doble hacia el otro lado y regrese y se doble, es decir que se "exceda" la deformación de manera contraria.
Veamos este dibujito, que nos muestra a qué me refiero con la deformación y la posición del diapasón.
Mi meta en este post es hacer ver y explicar cómo vibra el diapasón cuando lo golpeas
El desplazamiento del diapazón al golpearlo lo denotaremos por $latex x$ , con propósitos de hacer esto lo más simple posible, supón que la fuerza que tiende a dejar el diapasón en su posición original es PROPORCIONAL al desplazamiento del diapazón al golpearlo... es decir a $latex x$, claramente esta fuerza es negativa ya que es la fuerza contraria con la que le pegamos al diapazón con el martillo.
Entonces lo que tenemos aquí es que cuando el diapasón es empujado en la dirección positiva $latex x$ la fuerza que estamos tratando de modelar lo "jala" en la dirección negativa $latex -x$ por lo tanto:
$latex F=-kx$
Donde $latex F$ es la fuerza de restauración del diapasón (también le podemos decir elasticidad ya que mide la fuera en que deformándose vuelve a su posición original) y $latex k$ es la variable de proporcionalidad que acabamos de explicar, y es negativa también por lo que acabamos de explicar.
Pero todos en la secundaria aprendimos la segunda ley de Newton, que nos dice que "Fuerza es igual a masa por aceleración" $latex F=ma$ donde $latex m$ es la masa del diapasón y $latex a$ es la aceleración.
Entonces tenemos ahora que $latex -kx = ma$
Como nosotros queremos saber la mecánica del diapasón, , lo único que hemos derivado es la relación que hay entre la posición y la aceleración... parecería que es suficiente, pero ¿dónde están las ondas? , ¿dónde están las frecuencias?
Recordemos que también en la prepa nos enseñaron que en términos de física la segunda derivada del desplazamiento con respecto al tiempo es la aceleración, es decir en símbolos, podemos reescribir la ecuación $latex -kx=ma$ sustituyendo la aceleración y despejando:
$latex \frac{d^{2}x}{dt^2}=-(kx/m)=-\frac{k}{m}x$
Esta ecuación ya se ve con más forma, tenemos que resolverla ya que de hecho esta ecuación ya nos da movimiento
Lo que nos dice esta ecuación es que necesitamos una función $latex x(t)$ (que depende del tiempo) que sea proporcional a su segunda derivada.
En otras palabras... queremos encontrar una función $latex x(t)$ que derivándola dos veces nos de la misma función $latex x(t)$ multiplicada por $latex -\frac{k}{m}$ es decir nos dé $latex -\frac{k}{m}x(t)$
¿Creo que ya vamos viendo qué onda no?, para aquellos que llevaron cálculo es fácil intuir cuál es esta función.
En la prepa aprendimos que:
$latex \frac{d}{dt}sen(\omega t) = \omega cos(\omega t)$
y que:
$latex \frac{d}{dt}cos(\omega t) = -\omega sen(\omega t)$
Aquí a este $latex \omega$ algunos lo conocieron como frecuencia de oscilación, ya que el variar esta $latex \omega$ cambia el periodo del seno y coseno, es decir, modificar esta $latex \omega$ hace que salgan más o menos crestas y valles en la onda en un mismo intervalo de tiempo.
Si calculamos la aceleración de $latex sen(\omega t)$ y de $latex cos(\omega t)$ tenemos que:
$latex \frac{d^2}{dt^2}sen(\omega t)=-\omega^2 sen(\omega t)$
y
$latex \frac{d^2}{dt^2}cos(\omega t)=-\omega^2 cos(\omega t)$
Donde pueden ver que hemos encontrado la función (las funciones) que cumplen el diapasón, ya que su segunda derivada nos da si misma por una constante negativa.
Pero realmente la solución en términos prácticos es única, el coseno y el seno no son más que una versión "atrasada" del otro por lo que generalmente la solución general a este problema se le llama sinusoide.
Para que la ecuación del diapasón esté completa, basta sólamente observar que nuestra primera relación se satisface perfectamente si $latex \frac{-k}{m}=-\omega^2$ eso quiere decir que:
$latex \omega=\sqrt{k/m}$
Esta ecuación que acabamos de construir es la del movimiento armónico simple, y en muchos problemas de oscilación aparece como primera aproximación, por ejemplo un péndulo o en cualquier situación donde la fuerza de restauración del objeto es proporcional al desplazamiento que provocó la fuerza en él.
Entre más grande sea la frecuencia $latex \omega$ más chico será el periodo (inversamente proporcionales).
Recuerden que $latex m$ es la masa del diapasón, y si está es muy grande entonces la frecuencia será menor (jueguen con los números) , lo cual confirma lo intuitivo de la vida, sabemos que los objetos con mas masa vibran menos, y se oyen menos.
También la misma ecuación $latex \omega=\sqrt{k/m}$ nos dice que entre más grande sea $latex k$ que es la constante de restauración, es más grande la frecuencia de la vibración... esto también hace sentido, piensen en la cuerda de una guitarra.
En pocas palabras lo que nos dice todo esto es que la frecuencia de una vibración es proporcional a la raíz cuadrada de $latex k/m$ es decir para doblar la frecuencia de un diapasón, necesitaríamos 4 veces más masa.
Esta proporcionalidad entre frecuencia y oscilación con la raíz cuadrada de la razón entre la masa y la elasticidad (k) y la medida de la inercia es un fenómeno muy general que sucede en muchísimas situaciónes y es muy importante en física.
Como dijimos hace rato el coseno y el seno son lo mismo pero uno más atrasado que el otro... de hecho
$latex cos(\omega t)=sen(\omega t + \pi/2)$
Es decir... el seno y el coseno difieren en fase por el ángulo $latex \pi/2$
Es fácil ver diferenciando que la ecuación que calculamos al principio:
$latex \frac{d^{2}x}{dt^2}=-(kx/m)=-\frac{k}{m}x$
Se satisface con seno o coseno en cualquier fase, sólo deriva dos veces:
$latex x(t)=sen(\omega t+\phi)$
y verás que siempre obtendrás $latex -\omega^2 x(t)$ para cualquier valor de $latex \phi$
La fase relativa $latex \phi$ realmente es arbitraria y está determinada por la posición del origen del tiempo, para ver esto , sólamente desplaza el tiempo por un factor $latex \tau$ y verás a que llegas a la misma $latex \phi$ , en símbolos
$latex sen[\omega(t+\tau)]=sen[\omega t + \omega \tau ] = sen[\omega t + \phi]$
Esta trivialidad sólo es para mostrar que el recorrer el tiempo por $latex \tau$ resulta en recorrer por un arbitrario $latex \phi=\omega \tau$, es decir al momento de desplazar el tiempo siempre TODAS las sinusoides tienen la misma FORMA.
Matemáticamente es que el conjunto de todos los sinusoides en una frecuencia física está cerrado bajo desplazamiento de tiempo, si lo vemos en su gráfica vemos que la forma de un sinusoide siempre es la misma sin importar cuándo la observemos, los sinusoides en la misma frecuencia también están cerrados bajo adición y eso lo veremos después que es el principio de todo el análisis de señales y de mostrar que toda señal es suma de senos y cosenos.
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Eduardo Ruiz Duarte (beck)
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Monday, June 02, 2014
Tipos de infinitos (grandes y chicos), numerabilidad, axioma de elección y paradojas
Nota: Si estas en tablet o teléfono para visualizar mejor los símbolos haz click aquí
Pregunta para reflexionar antes de empezar este post.
¿Un objeto matemático existe sólo si existe un algoritmo que lo pueda construir explícitamente o sólamente existe si la suposición de su existencia no conlleva a contradicciones a pesar de que no podamos encontrar jamás un ejemplo?
Cardinalidad (tamaño) de conjuntos, numerable y no numerable
Ahora veremos un tema que es muy importante en las matemáticas, el cual desde mi punto de vista , dividieron a los matemáticos, sabemos que los números enteros $latex \mathbb{Z}=\lbrace ...,-2,-1,0,1,2,...\rbrace$ y los números reales $latex \mathbb{R}$ son infinitos, vamos a ver que el infinito de los reales es estrictamente más grande que el infinito de los enteros, después veremos al axioma de elección, el cual aplicado a colecciones infinitas de conjuntos implica resultados paradójicos que pueden llegar a ser sorprendentes.
Definición: Un conjunto A es de cardinalidad finita $latex n$ si existe una función biyectiva del conjunto $latex \lbrace 1,2,3,...,n\rbrace$ con A.
Decimos que un conjunto A es numerable infinito si hay una función biyectiva con el conjunto $latex \mathbb{N}=\lbrace 1,2,3,... \rbrace$, un conjunto infinito numerable o finito se le dice numerable
Un conjunto A es no numerable infinito si no es vacío y no es numerable
Esta definición ya nos permite comenzar a hacer cosas, por ejemplo, si tenemos el conjunto de todos los enteros $latex \mathbb{Z}=\lbrace ...,-2,-1,0,1,2,...\rbrace$ y el conjunto de los naturales con el 0, llamémosle $latex A=\lbrace 0,1,2,3,...\rbrace$
Ejemplo: comparando los enteros negativos con positivos con los enteros positivos.
¿Cuál conjunto es más grande?
Aquí nos topamos con un concepto que deja de ser intuitivo, en primera instancia uno está contenido dentro de otro $latex A\subset \mathbb{Z}$ pero no al revés.
Pero imaginen una fiesta donde hay $latex n$ mujeres y $latex m$ hombres.
¿cómo podemos saber si todos podrán bailar con alguien del sexo opuesto en una canción?
Una opción sería contarlos y ver si $latex n=m$ la otra opción es asignarles una pareja y ver si nadie se queda sin bailar.
La segunda opción es la que equivale a la definición, necesitamos encontrar una función, y si a todas las mujeres les toca un hombre y sólo un hombre entonces no habrá duda que el conjunto de mujeres y hombres mide lo mismo ya que todos tienen una pareja y nadie se queda solo.
Para nuestro ejemplo imaginen esta regla de correspondencia:
$latex A$ $latex \mathbb{Z}$
$latex 0\mapsto 0$
$latex 1\mapsto -1$
$latex 2\mapsto +1$
$latex 3\mapsto -2$
$latex 4\mapsto +2$
$latex 5\mapsto -3$
..
..
$latex 2n$ $latex \mapsto n$
$latex 2n+1$ $latex \mapsto -(n+1)$
En resumen, asociamos pares de $latex A$ con positivos en $latex \mathbb{Z}$ e impares de $latex A$ con negativos de $latex \mathbb{Z}$ y ambos $latex 0$ en $latex A$ y $latex \mathbb{Z}$ los ponemos en la misma pareja.
A mas detalle:
Es decir, a la fiesta asociamos el 0 de $latex A$ con el 0 de $latex \mathbb{Z}$
y a los demás asociamos que si el elemento $latex x\in A$ es par de la forma $latex x=2n$ entonces le asociamos $latex n\in \mathbb{Z}$, y si $latex x \in A$ es impar de la forma $latex x=2n+1$ entonces le asociamos $latex -(n+1)$ lo que nos hace que todos tengan una sola pareja y nos define una función biyectiva de $latex A$ y $latex \mathbb{Z}$ por lo que los enteros positivos comparados con los enteros positivos Y negativos tienen el mismo tamaño.
Ahora , también tenemos que el conjunto de todas las fracciones (es decir los números racionales) , TAMBIÉN es numerable, es decir que se puede poner en correspondencia con $latex \mathbb{N}$ , el que se pueda poner en correspondencia con $latex \mathbb{N}$ imaginen que es como poderles poner una etiqueta a los elementos a comparar y cubrir TODOS los elementos con los números naturales.
Entonces lo que tenemos que encontrar... es una manera de poder etiquetar con los naturales al conjunto:
$latex \mathbb{Q}=\lbrace \frac{a}{b} : a,b\in \mathbb{Z},b\neq 0\rbrace$
Al etiquetar con TODOS los elementos de $latex \mathbb{N}$ a TODOS los elementos de $latex \mathbb{Q}$ tendríamos automáticamente una correspondencia biyectiva entre ambos conjuntos probando que ambos tienen la misma cardinalidad, pero esto es fácil verlo con el siguiente arreglo de TODOS los números racionales.
Pero este pequeño ejemplo conlleva un teorema importante que vamos a probar
Teorema. Sean $latex A,B$ dos conjuntos infinitos numerables, entonces su producto cartesiano $latex A\times B$ también es infinito numerable.
Recuerden que el producto cartesiano de $latex A$ y $latex B$ resulta en otro conjunto $latex A\times B=\lbrace (a,b) : a\in A , b\in B\rbrace$
Vemos claramente que en nuestro ejemplo anterior si $latex \frac{a}{b} := (a,b)$ donde $latex b\neq 0$ y $latex mcd(a,b)=1$ entonces $latex \mathbb{Q}\subsetneq \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$
Entonces sabiendo esto, vamos a la demostración:
demostración:
Como ambos $latex A$ y $latex B$ están en correspondencia biyectiva con $latex \mathbb{N}$, lo único que tenemos que probar es que $latex \mathbb{N}\times \mathbb{N}$ es infinito numerable.
Entonces cosideremos
$latex \mathbb{N}\times \mathbb{N}=\lbrace (n,m):n,m\in \mathbb{N}\rbrace$ entonces el diagrama que nos conviene es:
Donde claramente se puede ver que siguiendo las flechas podemos cubrir a cada par con todos los números naturales de manera ordenada y limpia.
Esta demostración más algebraicamente sería al definir una función
$latex f: \mathbb{N}\times \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$
La cual es fácil verificar que:
$latex f(m,n)=\frac{(n+m-2)(n+m-1)}{2}+m$
cubre todos los pares de naturales y es biyectiva.
$latex \blacksquare$
De hecho por inducción podrías demostrar que el producto cartesiano de $latex n$ conjuntos numerables es numerable.
Pero bueno... ya vimos el primer infinito el cual es el más chico y lo llamamos $latex \aleph_0$.
¿Pero dónde están los otros infinitos?
¿Cuáles conjuntos son más grandes estrictamentes que los naturales? , pues la respuesta más básica es el conjunto de los números reales $latex \mathbb{R}$, este conjunto obviamente no es finito, y de hecho no es infinito numerable.
Aquí veremos el argumento usual debido a Cantor de diagonalización que prueba que también un conjunto inocentemente más chico que los reales $latex [0,1]=\lbrace x\in \mathbb{R} : 0\leq x \leq 1\rbrace$ NO es numerable también.
Teorema: El intervalo $latex [0,1]$ es NO numerable
Vamos a hacerlo por contradicción, supongamos que existe una correspondencia biyectiva $latex f:\mathbb{N}\rightarrow [0,1]$, lo que haremos es encontrar un número real en $latex [0,1]$ que no está en la imagen, contradiciendo la suposición de que $latex f$ es suprayectiva.
Para esto, lo único que vamos a suponer es que todo número real en $latex [0,1]$ tiene una expansión decimal
$latex 0.x_1x_2x_3x_4...$
Donde cada $latex x_k$ es $latex 0,1,2,3,...9$ para que esta expansión sea única, siempre vamos a redondear, excepto en el caso de $latex 0.99999...$ donde lo dejaremos como tal.
Por lo que $latex 0.32999...$ siempre será escrito como $latex 0.3300$ .
Ahora, tomemos nuestra supuesta correspondencia $latex f:\mathbb{N}\rightarrow [0,1]$ y escribamos los términos.
$latex f(1)=.a_1a_2a_3...$
$latex f(2)=.b_1b_2b_3...$
$latex f(3)=.c_1c_2c_3...$
$latex f(4)=.d_1d_2d_3...$
$latex f(5)=.e_1e_2e_3...$
Y así... noten que los $latex a_i,b_j$ et cétera son números fijos entre 0 y 9, dándonos una correspondencia uno a uno, es decir no son variables.
Vamos a construir un nuevo número real $latex .N_1N_2N_3N_4...$ que no podrá aparecer en esa lista, forzando a que no sea suprayectiva por lo tanto contradiciendo la suprayección.
Supongamos que del número que queremos construir, definamos la k-ésimo dígito es:
$latex N_k = 4$ si la k-ésima entrada de $latex f(k)\neq 4$
$latex N_k = 5$ si la k-ésima entrada de $latex f(k)=4$
Nota que $latex N_1=4$ si $latex a_1\neq 4$ y $latex N_1=5$ si $latex a_1=4$
Entonces como sea que esté definido $latex f(1)$ siempre sucederá que:
$latex .N_1N_2N_3... \neq .a_1a_2...=f(1)$
Esto también sucederá para $latex N_2$ ya que si $latex N_2=4$ entonces $latex b_2\neq 4$ y será 5 si $latex b_2=4$ por lo que:
$latex .N_1N_2N_3...\neq .b_1b_2b_3...=f(2)$
Esto síganlo para todo $latex N_k$ y tendremos que nunca se parecerá a $latex f(k)$ por lo que este nuevo número no está en la imagen de $latex f$ para como sea que esté definida, por lo que no podría ser numerable. $latex \blacksquare$
Decimos que $latex [0,1]$ tiene cardinalidad $latex \aleph_1$
¿Existe un infinito intermedio entre $latex \aleph_0$ y $latex \aleph_1$?
Esta es la hipótesis del continuo... ¿ustedes qué creen?
Bueno esta pregunta es un gran hoyo en las matemáticas... y muestra la razón que tenía Gödel (Teoremas de incompletud) al decir que las matemáticas como las usamos son imperfectas en el sentido que son incompletas, existen proposiciones que no se pueden demostrar falsas o verdaderas.
Esto significa que esta pregunta... de que si existe un infinito intermedio... es indecidible... se demostró que NO se puede demostrar que esta pregunta es demostrable.
Esta pregunta de la hipótesis del continuo nos lleva a la pregunta inicial filosófica.
Formalización de los conjuntos
Ahora, antes de entrar a lo esotérico, regresen a la pregunta inicial de este post.
A la hora de probar que un objeto existe a veces puede ser constructiva o simplemente existencial, todo esto está fundamentado con la teoría de conjuntos formal, y ahora la más usada son los axiomas de Zermelo-Fraenkel unido con el axioma de elección.
Ahora veremos un poco el detalle de estos axiomas y la paradoja de Russell que muestra que debemos tener cuidado a la hora de trabajar con conjuntos en algo formal, ya que hay objetos que podrían definirse pero no existir.
La idea linda es muy razonable e inocente de cómo definir un conjunto, es decir como una colección de objetos que comparten cierta propiedad.
Noten que uno de los mayores estudiosos de la teoría de conjuntos (Georg Cantor) define un conjunto así:
Un conjunto es:
Toda multiplicidad que puede ser pensada como unidad, esto es, toda colección de elementos determinados que pueden ser unidos en una totalidad mediante una ley
Por lo que el siguiente conjunto es muy razonable:
$latex \lbrace n: n$ es un número par $latex\rbrace $
Vamos a ver como los conjuntos forman la aritmética que conocemos.
Para formar nuevos conjuntos con conjuntos ya dados por ejemplo si tenemos al conjunto $latex A$ podemos formar a $latex \lbrace A\rbrace$ que es un conjunto de un elemento.
También definimos el conjunto sucesor de $latex A$ como $latex A^{+}=A\cup \lbrace A \rbrace$ es decir $latex x\in A^{+}$ si $latex x\in A$ o $latex x=\lbrace A\rbrace$.
Empecemos con el conjunto $latex \emptyset$ que es el vacío, éste no tiene elementos y corresponderá con el entero $latex 0$ , y vamos a denotar al sucesor de 0 como 1 el cual es:
$latex 1=\emptyset^{+}=\lbrace\emptyset\rbrace$
Después el sucesor del sucesor del vacío es el 2
$latex 2=(\emptyset^{+})^{+})=\lbrace\emptyset ,\lbrace \emptyset \rbrace \rbrace$
En general, vamos a definir al sucesor de $latex n$ como $latex n+1$
Lo cual el sucesor será sumar 1, podemos recobrar por recursión la adición y convertirla en multiplicación y después en resta y división, suena bien no?
Pero bueno, esto es la manera inocente de proceder, aquí Cantor tuvo un error que descubrió Russell, que la pasión de Cantor por el tema y la falta de soluciones ante el escenario de Russell lo llevó a la locura por el hecho de no poder solucionarlo, ya que el definir conjuntos inocentemente como el ejemplo de los números pares o así como procedimos va a llevar a paradojas.
Vamos a construir algo que cumple la definición de conjunto pero que no puede existir.
Veamos primero que existen conjuntos que son elementos de si mismos, hay conjuntos que no cumplen esto, por ejemplo.
El conjunto de números pares NO es elemento de si mismo, ya que éste conjunto como tal no es un número par, por lo tanto no se pertenece a si mismo.
Por otro lado el conjunto de los conjuntos que tienen más de dos elementos , éste conjunto es miembro de si mismo.
Paradoja
Viendo que podemos construir estos conjuntos, definamos este conjunto.
$latex X = \lbrace A:A$ es un conjunto que no se pertenece a si mismo$latex \rbrace$
$latex =\lbrace A:A\notin A\rbrace$
Este conjunto conlleva a una paradoja, es decir algo que viola en particular el principio del tercero excluido.
Pregunta: ¿Es $latex X$ un elemento de si mismo?
Si $latex X\in X$, entonces por definición de $latex X$ tenemos que $latex X\notin X$, lo cual es absurdo.
Entonces lo natural es que ya demostramos que $latex X\notin X$ , ... PERO...
Supongamos que $latex X\notin X$, entonces esto implica que $latex X\in X$ lo cual es otra contradicción.
Tenemos contradicción por la negación y la no negación por lo que esto es una paradoja, esto significa que $latex X$ no sería entonces un conjunto es decir es algo que se sale de la teoría y esta es la paradoja de Russell
La cual en símbolos es
$latex X\in X \Leftrightarrow X\notin X$
La solución a esto fue toda la teoría axiomática de Zermelo Fraenkel la cual elimina la posibilidad de poder construir objetos así, y que en pocas palabras limita a los objetos a que puedan ser definidos con lógica de primer orden "acotados" por otro objeto que ya sabemos es un conjunto.
Es decir no existe el conjunto de todos los conjuntos , o el complemento de un conjunto, éste último existe sólo cuando lo tomas como $latex U\setminus X$ que es el complemento de $latex X$ en $latex U$.
Ahora entremos al axioma de elección.
Axioma: (elección) Sea $latex \lbrace X_\alpha \rbrace$ una familia de conjuntos no vacíos, entonces existe un conjunto $latex X$ que contiene de cada conjunto $latex X_\alpha$ exactamente un elemento.
Esto es algo que suena obvio si tienes una colección finita de conjuntos, hasta un niño podría comprender que puede tomar un elemento de cada uno
Pero la dificultad viene cuando aplicas el axioma de elección a una colección infinita de conjuntos, y peor aún, una colección infinita NO numerable.
El axioma no te dice como encontrar este conjunto $latex X$ que contiene un elemento de cada conjunto de la colección sólo te dice que existe y punto.
El axioma de elección es peligroso mentalmente hablando, te puede llevar a paradojas como la de Banach-Tarski que te dice que tú puedes partir una esfera en un número finito de partes de tal manera que después puedas armar 2 esferas iguales a la original.
O por ejemplo también, el elemento más chico en $latex (0,1)=\lbrace x: 0 < x < 1 \rbrace$
También existe un conjunto no numerable de puntos en el plano que tienen vecindades de radio $latex \epsilon >0$ que son ajenas.
Esto sucede en la matemática no en la física, recuerden la analogía de los sacos de frijol, ahí estamos eligiendo frijoles de cada saco... pero realmente podemos elegir un frijol dentro de un conjunto de $latex \aleph_1$ sacos? , la matemática dice que esto es un axioma, es decir es una regla del juego... ¿te gusta la regla?
Eduardo Ruiz Duarte (beck)
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