En el post anterior vimos lo que es una variedad, como matemáticos lo que nos interesa siempre es darle una estructura analítica a los objetos y esta estructura generalizara para poder estudiar mejor el objeto a través de sus funciones o propiedades.
Ahora lo que haremos es darle estructura de grupo a una variedad.
Un grupo de Lie es una variedad que es un grupo también de tal manera que la operación de los elementos del grupo es suave (suave en el sentido diferencial).
Los grupos $latex GL(n,\mathbb{R})$ o $latex SL(n,\mathbb{C})$, grupos ortogonales, simplécticos entre otros son grupos de Lie Famosos, por ejemplo $latex GL(n,\mathbb{R})$ como variedad es disconexo y con dos componentes (matrices con determinante positivo y negativo) y tiene dimensión $latex n^2$.
Otra cosa es que un grupo de Lie es un espacio homogéneo en el sentido de que la translación por la izquierda de un elemento del grupo $latex g$ es un difeomorfismo del grupo en si mismo que manda la identidad a $latex g$ (un automorfismo diferenciable)
Esto lo que nos hace ver es que un grupo de Lie, localmente se ve igual alrededor de cualquier punto, y va a ser clave el espacio tangente a la identidad ya que nos hará definir la operación corchete $latex [ , ]$ que convertirá el grupo en un álgebra de Lie.
Comencemos un poco más formalmente.
Definición: $latex G$ es un grupo de Lie si es una variedad $latex C^{\infty}$ tal que las siguientes dos operaciones de obtener inverso y multiplicación son infinito diferenciables $latex C^\infty$
$latex \mu: G\times G \rightarrow G$ , $latex \mu(a,b)=ab$
$latex \iota:G\rightarrow G$ , $latex \iota(a)=a^{-1}$
Ahora, si $latex a\in G$ , denota por $latex l_a:G\rightarrow G$, $latex l_a(x)=\mu(a,x)=ax$ a la operación de multiplicación izquierda por $latex a$ , y la derecha como $latex r_a:G\rightarrow G$, $latex r_a(x)=xa$
Es fácil ver que son difeomorfismos.
Definición: Un mapeo $latex F:H \rightarrow G$ entre dos grupos de Lie $latex H$ y $latex G$ es un homomorfismo de grupos de Lie si $latex F$ es $latex C^\infty$ y $latex F$ es un homomorfismo de grupos.
Esto es que
$latex F(hx)=F(h)F(x) \Leftrightarrow F\circ l_h = l_{F(h)}\circ F$ $latex \forall h\in H$
Ejemplo $latex SL(n,\mathbb{R})$
Regresamos al ejemplo introductorio pero vamos a desarrollarlo ya con estas definiciones.
Tenemos que $latex SL(n,\mathbb{R})$ es un subgrupo de matrices de determinante 1 de $latex GL(n,\mathbb{R})$ , aquí el chiste de verlo como variedad es que veas los elementos de las matrices que pertenecen al grupo como vectores, en el grupo general lineal tienes $n^2 -1$ entradas, es decir lo puedes ver como un vector de ese tamaño, el grupo special lineal que es subgrupo del general tiene dimensión $latex n^2 -1$ y es una subvariedad.
$latex \mu:GL(n,\mathbb{R}) \times GL(n,\mathbb{R})\rightarrow GL(n,\mathbb{R})$
$latex (A,B)\mapsto AB$
es $latex C^\infty$ ya que
$latex (AB)_{ij} = \displaystyle \sum_{k=1}^n {a_{ik}b_{kj}} $
Es un simple polinomio y por lo tanto es una función $latex C^\infty$ de las coordenadas $latex a_{ik},b_{kj}$
Ahora para demostrar que $latex SL(n, \mathbb{R})$ tiene operación de grupo suave, no se sigue de esto , ya que $latex \lbrace a_{ij} \rbrace _{1\leq i , j\leq n}$ no es un sistema de coordenadas en las matrices de $latex SL(n,\mathbb{R}$ ya que como vimos le sobra una (su dimensión es $latex n^2-1$)
Pero sí sabemos que $latex SL(n,\mathbb{R}) \times SL(n,\mathbb{R})$ es una subvariedad de $latex GL(n,\mathbb{R}) \times GL(n,\mathbb{R})$
entonces podemos hacer el mapeo de inclusión:
$latex i:SL(n,\mathbb{R}) \times SL(n,\mathbb{R}) \hookrightarrow GL(n,\mathbb{R}) \times GL(n,\mathbb{R})$
Es relativamente sencillo demostrar que eso es un encaje, toma un $latex p\in SL(n,\mathbb{R}) \times SL(n,\mathbb{R})$ y toma una carta $latex (V,y^1,...,y^n, y^{n+1},...,y^m)$
para $latex GL(n,\mathbb{R}) \times GL(n,\mathbb{R})$ alrededor de $latex p$ tal que $latex V\cap N$ son los ceros de $latex y^{n+1},...,y^{m}$, para $latex p\in SL(n,\mathbb{R}) \times SL(n,\mathbb{R})$ toma $latex (V\cap N, y^1, ..., y^n)$ y para $latex M$ la inclusión $latex i$ se ve así:
$latex (y^1, ..., y^n) \mapsto (y^1, ..., y^n, 0,...,0)$
Donde claramente se ve que es un encaje , y por lo tanto la operación en $latex SL(n,\mathbb{R})$ también es diferenciable por ser un encaje en el grupo general lineal que consta de un polinomio.
Falta ver que el obtener el inverso también es suave.
Sea $latex \hat{\iota}: SL(n,\mathbb{R}) \rightarrow SL(n,\mathbb{R})$ el mapeo inverso, vamos a ver que es $latex C^\infty$, sea $latex i:SL(n,\mathbb{R}) \hookrightarrow GL(n,\mathbb{R})$ la inclusión y sea $latex \iota: SL(n,\mathbb{R}) \rightarrow SL(n,\mathbb{R})$ el mapeo inverso en $latex GL(n,\mathbb{R})$ (El cual sabemos que es diferenciable, recuerden que para invertir basta un número de operaciones finitas en la matriz que son sumas y multiplicaciones, pero aquí le quitamos una dimensión y tenemos que demostrar que también sigue siendo diferenciable). consideremos la composición de los dos mapeos $latex C^\infty$
$latex \iota \circ i: SL(n,\mathbb{R}) \xrightarrow{i} GL(n,\mathbb{R}) \xrightarrow{\iota} GL(n,\mathbb{R})$
Esto es $latex C^\infty$ ya que su imagen está contenida en la subvariedad $latex SL(n,\mathbb{R})$ que es regular por lo que el mapeo inducido $latex \hat{\iota}$ es $latex C^\infty$ el cual es un resultado básico de geometría diferencial , por lo tanto $latex SL(n,\mathbb{R})$ es un grupo de lie $latex \blacksquare$
En el siguiente post abordaremos el espacio tangente a la identidad de un grupo de Lie para darle estructura de álgebra.
Espero les haya gustado
Eduardo Ruiz Duarte (beck)
twitter: @toorandom
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