Otra motivación es que como siempre tengo problemas para dormir posiblemente por las grandes cantidades de café que introduzco a mi cuerpo, pero empecemos.
Deduciremos una probabilidad que involucra a $latex \pi$ e involucra a números primos que está íntimamente relacionado con el problema del milenio sin solución gracias a Riemann (Conjetura de Riemann sobre la función $latex \zeta$ que puedes ver aquí)
La pregunta es realmente, ¿cuál es la probabilidad de que dos enteros positivos menores que cierto $latex N$ sean primos relativos (no tengan factores en común más que 1)?
Por ejemplo, $latex (6,33)$ no son primos relativos porque $latex 6=3\cdot 2$ y $latex 33=11\cdot 3$ (comparten al $latex 3$)
pero por ejemplo $latex (14,15)$ son primos relativos porque no comparten factores no triviales y $latex (c,p)$ donde $latex c$ es cualquier entero y $latex p$ es un número primo.
Esta demostración me gusta mucho, aquí la tienen.
Construcción:
Sean $latex x,y\in \mathbb{N}$ con $latex x,y>1$, como queremos que $latex x,y$ sean coprimos no deben tener ningún factor en común.
Empecemos facilito.
¿Cuál es la probabilidad de dos enteros positivos tengan al 2 como factor?
Bueno, la probabilidad de que un sólo número tenga al $latex 2$ como factor es $latex 1/2$ ya que basta que sea par, y esto sucede el 50% de las veces, esto implica que la probabilidad de que los dos tengan al $latex 2$ como factor es $latex (1/2)^2$
Bueno, la probabilidad de que un sólo número tenga al $latex 2$ como factor es $latex 1/2$ ya que basta que sea par, y esto sucede el 50% de las veces, esto implica que la probabilidad de que los dos tengan al $latex 2$ como factor es $latex (1/2)^2$
Entonces la probabilidad de que $latex \alpha,\beta$ NO tengan al 2 como factor es $latex 1-\Big({\frac{1}{2}}\Big)^2}$
Ahora para el 3, la probabilidad de manera similar de que no lo contenga es de $latex 1-\Big({\frac{1}{3}}\Big)^2}$
Ya que igualmente, "cada 3 números tienes un múltiplo de 3" , y así en general para todo primo $latex p$ tenemos.
Para cada $latex p$ cada $latex p$ numeros pasarás por un múltiplo de $latex p$ a eso nos referimos con la probabilidad de que nos toque a $latex p$ como factor es $latex \frac{1}{p}$.
Por lo tanto la probabilidad $latex P_{\alpha,\beta}$ de que dos enteros al azar $latex \alpha,\beta \in \mathbb{N}$ menores que cierto $latex N$ sean primos relativos es:
$latex P_{\alpha,\beta}=\displaystyle \prod_{p\in \mathbb{P}}{1-\frac{1}{p^2}}} =(1-\frac{1}{2^2})\cdot (1-\frac{1}{3^2})\cdot (1-\frac{1}{5^2})\cdot ...\cdot(1-\frac{1}{{p_n}^2})\cdot ...$ ***
Donde $latex p_n\in\mathbb{P}$ , la probabilidad se obtiene cuando multiplicas para todo número primo es decir cuando $latex n\rightarrow \infty$.
Donde $latex \mathbb{P}$ son todos los números primos, los multiplicamos todos ya que son sucesos probabilisticamente independientes.
Es decir, recuerda que la probabilidad de que sucedan dos eventos independientes $latex A$ y $latex B$ al mismo tiempo es en símbolos $latex P(A \wedge B)=P(A)P(B)$ , con independientes me refiero a que el evento $latex A$ no tenga cierta relación con el evento $latex B$ , y ¿por qué tener factores primos para cada primo son eventos independientes ? , fácil... porque los números son primos, ya que si no lo fueran, digamos la probabilidad de tener a $latex 6$ como factor es dependiente de tener a $latex 2$ y $latex 3$ como factor, pero como aquí son números primos, todos son disjuntos con respecto a la medida de probabilidad que mide tener factores primos y por definición los primos son únicos en este sentido.
Pero esto ¿qué? , es medio obvio... y no nos dice nada...
Vamos a desarrollar eso para llegar a un resultado sorprendente, primero hay que recordar esta serie de cálculo que tiene que ver con sumas en progresiones geométricas , toma $latex a\in \mathbb{R}$ con $latex \mid a \mid$ < $latex 1$
$latex \sum_{n=0}^{\infty} a^n = 1+a+a^2+... = \frac{1}{1-a}$ **
Por ejemplo si $latex a=1/7$
$latex \sum_{n=0}^{\infty}\Big (\frac{1}{7}\Big)^n=1+\frac{1}{7}+\frac{1}{7^2}+...=\frac{1}{1-\frac{1}{7}}=\frac{7}{6}\approx 1.1666$
De la fórmula ** mete $latex a=(1/2)^2$, y después voltea la fracción, es decir pon el denominador arriba y el numerador abajo, (esto podemos hacer porque ningún denominador es 0)
Entonces tenemos que el primer término de *** a lo podemos expandir con la fórmula ** (volteada) como:
$latex 1-\frac{1}{2^2}} = \frac{1}{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+...\frac{1}{2^{2k}}+...}$
Similarmente podemos desarrollar todos los términos de $latex P_{\alpha,\beta}$
$latex P_{\alpha,\beta}=(\frac{1}{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+...\frac{1}{2^{2k}}+...})\cdot(\frac{1}{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^4}+...\frac{1}{3^{2k}}+...})\cdot ...$
Observa cuidadosamente la ecuación anterior y fíjate que en los denominadores de los denominadores, están todos los posibles cuadrados perfectos de todos los números naturales, en todas sus combinaciones y sabores cuando $latex k\rightarrow \infty$ tenemos TODOS los cuadrados perfectos, por lo que esa suma horrible es lo mismo que la siguiente representacion
$latex P_{\alpha,\beta}=\frac{1}{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^2}}=\frac{1}{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}+...}$ , es bien sabido que esta serie en el denominador $latex \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$
Es sabido el resultado de esta serie si juegas con la expansión en series de $latex \frac{sen(x)}{x}$
o como el problema de Basilea
Por lo tanto, sabiendo esto, llegamos a este hermoso resultado en teoría analítica de números.
Teorema:
Sean $latex \alpha,\beta \in \mathbb{N}$ donde $latex \alpha,\beta$ < $latex N$ , entonces la probabilidad de que $latex \alpha$ y $latex \beta$ NO tengan factores en común (sean primos relativos) es: $latex P_{\alpha,\beta}=\frac{6}{\pi^2}\approx 0.6079...$
De hecho, es equivalente esto a la función $latex \zeta$ de Riemann evaluada en $latex 2$ , y la fómula *** que encontramos es justamente la representación con números primos de la función zeta de Riemann por Euler, pueden verlo aquí así como como la función zeta de Riemann en 2 $latex \zeta(2)$
Espero les haya gustado
Eduardo Ruíz Duarte
twitter @toorandom
Por lo tanto la probabilidad $latex P_{\alpha,\beta}$ de que dos enteros al azar $latex \alpha,\beta \in \mathbb{N}$ menores que cierto $latex N$ sean primos relativos es:
$latex P_{\alpha,\beta}=\displaystyle \prod_{p\in \mathbb{P}}{1-\frac{1}{p^2}}} =(1-\frac{1}{2^2})\cdot (1-\frac{1}{3^2})\cdot (1-\frac{1}{5^2})\cdot ...\cdot(1-\frac{1}{{p_n}^2})\cdot ...$ ***
Donde $latex p_n\in\mathbb{P}$ , la probabilidad se obtiene cuando multiplicas para todo número primo es decir cuando $latex n\rightarrow \infty$.
Donde $latex \mathbb{P}$ son todos los números primos, los multiplicamos todos ya que son sucesos probabilisticamente independientes.
Es decir, recuerda que la probabilidad de que sucedan dos eventos independientes $latex A$ y $latex B$ al mismo tiempo es en símbolos $latex P(A \wedge B)=P(A)P(B)$ , con independientes me refiero a que el evento $latex A$ no tenga cierta relación con el evento $latex B$ , y ¿por qué tener factores primos para cada primo son eventos independientes ? , fácil... porque los números son primos, ya que si no lo fueran, digamos la probabilidad de tener a $latex 6$ como factor es dependiente de tener a $latex 2$ y $latex 3$ como factor, pero como aquí son números primos, todos son disjuntos con respecto a la medida de probabilidad que mide tener factores primos y por definición los primos son únicos en este sentido.
Pero esto ¿qué? , es medio obvio... y no nos dice nada...
Vamos a desarrollar eso para llegar a un resultado sorprendente, primero hay que recordar esta serie de cálculo que tiene que ver con sumas en progresiones geométricas , toma $latex a\in \mathbb{R}$ con $latex \mid a \mid$ < $latex 1$
$latex \sum_{n=0}^{\infty} a^n = 1+a+a^2+... = \frac{1}{1-a}$ **
Por ejemplo si $latex a=1/7$
$latex \sum_{n=0}^{\infty}\Big (\frac{1}{7}\Big)^n=1+\frac{1}{7}+\frac{1}{7^2}+...=\frac{1}{1-\frac{1}{7}}=\frac{7}{6}\approx 1.1666$
De la fórmula ** mete $latex a=(1/2)^2$, y después voltea la fracción, es decir pon el denominador arriba y el numerador abajo, (esto podemos hacer porque ningún denominador es 0)
Entonces tenemos que el primer término de *** a lo podemos expandir con la fórmula ** (volteada) como:
$latex 1-\frac{1}{2^2}} = \frac{1}{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+...\frac{1}{2^{2k}}+...}$
Similarmente podemos desarrollar todos los términos de $latex P_{\alpha,\beta}$
$latex P_{\alpha,\beta}=(\frac{1}{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+...\frac{1}{2^{2k}}+...})\cdot(\frac{1}{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^4}+...\frac{1}{3^{2k}}+...})\cdot ...$
Observa cuidadosamente la ecuación anterior y fíjate que en los denominadores de los denominadores, están todos los posibles cuadrados perfectos de todos los números naturales, en todas sus combinaciones y sabores cuando $latex k\rightarrow \infty$ tenemos TODOS los cuadrados perfectos, por lo que esa suma horrible es lo mismo que la siguiente representacion
$latex P_{\alpha,\beta}=\frac{1}{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^2}}=\frac{1}{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}+...}$ , es bien sabido que esta serie en el denominador $latex \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$
Es sabido el resultado de esta serie si juegas con la expansión en series de $latex \frac{sen(x)}{x}$
o como el problema de Basilea
Por lo tanto, sabiendo esto, llegamos a este hermoso resultado en teoría analítica de números.
Teorema:
Sean $latex \alpha,\beta \in \mathbb{N}$ donde $latex \alpha,\beta$ < $latex N$ , entonces la probabilidad de que $latex \alpha$ y $latex \beta$ NO tengan factores en común (sean primos relativos) es: $latex P_{\alpha,\beta}=\frac{6}{\pi^2}\approx 0.6079...$
De hecho, es equivalente esto a la función $latex \zeta$ de Riemann evaluada en $latex 2$ , y la fómula *** que encontramos es justamente la representación con números primos de la función zeta de Riemann por Euler, pueden verlo aquí así como como la función zeta de Riemann en 2 $latex \zeta(2)$
Espero les haya gustado
Eduardo Ruíz Duarte
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