Variedades

Quise volver a recapitular algo de las cosas más hermosas que he estudiado cuando llevé mi curso de geometría diferencial con el Dr. Gregor Weingart, a los físicos les gusta mucho porque con esto pueden medir cualquier cosa  que tenga estructura de variedad y eso les sirve en astrofísica.

Para poder agarrar mejor este post te recomiendo le eches un vistazo a estas entradas
que publiqué anteriormente si comienzas a sentir que no entiendes mucho.

Teorema de la función inversa
Teorema de la función implícita
Espacios tangente en variedades y derivaciones
K-formas diferenciales (1 de 2)
K-formas diferenciales (2 de 2)


Empecemos tratando de recordar cosas.

Variedades diferenciales

Sabemos que para todo $latex m\in \mathbb{R}$, sea $latex \mathbb{R}^m$ el espacio vectorial $latex m$-dimensional equipado con la topología inducida por la métrica usual estándar que es la distancia $latex d(x,y)$ entre dos puntos $latex x,y\in \mathbb{R}^m$ dada por:

$latex d(x,y)=\sqrt{\displaystyle \sum_{i=1}^{m} (x_i-y_i)^2}$

En la práctica los casos usuales son $latex m=2,3$ pero en otras áreas de matemáticas y física el valor de $latex m$ puede ser más grande, en la teoría no hay ni por qué justificarlo.


También tenemos que para todo $latex n,r\in\mathbb{N}$ y un abierto $latex U$ de $latex \mathbb{R}^m$, denotamos por $latex C^r(U,\mathbb{R}^n)$ todas las funciones que son $latex r$ veces continuas diferenciables de $latex U$ a $latex \mathbb{R}^n$ , cuando hablamos de mapeos suaves $latex U \rightarrow \mathbb{R}^n$ nos referimos exactamente a los elementos (son funciones) de:


$latex C^\infty(U,\mathbb{R}^n)=\displaystyle \bigcap_{r=1}^\infty {C^r(U,\mathbb{R}^n)$

Entonces aquí ya tenemos todas las funciones suaves (infinitamente diferenciables) que van de un abierto a $latex \mathbb{R}^n$



Definición (Variedad Topológica, Carta):  Sea $latex (M,\Tau)$ un espacio topológico Hausdorff (Que para dos puntos distintos del espacio puedes encontrar una vecindad de cada uno que no choca con la otra) que tenga base numerable, decimos que $latex M$ es una variedad topológica si existe un número natural $latex m$ y para todo punto $latex p\in M$ , una vecindad $latex U$ abierta de $latex p$ y un mapeo continuo $latex x:U\rightarrow \mathbb{R}^m$ que es un homeomorfismo sobreyectivo en su imagen $latex x(U)$ el cual es un abierto de $latex \mathbb{R}^m$

El par $latex (U,x)$ es llamado carta coordenada local de $latex M$ y $latex m$ es la dimensión y la denotamos en $latex M$ como $latex M^m$



Lo que decimos aquí, una variedad topológica $latex M$ es localmente homeomorfa a $latex \mathbb{R}^m$ para algún $latex m\in\mathbb{N}$.



Estructura diferencial


Vamos a darle estructura diferencial para poder comenzar a explotar la metrica

Definición (atlas) : Si $latex M$ es una variedad topológica , entonces un $latex C^{r}-atlas$ en $latex M$ es la colección:


$latex \mathcal{A}=\lbrace (U_\alpha, x_\alpha) \mid \alpha \in I\rbrace$

Es decir son todas las cartas locales definidas anteriormente que cubren todo $latex M$, es decir.


$latex M=\bigcup_\alpha U_\alpha$

Y para todo $latex \alpha,\beta\in I$ tenemos los correspondientes mapeos de transición:


$latex x_\beta \circ {x}_{\alpha}^{-1} \mid_{x_\alpha(U_\alpha \cap U_\beta)} : x_\alpha(U_\alpha \cap U_\beta) \rightarrow \mathbb{R}^m$

Son $latex r-veces$ diferenciables.

¿Esto qué significa?

Los mapeos de transición nos dan una manera de comparar dos cartas de átlases diferentes, para comparar esto, se compone una carta con la inversa de otra, pero esto podría no estar definido así que lo hacemos sólo en su intersección, eso es lo que ves en los subindices.


Esto lo podemos ver con el siguiente dibujo, espero se entienda.

Ejemplo:


Sea $latex \hat{\mathbb{C}}$ el plano complejo extendido dado por $latex \hat{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\cup \lbrace \infty \rbrace$ y sea $latex \mathbb{C}^{*}=\mathbb{C}\setminus \lbrace 0 \rbrace$, $latex U_0=\mathbb{C}$  y $latex U_\infty = \hat{\mathbb{C}} \setminus \lbrace 0 \rbrace$

Definimos la coordenadas locales:

$latex x_0:U_0\rightarrow \mathbb{C}$ y $latex x_\infty:U_\infty \rightarrow \mathbb{C}$ en $latex \hat{\mathbb{C}}$ por:

$latex x_0:z\mapsto z$
$latex x_\infty:w \mapsto 1/w$

Tenemos que de este atlas "chiquito" los correspondientes mapeso de transición:

$latex x_\infty \circ x_0^{-1}$ y $latex x_0\circ x_\infty^{-1}:\mathbb{C}^{*} \rightarrow \mathbb{C}^{*}$

Están dados ambos por $latex z\mapsto 1/z$ por lo que $latex \mathcal{A}=\lbrace (U_0,x_0),(U_\infty,x_\infty)$ es un $latex C^{\omega}$-atlas (analítico) en la esfera de Riemann $latex \hat{\mathbb{C}}$.


La variedad analítica $latex (\hat{\mathbb{C}},\mathcal{A})$ se le llama Esfera de Riemann.



También ya con esto es fácil intuir que el producto de dos variedades $latex M_1,M_2$ de clase $latex C^{r}$ y sea $latex M=M_1\times M_2$ el espacio producto equipado con la topología de Tychonoff
Entonces existe un atlas para $latex M$  que la hace una variedad diferenciable de clase $latex C^r$ con
$latex dim M = dim M_1 + dim M_2$


Dejaré esto por ahora aquí, luego continúamos con algo más profundo.