Geometría p-ádica, completación de racionales y estructura de campo

¿Cómo podemos llegar a los números reales desde los números racionales?

Esta estructura es muy importante para estudiar muchos teoremas de geometría algebraica, y sirve como un ejemplo interesante ajeno a los campos usuales, todo estudiante de posgrado orientado a álgebra creo que debe conocerlos, aquí pongo una mini-introducción sólo para que te adentres más.


Tenemos que los números racionales son los cocientes de enteros, es decir:

$latex \mathbb{Q}=\Big \lbrace \frac{a}{b} : a,b\in\mathbb{Z}, b\neq 0 \Big \rbrace$

Ya sabemos como sumar y multiplicar fracciones, y sabemos que cada fracción tiene un inverso (excepto el 0) es decir, $latex (\mathbb{Q},+.\times)$ forma un campo.


Para entender los números p-ádicos necesitamos entender valores absolutos

Valores absolutos

Definición: Sea $latex \mathbb{K}$ un campo y $latex \mathbb{Q}_{+}=\big \lbrace x\in \mathbb{Q} : x\geq 0\big \rbrace$, entonces un valor absoluto en $latex \mathbb{K}$ es una función:

$latex \mid \cdot \mid:\mathbb{K}\rightarrow \mathbb{Q}_{+}$

Que satisface lo siguiente:


* $latex \mid x \mid = 0 \Leftrightarrow x=0$
* $latex \mid xy \mid = \mid x \mid \mid y \mid$
* $latex \mid x+y\mid \leq \mid x \mid + \mid y \mid$   (Desigualdad del triángulo)

Ejemplo usual:

Un valor absoluto para $latex \mathbb{Q}$ es:

$latex \mid \cdot \mid:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}_{+}$

$latex \mid x \mid =\begin{cases} \enspace x: & x\geq 0 \\ -x: & x < 0 \end{cases}$


Es fácil verificar que satisface las condiciones anteriores.


Ahora démosle más estructura al espacio, viendo cómo podemos comparar elementos.


Espacios Métricos

Decimos que una métrica es una función de distancia, es decir , si $latex \mathbb{X}$ es un conjunto entonces una métrica sobre $latex \mathbb{X}$ es una función:


$latex \delta:\mathbb{X}\times \mathbb{X} \rightarrow \mathbb{Q}_{+}$

Que satisface lo siguiente:

*$latex \delta(x,y)\geq 0$
*$latex \delta(x,y)=\delta(y,x)$
*$latex \delta(x,y)+\delta(y,z)\geq \delta(z,y)$ (desigualdad del triángulo)


Si se fijan hasta aquí, tenemos que si son observadores, $latex \mathbb{Q}$ forma un espacio métrico con la distancia usual , es decir:

$latex (\mathbb{Q},\mid \cdot \mid)$ es un espacio métrico , donde la métrica $latex \delta$ está definida usualmente como:

$latex \delta:\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}_{+}$
$latex \delta(x,y)=\mid x-y\mid$

Es decir la distancia que separa a los puntos $latex x,y\in \mathbb{Q}$

Para poder completar todos los huecos de $latex \mathbb{Q}$ necesitamos saber lo que son las sucesiones de Cauchy


Sucesiones de Cauchy


Una sucesión de Cauchy en un espacio métrico $latex \mathbb{X}$ es una sucesión de elementos $latex x_1,x_2,... \in \mathbb{X}$ de tal manera que cada uno de los elementos se van volviendo más cercanos conforme esta sucesión crece.

Es decir

$latex x_1,x_2,x_3,...$  es una sucesión de Cauchy si para todo número real positivo $latex \epsilon$ existe un entero $latex N$ de tal que para todos los números $latex n,m\in \mathbb{N}$ con $latex n,m > N$

$latex \delta(x_m,x_n)=\mid x_m -x_n\mid < \epsilon$



Esto quiere decir que siempre que se te ocurra cualquier real $latex \epsilon > 0$ por más chiquito que quieras, siempre podrás encontrar un índice $latex N$  donde todos los índices $latex n,m$ mayores que $latex N$ están a distancia menor que $latex \epsilon$


Puedes visualizarlo así... si se fijan los elementos $latex x_i$ se van juntando cada vez más y aunque escoja $latex \epsilon = \frac{1}{10^{100^{100}}}$ siempre sucederá que existe una $latex N$ que todos los elementos con índice mayor a $latex N$ están a distancia menor que $latex \epsilon$, entonces si una sucesión cumple esto, decimos que es de Cauchy, un ejemplo es $latex \Big \lbrace \frac{1}{n} \Big \rbrace_{n=1}^{\infty}$


$latex \mathbb{X}$




Ahora para juntar todo esto , veamos que es un espacio métrico completo.



Definición: Decimos que un espacio métrico $latex (\mathbb{X},d)$ es completo si toda sucesión de Cauchy en $latex (\mathbb{X},d)$ converge EN $latex \mathbb{X}$


Antiejemplos:

Es decir , por ejemplo si $latex \mathbb{X}=(0,1]$  vemos que la sucesión anterior $latex \Big \lbrace \frac{1}{n} \Big \rbrace_{n=1}^{\infty}$ converge a $latex 0\notin \mathbb{X}$ por lo que en este caso $latex \mathbb{X}$ no es completo.


Ahora... también tenemos que los números racionales con la métrica usual tampoco son completos es decir $latex (\mathbb{Q},\mid \cdot \mid)$

Es construir una sucesión de Cauchy en $latex \mathbb{Q}$ que no converja, por ejemplo.


$latex \Big \lbrace 3,3.1,3.14,3.141,3.1415,3.14159,3.14159295,...\Big \rbrace$


Esta claramente es una sucesión de números racionales que converge a $latex \pi \notin \mathbb{Q}$

Por lo que $latex \mathbb{Q}$ no es completo con la métrica usual


Ahora, Si un espacio no es completo, podemos completarlo agregando todos los límites de sucesiones de Cauchy de éste, y pueden probar que el completar un campo (en este caso $latex \mathbb{Q}$) el resultado les da otro campo (en este caso $latex \mathbb{R}$)


Resumen

Si quieres obtener $latex \mathbb{R}$ lo que necesitas es a $latex \mathbb{Q}$ , un valor absoluto en éste $latex \mid \cdot \mid$ , una métrica $latex \delta$ y todas las sucesiones de Cauchy en $latex \mathbb{Q}$ con respecto $latex \delta$


Otros Valores Absolutos  (p-ádicos)

Hasta ahora todo esto es lo usual y aburrido, la función de valor absoluto ya la conocemos perfectamente, lo que queremos hacer es usar otras funciones de valor absoluto y ver cómo se comportan estos espacios bajo una nueva métrica.


Fijemos un número primo $latex p$ , definiremos un valor absoluto asociado a $latex p$ en $latex \mathbb{Q}$

Sea $latex \alpha \in \mathbb{Q}^{\times}$ entonces tenemos que existen $latex g,h$ primos relativos tal que:

$latex \alpha = p^{n}\frac{g}{h}$

Es decir, todo número racional podemos verlo como múltiplo de $latex p^n$  donde $latex p$ no divide a ninguno de los $latex g,h$ , es decir todos son primos relativos.

Esto es fácil observarlo y demostrarlo, ahora vemos ejemplos , pero definimos el valor absoluto p-ádico para $latex \alpha \in \mathbb{Q}^{\times}$ como:

$latex \mid \alpha \mid_{p}=\mid p^{n}\frac{g}{h}\mid_p = p^{-n}$

Este es un valor absoluto no trivial y cumple todas las reglas de valor absoluto que definimos anteriormente con las leyes de los exponentes, hay que definir $latex \mid 0 \mid_p=0$ y hay que notar que el conjunto de valores absolutos es discreto ya que cae en el conjunto $latex \lbrace p^n : n\in \mathbb{Z}\rbrace \cup \lbrace 0 \rbrace$

Ejemplo:

Consideremos $latex \alpha = \frac{140}{297}=2^{2}\cdot 5 \cdot 7 \cdot 3^{-3} \cdot 11^{-1}$

Entonces:

$latex \mid \alpha \mid_2 = \frac{1}{4}$
$latex \mid \alpha \mid_3 = 27$

$latex \mid \alpha \mid_5 = \frac{1}{5}$

$latex \mid \alpha \mid_7 = \frac{1}{7}$

$latex \mid \alpha \mid_{11} = 11$

$latex \mid \alpha \mid_{13} = 1$

Métrica p-ádica en $latex \mathbb{Q}$

Naturalmente tenemos que la métrica p-ádica en los racionales definida como


$latex \delta_p:\mathbb{Q}\times\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}_{+}$

está definida como

$latex \delta_p(x,y)=\mid x-y\mid_p$


Ejemplo contraintuitivo

Aquí las cosas no son tan intuitivas porque podemos ver que por ejemplo si $latex p=7$ $latex 28814$ y $latex 2$ están más cercanos que $latex 3$ y $latex 2$ ya que


$latex \delta_7(28814,2)=\mid 28812\mid_7 = \mid 2^2\times 3 \times 7^4\mid_7 = 7^{-4}=\frac{1}{2401}$

$latex \delta_7(3,2)=\mid 1 \mid_7 = \mid 7^0 \mid_7 = 7^0 = 1$

como $latex 1 > \frac{1}{2401}$ tenemos que $latex 3$ está más alejado del $latex 2$ que $latex 28814$



Completación de $latex \mathbb{Q}$ con la métrica p-ádica


$latex \mathbb{Q}$ no es completo con respecto a esta métrica, veamos un ejemplo

si $latex p=5$

$latex \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}{ 5^n}$

No es un elemento de $latex \mathbb{Q}$ pero ...

la sucesión:

$latex \lbrace 1,1+5,1+5+5^2, 1+5+5^2+5^3,...\rbrace = \lbrace 1,6,31,156\rbrace$

Es una sucesión de Cauchy con la métrica 5-ádica , esta sucesión con la métrica usual NO converge, pero con la métrica 5-ádica sí, de hecho las distancias van siendo $latex 1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8}...$ .


Entonces para cada primo $latex p$ hay una completación de $latex \mathbb{Q}$ con respecto a su métrica p-ádica asociada

Entonces como sabemos que la completación del campo $latex \mathbb{Q}$ también será un campo.

y este objeto le llamamos campo de los números p-ádicos y lo denotamos como:

$latex \mathbb{Q}_p$

para algún primo $latex p$.

Representación de los números p-ádicos

Tenemos que todo número $latex x\in \mathbb{Q}_p$ puede ser representado como la serie de potencias:


$latex x_{-m}p^{-m}+x_{-m+1}p^{-m+1}+...+x_0+x_1p+x_2p^2+x_3p^3+...$


Esta representación es única cuando $latex x_i \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ es decir , si $latex x_i$ está módulo $latex p$

La colección de las $latex \lbrace x_i \rbrace$ son los dígitos p-ádicos y la notación para escribirlos es de izquierda a derecha

$latex ...x_{3}x_{2}x_{1}x_{0} . x_{-1}x_{-2}...x_{-m+1}x_{-m}$


Geometría de $latex \mathbb{Q}_p$



Para finalizar vamos a ver cómo se ven las bolas de radio $latex r$ con centro en $latex a$ en $latex \mathbb{Q}_p$

es decir , queremos analizar estos objetos:

$latex B(a,r) = \lbrace x\in \mathbb{Q}_p : \mid a-x\mid_p < r\rbrace$


Como $latex r\in \lbrace p^n : n\in \mathbb{Z}$ si $latex p=3$ en $latex \mathbb{Q}_3$

Donde el círculo más grande tiene $latex r=1$ y los 3 circulitos que siguen tienen $latex r=1/3$ y así $latex r=1/3^n$

Pero si ponemos un microscopio, lo que veremos es:

que es como un arbol ternario.

Espero les haya servido, estos aparte de ser divertidos son bellos, ahora podríamos hablar en el futuro a detalle de topología con esto.

Eduardo Ruíz Duarte (beck)

twitter: @toorandom

Teoremas de incompletud de Gödel (Bases, explicación y definiciones)

Gödel fue un gran matemático, murió de inanición después de que su esposa muriera quien le cocinaba y probaba su comida antes que él. Gödel tenía un grado de paranoia excesiva por envenenamiento, él trabajó con Albert Einstein y descubrió soluciones paradójicas en ecuaciones de relatividad especial.  Por esto, es que supongo que su paranoia podría ser producto de haber estado involucrado indirectamente en la bomba atómica, no lo sé. En mi opinión Gödel, es el lógico más importante en toda la historia, descubrió (¿inventó?) un resultado muy fuera de lo estándar, que en mi opinión es muy profundo y en mi perspectiva toca los límites entre la matemática y la filosofía analítica. Esto le hizo ganarse su doctorado con una tésis de doce páginas "Über die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalkül" por la universidad de Viena (click aquí).

En general, gracias a él tenemos fundamentos para poder demostrar la veracidad de alguna proposición en matemáticas dadas las reglas del juego (axiomas).  Es decir él practicamente fundó la teoría metamátematica que gobierna a las matemáticas como las conocemos.

De los tres resultados más importantes que Gödel obtuvo por ahí de 1930, el que más ha sido objeto de curiosidad, es sólamente el teorema de incompletud. el más profundo. En mi opinión, este resultado no está bien entendido por las personas que "creen entenderlo", yo caía en este subconjunto hace algunos años, hasta que decidí estudiarlo formalmente

De hecho hay dos teoremas de incompletud y en general cuando la gente habla de el  "teorema de incompletud" casi siempre se refiere al primero de estos.

Nosotros hoy profundizaremos en esto y en las definiciones que nos llevarán a comprenderlo un poco.  Espero ser bastante explícito.

Para ser más formal omitiré el uso de algunos símbolos en matemáticas para no confundir el lenguaje formal que es importante en esto; es decir omitiré la teoría de conjuntos como usualmente la usamos y trataré de expresar todo con la menor cantidad de símbolos.

El teorema de incompletud de Gödel, es como el principio de incertidumbre de Heisenberg, en general se piensa que "existen límites absolutos relacionados con lo que puede ser sabido y medido sobre un fenómeno". Análogamente se dice que los teoremas de Gödel nos dicen que existen verdades matemáticas que jamás podrán ser probadas.

Esto nos lleva a filosofías postmodernistas a veces, y a ideas que apoyan el escepticismo sobre lo que es la verdad... "Nada puede ser completamente sabido realmente"

Un ejemplo absurdo de esto anterior es que existe un libro extraño llamado "Bibliografía el cristianismo y las matemáticas" (sí es en serio) donde se puede ver un ejemplo donde los religiosos usan como herramienta principal el teorema de Gödel para afirmar que si en matemáticas hay cosas que no se pueden demostrar e infieren que también las hay en la religión.  Les encanta el teorema de incompletud ya que "implica" la existencia de dios, ya que él es el único que puede decidir todas las verdades.

Por cierto, también podría interesarles una entrada anterior en mi blog donde Gödel construye un sistema axiomático "mínimo" necesario para que se pueda demostrar la existencia de dios, aquí se las dejo. La intenté demostrar con las palabras más sencillas y contiene una mini introducción a lógica modal.

Empecemos un poco ya con estos teoremas de Gödel. No me considero experto en muchas cosas, incluido esto... así que si notan un error, me harán un gran favor al corregirme.

El primer teorema de incompletud de Gödel de manera burda y débil dice lo siguiente, después lo puliremos:

Teorema 1 de incompletud débil:  (Kurt Gödel)

En un sistema formal suficientemente fuerte existen proposiciones aritméticas verdaderas que no pueden ser demostradas dentro de ese sistema

Ejemplo de enunciado que no se puede demostrar en la teoría de conjuntos (hipótesis del continuo)

Está demostrado que no se puede demostrar que no existe un cardinal infinito "intermedio" entre $latex \aleph_0$ y $latex 2^{\aleph_0}$

Es decir no se puede demostrar que no existe un conjunto infinito estrictamente más grande que $latex \mathbb{N}$ (los números naturales, enteros positivos) y estrictamente más chico que $latex \mathbb{R}$ (todos los números reales, es decir enteros, cocientes de enteros e irracionales como $latex \pi,e,\phi$ et cétera...).
Si no te queda claro esta idea no-intuitiva de que hay infinitos más grandes que otros, imagina que no existe una función que pueda relacionar biyectivamente a los números naturales con los números reales los cuales son muchos más.
Si te interesa profundizar más en esto puedes ver un post anterior aquí sobre los infinitos, cardinalidad, axioma de elección y axiomas de ZF (Zermelo-Fraenkel).

Vamos a tratar de comprender el  teorema de Gödel versión débil a través de definiciones y ejemplos, comencemos...

Lenguajes formales.

Necesitamos entender lo que es un sistema formal, pero para ello, primero necesitamos saber lo que es un lenguaje formal $latex \mathbb{L}$. Para esto necesitamos definir una lista de símbolos, y definir qué secuencias de símbolos son expresiones válidas en el lenguaje  $latex \mathbb{L}$ .

Ahora, cuando se habla de aritmética, significa "lo que podemos hacer con los números".  Es decir, no sólo lo que te enseñan en el kinder sobre los números, sino más bien en términos de teoría de números. 
En el lenguaje formal de la aritmética $latex \mathbb{L}$ tenemos un símbolo para el $latex 1$, también para sumar $latex +$, multiplicar $latex \times$. Más aún, tenemos letras $latex x,y$ que actúan como variables, así como símbolos de igualdad $latex =$ y relaciones de orden como "menor que" < o "mayor que" >.

Menos frecuente, también tenemos partículas lógicas como "Y" $latex (\wedge)$ , "O"  $latex (\vee)$, "implica" $latex (\Rightarrow)$, "NO" $latex (\neg)$ y "sí y sólo si" $latex (\Leftrightarrow)$.

También hay cuantificadores como: "para todo $latex n$" $latex (\forall n)$ así como "existe una $latex n$" $latex (\exists n)$. 

También habrán paréntesis para evitar ambiguedad en las expresiones,  por ejemplo, ya definido nuestro lenguaje, usémoslo para decir algo.

$latex 1< m\wedge \neg(\exists n)(\exists k)(1<n<m \wedge n\times k=m)$

En español:

"$latex m$ es un número mayor que $latex 1$ y no hay $latex n$ ni $latex k$ con $latex n$ menor que $latex m$ cumpliendo que $latex m=n\times k$"

Eso que acabamos de definir es un número primo $latex m$ (un número entero positivo que no tiene factores mayores que $latex 1$), por ejemplo el $latex 7,19,101$ o $latex 31337$.

Ahora, esos símbolos que nos denotan lo que es un número primo, en el lenguaje de la aritmética podemos llamarlo fórmula. Estas fórmulas nos van a servir como un test lógico, que en este caso es una fórmula en función de $latex m$, llamémosla $latex P(m)$. Esta fórmula nos da como resultados "verdadero" o "falso" dependiendo si $latex m$ es primo o no.

Como sabrán... los números primos son muy importantes en la aritmética. Hace 2300 años, Euclides en su libro Elementos probó que que los números primos son infinitos. Esto en nuestro lenguaje formal se puede decir así:

$latex \forall n \exists m (n< m \wedge P(m))$

En español es:

"Para todo número $latex n$ existe un $latex m$ tal que $latex m$ es más grande que $latex n$ y $latex P(m)$ es verdadero (es decir m cumple la fórmula de definición de número primo)".

Más chafa sería que para todo número $latex n$ que se te ocurra, el que sea... siempre podrás encontrar un número más grande que éste que sea primo.

¿Ven el poder de los lenguajes formales? , podemos decir mucho con pocos símbolos.

Otro ejemplo para que quede claro es el concepto de primo gemelo, los cuales son los números naturales $latex n$ tal que $latex n+2$ también es primo. Nadie sabe si existen una infinidad de estos ya que no hay una manera de construirlos. Ejemplos de estos son el $latex 3$ (ya que el $latex 5$ también es primo), incluso el $latex 5$ (porque el $latex 7$ también es primo), pero el $latex 7$ no funciona ya que $latex 7+2=9=3^2$  pero el $latex 11$ sí lo es porque el $latex 13$ es primo.

Si sí existen una infinidad de números primos gemelos, diríamos en nuestro lenguaje, la formula:

$latex \forall n\exists m (n< m \wedge P(m) \wedge P(m+2))$

Es verdadera.

Es decir... para todo $latex n$ que se nos ocurra podemos encontrar un número $latex m$ mayor que $latex n$ que es un primo gemelo.

Esa expresión en el lenguaje de la aritmética NADIE sabe si es verdadera... así como la conjetura fuerte de Goldbach (La débil ya fue resuelta por Helfgott hace unos meses).

Conjetura (Goldbach):
Todo número par mayor que 4 es la suma de 2 números primos impares

Si demostramos algún día la conjetura de Goldbach podremos decir que en $latex \mathbb{L}$ existe el siguiente objeto:

$latex \forall n>4\wedge n=2k (\exists a>2\wedge P(a))(\exists b>2\wedge P(b))(n=a+b)$

Mucho de esto se ataca con el lenguaje de los números complejos que usas en cálculo y análisis como por ejemplo la conjetura de Riemann.

Sistema formal

Ya tienes tu lenguaje formal $latex \mathbb{L}$. Ahora vamos a definir un sistema formal $latex \mathbb S$  en $latex \mathbb{L}$. Esto es definiendo qué proposiciones $latex \mathcal{A}$ de $latex \mathbb{L}$ son axiomas, y qué relaciones entre las proposiciones son reglas de inferencia..

Aquí dije en negritas dos conceptos, "axiomas" y "reglas de inferencia", procedo s definirlos.

Un axioma lo entendemos como una proposición verdadera por sí misma en $latex \mathbb{L}$, y de ésta inferir otras proposiciones. Es decir, son como los bloques de nuestro sistema, no se pueden demostrar y de éstas lograremos construir otras proposiciones. Algunos dicen que son fórmulas del lenguaje $latex \mathbb{L}$ que son evidentes pero yo no coincido NADA con eso. La palabra "evidente" aquí es muy ambigua. Por ejemplo, busca los axiomas de la geometría y demuestra que no se puede deducir uno de otro... no es tan evidente.

Es decir , una proposición que se puede deducir de axiomas NO es un axioma, el axioma es lo más elemental y que todo lo del sistema debe de cumplir. Por ejemplo en $latex \mathbb{L}$, un axioma es  $latex x < y\wedge y< z \Rightarrow x < z$.

Una inferencia es lo que hacemos diario para poder relacionar dos situaciones y saber si son equivalentes o no.  En nuestro caso, si tenemos dos proposiciones $latex \mathcal{A},\mathcal{B}$ del lenguaje $latex \mathbb{L}$, las reglas de inferencia nos permitirán trazar una linea lógica entre $latex \mathcal{A}$ y $latex \mathcal{B}$, y así saber si son equivalentes o alguna implica la otra.  Es decir, si $latex \mathcal{A}\Rightarrow \mathcal{B}$ o $latex \mathcal{B}\Rightarrow \mathcal{A}$ o $latex \mathcal{A} \Leftrightarrow \mathcal{B}$ como ejemplo:

(Lo decapitarán $latex \Rightarrow$ Morirá)

pero... también tenemos que:

$latex \neg$(Morirá $latex \Rightarrow$ Lo decapitarán)

Es decir , si te decapitan es verdadero que vas a morir, pero NO siempre sucede que si vas a morir (todos vamos a morir) es porque te van a decapitar.  El cómo estamos pensando esto desde el sentido de la naturaleza humana es lo que es una regla de inferencia.

Más aún. tenemos como axioma en la vida que los seres humanos son finitos cronológicamente.  Entonces, podemos con base en eso definir una proposición, una equivalencia.

naces $latex \Leftrightarrow$ mueres

Es decir, si naces mueres, y si mueres es porque naciste,

Entonces, en un sistema formal debemos definir los axiomas en el lenguaje $latex \mathbb{L}$ y nuestras reglas de inferencia para poder encontrar relaciones entre las fórmulas/proposiciones de $latex \mathbb{L}$. Se pide también que se pueda computar si una proposición es un axioma o una combinación de implicaciones lógicas deducidas de las reglas de inferencias que vienen de los axiomas.

Ahora, una demostración  en $latex \mathbb{S}$ es una sucesión finita de proposiciones, que cada una de éstas es un axioma o una proposición obtenida de axiomas anteriores conectadas lógicamente por reglas de inferencia. Te puedes imaginar una "gráfica" (o grafo), donde cada vértice es una proposición o teorema de cierto sistema axiomático.  Las aristas (dirigidas) entre dos vértices existirán si existe una relación lógica (implicación) entre ellas obtenida con las reglas de inferencia (el razonamiento básico estipulado en tu sistema formal).

Decimos que una proposición $latex \mathcal A$ es demostrable en $latex \mathbb{S}$ si existe una demostración en $latex \mathbb{S}$ que termina en $latex \mathcal{A}$.

Ahora, también decimos que $latex \mathbb{S}$ es consistente si no hay proposiciones $latex \mathcal{A}$ en $latex \mathbb{L}$ tal que ambas $latex \mathcal{A}$ y $latex \neg \mathcal{A}$ son demostrables en $latex \mathbb{S}$.

Decimos que $latex \mathbb{S}$ es formalmente completo para $latex \mathbb{L}$, si toda proposición $latex \mathcal{A}$ de $latex \mathbb{L}$ se puede demostrar siempre $latex \mathcal{A}$ o $latex \neg \mathcal{A}$ (sólo una de ellas!).

Gödel diría esto equivalentemente en su tesis como:

$latex \mathbb{S}$ es formalmente completo si toda proposición de $latex \mathbb{L}$ es decidible en $latex \mathbb{S}$.

Si $latex \mathbb{S}$ no es completo entonces decimos que existen $latex \mathbb{L}$-proposiciones indecidibles en $latex \mathbb{S}$.

Ahora, decimos que el sistema $latex \mathbb{S}$ es verdadero completo para $latex \mathbb{L}$ si toda proposición verdadera de $latex \mathbb{L}$ es demostrable en $latex \mathbb{S}$ .
Es decir si $latex \mathbb{S}$ es consistente (es decir que puedes demostrar la proposición $latex \matcal{A}$ o su negación (sólo una)) y también es verdadero completo para $latex \mathbb{L}$, entonces es formalmente completo. Esto es ya que toda proposición $latex \mathcal{A}$ de $latex \mathbb{L}$ es o verdadera o falsa (si es falsa, tenemos que su negación es verdadera, por lo que existirá ésta en $latex \mathbb{L}$).

Pero $latex \mathbb{S}$ podría ser consistente y formalmente completo pero no necesariamente verdadero completo. 

Con estos conceptos, ya podemos entender lo que dice el primer teorema de Gödel, excepto por un detalle.
Recordemos lo que dice el primer teorema de Gödel sin pulir y débil, ya pronto enunciaremos el teorema como él mismo lo pensó.

Teorema débil:  (Kurt Gödel), Recapitulando

En un sistema formal suficientemente fuerte existen proposiciones aritméticas verdaderas que no pueden ser demostradas dentro de ese sistema

No sabemos exactamente qué significa "suficientemente fuerte" 

El decir que un sistema formal es suficientemente fuerte, significa que incluye el sistema PA, es decir la aritmética de Peano. Éste PA, son reglas sobre la adición, multiplicación, igualdad y relación de orden (menor que). Pero más allá de eso, los axiomas de Peano conllevan a algo más fuerte que es lo que se pide en "suficientemente fuerte", esto es el principio de inducción matemática en $latex \mathbb{S}$.  Expresado en $latex \mathbb{L}$, dice lo siguiente para un proposición $latex \mathcal{P}$ en $latex \mathbb{L}$:

$latex \mathcal{P}(1)\wedge (\forall n)(\mathcal{P}(n) \Rightarrow \mathcal{P}(n+1)) \Rightarrow (\forall n)\mathcal{P}(n)$

Esta fórmula de $latex \mathbb{L}$  en español dice:

Si $latex 1$ cumple la propiedad $latex \mathcal{P}$, Y si todos los $latex n$ tienen la propiedad $latex \mathcal{P}$ (es decir $latex \mathcal{P}(n)$ es verdadero) e implican que $latex n+1$ también tiene la propiedad $latex \mathcal{P}$,  entonces podemos concluir que todos los números tienen la propiedad $latex \mathcal{P}$.

Esto en teoría de números es muy importante ya que nos permite definir un razonamiento para demostrar una infinidad de proposiciones, es decir que dependan de un parámetro $latex n$ que es una variable que toma una infinidad de valores enteros.

Es decir, los matemáticos no nos vamos a poner a demostrar caso por caso porque da flojera y porque es imposible demostrar una infinidad de casos. La propiedad inductiva en los números naturales nos dice que podemos usar una especie de efecto dominó en las propiedades de los números naturales, permitiéndonos poder generalizar la veracidad de un resultado. Eso de manera informal es el principio de inducción y es lo que Gödel pide en que exista en $latex \mathbb{S}$ para ser considerado éste suficientemente fuerte.  En otras palabras, que el sistema formal contenga la aritmética de Peano la cual trae consigo el principio de inducción.

Los axiomas de Peano son explícitamente estas 5 reglas que con éstas son suficientes para construir toda la aritmética (de hecho la más importante es la función sucesor de un número natural que construye la suma y de ahí todo lo demás en la aritmética:

Axiomas de Peano (de wikipedia)

a) El 1 es un número natural.1 está en $latex \mathbb{N}$, el conjunto de los números naturales.
b) Todo número natural n tiene un sucesor n* (este axioma es usado para definir posteriormente la suma).
c) El 1 no es el sucesor de algún número natural.
d) Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.
e) Si el 1 pertenece a un conjunto K de n naturales, y dado un elemento cualquiera k, el sucesor k* también pertenece al conjunto K, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto K. Este último axioma es el principio de inducción matemática.

Aquí está ya el teorema después de todo el background que hemos visto:

Primer teorema de incompetud de Gödel:
Si $latex \mathbb{S}$ es un sistema formal tal que:

i) El lenguaje $latex \mathbb{L}$ de $latex \mathbb{S}$ contiene el lenguaje de la aritmética 
ii) $latex \mathbb{S}$ incluye los axiomas de Peano
iii) $latex \mathbb{S}$ es consistente

Entonces existe una proposición $latex \mathcal{A}$ en $latex \mathbb{L}$ que es verdadera pero no puede ser demostrada en $latex \mathbb{S}$

La demostración es complicada pero a grosso modo, a cada símbolo del lenguaje $latex \mathbb{L}$ de $latex \mathbb{S}$ le asoció un número natural. Adicionalmente a cada expresión $latex \mathcal{E}$ de $latex \mathbb{L}$ usando los números asociados a sus símbolos le asoció el número natural obtenido de la concatenación de los símbolos que componen $latex \mathcal{E}$, cada uno separado por cero. Él usa el 0 porque no usa ése dígito al asociar naturales a su lenguaje formal $latex \mathbb{L}$.

 A estos números les llamamos números de Gödel para la expresión $latex \mathcal{E}$.

Ahora, como las fórmulas en $latex \mathbb{L}$ son sucesiones finitas por definición, los números de Gödel están bien definidos, y cada expresión de $latex \mathbb{L}$ tiene un número de Gödel.

Las demostraciones en $latex \mathbb{S}$ serán sucesiones finitas de proposiciones conectadas por una implicación, por lo que a éstas demostraciones también se les puede asociar un número de Gödel, (concatenación de los números de Gödel de cada proposición con un 0 separándolas), entonces él definió la siguiente propiedad:

n es el número de Gödel de una demostración $latex \mathcal{A}$ en $latex \mathbb{S}$

como:

$latex \Delta_{\mathbb{S}}(n,\mathcal{A})$

La cual es expresada en el lenguaje de la aritmética $latex \mathbb{L}$ como la proposición

$latex (\exists n) \Delta_{\mathbb{S}}(n,\mathcal{A})$

la cual escribimos como fórmula:

$latex \Lambda_{\mathbb{S}}(\mathcal{A})$

Ésta nos dice que $latex \mathcal{A}$ es demostrable de $latex \mathbb{S}$ o sea que si es verdadera es demostrable en la aritmética de Peano, y si $latex \mathcal{A}$ no es demostrable en $latex \mathbb{S}$ escribimos $latex \neg \Lambda_{\mathbb{S}}(\mathcal{A})$ (la cual será verdadera).

Finalmente , Gödel usó una adaptación de lo que se le llama el método de la diagonal para construir una proposición específica (una cadena de números), llámale $latex \mathcal{D}$ tal que los axiomas de Peano demuestran

$latex \mathcal{D} \Leftrightarrow \neg \Lambda_{\mathbb{S}}(\mathcal{D})$

Es decir que hay un número de Gödel sin demostración asociada.

Ésta  $latex \mathcal{D}$ es construida con base en una proposición que es autoreferenciada. Con más tiempo en el futuro lo compartiré aquí con detalle.

Gödel culmina demostrando que:

* Si $latex \mathbb{S}$ es consistente entonces $latex \mathcal{D}$ es no demostrable con $latex \mathbb{S}$

Y eso termina la demostración del teorema.

Para terminar este post les dejo el segundo teorema de incompletud

Segundo teorema de incompetud de Gödel:
Si $latex \mathbb{S}$ es un sistema formal tal que:

i) El lenguaje $latex \mathbb{L}$ de $latex \mathbb{S}$ contiene el lenguaje de la aritmética 
ii) $latex \mathbb{S}$ incluye los axiomas de Peano
iii) $latex \mathbb{S}$ es consistente

Entonces la consistencia de $latex \mathbb{S}$ y $latex \Lambda_{\mathbb{S}}(\mathcal{A}\wedge \neg \mathcal{A})$ es NO demostrable en $latex \mathbb{S}$

No profundizaré ahora en esta parte, tal vez en otro post que requiere más maquinaria.

Espero les haya servido de algo, este teorema es de los grandes descubrientos en los artefactos que gobiernan a las matemáticas

                                    Kurt Friedrich Gödel,  Abril 28, 1906 - Enero 14, 1978

Eduardo Ruiz Duarte (beck)

twitter: @toorandom

Grupos de trenzas

Si estás desde un smartphone haz click aquí para que se vea mejor.
http://b3ck.blogspot.mx/2014/07/grupos-de-trenzas.html?m=0


Vamos a introducir una noción de Artin que generaliza de cierta forma el grupo simétrico $latex S_n$ de permutaciones, los grupos de trenzas son interesantes porque también tienen una noción geométrica intuitiva que nos va a llevar a su presentación algebraica, el grupo de trenzas de orden $latex n$ será denotado por $latex B_n$ (la $latex B$ es por braid), pero vamos a empezar al revés... daremos una noción intuitiva, un ejemplo y al final daremos la definición formal y veremos que hay usos que se le pueden dar en criptografía.


Lo que vamos a estudiar son configuraciones de "hebras" (hilos) que se ven de esta forma, y ver cómo hacerlas interactuar unas con otras para generar una estructura algebraica que como dijimos anteriormente, generaliza al grupo de permutaciones $latex S_n$ también definido por Emil Artin

Imaginemos que tenemos $latex n=4$ hilos, donde los extremos de cada uno de los 4 hilos están fijos con unos clavos, todas las configuraciones que podamos hacer con 4 hilos que no hagan nudos serán elementos de $latex B_4$ veamos a qué me refiero con esto.

Por ejemplo:

    es diferente a      

Noten la diferencia de las hebras en cuanto a cuál pasa por encima de la otra.



También podemos ver que dibujándolas, las podemos hacer tan complejas como sean, pero al final siempre habrá una manera de dibujarlas de manera simple, es donde entra la abstracción del concepto ya que por ejemplo:

 es lo mismo que

Y no se valen cosas como estos nudos:

Pero ¿por qué le llamamos grupo? , es decir, sabemos que un grupo es una estructura algebraica la cual contiene objetos que pueden interactuar con una operación binaria dando como resultado otros objetos de la misma estructura (cerradura), existe un objeto que es neutro, es decir que deja invariante a todos los elementos bajo la operación binaria y cada uno de los elementos tiene un inverso con esa operación que al usar la operación binaria entre inversos te da como resultado el neutro y es asociativo (como los números enteros bajo la suma)


$latex B_n$ no será abeliano para $latex n>2$ es decir sus elementos no conmutarán, veamos cómo funciona esta operación de $latex B_4$



La manera en la que vamos a sumar dos trenzas $latex \sigma \oplus \tau = \omega \in B_4$ veámosla con un par de ejemplos

 $latex \bigoplus$ $latex =$   

        $latex \sigma$                                                   $latex \tau$                                    $latex \omega$



Observen como se hace la suma, que es "siguiendo" la trayectoria de las hebras en $latex \sigma$ , fijense como se cruzan unas con otras, pero bueno este ejemplo es muy intuitivo, algo un poco más interesante que servirá para que demuestren qué sucede con $latex B_2$ es el siguiente.

   $latex \bigoplus$   $latex =$

        $latex \sigma_1$                                                   $latex \sigma_2$                                    $latex \sigma_3$

Como pueden ver este ejemplo es menos trivial, pueden ver que las dos hebras de arriba se desenrredan

pero las dos de abajo una pasa por encima de otra, y al seguir la trayectoria con $latex \sigma_2$ vemos que pasa por abajo y se hace una trenza en $latex \sigma_3$


Con este ejemplo es fácil ver que $latex B_n$ es infinito con $latex n>1$ ya que las trenzas se pueden enredar cuantas veces quieras, y también se puede ver que $latex B_4$ no es abeliano ya que puedes experimentar un poco con estos ejemplos y verás que te dan elementos diferentes a $latex \omega$ o a $latex \sigma_3$


Pero bueno... ya basta , vamos a representar la infinidad de elementos de $latex B_4$ , para eso es el álgebra no? , no nos da miedo que sean infinitos.


Para poder construir explícitamente la estructura de $latex B_4$ primero tenemos que observar cuáles son las trenzas básicas que nos servirán para representar TODOS los elementos de $latex B_4$ , es decir , de quién son combinaciones.

Consideremos

$latex \sigma_1$	$latex \sigma_2$	$latex \sigma_3$

Todas las trenzas en $latex B_4$ pueden escribirse como composición de estas trenzas y sus inversos, o sea que si $latex \sigma\in B_4$ entonces su inverso $latex \sigma^{-1}$ será el elemento tal que $latex \sigma\oplus \sigma^{-1}=0$ donde 0 es la trenza que no tiene cruces, es decir todas las hebras son paralelas.

Para ver que cada trenza $latex \tau \in B_4$ es combinación de $latex \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3$ y sus inversos, toma una trenza $latex \tau$ arbitraria y comienza a examinar de izquierda a derecha los cruces comenzando de la hebra de hasta arriba, cada que encuentres un cruce de las hebras $latex i$ y $latex i+1$ escribe $latex \sigma_i$  si la hebra $latex i$ pasa por arriba de $latex i+1$ o $latex \sigma_i^{-1}$ si pasa por abajo, y así vas escribiendo todo como la suma de éstos con $latex \oplus$

cuando termines de examinar cada hebra hasta el clavo final de la parte derecha, habrás construido la combinación de estas $latex \sigma_i$'s , y es intuitivo ya que estos generadores son los cruces fundamentales.

Si observas puedes ver que:

(i) $latex \sigma_1\oplus\sigma_3=\sigma_3\oplus\sigma_1$

(ii) $latex \sigma_1\oplus \sigma_2\oplus \sigma_1= \sigma_2\oplus \sigma_1\oplus \sigma_2$

(ii) $latex \sigma_2\oplus \sigma_3\oplus \sigma_2= \sigma_3\oplus \sigma_2\oplus \sigma_3$

Y si no te percataste es fácil que lo veas con una hoja de papel.

Por lo que ya tenemos cómo es $latex B_4$ pero estas identidades se pueden extender en general para $latex B_n$

por lo que:

$latex B_n :=$ < $latex \sigma_1, \sigma_2,...,\sigma_n \mid \sigma_i \oplus \sigma_{i+1}\oplus \sigma_i = \sigma_{i+1}\oplus \sigma_i \oplus \sigma_{i+1}$  con $latex 1\leq i \leq n-2$ , $latex \sigma_i\oplus \sigma_j = \sigma_j \oplus \sigma_i$ con $latex \mid i-j \mid \geq 2$ >


Este grupo ha sido estudiado para criptografía , por David Garber http://arxiv.org/pdf/0711.3941.pdf
Pero desafortunadamente fue roto hace unos años, pero la teoría no deja de ser interesante, ya que se le puede asociar el grupo fundamental (Topología algebraica) de ciertos espacios, y encontrar de quién es el grupo fundamental es lo interesante.

También es interesante investigar cómo $latex B_3$ está relacionado al grupo especial lineal $latex SL(2,\mathbb{Z})$


Y como pendiente queda el grupo de trenzas con 2 hebras $latex B_2$ , pero pues... éste está generado por 2 elementos que son uno inverso de otro, es decir por 1 elemento... que es la trenza simple con dos hebras.... por lo que sólo se pueden generar trenzas con 2,3,4,... vueltas, pero también las puedes deshacer con su inversa , es decir

$latex B_2 \cong$ < $latex \mathbb{Z},+$> = < $latex1,-1$ >


Este es el único grupo de trenzas no trivial que es abeliano y como pueden ver no tiene mucho chiste.


Espero que les haya gustado, las imágenes las saqué de wikipedia y del artículo de David Garber antes mencionado.


Eduardo Ruíz Duarte
Twitter: @toorandom

Grupos de Lie y un ejemplo desarrollado

En el post anterior vimos lo que es una variedad, como matemáticos lo que nos interesa siempre es darle una estructura analítica a los objetos y esta estructura generalizara para poder estudiar mejor el objeto a través de sus funciones o propiedades.

Ahora lo que haremos es darle estructura de grupo a una variedad.


Un grupo de Lie es una variedad que es un grupo también de tal manera que la operación de los elementos del grupo es suave (suave en el sentido diferencial).

Los grupos $latex GL(n,\mathbb{R})$ o $latex SL(n,\mathbb{C})$, grupos ortogonales, simplécticos entre otros son grupos de Lie Famosos, por ejemplo $latex GL(n,\mathbb{R})$ como variedad es disconexo y con dos componentes (matrices con determinante positivo y negativo) y tiene dimensión $latex n^2$.

Otra cosa es que un grupo de Lie es un espacio homogéneo en el sentido de que la translación por la izquierda de un elemento del grupo $latex g$ es un difeomorfismo del grupo en si mismo que manda la identidad a $latex g$ (un automorfismo diferenciable)


Esto lo que nos hace ver es que un grupo de Lie, localmente se ve igual alrededor de cualquier punto, y va a ser clave el espacio tangente a la identidad ya que nos hará definir la operación corchete $latex [ , ]$ que convertirá el grupo en un álgebra de Lie.


Comencemos un poco más formalmente.


Definición: $latex G$ es un grupo de Lie si es una variedad $latex C^{\infty}$  tal que las siguientes dos operaciones de obtener inverso y multiplicación son infinito diferenciables  $latex C^\infty$

$latex \mu: G\times G \rightarrow G$ ,  $latex \mu(a,b)=ab$

$latex \iota:G\rightarrow G$ ,  $latex \iota(a)=a^{-1}$


Ahora, si $latex a\in G$ , denota por $latex l_a:G\rightarrow G$, $latex l_a(x)=\mu(a,x)=ax$ a la operación de multiplicación izquierda por $latex a$ , y la derecha como $latex r_a:G\rightarrow G$, $latex r_a(x)=xa$

Es fácil ver que son difeomorfismos.

Definición: Un mapeo $latex F:H \rightarrow G$ entre dos grupos de Lie $latex H$ y $latex G$ es un homomorfismo de grupos de Lie si $latex F$ es $latex C^\infty$ y $latex F$ es un homomorfismo de grupos.

Esto es que

$latex F(hx)=F(h)F(x) \Leftrightarrow F\circ l_h = l_{F(h)}\circ F$     $latex \forall h\in H$


Ejemplo $latex SL(n,\mathbb{R})$

Regresamos al ejemplo introductorio pero vamos a desarrollarlo ya con estas definiciones.


Tenemos que $latex SL(n,\mathbb{R})$ es un subgrupo de matrices de determinante 1 de $latex GL(n,\mathbb{R})$ , aquí el chiste de verlo como variedad es que veas los elementos de las matrices que pertenecen al grupo como vectores, en el grupo general lineal tienes $n^2 -1$ entradas, es decir lo puedes ver como un vector de ese tamaño, el grupo special lineal que es subgrupo del general tiene dimensión $latex n^2 -1$ y es una subvariedad.

$latex \mu:GL(n,\mathbb{R}) \times GL(n,\mathbb{R})\rightarrow GL(n,\mathbb{R})$
$latex (A,B)\mapsto AB$

es $latex C^\infty$ ya que

$latex (AB)_{ij} = \displaystyle \sum_{k=1}^n {a_{ik}b_{kj}} $

Es un simple polinomio y por lo tanto es una función $latex C^\infty$ de las coordenadas $latex a_{ik},b_{kj}$


Ahora para demostrar que $latex SL(n, \mathbb{R})$ tiene operación de grupo suave, no se sigue de esto , ya que $latex \lbrace a_{ij} \rbrace _{1\leq i , j\leq n}$ no es un sistema de coordenadas en las matrices de $latex SL(n,\mathbb{R}$ ya que como vimos le sobra una (su dimensión es $latex n^2-1$)


Pero sí sabemos que $latex SL(n,\mathbb{R}) \times SL(n,\mathbb{R})$ es una subvariedad de $latex GL(n,\mathbb{R}) \times GL(n,\mathbb{R})$

entonces podemos hacer el mapeo de inclusión:


$latex i:SL(n,\mathbb{R}) \times SL(n,\mathbb{R}) \hookrightarrow GL(n,\mathbb{R}) \times GL(n,\mathbb{R})$

Es relativamente sencillo demostrar que eso es un encaje, toma un $latex p\in SL(n,\mathbb{R}) \times SL(n,\mathbb{R})$ y toma una carta $latex (V,y^1,...,y^n, y^{n+1},...,y^m)$
 para $latex GL(n,\mathbb{R}) \times GL(n,\mathbb{R})$ alrededor de $latex p$ tal que $latex V\cap N$ son los ceros de $latex y^{n+1},...,y^{m}$, para $latex p\in SL(n,\mathbb{R}) \times SL(n,\mathbb{R})$ toma $latex (V\cap N, y^1, ..., y^n)$ y para $latex M$ la inclusión $latex i$ se ve así:


$latex (y^1, ..., y^n) \mapsto (y^1, ..., y^n, 0,...,0)$

Donde claramente se ve que es un encaje , y por lo tanto la operación en $latex SL(n,\mathbb{R})$ también es diferenciable por ser un encaje en el grupo general lineal que consta de un polinomio.


Falta ver que el obtener el inverso también es suave.


Sea $latex \hat{\iota}: SL(n,\mathbb{R}) \rightarrow SL(n,\mathbb{R})$  el mapeo inverso, vamos a ver que es $latex C^\infty$, sea $latex i:SL(n,\mathbb{R}) \hookrightarrow GL(n,\mathbb{R})$ la inclusión y sea $latex \iota: SL(n,\mathbb{R}) \rightarrow SL(n,\mathbb{R})$ el mapeo inverso en $latex GL(n,\mathbb{R})$ (El cual sabemos que es diferenciable, recuerden que para invertir basta un número de operaciones finitas en la matriz que son sumas y multiplicaciones, pero aquí le quitamos una dimensión y tenemos que demostrar que también sigue siendo diferenciable). consideremos la composición de los dos mapeos $latex C^\infty$

$latex \iota \circ i: SL(n,\mathbb{R}) \xrightarrow{i} GL(n,\mathbb{R}) \xrightarrow{\iota} GL(n,\mathbb{R})$

Esto es $latex C^\infty$ ya que su imagen está contenida en la subvariedad $latex SL(n,\mathbb{R})$ que es regular por lo que el mapeo inducido $latex \hat{\iota}$ es $latex C^\infty$ el cual es un resultado básico de geometría diferencial , por lo tanto $latex SL(n,\mathbb{R})$ es un grupo de lie $latex \blacksquare$



En el siguiente post abordaremos el espacio tangente a la identidad de un grupo de Lie para darle estructura de álgebra.


Espero les haya gustado

Eduardo Ruiz Duarte (beck)
twitter: @toorandom

Variedades

Quise volver a recapitular algo de las cosas más hermosas que he estudiado cuando llevé mi curso de geometría diferencial con el Dr. Gregor Weingart, a los físicos les gusta mucho porque con esto pueden medir cualquier cosa  que tenga estructura de variedad y eso les sirve en astrofísica.

Para poder agarrar mejor este post te recomiendo le eches un vistazo a estas entradas
que publiqué anteriormente si comienzas a sentir que no entiendes mucho.

Teorema de la función inversa
Teorema de la función implícita
Espacios tangente en variedades y derivaciones
K-formas diferenciales (1 de 2)
K-formas diferenciales (2 de 2)


Empecemos tratando de recordar cosas.

Variedades diferenciales

Sabemos que para todo $latex m\in \mathbb{R}$, sea $latex \mathbb{R}^m$ el espacio vectorial $latex m$-dimensional equipado con la topología inducida por la métrica usual estándar que es la distancia $latex d(x,y)$ entre dos puntos $latex x,y\in \mathbb{R}^m$ dada por:

$latex d(x,y)=\sqrt{\displaystyle \sum_{i=1}^{m} (x_i-y_i)^2}$

En la práctica los casos usuales son $latex m=2,3$ pero en otras áreas de matemáticas y física el valor de $latex m$ puede ser más grande, en la teoría no hay ni por qué justificarlo.


También tenemos que para todo $latex n,r\in\mathbb{N}$ y un abierto $latex U$ de $latex \mathbb{R}^m$, denotamos por $latex C^r(U,\mathbb{R}^n)$ todas las funciones que son $latex r$ veces continuas diferenciables de $latex U$ a $latex \mathbb{R}^n$ , cuando hablamos de mapeos suaves $latex U \rightarrow \mathbb{R}^n$ nos referimos exactamente a los elementos (son funciones) de:


$latex C^\infty(U,\mathbb{R}^n)=\displaystyle \bigcap_{r=1}^\infty {C^r(U,\mathbb{R}^n)$

Entonces aquí ya tenemos todas las funciones suaves (infinitamente diferenciables) que van de un abierto a $latex \mathbb{R}^n$



Definición (Variedad Topológica, Carta):  Sea $latex (M,\Tau)$ un espacio topológico Hausdorff (Que para dos puntos distintos del espacio puedes encontrar una vecindad de cada uno que no choca con la otra) que tenga base numerable, decimos que $latex M$ es una variedad topológica si existe un número natural $latex m$ y para todo punto $latex p\in M$ , una vecindad $latex U$ abierta de $latex p$ y un mapeo continuo $latex x:U\rightarrow \mathbb{R}^m$ que es un homeomorfismo sobreyectivo en su imagen $latex x(U)$ el cual es un abierto de $latex \mathbb{R}^m$

El par $latex (U,x)$ es llamado carta coordenada local de $latex M$ y $latex m$ es la dimensión y la denotamos en $latex M$ como $latex M^m$



Lo que decimos aquí, una variedad topológica $latex M$ es localmente homeomorfa a $latex \mathbb{R}^m$ para algún $latex m\in\mathbb{N}$.



Estructura diferencial


Vamos a darle estructura diferencial para poder comenzar a explotar la metrica

Definición (atlas) : Si $latex M$ es una variedad topológica , entonces un $latex C^{r}-atlas$ en $latex M$ es la colección:


$latex \mathcal{A}=\lbrace (U_\alpha, x_\alpha) \mid \alpha \in I\rbrace$

Es decir son todas las cartas locales definidas anteriormente que cubren todo $latex M$, es decir.


$latex M=\bigcup_\alpha U_\alpha$

Y para todo $latex \alpha,\beta\in I$ tenemos los correspondientes mapeos de transición:


$latex x_\beta \circ {x}_{\alpha}^{-1} \mid_{x_\alpha(U_\alpha \cap U_\beta)} : x_\alpha(U_\alpha \cap U_\beta) \rightarrow \mathbb{R}^m$

Son $latex r-veces$ diferenciables.

¿Esto qué significa?

Los mapeos de transición nos dan una manera de comparar dos cartas de átlases diferentes, para comparar esto, se compone una carta con la inversa de otra, pero esto podría no estar definido así que lo hacemos sólo en su intersección, eso es lo que ves en los subindices.


Esto lo podemos ver con el siguiente dibujo, espero se entienda.

Ejemplo:


Sea $latex \hat{\mathbb{C}}$ el plano complejo extendido dado por $latex \hat{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\cup \lbrace \infty \rbrace$ y sea $latex \mathbb{C}^{*}=\mathbb{C}\setminus \lbrace 0 \rbrace$, $latex U_0=\mathbb{C}$  y $latex U_\infty = \hat{\mathbb{C}} \setminus \lbrace 0 \rbrace$

Definimos la coordenadas locales:

$latex x_0:U_0\rightarrow \mathbb{C}$ y $latex x_\infty:U_\infty \rightarrow \mathbb{C}$ en $latex \hat{\mathbb{C}}$ por:

$latex x_0:z\mapsto z$
$latex x_\infty:w \mapsto 1/w$

Tenemos que de este atlas "chiquito" los correspondientes mapeso de transición:

$latex x_\infty \circ x_0^{-1}$ y $latex x_0\circ x_\infty^{-1}:\mathbb{C}^{*} \rightarrow \mathbb{C}^{*}$

Están dados ambos por $latex z\mapsto 1/z$ por lo que $latex \mathcal{A}=\lbrace (U_0,x_0),(U_\infty,x_\infty)$ es un $latex C^{\omega}$-atlas (analítico) en la esfera de Riemann $latex \hat{\mathbb{C}}$.


La variedad analítica $latex (\hat{\mathbb{C}},\mathcal{A})$ se le llama Esfera de Riemann.



También ya con esto es fácil intuir que el producto de dos variedades $latex M_1,M_2$ de clase $latex C^{r}$ y sea $latex M=M_1\times M_2$ el espacio producto equipado con la topología de Tychonoff
Entonces existe un atlas para $latex M$  que la hace una variedad diferenciable de clase $latex C^r$ con
$latex dim M = dim M_1 + dim M_2$


Dejaré esto por ahora aquí, luego continúamos con algo más profundo.

Función zeta de Riemann y probabilidad de que dos enteros sean primos relativos

Este post está motivado en que ya estoy de vacaciones y quería hacer algo divertido y también para alguien muy especial que le gusta mucho la probabilidad y estadística, ella sabrá quién es.

Otra motivación es que como siempre tengo problemas para dormir posiblemente por las grandes cantidades de café que introduzco a mi cuerpo, pero empecemos.

Deduciremos una probabilidad que involucra a $latex \pi$ e involucra a números primos que está íntimamente relacionado con el problema del milenio sin solución gracias a Riemann (Conjetura de Riemann sobre la función $latex \zeta$ que puedes ver aquí)

La pregunta es realmente, ¿cuál es la probabilidad de que dos enteros positivos menores que cierto $latex N$ sean primos relativos (no tengan factores en común más que 1)?

Por ejemplo, $latex (6,33)$ no son primos relativos  porque $latex 6=3\cdot 2$ y $latex 33=11\cdot 3$ (comparten al $latex 3$)

pero por ejemplo $latex (14,15)$ son primos relativos porque no comparten factores no triviales y $latex (c,p)$ donde $latex c$ es cualquier entero y $latex p$ es un número primo.

Esta demostración me gusta mucho, aquí la tienen.

Construcción:

Sean $latex x,y\in \mathbb{N}$ con $latex x,y>1$, como queremos que $latex x,y$ sean coprimos no deben tener ningún factor en común.

Empecemos facilito.

¿Cuál es la probabilidad de dos enteros positivos tengan al 2 como factor?

Bueno, la probabilidad de que un sólo número tenga al $latex 2$ como factor es $latex 1/2$ ya que basta que sea par, y esto sucede el 50% de las veces, esto implica que la probabilidad de que los dos tengan al $latex 2$ como factor es $latex (1/2)^2$

Entonces la probabilidad de que $latex \alpha,\beta$ NO tengan al 2 como factor es $latex 1-\Big({\frac{1}{2}}\Big)^2}$

Ahora para el 3, la probabilidad de manera similar de que no lo contenga es de $latex 1-\Big({\frac{1}{3}}\Big)^2}$

Ya que igualmente, "cada 3 números tienes un múltiplo de 3" , y así en general para todo primo $latex p$ tenemos.

Para cada $latex p$ cada $latex p$ numeros pasarás por un múltiplo de $latex p$ a eso nos referimos con la probabilidad de que nos toque a $latex p$ como factor es $latex \frac{1}{p}$.

Por lo tanto la probabilidad $latex P_{\alpha,\beta}$ de que dos enteros al azar $latex \alpha,\beta \in \mathbb{N}$ menores que cierto $latex N$  sean primos relativos es:

$latex P_{\alpha,\beta}=\displaystyle \prod_{p\in \mathbb{P}}{1-\frac{1}{p^2}}} =(1-\frac{1}{2^2})\cdot (1-\frac{1}{3^2})\cdot (1-\frac{1}{5^2})\cdot ...\cdot(1-\frac{1}{{p_n}^2})\cdot ...$  ***

Donde $latex p_n\in\mathbb{P}$ , la probabilidad se obtiene cuando multiplicas para todo número primo es decir cuando $latex n\rightarrow \infty$.

Donde $latex \mathbb{P}$ son todos los números primos, los multiplicamos todos ya que son sucesos probabilisticamente independientes.

Es decir, recuerda que la probabilidad de que sucedan dos eventos independientes $latex A$ y $latex B$ al mismo tiempo es en símbolos $latex P(A \wedge B)=P(A)P(B)$ , con independientes me refiero a que el evento $latex A$ no tenga cierta relación con el evento $latex B$ , y ¿por qué tener factores primos para cada primo son eventos independientes ? , fácil... porque los números son primos, ya que si no lo fueran, digamos la probabilidad de tener a $latex 6$ como factor es dependiente de tener a $latex 2$ y $latex 3$ como factor, pero como aquí son números primos, todos son disjuntos con respecto a la medida de probabilidad que mide tener factores primos y por definición los primos son únicos en este sentido.

Pero esto ¿qué? , es medio obvio... y no nos dice nada...


Vamos a desarrollar eso para llegar a un resultado sorprendente, primero hay que recordar esta serie de cálculo que tiene que ver con sumas en progresiones geométricas , toma $latex a\in \mathbb{R}$ con $latex \mid a \mid$ < $latex 1$ 

$latex \sum_{n=0}^{\infty} a^n = 1+a+a^2+... = \frac{1}{1-a}$   **

Por ejemplo si $latex a=1/7$

$latex \sum_{n=0}^{\infty}\Big (\frac{1}{7}\Big)^n=1+\frac{1}{7}+\frac{1}{7^2}+...=\frac{1}{1-\frac{1}{7}}=\frac{7}{6}\approx 1.1666$

De la fórmula  **   mete $latex a=(1/2)^2$,  y después voltea la fracción, es decir pon el denominador arriba y el numerador abajo, (esto podemos hacer  porque ningún denominador es 0)

Entonces tenemos que el primer término de *** a lo podemos expandir con la fórmula ** (volteada) como:

$latex 1-\frac{1}{2^2}} = \frac{1}{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+...\frac{1}{2^{2k}}+...}$

Similarmente podemos desarrollar todos los términos de $latex P_{\alpha,\beta}$

$latex P_{\alpha,\beta}=(\frac{1}{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+...\frac{1}{2^{2k}}+...})\cdot(\frac{1}{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^4}+...\frac{1}{3^{2k}}+...})\cdot ...$

Observa cuidadosamente la ecuación anterior y fíjate que en los denominadores de los denominadores, están todos los posibles cuadrados perfectos de todos los números naturales, en todas sus combinaciones y sabores cuando $latex k\rightarrow \infty$ tenemos TODOS los cuadrados perfectos, por lo que esa suma horrible es lo mismo que la siguiente representacion


$latex P_{\alpha,\beta}=\frac{1}{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^2}}=\frac{1}{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}+...}$ , es bien sabido que esta serie en el denominador $latex \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$

Es sabido el resultado de esta serie si juegas con la expansión en series de $latex \frac{sen(x)}{x}$
o como el problema de Basilea


Por lo tanto, sabiendo esto, llegamos a este hermoso resultado en teoría analítica de números.

Teorema:
Sean $latex \alpha,\beta \in \mathbb{N}$ donde $latex \alpha,\beta$ < $latex N$ , entonces la probabilidad de que $latex \alpha$ y $latex \beta$ NO tengan factores en común (sean primos relativos) es:  $latex P_{\alpha,\beta}=\frac{6}{\pi^2}\approx 0.6079...$


De hecho, es equivalente esto a la función $latex \zeta$ de Riemann evaluada en $latex 2$ , y la fómula  *** que encontramos es justamente la representación con números primos de la función zeta de Riemann por Euler, pueden verlo aquí así como como la función zeta de Riemann en 2 $latex \zeta(2)$


Espero les haya gustado

Eduardo Ruíz Duarte
twitter @toorandom

Destrucción del lenguaje humano a través de nuevas falacias y mala argumentación

El lenguaje en la sociedad va cambiando, bien lo dice el Dr. Noam Chomsky en su libro "Piratas y emperadores" que muchos de los problemas sociopolíticos y diplomáticos que generan guerras y conflicto en general tienen raíces muy profundas en un mal uso del lenguaje (semántica, pragmalingüistica), llegando a tener que inventar palabras y expresiones que conllevan a argumentos falaces y al final a mal entender ciertas situaciones que se vuelven negativas para alguien, todo esto debido a la naturaleza humana.

Este post pretende mostrar cierto tipo de falacias que creo que nos están invadiendo últimamente y mostrar el hecho de que correlación en sucesos estadísticos no implica causalidad entre ellos.

Como muchos ya saben una falacia es una argumentación que parecería verdadera pero no lo es, por ejemplo:

"Mujeres que usan ropa en colores obscuros más propensas a cáncer que hombres"

Explicación: 

Las mujeres en tonos obscuros de ropa estadísticamente son más depresivas, por lo que su cantidad de endorfinas hace que haya menor producción energética celular y por lo tanto daño en el ADN mitocontrial generando deficiencias en los procesos de respiración celular como lo es en el ciclo de Krebs, haciendo células cada vez más ineficientes.

Por otro lado los hombres con ropa obscura estadísticamente gozan de un buen estatus social y tienden a ser más felices y menos suceptibles a enfermedades debido a sus altos niveles de serotonina y dopamina, también por razones culturales un estudio en X universidad arrojó que las mujeres los encuentran más atractivos por lo que su vida sexual es más activa fomentando la oxitocina en su cuerpo, éstas sustancias son el gran enemigo del cáncer a nivel químico.


Obvio lo anterior es una completa idiotez, pero salió de mi mente sólo juntando ciertas ideas que "localmente" son verdaderas pero globalmente son una estupidez, la mayoría de la gente lo creería si éste lo ve escrito en alguna revista. Está de moda este tipo de "investigaciones" por Universidades muy renombradas como Stanford, Harvard u Oxford que dicen que hicieron este tipo de estudios pero luego son mal interpretados por revistas de "ciencia", y como me dijo un amigo... también está de moda ser científico en las ciencias sociales y las humanidades... y a veces tienen una metodología incorrecta a la hora de argumentar porque no saben que:

Correlación NO implica Causalidad

Esto ¿qué significa?...  que si los datos de ciertos estudios presentan un comportamiento similar en sus gráficas no significa que alguno sea causa de otro... por ejemplo vean esta gráfica tomada de esta excelente página http://www.tylervigen.com

Divorcios en el estado de Maine, EEUU VS Consumo de margarina per cápita de los gringos





Esta gráfica muestra una correlación de más de 0.99:


Las argumentaciones como la estupidez que leyeron hace rato implicarían que como están íntimamente correlacionados, deberán ser causa uno del otro.


Obvio este tipo de argumentaciones se vuelven una verdad para un gran porcentaje de la gente sin si quiera ver la verdadera publicación de la investigación, que quizá está mal interpretada por la revista de divulgación tipo "muy interesante" o "selecciones", y esa verdad viene respaldada por una falacia ad hominem, ad autoritarum (sólo porque X lo dice es verdad, sólo porque Y persona es experta en Z cosa tiene que ser verdadero) o simplemente por creer que la correlación implica causalidad.

Hay que evitar creer en esto porque después se vuelve una mentira masiva y llegar a la fuente, como tema de conversación puede ser interesante o incluso chistoso... pero si te gusta el formalismo o un debate serio no creo que sea conveniente usar estos argumento, si leen a Chomsky verán que poco a poco ir enfermando al cerebro con tantas cosas falsas puede tener consecuencias negativas.


Ahora por otro lado creo en el nacimiento de otro tipo de falacias, en la jerga nueva de internet nacen otras expresiones que se usan como preámbulo antes de contra argumentar a alguien algo de lo cual no estamos de acuerdo, dos ejemplos son:

IMHO (In my humble opinion, En mi humilde opinion)
AFAIK (As far as I know, hasta donde yo sé)

Et cétera...

Este tipo de expresiones desde mi punto de vista provoca 2 falacias.

1. El hacer creer que como su punto de vista se localiza supuestamente en un estado neutral de pensamiento, la argumentación deberá ser libre de prejucios sólo con poner la nueva palabra antes que el argumento (ésta palabra no aporta nada a la idea).

2. Hacer creer a la contraparte que la persona por estar siendo "humilde" su proposición deberá ser verdadera.


Lo enfatizo porque he observado que la gente se prende cuando no se utilizan este tipo de preámbulos a la hora de contra-argumentar, a veces para mostrar cierta educación y evitar llegar a verse déspota, sabelotodo o simplemente mamón, pero ése tipo de cosas son las que nos critican algunos Españoles, Argentinos y otros, nos disculpamos demasiado cuando hablamos, seamos directos con la idea... si tu argumento es correcto no necesitas disculparte antes de hablar.


También creo que toda la retórica política es bazofia y está repleta de esto, las ideas se hacen complicadas y generalizadas para poder interpretarse de una infinidad de maneras haciendo imposible el hecho de transmitir la idea, la cual es la más importante para transmitir como fin del lenguaje.

Hay un libro en línea "Un libro ilustrado de los malos argumentos" que lo pueden leer en 15 minutos, recomendación de un gran amigo mío Omar Lara Salazar, es muy corto y tiene dibujos, creo que debería de ser un libro obligatorio para los niños en 5to o 6to de primaria que les recomiendo mucho, es para entender las falacias más usuales y que cada vez que debatas tanto tú como la otra persona aprendan uno del otro y no sólo desechen la información.

https://bookofbadarguments.com/es/


Espero les haya gustado el post, opinen.

(IMHO) In my humble opinion

Eduardo Ruíz Duarte
twitter: @toorandom

Matemáticas del sonido, ondas, oscilaciones, construyendo el concepto de vibración

Recientemente me he tenido que meter a un poco de temas de análisis de fourier y cosas de señales de audio, por lo que se me hizo justo el tener que regresar algo del conocimiento a mi blog.

Pero pues aquí siempre trato de poner lo que sea más interesante para el público, tratando de no llegar a cosas muy abstractas (aunque a veces no me aguanto) , pero pues hoy lo que haremos es tratar de ver el por qué el sonido se ve como una onda.


Todo el mundo hemos escuchado que el sonido es debido a vibraciones, es decir, la música está compuesta de vibraciones.

Por ejemplo los músicos (y los aficionados como yo) utilizamos una cosa que se llama diapasón, el cual es un como tenedor que al golpearlo generará vibraciones que harán que aire se mueva y producirá una onda, pero... ¿por qué digo esto? , ¿cuál onda? , ¿qué forma tiene la onda?

Este es un diapasón por si no lo conocen, generalmente vibra a una frecuencia de 440HZ para producir una nota musical que se llama "LA" (4) , eso de los 440 HZ es simplemente que en 1 segundo produce 440 sucesos que trataremos de explicar ahora mismo.

Entonces ¿Por qué vibra el diapasón?


La respuesta es con pura física y matemática simple, cuando le pegas a un diapasón, éste se deforma y después existe otra fuerza que lo regresa a su posición original.

Pero esto tiene inercia y también se deforma en la posición contraria y regresa y otra vez a la posición original, et cétera... y continúa en el tiempo hasta que la oscilación eventualmente termina.

Mientras el diapasón está oscilando, éste está empujando al aire, la presión de las ondas es lo que llega a nuestro oído.

El resultado del sonido depende de dos factores, es el balance de la fuerza que hace que vuelva a su posición original para estar en equilibrio y la inercia que hace que se doble hacia el otro lado y regrese y se doble, es decir que se "exceda" la deformación de manera contraria.

Veamos este dibujito, que nos muestra a qué me refiero con la deformación y la posición del diapasón.

Mi meta en este post es hacer ver y explicar cómo vibra el diapasón cuando lo golpeas

El desplazamiento del diapazón al golpearlo lo denotaremos por $latex x$ , con propósitos de hacer esto lo más simple posible, supón que la fuerza que tiende a dejar el diapasón en su posición original es PROPORCIONAL al desplazamiento del diapazón al golpearlo... es decir a $latex x$, claramente esta fuerza es negativa ya que es la fuerza contraria con la que le pegamos al diapazón con el martillo.

Entonces lo que tenemos aquí es que cuando el diapasón es empujado en la dirección positiva $latex x$ la fuerza que estamos tratando de modelar lo "jala" en la dirección negativa $latex -x$ por lo tanto:


$latex F=-kx$


Donde $latex F$ es la fuerza de restauración del diapasón (también le podemos decir elasticidad ya que mide la fuera en que deformándose vuelve a su posición original) y $latex k$  es la variable de proporcionalidad que acabamos de explicar, y es negativa también por lo que acabamos de explicar.

Pero todos en la secundaria aprendimos la segunda ley de Newton, que nos dice que "Fuerza es igual a masa por aceleración"  $latex F=ma$ donde $latex m$ es la masa del diapasón y $latex a$ es la aceleración.

Entonces tenemos ahora que $latex -kx = ma$

Como nosotros queremos saber la mecánica del diapasón, , lo único que hemos derivado es la relación que hay entre la posición y la aceleración... parecería que es suficiente, pero ¿dónde están las ondas? , ¿dónde están las frecuencias?


Recordemos que también en la prepa nos enseñaron que en términos de física la segunda derivada del desplazamiento con respecto al tiempo es la aceleración, es decir en símbolos, podemos reescribir la ecuación $latex -kx=ma$ sustituyendo la aceleración y despejando:


$latex \frac{d^{2}x}{dt^2}=-(kx/m)=-\frac{k}{m}x$


Esta ecuación ya se ve con más forma, tenemos que resolverla ya que de hecho esta ecuación ya nos da movimiento


Lo que nos dice esta ecuación es que necesitamos una función $latex x(t)$ (que depende del tiempo) que sea proporcional a su segunda derivada.

En otras palabras... queremos encontrar una función $latex x(t)$ que derivándola dos veces nos de la misma función $latex x(t)$ multiplicada por $latex -\frac{k}{m}$ es decir nos dé   $latex -\frac{k}{m}x(t)$

¿Creo que ya vamos viendo qué onda no?, para aquellos que llevaron cálculo  es fácil intuir cuál es esta función.

En la prepa aprendimos que:

$latex \frac{d}{dt}sen(\omega t) = \omega cos(\omega t)$

y que:

$latex \frac{d}{dt}cos(\omega t) = -\omega sen(\omega t)$

Aquí a este $latex \omega$ algunos lo conocieron como frecuencia de oscilación, ya que el variar esta $latex \omega$ cambia el periodo del seno y coseno, es decir, modificar esta $latex \omega$ hace que salgan más o menos crestas y valles en la onda en un mismo intervalo de tiempo.


Si calculamos la aceleración de $latex sen(\omega t)$ y de $latex cos(\omega t)$ tenemos que:


$latex \frac{d^2}{dt^2}sen(\omega t)=-\omega^2 sen(\omega t)$

y

$latex \frac{d^2}{dt^2}cos(\omega t)=-\omega^2 cos(\omega t)$


Donde pueden ver que hemos encontrado la función (las funciones) que cumplen el diapasón, ya que su segunda derivada nos da si misma por una constante negativa.

Pero realmente la solución en términos prácticos es única, el coseno y el seno no son más que una versión "atrasada" del otro por lo que generalmente la solución general a este problema se le llama sinusoide.


Para que la ecuación del diapasón esté completa, basta sólamente observar que nuestra primera relación se satisface perfectamente si $latex \frac{-k}{m}=-\omega^2$ eso quiere decir que:

$latex \omega=\sqrt{k/m}$


Esta ecuación que acabamos de construir es la del movimiento armónico simple, y en muchos problemas de oscilación aparece como primera aproximación, por ejemplo un péndulo o en cualquier situación donde la fuerza de restauración del objeto es proporcional al desplazamiento que provocó la fuerza en él.

Ahora... observando que $latex \omega=\sqrt{k/m}$ recuerda que $latex \omega$ es la frecuencia de la oscilación... te dice qué tan rápido el diapasón está vibrando... cuando el tiempo $latex t$ está cambiando por $latex 2\pi/\omega$ el argumento $latex \omega t$ cambia por $latex 2\pi$ radianes, y el seno o coseno pasa por un ciclo completo, esto quiere decir que el periodo de la vibración es $latex 2\pi/\omega$.

Entre más grande sea la frecuencia $latex \omega$ más chico será el periodo (inversamente proporcionales).


Recuerden que $latex m$ es la masa del diapasón, y si está es muy grande entonces la frecuencia será menor (jueguen con los números) , lo cual confirma lo intuitivo de la vida, sabemos que los objetos con mas masa vibran menos, y se oyen menos.

También la misma ecuación $latex \omega=\sqrt{k/m}$ nos dice que entre más grande sea $latex k$ que es la constante de restauración, es más grande la frecuencia de la vibración... esto también hace sentido, piensen en la cuerda de una guitarra.

En pocas palabras lo que nos dice todo esto es que la frecuencia de una vibración es proporcional a la raíz cuadrada de $latex k/m$ es decir para doblar la frecuencia de un diapasón, necesitaríamos 4 veces más masa.


Esta proporcionalidad entre frecuencia y oscilación con la raíz cuadrada de la razón entre la masa y la elasticidad (k) y la medida de la inercia es un fenómeno muy general que sucede en muchísimas situaciónes y es muy importante en física.

Como dijimos hace rato el coseno y el seno son lo mismo pero uno más atrasado que el otro... de hecho

$latex cos(\omega t)=sen(\omega t + \pi/2)$

Es decir... el seno y el coseno difieren en fase por el ángulo $latex \pi/2$

Es fácil ver diferenciando que la ecuación que calculamos al principio:

$latex \frac{d^{2}x}{dt^2}=-(kx/m)=-\frac{k}{m}x$

Se satisface con seno o coseno en cualquier fase, sólo deriva dos veces:

$latex x(t)=sen(\omega t+\phi)$  

y verás que siempre obtendrás $latex -\omega^2 x(t)$ para cualquier valor de $latex \phi$


La fase relativa $latex \phi$ realmente es arbitraria y está determinada por la posición del origen del tiempo, para ver esto , sólamente desplaza el tiempo por un factor $latex \tau$  y verás a que llegas a la misma $latex \phi$ , en símbolos

$latex sen[\omega(t+\tau)]=sen[\omega t + \omega \tau ] = sen[\omega t + \phi]$

Esta trivialidad sólo es para mostrar que el recorrer el tiempo por $latex \tau$ resulta en recorrer por un arbitrario $latex \phi=\omega \tau$, es decir al momento de desplazar el tiempo siempre TODAS las sinusoides tienen la misma FORMA.

Matemáticamente es que el conjunto de todos los sinusoides en una frecuencia física está cerrado bajo desplazamiento de tiempo, si lo vemos en su gráfica vemos que  la forma de un sinusoide siempre es la misma sin importar cuándo la observemos, los sinusoides en la misma frecuencia también están cerrados bajo adición y eso lo veremos después que es el principio de todo el análisis de señales y de mostrar que toda señal es suma de senos y cosenos.


Espero les haya servido

Eduardo Ruiz Duarte (beck)
twitter: @toorandom