Wednesday, April 16, 2014

Existencia de dios a priori y lógica de Gödel, explicación de demostración y fundamentos de lógica modal


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Nota. Este post no pretende establecer una posición sobre la existencia de dios o no, sino sólo tratar de comprender el argumento ontológico de Gödel de manera quasi-formal desde mi punto de vista y mi reducido expertise en lógica del que creo es el argumento apriori mejor desarrollado sobre este tema a través de lógica modal la cual trataremos de explicar de manera reducida, errores deberán existir los cuales agradecería me los hicieran ver a través de los comentarios.


Desde muy temprana edad he sido ateo por razones que luego platicaré en mi blog que fueron divertidas en mi infancia, este ateísmo últimamente me ha hecho querer profundizar un poco en el por qué de mi decisión ideológica y acabo de leer el excelente libro de Richard Dawkins The God Delusion ya que aparte de las matemáticas siempre he sido muy entusiasta de la teología y el pensamiento racional, creo que las religiones son la razón de lo que somos hoy en día ya que por más ateos que seamos, muchas de las costumbres, moral y ética fueron heredadas de las religiones (ej. monogamia, tabú sexual, et cétera) por lo que el entendimiento de la teología garantiza un mejor estudio antropológico e histórico de las sociedades tempranas e incluso futuras (¿será?) .

Al leer el libro de Richard Dawkins me topé con que él discute argumentos ontológicos como el de la existencia de dios según Anselmo de Canterbury (Sacerdote en el año 1093) y otras situaciones similares, pero no discute uno de los argumentos de un gran personaje que para los adoradores de Einstein debería ser superior en su pensamiento deductivo y racional, Kurt Gödel.

Kurt fue un lógico alemán que fundamentó lo que David Hilbert no terminó relacionado con la metamatemática que es estudiar la maquinaria que gobierna a las matemáticas (lenguaje, símbolos, reglas de inferencia, sistemas formales, demostraciones). El trabajo de Gödel es respetado por todos los matemáticos debido a que sin éste el pensamiento matemático sería diferente en función a la teoría de la demostración en cualquier sistema formal.

Trataré de dar mi punto de vista sobre dios y lo que he leído, así como su relación con la matemática que en mi humilde e ignorante opinión logro entender ya que no soy experto en el área, pero demostraré los teoremas que plantea Gödel con palabras para todos los no-lógicos así que si notan alguna equivocación favor de corregirme .

Primero que nada, si tú quieres demostrar que algo existe necesitas definirlo, y Anselmo de Canterbury define a dios cómo:

Dios es lo que nada podría concebirse mayor a éste en términos de perfección

El libro de Dawkins no menciona nada de lo que Kurt intenta formalizar y pulir sobre la existencia de dios pero aquí intentaré explicarlo con la lógica adecuada (Modal) pero primero veamos lo que Kurt quiere formalizar debido a Anselmo de Canterbury:



Dios, es por definición lo más grande y perfecto que se puede concebir, dios existe en el entendimiento, en la mente, y si dios existe en el entendimiento, podríamos imaginarlo más grande y perfecto al existir en la realidad por lo tanto dios existe.



Este último párrafo por Anselmo de Canterbury fue diseñado a modo de dirigirlo no a los humanos sino al mismísimo dios a través de la oración. (lo cual se me hace absurdo, ya que si dios existiera, por qué éste necesitaría convencerse de su propia existencia). 

¿Cuál es la disyuntiva del argumento de Anselmo con una verdadera demostración?

Intentaré explicarlo como lo entiendo ya que como dije, no soy especialista en lógica a pesar de que más adelante en este artículo intentaré usar mi curso básico y lecturas rápidas de lógica modal en la universidad para poder darle más sentido a priori a esto:


Tú puedes concebir aunque seas ateo a un ser tan superlativo como quieras, aunque niegues que realmente pueda existir, después, el argumento afirma que si un ser no existe en el mundo real significa que es imperfecto, pero como dios es perfecto por lo tanto voilá dios existe


El problema aquí está en una premisa de Anselmo que es muy fuerte que aquí la expongo con la regla de inferencia modus tollendo tollens, que de ser "verdadera" , su lógica deberá ser correcta y dios existe.


"X no existe ergo X es imperfecto"


El problema aquí de Anselmo es que utiliza artificios dialécticos para obtener conclusiones universales a través de la retórica en la definición de dios, y eso desde el punto de vista racional apesta.


Para que la lógica funcione, la deducción de una proposición en un sistema formal con ciertas reglas de inferencia se basa en las propiedades de los objetos a evaluar, esto es formalizado por Gödel, el problema del argumento ontológico de Anselmo, como criticó Immanuel Kant es que 

Existencia NO es una propiedad”.

, Anselmo utiliza la existencia como una propiedad intrínseca de un objeto, pero, ¿cómo puede haber un objeto que tenga la propiedad de "no existir"? , bueno, no todo está perdido, y es donde entra la lógica modal, donde se utilizan diferentes situaciones en las cuales una proposición puede ser verdadera o falsa, o SIEMPRE verdadera como la proposición "Llueve o no llueve" la cual nunca es falsa en cualquier circunstancia.
 Gödel sustituye este concepto por la propiedad de que sea “necesaria su existencia”, es decir agrega un operador simbólico que es distinto a la existencia y es muy importante desde el punto de vista formal, semántico e interpretativo en lógica modal la cual resumiremos pronto.
Anselmo estaba usando si querer lógica modal que en su época no existía aún de manera formal, Gödel la define así:

Lógica modal

Antes de llegar a la parte simbólica que es la que te podrá hacer leer el argumento ontológico de Gödel, veremos lo que es la lógica modal, primero imagina cómo tú haces deducciones de tu entorno, o sea tu lógica sin saberlo funciona usando miles de premisas y miles de situaciones comparables, es decir tu lógica no está acotada a un simple $latex P \rightarrow Q$ .

En la lógica modal imagina que la realidad es el que vives, pero también sabes que la realidad podría ser distinta dependiendo de factores que la pudieran haber alterado o factores los cuales alterarían el futuro con distintas posibilidades de mundos según los posibles factores de desarrollo de ésta, es decir existen otras posibles realidades.

En la lógica modal todas las realidades posibles son denotadas por $latex \Diamond$ y las necesarias denotadas por $latex \Box$ 


¿Qué significa $latex \Diamond P$ ? 

Esto es que $latex P$ es posiblemente verdadero, es decir existe una posible realidad en la que $latex P$ podría ser verdadero, es decir en algún mundo, el desarrollo de sus condiciones y premisas podrían hacer que $latex P$ fuera verdadero, a manera de ejemplo, existe un mundo, una realidad en la que tú no hubieras existido, (si hubieran atropellado a tus padres, o si hubieran abortado, o si tu bisabuelo hubiera muerto en una guerrilla)


¿qué significa $latex \Box P$ ? 

Esta es "más fuerte" ya que dice que $latex P$ es verdadero en todos los mundos/realidades posibles , es fácil mostrar que existen proposiciones que son verdaderas en todos los mundos por ejemplo 


$latex \Box (\neg P \lor P)$

 En particular como ejemplo con palabras, "en todos los mundos o llueve o no llueve", esa proposición es verdadera en todos los mundos para cualquier $latex P$, esto se le llama el principio del tercero excluido.



Entonces tenemos aquí que con lógica simbólica a manera de resumen.

  • $latex P$:     $latex P$ es verdadero en la realidad actual, en el mundo real
  • $latex \Diamond P$:   $latex P$ es posiblemente verdadero, es decir es verdadero en algun/os mundos posibles
  • $latex \Box P$:  $latex P$ es necesariamente verdadero, es decir no hay ninguna situación/mundo/realidad en donde $latex P$ pudiese ser falso



Para profundizar un poco en este tipo de pensamiento lógico recomiendo vean literatura la cual es vasta en internet sobre lógica modal, pero creo que con esto podemos avanzar un poco 

Gödel al poder corregir a Anselmo y convertir en propiedad la existencia de dios a través de esta lógica
la cual nosotros usamos diariamente para hacer deducciones, noten que no es tan rara, demuestra que el objeto dios existe, (noten que no es el dios cotidiano, es el de la definición de perfección.

Recuerden que las matemáticas se crean a partir de axiomas , que son las reglas del juego, y dentro del juego hay objetos los cuales se deben definir para poder establecer equivalencias, cuando se juegan con los axiomas se crean proposiciones universales dentro del sistema, y después teoremas que generalizan, se pueden deducir corolarios que son consecuencias particulares importantes del teorema, aquí tenemos la demostración de Gödel que en 1970 en su lecho de muerte se la mostró a su alumna Dana Scott quien la publico sin su permiso después de morir (me parece, chéquenlo) y trataré de dar una explicación a cada renglón abajo.




Para poder entender esto obviamente hay que suponer ciertos principios también los cuales Gödel consideraba universales, uno de ellos es el Principio de plenitud el cual fue estudiado desde Aristóteles hasta Immanuel Kant, el cual dice que:

Cualquier cosa que pueda suceder, eventualmente sucederá

Esto no suena descabellado y suena modal ¿no? es decir se basa en todas las posibles situaciones en las que algo pueda existir, desde mi punto de vista suponiendo algo más grande, la infinitud del universo y el tiempo, es decir, si algo tiene la posibilidad de ser verdadero, y si existen una infinidad de variables en una infinidad de tiempo para que todo se acomode, eventualmente ese algo podrá ser verdadero.

De los 4 axiomas Gödel argumenta que dios existe en algún mundo posible usando este principio de plenitud argumentando la consistencia lógica de lo que es "de dios" o más informlamente "divino".

Otra cosa que define Gödel son esencias:

si $latex x$ es un objeto en algún mundo posible, entonces la propiedad $latex P$ se dice ser una esencia de $latex x$ si $latex P(x)$ es verdadero en ese mundo y si $latex P$ conlleva todas las propiedades que $latex x$ tiene en ese mundo


Otra definición importante es de la existencia necesaria:

 $latex x$ necesariamente existe si para toda esencia $latex P$ lo siguiente es verdadero:
En todo mundo posible, existe un elemento $latex y$ donde $latex P(y)$ es verdadero 

Entonces tenemos ahora que la propiedad $latex P$ significa que $latex P(x)$ si y sólo sí $latex x$ tiene la propiedad de ser algo bueno o positivo, es decir las cosas que en su totalidad puedan hacer llegar a la definición de dios, es decir, dios tiene todas las propiedades positivas.

Vamos ahora a explicar cada línea de manera coloquial la demostración y de manera más coloquial en negritas.


Intento de explicación de demostración ontológica de Gödel

  • Axioma 1. Si $latex \phi$ tiene la propiedad de ser positivo/bueno y es necesariamente verdadero que todo lo que tenga la propiedad $latex \phi$ tenga la propiedad $latex \psi$ entonces $latex \psi$ también es bueno o positivo  ,   esto quiere decir que si $latex X$ es bueno y ese $latex X$ tiene la propiedad $latex Y$ en todos los mundos entonces $latex Y$ tiene que ser bueno

  • Axioma 2. Para toda propiedad $latex \phi$ tenemos que sólamente una $latex \phi$ o $latex \neg \phi$ es bueno o positivo o sea que si $latex \neg X$ es bueno o positivo tenemos que $latex X$ es malo, esto es análogo al principio del tercero exluido.

  • Teorema 1. Aquí es donde se usa el principio de plenitud,   Si $latex \phi$ es bueno es posible que exista un objeto con la propiedad $latex \phi$ es decir hay un mundo en el que puede existir algo bueno. 
Demostración (con mucho choro pero es necesario):

Supongamos que existe un $latex \phi$ bueno PERO que necesariamente nada tiene la propiedad $latex \phi$ (recuerden que necesariamente es algo que sucede o no en todos los mundos), buscamos contradicción ya que estamos usando las reglas de inferencia usuales, en este caso el principio del tercero excluido para reducción al absurdo.

Si suponemos lo anterior entonces la propiedad $latex \phi$ implicaría por vacuidad TODAS las propiedades, en particular tendríamos que $latex \phi \Rightarrow \neg \phi$ que por el axioma 1 implicaría que $latex \neg \phi$ es bueno por o tanto $latex \phi$ y $latex \neg \phi$ tienen la propiedad de ser buenos lo que contradice el axioma 2 y por lo tanto la suposición es falsa y por el tercero excluido tenemos que entonces la negación de la suposición es verdadera y esto implica que si $latex X$ es bueno, debe existir una realidad donde haya algún objeto con la propiedad $latex X$.


(Perdón por tanto choro en la demostración pero creo que hay que ser cuidadoso aquí con todo lo que se supone ya que es muy vulnerable a usar argumentos inválidos a este nivel)


  • Definición 1. Llamamos a algo $latex x$ divino cuando tiene todas las propiedades buenas Se usa la letra G porque en inglés es "God-like" o "similar a dios" pero con fines prácticos le llamaré "divino"

  • Axioma 3. Ser divino es bueno


  • Teorema 2. Es posible (en el sentido de lógica modal, es decir existe un mundo en el cual...) que exista algo divino este teorema se explica por si solo.

Demostración:

Sabemos por el teorema 1 que si $latex \phi$ es bueno debe existir algún objeto en un posible mundo que tenga la propiedad $latex \phi$ , si cambiamos a $latex \phi$ por el la propiedad "ser divino" proveniente del axioma 3, ya tenemos la demostración del teorema 2 qed $latex \blacksquare$.  (Realmente no sé por que Gödel le llama Teorema... yo le llamaría Corolario... pero tal vez es por el hecho de que el objeto al que se aplica es directamente un axioma y no una proposición)




  • Definición 2. Aquí define lo que anteriormente ya habíamos mencionado sobre esencia, que de nuevo resumidamente tenemos que $latex \phi$ es la esencia de un objeto $latex x$ cuando:
  1. $latex x$ tiene la propiedad $latex \phi$
  2. La propiedad $latex \phi$ fuerza a todas las propiedades de $latex x$ a ser verdaderas.

  • Axioma 4. Si $latex \phi$ es bueno entonces $latex \phi$ es necesariamente bueno (es decir en el sentido modal, $latex \phi$ en todas las realidades y mundos deberá ser bueno. (aquí es donde comienza la onda complicada filosófica desde mi punto de vista)


  • Teorema 3. Si un objeto es divino entonces ser divino es su esencia

Demostración:

Recordemos que si $latex x$ es divino entonces tenemos que este $latex x$ tiene TODAS las propiedades buenas/positivas  por el axioma 2.  Esto quiere decir que TODAS las propiedades de algún objeto divino son buenas/positivas por lo tanto son necesariamente buenas/positivasi (recuerden que en el sentido modal la palabra "necesario") por el axioma 4.  qed. $latex \blacksquare$

  • Definición 3: Decimos que $latex x$ es indispensable, denotado por $latex E(x)$ cuando algo que tenga esencia DEBE existir.

  • Axioma 5: Ser indispensable es bueno


  • Teorema 4. Lo divino necesariamente existe  (es decir en todas las realidades y mundos existe el concepto de divino definido aquí previamente teniendo todas las propiedades buenas con P)
Demostración:

Si algo es divino, entonces tiene por definición todas las propiedades buenas, vemos por el axioma 5 que esto es indispensable ya que es una propiedad buena.

Por definición un objeto con esencia que es divino, por el teorema 3, debe existir.  

Esto es que si algo divino existe, entonces necesariamente existe para que algo divino exista.

Por otro lado ya probamos el teorema 2 y tenemos que es posible que algo divino exista (en el sentido modal hay un mundo en el que algo divino existe).

por lo tanto es posible que sea necesario que algo divino exista, esto implica que necesariamente existe algo divino (es decir existe una realidad donde se deduce que en todas las realidades existe algo divino, por lo que sí existe en una realidad, existe en todas las realidades, por lo tanto lo divino existe en todas las realidades)  QED. 


Cómo ven esta demostración no tiene error en la lógica, es decir es deductiva, y representa un conocimiento a priori sobre la existencia de dios


¿Pero entonces por qué SOY ateo?

Los axiomas son demasiado fuertes para mí como para poder ser aceptados por mi mente.
recuerden que los axiomas no se demuestran, sino representan las reglas con las que vamos a poder razonar dentro de un sistema, el axioma 5 por ejemplo es muy duro para mí, el decir que lo indispensable es bueno... creo que es algo muy filosófico, el axioma 1 no me gusta tampoco, es decir, algo bueno en todas las realidades está compuesto de implicaciones a él mismo que son buenas...




Si los axiomas les gustan, existe algo divino, pero olviden a sus dioses con nombre e identidad, esos no son de los que Gödel hablaba, el sólo hablaba de un ser máximo en perfección repleto de todas las propiedades buenas.




Esto es algo que no es mi ramo e intenté explicarlo como lo entendí de mi libro de lógica A new introduction to Modal Logic y de lo que recordé de mi curso de Lógica II de hace algunos años, aquí lo que usé para lógica modal realmente debería de estudiarse si les interesa como Lógica Modal S5 que es la que Gödel utilizó.



Tú qué opinas? , dios existe?


Eduardo Ruíz Duarte (PGP)
Twitter: @toorandom







2 comments:

Juan García said...

Yo soy ATEO y afirmo que dios si EXISTE y además es REAL: http://ateosinnatos.blogspot.com/2014/01/dios-existe-y-es-real.html
Saludos cordiales.

Víctor Hugo said...

Muy interesante tu aporte, me agrada que tengas este tipo de pensamiento y cuestiones lo que a ti llega. El libro de Richard Dawkins también lo he leído, concuerdo en todo aquello en lo que se dedica a desmentir muchas mentiras biblicas, pues hay mucho mito y cuentos absurdos. Ahora bien, en tu demostración habría que definir bajo que contexto se considera algo bueno, ¿Que es bueno? Sabemos que hemos creado un sistema moral, donde hemos definido lo que es "bueno" o "malo" pero ¿Realmente lo bueno es bueno? Un terremoto donde mueren millones de personas ¿Es algo malo? o es ¿Bueno? bajo que contexto? ¿El que un planta carnivora mate a una mosca? ¿Es mala o buena? En fin, utilizando los conceptos que tenemos para definir a un dios o Dios, sería caer en paradojas o aceptaciones por medio de axiomas, que en aplicaría a una realidad limitada donde se define algo como "bueno" cuando quizas no lo sea así. Disfrute de leer tú escrito!