Cohomología de Monsky-Washnitzer y punto fijo de Lefschetz (parte 1 Cohomología Grothendieck-deRham Algebraico)

Este es el último post de este año, mañana me voy de vacaciones a Israel pero vine a la oficina en 28 de diciembre para no sentirme culpable de estar en el mar muerto flotando y no continuando mis algoritmos y proyectos pendientes para mi trabajo de investigación en mi actual casa académica que es el Instituto Johann Bernoulli en los Países Bajos.

Parte de lo que estoy investigando tiene que ver con contar soluciones $latex \mathbb{F}_q$-racionales de jacobianas de curvas hiperelípticas de género 2, como ya lo he mencionado en posts anteriores, esto es importante, por razones prácticas y por razones puramente matemáticas.

En cuanto a las razones prácticas tenemos que estas jacobianas de curvas hiperelípticas están consideradas para suplir en un futuro a las curvas elípticas en criptografía, por lo que necesitamos ver maneras de extraer la cardinalidad de su conjunto de soluciónes con el fin de poder ver si el grupo abeliano asociado a la curva es seguro en términos criptográficos. Esta cardinalidad nos dará la traza del endomorfismo de Frobenius, y por lo tanto, podemos obtener también la cardinalidad de la curva hiperelíptica.

Las razones matemáticas son la riqueza matemática que conlleva poder conocer esto, ahora vamos a definir una teoría de cohomología útil para teoría de números que nos permite contar puntos, y que nace de la Cohomología de DeRham algebraica propuesta por Alexander Grothendieck así como del trabajo de Dwork quien probó que la función Zeta de una variedad algebraica sobre un campo finito es simplemente un cociente de polinomios.

Lo que queremos es que con esta teoría de Cohomología dada por Monsky-Washnitzer poder encontrar explícitamente la función zeta de una variedad $latex X$ sobre un campo finito $latex \mathbb{F}_q$ con $latex q=p^n$, esta cohomología es la misma que la de deRham algebraica pero aplicada a un anillo especial.

$latex \zeta_{\mathbb{F}_q}(t)=\exp{\sum_{s\geq 1} \frac{|X(\mathbb{F}_{q^s})|}{s}q^{-st}}$

Donde $latex |X(\mathbb{F}_{q^s})|$ denota el número de puntos racionales de $latex X$ en la extensión de grado $latex s$ de $latex \mathbb{F}_q$.

Queremos contar puntos, y un ingrediente crucial es el teorema del punto fijo de Lefschetz, que es la generalización del teorema del punto fijo de Brouwer el cual expuse aquí en mi blog, este teorema en nuestro contexto nos dice básicamente que si $latex X$ es una variedad sobre un campo finito $latex \mathbb{F}_q$ y si $latex \bar{X}$ es el levantamiento (lifting) de $latex X$ a $latex \bar{\mathbb{F}_q}$ , sabemos que el endomorfismo de frobenius $latex \Phi_q$ va a mapear puntos con coordenadas $latex x_1,...,x_n$ a el punto con coordenadas $latex x_1^q, ..., x_n^q$, entonces los puntos fijos que $latex \Phi_q:\bar{X}\rightarrow\bar{X}$ son exactamente los puntos $latex X$ (porque Frobenius se comporta como la identidad en los puntos $latex \mathbb{F}_q$-racionales) entonces el teorema del punto fijo de Lefschetz implica que en el caso de que $latex X$ sea suave y bien portada como variedad:

$latex |X(\mathbb{F}_q)|=q^{\text{Dim }X} \sum_i (-1)^i Tr(\Phi_q)^{-1}|H^{i}(\bar{X},\mathbb{Q}_l)$

La cohomología que usaremos será la cohomología de deRham algebraica aplicada a un anillo especial que es un lifting (levantamiento) del anillo de coordenadas, hoy definiremos la cohomología de deRham y los problemas que nos va a causar no trabajar en el Lifting.

Hoy nos enfocaremos a construir esta cohomología definida en GAGA por Alexander Grothendieck, para cualquier anillo de tipo finito, que será la base de la cohomología de Monsky-Washnitzer aplicada a un anillo en específico.

Primero que todo, $latex \mathbb{K}$ es un campo perfecto y $latex A$ una $latex \mathbb{K}$-álgebra finitamente generada, que en el caso práctico puede ser un anillo de coordenadas de una variedad $latex X$ cuyas coordenadas a veces denotaremos como $latex \bar {x_i}$ para $latex i\leq n$ por lo que $latex A=\mathbb{K}[\bar{x_1},...,\bar{x_n}]=\mathbb{K}[x_1,...,x_n]/\langle f_1,...,f_r \rangle=\mathbb{K}[X]$ donde $latex X$ está definido por $latex \lbrace f_i \rbrace_{i=1}^{r}\subset \mathbb{K}[x_1,...,x_n]$ irreducibles sobre $latex \mathbb{K}$.

Cohomología de DeRham algebraica con diferenciales de Kähler

Ahorita queremos transportar el cálculo diferencial y análisis a álgebra, por lo que definiremos en abstracto lo que es una derivada y los diferenciales de un anillo de cierto modo generalizados, simplemente pidiendo simbólicamente la regla de Leibniz en este caso sobre el anillo de funciones de una variedad, donde la función de derivación sobre el álgebra finitamente generada será naturalmente heredada con la derivación parcial en cada variable de los polinomios.

Definición: $latex \Omega_{A/\mathbb{K}}$  es el $latex A$-módulo de diferenciales de Kähler, es decir, vamos a tomar $latex \forall a\in A$ los símbolos $latex\space da$ y las siguientes relaciones.

* $latex \space dk=0$ para $latex k\in\mathbb{K}$

* $latex d(a+b)=da+db$ 

* $latex d(ab)=a\cdot db+b\cdot da$ donde $latex a,b\in A$

Por ejemplo, si tenemos que $latex A$ es el anillo de coordenadas de $latex X$ una curva dada por la intersección de irreducibles, es decir, $latex f_1,..,f_r \in \mathbb{K}[x_1,...,x_n]$ entonces:

$latex A=\mathbb{K}[x_1,...,x_n]/\langle f_1,...,f_r\rangle$

Entonces tenemos que explícitamente:

$latex \Omega_{A/\mathbb{K}}=\bigoplus _{i=1}^{n} Adx_i /\langle f_1,...,f_r \rangle$

donde $latex df:=\sum_{j=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_j} dx_j$ (Derivada total)

Es decir, como $latex A=\mathbb{K}[\bar{x_1},...,\bar{x_n}]$, tenemos que $latex \Omega_{A/\mathbb{K}}$ es un módulo libre en los generadores $latex d\bar{x_1},...,d\bar{x_n}$ y nota que el álgebra $latex A=\mathbb{K}[\bar {x_1},...,\bar{x_n}]$ está generada como una $latex \mathbb{K}$-álgebra por $latex \bar{x_1},...,\bar{x_n}$ por lo que $latex \Omega_{A/\mathbb{K}}$ esta generado como $latex \mathbb{K}[\bar{x_1},...,\bar{x_n}]$-módulo por $latex d\bar{x_1}, .., d\bar{x_n}$.

Existen muchas derivadas, pero la más natural $latex d:A\rightarrow \Omega_{A/\mathbb{K}}$ es la que manda $latex a\mapsto da$.

Como dije anteriormente, hay muchas derivadas, pero eso no perjudica la unicidad de $latex \Omega_{A/\mathbb{K}}$ ya que si nos encontramos con otra derivación $latex \mathbb{K}$-lineal $latex D:A\rightarrow M$ , ésta se factoriza de manera única como $latex A\xrightarrow{d}\Omega_{A/\mathbb{K}}\rightarrow M$.

De hecho si $latex A=\mathbb{K}[x_1,...,x_n]$ es el anillo de polinomios en $latex n$ variables, (es decir, el anillo de coordenadas del espacio afín $latex \mathbb{A}^n$ tenemos que $latex \Omega_{A/\mathbb{K}}\cong \bigoplus_{i=1}^n A$ , esto lo pueden demostrar ustedes utilizando el mapeo $latex A\rightarrow \bigoplus_{i=1}^n A$ dado por $latex f\mapsto (\frac{\partial f}{\partial x_1},...,\frac{\partial f}{\partial x_n})$ y notando que es una derivada $latex \mathbb{K}$-lineal y que el mapeo $latex \phi:\Omega_{A/\mathbb{K}}\mapsto \bigoplus_{i=1}^n A$ dado por $latex df\mapsto (\frac{\partial f}{\partial x_1},...,\frac{\partial f}{\partial x_n})$ es un isomorfismo con inverso $latex \psi:\bigoplus_{i=1}^n A \rightarrow \Omega_{A/\mathbb{K}}$ dado por $latex (f_1,...,f_n)\mapsto \sum_{i=1}^n f_idx_i$.

Una observación "geómetra algebraica" es que la curva definida por el álgebra $latex A$ (su anillo de coordenadas) , por más abstracto que sea esto y por más raro o más típico que sea el campo $latex \mathbb{K}$ es suave, sin singularidades extrañas en su geometría, entonces $latex \Omega_{A/\mathbb{K}}$ es un módulo localmente libre de rango exactamente la dimensión de Krull del anillo $latex A$ que coincide con la dimensión topológica de la variedad $latex X$ asociada al álgebra $latex A$.  

Ahora vamos a construir los grupos de cohomología, para esta parte es necesario que entiendas lo que es el producto cuña $latex dx_i\wedge dx_j$, yo aquí lo expongo con ejemplos y de manera geométrica.

Definición: Sea $latex \Omega^k_{A/\mathbb{K}}=\bigwedge_{i=1}^k \Omega_{A/\mathbb{K}}$ , es decir en particular $latex \Omega^{0}_{A/\mathbb{K}}=A$ y $latex \Omega^{1}_{A/\mathbb{K}}=\Omega_{A/\mathbb{K}}$

Y construyamos el complejo de cadenas dado por 

                 $latex d_{k}:\Omega^{k-1}_{A/\mathbb{K}}\rightarrow \Omega^{k}_{A/\mathbb{K}}$ 

$latex f_0 df_1\wedge ... \wedge df_{k-1}\mapsto df_0\wedge df_1\wedge ... \wedge df_{k-1}$

Estas $latex d_j$ entre los módulos de diferenciales de orden $latex j$ y  $latex j+1$ pueden demostrar que son derivaciones, y denotamos como $latex \Omega^{\bullet}_{A/\mathbb{K}}$ al complejo de cadenas resultante con su respectivo operador de frontera en cada flecha dado por $latex d_j$.

$latex \cdots\xrightarrow{d_{k-1}}\Omega^{k-1}_{A/\mathbb{K}}\xrightarrow{d_{k}} \Omega^k_{A/\mathbb{K}}\xrightarrow{d_{k+1}} \Omega^{k+1}_{A/\mathbb{K}}\xrightarrow{d_{k+2}}\cdots$

Pueden demostrar que en efecto $latex d_{k+1}\circ d_k =0$ por lo que $latex \text{Im}{d_k}\subseteq \ker d_{k+1}$, que es lo fundamental para construir la teoría de cohomología.

Definición: El complejo de DeRham para la $latex \mathbb{K}$-álgebra $latex A$ está dado por el complejo de cadenas $latex \Omega^{\bullet}_{A/\mathbb{K}}$ donde su i-ésimo grupo de Cohomología está definido como: 

$latex H^{i}_{dR}(A/\mathbb{K}):=H^{i}(\Omega^{\bullet}_{A/\mathbb{K}})=\ker{d_{i+1}}/\text{Im} d_{i}$

Nota que si $latex \space i> KrullDim(A)=Dim(X)$ por las propiedades del producto cuña $latex \wedge$ tendrás dependencia lineal por lo que $latex \Omega^i_{A/\mathbb{K}=0$ que implica que $latex H^i(A/\mathbb{K})=0$ , nota que podemos generalizar esta construcción a esquemas de tipo finito por lo que es mejor denotar $latex H^{i}_{dR}(X/\mathbb{K}):=H^{i}_{dR}(A/\mathbb{K})$ donde $latex X=Spec(A)$ , esto es la generalización usando el espectro del anillo y lo tengo explicado aquí con ejemplos, pero si no te gusta esto, o te es muy complicado, sigue usando el anillo $latex A$.

Cohomología en característica p

Vamos a jugar un poco con esta cohomología y supongamos ahora que $latex \mathbb{K}=\mathbb{F}_p$, queremos definir una teoría de cohomología para variedades sobre $latex \mathbb{F}_p$ , el punto aquí será definir una teoría de cohomología con coeficientes en un campo de característica 0 relacionado muy cercanamente con $latex \mathbb{F}_p$ para una variedad afín sobre $latex \mathbb{F}_p$.

Primero, observemos por qué el párrafo anterior, considera $latex X=\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_p}$ es decir $latex A=\mathbb{F}_p[X]=\mathbb{F}_p[x]$, es fácil ver que $latex H^{1}_{dR}(A/\mathbb{F}_p)$ es un $latex \mathbb{F}_p$-espacio vectorial de dimensión infinita ya que por ejemplo $latex d_1(x^{pk})=0$ $latex \forall k\geq 0$ por lo que $latex \lbrace x^{pk-1}dx \rbrace_{k\geq 0} \not\subset \text{Im }d_1$ y $latex \lbrace x^{pk-1}dx \rbrace_{k\geq 0}\subset \Omega_{A/\mathbb{F}_p}$  $latex \forall k\geq 0$

  

O sea tenemos que $latex d_1:A\rightarrow \Omega^{1}_{A/\mathbb{F}_p}$ está dado por $latex f\mapsto df$ y $latex d_2:\Omega^{1}_{A/\mathbb{F}_p}\rightarrow \Omega^{2}_{A/\mathbb{F}_p}$ está dado por $latex gdf\mapsto dg\wedge df$.

Con esto anterior y la observación de que $latex x^{pk-1}dx\notin \text{Im }d_1$ tenemos que:

$latex \ker d_2=\langle \lbrace cdf : f\in A,\text{ }\forall c\in\mathbb{F}_q\rbrace \cup \lbrace cx^{pk}df : k\geq 0\rbrace\rangle$

$latex \text{Im }d_1=\langle \lbrace df \in \Omega^{1}_{A/\mathbb{F}_q} : f=cx^{pk+r},\text{ }r\neq -1\rbrace\rangle$

Por lo tanto:

$latex H^{1}_{dR}(A/\mathbb{F}_q)=\ker d_{2}/\text{Im }d_{1}$

Es como $latex \mathbb{F}_p$-espacio vectorial tiene una infinidad de generadores dados por todos los valores que puede tener $latex k\geq 0$ ya que la Imágen de $latex d_1$ está totalmente contenida en la parte izquierda del kérnel de $latex d_2$ y la parte derecha es infinita.

Esto es un problema... tenemos que de hecho $latex \Omega^{1}_{A/\mathbb{F}_p}$ tiene dimensión infinita, esto no nos sirve de nada, es muy grande, necesitamos deshacernos de la característica $latex p$ que nos da problemas con las derivaciones de funciones polinomiales con exponente múltiplo de $latex p$.

El campo de característica 0 que usaremos es $latex \mathbb{Q}_p$ (campo de p-ádicos que lo puedes ver explicado en mi blog aquí )y considera su anillo de enteros asociado $latex \mathbb{Z}_p$ , es bien conocido que $latex \mathbb{Z}_p/p\mathbb{Z}_p\cong \mathbb{F}_p$, 

Supón que tienes una $latex \mathbb{F}_p$-álgebra $latex A$ , entonces si pudieramos encontrar una $latex \mathbb{Z}_p$-álgebra suave $latex \tilde{A}$ con $latex \tilde{A}\otimes_{\mathbb{Z}_p}\mathbb{F}_p\cong A$ podrías considerar la cohomología de DeRham de la $latex \mathbb{Q}_p$-álgebra $latex \tilde{A}_{\mathbb{Q}_p}:=\tilde{A}\otimes_{\mathbb{Z}_p}\mathbb{Q}_p$

Con esto, ya nos deshacemos de la dimensión infinita, pero el problema es que levantar (lift) el álgebra $latex A$ como $latex \mathbb{Z}_p$-álgebra da diferentes grupos de cohomología , aunque finitos pero diferentes y necesitamos una manera de poder encontrar un lifting único que nos sirva para poder aplicar el teorema del punto fijo.

Por ejemplo si $latex A=\mathbb{F}_p[x]$ y $latex \tilde{A}_1=\mathbb{Z}_p[x]$ , $latex \tilde{A}_2=\mathbb{Z}_p[x,y]/\langle (1+px)y-1 \rangle$, puedes verificar que $latex H^1_dR(\tilde{A}_{1,\mathbb{Q}_p}/\mathbb{Q}_p)=0$ y $latex H^1_dR(\tilde{A}_{2,\mathbb{Q}_p}/\mathbb{Q}_p)$ tiene dimensión 1

Como vemos, tenemos dos liftings de $latex A$ con diferente grupo de cohomología.

Vamos a seguir después con el anillo en el que queremos trabajar la cohomología, para aplicar el teorema del punto fijo de Lefschetz por ahora nos quedamos aquí.

Después le seguimos, espero les haya interesando.

Eduardo Ruíz Duarte (beck)

twitter: @toorandom

Variedades

Quise volver a recapitular algo de las cosas más hermosas que he estudiado cuando llevé mi curso de geometría diferencial con el Dr. Gregor Weingart, a los físicos les gusta mucho porque con esto pueden medir cualquier cosa  que tenga estructura de variedad y eso les sirve en astrofísica.

Para poder agarrar mejor este post te recomiendo le eches un vistazo a estas entradas
que publiqué anteriormente si comienzas a sentir que no entiendes mucho.

Teorema de la función inversa
Teorema de la función implícita
Espacios tangente en variedades y derivaciones
K-formas diferenciales (1 de 2)
K-formas diferenciales (2 de 2)


Empecemos tratando de recordar cosas.

Variedades diferenciales

Sabemos que para todo $latex m\in \mathbb{R}$, sea $latex \mathbb{R}^m$ el espacio vectorial $latex m$-dimensional equipado con la topología inducida por la métrica usual estándar que es la distancia $latex d(x,y)$ entre dos puntos $latex x,y\in \mathbb{R}^m$ dada por:

$latex d(x,y)=\sqrt{\displaystyle \sum_{i=1}^{m} (x_i-y_i)^2}$

En la práctica los casos usuales son $latex m=2,3$ pero en otras áreas de matemáticas y física el valor de $latex m$ puede ser más grande, en la teoría no hay ni por qué justificarlo.


También tenemos que para todo $latex n,r\in\mathbb{N}$ y un abierto $latex U$ de $latex \mathbb{R}^m$, denotamos por $latex C^r(U,\mathbb{R}^n)$ todas las funciones que son $latex r$ veces continuas diferenciables de $latex U$ a $latex \mathbb{R}^n$ , cuando hablamos de mapeos suaves $latex U \rightarrow \mathbb{R}^n$ nos referimos exactamente a los elementos (son funciones) de:


$latex C^\infty(U,\mathbb{R}^n)=\displaystyle \bigcap_{r=1}^\infty {C^r(U,\mathbb{R}^n)$

Entonces aquí ya tenemos todas las funciones suaves (infinitamente diferenciables) que van de un abierto a $latex \mathbb{R}^n$



Definición (Variedad Topológica, Carta):  Sea $latex (M,\Tau)$ un espacio topológico Hausdorff (Que para dos puntos distintos del espacio puedes encontrar una vecindad de cada uno que no choca con la otra) que tenga base numerable, decimos que $latex M$ es una variedad topológica si existe un número natural $latex m$ y para todo punto $latex p\in M$ , una vecindad $latex U$ abierta de $latex p$ y un mapeo continuo $latex x:U\rightarrow \mathbb{R}^m$ que es un homeomorfismo sobreyectivo en su imagen $latex x(U)$ el cual es un abierto de $latex \mathbb{R}^m$

El par $latex (U,x)$ es llamado carta coordenada local de $latex M$ y $latex m$ es la dimensión y la denotamos en $latex M$ como $latex M^m$



Lo que decimos aquí, una variedad topológica $latex M$ es localmente homeomorfa a $latex \mathbb{R}^m$ para algún $latex m\in\mathbb{N}$.



Estructura diferencial


Vamos a darle estructura diferencial para poder comenzar a explotar la metrica

Definición (atlas) : Si $latex M$ es una variedad topológica , entonces un $latex C^{r}-atlas$ en $latex M$ es la colección:


$latex \mathcal{A}=\lbrace (U_\alpha, x_\alpha) \mid \alpha \in I\rbrace$

Es decir son todas las cartas locales definidas anteriormente que cubren todo $latex M$, es decir.


$latex M=\bigcup_\alpha U_\alpha$

Y para todo $latex \alpha,\beta\in I$ tenemos los correspondientes mapeos de transición:


$latex x_\beta \circ {x}_{\alpha}^{-1} \mid_{x_\alpha(U_\alpha \cap U_\beta)} : x_\alpha(U_\alpha \cap U_\beta) \rightarrow \mathbb{R}^m$

Son $latex r-veces$ diferenciables.

¿Esto qué significa?

Los mapeos de transición nos dan una manera de comparar dos cartas de átlases diferentes, para comparar esto, se compone una carta con la inversa de otra, pero esto podría no estar definido así que lo hacemos sólo en su intersección, eso es lo que ves en los subindices.


Esto lo podemos ver con el siguiente dibujo, espero se entienda.

Ejemplo:


Sea $latex \hat{\mathbb{C}}$ el plano complejo extendido dado por $latex \hat{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\cup \lbrace \infty \rbrace$ y sea $latex \mathbb{C}^{*}=\mathbb{C}\setminus \lbrace 0 \rbrace$, $latex U_0=\mathbb{C}$  y $latex U_\infty = \hat{\mathbb{C}} \setminus \lbrace 0 \rbrace$

Definimos la coordenadas locales:

$latex x_0:U_0\rightarrow \mathbb{C}$ y $latex x_\infty:U_\infty \rightarrow \mathbb{C}$ en $latex \hat{\mathbb{C}}$ por:

$latex x_0:z\mapsto z$
$latex x_\infty:w \mapsto 1/w$

Tenemos que de este atlas "chiquito" los correspondientes mapeso de transición:

$latex x_\infty \circ x_0^{-1}$ y $latex x_0\circ x_\infty^{-1}:\mathbb{C}^{*} \rightarrow \mathbb{C}^{*}$

Están dados ambos por $latex z\mapsto 1/z$ por lo que $latex \mathcal{A}=\lbrace (U_0,x_0),(U_\infty,x_\infty)$ es un $latex C^{\omega}$-atlas (analítico) en la esfera de Riemann $latex \hat{\mathbb{C}}$.


La variedad analítica $latex (\hat{\mathbb{C}},\mathcal{A})$ se le llama Esfera de Riemann.



También ya con esto es fácil intuir que el producto de dos variedades $latex M_1,M_2$ de clase $latex C^{r}$ y sea $latex M=M_1\times M_2$ el espacio producto equipado con la topología de Tychonoff
Entonces existe un atlas para $latex M$  que la hace una variedad diferenciable de clase $latex C^r$ con
$latex dim M = dim M_1 + dim M_2$


Dejaré esto por ahora aquí, luego continúamos con algo más profundo.

k-formas diferenciales y derivada exterior (Parte 2/2, k-formas diferenciales y derivada exterior de éstas)

Como vimos, las 1-formas elementales son la proyección en una coordenada, ahora veamos a los operadores diferenciales como k-formas en $latex \mathbb{R}^n$ donde sus coordenadas son $latex x_{1},x_{2},...,x_{n}$:

El punto de estos posts es poder hacer la construcción de las k-formas diferenciales en la topología de Zariski para poder justificar el cálculo de singularidades en variedades sobre cualquier campo algebraicamente cerrado de caracteristica p o 0
Y al final de este artículo construiremos con las k-formas diferenciales el rotacional, la divergencia y gradiente (hablando en términos de campos vectoriales en $latex \mathbb{R}^n$)

Sea $latex \mu=\lbrace i_{1}, ..., i_{k}\rbrace$ una subsucesión de
$latex \Omega = \lbrace 1,2,...,n \rbrace$, tal que $latex 1 \leq i_{1} < ... < i_{k} \leq n$  y sea


$latex \displaystyle dx_{\mu}=d{x_{i_{1}}}\wedge ... \wedge d{x_{i_{k}}}$

Una k-forma diferencial $latex \omega$ es:

$latex \omega = \sum_{|\mu|=k}{f_{\mu}dx_{\mu}}$

Donde $latex f_{\mu}$ es una función diferenciable, y $latex \mu \subset \Omega$ está ordenado de manera creciente y $latex |\mu|=k$, por ejemplo una 1-forma en $latex \mathbb{R}^{2}$:
$latex (x+cos(y))dx+xydy$


Y una 2-forma en $latex \mathbb{R}^{3}$

$latex e^{x+y}dx\wedge dz + y^{3}dy \wedge dz$


Cada k-forma diferencial define para todo punto en $latex \mathbb{R}^{n}$ una k-forma diferente por ejemplo la 1-forma $latex (x+sen(y))dx + xydy$ es la 1-forma $latex 3dx$ en el punto $latex (3,0)$ y es $latex 5dx+2\pi dy$ en el punto $latex (4,\frac{\pi}{2})$



Pa definir la derivada exterior, primero necesitamos ver que es la derivada exterior de una 0-forma (función diferenciable, es decir que esté definida bajo un operador diferencial... o sea un operador que cumpla la regla de Leibnitz, esto puede ser la derivada normal como la conocemos también) y por inducción se definirá la derivada exterior para una k-forma en general

Dada una función diferenciable (0-forma) $latex f(x_{1},...,x_{n})$, su derivada exterior será denotada como $latex d f$  y es:

$latex df=\sum_{i=1}^{n}{\frac{\partial{f}}{\partial x_{i}}dx_{i}}$


Por ejemplo:
Si $latex f(x,y)=xy-y^{3}$ su derivada exterior $latex d f$ es:

$latex df=ydx+(x+3y^{2})dx$



Esto se parece al gradiente (PARECE)
Ahora definiremos lo que es la derivada exterior de una k-forma $latex \omega = \sum_{|\mu|=k}{f_{\mu}dx_{\mu}}$ con  $latex \mu=\lbrace i_{1}, ..., i_{k}\rbrace$ ordenada creciente:


$latex d \omega = \sum_{|\mu|=k}{df_{\mu}\wedge dx_{\mu}} $

Veamos un ejemplo con la derivada de una 1-forma fácil:

Sea $latex \omega = f_{1}dx_{1} + f_{2}dx_{2} + f_{3}dx_{3}$ una 1-forma de $latex \mathbb{R}^3$, entonces:

$latex d \omega = df_{1}dx_{1}+df_{2}dx_{2}+df_{3}dx_{3}=$
$latex \Bigg ( \frac{\partial{f_{1}}}{\partial{x_{1}}}dx_{1}+\frac{\partial{f_{1}}}{\partial{x_{2}}}dx_{2}+\frac{\partial{f_{1}}}{\partial{x_{3}}}dx_{3} \Bigg )\wedge dx_{1}+$
$latex \Bigg ( \frac{\partial{f_{2}}}{\partial{x_{1}}}dx_{1}+\frac{\partial{f_{2}}}{\partial{x_{2}}}dx_{2}+\frac{\partial{f_{2}}}{\partial{x_{3}}}dx_{3} \Bigg )\wedge dx_{2}+$
$latex \Bigg ( \frac{\partial{f_{3}}}{\partial{x_{1}}}dx_{1}+\frac{\partial{f_{3}}}{\partial{x_{2}}}dx_{2}+\frac{\partial{f_{3}}}{\partial{x_{3}}}dx_{3} \Bigg )\wedge dx_{3}=$
$latex \Bigg ( \frac{\partial{f_{3}}}{\partial{x_{1}}} - \frac{\partial{f_{1}}}{\partial{x_{3}}} \Bigg ) dx_{1} \wedge dx_{3} + \Bigg ( \frac{\partial{f_{2}}}{\partial{x_{1}}} - \frac{\partial{f_{1}}}{\partial{x_{2}}} \Bigg ) dx_{1} \wedge dx_{2} + \Bigg ( \frac{\partial{f_{3}}}{\partial{x_{2}}} - \frac{\partial{f_{2}}}{\partial{x_{3}}} \Bigg ) dx_{2} \wedge dx_{3} $

Ufff.. imaginen escribir eso en latex inline en blogspot... pero bueno

Eso también se parece al rotacional del campo vectorial $latex (f_1,f_2,f_3)$ (PARECE)

Cómo ya se habrán dado cuenta para toda k-forma diferencial $latex \omega$ se tiene que $latex d(d\omega)=0$, eso lo pueden demostrar fácilmente suponiendo la anticonmutatividad del operador cuña y que el orden de diferenciación no afecta a la función diferenciable, es decir:

$latex \frac{\partial{}}{\partial{x_{i}}} \frac{\partial{f}}{\partial{x_{j}}} = \frac{\partial{}}{\partial{x_{j}}} \frac{\partial{f}}{\partial{x_{i}}}$ y que $latex dx_{i}\wedge dx_{j}=-dx_{j}\wedge dx_{i}$

Ahora como ven, hice hincapié en la palabra "parece" al decir que habíamos encontrado el rotacional y el gradiente en términos de k-formas, veamos cómo son estas cosas en $latex \mathbb{R}^3$ con coordenadas $latex x,y,z$, vamos a definir una funciones que nos ayudarán a que no "parezcan" sino que "sean"


Sean:
$latex \omega_{0}=f(x,y,z)$
una 0-forma

$latex \omega_{1}=f_{1}(x,y,z)dx+f_{2}(x,y,z)dy+f_{3}(x,y,z)dz$
una 1-forma en general

$latex \omega_{2}=f_{1}(x,y,z)dx\wedge dy + f_{2}(x,y,z)dx\wedge dz \wedge f_{3}(x,y,z)dy\wedge dz$
una 2-forma elemental general

Y como la única 3-forma elemental en $latex \mathbb{R}^{3}$ es $latex dx\wedge dy\wedge dz$ tenemos que una 3-forma elemental general sería de la forma:

$latex \omega_{3}=f(x,y,z)dx\wedge dy \wedge dz$

Donde $latex f_{i},f\in \mathfrak{F}(\mathbb{R}^{3})$ (funciones en $latex \mathbb{R}^{3}$)

Definimos las siguiente funciones: entre formas y funciones de $latex \mathbb{R}^{3}$ denotadas por $latex \mathfrak{F}(\mathbb{R}^{3})$ y formas con campos vectoriales de $latex \mathbb{R}^{3}$ denotadas por $latex \Delta(\mathbb{R}^{3})$

$latex \displaystyle \theta_{0}: {\bigwedge}^{0}{\mathbb{R}^{3}} \rightarrow \mathfrak{F}(\mathbb{R}^{3})$

    $latex \omega_{0} \mapsto f$

$latex \displaystyle \theta_{1}: {\bigwedge}^{1}{\mathbb{R}^{3}} \rightarrow \Delta(\mathbb{R}^{3})$

    $latex \omega_{1} \mapsto (f_{1},f_{2},f_{3})$

$latex \displaystyle \theta_{2}: {\bigwedge}^{2}{\mathbb{R}^{3}} \rightarrow \Delta(\mathbb{R}^{3})$

    $latex \omega_{2} \mapsto (f_{3},-f_{2},_f_{1})$

$latex \displaystyle \theta_{3}: {\bigwedge}^{3}{\mathbb{R}^{3}} \rightarrow \mathfrak{F}(\mathbb{R}^{3})$

    $latex \omega_{3} \mapsto f(x,y,z)$

Esto ¿para qué?, como vemos $latex \theta_{0}$ es la identidad y estas definiciones tienen una manera natural de ser, ya que si hacen la talachita pueden demostrar el siguiente teorema:

Teorema: En $latex \mathbb{R}^{3}$, si $latex \omega_{s}$ es una s-forma entonces

$latex \theta_{1}(d\omega_{0})=\nabla \theta_{0}(\omega_{0})=\vec{\nabla f}=grad(\theta_{0}(\omega_{0}))$
$latex \theta_{2}(d\omega_{1})=\nabla \times \theta_{1}(\omega_{1})=rot({\theta_{1}(\omega_{1})})$
$latex \theta_{3}(d\omega_{2})=\nabla \cdot \theta_{2}(\omega_{2})=div({\theta_{2}(\omega_{2})})$
$latex \square$

Cada uno de los cálculos se puede hacer explícitamente y no hay mucho que pensar en la demostración más que talacha dura, y con esto tenemos ya en términos de formas diferenciales lo que es el gradiente, rotacional y divergencia

El punto de estos posts es poder llegar a definir esto en términos de geometría algebraica en variedades usando la topología de Zariski

Eduardo Ruiz Duarte (beck)
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@toorandom