Teorema de Riemann-Roch y divisores en criptografía, (Parte 3: valuaciones, espacios de Riemann, su dimensión, género y curvas elípticas sin Bézout)

Vimos en la parte 1 el anillo de funciones regulares en una variedad y su localización en un punto, así como las funciones en un abierto de la variedad bajo la topología de Zariski, en la parte 1 de estos posts.

Ahora lo que queremos es justificar la estructura de grupo de una curva elíptica y si nos da tiempo de una hiperelíptica de género 2, pero para eso debemos introducir el concepto de divisores sobre la variedad y "género" el cual estará estrechamente relacionado con la dimensión de un espacio vectorial de funciones generado con un divisor.


Valuaciones


Vamos a suponer que $latex \mathbb{K}$ es un campo arbitrario el cual será un campo de constantes de algo más grande... el campo de funciones.

Definición 1: Una extensión $latex \mathbb{F}$ de $latex \mathbb{K}$ es un campo de funciones algebraico en una variable sobre $latex \mathbb{K}$ si existe un $latex z\in \mathbb{F}$  trascendente sobre $latex \mathbb{K}$ de tal manera que $latex [\mathbb{F}:\mathbb{K}(z)]$ es finita.


Los objetos centrales en esto serán los lugares, denotados por $latex P$ que de manera resumida serán los ideales máximos de todos los anillos de valuación que existan en $latex \mathbb{F}$ recuerden que los anillos de valuación son locales por lo que sólo tienen un ideal máximo, este anillo como en la parte uno lo denotaremos por $latex O_p$ y su ideal máximo como $latex M_p$


Recuerden como eran las funciones regulares de una variedad $latex V$ en un punto de la parte 1 de este blog la cual habíamos denotado como $latex O_p(V)=\lbrace f/g \in \mathbb{K}(V) : g(p)\neq 0 \rbrace$

Nota 1:
Aquí tenemos que $latex \mathbb{F}$ tiene un elemento trascendente y es campo por lo que podemos imaginarlo como que es on cociente de funciones polinomiales en una variable, pero podría ser que $latex \mathbb{K}$ sea ya un campo de funciones y $latex z\in \mathbb{F}$ otro elemento trascendente, haciendo que el campo de constantes no sea tan trivial.

Definición 2: Una valuación discreta normalizada de un campo de funciones algebraico $latex \mathbb{F}$ sobre $latex \mathbb{K}$ es un mapeo suprayectivo:


$latex \nu:\mathbb{F}\rightarrow \mathbb{Z}\cup \lbrace \infty \rbrace$

que satisface:

1. $latex \nu(f)=\infty \Leftrightarrow f=0$
2. $latex \nu(fg)=\nu(f)+\nu(g)$      $latex \forall f,g\in\mathbb{F}$
3. $latex \nu(f+g) \geq min(\nu(f),\nu(g))\Rightarrow\nu(f+g)=min(\nu(f),\nu(g))$     $latex \forall f,g\in \mathbb{F}$
4. $latex \nu(a)=0$       $latex \forall a\in \mathbb{K}^{*}$

Estos mapeos están en correspondencia biunívoca con los lugares de $latex \mathbb{F}$ por lo que si $latex P$ es un lugar de $latex \mathbb{F}$ definiremos como $latex \nu_P$ a su valuación correspondiente y denotaremos por $latex \mathbb{P}_\mathbb{F}$ a el conjunto de todos los lugares de $latex \mathbb{F}$ 

Nota 2: Recordemos que cuando vimos en la parte 1 el anillo de funciones regulares en una variedad, tenemos que los puntos están en correspondencia con los ideales máximos, aquí estámos usando por eso los lugares que son los ideales máximos pero lo estamos generalizando un poquito más con estas estructuras, que en vez de considerar los puntos , consideramos los ideales máximos de la localización.

Ahora vamos a definir los anillos locales en términos de valuaciones y lo ilustraremos con un ejemplo sencillo, estos anillos serán llamados anillos de valuación discreta de $latex \mathbb{F}$ correspondientes al lugar $latex P\in \mathbb{P}_\mathbb{F}$

$latex O_P=\lbrace f\in \mathbb{F} : \nu_P(f) \geq 0\rbrace$

Es fácil demostrar que es un anillo local, basta considerar quiénes son los elementos invertibles para saber que su ideal máximo (que obviamente no tiene elementos invertibles) es:

$latex M_P = \lbrace f\in O_P : \nu_P(f)>0 \rbrace$

Como $latex M_P$ es máximo definiremos el campo residual 

$latex \hat{\mathbb{F}}_P:=O_P/M_P$ 

y definiremos el grado de $latex P$ como el grado de la extensión $latex grad(P):= [\hat{\mathbb{F}}_P:\mathbb{K}]$ , cuando $latex grad(P)=1$ diremos que $latex P$ es racional

Bueno, yo recuerdo que cuando leí esto por primera vez se me hacía muy mágico el mapeo $latex \nu_P$ 

por lo que creo que es conveniente ilustrarlo con un ejemplo.

Ejemplo:

Sea $latex \mathbb{F}=\mathbb{K}(x)$ con $latex x$ trascendente sobre $latex \mathbb{K}$ es decir estamos considerando todos los cocientes de polinomios en una variable sobre el campo $latex \mathbb{K}$ aquí tenemos que los mónicos irreducibles $latex P(x)\in \mathbb{K}[x]$  nos inducen una valuación discreta única $latex \nu_P$

$latex \nu_P(f(x)) = r$ si $latex f(x)\in \mathbb{K}[x]-\lbrace 0 \rbrace$ y $latex P(x)^r \mid f(x)$

$latex O_P = \Bigg \lbrace \frac{f(x)}{g(x)} \in \mathbb{F} : P(x)\nmid g(x) \Bigg \rbrace$

Es clara esta definición ya que si $latex P(x)\mid g(x)$ es decir no se cancela en $latex f(x)$ la valuación sería negativa y tenemos que el anillo está formado por los elementos que tienen valuación mayor o igual que cero

Ahora, su ideal máximo ¿quién es?, tenemos que no tiene que tener elementos invertibles en $latex O_P$ y que su valuación sea estrictamente mayor que 0, eso significa que $latex P(x) \mid f(x)$ y como es subconjunto de $latex O_P$ también tiene que suceder que $latex P(x) \nmid g(x)$  por lo que en símbolos.

$latex M_P=\Bigg \lbrace \frac{f(x)}{g(x)} \in \mathbb{F} : P(x)\mid f(x), P(x)\nmid g(x) \Bigg \rbrace$

Entonces a qué huelen los elementos invertibles de $latex O_P$ ?  pues son todos los que NO tienen a $latex P(x)$ involucrado en el cociente $latex \frac{f(x)}{g(x)}$ es decir , los que tienen su valoración exactamente 0.

Entonces en este ejemplo cuando $latex P$ es linealtenemos que 

$latex \mathbb{F}/(P(x)) \cong \mathbb{K}$ 

Es decir, los lugares $latex P$ RACIONALES son aquellos generados con polinomios mónicos lineales.

Aquí en este ejemplo y en todos los interesantes, es decir cuando consideremos curvas elípticas o hiperelípticas hay otro  anillo de valuación que no está asociado a un polinomio pero pueden demostrar que es anillo y que tiene un sólo ideal máximo

$latex O_\infty = \Bigg \lbrace \frac{f(x)}{g(x)} \in \mathbb{F}, g(x)\neq 0, grad(f(x)) \leq grad(g(x)) \Bigg \rbrace $

y su ideal máximo

$latex M_\infty =\Bigg \lbrace \frac{f(x)}{g(x)} \in \mathbb{F}, g(x)\neq 0, grad(f(x)) < grad(g(x)) \Bigg \rbrace $

Es fácil ver esto , y que los invertibles tienen el mismo grado tanto en el numerador como denonimador.

Esto le llamaremos el lugar infinito de $latex \mathbb{F}$ y como ejercicio podrían demostrar que $latex O_\infty/M_\infty \cong \mathbb{K}$  por lo que otra vez tenemos un lugar RACIONAL es decir, el lugar infinito es racional, si el lugar tiene relacionado un polinomio diremos que es finito.

Observación:

Si $latex \mathbb{K}=\mathbb{F}_q$ es finito entonces hay $latex q+1$ lugares racionales, el +1 es por el lugar infinito

Divisores

Los divisores son esencialmente sumas formales de lugares junto con un coeficiente, esto será intuitivamente una expresión que nos ayudará a juntar ciertas características de elementos del campo de funciones

Definición 3: Un divisor $latex D$ de un campo de funciones algebraico $latex \mathbb{F}$ es una suma formal:

$latex D=\sum_{P\in \mathbb{P}_\mathbb{F}}m_P P$

Donde un número finito de $latex m_P$ es distinto de cero, este conjunto de divisores los denotamos por $latex Div(F)$

El soporte de un divisor es:

$latex sop(D):= \lbrace P\in \mathbb{P}_\mathbb{F} : m_P \neq 0\rbrace$

El grado de un divisor es:

$latex \partial(D):=\sum_{P \in sop(D)} (m_P)grad(P)$

Se dice que un divisor $latex D$ es positivo/efectivo si todos sus $latex m_P$ son mayores o iguales que 0, y escribimos $latex \nu_P(D) \geq 0$ .

Si dos divisores $latex D_1,D_2 \in Div(\mathbb{F})$ los comparamos como $latex D_1 \leq D_2$ si $latex \nu_P(D_1) \leq \nu_P(D_2)$ para todo $latex P \in \mathbb{P}_\mathbb{F}$, es decir que todos los coeficientes de los sumandos de los divisores son menores o iguales.  

Es claro que $latex Div(\mathbb{F})$ forma un grupo abeliano con suma definida componente a componente y es un grupo libre, y que un subgrupo de éste son los divisores de grado 0, que lo denotaremos por $latex Div^0(\mathbb{F})$

Definición 4: Decimos que si $latex \nu_P(f)$ > $latex 0$  entonces $latex P$ es un cero de multiplicidad  $latex \nu_P(f)$ y si $latex \nu_P(f)$ < $latex 0$ decimos que es un polo

Es claro que las constantes no tienen ceros ni polos, pero los demas elementos $latex f\in \mathbb{F}$

tienen al menos un cero y un polo.

Definición 5: Sea $latex f\in \mathbb{F}^{*}$ y $latex Z(f),N(f)$ los ceros y los polos de $latex f$ respectivamente, entonces definimos:

divisor de ceros de $latex f$:

$latex (f)_0 = \sum_{P\in Z(f)}\nu_P(f)P$

divisor de polos de $latex f$:

$latex (f)_\infty = \sum_{P\in N(f)}-\nu_P(f)P$

divisor principal de $latex f$:

$latex div(f):=(f)_0 - (f)_\infty$

Aquí sucede algo que habría que demostrar y no es tan directo pero si es lógico.

Que todos los divisores principales tienen grado 0, es decir, $latex \partial(div(f))=0$ para todo $latex f\in \mathbb{F}^{*}$, o sea existe el mismo número de ceros y de polos  en los elementos de $latex \mathbb{F}$, esto lo pueden ver en el libro de Algebraic function fields and codes  de Henning Stichtenoth.

Definición 5: El espacio de Riemann-Roch para un divisor $latex D$ de $latex \mathbb{F}$ está definido como:

$latex \mathfrak{L}(D):= \lbrace f\in \mathbb{F}^{*} : div(f)+D \geq 0 \rbrace \cup \lbrace 0 \rbrace $

Este espacio es un espacio vectorial sobre $latex \mathbb{K}$ y su dimensión será denotada por $latex l(D)$


Hay cosas que podrían demostrarse por ejercicio que son muy directas como que $latex l(0)=1$ o que $latex l(D)=0$ si $latex \partial(D)$ < $latex 0$


Teorema (Riemann-Roch): Sea $latex \mathbb{F}$ un campo de funciones algebraico de género $latex g$ , entonces para cada divisor $latex D$ de $latex \mathbb{F}$ tenemos que:

$latex l(D)\geq \partial(D)+1-g$

donde la igualdad se da si $latex \partial(D)\geq 2g-1$


Este teorema es muy potente y sirve de clasificación para campos de funciones con respecto al género

Definición 6:
El género $latex g$ de un campo de funciones $latex \mathbb{F}$ se define como:

$latex g:= g(\mathbb{F}):=max_D(\partial(D)-l(D)+1)$

O sea el máximo de todos los divisores de $latex \mathbb{F}$, tenemos que el género del ejemplo $latex \mathbb{K}(x)$ es 0 y decimos que el campo de funciones $latex \mathbb{F}$ es elíptico si su género es 1

Definición 7:
Sea $latex P\in \mathbb{P}_\mathbb{F}$ , $latex \forall$ $latex n \geq 1$ es número de polo para $latex P$ si existe un elemento $latex f\in \mathbb{F}^{*}$ tal que $latex (f)_\infty = nP$, si no existe esto decimos que $latex n$ es número de salto para $latex P$

Corolario (Saltos de Weierstrass): 
Sea $latex \mathbb{F}$ de género $latex g\geq 1$ y sea $latex P$ un lugar racional de $latex \mathbb{F}$, entonces existen exactamente $latex g$ número de salto $latex i_j$ que satisfacen:

$latex 1=i_1$ < ... < $latex i_g \leq 2g-1$


Esto se sigue inmediatamente de que:

• $latex \forall i\geq 1$ tenemos que $latex \mathfrak{L}((i-1)P)\subseteq \mathfrak{L}(iP)$ y $latex \mathfrak{L}((i-1)P)=\mathfrak{L}(iP) \Leftrightarrow i$ es número de salto
• $latex l(iP)\leq l((i-1)P)+1$
• $latex l(0P)=1$ y $latex l((2g-1)P)=g$

Criptografía

Ya habíamos mencionado que todos los divisores de funciones tienen grado 0 es decir tienen el mismo número de ceros y de polos. por lo que estos serían un subgrupo de $latex Div^{0}(\mathbb{F})$

entonces el subgrupo de divisores principales lo denotamos como:

$latex Prin(\mathbb{F}):= \lbrace div(f) : f\in \mathbb{F}^{*}\rbrace \subset Div^{0}(\mathbb{F})$

Como estos grupos son libres, abelianos, podemos hablar de su cociente, por lo que el grupo que necesitamos para criptografía y el que se usa actualmente es el grupo de Picard de orden 0 el cual es isomorfo a:

$latex Pic^{0}(\mathbb{F}):= Div^0(\mathbb{F})/Prin(\mathbb{F})$


Si el género del campo de funciones $latex \mathbb{F}$ es 1 este grupo es isomorfo al grupo usual que conocemos de las curvas elípticas  y si es 2 se dice que es hiperelíptico.

De hecho, para culminar este post, vemos que no necesitamos el teorema de bézout para demostrar que una recta intersecta en 3 puntos a una curva proyectiva ya que:


Ya conocemos estas propiedades de los divisores de funciones por el hecho de que sabemos que tienen el mismo número de ceros que de polos por lo que:

Tenemos que si $latex f,g \in \mathbb{F}=\overline{\mathbb{K}}(C)$ es el campo de funciones de una curva elíptica (i.e. cúbica)

$latex div(f/g)=div(f)-div(g)$
$latex div(fg)=div(f)+div(g)$
$latex div(f^n)=n\cdot div(f)$


Nota sobre funciones en la curva:  Es importante considerar que para entender un objeto algebraico, hay que entender las funciones en éste, y si son proyectivos, cosas interesantes pasan, por ejemplo si tenemos la curva elíptica $latex C(x,y)=y^2 - x^3 + x$

Considera la función racional $latex q(x,y)= x/y \in \mathbb{F}=\hat{\mathbb{K}}(C)$ , podemos ver que $latex q(1,0)=\infty$ pero $latex q(0,0)=??$ , pero si usamos que esta función pertenece a la curva elíptica $latex C$ por lo que bajo la relación algebraica $latex y^2 = x^3 - x$ tenemos que $latex x/y = y/(x^2+1)$ por lo que en la curva, es decir en su campo de funciones $latex q(0,0)=0$.

Criptografía con campos de funciones elípticos vía teorema de Riemann-Roch.

Si consideramos la curva proyectiva elíptica $latex C$ homogeneizada con la variable $latex z$
aquí los ideales máximos son los puntos de la curva, y los anillos locales son las funciones racionales definidas en cada punto.

Si tomamos la linea $latex l_PQ$ que pasa por los puntos $latex P,Q \in \mathbb{P}_\mathbb{F}$

tal que la linea tiene pendiente finita, como demostramos en la parte 2, esta linea choca con otro punto al infinito que es el que corresponde al lugar infinito , veamos que multiplicidad tiene,

y sin usar bezout y con todos los teoremas anteriores, tenemos que si la multiplicidad es n entonces debe de haber n lugares en el divisor correspondiente a la linea porque $latex \partial(div(l_{PQ}))=0$


Tenemos que una curva elíptica es de la forma $latex y^2 = x^3 + \alpha x + \beta$

y $latex l_{PQ}$ es $latex y=mx+b$ por lo que si elevamos al cuadrado la linea e intersectamos con la curva

$latex (mx+b)^2 = x^3 + \alpha x + \beta$  es una cúbica en $latex x$ y en la homogenización tiene un cero de orden 3 en el punto al infinito $latex [1:0:1]$ el cual es el polo.

Eso quiere decir que si tenemos un polo de orden 3 , deben de haber 3 puntos donde choca la linea.
En símbolos:

La recta con pendiente distinta de 0 en la curva que pasa por P y Q:

$latex div(l_{PQ}/z) = (P)+(Q)+(R)-3\infty $

La recta que proyecta con el lugar infinito y R

$latex div(l_{R,\infty}/z)= R+(P+Q) -2\infty$

Por lo que:

$latex div(l_{PQ}/l_{R,\infty})=$ $latex div(l_{PQ}/z)-div(l_{R,\infty}/z)=(P)+(Q)-(P+Q)-\infty$

Por lo que de aquí sale la razón por la que está definida

Aquí vemos como se ven los divisores

Y de hecho, el grupo de Picard en este caso es isomorfo a los puntos de la curva bajo el mapeo:


$latex \Psi:C\rightarrow Pic^0(C)$
$latex P \mapsto P-\infty + Prin(\mathbb{F})$

Esto es inyectivo porque en género 1 con Riemann-Roch , ningún divisor $latex (P)-\infty$ es principal a menos que $latex P=\infty$


Espero les haya gustado

Eduardo Ruíz Duarte (beck)
twitter: @toorandom

Teorema de Riemann-Roch y divisores en criptografía, (Parte 2: Espacio proyectivo)

Como vimos anteriormente, lo que queremos es exprimir las propiedades de una curva algebraica a través de la geometría algebraica, en este caso de una curva elíptica o hiperelíptica.

Como lo mencioné al principio del post anterior, el grupo de una curva elíptica está fundamentado de manera "cochina" por (algunos) computólogos que implementan criptografía por el teorema de Bézout.

Siempre al definir una curva elíptica se define en su propiedad de grupo que un punto $latex (x,y)$ en la curva elíptica o hiperelíptica tiene como inverso a el punto $latex (x,-y)$ lo cual sucede al proyectarlo con un punto mágico que está en el infinito, esto es porque la curva elíptica realmente no vive en $latex \mathbb{R}^2$ como todos creen, realmente vive en otro espacio que es el que trataremos de explicar aquí, vive realmente en $latex \mathbb{P}^2_{\mathbb{C}}$, pronto veremos el por qué se les llama elípticas a través de otro nuevo espacio $latex \mathbb{C}/\Lambda$ y una función llamada $latex \wp$ de Weierstrass, pero eso aún está lejos de este post.

La respuesta elegante y limpia en vez de usar Bézout para justificar la estructura de grupo de una curva elíptica o hiperelíptica está a través del teorema de Riemann-Roch el cual trataremos de comprender a grandes rasgos, no olvides checar tu literatura

El teorema de Riemann-Roch une las propiedades algebraicas y topológicas de una curva, vamos a explorarlo un poco, aunque en esta primera parte del post definiremos primero lo que es el espacio proyectivo y algunas propiedades a través de ejemplos usando topología.

Como lo mencioné, vamos a hablar ahora del espacio proyectivo $latex \mathbb{P}^{n}_{\mathbb{K}}$, en el post anterior trabajamos en el espacio afín $latex \mathbb{A}^{n}_{\mathbb{K}}$ y definimos el campo de funciones, el cual jugará un papel imporante en Riemann-Roch

Recomiendo leer al menos la página de Wikipedia de geometría proyectiva así como el artículo del plano complejo proyectivo , aquí daré cierta intuición, ejemplos, definiciones y construcciones, para no dejar ese hueco.

Sea $latex V$ un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo $latex \mathbb{K}$ (de hecho para nuestros propósitos el espacio que tomaremos será $latex V=\mathbb{C}^2$) y considera la siguiente relación de equivalencia entre los vectores  $latex V\setminus \lbrace 0 \rbrace$:

$latex u\sim v \Leftrightarrow \exists \lambda \in \mathbb{K}^{*} \mid u=\lambda v$

Es decir, estamos diciendo que dos vectores $latex u$ y $latex v$ estarán en la misma partición (están relacionados) sí y sólo sí están en la misma linea que pasa por el origen, es decir, este espacio consta de todas las lineas que salen del origen bajo esta relación, con un ombligo, recuerda que quitamos al 0

Por lo que tenemos que si nuestro espacio vectorial  $latex V=\mathbb{C}^2$
$latex \mathbb{P}(V):=V\setminus \lbrace 0 \rbrace / \sim$

y para reducir notación:

$latex \mathbb{P}^{n}_{\mathbb{C}}:=\mathbb{P}(\mathbb{C}^{n+1})$

Por lo que a nosotros nos interesará trabajar en:

$latex \mathbb{P}^{2}_{\mathbb{C}}$

El cual es el plano proyectivo complejo.

Esta geometría realmente nace de la perspectiva a la hora de pintar un paisaje y quieres poder mostrar el horizonte en tu obra a pesar de que éste esté en el infinito.

De hecho, los puntos de $latex \mathbb{P}^{2}_{\mathbb{C}}$ son denotados como $latex [a:b:c]$

Ejemplo:

Como a mucha banda matemática y a mi, nos gustan los ejemplos para poder entender los conceptos abstractos, afortunadamente aquí sí hay algo en lo que todo el mundo es familiar.

Vamos a ver cómo se ve $latex \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{R}}$, de hecho vamos a demostrar que este espacio es realmente homeomorfo al círculo $latex \mathbb{S}^1$

Este espacio se le llama linea proyectiva real y nace de considerar la relación de equivalencia mencionada inicialmente sobre $latex \mathbb{R}^2$.

Más formal:

Si $latex x,y\in \mathbb{R}^2$, tenemos que $latex x\sim y \Leftrightarrow x=\lambda y$ con $latex \lambda \in \mathbb{R}$ y:

$latex \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{R}}=\mathbb{R}^2\setminus \lbrace 0 \rbrace / \sim$

Vamos a usar topología aquí para demostrar que $latex \mathbb{S}^1$ y $latex \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{R}}$ son homeomorfos, de hecho la topología cociente aunque supongo que hay caminos tal vez más directos.

Consideremos:

$latex \psi:\mathbb{R}^2 \setminus \lbrace 0 \rbrace \rightarrow \mathbb{P}^1_{\mathbb{R}}$
$latex (x,y) \mapsto [x:y]$

Ahora, vamos a restringir esto a $latex \mathbb{S}^1$

es decir $latex \hat\psi = \psi\mid_{\mathbb{S}^1}$ por lo que tenemos que en $latex \hat\psi :\mathbb{S}^1 \rightarrow \mathbb{P}^1_{\mathbb{R}}$  $latex \hat\psi(x,y)=\hat\psi(-x,-y)$ es decir, a cada punto del círculo bajo la relación $latex \sim$ se reduce en la restricción al círculo a una relación más simple que le llamaremos $latex \hat\sim$ la cual definimos como $latex a,b\in \mathbb{S}^1$ entonces $latex a\hat\sim b\Leftrightarrow a=-b$

Es decir, la relación restringida al círculo nos dice que las antípodas están en la misma clase de equivalencia.

Entonces lo que basta demostrar es que $latex \tilde\psi:\mathbb{S}^1/\hat\sim \rightarrow \mathbb{S}^1$
es un homeomorfismo.

Consideremos el mapeo:

$latex \phi:\mathbb{S}^1 \rightarrow \mathbb{S}^1$

$latex (x,y) \mapsto (x^{2} - y^{2},2xy)$

Este mapeo está inspirado en $latex z\mapsto z^2$ en $latex \mathbb{C}$ pero viéndolo en $latex \mathbb{R}^2$ y restringido a $latex \mathbb{S}^1 \subset \mathbb{R}^2$

Este mapeo $latex \phi$ claramente es continuo y suprayectivo y $latex \phi$ pasa por el cociente bajo $latex \hat\sim$ o sea, respeta la relación de equivalencia $latex \hat\sim$ ya que si $latex z\in\mathbb{S}^1$ tenemos que $latex \phi(z)=\phi(-z) \Rightarrow z\hat\sim -z$

Usando la propiedad universal de la topología cociente con esta $latex \phi$ tenemos que $latex \tilde\psi:\mathbb{S}^1/\hat\sim \rightarrow \mathbb{S}^1$ es un homeomorfismo y es único.

Por lo que:

$latex \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{R}}=\mathbb{R}^2\setminus \lbrace 0 \rbrace / \sim \cong \mathbb{S}^1$


Más ejemplos usuales existen , por ejemplo si nos tomamos $latex \mathbb{C}$ en vez de $latex \mathbb{R}$ ustedes pueden demostrar que la recta proyectiva compleja:

$latex \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{C}} \cong \hat{\mathbb{C}}:=\mathbb{C}\cup \lbrace \infty \rbrace$

La cual es la esfera de Riemann, éste es un ejemplo fundamental en análisis complejo y geometría algebraica por ser una superficie de Riemann compacta, esto último es relevante ya que nos permite verla como una curva proyectiva algebraica.

Los espacios proyectivos complejos son una herramienta muy poderosa, ya que al agregar este punto $latex \infty$ en ciertos casos se puede definir la división por 0 haciendo que por ejemplo cualquier función racional meromorfa en los complejos sea extendida a una función continua sobre la la recta proyectiva compleja, mapeando sus polos al infinito y conservando continuidad.

En los espacios proyectivos suceden cosas interesantes, por ejemplo veremos que por la naturaleza del espacio en función de su relación de equivalencia, las ecuaciones algebraicas dentro de nuestro espacio proyectivo deberán ser homogéneas, o que existen un puntos que no están en el espacio vectorial en correspondencia con el proyectivo o que si definimos dos rectas paralelas en el espacio vectorial y lo transladamos al espacio proyectivo sí se intersectarán, de hecho TODAS las rectas del espacio proyectivo se intersectan en un punto 

Regresando a la analogía de las obras de pintura de paisajes, imagina ¿cómo pintarías la foto de unas vías del tren vistas de frente?, si observas bien las vías, éstas, pareciera que se intersectan en el horizonte.

Para terminar esto veamos lo que mencioné en negritas el penúltimo parrafo a éste.

Consideremos las soluciones (el conjunto de ceros) de un polinomio definido con sus variables en $latex \mathbb{P}^{n}_{\mathbb{K}}$ es decir, un punto en general sería con $latex n+1$ variables , $latex P=[x_0:...x_n]\in \mathbb{P}^{n}_{\mathbb{K}}$, estos puntos por como está definido el espacio proyectivo, están determinados por la multiplicación por un escalar $latex \lambda$, el cual da la relación de equivalencia, por lo que un polinomio con variables proyectivas deberán considerar esa restricción a la hora de considerar sus soluciones, estos polinomios se les llama homogéneos

Definición (polinomio homogéneo): Un polinomio:

$latex f(x_0,x_1,...,x_n) = \displaystyle \sum { a_{\eta_0...\eta_n}}x_{0}^{\eta_0}...x_{n}^{\eta_n}$

Se dice homogeneo de grado $latex d$ si TODOS sus monomios tienen el mismo grado $latex d=\sum_{i=0}^{n} \eta_i$

Por lo que si $latex f$ es homogéneo de grado $latex d$ entonces:

$latex f(\lambda x_0, ..., \lambda x_n)=\lambda^d f(x_0,...,x_n)$

Con esto tenemos que los polinomios homogéneos están bien definidos en el espacio proyectivo.

Ahora, lo que nos resta ver es una propiedad interesante, dos lineas siempre se intersectan en el plano proyectivo, y para esto lo que haremos un ejemplo, será transformar polinomios en dos variables complejas $latex \mathbb{C}^2$ a polinomios en $latex \mathbb{P}^2_{\mathbb{C}}$ a través de un proceso que se llama "homogenización" , y lo haremos con dos lineas paralelas, y veremos como es la intersección de sus imágenes.

La siguiente definición es para construir un polinomio cualquiera, a un polinomio homogéneo , es decir con monomios del mismo grado, esta operación es invertible.

Definición (homogeinización): Sea $latex p(x,y) \in \mathbb{C}[x,y]$, el polinomio correspondiente en $latex \mathbb{P}^2_{\mathbb{C}}$ es:

$latex p(x,y,z)=z^{n}p(\frac{x}{z},\frac{y}{z})$

Es fácil ver que el polinomio resultante de este proceso es realmente homogéneo.

Ejemplo (intersección de las imágenes bajo homogenización de dos rectas afines):

Sean
$latex x+y=2$
$latex x+y=3$

dos rectas definidas en $latex \mathbb{C}^2$

claramente son paralelas, homogeneizando tenemos que

$latex x+y=2z$
$latex x+y=3z$

por lo que tenemos que $latex [a:-a:0] \in \mathbb{P}^2_{\mathbb{C}}$ está en la linea al infinito y es solución de ambas ecuaciones,

nota que $latex [0:0:0]$ también es solución, pero éste punto no está definido en el espacio proyectivo por construcción.

Otro ejemplo serían dos circunferencias de radio distinto:


$latex x^2 + y^2 = 1$
$latex x^2 + y^2 = 2$

Claramente no se intersectan en el espacio afín complejo

Homogeneizando, tenemos que

$latex x^2 + y^2 -1 \mapsto z^2\Big ( \frac{x^2}{z^2}+\frac{y^2}{z^2}-1\Big )=x^2+y^2-z^2$

Similarmente con el otro polinomio, por lo que tenemos que intersectar en $latex \mathbb{P}^2_{\mathbb{C}}$

$latex x^2+y^2-z^2$   y   $latex x^2+y^2-2z^2$

y tenemos que todos los puntos de la forma $latex \lambda(\pm 1,\pm i,0)$ son soluciones, y si $latex \lambda \neq 0$

tenemos que $latex [\pm 1:\pm i:0]\in \mathbb{P}^2_{\mathbb{C}}$ es un punto en la linea al infinito que intersecta a ambas circunferencias proyectivas de distinto radio.

La relación con curvas elípticas será que éstas realmente hay que proyectivizarlas (homogeneizarlas) y al trabajar con ellas en criptografía es viéndolas en el espacio proyectivo, es decir para que todo funcione como queremos necesitamos la cerradura proyectiva, mas no el hecho de usar un punto cualquiera para darle estructura de grupo.


Con esto, y el post anterior estamos listos para la siguiente parte que será el teorema de Riemann-Roch


Eduardo Ruiz Duarte (beck)
twitter: @toorandom

Teorema de Riemann-Roch y divisores en criptografía (Parte 1: campos de funciones y gavillas sobre variedades)

En criptografía muchos han visto que se estudian las curvas elípticas y menos frecuentemente las curvas hiperelípticas, algunos recordarán la estructura de grupo que se le da a una curva elíptica $latex C$ con la usual regla de intersección de una recta con la curva haciendo uso abusivo del teorema de Bézout para fundamentar la estructura de grupo que hay en sus puntos, que más formalmente, es la estructura de grupo que hay en las clases de divisores formados por las sumas formales de ideales máximos de todos los subanillos del campo de funciones de $latex \mathbb{K}(C)$, este grupo es el grupo de Picard de orden 0 de la curva $latex C$ que es:

 $latex Pic^0(C) = Div^0(C)/Prin(C) \cong \mathbb{J}(C)$.

Esta manera de ver las cosas NO es para complicar lo ya existente, sino es con propósitos de poder exprimir más la teoría que lo respalda para poder investigarlo mejor y generalizarlo a otras curvas no elípticas.

La estructura de grupo de manera inocente o usual se puede ver en muchos textos pobres en matemáticas pero tal vez ricos en aplicaciones criptográficas como esto:

El propósito de este post será el poder resumirte la teoría que hay detrás.


Comencemos con unas definiciones, voy a suponer que quien me lee está familiarizado con la topología de Zariski la cual está definida por los conjuntos algebraicos como cerrados, de hecho estas definiciones son las interesantes para la topología de Zariski, y con esto pueden demostrar fácilmente las propiedades de espacio topológico.

Definición (ceros):
Sea $latex A:= \mathbb{K}[x_1,...,x_n]$ el anillo de polinomios en $latex n$ variables sobre el campo algebraicamente cerrado $latex \mathbb{K}$ y $latex J \subset \mathbb{K}[x_1,...,x_n]$ un ideal, entonces definimos el conjunto de ceros del ideal $latex J$ como:

$latex V(J):=\lbrace P\in \mathbb{A}^{n}_{\mathbb{K}} \mid f(P)=0$     $latex \forall f\in J\rbrace$


Definición (variedad afín): Un subconjunto $latex X\subset \mathbb{A}^n_{\mathbb{K}}$ es un conjunto algebraico (variedad afín) en el espacio afín $latex \mathbb{A}^n_{\mathbb{K}}$ si existe un $latex T\subset \mathbb{K}[x_1,...,x_n]$ tal que:

$latex X=V(T)$

Decimos que $latex X$ es un cerrado de Zariski, en la topología dada a  $latex \mathbb{A}^n_{\mathbb{K}}$.

Veámos primero lo que es el anillo de coordenadas de una variedad.

Definición (función polinomial en la variedad V): Una función polinomial es un mapeo $latex f:V \rightarrow \mathbb{K}$ tal que existe un $latex F\in \mathbb{K}[x_1,...,x_n]$ con $latex f(P)=F(P)$  $latex \forall P\in V$

Este polinomio $latex F$ no está únicamente determinado por los valores que toma en $latex V$ o sea si tenemos $latex F,G\in \mathbb{K}[x_1,...,x_n]$:


$latex F\mid_{V}=G\mid_{V} \Leftrightarrow (F-G)\mid_{V}=0 \Leftrightarrow F-G\in I(V)$

Donde:

$latex I(V):=\lbrace f\in \mathbb{K}[x_1,...,x_n] \mid f(P)=0$    $latex \forall P\in V\rbrace$



Esta definición de función polinomial y su relación de igualdad con otros polinomios, huele a una relación de equivalencia, por lo que vamos a suponer que lo es y se deja a quien lee para que lo demuestre y tenemos que:

Denotaremos ahora a $latex V$ como el conjunto algebraico $latex V(I)$ donde $latex I$ es ideal de $latex \mathbb{K}[x_1,...,x_n]$

Definición (anillo de coordenadas de una variedad): Un anillo de coordenadas de una variedad $latex V$ es:

$latex \mathbb{K}[V]:=\mathbb{K}[x_1,...,x_n]/I(V)$

Este anillo sabemos que es un dominio entero si $latex I(V)$ es un ideal primo, y esto naturalmente sucede si $latex V$ es irreducible , es decir no es union de otros cerrados de zariski


De lo anterior sobre funciones polinomiales y la última definición se puede demostrar que:

$latex K[V]=\lbrace f \mid f:V\rightarrow \mathbb{K}$ es una función polinomial $latex \rbrace$

Cabe notar que se le llama anillo de coordenadas porque las funciones que te dan la i-ésima coordenada de los elementos de $latex V$, $latex x_i$ son las generadoras de $latex \mathbb{K}[V]$

Es fácil ver que $latex \mathbb{K}[ \mathbb{A}^n_{\mathbb{K}}]=\mathbb{K}[x_1,...,x_n]$ y que el anillo $latex \mathbb{K}[V]$ juega el papel para $latex V$ como $latex \mathbb{K}[x_1,...,x_n]$ para $latex \mathbb{A}^n_{\mathbb{K}}$

Observaciónes sobre lo anterior con respecto a la topología de Zariski en $latex \mathbb{A}^n_{\mathbb{K}}$.

• Los ideales primos de $latex \mathbb{K}[V]$ están en correspondencia 1:1 con irreducibles $latex W\subset V$
• Los ideales máximos de  $latex \mathbb{K}[V]$ están en correspondencia 1:1 con los puntos de $latex V$
• Los ideales radicales de $latex \mathbb{K}[V]$ están en correspondencia 1:1 con los cerrados $latex W\subset V$

Definición (campo de funciones de V): El campo de funciones de $latex V$ es el campo de fracciones de $latex \mathbb{K}[V]$ y es denotado por $latex \mathbb{K}(V)$, las $latex f\in \mathbb{K}(V)$ se llaman funciones racionales sobre $latex V$

Definición (función regular en P): Una función $latex f\in \mathbb{K}(V)$ y $latex P\in V$ se dice que es regular en $latex P$ si $latex f=\frac{g}{h}$ con $latex h(P)\neq 0$, y definimos:

$latex dom(f):=\lbrace P\in V \mid f$ es regular en $latex P\rbrace$

Proposición: El conjunto:

$latex V_f:=\lbrace P\in V\mid f(P)\neq 0\rbrace$

es un abierto de $latex V$


Teorema: 

• $latex dom(f)$ es abierto y denso en $latex V$
• $latex dom(f)=V\Leftrightarrow f\in \mathbb{K}[V]$
• $latex V_g\subset dom(f) \Leftrightarrow f\in \mathbb{K}[V][1/g]$

Ahora, entraremos a un concepto central, para poder analizar una variedad localmente... para esto sabemos que un anillo local sólo tienen un ideal máximo, y tenemos que la siguiente definición

Definición (anillo de funciones regulares): El anillo de funciones regulares de $latex V$ localizado en el punto $latex P\in V$ es:

$latex O_{V,P}:=\lbrace f\in \mathbb{K}(V)\mid f$ es regular en $latex P\rbrace$

Es fácil demostrar que esto es en efecto un subanillo de $latex  \mathbb{K}(V)$ y que su único ideal máximo no deberá tener unidades por lo que su ideal máximo es:

$latex m_{P}:=\lbrace f/g \in \mathbb{K}(V)\mid f(P)=0, g(P)\neq 0 \rbrace$

Ahora vamos a la últma parte de este blog donde discutiremos la estructura de gavilla de una variedad

Estructura de gavilla de una variedad

Tenemos que el anillo $latex O_{V,P}$ es local y es un subanillo de $latex \mathbb{K}(V)$ y su ideal máximo es $latex m_{P}$, es fácil relacionar a $latex O_{V,P}$ con $latex \mathbb{K}[V]$ ya que con localización puedes demostrar que:

$latex \hat{m}_P=\lbrace f\in \mathbb{K}[V]\mid f(P)=0\rbrace=I(\lbrace P \rbrace)+I(V)\subset \mathbb{K}[V]$

Es máximo y:

$latex O_{V,P}=\mathbb{K}[V]_{\hat{m}_P}$


Es decir que $latex O_{V,P}$ es la localización del anillo de coordenadas de $latex V$ en el ideal máximo $latex \hat{m}_P$

Ahora vamos a definir el concepto final:

Definición-Teorema (estructura de gavilla en $latex O_{V}(U)$, germen y fibra ): Para todo abierto $latex U \subset V$ tenemos:

$latex O(U):=O_{V}(U):=\lbrace f\in \mathbb{K}(V) \mid f$ es regular en $latex U \rbrace$

Es una $latex \mathbb{K}-$álgebra con $latex O_{V}(\emptyset):=\lbrace 0 \rbrace$

Todos los $latex O_{V}(U)$ con $latex U\subset V$ forman una gavilla $latex O_V$ bajo la restricción de homomorfismos usual y el anillo $latex O_{V,P}$ es una fibra de la gavilla $latex O_V$  y los elementos $latex f\in O_{V,P}$ se les llama gérmenes de funciones y:

$latex O(V)=\mathbb{K}[V]$


La teoría de gavillas da una estructura rica a una variedad, en este caso , puede ser el de una curva elíptica o hiperelíptica

Saludos

Eduardo Ruiz Duarte (beck)
Twitter: @toorandom