Teorema de dualidad de Poincaré (2/2)

Ya por fin llegamos a la parte final, después de dos tópicos interesantes que fueron los dos posts anteriores que son la construcción de los grupos de homología y cohomología los cuales son necesarios y recomiendo les eches un ojo antes en ese orden si no lo has hecho antes de comenzar aquí, ahora voy a tratar de hacer ver el teorema de dualidad de Poincaré.

Esto no será una demostración, sólo será una idea intuitiva, pero la demostración la pueden encontrar en cualquier texto de topología algebraica como Hatcher que creo que es el libro te texto por excelencia para topología algebraica.

Formularemos el teorema considerando un cubo y un octaedro metidos uno en el otro

Observaciones:

a) Como pueden ver, en el lado izquierdo, los 6 vértices del octaedro verde tocan todas las 6 caras cuadradas del cubo rojo.

b) Por otro lado, en la figura de enmedio, lo que ven es que los 8 vértices del cubo tocan cada una de las 8 caras del octaedro.

c) En la última figura del lado derecho se pueden ver las dos figuras, y claramente podríamos verlo como una triangulación de las dos figuras en una esfera (complejo simplicial) $latex \mathbb{S}^2$ por lo que la dimensión en la que trabajamos es 2

d) También pueden observar en la última figura que cada una de las aristas del octaedro toca sólo una vez a una cada una de las aristas del cubo, es decir están en correspondencia 1-1

Entonces podemos ver que en $latex \mathbb{S}^2$ tenemos dos estructuras, la del cubo que la llamaremos $latex C$ y la del octaedro que le llamaremos $latex C^{*}$ , que corresponden a complejos de cadenas y podemos comenzar a intuir la dualidad.

Deducciones de complejos de cadenas en cubo y octaedro.

Del punto d) podemos decir que las aristas , es decir , las $latex 1$-cadenas son iguales en $latex C$ y $latex C^{*}$ , por lo que $latex C_{1}=C^{*}_{1}$ , ya que estan en correspondencia 1-1 entre el octaedro y el cubo.

Del punto a) Vemos que las caras del cubo (2-cadenas) están 1-1 con los vértices (0-cadenas) del octaedro, por lo que $latex C_2=C^{*}_0$

De punto b) pueden ver que cada cara (2-cadena) del octaedro toca a cada vértice (0-cadenas) del cubo por lo que $latex C^{*}_2 = C_0$

Calcular homología y cohomología 

Ya estamos listos para calcular cohomología y homología, en la parte 1 calculamos la homología en $latex \mathbb{Z}$ para poder usar signos y preservar orientación, esta vez lo haremos sobre $latex \mathbb{F}_2$ para que sea más sencillo, es decir, nos olvidamos de la orientación de los símplices por un momento.

Entonces tenemos la sucesión con el mapeo frontera $latex \partial$ que manda a las sumas de las fronteras con respecto a caras, aristas, vértices y su respectivo mapeo dual como ya lo definimos en la parte 1.5 (post anterior) de esta serie de post

$latex C_2 \xrightarrow[]{\partial_2} C_1 \xrightarrow[]{\partial_1} C_0$

$latex C^{*}_2 \xleftarrow[]{\delta_2}C^{*}_1\xleftarrow[]{\delta_1}C^{*}_0$

Recomendación para la visualización y motivación siguiente:
Fija una cara en los dibujos del cubo (yo fijaría la de hasta arriba) y observa la descripción siguiente
en términos de sus aristas y vértices, así como el vértice dual de la cara del cubo en el octaedro.

Entonces ahora tenemos que $latex \partial_2$ toma una cara y lo mandará a la suma de sus fronteras que son $latex 1$-cadenas (Aristas), y en cohomología , el mapeo $latex \delta_0$ mandará un vértice  del octaedro hacia las aristas del octaedro que son adyacentes a ese vértice, es decir lo manda a un elemento del grupo libre $latex C^{*}_1$

Entonces tenemos que aplicando el operador frontera a una cara (2-cadena) del $latex C$, fija una cara de $latex C$ que la denotamos como $latex \square$ y sus aristas denotadas como $latex \mid_i$ y a los vértices de $latex C$ correspondientes a la arista $latex \mid_j$ los denotamos como $latex \bullet^{j}_1$ y $latex \bullet^{j}_2$.

$latex \partial_2(\square)=\mid_1+\mid_2+\mid_3+\mid_4$
$latex \partial_1(\mid_1)=\bullet^{1}_1+\bullet^{1}_2$

Tenemos que por las observaciones, a $latex \square$ le corresponde un vértice en $latex C^{*}$
el mapeo $latex \delta$ lo que hará será asignar a una $latex n-1$-cadena, la $latex  n$-cadena que la contiene, es decir por ejemplo, una arista del octaedro la mandaria a las caras de las cuales es frontera esa arista, entonces si denotamos las caras del octaedro como $latex \triangle$ sus aristas como $latex \dagger_i$ y a sus vértices como $latex \star^{i}_1$ y $latex \star^{i}_2$

Tenemos que por la observación a) tenemos que a $latex \square$ en $latex C$ le corresponde $latex \star$ en $latex C^{*}$

por lo que

$latex \delta_1(\star) = \dagger_1 + \dagger_2 + \dagger_3 + \dagger_4$

ya que asigna ese vértice del octaedro a sus aristas que lo contienen.

$latex \delta_2(\dagger_1 + \dagger_2)=\triangle_1 + \triangle_2$

Es decir, de manera analoga, las dos aristas lo mandan a la cara que las contiene.

Entonces tenemos que el mapeo $latex \delta_2$ hace lo mismo que el mapeo $latex \partial 0$ , y el mapeo $latex \delta_1$ lo mismo que $latex \partial_1$


Entonces, tenemos que

$latex C_2 \xrightarrow[]{\partial_2} C_1 \xrightarrow[]{\partial_1} C_0$   (Homología)

$latex C^{*}_2 \xleftarrow[]{\delta_2}C^{*}_1\xleftarrow[]{\delta_1}C^{*}_0$ (Cohomología)

Y si calculamos todos los mapeos como lo hicimos tenemos que los grupos de homología y cohomología se comportan así:


$latex H_0(C)\cong H^{2}(C^{*},\mathbb{F}_2)$
$latex H_1(C)\cong H^{1}(C^{*},\mathbb{F}_2)$
$latex H_2(C)\cong H^{0}(C^{*},\mathbb{F}_2)$
$latex ker\partial_{r}/Im\partial_{r+1}=H_r(C)\cong H^{2-r}(C^{*},\mathbb{F}_2)=ker\delta_{2-r+1}/Im\delta_{2-r}$

Aquí tenemos que todo esto era sobre $latex \mathbb{S}^{2}$ es decir $latex n=2$

Esto NO es casualidad, de hecho huele... no huele, apesta a teorema y es un teoremón.


Teorema de dualidad de Poincaré

Si $latex X$ es una variedad orientable y cerrada de dimensión n (compacta, sin frontera como $latex \mathbb{S}^{2}$ o un n-toro) entonces su cohomología y homología están relacionadas así:

$latex H_k(X)\cong H^{n-k}(X^{*},G)$


Esto lo pueden experimentar ustedes, por ejemplo calculen la dualidad de un icosaedro a través de su cohomología para obtener un dodecaedro, ¿existirá un objeto geométrico que sea su propio dual?  , este debería de existir... ya que todo esto yendo más lejos aún debe tener una "identidad" , y sí, de hecho es el tetraedro.

Este resultado en topología, geometría, como podrán imaginarse los algebristas, es posible que tenga alguna equivalencia en álgebra... el semestre pasado tomé curso de geometría algebraica avanzada en la Universidad de Utrecht en Holanda y demostraron el teorema de dualidad de Serré, el cuál sólo mencionaré pero no desarrollaré ya que para eso necesitaría otros 3 posts más, pero lo que les puedo decir es que existe una relación entre el teorema de dualidad de Poincaré y el teorema de dualidad de Serré usando teoría de Hodge, de hecho aquí lo mencionan y desarrollan de manera muy aceptable.

Teorema de dualidad de Serré
Sea $latex E$ un haz fibrado holomorfo sobre una variedad compleja suave compacta $latex V$ de dimensión $latex n$ (Existen generalizaciones para gavillas coherentes y haces vectoriales) , entonces:

$latex H^{q}(V,E)\cong H^{n-q}(V,\Omega_n\otimes E^{*})^{*}$

Donde $latex \Omega_n$ es el producto cuña n veces del haz cotangente de $latex V$ (en curvas esto es directo de Riemann-Roch que lo pueden consultar aquí en mi blog y formas k formas diferenciales aquí), aquí * indica "dual" , en el mismo sentido que lo vimos aquí en esta serie de posts.

Si les interesa más aquí tengo post de cohomología de De Rham y cohomología de grupos

Espero les haya gustado mucho como a mi me gustó explicarlo, si hay dudas, críticas o recomendaciones favor de usar los comentarios o escribirme un correo o twitt.

Y como fuente de todo esto es el libro de Allen Hatcher de Algebraic Topology, especificamente la parte 3.3

Eduardo Ruíz Duarte (beck)
twitter: @toorandom

Teorema de dualidad de Poincaré (parte 1/2 Homología)

Esta es la primera parte de la motivación del teorema de dualidad de Poincaré que nos muestra una propiedad universal de todos los objetos geométricos fundamentales, empezaremos con un poco de Homología, en este post no llego al teorema de dualidad pero será en el siguiente.

El post siguiente que es la parte 1.5/2 es la construcción de los grupos de cohomología usando los grupos de homología que definiremos enseguida.

Poincaré fue el primero que comenzó con la teoría de homología y cohomología, pero no como lo conocemos ahora, él trabajaba con topología y lo que él quería era contar hoyos , esto podrá sonar muy trivial si se imaginan un toro o una esfera que saben que tiene 1 hoyo y 0 hoyos respectivamente, pero como se imaginarán existen espacios muy complicados, que en la práctica por ejemplo se puede traducir a superficies modeladas con ecuaciones que representan restricciones en un modelo de muchas dimensiones... si quieres imaginarte su geometría, estarás perdido, para eso tienes que fijarte en su topología para poder tener una intuición de cómo se ve, o sea yo te puedo decir que la ecuación $latex y^2 = x^3 - 1$ así de simple como la ves tiene un hoyo en $latex \mathbb{C}^2$ a pesar de que estos hoyos no se puedan visualizar tan intuitivamente.

La técnica de medir estos hoyos, que al final serán invariantes topológicos se basa en muchas cosas, entre ellas la teoría de homología y cohomología las cuáles de manera tonta la puedes ver como cierta álgebra extraída de la topología del objeto.

Ya hemos hablado antes de cohomología de deRham aquí o de cohomología de grupos acá para extender este concepto de hoyos a objetos algebraicos a través de la cohomología de Cech, también tratamos de dar la idea de Cohomología usando cálculo aquí por lo que voy a suponer que algunos conceptos ya son claros aunque tal vez repita algunos aquí.

El concepto de dualidad de Poincaré es un resultado topológico que relaciona los grupos de homología y cohomología de una variedad $latex V$ cerrada orientable de dimensión $latex n$ (sin frontera como una circunferencia, toro o esfera $latex \mathbb{S}^2$ ) , de hecho dice que

$latex H_{n-k}(V) \cong H^{k}(V)$

Es decir que el $latex k-$ésimo grupo de cohomología es isomorfo al $latex n-k$-ésimo grupo de homología de una variedad orientable y cerrada $latex V$.

Poincaré no definió el teorema anterior así, de hecho él lo definió en términos de números de Betti, (Enrico Betti) , estos números los bautizó Poincaré en su honor ya que Betti estudió superficies sin frontera en dimensiones altas lo cual fue el motivante para Poincaré, y los definió así:

Definición
Sea $latex V$ una variedad de dimensión $latex n$ el número de Betti $latex B_r$ para una dimensión $latex r$ es el número máximo de subvariedades de $latex V$ de dimensión $latex r$ contenidas en $latex V$ que son linealmente independientes, +1

Teorema de dualidad de Poincaré: Si $latex V$ es de dimensión $latex n$ orientable y cerrada entonces $latex B_r=B_{n-r}$


Este tipo de resultados tienen aplicaciones en física cuántica y en estudio de la forma del universo, entre otras cosas que no conozco bien pero que bien si les interesa pueden investigarlo ustedes mismos y verán por qué en un momento.

También existe otra relación geométrica que es muy familiar para nosotros, que es la característica de Euler, tal vez algunos han experimentado con la fórmula característica de Euler

$latex \chi=V-E+F$ , es decir vértices-aristas+caras , este número es interesante, ya que es un invariante topológico, si ustedes triangulan, cuadriculan, o dibujan cualquier red de aristas, vértices y caras en una esfera, SIEMPRE obtendrán $latex \chi=2$ , es decir una esfera triangulada y cuadriculada les dará 2, o si aplican la fórmula a un octaedro y a un cubo también... pero si aplican la fórmula a un toro triangulado o a una botella de Klein, verán que las cosas cambian, ya que no son topológicamente equivalentes a una esfera y obtendrán otros valores porque tienen hoyos.

De hecho, esto puede ser generalizado a dimensiones altas, y lo que dice aquí se puede pasar a complejos de cadena, una cara es la frontera de una variedad, la frontera de una cara son las aristas, y la frontera de una arista son sus vértices $latex (V\leftarrow E \leftarrow F)$ y cuál es la frontera de una frontera ?, es decir si $latex X$ es una variedad y $latex \partial$ es el operador que te calcula la frontera qué es $latex \partial\partial X$ ? , si saben un poco de topología puntual, saben que la frontera de un objeto es un conjunto cerrado sin puntos interiores... por lo tanto la frontera de esto al no haber puntos interiores deberá ser vacía (no hay de donde tomar orilla).

La generalización de esto, es decir ya no podemos hablar de aristas, caras ni vértices, sino de símplices, porque en dimensiónes más altas que 3 necesitarías otras palabras como "hipercara".

Teorema: Sea $latex U$ una variedad  de dimensión $latex n$
$latex \chi_U = \sum_{r=0}^n (-1)^{r}\Delta_r = \sum_{r=0}^n (-1)^{r}B_r$

La parte izquierda es la misma formula característica de Euler, $latex V-E+F$ pero en general para una variedad $latex U$ de cualquier dimensión $latex n$, donde $latex \Delta_r$ son los símplices de dimensión $latex r$ tomados en cualquier triangulación definida en $latex U$ (si $latex n=3$ entonces tienes la formula usual de Euler) , en la parte derecha tenemos los números de Betti de $latex X$ para cada una de las dimensiones $latex r$.


De hecho a Platón o algún otro filósofo-matemático griego se les escapó una oportunidad de pasar aún más a la historia al estudiar los sólidos tridimensionales, sería considerado padre de la homología, ya que si hubiera dicho algo así como "La frontera de la frontera es vacía" seguro hubiera pasado a la historia de las matemáticas como lo hizo Euclides y muchos teoremas importantes en topología algebraica llevarían su nombre, de hecho en todas las teorías de Homología y Cohomología se necesita tener un operador frontera $latex \partial$

Este resultado de Poincaré trataré de explicarlo sólo como una motivación que pretenderá dar una intuición geométrica-topológica de esto, pero para esto tendré que explicar un poquito de homología simplicial que es la más básica, pero es la necesaria para poder entender construcciones más ricas como la homología singular.

Definición
Un $latex k-$símplice $latex \Delta_k$ es un triángulo generalizado a dimensión $latex k$, y es la envolvente conexa de $latex k+1$ puntos en $latex \mathbb{R}^{k+1}$ , es decir, es la intersección de todos los conjuntos convexos que contienen a esos puntos.

Más fácil, es un triángulo generalizado, si $latex k=2$ tenemos que en $latex \mathbb{R}^{3}$ necesitamos $latex 2+1$ puntos para definir un $latex 2-$símplice , es decir.. un triángulo, un triángulo es el conjunto $latex \Delta_2=\lbrace (x_0,x_1,x_2)\in \mathbb{R}^3 : x_0+x_1+x_2=1,\space x_0,x_1\geq 0\rbrace$, en general


$latex \Delta_n=\lbrace (x_0,...,x_n)\in \mathbb{R}^{n+1} : \sum_{i=0}^{n}x_i=1, \space x_i\geq 0\rbrace$

Ése señoras y señores es un triángulo de dimensión $latex n$ generalizado, noten que lo expresamos en dimensión $latex \mathbb{R}^{n+1}$, podrían usar otro espacio euclídeo, no sólo $latex \mathbb{R}^k$, para $latex \Delta_0$ tenemos que $latex x_0=1$ es un punto, después $latex \Delta_1$ es una recta, $latex \Delta_2$ es un triángulo,  $latex \Delta_3$ es un tetraedro, $latex \Delta_4$ es un pentatopo, etc... y este objeto es la base de la triangulación de cualquier variedad., noten que los puntos $latex v_0=(1,0,0...0) ,v_1=(0,1,0,0,...0), v_n=(0,0,...,0,1)$  son parte del conjunto y les llamamos coordenadas baricéntricas y son los vértices del $latex n-$símplice y nos permiten de una manera referirnos a los símplices sólo identificados con estos puntos.


Definición (complejo simplicial): Un $latex \Delta-complejo$ simplicial es un conjunto  de símplices de cualquier dimensión, pegados de tal manera que sus intersecciones también son símplices,

Vamos a denotar como $latex \Delta^{\alpha}_k$ como al $latex k-$símplice indexado por $latex \alpha$ , es decir denotar a la arista1, arista2, cara8, etc...

Es decir, un complejo simplicial es un conjunto de simplejos (puntos, aristas, triangulos, tetraedros, et cétera) , que cumplen que si $latex \sigma \in \mathcal{K}$ entonces las caras de $latex \delta$ también están en $latex \mathcal{K}$ y que si $latex \sigma_1,\sigma_2\$ pertenecen al complejo simplicial entonces $latex \sigma_1\cap \sigma_2$ también es una símplice común (cara común, arista común, vértice común, tetraedro común).

Ejemplo complejo simplicial                                         No-Ejemplo complejo simplicial

               

Ya con esto definimos los objetos en los cuales nos vamos a enfocar, ahora vamos por el álgebra aquí.

Definición (k cadena): Sea $latex X$ un $latex \Delta-$complejo simplicial, una $latex k-$cadena es una combinación lineal de $latex k-$símplices vista desde el grupo abeliano libre $latex \Delta_k(X)$ tomando como base todos los $latex k-$símplices de $latex X$, es decir es una $latex k-$cadena es una expresión de la forma

$latex \sum_{i=0}^{n} n_i\Delta^{i}_k$


Es decir por ejemplo es una expresión como $latex 4\Delta^{1}_3+8\Delta^{2}_3$ sería una $latex 3-$cadena formada por dos tetraedros.


Definición (k frontera débil): La $latex k$-frontera de una $latex k$-cadena es la suma de los $latex k-1$-simplices en la $latex k$-cadena, la cual se obtiene al quitar una coordenada a cada uno de los $latex k-$símplices de la $latex k$-cadena.

Vamos a desarrollar más esto que es importante, es décir como calcular la frontera.

Si tenemos un $latex k$-símplice, sabemos que está dado por sus coordenadas baricéntricas, que son los vértices, entonces

$latex \Delta_k = [v_0,v_1,...,v_k]$

Si queremos calcular su frontera de esta $latex k$-cadena, como dijimos en la definición, es calcular la $latex k-1$-cadena quitando vértices de $latex \Delta_k$ es decir.

$latex Fr(\Delta_k) = \sum_{i} [v_0, ..., \hat{v_i}, .. v_k]$

Donde $latex \hat{v_i}$ significa quitar esa coordenada, y vamos a modificar la función de frontera anterior y substituirla por una $latex \partial$ que nos permitirá conservar orientación de las caras, aristas, etc..

$latex \partial\Delta_k = \sum_{i} (-1)^{i}[v_0, ..., \hat{v_i}, .. v_k]$

Por ejemplo, podemos ver como se calcula la frontera de una arista, cara y tetraedro en la siguiente imagen sacada del libro de topología algebraica de Hatcher

Aquí pueden ver cómo se ve la frontera de una arista $latex [v_0,v_1]$ et cétera

Definición (k-frontera fuerte)

La función de frontera definida entre los $latex k$-simplices  y $latex k-1$-simplices de una complejo simplicial $latex X$, donde definimos $latex \Delta_k(X)$ como el grupo abeliano libre formado por los $latex k-$simplejos está definida como:

$latex \partial_k:\Delta_k(X)\rightarrow \Delta_{k-1}(X)$
$latex \Delta^{\alpha}_k \mapsto \sum_{i}(-1)^{i} \Delta^{\alpha}_k\mid [v_0,...,\hat{v_i},...,v_k]$


Donde es fácil ver que el lado derecho en efecto es una $latex k-1$-cadena porque sólo estamos sumando las mismas coordenadas de $latex \Delta^{\alpha}_k$ pero quitándole una coordenada, convirtiéndola en una $latex k-1$-cadena.

Es un ejercicio usual que prueben el siguiente teorema

Teorema: La composición en:

$latex \Delta_n(X)\xrightarrow{\partial_n}\Delta_{n-1}(X)\xrightarrow{\partial_{n-1}}\Delta_{n-1}(X)$

Es 0, es decir $latex (\partial_{n-1}\circ \partial_{n})(\Delta_{n}^{\alpha})=0$ para cualquier $latex \Delta_{n}$ y $latex \forall n$


De hecho esto es la algebrización de lo que Euclides o Platón pudieron haber hecho para pasar a la historia de La frontera de la frontera es vacía, esto sucede en cualquier dimensión y para cualquier símplice en cualquier complejo simplicial.


Definición (k ciclo): Un $latex k$-ciclo es una $latex k$-cadena cuya $latex k$-frontera es 0, y de hecho los $latex k-$ciclos son un subconjunto de las $latex k$-cadenas.


Tenemos que $latex Im\partial_n \subset Ker \partial_{n-1}$ y de hecho los $latex n-$ciclos coinciden con $latex Im\partial_n$ y las $latex n$-fronteras coinciden con  $latex Ker \partial_{n-1}$
como todo lo estamos trabajando en el grupo abeliano libre $latex \Delta_k{X}$ para cualquier $latex k$ , podemos definir el cociente, y tenemos la siguiente definición.

Definición (n-ésimo grupo de Homología) 

El $latex n$-ésimo grupo de Homología de $latex X$  es:

$latex H_n(X)=ker\partial_{n}/im\partial_{n+1}$


Ejemplo $latex \mathbb{S}^2$
El ejemplo obligado es $latex X=\mathbb{S}^1$ el círculo, donde tomas sólo un vértice $latex v$ y una arista $latex e$ que se cierra a si misma para que sea más simple, entonces puedes ver que de hecho $latex \Delta_0(X)$ el grupo abeliano libre generado por un vértice , y $latex \Delta_1(X)$ el generado por una arista pues es simplemente $latex \mathbb{Z}$ , para dimensiones más altas es 0, porque no hay símplices más grandes que quepan en el círculo.

Ejemplo toro (dona):

Otro ejemplo que pueden desarrollar es el Toro, donde deberían de obtener $latex H_1(T)=\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}$ , y como hint pueden usar la definición básica del toro con flechas 

Que significa , "doblar y pegar las aristas azules y despues doblar y pegar las aristas rojas", como pueden ver en el siguiente dibujito, eso ya les define una configuración básica de tres aristas (1-símplices) $latex a,b,c$ también dos caras $latex U,L$ (2-símplices) y un solo vértice $latex v$ (0-símplice), lo cual es suficiente para calcular homología, recuerden que todo esto es invariante bajo configuraciones de triangulaciones, y realmente estarían calculando la homología de lo azul con lo rojo con la siguiente configuración donde solo hay un solo vértice.

De hecho $latex \partial_1=0$ como en el ejemplo pasado haciendo que $latex H_0(T)=\mathbb{Z}$ y $latex \partial_2(U)=\partial_2(L)=a+b-c$ y $latex \lbrace a,b,a+b-c\rbrace$ es base $latex \Delta_1(T)$ por lo que $latex H_1(T)=\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$, todo esto lo pueden verificar ustedes, pero esto lo debi de haber dejado como ejercicio.

Espero les haya gustado, la siguiente parte veremos ya el teorema de dualidad de Poincaré 

Eduardo Ruíz Duarte (beck)

twitter: @toorandom

Cohomología de de-Rham (parte 1 motivación desde análisis básico)

Aquí en mi blog he publicado cosas relacionadas con formas diferenciales, funciones alternantes, rotacionales, espacios tangentes, productos tensoriales de k-álgebras, de hecho construimos todas las funciones diferenciales en una variedad y vimos la derivada direccional como un funcional lineal y todo esto fue con álgebra, de hecho construimos un anillo en posts anteriores, por lo que ya estamos listos para poder definir un tema un poco más profundo, lo que haremos es examinar la cohomología de formas diferenciales.

Sabemos que una función continua real que está definida en un abierto de $latex \mathbb{R}$ tiene una función primitiva, es decir, se integra. Pero... ¿qué pasa con funciones multivariables? .

Para empezar vamos a restringirnos a funciones $latex C^{\infty}$ , es decir que tienen derivadas parciales continuas de todos los ordenes.

Con el propósito de saber por qué estamos examinando esta teoría , pongamos un ejemplo.

Sea $latex f:U\rightarrow \mathbb{R}^2$ diferenciable definida en un abierto de $latex \mathbb{R}^2$

Pregunta $latex \star$

¿Existe una función $latex F:U\rightarrow \mathbb{R}$ tal que:

* $latex \frac{\partial F}{\partial x_1}=f_1$  y   $latex \frac{\partial F}{\partial x_2}=f_2$  con $latex f=(f_1,f_2)$?

Sabemos que


$latex \frac{\partial^2 F}{\partial x_2 \partial x_1} = \frac{\partial^2 F}{\partial x_1\partial x_2}$

Por lo que deberíamos tener que

** $latex \frac{\partial f_1}{x_2}=\frac{\partial f_2}{x_1}$


Ahora, ¿existe $latex F$ suponiendo que $latex f=(f_1,f_2)$ satisface ** , ¿es esa condición de la igualdad suficiente?


Ejemplo:

Considera la función $latex f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ dada por:

$latex f(x_1,x_2) = \Big ( \frac{-x_2}{x_1^2+x_2^2} , \frac{x_1}{x_1^2+x_2^2} \Big )$


Como ejercicio puedes calcular las parciales de esa función y verás que en efecto se satisfacen las ecuaciones de ** , sin embargo no existe una función $latex F:\mathbb{R}^2-\lbrace 0 \rbrace \rightarrow \mathbb{R}$ que satisface *, y esto es fácil verlo, supongamos que sí existe, entonces:


$latex \int_{0}^{2\pi} \frac{d}{d\theta}F(cos\theta, sen\theta)d\theta = F(1,0)-F(1,0)=0$


Por otro lado, si desarrollamos el término de la integral con la regla de la cadena:

$latex \frac{d}{d\theta}F(cos\theta, sen\theta)$

$latex = \frac{\partial F}{\partial x}\cdot (-sen\theta) +\frac{\partial F}{\partial y}\cdot cos\theta$
$latex = -f_1(cos\theta,sen\theta)\cdot sen\theta + f_2(cos\theta, sen\theta)\cdot cos\theta = 1$

Esto es claro 1, sustituye y usa la $latex f$ original , por lo que la integral no puede ser 0 y esta contradicción significa que tal $latex F$ no existe.

Definición: Un subconjunto $latex X\subset \mathbb{R}^n$ se dice que es estrellado con respecto a un punto $latex x_0 \in X$ si el segmento $latex \lbrace tx_0 + (1-t)x \mid t\in [0,1]\rbrace$ está contenido en $latex X$ para todo $latex x\in X$

Teorema 1: Sea $latex U \subset \mathbb{R}^2$ un abierto estrellado, entonces para toda función diferenciable $latex (f_1,f_2):U\rightarrow \mathbb{R}^2$ que satisface **, tenemos que la pregunta $latex \star$ tiene solución.

La demostración es un poco de talacha, ya la hice y no es difícil, pero el punto es ver que el que se pueda definir la primitiva de una función depende de la topología del abierto $latex U$, esto no es coincidencia, podemos definir un invariante.


Por simplicidad y como esto es motivación para lo fuerte, seguiremos en $latex \mathbb{R}^2$.

Dado el abierto $latex U\subset \mathbb{R}^2$ y sea $latex C^{\infty}(U,\mathbb{R}^2)$ todas las funciones diferenciables $latex \phi:U\rightarrow \mathbb{R}^2$ , esto es uno de los primero ejemplos de espacios vectoriales de funciones, puedes demostrar que lo son bajo la suma usual y producto por escalares, puedes ver a la $latex \phi$ como un campo vectorial sobre $latex U$ (dibujando $latex \phi(u)$ con el punto $latex u\in U$.

Como lo habíamos definido antes en otro post, pero aquí en dimensión 2, tenemos el gradiente y rotacional:

$latex grad:C^{\infty}(U.\mathbb{R})\rightarrow C^{\infty}(U,\mathbb{R}^2)$
$latex grad(\phi)=\Big( \frac{\partial \phi}{\partial x_1},\frac{\partial \phi}{\partial x_2}\Big)$

 $latex rot:C^{\infty}(U.\mathbb{R}^{2})\rightarrow C^{\infty}(U,\mathbb{R})$

$latex rot(\phi_1,\phi_2)=\frac{\partial \phi_1}{\partial x_2} - \frac{\partial \phi_2}{\partial x_1}$

Aquí empieza lo interesante:


Nota que $latex rot \circ grad=0$, eso significa que el kernel del rotacional contiene a la imagen del gradiente .

Tenemos que el rotacional y gradiente son operadores lineales esto es que $latex Im(grad)$ es un subespacio de $latex Ker(rot)$, por lo que podemos hablar de el cociente de espacios vectoriales, es decir el espacio de clases $latex \alpha + Im(grad)$ donde $latex \alpha \in Ker(rot)$

***

$latex H^1(U)= Ker(rot)/Im(grad)$

Con esta definición podemos reformular el teorema 1

Teorema 1a: $latex U\subset \mathbb{R}^2 estrellado \Rightarrow H^1(U)=0$

Por otro lado , tenemos que el Ejemplo que desarrollamos $latex H^1(\mathbb{R}-\lbrace 0 \rbrace)\neq 0$.

De hecho se puede demostrar con un poco de cuidado que:

$latex H^1(\mathbb{R}^2 - \displaystyle \cup_{i=1}^k \lbrace x_i \rbrace) \cong \mathbb{R}^k$

De hecho... $latex k$ será el número de componentes conexas del espacio en cuestión, por lo que podemos decir que la dimensión de $latex H^1(U)$ es el número de hoyos en $latex U$

Podemos definir en analogía con *** a $latex H^0(U)=Ker(grad)$.

Lo anterior de los hoyos y eso es algo que suena muy importante por lo que realmente creo que debemos demostrarlo, y no es difícil, por lo que vamos a definir un criterio de conexidad para $latex U$

Teorema 2: Un abierto $latex U\subset \mathbb{R}^k$ es conexo $latex \Leftrightarrow$ $latex H^0(U)=\mathbb{R}$

Demostración:

Tenemos que $latex H^0(U)=Ker(grad)$. por lo que supón que tienes que $latex grad(f)=0$, esto implica que $latex f$ es localmente constante, o sea que todo $latex x_0 \in U$ tiene una vecindad $latex V(x_0)$ con $latex f(x)=f(x_0)$ cuando $latex x \in V(x_0)$ , si $latex U$ es conexo, entonces toda función localmente constante es constante, de hecho , si $latex x_0 \in U$ el conjunto:

$latex \lbrace x\in U\mid f(x)=f(x_0)\rbrace = f^{-1}(f(x_0))$

Es cerrado porque recuerden que $latex f$ es continuo, diferenciable, etcétera, también es abierto ya que $latex f$ es localmente constante, por lo que es igual a $latex U$ y $latex H^0(U)=\mathbb{R}$.

Para el regreso es más fácil ya que si $latex U$ no es conexo, entonces existe una función sobre
$latex f:U\rightarrow \lbrace 0,1 \rbrace$ tal que es localmente constante, entonces $latex grad(f)=0$ por lo que $latex dim H^0(U)>1$   $latex \blacksquare$

De hecho con lo que vimos anteriormente con el número de hoyos podrías extender esta demostración para decir que la dimensión es el número de componentes conexos.

En $latex \mathbb{R}^3$ las cosas son más interesantes.


En tres dimensiones tenemos el operador de divergencia que también lo habíamos construido en un post anterior, si extendemos $latex grad$ y $latex rot$ a $latex \mathbb{R}^3$ de manera natural y definimos

$latex div(f_1,f_2,f_3)=\frac{\partial f_1}{\partial x_1} + \frac{\partial f_2}{\partial x_2} + \frac{\partial f_3}{x_3}$

Podemos notar que aquí también sucede que $latex rot \circ grad = 0$ y adicionalmente que $latex div \circ rot=0$

Construimos de manera similar a $latex H^0(U)$ y $latex H^1(U)$ y definimos:

$latex H^2(U)=Ker(div)/Im(rot)$


Ya se imaginarán por donde voy los que han llevado un poco de topología algebraica,
el siguiente post será ya con complejos CW para ir aterrizando la idea.

saludos

Eduardo Ruíz Duarte (beck)
Twitter: @toorandom