Complejos de de Rham y cohomología (Derivaciones parte 1/4)

Esta es una especie de continuación de un post donde traté de llegar desde el cálculo hasta la cohomología de de Rham utilizando rotacional, divergencia y gradiente (De Rham), pero es hora de hacerlo formalmente, y para ello necesitaremos imaginarnos unos espacios que se llaman diferenciales de Kähler, antes hablé de diferenciales y k-formas diferenciales , pero lo retomaremos, el punto de este post será poder usar la cohomología de de Rham para saber si una curva hiperelíptica sobre un campo finito es segura criptográficamente hablando calculando el número de elementos de su jacobiana el cuál nos dice sobre su seguridad de acuerdo a su factorización, y para esto utilizaremos el teorema del punto fijo de Lefschetz sobre el morfismo de Frobenius en característica 0 p-ádico (lift a $latex \mathbb{Q}_p$) definido en el primer grupo de cohomología de una subálgebra de de Rham, para eso primero veremos como construir toda el álgebra de de Rham usando diferenciales de Kähler.

Pero antes de todo esto necesitamos empezar con los preliminares, que serán el concepto de derivacion en cualquier álgebra.


Derivaciones en un punto

La derivada en dirección de un vector tangente $latex v$ a un punto $latex p\in \mathbb{R}^n$ de una función $latex f\in C^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ es un número real:

$latex D_v(f):=\sum_{i=1}^n x_i(v) \frac{\partial f}{\partial x_i}(p)$

Donde $latex x_i$ son las coordenadas en $latex \mathbb{R}^n$ y $latex x_i(v)=v_i$ (i-ésimo componente de $latex v$)

Para todo vector tangente $latex v$ a un punto $latex p\in \mathbb{R}^n$ tenemos que la derivada direccional en $latex p$ nos da un mapeo de espacios vectoriales

$latex D_v:C^{\infty}_p\rightarrow \mathbb{R}$


que manda $latex f$ definida en $latex p$ a un número real, en general la función $latex D_v$ está definida como:

$latex D_v=\sum x_i(v) \frac{\partial}{\partial x^{i}}\mid_p$


Tenemos que $latex \forall v\in T_p(\mathbb{R}^n)$ hay un $latex D_v$ y todos cumplen la regla de Leibniz, es decir $latex D_v(fg)=(D_vf)g(p)+f(p)D_vg$.

Todos los mapeos $latex \mathbb{R}$-lineales $latex D:C^{\infty}_p\rightarrow \mathbb{R}$ que satisfacen la regla de Leibniz son derivaciones en $latex p$  y denotamos a todas las derivaciones en $latex p$ como $latex \mathbb{D}_p(\mathbb{R}^n)$ y de hecho este espacio es un espacio vectorial ya que dos derivaciones sumadas en el mismo punto es una derivación, y como es $latex \mathbb{R}$-lineal no pierden la propiedad de Leibniz al multiplicarlas por un escalar, entonces por ahora ya tenemos que TODAS las derivadas direccionales en $latex p$ son todas las derivadas en $latex p$ por lo que tenemos un mapeo.


$latex \phi:T_p(\mathbb{R}^n)\rightarrow \mathbb{D}_p(\mathbb{R}^n)$
$latex v\mapsto D_v=\sum x_i(v) \frac{\partial}{\partial x^{i}}\mid_p$


Como $latex D_v$ es lineal en $latex v$ , el mapeo $latex \phi$ es un mapeo de espacios vectoriales, faltaría ver qué sucede con las constantes, es decir que si $latex D\in \mathbb{D}_p(\mathbb{R}^n)$ entonces si $latex c\in\mathbb{R}$ entonces $latex D(c)=0$ pero esto se sigue que la linealidad y la regla de Leibniz haciendo que $latex c=1c$.

Función $latex \delta$ de Kronecker

Ésta es una función muy útil para la notación
$latex \delta_j^i=\left\{\begin{array}{11} 1&\mbox{if } i=j\\ 0 & \mbox{if }i \neq j \end{array}\right$

Ahora, tenemos que es fácil demostrar que $latex \phi$ definido previamente es un isomorfismo, es decir $latex T_p(\mathbb{R}^n) \cong \mathbb{D}_p(\mathbb{R}^n)$ ya que si procedemos naturalmente al suponer que $latex D_v=0$ para algún $latex v\in T_p(\mathbb{R}^n)$ entonces $latex 0=D_v(x_j)=\sum_i v^i \frac{\partial}{\partial x_i}\mid_p x_j = \sum_i x_i(v)\delta_i^j = x_j(v)$ y entonces $latex v=0$ lo que nos dice que $latex \phi$ es inyectiva.

Aquí la función $latex \delta$ nos ayuda a eliminar las parciales en las variables que no son iguales al índice con notación más limpia, la suprayectividad la pueden demostrar ustedes.

Lo que sucede aquí es que para todo vector tangente a $latex p$ tenemos una derivación en $latex p$ entonces si ambos son espacios vectoriales, uno de puntos... y otro de derivaciones, lo más natural es identificar sus bases estándares, si $latex \lbrace e_1,e_2,...,e_n \rbrace$ es base de $latex T_p(\mathbb{R}^n)$ entonces bajo este isomorfismo tenemos que:

$latex \phi(e_i) = \sum_i \delta_i^j \frac{\partial}{\partial x_i}\mid_p=\frac{\partial}{\partial x_i}$

Por lo que: 

$latex \bigg \lbrace \frac{\partial}{\partial x_1}\mid _p,..., \frac{\partial}{\partial x_n}\mid_p\bigg\rbrace$ genera al espacio vectorial $latex \mathbb{D}_p(\mathbb{R}^n)$ y es su base estándar.

Con esto nos conviene denotar a los vectores $latex v\in T_p(\mathbb{R}^n)$ tangentes a $latex p$ más explícitamente en términos de la base de $latex \mathbb{D}_p(\mathbb{R}^n)$ los cuales son puntos $latex v=\sum v_i e_i = \sum x_i(v) e_i = (v_1,...,v_n)$ como:

$latex v=\sum v_i \frac{\partial}{\partial x_i}\mid_p$


Campos vectoriales

Si $latex U\subset \mathbb{R}^n$ es un abierto un campo vectorial $latex X$ es una función que asigna a $latex p\in U$ un vector tangente $latex X_p \in T_p(\mathbb{R})^n$, este vector $latex X_p$ en términos de la base $latex \bigg \lbrace \frac{\partial}{\partial x_j}\mid_p \bigg \rbrace$ es:

$latex X_p=\sum a_i(p) \frac{\partial}{\partial x_i}\mid_p = (a_1,...,a_n)$ 

con $latex p\in U$, $latex a_i\in C^\infty(U)$, $latex a_i(p)\in \mathbb{R}$ 

Podemos omitir la $latex p$ en este caso y decir que el campo vectorial $latex X=\sum a_i \partial/\partial x_j$ 

Ejemplos típicos:

$latex X=\frac{-y}{\sqrt{x^2+y^2}}\frac{\partial}{\partial x}+\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\frac{\partial}{\partial y}= \bigg ( \frac{-y}{\sqrt{x^2+y^2}},\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \bigg )$

y

$latex Z=\frac{x\partial}{\partial x} + \frac{-y\partial}{\partial y}=(x,-y)$

Es importante la notación como punto y la de vector para que noten la base y la importancia del operador $latex \partial/\partial x_i$

Aquí están los dos campos vectoriales dibujados en $latex \mathbb{R}^2\setminus \lbrace 0 \rbrace$ y $latex \mathbb{R}^2$ respectivamente, ustedes vean la definición y el dibujo.

Entonces un campo vectorial $latex X=\sum a_i \partial/\partial x_j$ nos permite "mover" la $latex p\in U\subset \mathbb{R}^n$  , podemos multiplicar cualquier función $latex f\in C^{\infty}(U)$ por un campo vectorial $latex X$ y aún así seguir teniendo un campo vectorial ya que $latex fX=\sum (fa^i)\partial/\partial x_i$ es un campo vectorial $latex C^\infty$ en $latex U$ por lo que podemos sumarlos y multiplicar por 'escalares' del anillo $latex C^\infty(U)$ entonces tenemos que todos los campos vectoriales en $latex U$ los denotamos por $latex \mathfrak{X}(U)$ es un $latex C^\infty(U)-$módulo 


Derivaciones a partir de campos vectoriales

Vamos a definir más derivaciones ahora a partir de esto.

Sea $latex X \in \mathfrak{X}(U)$ con $latex U\subset \mathbb{R}^n$ y sea $latex f\in C^{\infty}(U)$ definimos la función $latex Xf$ en $latex U$ como:

$latex (Xf)(p)=X_pf = \sun a_i(p)\frac{\partial f}{\partial x_i}(p)$   $latex \forall p\in U$

sin la $latex p$ tenemos que la función es $latex Xf=\sum a_i \frac{\partial f}{\partial x_i}$
donde se ve claramente que $latex Xf\in C^\infty(U)$ , por lo que podemos definir a el campo vectorial $latex X$ como una función que mapea funciones a funciones

$latex X:C^{\infty}(U)\rightarrow C^\infty(U)$
$latex f\mapsto Xf$


Como podemos intuirlo este mapeo para todo campo vectorial cumple la regla de Leibniz es decir

$latex X(fg)=(Xf)g+fXg$

Ya que puntualmente se cumplirá la regla de Leibniz si ustedes lo verifican.

Una derivación en el álgebra $latex C^\infty(U)$ sobre  $latex \mathbb{R}$ es un mapeo $latex \mathbb{R}$-lineal
$latex D:C^{\infty}(U)\rightarrow C^{\infty}(U)$ tal que $latex D(ab)=(Da)b+aDb$ donde $latex a,b\in C^{\infty}(U)$ .

Todas las derivaciones de $latex C^{\infty}(U)$ están cerradas bajo suma y multiplicaciones escalar por lo que forma un espacio vectorial el cual lo llamamos $latex Der(C^{\infty}(U))$ y esto funciona con cualquier álgebra, no sólo con las funciones infinito diferenciales, por lo que tenemos el siguiente mapeo


$latex \Phi:\mathfrak{X}(U)\rightarrow Der(C^{\infty}(U))$
$latex X\mapsto [f\mapsto Xf]$

Esto como imaginarán es un isomorfismo lo que quiere decir es que todos los campos vectoriales de un abierto $latex U$ pueden ser identificados con derivaciones del álgebra $latex C^{\infty}(U)$.

Variedades

Quise volver a recapitular algo de las cosas más hermosas que he estudiado cuando llevé mi curso de geometría diferencial con el Dr. Gregor Weingart, a los físicos les gusta mucho porque con esto pueden medir cualquier cosa  que tenga estructura de variedad y eso les sirve en astrofísica.

Para poder agarrar mejor este post te recomiendo le eches un vistazo a estas entradas
que publiqué anteriormente si comienzas a sentir que no entiendes mucho.

Teorema de la función inversa
Teorema de la función implícita
Espacios tangente en variedades y derivaciones
K-formas diferenciales (1 de 2)
K-formas diferenciales (2 de 2)


Empecemos tratando de recordar cosas.

Variedades diferenciales

Sabemos que para todo $latex m\in \mathbb{R}$, sea $latex \mathbb{R}^m$ el espacio vectorial $latex m$-dimensional equipado con la topología inducida por la métrica usual estándar que es la distancia $latex d(x,y)$ entre dos puntos $latex x,y\in \mathbb{R}^m$ dada por:

$latex d(x,y)=\sqrt{\displaystyle \sum_{i=1}^{m} (x_i-y_i)^2}$

En la práctica los casos usuales son $latex m=2,3$ pero en otras áreas de matemáticas y física el valor de $latex m$ puede ser más grande, en la teoría no hay ni por qué justificarlo.


También tenemos que para todo $latex n,r\in\mathbb{N}$ y un abierto $latex U$ de $latex \mathbb{R}^m$, denotamos por $latex C^r(U,\mathbb{R}^n)$ todas las funciones que son $latex r$ veces continuas diferenciables de $latex U$ a $latex \mathbb{R}^n$ , cuando hablamos de mapeos suaves $latex U \rightarrow \mathbb{R}^n$ nos referimos exactamente a los elementos (son funciones) de:


$latex C^\infty(U,\mathbb{R}^n)=\displaystyle \bigcap_{r=1}^\infty {C^r(U,\mathbb{R}^n)$

Entonces aquí ya tenemos todas las funciones suaves (infinitamente diferenciables) que van de un abierto a $latex \mathbb{R}^n$



Definición (Variedad Topológica, Carta):  Sea $latex (M,\Tau)$ un espacio topológico Hausdorff (Que para dos puntos distintos del espacio puedes encontrar una vecindad de cada uno que no choca con la otra) que tenga base numerable, decimos que $latex M$ es una variedad topológica si existe un número natural $latex m$ y para todo punto $latex p\in M$ , una vecindad $latex U$ abierta de $latex p$ y un mapeo continuo $latex x:U\rightarrow \mathbb{R}^m$ que es un homeomorfismo sobreyectivo en su imagen $latex x(U)$ el cual es un abierto de $latex \mathbb{R}^m$

El par $latex (U,x)$ es llamado carta coordenada local de $latex M$ y $latex m$ es la dimensión y la denotamos en $latex M$ como $latex M^m$



Lo que decimos aquí, una variedad topológica $latex M$ es localmente homeomorfa a $latex \mathbb{R}^m$ para algún $latex m\in\mathbb{N}$.



Estructura diferencial


Vamos a darle estructura diferencial para poder comenzar a explotar la metrica

Definición (atlas) : Si $latex M$ es una variedad topológica , entonces un $latex C^{r}-atlas$ en $latex M$ es la colección:


$latex \mathcal{A}=\lbrace (U_\alpha, x_\alpha) \mid \alpha \in I\rbrace$

Es decir son todas las cartas locales definidas anteriormente que cubren todo $latex M$, es decir.


$latex M=\bigcup_\alpha U_\alpha$

Y para todo $latex \alpha,\beta\in I$ tenemos los correspondientes mapeos de transición:


$latex x_\beta \circ {x}_{\alpha}^{-1} \mid_{x_\alpha(U_\alpha \cap U_\beta)} : x_\alpha(U_\alpha \cap U_\beta) \rightarrow \mathbb{R}^m$

Son $latex r-veces$ diferenciables.

¿Esto qué significa?

Los mapeos de transición nos dan una manera de comparar dos cartas de átlases diferentes, para comparar esto, se compone una carta con la inversa de otra, pero esto podría no estar definido así que lo hacemos sólo en su intersección, eso es lo que ves en los subindices.


Esto lo podemos ver con el siguiente dibujo, espero se entienda.

Ejemplo:


Sea $latex \hat{\mathbb{C}}$ el plano complejo extendido dado por $latex \hat{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\cup \lbrace \infty \rbrace$ y sea $latex \mathbb{C}^{*}=\mathbb{C}\setminus \lbrace 0 \rbrace$, $latex U_0=\mathbb{C}$  y $latex U_\infty = \hat{\mathbb{C}} \setminus \lbrace 0 \rbrace$

Definimos la coordenadas locales:

$latex x_0:U_0\rightarrow \mathbb{C}$ y $latex x_\infty:U_\infty \rightarrow \mathbb{C}$ en $latex \hat{\mathbb{C}}$ por:

$latex x_0:z\mapsto z$
$latex x_\infty:w \mapsto 1/w$

Tenemos que de este atlas "chiquito" los correspondientes mapeso de transición:

$latex x_\infty \circ x_0^{-1}$ y $latex x_0\circ x_\infty^{-1}:\mathbb{C}^{*} \rightarrow \mathbb{C}^{*}$

Están dados ambos por $latex z\mapsto 1/z$ por lo que $latex \mathcal{A}=\lbrace (U_0,x_0),(U_\infty,x_\infty)$ es un $latex C^{\omega}$-atlas (analítico) en la esfera de Riemann $latex \hat{\mathbb{C}}$.


La variedad analítica $latex (\hat{\mathbb{C}},\mathcal{A})$ se le llama Esfera de Riemann.



También ya con esto es fácil intuir que el producto de dos variedades $latex M_1,M_2$ de clase $latex C^{r}$ y sea $latex M=M_1\times M_2$ el espacio producto equipado con la topología de Tychonoff
Entonces existe un atlas para $latex M$  que la hace una variedad diferenciable de clase $latex C^r$ con
$latex dim M = dim M_1 + dim M_2$


Dejaré esto por ahora aquí, luego continúamos con algo más profundo.

Espacios tangente y derivaciones

Ya vimos cómo funcionan las k-formas diferenciales y de hecho construímos con ellas el rotacional, divergencia y gradiente, vamos ahora a construir el espacio tangente, como repito, esto es con el fin de poder entender qué sucede en la topología de Zariski a la hora de definir el espacio tangente allí y usar las herramientas de geometría diferencial en geometría algebraica para el cálculo de singularidades, ahora lo haremos en $latex \mathbb{R}^n$ después esto se podrá dar el salgo a geometría algebraica para definirlo en $latex \mathbb{A}^{n}_{\mathbb{K}$ o en $latex \mathbb{P}^{n}_{\mathbb{K}$ , todo esto es para después definir orientación lo cual es un tema a mi gusto un poco complicado, pero es necesario para saber la "dirección" de la derivada y cómo se comportan los campos vectoriales.

Estoy suponiendo que el lector conoce lo que es una variedad (diferenciable) en $latex \mathbb{R}^n$, si no lo conoce, de manera rápida, una variedad de dimensión n es un espacio topológico en el cual para todo punto de éste existe un abierto al cual pertenece ese punto, y ese abierto es homeomorfo a $latex \mathbb{R}^n$, esta variedad es diferenciable si no tiene autointersecciones, picos, etcétera .

Recuerden cuando hace muchos años quemaban a los físicos por decir que la tierra era esférica, donde como siempre, la iglesia decía que eran unos blasfemos porque ellos afirmaban que era plana, bueno... esto es porque la tierra es localmente euclídea (una variedad) , es decir... es homeomorfa a la esfera de dimensión 2     $latex \mathbb{S}^2$ por lo que los religiosos por verla localmente euclídea pensaban que su forma era de $latex \mathbb{R}^2$ .
(ver la definición de variedad diferenciable y variedad en otro recurso en línea si así no te quedó claro antes de continuar).

Definición: Un mapeo suave $latex \gamma : [a,b] \rightarrow M$ de un intervalo a una subvariedad diferenciable $latex M \subset \mathbb{R}^n$ es una curva suave en $latex M \\$


Definición: Sea $latex M \subset \mathbb{R}^n$ una variedad diferenciable, y $latex p \in M$.
Un vector $latex v \\$ es un vector tangente a $latex M \\$ en $latex p$ si existe una curva suave $latex \gamma_{p}:[-\epsilon,\epsilon]\rightarrow M$ que pase por $latex p =\gamma_{p}(0)$  tal que $latex v=\gamma_{p}\prime (0)$, El espacio tangente $latex T_{p}M$ de $latex M \\$ en $latex p \\$ es el conjunto de todos los vectores tangentes a $latex M \\$ en $latex p \\$

Teorema:
Sea $latex M \\ $ una variedad en $latex \mathbb{R}^n$ de dimensión k, entonces tenemos que  $latex \forall p \in M$ existe un abierto $latex U \ni p$  tal que $latex M \\$ está definida en $latex U \\$ como la solución de un sistema de $latex (n-k) \\$ funciones reales diferenciables $latex \rho_{1}, ..., \rho_{n-k}$ definidos en $latex U \\$, es decir:

$latex (\rho_{1}=0)\cap ... \cap (\rho_{n-k}=0)=M\cap U$

y $latex \forall p \in M \cap U$, los vectores

$latex \nabla \rho_{1}(p),...,\nabla \rho_{n-k}(p)$

son linealmente independientes y:

$latex T_{p}M= generado\lbrace \nabla \rho_{1}(p),...,\nabla \rho_{n-k}(p) \rbrace ^{\perp}$

y $latex dim(T_{p}M)=k$

Es fácil ver que la definición con curva suaves y la del espacio ortogonal de los gradientes son equivalentes, aquí esbozo la demostración:


Sea $latex \gamma:[-\epsilon,\epsilon]\rightarrow M$ con funciones coordenadas $latex \gamma_{1}, ... \gamma_{n}$

Y tenemos que $latex M \\$ está definida por las $latex f_{i} \\$ :

$latex f_{i}(\gamma_{1}(t), ..., \gamma_{n}(t)) = 0$     $latex \forall t \in [-\epsilon, \epsilon]$    $latex 1 \leq i \leq n-k$

Esto sucede porque la imagen de $latex Im(\gamma) \subset M$, si diferenciamos (jacobiana) con respecto a $latex t \\$  tenemos que por la regla de la cadena:

$latex \frac{\partial{f_{i}}}{x_{1}}(x(0))x_{1}\prime (0)+...+\frac{\partial{f_{i}}}{x_{n}}(x(0))x_{n}\prime (0)=0$    $latex \Leftrightarrow \nabla f_{i}(x(0)) \cdot x\prime (0)=0 \Leftrightarrow$ $latex \nabla f_{i}(x(0) \perp x\prime (0)$
$latex \square \\$

Ahora vamos definir el concepto final de este post para terminar de ver de que trata la estructura del espacio tangente.


Definicion: Denotemos por $latex (f,U)$ a un abierto de $latex M \\$ tal que $latex p\in U$ y $latex f \\$ diferenciable en $latex U$, decimos que:

$latex (f,U) \sim (g,V)$

Si en el abierto $latex U \cap V$ tenemos que $latex f=g$ , esto claramente es una relación de equivalencia por lo que podemos definir el espacio vectorial:

$latex C_{p}^{\infty} =\lbrace (f,U) \rbrace / \sim $

El espacio tangente $latex T_{p}M$ consiste en todos los mapeos lineales:

  $latex d:C_{p}^{\infty} \rightarrow C_{p}^{\infty}$

Tal que:

$latex d(fg)=fd(g)+gd(f)$

Es decir que cumplen la regla de Leibniz (son derivaciones!)

Este espacio es muy importante ya que captura las propiedades de funciones cercanas a $latex p \\$


Eduardo Ruiz Duarte (beck)
rduarte@ciencias.unam.mx
@toorandom