Grupos de Lie y un ejemplo desarrollado

En el post anterior vimos lo que es una variedad, como matemáticos lo que nos interesa siempre es darle una estructura analítica a los objetos y esta estructura generalizara para poder estudiar mejor el objeto a través de sus funciones o propiedades.

Ahora lo que haremos es darle estructura de grupo a una variedad.


Un grupo de Lie es una variedad que es un grupo también de tal manera que la operación de los elementos del grupo es suave (suave en el sentido diferencial).

Los grupos $latex GL(n,\mathbb{R})$ o $latex SL(n,\mathbb{C})$, grupos ortogonales, simplécticos entre otros son grupos de Lie Famosos, por ejemplo $latex GL(n,\mathbb{R})$ como variedad es disconexo y con dos componentes (matrices con determinante positivo y negativo) y tiene dimensión $latex n^2$.

Otra cosa es que un grupo de Lie es un espacio homogéneo en el sentido de que la translación por la izquierda de un elemento del grupo $latex g$ es un difeomorfismo del grupo en si mismo que manda la identidad a $latex g$ (un automorfismo diferenciable)


Esto lo que nos hace ver es que un grupo de Lie, localmente se ve igual alrededor de cualquier punto, y va a ser clave el espacio tangente a la identidad ya que nos hará definir la operación corchete $latex [ , ]$ que convertirá el grupo en un álgebra de Lie.


Comencemos un poco más formalmente.


Definición: $latex G$ es un grupo de Lie si es una variedad $latex C^{\infty}$  tal que las siguientes dos operaciones de obtener inverso y multiplicación son infinito diferenciables  $latex C^\infty$

$latex \mu: G\times G \rightarrow G$ ,  $latex \mu(a,b)=ab$

$latex \iota:G\rightarrow G$ ,  $latex \iota(a)=a^{-1}$


Ahora, si $latex a\in G$ , denota por $latex l_a:G\rightarrow G$, $latex l_a(x)=\mu(a,x)=ax$ a la operación de multiplicación izquierda por $latex a$ , y la derecha como $latex r_a:G\rightarrow G$, $latex r_a(x)=xa$

Es fácil ver que son difeomorfismos.

Definición: Un mapeo $latex F:H \rightarrow G$ entre dos grupos de Lie $latex H$ y $latex G$ es un homomorfismo de grupos de Lie si $latex F$ es $latex C^\infty$ y $latex F$ es un homomorfismo de grupos.

Esto es que

$latex F(hx)=F(h)F(x) \Leftrightarrow F\circ l_h = l_{F(h)}\circ F$     $latex \forall h\in H$


Ejemplo $latex SL(n,\mathbb{R})$

Regresamos al ejemplo introductorio pero vamos a desarrollarlo ya con estas definiciones.


Tenemos que $latex SL(n,\mathbb{R})$ es un subgrupo de matrices de determinante 1 de $latex GL(n,\mathbb{R})$ , aquí el chiste de verlo como variedad es que veas los elementos de las matrices que pertenecen al grupo como vectores, en el grupo general lineal tienes $n^2 -1$ entradas, es decir lo puedes ver como un vector de ese tamaño, el grupo special lineal que es subgrupo del general tiene dimensión $latex n^2 -1$ y es una subvariedad.

$latex \mu:GL(n,\mathbb{R}) \times GL(n,\mathbb{R})\rightarrow GL(n,\mathbb{R})$
$latex (A,B)\mapsto AB$

es $latex C^\infty$ ya que

$latex (AB)_{ij} = \displaystyle \sum_{k=1}^n {a_{ik}b_{kj}} $

Es un simple polinomio y por lo tanto es una función $latex C^\infty$ de las coordenadas $latex a_{ik},b_{kj}$


Ahora para demostrar que $latex SL(n, \mathbb{R})$ tiene operación de grupo suave, no se sigue de esto , ya que $latex \lbrace a_{ij} \rbrace _{1\leq i , j\leq n}$ no es un sistema de coordenadas en las matrices de $latex SL(n,\mathbb{R}$ ya que como vimos le sobra una (su dimensión es $latex n^2-1$)


Pero sí sabemos que $latex SL(n,\mathbb{R}) \times SL(n,\mathbb{R})$ es una subvariedad de $latex GL(n,\mathbb{R}) \times GL(n,\mathbb{R})$

entonces podemos hacer el mapeo de inclusión:


$latex i:SL(n,\mathbb{R}) \times SL(n,\mathbb{R}) \hookrightarrow GL(n,\mathbb{R}) \times GL(n,\mathbb{R})$

Es relativamente sencillo demostrar que eso es un encaje, toma un $latex p\in SL(n,\mathbb{R}) \times SL(n,\mathbb{R})$ y toma una carta $latex (V,y^1,...,y^n, y^{n+1},...,y^m)$
 para $latex GL(n,\mathbb{R}) \times GL(n,\mathbb{R})$ alrededor de $latex p$ tal que $latex V\cap N$ son los ceros de $latex y^{n+1},...,y^{m}$, para $latex p\in SL(n,\mathbb{R}) \times SL(n,\mathbb{R})$ toma $latex (V\cap N, y^1, ..., y^n)$ y para $latex M$ la inclusión $latex i$ se ve así:


$latex (y^1, ..., y^n) \mapsto (y^1, ..., y^n, 0,...,0)$

Donde claramente se ve que es un encaje , y por lo tanto la operación en $latex SL(n,\mathbb{R})$ también es diferenciable por ser un encaje en el grupo general lineal que consta de un polinomio.


Falta ver que el obtener el inverso también es suave.


Sea $latex \hat{\iota}: SL(n,\mathbb{R}) \rightarrow SL(n,\mathbb{R})$  el mapeo inverso, vamos a ver que es $latex C^\infty$, sea $latex i:SL(n,\mathbb{R}) \hookrightarrow GL(n,\mathbb{R})$ la inclusión y sea $latex \iota: SL(n,\mathbb{R}) \rightarrow SL(n,\mathbb{R})$ el mapeo inverso en $latex GL(n,\mathbb{R})$ (El cual sabemos que es diferenciable, recuerden que para invertir basta un número de operaciones finitas en la matriz que son sumas y multiplicaciones, pero aquí le quitamos una dimensión y tenemos que demostrar que también sigue siendo diferenciable). consideremos la composición de los dos mapeos $latex C^\infty$

$latex \iota \circ i: SL(n,\mathbb{R}) \xrightarrow{i} GL(n,\mathbb{R}) \xrightarrow{\iota} GL(n,\mathbb{R})$

Esto es $latex C^\infty$ ya que su imagen está contenida en la subvariedad $latex SL(n,\mathbb{R})$ que es regular por lo que el mapeo inducido $latex \hat{\iota}$ es $latex C^\infty$ el cual es un resultado básico de geometría diferencial , por lo tanto $latex SL(n,\mathbb{R})$ es un grupo de lie $latex \blacksquare$



En el siguiente post abordaremos el espacio tangente a la identidad de un grupo de Lie para darle estructura de álgebra.


Espero les haya gustado

Eduardo Ruiz Duarte (beck)
twitter: @toorandom

Variedades

Quise volver a recapitular algo de las cosas más hermosas que he estudiado cuando llevé mi curso de geometría diferencial con el Dr. Gregor Weingart, a los físicos les gusta mucho porque con esto pueden medir cualquier cosa  que tenga estructura de variedad y eso les sirve en astrofísica.

Para poder agarrar mejor este post te recomiendo le eches un vistazo a estas entradas
que publiqué anteriormente si comienzas a sentir que no entiendes mucho.

Teorema de la función inversa
Teorema de la función implícita
Espacios tangente en variedades y derivaciones
K-formas diferenciales (1 de 2)
K-formas diferenciales (2 de 2)


Empecemos tratando de recordar cosas.

Variedades diferenciales

Sabemos que para todo $latex m\in \mathbb{R}$, sea $latex \mathbb{R}^m$ el espacio vectorial $latex m$-dimensional equipado con la topología inducida por la métrica usual estándar que es la distancia $latex d(x,y)$ entre dos puntos $latex x,y\in \mathbb{R}^m$ dada por:

$latex d(x,y)=\sqrt{\displaystyle \sum_{i=1}^{m} (x_i-y_i)^2}$

En la práctica los casos usuales son $latex m=2,3$ pero en otras áreas de matemáticas y física el valor de $latex m$ puede ser más grande, en la teoría no hay ni por qué justificarlo.


También tenemos que para todo $latex n,r\in\mathbb{N}$ y un abierto $latex U$ de $latex \mathbb{R}^m$, denotamos por $latex C^r(U,\mathbb{R}^n)$ todas las funciones que son $latex r$ veces continuas diferenciables de $latex U$ a $latex \mathbb{R}^n$ , cuando hablamos de mapeos suaves $latex U \rightarrow \mathbb{R}^n$ nos referimos exactamente a los elementos (son funciones) de:


$latex C^\infty(U,\mathbb{R}^n)=\displaystyle \bigcap_{r=1}^\infty {C^r(U,\mathbb{R}^n)$

Entonces aquí ya tenemos todas las funciones suaves (infinitamente diferenciables) que van de un abierto a $latex \mathbb{R}^n$



Definición (Variedad Topológica, Carta):  Sea $latex (M,\Tau)$ un espacio topológico Hausdorff (Que para dos puntos distintos del espacio puedes encontrar una vecindad de cada uno que no choca con la otra) que tenga base numerable, decimos que $latex M$ es una variedad topológica si existe un número natural $latex m$ y para todo punto $latex p\in M$ , una vecindad $latex U$ abierta de $latex p$ y un mapeo continuo $latex x:U\rightarrow \mathbb{R}^m$ que es un homeomorfismo sobreyectivo en su imagen $latex x(U)$ el cual es un abierto de $latex \mathbb{R}^m$

El par $latex (U,x)$ es llamado carta coordenada local de $latex M$ y $latex m$ es la dimensión y la denotamos en $latex M$ como $latex M^m$



Lo que decimos aquí, una variedad topológica $latex M$ es localmente homeomorfa a $latex \mathbb{R}^m$ para algún $latex m\in\mathbb{N}$.



Estructura diferencial


Vamos a darle estructura diferencial para poder comenzar a explotar la metrica

Definición (atlas) : Si $latex M$ es una variedad topológica , entonces un $latex C^{r}-atlas$ en $latex M$ es la colección:


$latex \mathcal{A}=\lbrace (U_\alpha, x_\alpha) \mid \alpha \in I\rbrace$

Es decir son todas las cartas locales definidas anteriormente que cubren todo $latex M$, es decir.


$latex M=\bigcup_\alpha U_\alpha$

Y para todo $latex \alpha,\beta\in I$ tenemos los correspondientes mapeos de transición:


$latex x_\beta \circ {x}_{\alpha}^{-1} \mid_{x_\alpha(U_\alpha \cap U_\beta)} : x_\alpha(U_\alpha \cap U_\beta) \rightarrow \mathbb{R}^m$

Son $latex r-veces$ diferenciables.

¿Esto qué significa?

Los mapeos de transición nos dan una manera de comparar dos cartas de átlases diferentes, para comparar esto, se compone una carta con la inversa de otra, pero esto podría no estar definido así que lo hacemos sólo en su intersección, eso es lo que ves en los subindices.


Esto lo podemos ver con el siguiente dibujo, espero se entienda.

Ejemplo:


Sea $latex \hat{\mathbb{C}}$ el plano complejo extendido dado por $latex \hat{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\cup \lbrace \infty \rbrace$ y sea $latex \mathbb{C}^{*}=\mathbb{C}\setminus \lbrace 0 \rbrace$, $latex U_0=\mathbb{C}$  y $latex U_\infty = \hat{\mathbb{C}} \setminus \lbrace 0 \rbrace$

Definimos la coordenadas locales:

$latex x_0:U_0\rightarrow \mathbb{C}$ y $latex x_\infty:U_\infty \rightarrow \mathbb{C}$ en $latex \hat{\mathbb{C}}$ por:

$latex x_0:z\mapsto z$
$latex x_\infty:w \mapsto 1/w$

Tenemos que de este atlas "chiquito" los correspondientes mapeso de transición:

$latex x_\infty \circ x_0^{-1}$ y $latex x_0\circ x_\infty^{-1}:\mathbb{C}^{*} \rightarrow \mathbb{C}^{*}$

Están dados ambos por $latex z\mapsto 1/z$ por lo que $latex \mathcal{A}=\lbrace (U_0,x_0),(U_\infty,x_\infty)$ es un $latex C^{\omega}$-atlas (analítico) en la esfera de Riemann $latex \hat{\mathbb{C}}$.


La variedad analítica $latex (\hat{\mathbb{C}},\mathcal{A})$ se le llama Esfera de Riemann.



También ya con esto es fácil intuir que el producto de dos variedades $latex M_1,M_2$ de clase $latex C^{r}$ y sea $latex M=M_1\times M_2$ el espacio producto equipado con la topología de Tychonoff
Entonces existe un atlas para $latex M$  que la hace una variedad diferenciable de clase $latex C^r$ con
$latex dim M = dim M_1 + dim M_2$


Dejaré esto por ahora aquí, luego continúamos con algo más profundo.