Fórmula de Barcán y filosofía analítica a través de lógica modal

Hoy hablaré de una fórmula ubicua en lógica modal y muchas teorías de filosofía, de hecho tiene consecuencias impresionantes en cuando a la visión del mundo y nuestro entorno

Fórmula de Barcán: 

$latex \forall x\square Px\rightarrow \square \forall x P x$
Si todo necesariamente es $latex P$ entonces necesariamente todo es P

Equivalente tenemos:
$latex \lozenge \exists x P x \rightarrow \exists x \lozenge P x$

Posiblemente hay un $latex x$ que es $latex P$ entonces existe un $latex x$ que posiblemente es $latex P$

Esta Fórmula es muy usada en Lógica modal y tiene impacto directo en filosofía ya que como recordarán en lógica modal tienes los operadores cuadrado y rombo

La lógica modal se usa para estudiar también teoría de decisiones por ejemplo en ingeniería se puede combinar con lógica difusa (o borrosa como le digan)

Operador modal $latex \square$
Denota cuando una verdad es "necesaria" lo cual significa que en todos los posibles escenarios... mundos... siempre es verdadero...  como por ejemplo el hecho de que algún día vamos a morir, o el hecho de que "llueve o no llueve" eso siempre sucederá no importa lo que pase, lo cual en general es como "P o no P" (Pv~P)

Operador modal $latex \lozenge$
El operador rombo es posibilidad, es cuando una verdad puede ser posible en algún mundo pero no en todos, como el hecho de ser una persona exitosa o que llueva en otoño.

Tengo un post relacionado con los teoremas de incompletud de Gödel donde explico toda la lógica simbólica y semántica de manera muy resumida aquí


Importancia e impacto
La importancia de la fórmula de Barcán es que afirma algo raro, que si hay un objeto o situación que pueda existir en todos los mundos posibles (incluyendo nuestro mundo actual) entonces DEBE existir forzosamente en nuestro mundo actual.

Entonces, esto tiene como consecuencia... que no existen las posibilidades... que todo es "actual" , y lo que es actual es lo que pudo haber existido bajo todas las circunstancias... y de hecho esta pequeña fórmula hace nacer una rama de la filosofía que le llaman "Actualismo" y por consiguiente su negación que se llama "Posibilismo" o "Realismo modal"

Este tipo de argumentos, y lógica la usó Gödel para demostrar que existe un dios lo cual lo tengo explicado y demostrado aquí  bajo el principio de plenitud "Si algo tiene posibilidades de suceder, eventualmente sucederá" , es casi suficiente el suponer esto para demostrar la existencia de dios con lógica modal.


La discusión de la implicación al otro lado de la fórmula de Barcán la pueden ver en este hermoso paper de Melvin Fitting.

Eduardo Ruíz Duarte (beck)
twitter: @toorandom

Saludos

Teoremas de incompletud de Gödel (Bases, explicación y definiciones)

Gödel fue un gran matemático, murió de inanición después de que su esposa muriera quien le cocinaba y probaba su comida antes que él. Gödel tenía un grado de paranoia excesiva por envenenamiento, él trabajó con Albert Einstein y descubrió soluciones paradójicas en ecuaciones de relatividad especial.  Por esto, es que supongo que su paranoia podría ser producto de haber estado involucrado indirectamente en la bomba atómica, no lo sé. En mi opinión Gödel, es el lógico más importante en toda la historia, descubrió (¿inventó?) un resultado muy fuera de lo estándar, que en mi opinión es muy profundo y en mi perspectiva toca los límites entre la matemática y la filosofía analítica. Esto le hizo ganarse su doctorado con una tésis de doce páginas "Über die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalkül" por la universidad de Viena (click aquí).

En general, gracias a él tenemos fundamentos para poder demostrar la veracidad de alguna proposición en matemáticas dadas las reglas del juego (axiomas).  Es decir él practicamente fundó la teoría metamátematica que gobierna a las matemáticas como las conocemos.

De los tres resultados más importantes que Gödel obtuvo por ahí de 1930, el que más ha sido objeto de curiosidad, es sólamente el teorema de incompletud. el más profundo. En mi opinión, este resultado no está bien entendido por las personas que "creen entenderlo", yo caía en este subconjunto hace algunos años, hasta que decidí estudiarlo formalmente

De hecho hay dos teoremas de incompletud y en general cuando la gente habla de el  "teorema de incompletud" casi siempre se refiere al primero de estos.

Nosotros hoy profundizaremos en esto y en las definiciones que nos llevarán a comprenderlo un poco.  Espero ser bastante explícito.

Para ser más formal omitiré el uso de algunos símbolos en matemáticas para no confundir el lenguaje formal que es importante en esto; es decir omitiré la teoría de conjuntos como usualmente la usamos y trataré de expresar todo con la menor cantidad de símbolos.

El teorema de incompletud de Gödel, es como el principio de incertidumbre de Heisenberg, en general se piensa que "existen límites absolutos relacionados con lo que puede ser sabido y medido sobre un fenómeno". Análogamente se dice que los teoremas de Gödel nos dicen que existen verdades matemáticas que jamás podrán ser probadas.

Esto nos lleva a filosofías postmodernistas a veces, y a ideas que apoyan el escepticismo sobre lo que es la verdad... "Nada puede ser completamente sabido realmente"

Un ejemplo absurdo de esto anterior es que existe un libro extraño llamado "Bibliografía el cristianismo y las matemáticas" (sí es en serio) donde se puede ver un ejemplo donde los religiosos usan como herramienta principal el teorema de Gödel para afirmar que si en matemáticas hay cosas que no se pueden demostrar e infieren que también las hay en la religión.  Les encanta el teorema de incompletud ya que "implica" la existencia de dios, ya que él es el único que puede decidir todas las verdades.

Por cierto, también podría interesarles una entrada anterior en mi blog donde Gödel construye un sistema axiomático "mínimo" necesario para que se pueda demostrar la existencia de dios, aquí se las dejo. La intenté demostrar con las palabras más sencillas y contiene una mini introducción a lógica modal.

Empecemos un poco ya con estos teoremas de Gödel. No me considero experto en muchas cosas, incluido esto... así que si notan un error, me harán un gran favor al corregirme.

El primer teorema de incompletud de Gödel de manera burda y débil dice lo siguiente, después lo puliremos:

Teorema 1 de incompletud débil:  (Kurt Gödel)

En un sistema formal suficientemente fuerte existen proposiciones aritméticas verdaderas que no pueden ser demostradas dentro de ese sistema

Ejemplo de enunciado que no se puede demostrar en la teoría de conjuntos (hipótesis del continuo)

Está demostrado que no se puede demostrar que no existe un cardinal infinito "intermedio" entre $latex \aleph_0$ y $latex 2^{\aleph_0}$

Es decir no se puede demostrar que no existe un conjunto infinito estrictamente más grande que $latex \mathbb{N}$ (los números naturales, enteros positivos) y estrictamente más chico que $latex \mathbb{R}$ (todos los números reales, es decir enteros, cocientes de enteros e irracionales como $latex \pi,e,\phi$ et cétera...).
Si no te queda claro esta idea no-intuitiva de que hay infinitos más grandes que otros, imagina que no existe una función que pueda relacionar biyectivamente a los números naturales con los números reales los cuales son muchos más.
Si te interesa profundizar más en esto puedes ver un post anterior aquí sobre los infinitos, cardinalidad, axioma de elección y axiomas de ZF (Zermelo-Fraenkel).

Vamos a tratar de comprender el  teorema de Gödel versión débil a través de definiciones y ejemplos, comencemos...

Lenguajes formales.

Necesitamos entender lo que es un sistema formal, pero para ello, primero necesitamos saber lo que es un lenguaje formal $latex \mathbb{L}$. Para esto necesitamos definir una lista de símbolos, y definir qué secuencias de símbolos son expresiones válidas en el lenguaje  $latex \mathbb{L}$ .

Ahora, cuando se habla de aritmética, significa "lo que podemos hacer con los números".  Es decir, no sólo lo que te enseñan en el kinder sobre los números, sino más bien en términos de teoría de números. 
En el lenguaje formal de la aritmética $latex \mathbb{L}$ tenemos un símbolo para el $latex 1$, también para sumar $latex +$, multiplicar $latex \times$. Más aún, tenemos letras $latex x,y$ que actúan como variables, así como símbolos de igualdad $latex =$ y relaciones de orden como "menor que" < o "mayor que" >.

Menos frecuente, también tenemos partículas lógicas como "Y" $latex (\wedge)$ , "O"  $latex (\vee)$, "implica" $latex (\Rightarrow)$, "NO" $latex (\neg)$ y "sí y sólo si" $latex (\Leftrightarrow)$.

También hay cuantificadores como: "para todo $latex n$" $latex (\forall n)$ así como "existe una $latex n$" $latex (\exists n)$. 

También habrán paréntesis para evitar ambiguedad en las expresiones,  por ejemplo, ya definido nuestro lenguaje, usémoslo para decir algo.

$latex 1< m\wedge \neg(\exists n)(\exists k)(1<n<m \wedge n\times k=m)$

En español:

"$latex m$ es un número mayor que $latex 1$ y no hay $latex n$ ni $latex k$ con $latex n$ menor que $latex m$ cumpliendo que $latex m=n\times k$"

Eso que acabamos de definir es un número primo $latex m$ (un número entero positivo que no tiene factores mayores que $latex 1$), por ejemplo el $latex 7,19,101$ o $latex 31337$.

Ahora, esos símbolos que nos denotan lo que es un número primo, en el lenguaje de la aritmética podemos llamarlo fórmula. Estas fórmulas nos van a servir como un test lógico, que en este caso es una fórmula en función de $latex m$, llamémosla $latex P(m)$. Esta fórmula nos da como resultados "verdadero" o "falso" dependiendo si $latex m$ es primo o no.

Como sabrán... los números primos son muy importantes en la aritmética. Hace 2300 años, Euclides en su libro Elementos probó que que los números primos son infinitos. Esto en nuestro lenguaje formal se puede decir así:

$latex \forall n \exists m (n< m \wedge P(m))$

En español es:

"Para todo número $latex n$ existe un $latex m$ tal que $latex m$ es más grande que $latex n$ y $latex P(m)$ es verdadero (es decir m cumple la fórmula de definición de número primo)".

Más chafa sería que para todo número $latex n$ que se te ocurra, el que sea... siempre podrás encontrar un número más grande que éste que sea primo.

¿Ven el poder de los lenguajes formales? , podemos decir mucho con pocos símbolos.

Otro ejemplo para que quede claro es el concepto de primo gemelo, los cuales son los números naturales $latex n$ tal que $latex n+2$ también es primo. Nadie sabe si existen una infinidad de estos ya que no hay una manera de construirlos. Ejemplos de estos son el $latex 3$ (ya que el $latex 5$ también es primo), incluso el $latex 5$ (porque el $latex 7$ también es primo), pero el $latex 7$ no funciona ya que $latex 7+2=9=3^2$  pero el $latex 11$ sí lo es porque el $latex 13$ es primo.

Si sí existen una infinidad de números primos gemelos, diríamos en nuestro lenguaje, la formula:

$latex \forall n\exists m (n< m \wedge P(m) \wedge P(m+2))$

Es verdadera.

Es decir... para todo $latex n$ que se nos ocurra podemos encontrar un número $latex m$ mayor que $latex n$ que es un primo gemelo.

Esa expresión en el lenguaje de la aritmética NADIE sabe si es verdadera... así como la conjetura fuerte de Goldbach (La débil ya fue resuelta por Helfgott hace unos meses).

Conjetura (Goldbach):
Todo número par mayor que 4 es la suma de 2 números primos impares

Si demostramos algún día la conjetura de Goldbach podremos decir que en $latex \mathbb{L}$ existe el siguiente objeto:

$latex \forall n>4\wedge n=2k (\exists a>2\wedge P(a))(\exists b>2\wedge P(b))(n=a+b)$

Mucho de esto se ataca con el lenguaje de los números complejos que usas en cálculo y análisis como por ejemplo la conjetura de Riemann.

Sistema formal

Ya tienes tu lenguaje formal $latex \mathbb{L}$. Ahora vamos a definir un sistema formal $latex \mathbb S$  en $latex \mathbb{L}$. Esto es definiendo qué proposiciones $latex \mathcal{A}$ de $latex \mathbb{L}$ son axiomas, y qué relaciones entre las proposiciones son reglas de inferencia..

Aquí dije en negritas dos conceptos, "axiomas" y "reglas de inferencia", procedo s definirlos.

Un axioma lo entendemos como una proposición verdadera por sí misma en $latex \mathbb{L}$, y de ésta inferir otras proposiciones. Es decir, son como los bloques de nuestro sistema, no se pueden demostrar y de éstas lograremos construir otras proposiciones. Algunos dicen que son fórmulas del lenguaje $latex \mathbb{L}$ que son evidentes pero yo no coincido NADA con eso. La palabra "evidente" aquí es muy ambigua. Por ejemplo, busca los axiomas de la geometría y demuestra que no se puede deducir uno de otro... no es tan evidente.

Es decir , una proposición que se puede deducir de axiomas NO es un axioma, el axioma es lo más elemental y que todo lo del sistema debe de cumplir. Por ejemplo en $latex \mathbb{L}$, un axioma es  $latex x < y\wedge y< z \Rightarrow x < z$.

Una inferencia es lo que hacemos diario para poder relacionar dos situaciones y saber si son equivalentes o no.  En nuestro caso, si tenemos dos proposiciones $latex \mathcal{A},\mathcal{B}$ del lenguaje $latex \mathbb{L}$, las reglas de inferencia nos permitirán trazar una linea lógica entre $latex \mathcal{A}$ y $latex \mathcal{B}$, y así saber si son equivalentes o alguna implica la otra.  Es decir, si $latex \mathcal{A}\Rightarrow \mathcal{B}$ o $latex \mathcal{B}\Rightarrow \mathcal{A}$ o $latex \mathcal{A} \Leftrightarrow \mathcal{B}$ como ejemplo:

(Lo decapitarán $latex \Rightarrow$ Morirá)

pero... también tenemos que:

$latex \neg$(Morirá $latex \Rightarrow$ Lo decapitarán)

Es decir , si te decapitan es verdadero que vas a morir, pero NO siempre sucede que si vas a morir (todos vamos a morir) es porque te van a decapitar.  El cómo estamos pensando esto desde el sentido de la naturaleza humana es lo que es una regla de inferencia.

Más aún. tenemos como axioma en la vida que los seres humanos son finitos cronológicamente.  Entonces, podemos con base en eso definir una proposición, una equivalencia.

naces $latex \Leftrightarrow$ mueres

Es decir, si naces mueres, y si mueres es porque naciste,

Entonces, en un sistema formal debemos definir los axiomas en el lenguaje $latex \mathbb{L}$ y nuestras reglas de inferencia para poder encontrar relaciones entre las fórmulas/proposiciones de $latex \mathbb{L}$. Se pide también que se pueda computar si una proposición es un axioma o una combinación de implicaciones lógicas deducidas de las reglas de inferencias que vienen de los axiomas.

Ahora, una demostración  en $latex \mathbb{S}$ es una sucesión finita de proposiciones, que cada una de éstas es un axioma o una proposición obtenida de axiomas anteriores conectadas lógicamente por reglas de inferencia. Te puedes imaginar una "gráfica" (o grafo), donde cada vértice es una proposición o teorema de cierto sistema axiomático.  Las aristas (dirigidas) entre dos vértices existirán si existe una relación lógica (implicación) entre ellas obtenida con las reglas de inferencia (el razonamiento básico estipulado en tu sistema formal).

Decimos que una proposición $latex \mathcal A$ es demostrable en $latex \mathbb{S}$ si existe una demostración en $latex \mathbb{S}$ que termina en $latex \mathcal{A}$.

Ahora, también decimos que $latex \mathbb{S}$ es consistente si no hay proposiciones $latex \mathcal{A}$ en $latex \mathbb{L}$ tal que ambas $latex \mathcal{A}$ y $latex \neg \mathcal{A}$ son demostrables en $latex \mathbb{S}$.

Decimos que $latex \mathbb{S}$ es formalmente completo para $latex \mathbb{L}$, si toda proposición $latex \mathcal{A}$ de $latex \mathbb{L}$ se puede demostrar siempre $latex \mathcal{A}$ o $latex \neg \mathcal{A}$ (sólo una de ellas!).

Gödel diría esto equivalentemente en su tesis como:

$latex \mathbb{S}$ es formalmente completo si toda proposición de $latex \mathbb{L}$ es decidible en $latex \mathbb{S}$.

Si $latex \mathbb{S}$ no es completo entonces decimos que existen $latex \mathbb{L}$-proposiciones indecidibles en $latex \mathbb{S}$.

Ahora, decimos que el sistema $latex \mathbb{S}$ es verdadero completo para $latex \mathbb{L}$ si toda proposición verdadera de $latex \mathbb{L}$ es demostrable en $latex \mathbb{S}$ .
Es decir si $latex \mathbb{S}$ es consistente (es decir que puedes demostrar la proposición $latex \matcal{A}$ o su negación (sólo una)) y también es verdadero completo para $latex \mathbb{L}$, entonces es formalmente completo. Esto es ya que toda proposición $latex \mathcal{A}$ de $latex \mathbb{L}$ es o verdadera o falsa (si es falsa, tenemos que su negación es verdadera, por lo que existirá ésta en $latex \mathbb{L}$).

Pero $latex \mathbb{S}$ podría ser consistente y formalmente completo pero no necesariamente verdadero completo. 

Con estos conceptos, ya podemos entender lo que dice el primer teorema de Gödel, excepto por un detalle.
Recordemos lo que dice el primer teorema de Gödel sin pulir y débil, ya pronto enunciaremos el teorema como él mismo lo pensó.

Teorema débil:  (Kurt Gödel), Recapitulando

En un sistema formal suficientemente fuerte existen proposiciones aritméticas verdaderas que no pueden ser demostradas dentro de ese sistema

No sabemos exactamente qué significa "suficientemente fuerte" 

El decir que un sistema formal es suficientemente fuerte, significa que incluye el sistema PA, es decir la aritmética de Peano. Éste PA, son reglas sobre la adición, multiplicación, igualdad y relación de orden (menor que). Pero más allá de eso, los axiomas de Peano conllevan a algo más fuerte que es lo que se pide en "suficientemente fuerte", esto es el principio de inducción matemática en $latex \mathbb{S}$.  Expresado en $latex \mathbb{L}$, dice lo siguiente para un proposición $latex \mathcal{P}$ en $latex \mathbb{L}$:

$latex \mathcal{P}(1)\wedge (\forall n)(\mathcal{P}(n) \Rightarrow \mathcal{P}(n+1)) \Rightarrow (\forall n)\mathcal{P}(n)$

Esta fórmula de $latex \mathbb{L}$  en español dice:

Si $latex 1$ cumple la propiedad $latex \mathcal{P}$, Y si todos los $latex n$ tienen la propiedad $latex \mathcal{P}$ (es decir $latex \mathcal{P}(n)$ es verdadero) e implican que $latex n+1$ también tiene la propiedad $latex \mathcal{P}$,  entonces podemos concluir que todos los números tienen la propiedad $latex \mathcal{P}$.

Esto en teoría de números es muy importante ya que nos permite definir un razonamiento para demostrar una infinidad de proposiciones, es decir que dependan de un parámetro $latex n$ que es una variable que toma una infinidad de valores enteros.

Es decir, los matemáticos no nos vamos a poner a demostrar caso por caso porque da flojera y porque es imposible demostrar una infinidad de casos. La propiedad inductiva en los números naturales nos dice que podemos usar una especie de efecto dominó en las propiedades de los números naturales, permitiéndonos poder generalizar la veracidad de un resultado. Eso de manera informal es el principio de inducción y es lo que Gödel pide en que exista en $latex \mathbb{S}$ para ser considerado éste suficientemente fuerte.  En otras palabras, que el sistema formal contenga la aritmética de Peano la cual trae consigo el principio de inducción.

Los axiomas de Peano son explícitamente estas 5 reglas que con éstas son suficientes para construir toda la aritmética (de hecho la más importante es la función sucesor de un número natural que construye la suma y de ahí todo lo demás en la aritmética:

Axiomas de Peano (de wikipedia)

a) El 1 es un número natural.1 está en $latex \mathbb{N}$, el conjunto de los números naturales.
b) Todo número natural n tiene un sucesor n* (este axioma es usado para definir posteriormente la suma).
c) El 1 no es el sucesor de algún número natural.
d) Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.
e) Si el 1 pertenece a un conjunto K de n naturales, y dado un elemento cualquiera k, el sucesor k* también pertenece al conjunto K, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto K. Este último axioma es el principio de inducción matemática.

Aquí está ya el teorema después de todo el background que hemos visto:

Primer teorema de incompetud de Gödel:
Si $latex \mathbb{S}$ es un sistema formal tal que:

i) El lenguaje $latex \mathbb{L}$ de $latex \mathbb{S}$ contiene el lenguaje de la aritmética 
ii) $latex \mathbb{S}$ incluye los axiomas de Peano
iii) $latex \mathbb{S}$ es consistente

Entonces existe una proposición $latex \mathcal{A}$ en $latex \mathbb{L}$ que es verdadera pero no puede ser demostrada en $latex \mathbb{S}$

La demostración es complicada pero a grosso modo, a cada símbolo del lenguaje $latex \mathbb{L}$ de $latex \mathbb{S}$ le asoció un número natural. Adicionalmente a cada expresión $latex \mathcal{E}$ de $latex \mathbb{L}$ usando los números asociados a sus símbolos le asoció el número natural obtenido de la concatenación de los símbolos que componen $latex \mathcal{E}$, cada uno separado por cero. Él usa el 0 porque no usa ése dígito al asociar naturales a su lenguaje formal $latex \mathbb{L}$.

 A estos números les llamamos números de Gödel para la expresión $latex \mathcal{E}$.

Ahora, como las fórmulas en $latex \mathbb{L}$ son sucesiones finitas por definición, los números de Gödel están bien definidos, y cada expresión de $latex \mathbb{L}$ tiene un número de Gödel.

Las demostraciones en $latex \mathbb{S}$ serán sucesiones finitas de proposiciones conectadas por una implicación, por lo que a éstas demostraciones también se les puede asociar un número de Gödel, (concatenación de los números de Gödel de cada proposición con un 0 separándolas), entonces él definió la siguiente propiedad:

n es el número de Gödel de una demostración $latex \mathcal{A}$ en $latex \mathbb{S}$

como:

$latex \Delta_{\mathbb{S}}(n,\mathcal{A})$

La cual es expresada en el lenguaje de la aritmética $latex \mathbb{L}$ como la proposición

$latex (\exists n) \Delta_{\mathbb{S}}(n,\mathcal{A})$

la cual escribimos como fórmula:

$latex \Lambda_{\mathbb{S}}(\mathcal{A})$

Ésta nos dice que $latex \mathcal{A}$ es demostrable de $latex \mathbb{S}$ o sea que si es verdadera es demostrable en la aritmética de Peano, y si $latex \mathcal{A}$ no es demostrable en $latex \mathbb{S}$ escribimos $latex \neg \Lambda_{\mathbb{S}}(\mathcal{A})$ (la cual será verdadera).

Finalmente , Gödel usó una adaptación de lo que se le llama el método de la diagonal para construir una proposición específica (una cadena de números), llámale $latex \mathcal{D}$ tal que los axiomas de Peano demuestran

$latex \mathcal{D} \Leftrightarrow \neg \Lambda_{\mathbb{S}}(\mathcal{D})$

Es decir que hay un número de Gödel sin demostración asociada.

Ésta  $latex \mathcal{D}$ es construida con base en una proposición que es autoreferenciada. Con más tiempo en el futuro lo compartiré aquí con detalle.

Gödel culmina demostrando que:

* Si $latex \mathbb{S}$ es consistente entonces $latex \mathcal{D}$ es no demostrable con $latex \mathbb{S}$

Y eso termina la demostración del teorema.

Para terminar este post les dejo el segundo teorema de incompletud

Segundo teorema de incompetud de Gödel:
Si $latex \mathbb{S}$ es un sistema formal tal que:

i) El lenguaje $latex \mathbb{L}$ de $latex \mathbb{S}$ contiene el lenguaje de la aritmética 
ii) $latex \mathbb{S}$ incluye los axiomas de Peano
iii) $latex \mathbb{S}$ es consistente

Entonces la consistencia de $latex \mathbb{S}$ y $latex \Lambda_{\mathbb{S}}(\mathcal{A}\wedge \neg \mathcal{A})$ es NO demostrable en $latex \mathbb{S}$

No profundizaré ahora en esta parte, tal vez en otro post que requiere más maquinaria.

Espero les haya servido de algo, este teorema es de los grandes descubrientos en los artefactos que gobiernan a las matemáticas

                                    Kurt Friedrich Gödel,  Abril 28, 1906 - Enero 14, 1978

Eduardo Ruiz Duarte (beck)

twitter: @toorandom

Destrucción del lenguaje humano a través de nuevas falacias y mala argumentación

El lenguaje en la sociedad va cambiando, bien lo dice el Dr. Noam Chomsky en su libro "Piratas y emperadores" que muchos de los problemas sociopolíticos y diplomáticos que generan guerras y conflicto en general tienen raíces muy profundas en un mal uso del lenguaje (semántica, pragmalingüistica), llegando a tener que inventar palabras y expresiones que conllevan a argumentos falaces y al final a mal entender ciertas situaciones que se vuelven negativas para alguien, todo esto debido a la naturaleza humana.

Este post pretende mostrar cierto tipo de falacias que creo que nos están invadiendo últimamente y mostrar el hecho de que correlación en sucesos estadísticos no implica causalidad entre ellos.

Como muchos ya saben una falacia es una argumentación que parecería verdadera pero no lo es, por ejemplo:

"Mujeres que usan ropa en colores obscuros más propensas a cáncer que hombres"

Explicación: 

Las mujeres en tonos obscuros de ropa estadísticamente son más depresivas, por lo que su cantidad de endorfinas hace que haya menor producción energética celular y por lo tanto daño en el ADN mitocontrial generando deficiencias en los procesos de respiración celular como lo es en el ciclo de Krebs, haciendo células cada vez más ineficientes.

Por otro lado los hombres con ropa obscura estadísticamente gozan de un buen estatus social y tienden a ser más felices y menos suceptibles a enfermedades debido a sus altos niveles de serotonina y dopamina, también por razones culturales un estudio en X universidad arrojó que las mujeres los encuentran más atractivos por lo que su vida sexual es más activa fomentando la oxitocina en su cuerpo, éstas sustancias son el gran enemigo del cáncer a nivel químico.


Obvio lo anterior es una completa idiotez, pero salió de mi mente sólo juntando ciertas ideas que "localmente" son verdaderas pero globalmente son una estupidez, la mayoría de la gente lo creería si éste lo ve escrito en alguna revista. Está de moda este tipo de "investigaciones" por Universidades muy renombradas como Stanford, Harvard u Oxford que dicen que hicieron este tipo de estudios pero luego son mal interpretados por revistas de "ciencia", y como me dijo un amigo... también está de moda ser científico en las ciencias sociales y las humanidades... y a veces tienen una metodología incorrecta a la hora de argumentar porque no saben que:

Correlación NO implica Causalidad

Esto ¿qué significa?...  que si los datos de ciertos estudios presentan un comportamiento similar en sus gráficas no significa que alguno sea causa de otro... por ejemplo vean esta gráfica tomada de esta excelente página http://www.tylervigen.com

Divorcios en el estado de Maine, EEUU VS Consumo de margarina per cápita de los gringos





Esta gráfica muestra una correlación de más de 0.99:


Las argumentaciones como la estupidez que leyeron hace rato implicarían que como están íntimamente correlacionados, deberán ser causa uno del otro.


Obvio este tipo de argumentaciones se vuelven una verdad para un gran porcentaje de la gente sin si quiera ver la verdadera publicación de la investigación, que quizá está mal interpretada por la revista de divulgación tipo "muy interesante" o "selecciones", y esa verdad viene respaldada por una falacia ad hominem, ad autoritarum (sólo porque X lo dice es verdad, sólo porque Y persona es experta en Z cosa tiene que ser verdadero) o simplemente por creer que la correlación implica causalidad.

Hay que evitar creer en esto porque después se vuelve una mentira masiva y llegar a la fuente, como tema de conversación puede ser interesante o incluso chistoso... pero si te gusta el formalismo o un debate serio no creo que sea conveniente usar estos argumento, si leen a Chomsky verán que poco a poco ir enfermando al cerebro con tantas cosas falsas puede tener consecuencias negativas.


Ahora por otro lado creo en el nacimiento de otro tipo de falacias, en la jerga nueva de internet nacen otras expresiones que se usan como preámbulo antes de contra argumentar a alguien algo de lo cual no estamos de acuerdo, dos ejemplos son:

IMHO (In my humble opinion, En mi humilde opinion)
AFAIK (As far as I know, hasta donde yo sé)

Et cétera...

Este tipo de expresiones desde mi punto de vista provoca 2 falacias.

1. El hacer creer que como su punto de vista se localiza supuestamente en un estado neutral de pensamiento, la argumentación deberá ser libre de prejucios sólo con poner la nueva palabra antes que el argumento (ésta palabra no aporta nada a la idea).

2. Hacer creer a la contraparte que la persona por estar siendo "humilde" su proposición deberá ser verdadera.


Lo enfatizo porque he observado que la gente se prende cuando no se utilizan este tipo de preámbulos a la hora de contra-argumentar, a veces para mostrar cierta educación y evitar llegar a verse déspota, sabelotodo o simplemente mamón, pero ése tipo de cosas son las que nos critican algunos Españoles, Argentinos y otros, nos disculpamos demasiado cuando hablamos, seamos directos con la idea... si tu argumento es correcto no necesitas disculparte antes de hablar.


También creo que toda la retórica política es bazofia y está repleta de esto, las ideas se hacen complicadas y generalizadas para poder interpretarse de una infinidad de maneras haciendo imposible el hecho de transmitir la idea, la cual es la más importante para transmitir como fin del lenguaje.

Hay un libro en línea "Un libro ilustrado de los malos argumentos" que lo pueden leer en 15 minutos, recomendación de un gran amigo mío Omar Lara Salazar, es muy corto y tiene dibujos, creo que debería de ser un libro obligatorio para los niños en 5to o 6to de primaria que les recomiendo mucho, es para entender las falacias más usuales y que cada vez que debatas tanto tú como la otra persona aprendan uno del otro y no sólo desechen la información.

https://bookofbadarguments.com/es/


Espero les haya gustado el post, opinen.

(IMHO) In my humble opinion

Eduardo Ruíz Duarte
twitter: @toorandom

Tipos de infinitos (grandes y chicos), numerabilidad, axioma de elección y paradojas

Nota: Si estas en tablet o teléfono para visualizar mejor los símbolos haz click aquí

Pregunta para reflexionar antes de empezar este post.


¿Un objeto matemático existe sólo si existe un algoritmo que lo pueda construir explícitamente o sólamente existe si la suposición de su existencia no conlleva a contradicciones a pesar de que no podamos encontrar jamás un ejemplo?

Cardinalidad (tamaño) de conjuntos, numerable y no numerable

Ahora veremos un tema que es muy importante en las matemáticas, el cual desde mi punto de vista , dividieron a los matemáticos, sabemos que los números enteros $latex \mathbb{Z}=\lbrace ...,-2,-1,0,1,2,...\rbrace$  y los números reales $latex \mathbb{R}$ son infinitos, vamos a ver que el infinito de los reales es estrictamente más grande que el infinito de los enteros, después veremos al axioma de elección, el cual aplicado a colecciones infinitas de conjuntos implica resultados paradójicos que pueden llegar a ser sorprendentes.

Definición: Un conjunto A es de cardinalidad finita $latex n$ si existe una función biyectiva del conjunto $latex \lbrace 1,2,3,...,n\rbrace$ con A.
Decimos que un conjunto A es numerable infinito si hay una función biyectiva con el conjunto $latex \mathbb{N}=\lbrace 1,2,3,... \rbrace$, un conjunto infinito numerable o finito se le dice numerable

Un conjunto A es no numerable infinito si no es vacío y no es numerable


Esta definición ya nos permite comenzar a hacer cosas, por ejemplo, si tenemos el conjunto de todos los enteros $latex \mathbb{Z}=\lbrace ...,-2,-1,0,1,2,...\rbrace$ y el conjunto de los naturales con el 0, llamémosle $latex A=\lbrace 0,1,2,3,...\rbrace$


Ejemplo: comparando los enteros negativos con positivos con los enteros positivos.

¿Cuál conjunto es más grande?

Aquí nos topamos con un concepto que deja de ser intuitivo, en primera instancia uno está contenido dentro de otro $latex A\subset \mathbb{Z}$ pero no al revés.

Pero imaginen una fiesta donde hay $latex n$ mujeres y $latex m$ hombres.

¿cómo podemos saber si todos podrán bailar con alguien del sexo opuesto en una canción?

Una opción sería contarlos y ver si $latex n=m$ la otra opción es asignarles una pareja y ver si nadie se queda sin bailar.


La segunda opción es la que equivale a la definición, necesitamos encontrar una función, y si a todas las mujeres les toca un hombre y sólo un hombre entonces no habrá duda que el conjunto de mujeres y hombres mide lo mismo ya que todos tienen una pareja y nadie se queda solo.


Para nuestro ejemplo imaginen esta regla de correspondencia:


$latex A$      $latex \mathbb{Z}$
$latex 0\mapsto 0$
$latex 1\mapsto -1$
$latex 2\mapsto +1$
$latex 3\mapsto -2$
$latex 4\mapsto +2$
$latex 5\mapsto -3$
..
..
$latex 2n$ $latex \mapsto n$
$latex 2n+1$ $latex \mapsto -(n+1)$


En resumen, asociamos pares de $latex A$ con positivos en $latex \mathbb{Z}$ e impares de $latex A$ con negativos de $latex \mathbb{Z}$ y ambos $latex 0$ en $latex A$ y $latex \mathbb{Z}$ los ponemos en la misma pareja.

A mas detalle:

Es decir, a la fiesta asociamos el 0 de $latex A$ con el 0 de $latex \mathbb{Z}$
y a los demás asociamos que si el elemento $latex x\in A$ es par de la forma $latex x=2n$ entonces le asociamos $latex n\in \mathbb{Z}$, y si $latex x \in A$ es impar de la forma $latex x=2n+1$ entonces le asociamos $latex -(n+1)$ lo que nos hace que todos tengan una sola pareja y nos define una función biyectiva de $latex A$ y $latex \mathbb{Z}$ por lo que los enteros positivos comparados con los enteros positivos Y negativos tienen el mismo tamaño.


 Ahora , también tenemos que el conjunto de todas las fracciones (es decir los números racionales) , TAMBIÉN es numerable, es decir que se puede poner en correspondencia con $latex \mathbb{N}$ , el que se pueda poner en correspondencia con $latex \mathbb{N}$ imaginen que es como poderles poner una etiqueta a los elementos a comparar y cubrir TODOS los elementos con los números naturales.


Entonces lo que tenemos que encontrar... es una manera de poder etiquetar con los naturales al conjunto:


$latex \mathbb{Q}=\lbrace \frac{a}{b} : a,b\in \mathbb{Z},b\neq 0\rbrace$

Al etiquetar con TODOS los elementos de $latex \mathbb{N}$ a TODOS los elementos de $latex \mathbb{Q}$ tendríamos automáticamente una correspondencia biyectiva entre ambos conjuntos probando que ambos tienen la misma cardinalidad, pero esto es fácil verlo con el siguiente arreglo de TODOS los números racionales.

 Aquí podemos ver que si siguen el flujo de las flechas rosas, y donde empieza que es en el 1/1 asignamos el 1, y después asignamos el 2,3,4... et cétera a los siguientes, podríamos obtener una función que asigne elementos de $latex \mathbb{N}$ a $latex \mathbb{Q}$ y si se fijan esta tabla cubre a TODOS los racionales... de hecho le sobran, los que le sobran son los $latex \frac{a}{b}$ tales que $latex a,b$ no son primos relativos, es decir que se pueden reducir, pero eso no importa, como pueden ver, los pueden eliminar, esto no causa problemas más que a la hora de definir la biyección explícitamente, pero con esto podemos ver que los naturales y los racionales tienen el mismo tamaño infinito.


Pero este pequeño ejemplo conlleva un teorema importante que vamos a probar



Teorema. Sean $latex A,B$ dos conjuntos infinitos numerables, entonces su producto cartesiano $latex A\times B$ también es infinito numerable.


Recuerden que el producto cartesiano de $latex A$ y $latex B$ resulta en otro conjunto $latex A\times B=\lbrace (a,b) : a\in A , b\in B\rbrace$

Vemos claramente que en nuestro ejemplo anterior si $latex \frac{a}{b} := (a,b)$ donde $latex b\neq 0$ y $latex mcd(a,b)=1$  entonces $latex \mathbb{Q}\subsetneq \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$


Entonces sabiendo esto, vamos a la demostración:

demostración:

Como ambos $latex A$ y $latex B$ están en correspondencia biyectiva con $latex \mathbb{N}$, lo único que tenemos que probar es que $latex \mathbb{N}\times \mathbb{N}$ es infinito numerable.

Entonces cosideremos

$latex \mathbb{N}\times \mathbb{N}=\lbrace (n,m):n,m\in \mathbb{N}\rbrace$ entonces el diagrama que nos conviene es:

 Donde claramente se puede ver que siguiendo las flechas podemos cubrir a cada par con todos los números naturales de manera ordenada y limpia.


Esta demostración más algebraicamente sería al definir una función

$latex f: \mathbb{N}\times \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$

La cual es fácil verificar que:

$latex f(m,n)=\frac{(n+m-2)(n+m-1)}{2}+m$

cubre todos los pares de naturales y es biyectiva.

$latex \blacksquare$


De hecho por inducción podrías demostrar que el producto cartesiano de $latex n$ conjuntos numerables es numerable.


Pero bueno... ya vimos el primer infinito el cual es el más chico y lo llamamos $latex \aleph_0$.

¿Pero dónde están los otros infinitos?

¿Cuáles conjuntos son más grandes estrictamentes que los naturales? , pues la respuesta más básica es el conjunto de los números reales $latex \mathbb{R}$, este conjunto obviamente no es finito, y de hecho no es infinito numerable.

Aquí veremos el argumento usual debido a Cantor de diagonalización que prueba que también un conjunto inocentemente más chico que los reales $latex [0,1]=\lbrace x\in \mathbb{R} : 0\leq x \leq 1\rbrace$ NO es numerable también.



Teorema: El intervalo $latex [0,1]$ es NO numerable


Vamos a hacerlo por contradicción, supongamos que existe una correspondencia biyectiva $latex f:\mathbb{N}\rightarrow [0,1]$, lo que haremos es encontrar un número real en $latex [0,1]$ que no está en la imagen, contradiciendo la suposición de que $latex f$ es suprayectiva.


Para esto, lo único que vamos a suponer es que todo número real en $latex [0,1]$ tiene una expansión decimal

$latex 0.x_1x_2x_3x_4...$

Donde cada $latex x_k$ es $latex 0,1,2,3,...9$ para que esta expansión sea única, siempre vamos a redondear, excepto en el caso de $latex 0.99999...$ donde lo dejaremos como tal.

Por lo que $latex 0.32999...$ siempre será escrito como $latex 0.3300$ .

Ahora, tomemos nuestra supuesta correspondencia $latex f:\mathbb{N}\rightarrow [0,1]$ y escribamos los términos.



$latex f(1)=.a_1a_2a_3...$
$latex f(2)=.b_1b_2b_3...$
$latex f(3)=.c_1c_2c_3...$
$latex f(4)=.d_1d_2d_3...$
$latex f(5)=.e_1e_2e_3...$

 Y así... noten que los $latex a_i,b_j$ et cétera son números fijos entre 0 y 9, dándonos una correspondencia uno a uno, es decir no son variables.


Vamos a construir un nuevo número real $latex .N_1N_2N_3N_4...$ que no podrá aparecer en esa lista, forzando a que no sea suprayectiva por lo tanto contradiciendo la suprayección.

Supongamos que del número que queremos construir, definamos la k-ésimo dígito es:

$latex N_k = 4$ si la k-ésima entrada de $latex f(k)\neq 4$
$latex N_k = 5$ si la k-ésima entrada de $latex f(k)=4$


Nota que $latex N_1=4$ si $latex a_1\neq 4$ y $latex N_1=5$ si $latex a_1=4$

Entonces como sea que esté definido $latex f(1)$ siempre sucederá que:


$latex .N_1N_2N_3... \neq .a_1a_2...=f(1)$

Esto también sucederá para $latex N_2$ ya que si $latex N_2=4$ entonces $latex b_2\neq 4$ y será 5 si $latex b_2=4$ por lo que:


$latex .N_1N_2N_3...\neq .b_1b_2b_3...=f(2)$


Esto síganlo para todo $latex N_k$ y tendremos que nunca se parecerá a $latex f(k)$ por lo que este nuevo número no está en la imagen de $latex f$ para como sea que esté definida, por lo que no podría ser numerable. $latex \blacksquare$

Decimos que $latex [0,1]$ tiene cardinalidad $latex \aleph_1$


¿Existe un infinito intermedio entre $latex \aleph_0$ y $latex \aleph_1$?

Esta es la hipótesis del continuo... ¿ustedes qué creen?

Bueno esta pregunta es un gran hoyo en las matemáticas... y muestra la razón que tenía Gödel (Teoremas de incompletud) al decir que las matemáticas como las usamos son imperfectas en el sentido que son incompletas, existen proposiciones que no se pueden demostrar falsas o verdaderas.


Esto significa que esta pregunta... de que si existe un infinito intermedio... es indecidible... se demostró que NO se puede demostrar que esta pregunta es demostrable.

Esta pregunta de la hipótesis del continuo nos lleva a la pregunta inicial filosófica.

Formalización de los conjuntos

Ahora, antes de entrar a lo esotérico, regresen a la pregunta inicial de este post.


A la hora de probar que un objeto existe a veces puede ser constructiva o simplemente existencial, todo esto está fundamentado con la teoría de conjuntos formal, y ahora la más usada son los axiomas de Zermelo-Fraenkel unido con el axioma de elección.


Ahora veremos un poco el detalle de estos axiomas y la paradoja de Russell que muestra que debemos tener cuidado a la hora de trabajar con conjuntos en algo formal, ya que hay objetos que podrían definirse pero no existir.

La idea linda es muy razonable e inocente de cómo definir un conjunto, es decir como una colección de objetos que comparten cierta propiedad.

Noten que uno de los mayores estudiosos de la teoría de conjuntos (Georg Cantor) define un conjunto así:

Un conjunto es:

Toda multiplicidad que puede ser pensada como unidad, esto es, toda colección de elementos determinados que pueden ser unidos en una totalidad mediante una ley

 Por lo que el siguiente conjunto es muy razonable:

$latex \lbrace n: n$ es un número par $latex\rbrace $

Vamos a ver como los conjuntos forman la aritmética que conocemos.

Para formar nuevos conjuntos con conjuntos ya dados por ejemplo si tenemos al conjunto $latex A$ podemos formar a $latex \lbrace A\rbrace$ que es un conjunto de un elemento.

También definimos el conjunto sucesor de $latex A$ como $latex A^{+}=A\cup \lbrace A \rbrace$ es decir $latex x\in A^{+}$ si $latex x\in A$ o $latex x=\lbrace A\rbrace$.


Empecemos con el conjunto $latex \emptyset$ que es el vacío, éste no tiene elementos y corresponderá con el entero $latex 0$ , y vamos a denotar al sucesor de 0 como 1 el cual es:

$latex 1=\emptyset^{+}=\lbrace\emptyset\rbrace$

Después el sucesor del sucesor del vacío es el 2


$latex 2=(\emptyset^{+})^{+})=\lbrace\emptyset ,\lbrace \emptyset \rbrace \rbrace$


En general, vamos a definir al sucesor de $latex n$ como $latex n+1$

Lo cual el sucesor será sumar 1, podemos recobrar por recursión la adición y convertirla en multiplicación y después en resta y división, suena bien no?


Pero bueno, esto es la manera inocente de proceder, aquí Cantor tuvo un error que descubrió Russell, que la pasión de Cantor por el tema y la falta de soluciones ante el escenario de Russell lo llevó a la locura por el hecho de no poder solucionarlo, ya que el definir conjuntos inocentemente como el ejemplo de los números pares o así como procedimos va a llevar a paradojas.


Vamos a construir algo que cumple la definición de conjunto pero que no puede existir.


Veamos primero que existen conjuntos que son elementos de si mismos, hay conjuntos que no cumplen esto, por ejemplo.


El conjunto de números pares NO es elemento de si mismo, ya que éste conjunto como tal no es un número par, por lo tanto no se pertenece a si mismo.


Por otro lado el conjunto de los conjuntos  que tienen más de dos elementos , éste conjunto es miembro de si mismo.


Paradoja


Viendo que podemos construir estos conjuntos, definamos este conjunto.



$latex X = \lbrace A:A$ es un conjunto que no se pertenece a si mismo$latex \rbrace$

        $latex =\lbrace A:A\notin A\rbrace$



Este conjunto conlleva a una paradoja, es decir algo que viola en particular el principio del tercero excluido.


Pregunta: ¿Es $latex X$ un elemento de si mismo?

Si $latex X\in X$, entonces por definición de $latex X$ tenemos que $latex X\notin X$, lo cual es absurdo.

Entonces lo natural es que ya demostramos que $latex X\notin X$ , ... PERO...


Supongamos que $latex X\notin X$, entonces esto implica que $latex X\in X$ lo cual es otra contradicción.

Tenemos contradicción por la negación y la no negación por lo que esto es una paradoja, esto significa que $latex X$ no sería entonces un conjunto es decir es algo que se sale de la teoría y esta es la paradoja de Russell

La cual en símbolos es

$latex X\in X \Leftrightarrow X\notin X$

La solución a esto fue toda la teoría axiomática de Zermelo Fraenkel la cual elimina la posibilidad de poder construir objetos así, y que en pocas palabras limita a los objetos a que puedan ser definidos con lógica de primer orden "acotados" por otro objeto que ya sabemos es un conjunto.

Es decir no existe el conjunto de todos los conjuntos , o el complemento de un conjunto, éste último existe sólo cuando lo tomas como $latex U\setminus X$ que es el complemento de $latex X$ en $latex U$.


Ahora entremos al axioma de elección.



Axioma:  (elección)  Sea $latex \lbrace X_\alpha \rbrace$ una familia de conjuntos no vacíos, entonces existe un conjunto $latex X$ que contiene de cada conjunto $latex X_\alpha$ exactamente un elemento.


Esto es algo que suena obvio si tienes una colección finita de conjuntos, hasta un niño podría comprender que puede tomar un elemento de cada uno


Pero la dificultad viene cuando aplicas el axioma de elección a una colección infinita de conjuntos, y peor aún, una colección infinita NO numerable.

El axioma no te dice como encontrar este conjunto $latex X$ que contiene un elemento de cada conjunto de la colección sólo te dice que existe y punto.


El axioma de elección es peligroso mentalmente hablando, te puede llevar a paradojas como la de Banach-Tarski que te dice que tú puedes partir una esfera en un número finito de partes de tal manera que después  puedas armar 2 esferas iguales a la original.

O por ejemplo también, el elemento más chico en $latex (0,1)=\lbrace x: 0 < x < 1 \rbrace$

También existe un conjunto no numerable de puntos en el plano que tienen vecindades de radio $latex \epsilon >0$ que son ajenas.

Gracias a Andrei Rodríguez por la corrección, aquí dejo con sus propias palabras la demostración de que eso que dije es falso.

"Este ejemplo no funciona ya que $latex \mathbb{R}\times \mathbb{R}$ es separable; es decir porque tiene un subconjunto denso numerable.
A saber $latex \mathbb{Q}\times\mathbb{Q}$.

Veamos

Supongamos que existe una cantidad no numerable de abiertos ajenos en $latex \mathbb{R}\times \mathbb{R}$

Por la densidad de los racionales, cada uno de estos abiertos contiene al menos un punto de coordenadas racionales $latex (\mathbb{Q}\times\mathbb{Q})$, como los abiertos son ajenos, cada uno de estos puntos es distinto, esto implica que $latex \mathbb{Q}\times \mathbb{Q}$ o bien los puntos del plano con coordenadas racionales son un conjunto no numerable... lo cual es una contradicción, por lo tanto no existe un conjunto no numerable de abiertos ajenos en $latex \mathbb{R}\times\mathbb{R}$ $latex \blacksquare$"


Lo que Andrei quizo decir aquí de manera más compacta es que este supuesto conjunto no numerable de abiertos en $latex \mathbb{R}^2$ tiene a racionales en cada abierto (porque $latex \mathbb{Q}$ es denso en $latex \mathbb{R}$), por lo que de existir habría una cantidad no numerable de racionales lo cual es absurdo.

Y mi ejemplo fue mal pensado, habrá que pensar un espacio diferente para que esto suceda. 

 Por decir algunas cosas raras...

Esto sucede en la matemática no en la física, recuerden la analogía de los sacos de frijol, ahí estamos eligiendo frijoles de cada saco... pero realmente podemos elegir un frijol dentro de un conjunto de $latex \aleph_1$ sacos? , la matemática dice que esto es un axioma, es decir es una regla del juego... ¿te gusta la regla?


Eduardo Ruiz Duarte (beck)
twitter: @toorandom

Existencia de dios a priori y lógica de Gödel, explicación de demostración y fundamentos de lógica modal

Nota. Este post no pretende establecer una posición sobre la existencia de dios o no, sino sólo tratar de comprender el argumento ontológico de Gödel de manera quasi-formal. Este es el argumento a priori mejor desarrollado sobre la existencia de dios a través de lógica modal. Exploraremos esta lógica de manera reducida en este post, errores deberán existir los cuales agradecería me los hicieran ver a través de los comentarios.

Este post lo re-escribo con el propósito de conmemorar el 40 aniversario luctuoso de uno de mis personajes preferidos. Kurt F. Gödel.

Desde muy temprana edad he sido ateo por razones que luego platicaré en mi blog que fueron divertidas en mi infancia. Este ateísmo últimamente me ha hecho querer profundizar un poco en el por qué de mi decisión ideológica. Acabo de leer el excelente libro de Richard Dawkins The God Delusion, ya que aparte de las matemáticas, siempre he sido muy entusiasta de la teología y el pensamiento racional. Las religiones son la razón de lo que somos hoy en día, ya que por más ateos que seamos, muchas de las costumbres, moralidad y ética; fueron heredadas de las religiones (ej. monogamia, tabú sexual, et cétera). Por esto, el entendimiento de la teología garantiza un mejor estudio antropológico e histórico de las sociedades tempranas e incluso futuras (¿será?).

Al leer el libro de Richard Dawkins me topé con que él discute argumentos ontológicos como el de la existencia de dios según Anselmo de Canterbury (sacerdote en el año 1093), así como otros autores cn otras situaciones similares. Sin embargo,  no discute uno de los argumentos de un gran personaje que para los adoradores de Einstein debería ser superior en su pensamiento deductivo y racional, Kurt Gödel.

Kurt fue un lógico alemán que fundamentó lo que David Hilbert no terminó relacionado con la meta-matemática. Esto es el estudio de la maquinaria que gobierna a las matemáticas (lenguaje, símbolos, reglas de inferencia, sistemas formales, demostraciones, axiomas). El trabajo de Gödel es respetado por todos los matemáticos debido a que sin éste el pensamiento matemático sería diferente en función a la teoría de la demostración en cualquier sistema formal.

Hoy daré mi punto de vista sobre dios y lo que he leído, así como su relación con la matemática. No soy experto en el área, pero la he estudiado, así que demostraré los teoremas que plantea Gödel con palabras para todos los oídos (¿ojos?).  Si los expertos en lógica que lean esto notan alguna equivocación favor de corregirme, lo agradeceré.

Primero que todo, si tú quieres demostrar que algo existe necesitas definirlo. Anselmo de Canterbury define a dios cómo:

Dios es lo que nada podría concebirse mayor a éste en términos de perfección

Kurt quiere formalizar el siguiente planteamiento de Anselmo de Canterbury. Éste es una demostración por reducción al absurdo de la existencia de dios:

Dios, es por definición lo más grande y perfecto que se puede concebir, dios existe en el entendimiento, en la mente, y si dios existe en el entendimiento, podríamos imaginarlo más grande y perfecto al existir en la realidad por lo tanto dios existe.

Este último párrafo por Anselmo de Canterbury fue diseñado a modo de dirigirlo no a los humanos sino al mismísimo dios a través de la oración. En mi opinión es absurdo, ya que si dios existiera, por qué éste necesitaría convencerse de su propia existencia. 

¿Cuál es la disyuntiva del argumento de Anselmo con una verdadera demostración?

Tú puedes concebir aunque seas ateo a un ser tan superlativo como quieras, aunque niegues que realmente pueda existir, después, el argumento afirma que si un ser no existe en el mundo real significa que es imperfecto, pero como dios es perfecto por lo tanto voilá dios existe

El problema aquí está en una premisa de Anselmo que es muy fuerte. Aquí la expongo con la regla de inferencia modus tollendo tollens $latex ((P\Rightarrow Q)\wedge \neg Q)\Rightarrow \neg P$. Tollendo Tollens hace "más digerible el sentido del problema del argumento de Anselmo". De ser "verdadero" lo siguiente, la lógica de Anselmo de Cantenbury deberá ser correcta y dios existe.

"X no existe ergo X es imperfecto"

El problema aquí de Anselmo, es que utiliza artificios dialécticos para obtener conclusiones universales a través de la retórica en la definición de dios. Eso desde el punto de vista racional no sirve para nada.

Para que la lógica funcione, la deducción de una proposición en un sistema formal con ciertas reglas de inferencia se basa en las propiedades de los objetos a evaluar. Y aquí Anselmo no está analizando el objeto "dios" lógicamente. Por otro lado, Gödel encontró el problema raíz, del argumento ontológico de Anselmo. Este problema fue mencionado antes por Immanuel Kant y es que: 

“Existencia NO es una propiedad”.

Sí, Anselmo utiliza la existencia como una propiedad intrínseca de un objeto, pero, ¿cómo puede haber un objeto que tenga la propiedad de "no existir"? Bueno, no todo está perdido, y es donde entra la lógica modal. En ésta lógica, se utilizan diferentes situaciones en las cuales una proposición puede ser verdadera o falsa, o SIEMPRE verdadera como la proposición "Llueve o no llueve" la cual nunca es falsa en cualquier circunstancia.

 Gödel sustituye este concepto por la propiedad de que sea “necesaria su existencia en X situación”, es decir agrega un operador simbólico que es distinto a la existencia clásica y es muy importante desde el punto de vista formal, semántico e interpretativo en lógica modal la cual resumiremos pronto.

Anselmo estaba usando sin querer lógica modal. Digo "sin querer" ya que en su época no existía aún de manera formal, Gödel la define como veremos abajo.

Lógica modal

Antes de llegar a la parte simbólica que es la que te podrá hacer leer el argumento ontológico de Gödel, veremos lo que es la lógica modal. Primero imagina cómo tú haces deducciones de tu entorno de ciertas situaciones. O sea, tu lógica sin saberlo funciona usando miles de premisas y miles de situaciones comparables. Es decir tu lógica no está acotada a un simple $latex P \rightarrow Q$ (P entonces Q).

En la lógica modal, imagina que la realidad es el que vives hoy y ahora.  Por otro lado, también sabes que la realidad podría ser distinta dependiendo de factores que la pudieran haber alterado o factores los cuales alterarían el futuro. Todo esto con distintas posibilidades de mundos según los posibles factores de desarrollo de éste. Es decir existen otras posibles realidades.

En la lógica modal todas las realidades posibles son denotadas por $latex \Diamond$ y las necesarias denotadas por $latex \Box$. Es decir, hay situaciones que pueden suceder, y hay situaciones que siempre suceden respectivamente. Veámoslo con más detalle.

¿Qué significa $latex \Diamond P$ ? 

Esto es que $latex P$ es posiblemente verdadero, es decir existe una posible realidad en la que $latex P$ podría ser verdadero. Esto es equivalente a que en algún mundo, y en el desarrollo de sus condiciones y premisas podrían hacer que $latex P$ fuera verdadero. 

A manera de ejemplo, existe un mundo, una realidad en la que tú no hubieras existido, (si hubieran atropellado a tus padres, o si hubieran abortado, o si tu bisabuelo hubiera muerto en una guerrilla).

¿Qué significa $latex \Box P$ ? 

Esta es "más fuerte" ya que dice que $latex P$ es verdadero en todos los mundos/realidades posibles , es fácil mostrar que existen proposiciones que son verdaderas en todos los mundos por ejemplo 

$latex \Box (\neg P \lor P)$

 En particular esto dice con palabras: "en todos los mundos o llueve o no llueve". Esa proposición es verdadera en todos los mundos para cualquier $latex P$, esto se le llama el principio del tercero excluido. Es decir, para que esta proposición sea falsa tendría que suceder algo diferente a "llover" o "no llover". Lo cual clásicamente es imposible. 

Entonces tenemos aquí que con lógica simbólica a manera de resumen el significado de los símbolos:

• $latex P$:     $latex P$ es una proposición que es verdadera en la realidad actual, en el mundo real.
• $latex \Diamond P$:   $latex P$ es posiblemente verdadero, es decir es verdadero en algún/os mundos posibles.
• $latex \Box P$:  $latex P$ es necesariamente verdadero, es decir no hay ninguna situación/mundo/realidad en donde $latex P$ pudiese ser falso.

Para profundizar un poco en este tipo de pensamiento lógico, recomiendo vean literatura la cual es vasta en internet sobre lógica modal. Pero creo que con esto podemos avanzar un poco. 

Gödel, al poder corregir a Anselmo y convertir en propiedad la existencia de dios a través de esta lógica, demuestra que el objeto dios necesariamente existe, (noten que no es el dios cotidiano, es el de la definición de perfección. Esta lógica modal,  nosotros usamos diariamente para hacer deducciones, así que no es tan misteriosa o rara.

Ahora vamos a analizar la demostración de Gödel. 

Recuerden que las matemáticas se crean a partir de axiomas (Ax) , que son las reglas del juego. Dentro del juego hay objetos los cuales se deben definir (Df) para poder establecer equivalencias entre ellos. Cuando se juega con los axiomas, se crean proposiciones (Pr) universales dentro del sistema. Después con estas proposiciones, se crean teoremas (Th) que generalizan situaciones. Estos teoremas se pueden deducir corolarios (Cr) que son consecuencias particulares importantes del teorema. 

Tenemos que si $latex P$ es una proposición, por ejemplo "N es primo si y solo si N no tiene factores distintos a 1 y N", denotaremos como $latex P(N)$ a la fórmula que evalúa a $latex N$ la cuál puede ser verdadera (1) o falsa (0). En particular con este ejemplo, $latex P(3)=1$, $latex P(10)=0$.  

Aquí tenemos la demostración de Gödel que en 1970 en su lecho de muerte se la mostró a su alumna Dana Scott. Ella la publico sin su permiso después de morir (me parece, chéquenlo). Trataré de dar una explicación a cada renglón abajo.

Esta demostración de Gödel, más que demostrar la existencia de dios, yo lo veo como una construcción axiomática mínima. Ésta construcción, es suficiente para que se pueda inferir la existencia de dios a priori. Si tú no crees en estos axiomas, esto no implicará la existencia de dios en tu contexto.

Por esto anterior,  hay que suponer ciertos principios axiomáticos donde vivirá nuestro argumento, los cuales Gödel consideraba universales. Uno de estos es el Principio de plenitud el cual fue estudiado desde Aristóteles hasta Immanuel Kant, el cual dice que:

Cualquier cosa que pueda suceder, eventualmente sucederá

Esto no lo veo descabellado y suena modal ¿no?, lo explico desde mi punto de vista ya que esto ya entra en los límites de la matemática con filosofía.
La idea anterior se basa en todas las posibles situaciones en las que algo pueda existir. Desde mi punto de vista, suponiendo la infinitud del universo y el tiempo, si ese algo tiene la posibilidad de ser verdadero, y existen una infinidad de variables en una infinidad de tiempo, eventualmente ese algo podrá ser verdadero. Esto recuerda a la analogía de los chimpancés tecleando al azar en máquinas de escribir. En algún momento finito del tiempo, podrán haber escrito todo Hamlet de W. Shakespeare.

Gödel argumenta que dios existe en algún mundo posible usando este principio de plenitud y un conjunto de otros axiomas. Esto es argumentando la consistencia lógica ciertos objetos al tener la propiedad "de dios" o más informalmente, de ser " buenos o positivos o divinos".

Otra cosa que define Gödel en su demostración son las esencias:

Si $latex x$ es un objeto en algún mundo posible, entonces la propiedad $latex P$ se dice ser una esencia de $latex x$ si la formula $latex P(x)$ es verdadera en ese mundo y si $latex P$ conlleva todas las propiedades que $latex x$ tiene en ese mundo

Otra definición importante es de la existencia necesaria:

 $latex x$ necesariamente existe si para toda esencia $latex P$ lo siguiente es verdadero:

En todo mundo posible, existe un elemento $latex y$ donde $latex P(y)$ es verdadero 

Entonces tenemos ahora que la propiedad $latex P$ significa que $latex P(x)=1$ si y sólo sí $latex x$ tiene la propiedad de ser algo positivo. Es decir todas las cosas que en su totalidad puedan hacer llegar a la definición de dios. En otras palabras, podemos definir al objeto dios como aquel que tiene todas las propiedades positivas o buenas. Un objeto con la característica de tener todas las propiedades positivas, lo llamaremos divino.

Vamos ahora a explicar cada línea de manera coloquial  y de manera más coloquial en negritas.

• Axioma 1. Si $latex \phi$ tiene la propiedad de ser positivoy es necesariamente verdadero que todo lo que tenga la propiedad $latex \phi$ implica que también tiene la propiedad $latex \psi$ entonces $latex \psi$ también es bueno o positivo o divino. Esto quiere decir que si $latex X$ es bueno y ese $latex X$ tiene la propiedad $latex Y$ en todos los mundos entonces $latex Y$ tiene que ser positivo.

• Axioma 2. Para toda propiedad $latex \phi$ tenemos que sólamente una $latex \phi$ o $latex \neg \phi$ es positivo. O sea que si $latex \neg X$ es positivo tenemos que $latex X$ es malo, esto es análogo al principio del tercero excluido.

• Teorema 1. Aquí es donde se usa el principio de plenitud. Si $latex \phi$ es bueno es posible que exista un objeto con la propiedad $latex \phi$. Es decir, existe un mundo en el que puede existir algo bueno. 

Demostración (con mucho choro por contradicción pero es necesario):

Supongamos que existe un $latex \phi$ bueno, PERO que necesariamente nada tiene la propiedad $latex \phi$ (recuerden que necesariamente es algo que sucede o no en todos los mundos). Buscamos contradicción ya que estamos usando las reglas de inferencia usuales, en este caso el principio del tercero excluido para reducción al absurdo.

Si suponemos lo anterior entonces la propiedad $latex \phi$ implicaría por vacuidad TODAS las propiedades. En particular, tendríamos que $latex \phi \Rightarrow \neg \phi$, que por el axioma 1 implicaría que $latex \neg \phi$ es bueno. Por o tanto $latex \phi$ y $latex \neg \phi$ tienen la propiedad de ser positivos, lo que contradice el axioma 2 y por lo tanto la suposición es falsa.  Por el tercero excluido tenemos que entonces la negación de la suposición es verdadera y esto implica que si $latex X$ es bueno, debe existir una realidad donde haya algún objeto con la propiedad $latex X$.

• Definición 1. Llamamos a algo $latex x$ divino cuando tiene todas las propiedades positivas. Se usa la letra G porque en inglés es "God-like" o "similar a dios" pero con fines prácticos le llamaré "divino"

• Axioma 3. Tener la propiedad de divino implica que también tiene la propiedad de positivo

• Teorema 2. Es posible (en el sentido de lógica modal, es decir existe un mundo en el cual...) que exista algo divino este teorema se explica por si solo.

Demostración:

Sabemos por el teorema 1 que si $latex \phi$ es bueno debe existir algún objeto en un posible mundo que tenga la propiedad $latex \phi$. Si cambiamos a $latex \phi$ por el la propiedad "ser divino" proveniente del axioma 3, tenemos la demostración del teorema 2 $latex \blacksquare$.  
Realmente no sé por que Gödel le llama Teorema... yo le llamaría Corolario... pero tal vez es por el hecho de que el objeto al que se aplica es directamente un axioma y no una proposición

• Definición 2. Aquí define lo que anteriormente ya habíamos mencionado sobre esencia, que de nuevo resumidamente tenemos que $latex \phi$ es la esencia de un objeto $latex x$ cuando:

1. $latex x$ tiene la propiedad $latex \phi$
2. La propiedad $latex \phi$ fuerza a todas las propiedades de $latex x$ a ser verdaderas.

• Axioma 4. Si $latex \phi$ es positivo entonces $latex \phi$ es necesariamente positivo. Es decir en el sentido modal, $latex \phi$ en todas las realidades y mundos deberá ser positivo. (aquí es donde comienza la onda complicada filosófica desde mi punto de vista)

• Teorema 3. Si un objeto es divino entonces ser divino es su esencia

Demostración:

Recordemos que si $latex x$ es divino entonces tenemos que este $latex x$ tiene TODAS las propiedades positivas  por el axioma 2.  Esto quiere decir que TODAS las propiedades de algún objeto divino son buenas/positivas. Por lo tanto son necesariamente positivas (recuerden que en el sentido modal la palabra "necesario") por el axioma 4.  qed. $latex \blacksquare$

• Definición 3: Decimos que $latex x$ es indispensable, denotado por $latex E(x)$ cuando algo que tenga esencia DEBE existir.

• Axioma 5: Ser indispensable es bueno

• Teorema 4. Lo divino necesariamente existe  (es decir en todas las realidades y mundos existe el objeto con la propiedad  divino definido aquí previamente teniendo todas las propiedades buenas)

Demostración:

Si algo es divino, entonces tiene por definición todas las propiedades buenas, vemos por el axioma 5 que esto es indispensable ya que es una propiedad buena.

Por definición un objeto con esencia que es divino, por el teorema 3, debe existir.  

Esto significa que si algo divino existe, entonces necesariamente existe para que algo divino exista.

Por otro lado ya probamos el teorema 2, y tenemos que es posible que algo divino exista (en el sentido modal hay un mundo en el que algo divino existe).

Por lo tanto es posible que sea necesario que algo divino exista. Esto implica que necesariamente existe algo divino. Es decir existe una realidad donde se deduce que en todas las realidades existe algo divino, por lo que sí existe en una realidad, existe en todas las realidades. Por lo tanto lo divino existe en todas las realidades)  QED. 

Cómo ven esta demostración no tiene error en la lógica, es decir es deductiva, y representa un conocimiento a priori sobre la existencia de dios

¿Pero entonces por qué SOY ateo?

Los axiomas son demasiado fuertes para mí como para poder ser aceptados por mi mente.

recuerden que los axiomas no se demuestran, sino representan las reglas con las que vamos a poder razonar dentro de un sistema. El axioma 5 por ejemplo es muy duro para mí. El decir que lo indispensable es bueno... creo que es algo muy filosófico. El axioma 1 no me gusta tampoco, es decir, algo bueno en todas las realidades está compuesto de implicaciones a él mismo que son buenas. El axioma 4 también implica que lo que es positivo, siempre es positivo en todos los contextos. Hay realmente que ser muy claro en qué es ser positivo para que esto sea menos filosófico.

Si los axiomas te gustan, existe algo divino.  Pero olviden a sus dioses con nombre e identidad, esos no son de los que Gödel hablaba. El sólo hablaba de un ser máximo en perfección repleto de todas las propiedades buenas o positivas. 

Esto lo intenté explicar ayudado de mi libro de lógica A new introduction to Modal Logic y de lo que recordé de mi curso y notas de Lógica II de hace algunos años. Aquí lo que usé para lógica modal realmente debería de estudiarse si les interesa como Lógica Modal S5 que es la que Gödel utilizó.

¿Tú qué opinas? , ¿dios existe?

                                  Kurt Friedrich Gödel, Abril 28 de 1906 - Enero 14 de 1978 

Eduardo Ruíz Duarte (PGP:FEE7 F2A0)

Twitter: @toorandom