Sobre Campo de funciones de superficie de Kummer de una curva de género 2

Estoy estudiando un campo de funciones especial para mi investigación que es un subcampo del campo de funciones de la superficie de Kummer de la jacobiana de una curva hiperelíptica $latex C$  de género 2 sobre un campo finito $latex \mathbb{F}_q$.

Esto lo escribo meramente para poder saber si yo lo entiendo, pero cualquier duda escríbanme en los comentarios, ya que el tema es muy interesante.

Para poder construir este subcampo primero necesito conocer bien el campo de funciones de la superficie de Kummer asociada a la Jacobiana que realmente es sólamente considerar los puntos de la jacobiana módulo la involución en sus elementos, es decir estamos pegando los puntos opuestos en la Jacobiana, lo que ya no nos permitirá diferenciar $latex P$ de $latex -P$ con $latex P\in \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)}$.

La superficie de Kummer es cuártica en el espacio proyectivo de dimensión 3 $latex \mathbb{P}^3$ que tiene exactamente 16 singularidades nodales (es decir que si ese punto en una superficie en $latex \mathbb{P}^3$ es tal que si lo tomas como el origen de un sistema de coordenadas afín, la ecuación de esa superficie tiene la forma $latex 0=\alpha(x,y,z)+$ términos más grandes en grado con $latex \alpha$ una fórma cuadrática homogénea no degenerada.

Vamos a construir la superficie de Kummer $latex K(C)$ asociada a $latex P\in\mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)}$.

Sea $latex C$ la curva hiperelíptica de género 2 con modelo no singular sobre $latex \mathbb{F}_q$ de característica diferente de 2 dada por

$latex y^2=f(x)=x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$  donde $latex a_i \in \mathbb{F}_q$

donde $latex f$ no tiene raíces múltiples, entonces $latex C$ tiene un sólo punto al $latex \infty$ denotado por $latex P_\infty$ tal que si $latex \iota \in Aut_{\mathbb{F}_q}(C)$ es la involución hiperelíptica dada por el mapeo $latex (x,y)\mapsto (x,-y)$ y $latex \iota(P_\infty)=P_\infty$.

La clase de divisores canónicos $latex [\omega]\in Pic^0(C)\cong \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)}$.  en $latex C$ está dada por líneas verticales cortando la curva por lo que $latex 2P_\infty$ junto con estos 5 puntos $latex 2W_i$ donde $latex W_i$ es uno de los 5 puntos de Weierstrass son divisores canónicos.

Tenemos ahora que como grupo abeliano $latex \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)}:= Div^0(C)/Pr(C)$, es decir los divisores de orden 0 (grupo abeliano libre de las sumas formales de puntos  cuyos elementos cumplen que la suma de sus coeficientes sobre $latex \mathbb{Z}$ da 0) modulo los divisores principales que están formados por los divisores de orden cero nacidos de la intersección de funciones de la curva cuyos puntos tienen coeficiente el órden de intersección de ésta con la función.)

$latex \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)}$ se obtiene via $latex Sym^2(C)$, es decir es la variedad de pares de puntos no ordenados de $latex C$ (es decir, el producto cartesiano de $latex C$ con sigo misma olvidando el orden), es fácil demostrar que $latex \Phi:Sym^2(C)\rightarrow \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)}$ con $latex \lbrace P,Q\rbrace\mapsto [P+Q-2\infty]$ donde $latex P,Q\in C$  donde la fibra sobre $latex 0\in \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)}$ es $latex \Phi^{-1}(0)=\lbrace \lbrace P,Q \rbrace \in Sym^2(C) \mid P+Q\in [\omega]\rbrace$ y la fibra sobre otro punto es solo otro punto.


Ahora vamos a identificar el campo de funciones de $latex Sym^2(C)$ denotado por $latex \mathbb{F}_q(Sym^2(C))$ que es también el campo de funciones de $latex \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)}$ .

Comenzamos, considera el producto cartesiano de la curva con si misma $latex C\times C$ y entonces metiendo ot

Esto lo hice más para mi, pero pretendo complementar la construcción de esto mediante divisores de Mumford.
ra nueva variable $latex z$ donde $latex z^2=f(z)$ es la misma curva $latex C$ tenemos que :

$latex \mathbb{F}_q(C\times C)=\mathbb{F}_q(x,z,\sqrt{f(x)}, \sqrt{f(z)})$

Por otro lado el campo de funciones de $latex Sym^2(C)$  son las funciones que son invariantes bajo permutacion de variables $latex (x,\sqrt{f(x)}) \leftrightarrow (z,\sqrt{f(z))$ es decir

$latex \mathbb{F}_q(Sym^2(C))$ es el campo fijo de $latex \mathbb{F}_q(C\times C)$ bajo la acción del automorfismo $latex \tau\in Aut(C)$ dado por intercambiar $latex x$ por $latex z$ es decir $latex \tau(x)=z$ y $latex \tau(z)=x$ por lo que tenemos que
$latex \mathbb{F}_q(Sym^2(C))=\mathbb{F}_q(x+z,xz,z\sqrt{f(x)}, x\sqrt{f(z)})$


Puedes demostrar que $latex [\mathbb{F}_q(C\times C):\mathbb{F}_q(Sym^2(C))]=2$

Ahora, el punto base $latex P_\infty$ implica que la involución de divisores $latex \hat \iota(D)=-D\in \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)} $ está inducida por la involución hiperelíptica $latex \iota$, de tal manera que el automorfismo inducido de $latex \mathbb{F}_q(Sym^2(C))$ está dado por el cambio de signo de los radicales, por lo que el automorfismo cambia el signo de $latex x\sqrt{f(z)}+z\sqrt{f(x)}$ y deja a los otros generadores fijos, por lo que el campo fijo es finalmente es el campo de funciones de la superficie de Kummer que queríamos construir partiendo de la construcción de la jacobiana módulo involución:
$latex \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)}/(\hat\iota)=\mathcal{K}(\mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)})=\mathbb{F}_q(x+z,xz,z\sqrt{f(x)}\cdot x\sqrt{f(z)})$

Y este es el campo de funciones de la superficie de Kummer asociada a la Jacobiana de una curva hiperelíptica de Género 2.

Puedes probar Más explícitamente con esto:

Corolario:
Sea $latex f(x)=\prod_{i=1}^5{(x-\alpha_i)}$
entonces $latex f(x)f(u)=\prod_{i=1}^5{(x-\alpha_i)(z-\alpha_i)}=\prod_{i=1}^5{(xz-(x+z)\alpha_i+\{\alpha_i}^2)}=\Delta(x,z)$

Entonces tenemos que la superficie de Kummer de la jacobiana de una curva hiperelíptica de género 2 dada por $latex y^2=f(x)$ tiene como campo de funciones:

$latex \mathbb{F}_q(x,z,t)$ tal que $latex t^2=\Delta(x,z)$

Esto lo hice más para mi, pero pretendo complementar la construcción de esto mediante divisores de Mumford.

Eduardo Ruíz Duarte
twitter @toorandom

Cohomología de grupos

Queremos estudiar el la jacobiana $latex \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q}(\mathcal{C})$ de una curva $latex \mathcal{C}$ hiperelíptica de género 2 con puntos $latex [f(t),g(t)] \in \mathcal{C}(\mathbb{F}_{q}(t))$, es decir en el campo de funciones racionales en una variable con coeficientes en $latex \mathbb{F}_q$, esto es para darle más estructura a la curva ya que en cierta extensión de $latex \mathbb{F}_q$ tendremos que será isomorfa a $latex \mathcal{C}(\mathbb{F}_q)$ porque ambas tendrán el mismo $latex j-$invariante, a esta nueva curva en la extensión del campo se le llama el twist de $latex \mathcal{C}$, más adelante veremos como usar el $latex \j-$invariante para clasificar curvas, pero primero necesitamos las herramientas necesarias, todo esto con el fin de poder demostrar el teorema de Hasse-Weil de una forma distinta el cual tiene aplicaciones importantes en criptografía con curvas algebraicas.

Sea $latex G$ un grupo finito y sea $latex M$ un grupo abeliano en el cual $latex G$ actúa, denotamos a la acción de $latex \sigma \in G$ en $latex m\in M$ por $latex m \rightarrow m^\sigma$.

Sean $latex m,n\in M$, entonces decimos que $latex M$ es un $latex G-$módulo derecho si la acción de $latex G$ en $latex M$ satisface:

$latex m^e = m$              $latex (m+n)^\sigma = m^\sigma + n^\sigma$            $latex (m^\sigma)^\tau = m^{\sigma\tau}$

Si $latex M,G$ son $latex G-$módulos, un $latex G-$homomorfismo es un homomorfismo de grupos abelianos $latex \phi:M\rightarrow N$ que conmuta con la acción de $latex G$, en símbolos:

$latex \phi(m^\sigma)=\phi(m)^\sigma$    $latex \forall m\in M$ y $latex \sigma \in G$

Definimos el 0-ésimo grupo de cohomología del $latex G-$módulo $latex M$ 

$latex H^0(G,M)=\lbrace m\in M : m^\sigma = m$    $latex \forall \sigma \in G \rbrace$

Es decir, es el submódulo de $latex M$ que tiene todos los elementos que son invariantes bajo los elementos de $latex G$, recuerden que este $latex G$ puede ser un grupo de automorfismos por ejemplo.

Recordemos que un complejo de co-cadenas es una sucesión de grupos abelianos o de módulos $latex (M_\bullet,d_\bullet)$ que están conectados por homomorfismos $latex d_{i}:M^i \rightarrow M^{i+1}$ llamados operadores de cofrontera, ya que pedimos que $latex d^{n+1}\circ d^n = 0$   $latex \forall n$ , esto es dual con los complejos de cadena, solo que en homología los operadores de frontera decrementan la dimensión mientras que en co cadenas la aumentan. 

$latex ... \rightarrow M^{-2} \xrightarrow{d_{-2}} M^{-1} \xrightarrow{d_{-1}} M^0 \xrightarrow{d_0} M^1 \xrightarrow{d_1}  ... \rightarrow M^{n-1} \xrightarrow{d_{n-1}}M^n\rightarrow ...$

Una propiedad básica de esto es que si tenemos una sucesión exacta de $latex G-$módulos, otra sucesión exacta.

Es decir

$latex 0\rightarrow P \xrightarrow{\phi} M \xrightarrow{\psi} N \rightarrow 0$

Tenemos que también es exacta

$latex 0\rightarrow H^0(G,P)\rightarrow H^0(G,M)\rightarrow H^0(G,N)$

Pero el mapeo último no será suprayectivo, para medir que "tan no suprayectivo" es, vamos a definir la parte de cohomología de grupos.

Definición: Sea $latex M$ un $latex G-$módulo, el grupo de n-cocadenas de $latex G$ a $latex M$ es:

$latex C^n(G,M)=\lbrace \omega:G^n\rightarrow M \rbrace$

Es decir, son todos los mapeos de $latex G^n$ a $latex M$

Definición: Decimos que el i-ésimo diferencial 

$latex d^{i}_{M}:C^i(G,M)\rightarrow C^{i+1}(G,M)$

Es el mapeo.

$latex d^i(f)(g_0,g_1,...,g_i)=$

$latex g_0 f(g_1,...,g_i)+\displaystyle \sum_{j=1}^i {(-1)^j f(g_0,...,g_{j-1}g_j,g_{j+1},...,g_i) } + (-1)^{i+1}f(g_0,...,g_{i-1})$

Esta función está pensada para que funcione como un operador de co-frontera, y que anule su diferencial en una dimensión más baja, asó como en homología, y podamos construir sucesiones exactas, es decir.

$latex d^{i+1} \circ d^i = 0$

Definición: El grupo n-cociclos de $latex G$ a $latex M$ (con coeficientes en $latex M$) es:

$latex Z^n(G,M)=ker(d^n)$

Definición: El grupo de n-cofronteras

$latex B^n(G,M)=im(d^{n-1})$ para $latex n\geq 1$

y para $latex n=0$ 

$latex B^0(G,M)=0$

Bueno... hasta ahora qué tanto tenemos?

Recordemos que   $latex d^{i+1} \circ d^i = 0$  por lo que es fácil notar que $latex C^{\bullet}(G,M)=(C^i(G,M),d^i)$ es un complejo de co-cadenas y entonces como $latex B^i(G,M)\leq Z^i(G,M)$ podemos definir el n-ésimo grupo de cohomología

$latex H^n(G,M)=Z^n(G,M)/B^n(G,M)$

Este grupo medirá qué tan alejado está un complejo de cadenas de ser exacto.

Una cosa importante en cohomología es que convierte una sucesión exacta corta de $latex G-$módulos en una sucesión exacta larga de grupos abelianos.

A nosotros nos interesa mucho $latex H^0(G,M)$ el cuál ya definimos y $latex H^1(G,M)$

Por lo que podemos ver que:

$latex H^0(G,M)=M^G$ es decir son los $latex G-$invariantes

ya que: 

Si $latex m\in M$ entonces $latex d^0(m)(g)=gm-m$ por lo que $latex ker(d_0)=M^G$

También tenemos que

$latex Z^1(G,M)=\lbrace f:G\rightarrow M \mid f(gh)=gf(h)+f(g) \rbrace$

Esto es fácil de ver también directamente de la definición... otra cosa que hay que observar es que si la acción de $latex G$ es trivial entonces

$latex H^0(G,M)=M$ y $latex H^1(G,M)=Mor(G,M)$ 

lo cual también es evidente.

Espero les haya servido.

Eduardo Ruiz Duarte (beck)

twitter: @toorandom