Dominios de factorización única, enteros Gaussianos y números de Heegner

Recientemente alguien me preguntó algo sobre factorización en anillos y unidades de los anillos, y decidí hacer un post sobre esto, esto es un post básico podría decirse de álgebra conmutativa.

Este post pretende que se comprenda el concepto de factorización en general en cualquier anillo numérico (extensión algebraica de $latex \mathbb{Z}$) a través de ejemplos y explorar, comprender y demostrar propiedades de la factorización de los enteros extendidos con una constante imaginaria (enteros gaussianos).

Todos conocemos el anillo $latex \mathbb{Z}$ que consiste en todos los enteros, y sabemos que los enteros son un subanillo de los números racionales $latex \mathbb{Q}$.

¿Qué es ser entero?, es decir, conocemos el caso particular mencionado anteriormente pero como vimos un  post pasado, hay otros campos que podemos extender.

Lo que queremos investigar es el fenómeno de "factorización única", es decir, en $latex \mathbb{Z}$ no es es muy natural decir que todo entero se puede factorizar en primos de manera única salvo permutación. Pero vamos a ver cómo el concepto de elemento primo es aún más general.

Definición: Un anillo $latex R$ conmutativo le llamamos dominio entero  si cuando ab=0 para $latex a,b\in R$ tenemos que $latex a=0$ o $latex b=0$.
También decimos que un elemento $latex u\in R$ es una unidad si tiene un inverso bajo la multiplicación del anillo $latex R$ , es decir, si existe un $latex u^{-1}$ tal que $latex uu^{-1}=1$. Siempre que todo elemento no cero de $latex R$ sea unidad, diremos que $latex R$ es un campo.

Aquí tenemos que el ejemplo usual $latex \mathbb{Z}$ es un dominio y sus únicos elementos invertibles son el $latex 1,-1$

Otra definición importante es la de irreducibilidad.

Definición: Sea $latex R$ un dominio y $latex a,b\in R$ , $latex a\mid b$ si existe un $latex c$ tal que $latex b=ac$ , es decir $latex a$ divide a $latex b$.  Un elemento no cero $latex p\in R$ es irreducible si no es unidad y si siempre que $latex a\mid p$ tenemos que $latex a$ es una unidad o $latex a=up$ para alguna unidad $latex u$.

Noten que si una unidad la podemos factorizar entonces todo factor debe ser también una unidad, por ejemplo si $latex u=ab$ entonces $latex abu^{-1}=1$ entonces $latex bu^{-1}$ debe ser un inverso de $latex a$ .

Con esto ya tenemos lo necesario para poder definir lo que es factorización única.

Definición: Un dominio $latex R$ tiene factorización única si todo elemento no cero $latex a\in R$ puede ser escrito de manera única como

$latex a=u\prod p_i^{d_i}$

Donde $latex u$ es una unidad y los $latex p_i$ son urreducibles. Nota que uso la palabra irreducible en vez de "primo", en general no son lo mismo, sólo significan lo mismo en los enteros, ya que todo irreducible es primo, pero veremos ejemplos donde no lo es.

Si un anillo cumple la definición única le diremos DFU (Dominio de factorización única)

Ejemplos:

* Los enteros $latex \mathbb{Z}$ son un dominio que no es un campo y sus únicas unidades son el 1 y -1, un entero es irreducible sí y sólo si es un número primo o un número primo negativo. Una consecuencia del teorema fundamental de la aritmética es justamente que $latex \mathbb{Z}$ es un DFU.

* Los campos $latex \mathbb{Q}$ y $latex \mathbb{R}$ son campos, y éstos no tienen irreducibles, por lo tanto son trivialmente un DFU.

*Una familia infinita de dominios la podemos construir si tomamos un entero $latex n\in \mathbb{Z}$ que no sea cuadrado

$latex \mathbb{Z}[\sqrt{n}]=\lbrace a+b\sqrt{n}:a,b\in\mathbb{Z} \rbrace$.

Vamos a profundizar en uno en especial en la siguiente sección cuando $latex n=-1$.

Enteros Gaussianos

Si $latex n=-1$ tenemos la colección de números complejos $latex a+bi$ con $latex a,b\in \mathbb{Z}$, imagínen los puntos de plano complejo o de $latex \mathbb{R}^2$ que tienen coordenadas enteras, es decir una retícula que asemeja cuadrados.

Estos enteros son muy importantes, son $latex \mathbb{Z}[i]$

Estos enteros son como $latex \mathbb{Z}$ pero con algunas cosas raras adicionales, ya que hay más unidades aparte del 1 y -1, también tenemos a $latex i$ y $latex -i$ ya que $latex i\cdot (-i)=1$ .

También tenemos que $latex 2$ es irreducible como un entero en $latex \mathbb{Z}$ pero no como un entero gaussiano en $latex \mathbb{Z}[i]$ ya que $latex 2=(1+i)(1-i)$.

De hecho si un número primo $latex p=a^2 + b^2$ es decir es suma de enteros cuadrados, entonces p no es irreducible como un entero Gaussiano, ya que siempre va a poder factorizarse como $latex p=(a+bi)(a-bi)$. (**)

Vamos a definir lo que es la norma en un anillo en general, pero por ahora, sólo la definiremos para estos enteros que es $latex N(a+bi)=|a+bi|^{2}=a^2 + b^2$, es decir $latex N:\mathbb{Z}[i]\to \mathbb{Z}^{+}$.

La propiedad importante de la norma es que $latex N(wz)=N(w)N(z)$ lo que implica que si $latex u$ es una unidad entonces
$latex 1=N(1)=N(uu^{-1})=N(u)N(u^{-1})$ y como $latex N(u)$ debe ser un entero no negativo por como está definida la norma entonces debe ser 1 forzosamente, por lo que toda unidad tiene norma 1.

 Ahora vamos a examinar la propiedad (**), si $latex p$ es un primo y supongamos que podemos factorizarlo de manera no trivial como $latex p=wz$ en $latex \mathbb{Z}[i]$ , entonces usando la norma sabemos que $latex N(p)=p^2$ por la definición de norma, pero también sabemos que p=wz por lo que $latex N(p)=N(w)N(z)$ por lo que $latex p^2=N(w)N(z)$, como la factorización es no trivial, tenemos que $latex N(w)$ y $latex N(z)$ no son 1 por lo que $latex w,z$ no son unidades, y esto implica que $latex N(w)=N(z)=p$  por lo que si $latex w=\alpha+\beta i$ entonces $latex N(w)=\alpha^2 + \beta^2 = p$ por lo que $latex p$ es suma de dos cuadrados.

Bueno con lo anterior, vemos el poder de la norma, de hecho nos permite diferenciar irreducibles en $latex \mathbb{Z}[i]$ ya que para todo factor $latex p$ de un entero $latex n$ si $latex p$ no es suma de dos cuadrados entonces es irreducible, y si $latex p=a^2  + b^2$ entonces podemos sustituir en la factorización de $latex n$ a las $latex p$ por $latex (a+bi)(a-bi)$ y cada uno de estos factores es irreducible.

Un dato interesante de los enteros gaussianos es que también es un DFU y de hecho con la norma podemos darnos cuenta de toda la factorización en $latex \mathbb{Z}[i]$ ya que todos los irreducibles son los primos $latex p$ que no son suma de dos cuadrados así como todos los $latex a\pm bi$ tal que $latex a^2+b^2$ es un número primo. Para mostrar lo último considera $latex z=a+bi \in \mathbb{Z}[i]$ entonces $latex N(z)=a^2+b^2=z\bar{z}$ (su conjugado) . Como $latex N(z)$ es un entero normal positivo, y sabemos que en $latex \mathbb{Z}$ hay factorización única por lo que todo factor irreducible de $latex z$ debe ser factor de $latex N(z)$  por lo que si $latex N(z)=a^2+b^2$ es primo es irreducible.


¿Quiénes no son DFU?

¿Y qué?, ¿Cuándo no es DFU?,

Para mostrar eso formalmente debería introducir un grupo especial, que se llama grupo de clases de ideales asociado a un anillo, pero eso terminaría con la naturaleza elemental de este post, pero pronto lo haré en una siguiente sección, éste consiste en el cociente del grupo de ideales fraccionarios del campo de fracciones del anillo $latex R$ módulo los ideales principales de $latex R$, este grupo está íntimamente asociado al grupo de Picard de orden 0 de una curva algebraica que se estudia mucho en criptografía pero se ve de manera más "fácil" esto es la generalización pero eso es otro tema.

Hay un problema en matemáticas que estudian los grupos de clases de ideales para saber cuándo hay o no factorización única, de hecho eso lo mide el grupo de clases de ideales en sus elementos ( el area de matemáticas es class field theory), por ejemplo algo raro es que $latex \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ NO es DFU, pero si consideramos los anillos con raiz cuadrada de $latex n$ que son $latex \mathbb{Z}[\sqrt{-n}]$ para $latex n\in \lbrace 1,2,3,7,11,19,43,67,163 \rbrace$ estos son los ÚNICOS enteros cuya raíz cuadrada imaginaria nos forman un dominio de factorización única, es decir para -5 o -13 no tenemos la propiedad de DFU, y de hecho lo que sucede es que el Class Group asociado al anillo es trivial (tiene un sólo elemento) sí y sólo si el anillo es un DFU.

Esto fue conjeturado por Gauss, probado con errores por Heegner y formalizado por Baker y Stark, de hecho estos 9 números raritos se llaman Números de Heegner.

Esto es impresionante ¿no? , es decir, qué tienen de raro esos 9 números que nos forman anillos con factorización única que otros números primos no puedan hacer... ¿qué hay en la geometría de estas retículas?

Espero les haya gustado

Eduardo Ruíz Duarte (beck)
twitter: @toorandom

Función zeta de Riemann y probabilidad de que dos enteros sean primos relativos

Este post está motivado en que ya estoy de vacaciones y quería hacer algo divertido y también para alguien muy especial que tiene la propiedad de ser aniparkiomorfiginaica que le gusta mucho la probabilidad y estadística, ella sabrá quién es.

Otra motivación es que como siempre tengo problemas para dormir posiblemente por las grandes cantidades de café que introduzco a mi cuerpo, pero empecemos.

Deduciremos una probabilidad que involucra a $latex \pi$ e involucra a números primos que está íntimamente relacionado con el problema del milenio sin solución gracias a Riemann (Conjetura de Riemann sobre la función $latex \zeta$ que puedes ver aquí)

La pregunta es realmente, ¿cuál es la probabilidad de que dos enteros positivos menores que cierto $latex N$ sean primos relativos (no tengan factores en común más que 1)?

Por ejemplo, $latex (6,33)$ no son primos relativos  porque $latex 6=3\cdot 2$ y $latex 33=11\cdot 3$ (comparten al $latex 3$)

pero por ejemplo $latex (14,15)$ son primos relativos porque no comparten factores no triviales y $latex (c,p)$ donde $latex c$ es cualquier entero y $latex p$ es un número primo.

Esta demostración me gusta mucho, aquí la tienen, vamos a calcular esta probabilidad de obtener dos números primos relativos al azar

Construcción:

Sean $latex x,y\in \mathbb{N}$ con $latex x,y>1$, como queremos que $latex x,y$ sean coprimos no deben tener ningún factor en común.

Empecemos facilito.

¿Cuál es la probabilidad de dos enteros positivos tengan al 2 como factor?

Bueno, la probabilidad de que un sólo número tenga al $latex 2$ como factor es $latex 1/2$ ya que basta que sea par, y esto sucede el 50% de las veces, esto implica que la probabilidad de que los dos tengan al $latex 2$ como factor es $latex (1/2)^2$

Entonces la probabilidad de que $latex \alpha,\beta$ NO tengan al 2 como factor es $latex 1-\Big({\frac{1}{2}}\Big)^2}$

Ahora para el 3, la probabilidad de manera similar de que no contengan en común al 3 es de $latex 1-\Big({\frac{1}{3}}\Big)^2}$

Ya que igualmente, "cada 3 números tienes un múltiplo de 3" , y así en general para todo primo $latex p$ tenemos.

Para cada $latex p$ tenemos que cada $latex p$ números pasarás por un múltiplo de $latex p$ a eso nos referimos con la probabilidad de que nos toque a $latex p$ como factor es $latex \frac{1}{p}$
Por lo tanto la probabilidad $latex P_{\alpha,\beta}$ de que dos enteros al azar $latex \alpha,\beta \in \mathbb{N}$ menores que cierto $latex N$  sean primos relativos es:

$latex P_{\alpha,\beta}=\displaystyle \prod_{p\in \mathbb{P}}{1-\frac{1}{p^2}}} =(1-\frac{1}{2^2})\cdot (1-\frac{1}{3^2})\cdot (1-\frac{1}{5^2})\cdot ...\cdot(1-\frac{1}{{p_n}^2})\cdot ...$  ***

Donde $latex p_n\in\mathbb{P}$, la probabilidad se obtiene cuando multiplicas para todo número primo es decir cuando $latex n\rightarrow \infty$.

Donde $latex \mathbb{P}$ son todos los números primos, los multiplicamos todos ya que son sucesos probabilisticamente independientes.

Es decir, recuerda que la probabilidad de que sucedan dos eventos independientes $latex A$ y $latex B$ al mismo tiempo es en símbolos $latex P(A \wedge B)=P(A)\cdot P(B)$, con independientes me refiero a que el evento $latex A$ no tenga cierta relación con el evento $latex B$, y ¿por qué tener factores primos para cada primo son eventos independientes ? , fácil... porque los números SON primos, ya que si no lo fueran, digamos la probabilidad de tener a $latex 6$ como factor es dependiente de tener a $latex 2$ y $latex 3$ como factor, pero como aquí son números primos, todos son disjuntos con respecto a la medida de probabilidad que mide tener factores primos y por definición los primos son únicos en este sentido.

Pero esto ¿qué? , esta fórmula es medio rara... y no nos dice nada...


Vamos a desarrollar eso para llegar a un resultado sorprendente, primero hay que recordar esta serie de cálculo que tiene que ver con sumas en progresiones geométricas , toma $latex a\in \mathbb{R}$ con $latex \mid a \mid$  <  $latex 1$  

$latex \sum_{n=0}^{\infty} a^n = 1+a+a^2+... = \frac{1}{1-a}$   **

Por ejemplo si $latex a=1/7$

$latex \sum_{n=0}^{\infty}\Big (\frac{1}{7}\Big)^n=1+\frac{1}{7}+\frac{1}{7^2}+...=\frac{1}{1-\frac{1}{7}}=\frac{7}{6}\approx 1.1666$

De la fórmula  **   mete $latex a=(1/2)^2$,  y después voltea la fracción, es decir pon el denominador arriba y el numerador abajo, (esto podemos hacer  porque ningún denominador es 0)

Entonces tenemos que el primer término de *** a lo podemos expandir con la fórmula ** (volteada) como:

$latex 1-\frac{1}{2^2}} = \frac{1}{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+...\frac{1}{2^{2k}}+...}$

Similarmente podemos desarrollar todos los términos de $latex P_{\alpha,\beta}$

$latex P_{\alpha,\beta}=(\frac{1}{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+...\frac{1}{2^{2k}}+...})\cdot(\frac{1}{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^4}+...\frac{1}{3^{2k}}+...})\cdot ...$

Observa cuidadosamente la ecuación anterior y fíjate que en los denominadores de los denominadores, están todos los posibles cuadrados perfectos de todos los números naturales, en todas sus combinaciones y sabores cuando $latex k\rightarrow \infty$ tenemos TODOS los cuadrados perfectos, por lo que esa suma horrible es lo mismo que la siguiente representacion


$latex P_{\alpha,\beta}=\frac{1}{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^2}}=\frac{1}{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}+...}$, es bien sabido que esta serie en el denominador $latex \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$

Es sabido el resultado de esta serie si juegas con la expansión en series de $latex \frac{sen(x)}{x}$
o como el problema de Basilea


Por lo tanto, sabiendo esto, llegamos a este hermoso resultado en teoría analítica de números.

Teorema:
Sean $latex \alpha,\beta \in \mathbb{N}$ donde $latex \alpha,\beta$  < $latex N$, entonces la probabilidad de que $latex \alpha$ y $latex \beta$ NO tengan factores en común (sean primos relativos) es:   $latex P_{\alpha,\beta}=\frac{6}{\pi^2}\approx 0.6079...$


De hecho, es equivalente esto a la función $latex \zeta$ de Riemann evaluada en $latex 2$ , y la fómula  *** que encontramos es justamente la representación con números primos de la función zeta de Riemann por Euler, pueden verlo aquí así como como la función zeta de Riemann en 2 $latex \zeta(2)$, esta función es de las más importantes en matemáticas ya que se ha buscado generalizar a muchos espacios, teoría de curvas, et cétera donde ya tiene solución, pero no en los complejos, la cual llevaría a conocer mejor la distribución de los números primos, si la resuelves te darán 1 millón de dólares, esta función es $latex \zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$ y necesitas demostrar que $latex \zeta(s) =0$ siempre que $latex s=\frac{1}{2}+it$ con $latex t\in \mathbb{R}$ , eso traerá consecuencias muy imporantes en teoría de números y distribución de primos, criptografía, et cétera, esto es sólo una probadita

También con WolframAlpha pueden ver el valor de la función zeta de Riemann en 2 y en el valor que quieran: aquí
Espero les haya gustado

Eduardo Ruíz Duarte
twitter @toorandom