Cohomología de Monsky-Washnitzer y punto fijo de Lefschetz (parte 1 Cohomología Grothendieck-deRham Algebraico)

Este es el último post de este año, mañana me voy de vacaciones a Israel pero vine a la oficina en 28 de diciembre para no sentirme culpable de estar en el mar muerto flotando y no continuando mis algoritmos y proyectos pendientes para mi trabajo de investigación en mi actual casa académica que es el Instituto Johann Bernoulli en los Países Bajos.

Parte de lo que estoy investigando tiene que ver con contar soluciones $latex \mathbb{F}_q$-racionales de jacobianas de curvas hiperelípticas de género 2, como ya lo he mencionado en posts anteriores, esto es importante, por razones prácticas y por razones puramente matemáticas.

En cuanto a las razones prácticas tenemos que estas jacobianas de curvas hiperelípticas están consideradas para suplir en un futuro a las curvas elípticas en criptografía, por lo que necesitamos ver maneras de extraer la cardinalidad de su conjunto de soluciónes con el fin de poder ver si el grupo abeliano asociado a la curva es seguro en términos criptográficos. Esta cardinalidad nos dará la traza del endomorfismo de Frobenius, y por lo tanto, podemos obtener también la cardinalidad de la curva hiperelíptica.

Las razones matemáticas son la riqueza matemática que conlleva poder conocer esto, ahora vamos a definir una teoría de cohomología útil para teoría de números que nos permite contar puntos, y que nace de la Cohomología de DeRham algebraica propuesta por Alexander Grothendieck así como del trabajo de Dwork quien probó que la función Zeta de una variedad algebraica sobre un campo finito es simplemente un cociente de polinomios.

Lo que queremos es que con esta teoría de Cohomología dada por Monsky-Washnitzer poder encontrar explícitamente la función zeta de una variedad $latex X$ sobre un campo finito $latex \mathbb{F}_q$ con $latex q=p^n$, esta cohomología es la misma que la de deRham algebraica pero aplicada a un anillo especial.

$latex \zeta_{\mathbb{F}_q}(t)=\exp{\sum_{s\geq 1} \frac{|X(\mathbb{F}_{q^s})|}{s}q^{-st}}$

Donde $latex |X(\mathbb{F}_{q^s})|$ denota el número de puntos racionales de $latex X$ en la extensión de grado $latex s$ de $latex \mathbb{F}_q$.

Queremos contar puntos, y un ingrediente crucial es el teorema del punto fijo de Lefschetz, que es la generalización del teorema del punto fijo de Brouwer el cual expuse aquí en mi blog, este teorema en nuestro contexto nos dice básicamente que si $latex X$ es una variedad sobre un campo finito $latex \mathbb{F}_q$ y si $latex \bar{X}$ es el levantamiento (lifting) de $latex X$ a $latex \bar{\mathbb{F}_q}$ , sabemos que el endomorfismo de frobenius $latex \Phi_q$ va a mapear puntos con coordenadas $latex x_1,...,x_n$ a el punto con coordenadas $latex x_1^q, ..., x_n^q$, entonces los puntos fijos que $latex \Phi_q:\bar{X}\rightarrow\bar{X}$ son exactamente los puntos $latex X$ (porque Frobenius se comporta como la identidad en los puntos $latex \mathbb{F}_q$-racionales) entonces el teorema del punto fijo de Lefschetz implica que en el caso de que $latex X$ sea suave y bien portada como variedad:

$latex |X(\mathbb{F}_q)|=q^{\text{Dim }X} \sum_i (-1)^i Tr(\Phi_q)^{-1}|H^{i}(\bar{X},\mathbb{Q}_l)$

La cohomología que usaremos será la cohomología de deRham algebraica aplicada a un anillo especial que es un lifting (levantamiento) del anillo de coordenadas, hoy definiremos la cohomología de deRham y los problemas que nos va a causar no trabajar en el Lifting.

Hoy nos enfocaremos a construir esta cohomología definida en GAGA por Alexander Grothendieck, para cualquier anillo de tipo finito, que será la base de la cohomología de Monsky-Washnitzer aplicada a un anillo en específico.

Primero que todo, $latex \mathbb{K}$ es un campo perfecto y $latex A$ una $latex \mathbb{K}$-álgebra finitamente generada, que en el caso práctico puede ser un anillo de coordenadas de una variedad $latex X$ cuyas coordenadas a veces denotaremos como $latex \bar {x_i}$ para $latex i\leq n$ por lo que $latex A=\mathbb{K}[\bar{x_1},...,\bar{x_n}]=\mathbb{K}[x_1,...,x_n]/\langle f_1,...,f_r \rangle=\mathbb{K}[X]$ donde $latex X$ está definido por $latex \lbrace f_i \rbrace_{i=1}^{r}\subset \mathbb{K}[x_1,...,x_n]$ irreducibles sobre $latex \mathbb{K}$.

Cohomología de DeRham algebraica con diferenciales de Kähler

Ahorita queremos transportar el cálculo diferencial y análisis a álgebra, por lo que definiremos en abstracto lo que es una derivada y los diferenciales de un anillo de cierto modo generalizados, simplemente pidiendo simbólicamente la regla de Leibniz en este caso sobre el anillo de funciones de una variedad, donde la función de derivación sobre el álgebra finitamente generada será naturalmente heredada con la derivación parcial en cada variable de los polinomios.

Definición: $latex \Omega_{A/\mathbb{K}}$  es el $latex A$-módulo de diferenciales de Kähler, es decir, vamos a tomar $latex \forall a\in A$ los símbolos $latex\space da$ y las siguientes relaciones.

* $latex \space dk=0$ para $latex k\in\mathbb{K}$

* $latex d(a+b)=da+db$ 

* $latex d(ab)=a\cdot db+b\cdot da$ donde $latex a,b\in A$

Por ejemplo, si tenemos que $latex A$ es el anillo de coordenadas de $latex X$ una curva dada por la intersección de irreducibles, es decir, $latex f_1,..,f_r \in \mathbb{K}[x_1,...,x_n]$ entonces:

$latex A=\mathbb{K}[x_1,...,x_n]/\langle f_1,...,f_r\rangle$

Entonces tenemos que explícitamente:

$latex \Omega_{A/\mathbb{K}}=\bigoplus _{i=1}^{n} Adx_i /\langle f_1,...,f_r \rangle$

donde $latex df:=\sum_{j=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_j} dx_j$ (Derivada total)

Es decir, como $latex A=\mathbb{K}[\bar{x_1},...,\bar{x_n}]$, tenemos que $latex \Omega_{A/\mathbb{K}}$ es un módulo libre en los generadores $latex d\bar{x_1},...,d\bar{x_n}$ y nota que el álgebra $latex A=\mathbb{K}[\bar {x_1},...,\bar{x_n}]$ está generada como una $latex \mathbb{K}$-álgebra por $latex \bar{x_1},...,\bar{x_n}$ por lo que $latex \Omega_{A/\mathbb{K}}$ esta generado como $latex \mathbb{K}[\bar{x_1},...,\bar{x_n}]$-módulo por $latex d\bar{x_1}, .., d\bar{x_n}$.

Existen muchas derivadas, pero la más natural $latex d:A\rightarrow \Omega_{A/\mathbb{K}}$ es la que manda $latex a\mapsto da$.

Como dije anteriormente, hay muchas derivadas, pero eso no perjudica la unicidad de $latex \Omega_{A/\mathbb{K}}$ ya que si nos encontramos con otra derivación $latex \mathbb{K}$-lineal $latex D:A\rightarrow M$ , ésta se factoriza de manera única como $latex A\xrightarrow{d}\Omega_{A/\mathbb{K}}\rightarrow M$.

De hecho si $latex A=\mathbb{K}[x_1,...,x_n]$ es el anillo de polinomios en $latex n$ variables, (es decir, el anillo de coordenadas del espacio afín $latex \mathbb{A}^n$ tenemos que $latex \Omega_{A/\mathbb{K}}\cong \bigoplus_{i=1}^n A$ , esto lo pueden demostrar ustedes utilizando el mapeo $latex A\rightarrow \bigoplus_{i=1}^n A$ dado por $latex f\mapsto (\frac{\partial f}{\partial x_1},...,\frac{\partial f}{\partial x_n})$ y notando que es una derivada $latex \mathbb{K}$-lineal y que el mapeo $latex \phi:\Omega_{A/\mathbb{K}}\mapsto \bigoplus_{i=1}^n A$ dado por $latex df\mapsto (\frac{\partial f}{\partial x_1},...,\frac{\partial f}{\partial x_n})$ es un isomorfismo con inverso $latex \psi:\bigoplus_{i=1}^n A \rightarrow \Omega_{A/\mathbb{K}}$ dado por $latex (f_1,...,f_n)\mapsto \sum_{i=1}^n f_idx_i$.

Una observación "geómetra algebraica" es que la curva definida por el álgebra $latex A$ (su anillo de coordenadas) , por más abstracto que sea esto y por más raro o más típico que sea el campo $latex \mathbb{K}$ es suave, sin singularidades extrañas en su geometría, entonces $latex \Omega_{A/\mathbb{K}}$ es un módulo localmente libre de rango exactamente la dimensión de Krull del anillo $latex A$ que coincide con la dimensión topológica de la variedad $latex X$ asociada al álgebra $latex A$.  

Ahora vamos a construir los grupos de cohomología, para esta parte es necesario que entiendas lo que es el producto cuña $latex dx_i\wedge dx_j$, yo aquí lo expongo con ejemplos y de manera geométrica.

Definición: Sea $latex \Omega^k_{A/\mathbb{K}}=\bigwedge_{i=1}^k \Omega_{A/\mathbb{K}}$ , es decir en particular $latex \Omega^{0}_{A/\mathbb{K}}=A$ y $latex \Omega^{1}_{A/\mathbb{K}}=\Omega_{A/\mathbb{K}}$

Y construyamos el complejo de cadenas dado por 

                 $latex d_{k}:\Omega^{k-1}_{A/\mathbb{K}}\rightarrow \Omega^{k}_{A/\mathbb{K}}$ 

$latex f_0 df_1\wedge ... \wedge df_{k-1}\mapsto df_0\wedge df_1\wedge ... \wedge df_{k-1}$

Estas $latex d_j$ entre los módulos de diferenciales de orden $latex j$ y  $latex j+1$ pueden demostrar que son derivaciones, y denotamos como $latex \Omega^{\bullet}_{A/\mathbb{K}}$ al complejo de cadenas resultante con su respectivo operador de frontera en cada flecha dado por $latex d_j$.

$latex \cdots\xrightarrow{d_{k-1}}\Omega^{k-1}_{A/\mathbb{K}}\xrightarrow{d_{k}} \Omega^k_{A/\mathbb{K}}\xrightarrow{d_{k+1}} \Omega^{k+1}_{A/\mathbb{K}}\xrightarrow{d_{k+2}}\cdots$

Pueden demostrar que en efecto $latex d_{k+1}\circ d_k =0$ por lo que $latex \text{Im}{d_k}\subseteq \ker d_{k+1}$, que es lo fundamental para construir la teoría de cohomología.

Definición: El complejo de DeRham para la $latex \mathbb{K}$-álgebra $latex A$ está dado por el complejo de cadenas $latex \Omega^{\bullet}_{A/\mathbb{K}}$ donde su i-ésimo grupo de Cohomología está definido como: 

$latex H^{i}_{dR}(A/\mathbb{K}):=H^{i}(\Omega^{\bullet}_{A/\mathbb{K}})=\ker{d_{i+1}}/\text{Im} d_{i}$

Nota que si $latex \space i> KrullDim(A)=Dim(X)$ por las propiedades del producto cuña $latex \wedge$ tendrás dependencia lineal por lo que $latex \Omega^i_{A/\mathbb{K}=0$ que implica que $latex H^i(A/\mathbb{K})=0$ , nota que podemos generalizar esta construcción a esquemas de tipo finito por lo que es mejor denotar $latex H^{i}_{dR}(X/\mathbb{K}):=H^{i}_{dR}(A/\mathbb{K})$ donde $latex X=Spec(A)$ , esto es la generalización usando el espectro del anillo y lo tengo explicado aquí con ejemplos, pero si no te gusta esto, o te es muy complicado, sigue usando el anillo $latex A$.

Cohomología en característica p

Vamos a jugar un poco con esta cohomología y supongamos ahora que $latex \mathbb{K}=\mathbb{F}_p$, queremos definir una teoría de cohomología para variedades sobre $latex \mathbb{F}_p$ , el punto aquí será definir una teoría de cohomología con coeficientes en un campo de característica 0 relacionado muy cercanamente con $latex \mathbb{F}_p$ para una variedad afín sobre $latex \mathbb{F}_p$.

Primero, observemos por qué el párrafo anterior, considera $latex X=\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_p}$ es decir $latex A=\mathbb{F}_p[X]=\mathbb{F}_p[x]$, es fácil ver que $latex H^{1}_{dR}(A/\mathbb{F}_p)$ es un $latex \mathbb{F}_p$-espacio vectorial de dimensión infinita ya que por ejemplo $latex d_1(x^{pk})=0$ $latex \forall k\geq 0$ por lo que $latex \lbrace x^{pk-1}dx \rbrace_{k\geq 0} \not\subset \text{Im }d_1$ y $latex \lbrace x^{pk-1}dx \rbrace_{k\geq 0}\subset \Omega_{A/\mathbb{F}_p}$  $latex \forall k\geq 0$

  

O sea tenemos que $latex d_1:A\rightarrow \Omega^{1}_{A/\mathbb{F}_p}$ está dado por $latex f\mapsto df$ y $latex d_2:\Omega^{1}_{A/\mathbb{F}_p}\rightarrow \Omega^{2}_{A/\mathbb{F}_p}$ está dado por $latex gdf\mapsto dg\wedge df$.

Con esto anterior y la observación de que $latex x^{pk-1}dx\notin \text{Im }d_1$ tenemos que:

$latex \ker d_2=\langle \lbrace cdf : f\in A,\text{ }\forall c\in\mathbb{F}_q\rbrace \cup \lbrace cx^{pk}df : k\geq 0\rbrace\rangle$

$latex \text{Im }d_1=\langle \lbrace df \in \Omega^{1}_{A/\mathbb{F}_q} : f=cx^{pk+r},\text{ }r\neq -1\rbrace\rangle$

Por lo tanto:

$latex H^{1}_{dR}(A/\mathbb{F}_q)=\ker d_{2}/\text{Im }d_{1}$

Es como $latex \mathbb{F}_p$-espacio vectorial tiene una infinidad de generadores dados por todos los valores que puede tener $latex k\geq 0$ ya que la Imágen de $latex d_1$ está totalmente contenida en la parte izquierda del kérnel de $latex d_2$ y la parte derecha es infinita.

Esto es un problema... tenemos que de hecho $latex \Omega^{1}_{A/\mathbb{F}_p}$ tiene dimensión infinita, esto no nos sirve de nada, es muy grande, necesitamos deshacernos de la característica $latex p$ que nos da problemas con las derivaciones de funciones polinomiales con exponente múltiplo de $latex p$.

El campo de característica 0 que usaremos es $latex \mathbb{Q}_p$ (campo de p-ádicos que lo puedes ver explicado en mi blog aquí )y considera su anillo de enteros asociado $latex \mathbb{Z}_p$ , es bien conocido que $latex \mathbb{Z}_p/p\mathbb{Z}_p\cong \mathbb{F}_p$, 

Supón que tienes una $latex \mathbb{F}_p$-álgebra $latex A$ , entonces si pudieramos encontrar una $latex \mathbb{Z}_p$-álgebra suave $latex \tilde{A}$ con $latex \tilde{A}\otimes_{\mathbb{Z}_p}\mathbb{F}_p\cong A$ podrías considerar la cohomología de DeRham de la $latex \mathbb{Q}_p$-álgebra $latex \tilde{A}_{\mathbb{Q}_p}:=\tilde{A}\otimes_{\mathbb{Z}_p}\mathbb{Q}_p$

Con esto, ya nos deshacemos de la dimensión infinita, pero el problema es que levantar (lift) el álgebra $latex A$ como $latex \mathbb{Z}_p$-álgebra da diferentes grupos de cohomología , aunque finitos pero diferentes y necesitamos una manera de poder encontrar un lifting único que nos sirva para poder aplicar el teorema del punto fijo.

Por ejemplo si $latex A=\mathbb{F}_p[x]$ y $latex \tilde{A}_1=\mathbb{Z}_p[x]$ , $latex \tilde{A}_2=\mathbb{Z}_p[x,y]/\langle (1+px)y-1 \rangle$, puedes verificar que $latex H^1_dR(\tilde{A}_{1,\mathbb{Q}_p}/\mathbb{Q}_p)=0$ y $latex H^1_dR(\tilde{A}_{2,\mathbb{Q}_p}/\mathbb{Q}_p)$ tiene dimensión 1

Como vemos, tenemos dos liftings de $latex A$ con diferente grupo de cohomología.

Vamos a seguir después con el anillo en el que queremos trabajar la cohomología, para aplicar el teorema del punto fijo de Lefschetz por ahora nos quedamos aquí.

Después le seguimos, espero les haya interesando.

Eduardo Ruíz Duarte (beck)

twitter: @toorandom

Motivación en esquemas, gavillas, espacios localmente anillados, topología de Zariski

Antes que todo, hace una semana se cumplió un año del fallecimiento del que fue para mí el máximo matemático moderno del siglo XX, Alexander Grothendieck (aquí su obituario), es por eso que escribo este post el cuál tiene que ver con la teoría que él desarrolló que ahora es la piedra angular de la geometría algebraica y ha servido para demostrar muchas cosas incluyendo las conjeturas de Weil en cuanto a las propiedades de la función zeta de Riemann de curvas sobre campos finitos, de hecho él demostró que esta función es racional.


Antes de entrar en el post, dejo otro PDF de interés de una chica estudiante de Matemáticas que fue a visitarlo un año anes de morir, donde relata su experiencia la cual es un poco extraña

http://www.math.utah.edu/~honigs/Grothendieck.pdf

De la teoría que desarrolló Grothendieck tratará este post, daré una motivación, ejemplos y luego entraré de lleno a definir con base a la primera intuición lo que es un esquema en el sentido de Grothendieck, falta muchísimo para que este post sea.. "aceptable", de hecho jamás hablaré de espacios proyectivos, por lo que sólo me limitaré a esquemas afines, también cuando hablo de un anillo, éste es conmutativo con unidad y los campos son algebraicamente cerrados.

Recuerdo que cuando estaba estudiando mi maestría en el IMATE-UNAM mi colega y amigo Ángel Zaldivar me decía que pusiera más énfasis en la teoría de esquemas, pero yo ya iba encarrerado con la geometría algebraica clásica para hacer mi proyecto que fue un artículo que encontraba fórmulas explícitas en la adición de la jacobiana de una curva hiperelíptica de género 2 así como el modelo afín no singular de la jacobiana embebida:
a en $latex \mathbb{A}^4$ lo cual puedes ver aquí (DOI) .

La teoría de Grothendieck, dota de muchísima estructura a un objeto, un anillo, pudiéndolo analizar a simple vista, y a nivel "atómico", haciéndole relucir su geometría... por más abstracto que sea, es lo que trataremos también de construir.

Ahora que estoy haciendo mi doctorado, entendí por qué Ángel me decía eso, y bueno, he estudiado y usado ya esquemas para algunos resultados y por eso quise hacer una pequeña exposición muy elemental, básica y espero motivante (aunque no rigurosa).

Motivación inicial:

Empecemos con algo fácil.

¿Cuál es la diferencia entre los conjuntos $latex \lbrace V(x) \cap V(y-x^2)\rbrace$ y $latex \lbrace V(y) \cap V(y-x^2) \rbrace$?

Recuerden que si tenemos un conjunto de polinomios $latex S\subseteq k[x_1,...,x_n]$ entonces los ceros de los polinomios en $latex S$ son:

$latex V(S):=\lbrace (a_1,...,a_n)\in \mathbb{A}^n(k) : f(a_1,..,a_n)=0$ $latex \forall f\in S\rbrace $

Este $latex S$ podría ser un ideal de $latex k[x_1,...,x_n]$  y de hecho existe un operador dual a $latex V$ que nos da el ideal asociado a un conjunto de puntos:

$latex I(V):= \lbrace f\in k[x_1,...,x_n] : f(a_1,...,a_n)=0$ $latex \forall (a_1,...,a_n)\in V\rbrace$

Hay un teorema muy importante que marcó el inicio de todo esto desde mi punto de vista que es el teorema Nullstellensatz que en alemán significa "teorema de los ceros" de David Hilbert que dice que:

Si $latex J\subset \bar{k}[x_1,...,x_n]$ es un ideal, entonces

$latex I(V(J))=\sqrt{J}=\lbrace f\in k[x_1,...,x_n]: f^n\in J$ para algún $latex m\geq 1\rbrace$


Regresando al ejemplo , tenemos la intersección de la línea vertical $latex x=0$ que es justamente el eje y, con la parábola $latex y-x^2=0$ que nos da sólo el punto $latex (0,0)$ , y por otro lado, la linea horizontal $latex y=0$ que es el eje x intersectado con la misma parábola, en ambos casos el único punto de intersección es el $latex (0,0)$ , es decir como conjuntos son lo mismo, ¿cuál es la diferencia? , si ven las gráficas en $latex \mathbb{R}^2$ verán

 

La diferencia está en el álgebra detrás, la tangencia en la gráfica derecha se estudia a través de su álgebra afin asociada que es en este caso $latex k[x,y]/(y-x^2,y)\cong k[x]/(x^2)$ sin embargo , para la intersección transversal de la parábola con $latex x=0$ tenemos que $latex k[x,y]/(y-x^2,x)\cong k$, obviamente el primero no es un campo porque tiene un elemento nilpotente que es $latex x$, el segundo es isomorfo al campo base, y este ejemplo da una idea de una teoría que podría diferenciar en este caso cómo encontrar tangencia sin recurrir directamente a la geometría, lo que te permitirá analizar la geometría algebraicamente incluso de espacios que no son "visibles" de manera intruitiva (espacios de funciones, variedades sobre campos finitos, campos no arquimedianos, et cétera).


Geometría algebraica pre-esquemas, con sabor a esquemas (Primera Parte)

Si tenemos una curva algebraica plana y queremos estudiarla como las anteriores, podemos primero pensar en una topología para ésta, así que las siguientes definiciones son importantes.

Definición: Sea $latex V\in \mathbb{A}^n(k)$ un conjunto algebraico (es decir, está dado por uniones, intersecciones de ecuaciones polinomiales como vimos en el ejemplo, y puedes hacer que $latex V$ sea una curva elíptica o una parábola) entonces su anillo de coordenadas es $latex k[V]=k[x_1,...,xn]/I(V)$ , los elementos de este anillo se llaman funciones regulares

Recuerden que una variedad $latex X$ es irreducible si no es la unión de variedades, es decir que $latex X\neq Y\cup Z$ donde $latex Y,Z$ no son triviales, esto es fácil verlo algebraicamente ya que si te fijas en las ecuaciones que definen una variedad que no es irreducible, entonces es factorizable, por ejemplo si consideras $latex f(x,y)=x^3 y-x^2+x y^3-x y-y^2+1$, es fácil ver que no es irreducible, ya que es la unión de dos conjuntos algebraicos:

Es una parábola y un círculo en la misma ecuación... y si factorizamos tenemos que $latex f(x,y)=(xy-1)(x^2+y^2-1)$ , es decir, el polinomio no es irreducible porque lo podemos factorizar... y por lo tanto podemos intuir (hay que probarlo) que si $latex f,g\in k[x_1,...,x_n]$ entonces $latex V(fg)=V(f)\cup V(g)$, es decir, el producto de dos ecuaciones polinomiales, tiene como ceros, la unión de los ceros de cada una de las ecuaciones polinomiales por separado.



Regresando al anillo de coordenadas es el anillo de polinomios en $latex n$ variables módulo el ideal de polinomios que se anulan en los puntos de $latex V$ , los elementos de este anillo puedes verlos como funciones $latex f:V\rightarrow k$.

Una subvariedad $latex W$ de $latex V$ es aquella que está contenida en $latex V$ is $latex W$ es algebraica, por ejemplo $latex V(x)\subset V(xy)$ , geométricamente $latex x=0$ es una línea vertical y $latex x y = 0$  tiene como gráfica los dos ejes coordenados, y la linea está contenida en la "cruz" siendo ambos definidos por ecuaciones polinomiales (algebraicos).

Topología de Zariski

Ahora, la topología donde se trabaja esto inicialmente es la de Zariski, y definimos:

Definición: Sea $latex k$ un campo y $latex X\subset \mathbb{A}^n(k)$ , es un cerrado de Zariski si $latex X$ es algebraico (es decir, un conjunto de puntos definido por polinomios), de manera dual tenemos que un abierto de Zariski es de la forma $latex U=\mathbb{A}^n(k)\setminus X$ donde $latex X$ es algebraico.


Ejemplo 1:  Considera $latex \mathbb{A}^1(k)$ , entonces un cerrado ahí está dado por cualquier subconjunto de la recta afín $latex \mathbb{A}^1(k)$ que pueda ser expresado por polinomios en una variable, como sabemos que todo polinomio tiene un número finito de raíces, entonces los cerrados corresponden a todos los subconjuntos de la recta que son finitos (los abiertos son conjuntos infinitos), aquí tenemos un ejemplo de topología cofinita.

Ejemplo 2:
Si te subes a dimensión dos, veremos que aquí es diferente, por ejemplo, un punto es un cerrado, ya que intuitivamente lo puedes ver como la intersección de dos rectas, un círculo también es cerrado ya que se puede expresar como el conjunto de ceros de $latex x^2+y^2-1$ , y los abiertos aquí pues son muy grandes, los complementos de estos ejemplos son super densos , de hecho esta topología no es Hausdorff (no puedes encontrar dos abiertos que no se intersecten).

Y para qué queremos esta topología tan rara? ,

Localización:

Un punto nos da un ideal, es decir si $latex p=(a_1,...,a_n)\in V\subset \mathbb{A}^n(k)$ entonces $latex I(\lbrace p\rbrace)=(x-a_1,...,x-a_n)$, estos ideales pueden probar que son máximos, y por cada punto corresponde un ideal máximo cuando el campo base es algebraicamente cerrado, cuando no, hay teoría de Galois de por medio que hablaremos después,


Definición: Sea $latex k[V]:=k[x_1,...,x_n]/I(V)$ un anillo de coordenadas , tenemos que su campo de fracciones asociado es:

$latex k(V):=\lbrace f/g: f,g\in k[V] , g\neq 0\rbrace/\sim$

Donde $latex \sim$ es la relación de equivalencia usual de fracciones, o sea $latex a/b \sim c/d$ si $latex a\cdot c-b\cdot d=0$, es decir que su diferencia sea 0 en $latex k[V]$ lo cual significa que $latex ac-bd\in I(V)$

Definición: Sea $latex k[V]:=k[x_1,...,x_n]/I(V)$ un anillo de coordenadas y $latex p\in V$ entonces la localización de $latex p$ en $latex k[V]$ es:

$latex k_{p}[V]:=\lbrace f/g \in k(V) : g(p)\neq 0 \rbrace$

Hasta aquí ya tenemos un anillo para cada punto de una variedad $latex V$ , ahora... este anillo localizado en $latex p$ tiene un sólo ideal máximo, el cual pueden demostrar que es $latex m_p=\lbrace f\in k_{p}[V] : f(p)=0\rbrace$

Toda esta estructura que le hemos dado a una variedad dada por polinomios se puede generalizar, y a partir de aquí está todo lo anterior para cualquier anillo, podemos ver a los elementos del anillo conmutativo que queramos como si fueran funciones sobre un nuevo espacio $latex S p e c R$  que será el tema principal de este post (esquema afín).

Definición: Sea $latex R$ un anillo conmutativo, definimos el espectro primo de $latex R$ como:

$latex Spec R:=\lbrace \mathfrak{p} : \mathfrak{p}\subset R$ es un ideal primo $latex \rbrace$

Observación-definición: Vamos a ver cómo ver los elementos de un anillo $latex R$ como funciones evaluadas en los puntos de nuestro nuevo espacio topológico $latex S p e c R$  , para que esto tenga sentido.

Sea $latex f\in R$ y $latex \mathfrak{p}\in Spec R$ (un ideal primo), entonces $latex f(\mathfrak{p})=\bar{f}\in R/\mathfrak{p}$ donde $latex \bar{f}$ es la reducción de $latex f$ módulo $latex \mathfrak{p}$.


Este espectro tan inocente que se ve, es un espacio localmente anillado (es decir, con una gavilla de anillos asociada, lo cual veremos más adelante), y de hecho, decimos que bajo la topología de Zariski $latex Y\subset Spec R$ es cerrado , si existe un ideal $latex \mathfrak{a}\subset R$ tal que:

$latex Y=V(\mathfrak{a}):=\lbrace \mathfrak{p}\in Spec R: \mathfrak{a}\subset \mathfrak{p}\rbrace$

Esto nos permite rápidamente comprender la definición de cerrado anterior ya que si $latex f\in R$ y $latex f(\mathfrak{p})=0$ para algún ideal primo $latex \mathfrak{p}\in Spec R$ es porque $latex f\in \mathfrak{p}$

Medítalo un poco, imagínate que otra vez $latex R=k[x_1,..,x_n]/I(V)$ , acuérdate de la acotación que hicimos, sobre los ideales asociados a puntos , estos son primos (máximos) i.e. pertenecen a $latex S p e c R$

Podemos redefinir a los cerrados (conjuntos algebraicos) de $latex S p e c R$ , sea $latex \mathfrak{a}\subset R$ un ideal cualquiera, entonces:

$latex Y=V(\mathfrak{a}):=\lbrace \mathfrak{p}\in Spec R: f(\mathfrak{p})=0$ $latex \forall f\in \mathfrak{a}\rbrace=\lbrace \mathfrak{p}\in Spec R : \mathfrak{a}\subset \mathfrak{p} $

Esto creo que ya tiene más lógica, para poder localizar en$latex S p e c R$  tomemos en cuenta que si $latex f \in R$

$latex V(f)=\lbrace \mathfrak{p}\in Spec R : f(\mathfrak{p})=0\rbrace$

y el abierto asociado a $latex f\in R$ es el complemento de $latex V(f)$ en $latex S p e c R$

$latex D(f)=\lbrace \mathfrak{p}\in Spec R: f(x)\neq 0 \rbrace$

A este último a veces le dicen dominio de f por eso la letra $latex D$ , pero nosotros le llamaremos abierto de $latex f$.

Asociandole a cada abierto $latex U \subset X$ un anillo

Regresemos al ejemplo donde $latex R=k[V]$ , donde $latex V$ es una variedad sobre $latex k$ , es decir, trabajamos en su anillo de coordenadas, sea $latex p=(a_1,...,x_n)\in V$, consideremos su ideal asociado que es $latex \mathfrak{p}=(x_1-a_1,...,x_n-a_n)$

$latex U_\mathfrak{p}:=D(\mathfrak{p})=\lbrace x\in V : f(x)\neq 0$ $latex \forall f\in \mathfrak{p}\rbrace$

Entonces tenemos que a $latex U$ le podemos asociar el siguiente anillo llamado anillo de funciones regulares en $latex U$

$latex k[U_\mathfrak{p}] := \lbrace f/g\in k(V) : g\notin \mathfrak{p} \rbrace$

Esto es justamente la localización en el punto $latex \mathfrak{p}\in Spec$ $latex k[V]$ , es decir:

$latex k[U_\mathfrak{p}] = k_\mathfrak{p}[V]$

Ejemplo:

Sea $latex R=\mathbb{Z}$ , entonces $latex Spec\mathbb{Z}=\lbrace p\mathbb{Z} : p$ es primo $latex \rbrace$, $latex V(5)$ consta de todos los ideales primos que tienen al 5 como elemento, o sea $latex 5\mathbb{Z}$, $latex V(6)$ constaría de $latex \lbrace 3\mathbb{Z}, 2\mathbb{Z}$, $latex V(1)$ es vacío que es cerrado y abierto, et cétera, si localizamos en el ideal $latex (p)\subset \mathbb{Z}$ tenemos que:

$latex \mathbb{Z}_{(p)}=\lbrace a/b \in \mathbb{Q} : b\notin (p) \rbrace$

Justamente la localización es crucial para toda la teoría de esquemas, ya que como acaban de notarlo, a cualquier anillo le dimos una topología, y a cada abierto le asociamos un anillo, por lo que decimos que $latex S p e c R$ es un espacio localmente anillado. , la formalidad de esto es con una cosa que se llama gavilla estructural asociada al anillo, y veremos como construir esto en general.


Gavillas, esquemas en general para cualquier espacio topológico (Segunda parte).

Despues de todo lo anterior ahora viene la parte formal de la construcción anterior que fue un poco un revoltijo.

Primero para poder empezar necesitamos comprender lo que es una gavilla (Sheaf en inglés) pero para entender una gavilla, debemos comenzar con lo que es una pre-gavilla la cual con propiedades adicionales nos dará la gavilla, las gavillas son interesantes porque podemos conservar datos de una espacio topológico de manera organizada y tener una estructura más rica en álgebra donde podemos explotar más las propiedades de un objeto para poder estudiarlo.


Definición: Sea $latex X$ un espacio topológico, una pregavilla $latex \mathcal{F}$ de anillos en $latex X$ consiste en los siguientes objetos

1) Para todo abierto $latex U\subseteq X$ le asociamos un anillo  $latex \mathcal{F}(U)$
2) Para toda inclusión $latex V\subseteq U$ de subconjuntos abiertos de $latex X$, tenemos el morfismos restricció $latex \rho_{UV}:\mathcal{F}(U)\rightarrow \mathcal{F}(V)$

Este morfismo cumple:

i) $latex \mathcal{F}(\emptyset) = 0$
ii) $latex \rho_{UU}$ es el mapeo identidad de $latex \mathcal{F}(U)\rightarrow \mathcal{F}(U)$
iii) Si $latex W\subseteq V\subseteq U$ son tres abiertos de $latex X$ entonces $latex \rho_{UW}=\rho_{VW}\circ \rho_{UV}$ , es decir el diagrama triangular de los mapeos conmuta.

Estas pregavillas se pueden definir no sólo anillos sino a grupos abelianos,  u objetos en cualquier categoría abeliana.

Vamos a decir que si $latex \mathcal{F}$ es una pregavilla en $latex X$ entonces $latex \mathcal{F}(U)$  serán las secciones de la pregavilla $latex \mathcal{F}$ en el abierto $latex U$, a veces estas secciones son denotadas como $latex \Gamma(U,\mathcal{F})$ que son los anillos $latex \mathcal{F}(U)$ , también es común en la literatura que se escriba $latex s\mid_v:=\rho_{UV}(s)$ si $latex s\in \mathcal{F}(U)$ que es la restricción usual de morfismos en la categoría en cuestión, en este caso la de anillos.


Ahora vamos a definir una gavilla (sheaf) la cual , es una pregavilla, pero le pediremos más cosas relacionadas con datos locales de las secciones para poder identificarlas


Definición: Una pregavilla $latex \mathcal{F}$ sobre un espacio topológico $latex X$ es una gavilla si satisface las siguiente condicion sobre sus secciones:

iv) Sea $latex U$ un abierto de $latex X$ y $latex \lbrace V_i \rbrace$ una cubeirta abiera de $latex U$, si $latex s\in\mathcal{F}(U)$ es un elemento tal que $latex s\mid_V=0$ $latex \forall i$ $latex \Rightarrow s=0$ , y si $latex s_i \in \mathcal{F}(V_i)$ $latex \forall i$ con la propiedad de que $latex \forall i,j$  $latex s_i|_{V_i\cap V_j}=s_j\mid_{V_i\cap V_j}$ entonces existe otro elemento $latex s\in \mathcal{F}(U)$ tal que $latex s\mid_{V_i}=s_i$ $latex \forall i$


Bueno, mucha abstracción, veamos un ejemplo de algo que hayamos usado en este blog, el cual ma ayuda mucho a aterrizar conceptos a la hora de no estar familiarizado con algo.



Ejemplo (repitiendo la primera parte): Sea $latex X$ una variedad sobre un campo $latex k$, recordemos que para cada abierto de la variedad usando la topología de Zariski, se cumple que estos no son puntos de algún polinomio  restringido a $latex X$ y definimos $latex O(U)$ como el anillo de funciones regulares en $latex U$ , es decir son los cocientes de polinomios cuyo denominador está bien definido en el abierto $latex U$ y está identificado con todas las funciones regulares que van de $latex U\rightarrow k$ y definimos que para todo $latex V\subseteq U$ $latex \rho_{UV}:O(U)\rightarrow O(V)$ la restricción usual de morfismos , entonces decimos que $latex O$ es una gavilla de anillos en $latex X$ , con esto es claro que es una pregavilla, para verificar la condición iv sólo hay que notar que la función 0 también es localmente 0, y una función que es regular localmente en cada anillo, también es regular globalmente, y llamamos a $latex O$ la gavilla de funciones regulares en $latex X$
Para un mejor tratado de este ejemplo con lujo de detalle, ver otro post anterior aqui.

Ahora necesitamos comenzar a definir objetos locales en la gavilla.

Definición: Si $latex \mathcal{F}$ es una pregavilla en $latex X$ y $latex P$ es un punto de $latex X$ , decimos que el tallo (stalk en inglés) $latex \mathcal{F}_P$ de $latex \mathcal{F}$ en $latex P$ es el límite inverso de los anillos $latex \mathcal{F}(U)$ para todo abierto $latex U$ que contiene $latex P$ via los mapeos de restricción $latex \rho$, es decir:

$latex \mathcal{F}_P= \varinjlim_{P\in U} \mathcal{F}(U)$

Esta definición intuitivamente, lo que nos dice, es que vamos a encontrar el anillo de cierto modo más chico de todos los abiertos $latex U\subseteq X$ que contienen a $latex P$, esto les tiene que sonar a localización.


Definición: Una pregavilla $latex \mathcal{F}$ en un espacio topológico $latex X$ es una gavilla si para todo $latex U\subset X$ y toda cubierta $latex U=\bigcup_{\lambda\in \Lambda} U_\lambda$ de abiertos $latex U_\lambda\subset X$ sucede que:


1. Si $latex f,g\in \mathcal{F}(U)$ satisfacen $latex f\mid_{U_\lambda}=g\mid_{U_\lambda}$ para todo $latex \lambda\in\Lambda$ entonces $latex f=g$
2. Si $latex f_\lambda\in \mathcal{F}(U_\lambda)$  con $latex \lambda\in \Lambda$ satisface que $latex f_\lambda\mid_{U_\lambda\cap U_\sigma}=f_{\sigma}\mid_{U_\lambda\cap U_\sigma}$ para todo $latex \lambda,\sigma\in \Lambda$, entonces existe un $latex f\in \mathcal{U}$ tal que $latex f\mid_{U_\lambda}=f_\lambda$ para toda $latex \lambda\in\Lambda$ , la cual será única, por (1) , esta condición se llama de "pegado" (gluing condition), es decir, una función que coincide en los overlaps de los abiertos en toda la cubierta, puedes encontrar otra que pasa por allí y es única.

Definición:  Un morfismo $latex \Phi$ entre dos gavillas $latex \mathcal{F},\mathcal{G}$ definidas sobre el espacio topológico $latex X$ , $latex \Phi:\mathcal{F}\rightarrow \mathcal{G}$ es un morfismo functorial en el sentido de morfismos entre la categoría de abiertos de $latex X$ a la categoría de anillos (de coordenadas si quieren aterrizar muy rapido, pero todo esto es en general) es decir, $latex \Phi$ consiste en una colección de morfismos

$latex \phi_U:\mathcal{F}(U)\rightarrow \mathcal{G}(U)$ con $latex U\subset X$ abierto. que son compatibles con los morfismos de restricción , es decir si $latex U\subset V\subset X$

$latex \mathcal{F}(V)\xrightarrow{\phi_V} \mathcal{G}(V)$  y $latex \mathcal{F}(U)\xrightarrow{\phi_U} \mathcal{G}(U)$ entonces, esto visto como un diagrama conmuta con los mapeos de restriccion , en este caso $latex \mathcal{F}(V)\xrightarrow{\rho_{U}^V} \mathcal{U}$ y $latex \mathcal{G}(V)\xrightarrow{\rho_U^{V}} \mathcal{G}(U)$
Añadir leyenda

Para terminar, ya con los esquemas, terminamos con la estructura global que guarda toda la información del espacio $latex X$, que es la de espacio localmente anillado y concluimos con la definición de esquema afín.


Definición: Un espacio localmente anillado es un par $latex (X,O_X)$ donde $latex X$ es el espacio topológico y $latex O_X$ es una gavilla de anillos en $latex X$, la cual le llamamos gavilla estructural de $latex X$,  tal que los tallos $latex O_{X,x}$ para cada $latex x\in X$ son anillos locales (con un sólo ideal máximo, como los del ejemplo en la primera sección).

Un morfismos de espacios localmente anillados $latex (X,O_X)\rightarrow (Y,O_Y)$ es un par $latex (f,f^{\dagger})$  donde $latex f:X\rightarrow Y$ es un mapeo continuo entre los espacios topológicos, y $latex f^{\dagger}:O_Y\rightarrow f_{*}(O_X)$ es un morfismos de gavillas como lo definimos anteriormente en $latex Y$ , donde $latex f_{*}(O_X)$ es la gavilla en $latex Y$ que está dada por $latex V\mapsto O_X(f^{-1}(V))$ y con sus respectivos morfismos de restricción , por lo que $latex f^{\dagger}$ es el sistema de homomorfismos de anillos dado por:

$latex f^{\dagger}(V):O_Y(V)\rightarrow O_X(f^{-1}(V))$ tal que $latex V\subset Y$ es abierto.

Falta una condición para que un espacio sea localmente anillado.

 Un mapeo $latex \psi:A\rightarrow B$ es un mapeo local si $latex A,B$ son anillos locales y si $latex m_A\subset A$ y $latex m_B\subset B$ son sus respectivos ideales máximos $latex \psi(m_A)\subset m_B$

Entonces para que $latex (X,O_X)$ sea localmente anillado, también tiene qAñadir leyendaue cumplir la condición de que el mapeo $latex f^{\dagger}$ sea local entre todos los tallos, es decir que $latex f^{\dagger}_x:O_{Y,f(x)}\rightarrow O_{X,x}$ para todo $latex x\in X$ sea local.

Definición final:  Un esquema afín es un espacio localmente anillado $latex (X,O_X)$ tal que existe un isomorfismos de espacios localmente anillados entre $latex (X,O_X) \xrightarrow{\sim} (Spec A, O_{Spec A})$ , para algún anillo $latex A$, los morfismos entre esquemas afines son como los definimos anteriormente, morfismos de espacios localmente anillados.


Como vimos anteriormente, esto es muy abstracto, pero si quieres darle forma, comienza usando un álgebra afin conocida, como anillo, como un anillo de coordenadas, y de ahí comienza a darle la estructura de esquema , con todas las definiciones que vimos en la primera parte.

Todo esto fue muy rápido, lo siento, por la falta de rigor, pero no tengo tanto tiempo y realmente sí quería hacer esto, esto se lo debemos a Alexander Grothendieck

1928-2014

                                         
Eduardo Ruíz Duarte (beck)
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