Grupos de trenzas

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http://b3ck.blogspot.mx/2014/07/grupos-de-trenzas.html?m=0


Vamos a introducir una noción de Artin que generaliza de cierta forma el grupo simétrico $latex S_n$ de permutaciones, los grupos de trenzas son interesantes porque también tienen una noción geométrica intuitiva que nos va a llevar a su presentación algebraica, el grupo de trenzas de orden $latex n$ será denotado por $latex B_n$ (la $latex B$ es por braid), pero vamos a empezar al revés... daremos una noción intuitiva, un ejemplo y al final daremos la definición formal y veremos que hay usos que se le pueden dar en criptografía.


Lo que vamos a estudiar son configuraciones de "hebras" (hilos) que se ven de esta forma, y ver cómo hacerlas interactuar unas con otras para generar una estructura algebraica que como dijimos anteriormente, generaliza al grupo de permutaciones $latex S_n$ también definido por Emil Artin

Imaginemos que tenemos $latex n=4$ hilos, donde los extremos de cada uno de los 4 hilos están fijos con unos clavos, todas las configuraciones que podamos hacer con 4 hilos que no hagan nudos serán elementos de $latex B_4$ veamos a qué me refiero con esto.

Por ejemplo:

    es diferente a      

Noten la diferencia de las hebras en cuanto a cuál pasa por encima de la otra.



También podemos ver que dibujándolas, las podemos hacer tan complejas como sean, pero al final siempre habrá una manera de dibujarlas de manera simple, es donde entra la abstracción del concepto ya que por ejemplo:

 es lo mismo que

Y no se valen cosas como estos nudos:

Pero ¿por qué le llamamos grupo? , es decir, sabemos que un grupo es una estructura algebraica la cual contiene objetos que pueden interactuar con una operación binaria dando como resultado otros objetos de la misma estructura (cerradura), existe un objeto que es neutro, es decir que deja invariante a todos los elementos bajo la operación binaria y cada uno de los elementos tiene un inverso con esa operación que al usar la operación binaria entre inversos te da como resultado el neutro y es asociativo (como los números enteros bajo la suma)


$latex B_n$ no será abeliano para $latex n>2$ es decir sus elementos no conmutarán, veamos cómo funciona esta operación de $latex B_4$



La manera en la que vamos a sumar dos trenzas $latex \sigma \oplus \tau = \omega \in B_4$ veámosla con un par de ejemplos

 $latex \bigoplus$ $latex =$   

        $latex \sigma$                                                   $latex \tau$                                    $latex \omega$



Observen como se hace la suma, que es "siguiendo" la trayectoria de las hebras en $latex \sigma$ , fijense como se cruzan unas con otras, pero bueno este ejemplo es muy intuitivo, algo un poco más interesante que servirá para que demuestren qué sucede con $latex B_2$ es el siguiente.

   $latex \bigoplus$   $latex =$

        $latex \sigma_1$                                                   $latex \sigma_2$                                    $latex \sigma_3$

Como pueden ver este ejemplo es menos trivial, pueden ver que las dos hebras de arriba se desenrredan

pero las dos de abajo una pasa por encima de otra, y al seguir la trayectoria con $latex \sigma_2$ vemos que pasa por abajo y se hace una trenza en $latex \sigma_3$


Con este ejemplo es fácil ver que $latex B_n$ es infinito con $latex n>1$ ya que las trenzas se pueden enredar cuantas veces quieras, y también se puede ver que $latex B_4$ no es abeliano ya que puedes experimentar un poco con estos ejemplos y verás que te dan elementos diferentes a $latex \omega$ o a $latex \sigma_3$


Pero bueno... ya basta , vamos a representar la infinidad de elementos de $latex B_4$ , para eso es el álgebra no? , no nos da miedo que sean infinitos.


Para poder construir explícitamente la estructura de $latex B_4$ primero tenemos que observar cuáles son las trenzas básicas que nos servirán para representar TODOS los elementos de $latex B_4$ , es decir , de quién son combinaciones.

Consideremos

$latex \sigma_1$	$latex \sigma_2$	$latex \sigma_3$

Todas las trenzas en $latex B_4$ pueden escribirse como composición de estas trenzas y sus inversos, o sea que si $latex \sigma\in B_4$ entonces su inverso $latex \sigma^{-1}$ será el elemento tal que $latex \sigma\oplus \sigma^{-1}=0$ donde 0 es la trenza que no tiene cruces, es decir todas las hebras son paralelas.

Para ver que cada trenza $latex \tau \in B_4$ es combinación de $latex \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3$ y sus inversos, toma una trenza $latex \tau$ arbitraria y comienza a examinar de izquierda a derecha los cruces comenzando de la hebra de hasta arriba, cada que encuentres un cruce de las hebras $latex i$ y $latex i+1$ escribe $latex \sigma_i$  si la hebra $latex i$ pasa por arriba de $latex i+1$ o $latex \sigma_i^{-1}$ si pasa por abajo, y así vas escribiendo todo como la suma de éstos con $latex \oplus$

cuando termines de examinar cada hebra hasta el clavo final de la parte derecha, habrás construido la combinación de estas $latex \sigma_i$'s , y es intuitivo ya que estos generadores son los cruces fundamentales.

Si observas puedes ver que:

(i) $latex \sigma_1\oplus\sigma_3=\sigma_3\oplus\sigma_1$

(ii) $latex \sigma_1\oplus \sigma_2\oplus \sigma_1= \sigma_2\oplus \sigma_1\oplus \sigma_2$

(ii) $latex \sigma_2\oplus \sigma_3\oplus \sigma_2= \sigma_3\oplus \sigma_2\oplus \sigma_3$

Y si no te percataste es fácil que lo veas con una hoja de papel.

Por lo que ya tenemos cómo es $latex B_4$ pero estas identidades se pueden extender en general para $latex B_n$

por lo que:

$latex B_n :=$ < $latex \sigma_1, \sigma_2,...,\sigma_n \mid \sigma_i \oplus \sigma_{i+1}\oplus \sigma_i = \sigma_{i+1}\oplus \sigma_i \oplus \sigma_{i+1}$  con $latex 1\leq i \leq n-2$ , $latex \sigma_i\oplus \sigma_j = \sigma_j \oplus \sigma_i$ con $latex \mid i-j \mid \geq 2$ >


Este grupo ha sido estudiado para criptografía , por David Garber http://arxiv.org/pdf/0711.3941.pdf
Pero desafortunadamente fue roto hace unos años, pero la teoría no deja de ser interesante, ya que se le puede asociar el grupo fundamental (Topología algebraica) de ciertos espacios, y encontrar de quién es el grupo fundamental es lo interesante.

También es interesante investigar cómo $latex B_3$ está relacionado al grupo especial lineal $latex SL(2,\mathbb{Z})$


Y como pendiente queda el grupo de trenzas con 2 hebras $latex B_2$ , pero pues... éste está generado por 2 elementos que son uno inverso de otro, es decir por 1 elemento... que es la trenza simple con dos hebras.... por lo que sólo se pueden generar trenzas con 2,3,4,... vueltas, pero también las puedes deshacer con su inversa , es decir

$latex B_2 \cong$ < $latex \mathbb{Z},+$> = < $latex1,-1$ >


Este es el único grupo de trenzas no trivial que es abeliano y como pueden ver no tiene mucho chiste.


Espero que les haya gustado, las imágenes las saqué de wikipedia y del artículo de David Garber antes mencionado.


Eduardo Ruíz Duarte
Twitter: @toorandom

Grupos de Lie y un ejemplo desarrollado

En el post anterior vimos lo que es una variedad, como matemáticos lo que nos interesa siempre es darle una estructura analítica a los objetos y esta estructura generalizara para poder estudiar mejor el objeto a través de sus funciones o propiedades.

Ahora lo que haremos es darle estructura de grupo a una variedad.


Un grupo de Lie es una variedad que es un grupo también de tal manera que la operación de los elementos del grupo es suave (suave en el sentido diferencial).

Los grupos $latex GL(n,\mathbb{R})$ o $latex SL(n,\mathbb{C})$, grupos ortogonales, simplécticos entre otros son grupos de Lie Famosos, por ejemplo $latex GL(n,\mathbb{R})$ como variedad es disconexo y con dos componentes (matrices con determinante positivo y negativo) y tiene dimensión $latex n^2$.

Otra cosa es que un grupo de Lie es un espacio homogéneo en el sentido de que la translación por la izquierda de un elemento del grupo $latex g$ es un difeomorfismo del grupo en si mismo que manda la identidad a $latex g$ (un automorfismo diferenciable)


Esto lo que nos hace ver es que un grupo de Lie, localmente se ve igual alrededor de cualquier punto, y va a ser clave el espacio tangente a la identidad ya que nos hará definir la operación corchete $latex [ , ]$ que convertirá el grupo en un álgebra de Lie.


Comencemos un poco más formalmente.


Definición: $latex G$ es un grupo de Lie si es una variedad $latex C^{\infty}$  tal que las siguientes dos operaciones de obtener inverso y multiplicación son infinito diferenciables  $latex C^\infty$

$latex \mu: G\times G \rightarrow G$ ,  $latex \mu(a,b)=ab$

$latex \iota:G\rightarrow G$ ,  $latex \iota(a)=a^{-1}$


Ahora, si $latex a\in G$ , denota por $latex l_a:G\rightarrow G$, $latex l_a(x)=\mu(a,x)=ax$ a la operación de multiplicación izquierda por $latex a$ , y la derecha como $latex r_a:G\rightarrow G$, $latex r_a(x)=xa$

Es fácil ver que son difeomorfismos.

Definición: Un mapeo $latex F:H \rightarrow G$ entre dos grupos de Lie $latex H$ y $latex G$ es un homomorfismo de grupos de Lie si $latex F$ es $latex C^\infty$ y $latex F$ es un homomorfismo de grupos.

Esto es que

$latex F(hx)=F(h)F(x) \Leftrightarrow F\circ l_h = l_{F(h)}\circ F$     $latex \forall h\in H$


Ejemplo $latex SL(n,\mathbb{R})$

Regresamos al ejemplo introductorio pero vamos a desarrollarlo ya con estas definiciones.


Tenemos que $latex SL(n,\mathbb{R})$ es un subgrupo de matrices de determinante 1 de $latex GL(n,\mathbb{R})$ , aquí el chiste de verlo como variedad es que veas los elementos de las matrices que pertenecen al grupo como vectores, en el grupo general lineal tienes $n^2 -1$ entradas, es decir lo puedes ver como un vector de ese tamaño, el grupo special lineal que es subgrupo del general tiene dimensión $latex n^2 -1$ y es una subvariedad.

$latex \mu:GL(n,\mathbb{R}) \times GL(n,\mathbb{R})\rightarrow GL(n,\mathbb{R})$
$latex (A,B)\mapsto AB$

es $latex C^\infty$ ya que

$latex (AB)_{ij} = \displaystyle \sum_{k=1}^n {a_{ik}b_{kj}} $

Es un simple polinomio y por lo tanto es una función $latex C^\infty$ de las coordenadas $latex a_{ik},b_{kj}$


Ahora para demostrar que $latex SL(n, \mathbb{R})$ tiene operación de grupo suave, no se sigue de esto , ya que $latex \lbrace a_{ij} \rbrace _{1\leq i , j\leq n}$ no es un sistema de coordenadas en las matrices de $latex SL(n,\mathbb{R}$ ya que como vimos le sobra una (su dimensión es $latex n^2-1$)


Pero sí sabemos que $latex SL(n,\mathbb{R}) \times SL(n,\mathbb{R})$ es una subvariedad de $latex GL(n,\mathbb{R}) \times GL(n,\mathbb{R})$

entonces podemos hacer el mapeo de inclusión:


$latex i:SL(n,\mathbb{R}) \times SL(n,\mathbb{R}) \hookrightarrow GL(n,\mathbb{R}) \times GL(n,\mathbb{R})$

Es relativamente sencillo demostrar que eso es un encaje, toma un $latex p\in SL(n,\mathbb{R}) \times SL(n,\mathbb{R})$ y toma una carta $latex (V,y^1,...,y^n, y^{n+1},...,y^m)$
 para $latex GL(n,\mathbb{R}) \times GL(n,\mathbb{R})$ alrededor de $latex p$ tal que $latex V\cap N$ son los ceros de $latex y^{n+1},...,y^{m}$, para $latex p\in SL(n,\mathbb{R}) \times SL(n,\mathbb{R})$ toma $latex (V\cap N, y^1, ..., y^n)$ y para $latex M$ la inclusión $latex i$ se ve así:


$latex (y^1, ..., y^n) \mapsto (y^1, ..., y^n, 0,...,0)$

Donde claramente se ve que es un encaje , y por lo tanto la operación en $latex SL(n,\mathbb{R})$ también es diferenciable por ser un encaje en el grupo general lineal que consta de un polinomio.


Falta ver que el obtener el inverso también es suave.


Sea $latex \hat{\iota}: SL(n,\mathbb{R}) \rightarrow SL(n,\mathbb{R})$  el mapeo inverso, vamos a ver que es $latex C^\infty$, sea $latex i:SL(n,\mathbb{R}) \hookrightarrow GL(n,\mathbb{R})$ la inclusión y sea $latex \iota: SL(n,\mathbb{R}) \rightarrow SL(n,\mathbb{R})$ el mapeo inverso en $latex GL(n,\mathbb{R})$ (El cual sabemos que es diferenciable, recuerden que para invertir basta un número de operaciones finitas en la matriz que son sumas y multiplicaciones, pero aquí le quitamos una dimensión y tenemos que demostrar que también sigue siendo diferenciable). consideremos la composición de los dos mapeos $latex C^\infty$

$latex \iota \circ i: SL(n,\mathbb{R}) \xrightarrow{i} GL(n,\mathbb{R}) \xrightarrow{\iota} GL(n,\mathbb{R})$

Esto es $latex C^\infty$ ya que su imagen está contenida en la subvariedad $latex SL(n,\mathbb{R})$ que es regular por lo que el mapeo inducido $latex \hat{\iota}$ es $latex C^\infty$ el cual es un resultado básico de geometría diferencial , por lo tanto $latex SL(n,\mathbb{R})$ es un grupo de lie $latex \blacksquare$



En el siguiente post abordaremos el espacio tangente a la identidad de un grupo de Lie para darle estructura de álgebra.


Espero les haya gustado

Eduardo Ruiz Duarte (beck)
twitter: @toorandom