Cohomología de Monsky-Washnitzer y punto fijo de Lefschetz (parte 1 Cohomología Grothendieck-deRham Algebraico)

Este es el último post de este año, mañana me voy de vacaciones a Israel pero vine a la oficina en 28 de diciembre para no sentirme culpable de estar en el mar muerto flotando y no continuando mis algoritmos y proyectos pendientes para mi trabajo de investigación en mi actual casa académica que es el Instituto Johann Bernoulli en los Países Bajos.

Parte de lo que estoy investigando tiene que ver con contar soluciones $latex \mathbb{F}_q$-racionales de jacobianas de curvas hiperelípticas de género 2, como ya lo he mencionado en posts anteriores, esto es importante, por razones prácticas y por razones puramente matemáticas.

En cuanto a las razones prácticas tenemos que estas jacobianas de curvas hiperelípticas están consideradas para suplir en un futuro a las curvas elípticas en criptografía, por lo que necesitamos ver maneras de extraer la cardinalidad de su conjunto de soluciónes con el fin de poder ver si el grupo abeliano asociado a la curva es seguro en términos criptográficos. Esta cardinalidad nos dará la traza del endomorfismo de Frobenius, y por lo tanto, podemos obtener también la cardinalidad de la curva hiperelíptica.

Las razones matemáticas son la riqueza matemática que conlleva poder conocer esto, ahora vamos a definir una teoría de cohomología útil para teoría de números que nos permite contar puntos, y que nace de la Cohomología de DeRham algebraica propuesta por Alexander Grothendieck así como del trabajo de Dwork quien probó que la función Zeta de una variedad algebraica sobre un campo finito es simplemente un cociente de polinomios.

Lo que queremos es que con esta teoría de Cohomología dada por Monsky-Washnitzer poder encontrar explícitamente la función zeta de una variedad $latex X$ sobre un campo finito $latex \mathbb{F}_q$ con $latex q=p^n$, esta cohomología es la misma que la de deRham algebraica pero aplicada a un anillo especial.

$latex \zeta_{\mathbb{F}_q}(t)=\exp{\sum_{s\geq 1} \frac{|X(\mathbb{F}_{q^s})|}{s}q^{-st}}$

Donde $latex |X(\mathbb{F}_{q^s})|$ denota el número de puntos racionales de $latex X$ en la extensión de grado $latex s$ de $latex \mathbb{F}_q$.

Queremos contar puntos, y un ingrediente crucial es el teorema del punto fijo de Lefschetz, que es la generalización del teorema del punto fijo de Brouwer el cual expuse aquí en mi blog, este teorema en nuestro contexto nos dice básicamente que si $latex X$ es una variedad sobre un campo finito $latex \mathbb{F}_q$ y si $latex \bar{X}$ es el levantamiento (lifting) de $latex X$ a $latex \bar{\mathbb{F}_q}$ , sabemos que el endomorfismo de frobenius $latex \Phi_q$ va a mapear puntos con coordenadas $latex x_1,...,x_n$ a el punto con coordenadas $latex x_1^q, ..., x_n^q$, entonces los puntos fijos que $latex \Phi_q:\bar{X}\rightarrow\bar{X}$ son exactamente los puntos $latex X$ (porque Frobenius se comporta como la identidad en los puntos $latex \mathbb{F}_q$-racionales) entonces el teorema del punto fijo de Lefschetz implica que en el caso de que $latex X$ sea suave y bien portada como variedad:

$latex |X(\mathbb{F}_q)|=q^{\text{Dim }X} \sum_i (-1)^i Tr(\Phi_q)^{-1}|H^{i}(\bar{X},\mathbb{Q}_l)$

La cohomología que usaremos será la cohomología de deRham algebraica aplicada a un anillo especial que es un lifting (levantamiento) del anillo de coordenadas, hoy definiremos la cohomología de deRham y los problemas que nos va a causar no trabajar en el Lifting.

Hoy nos enfocaremos a construir esta cohomología definida en GAGA por Alexander Grothendieck, para cualquier anillo de tipo finito, que será la base de la cohomología de Monsky-Washnitzer aplicada a un anillo en específico.

Primero que todo, $latex \mathbb{K}$ es un campo perfecto y $latex A$ una $latex \mathbb{K}$-álgebra finitamente generada, que en el caso práctico puede ser un anillo de coordenadas de una variedad $latex X$ cuyas coordenadas a veces denotaremos como $latex \bar {x_i}$ para $latex i\leq n$ por lo que $latex A=\mathbb{K}[\bar{x_1},...,\bar{x_n}]=\mathbb{K}[x_1,...,x_n]/\langle f_1,...,f_r \rangle=\mathbb{K}[X]$ donde $latex X$ está definido por $latex \lbrace f_i \rbrace_{i=1}^{r}\subset \mathbb{K}[x_1,...,x_n]$ irreducibles sobre $latex \mathbb{K}$.

Cohomología de DeRham algebraica con diferenciales de Kähler

Ahorita queremos transportar el cálculo diferencial y análisis a álgebra, por lo que definiremos en abstracto lo que es una derivada y los diferenciales de un anillo de cierto modo generalizados, simplemente pidiendo simbólicamente la regla de Leibniz en este caso sobre el anillo de funciones de una variedad, donde la función de derivación sobre el álgebra finitamente generada será naturalmente heredada con la derivación parcial en cada variable de los polinomios.

Definición: $latex \Omega_{A/\mathbb{K}}$  es el $latex A$-módulo de diferenciales de Kähler, es decir, vamos a tomar $latex \forall a\in A$ los símbolos $latex\space da$ y las siguientes relaciones.

* $latex \space dk=0$ para $latex k\in\mathbb{K}$

* $latex d(a+b)=da+db$ 

* $latex d(ab)=a\cdot db+b\cdot da$ donde $latex a,b\in A$

Por ejemplo, si tenemos que $latex A$ es el anillo de coordenadas de $latex X$ una curva dada por la intersección de irreducibles, es decir, $latex f_1,..,f_r \in \mathbb{K}[x_1,...,x_n]$ entonces:

$latex A=\mathbb{K}[x_1,...,x_n]/\langle f_1,...,f_r\rangle$

Entonces tenemos que explícitamente:

$latex \Omega_{A/\mathbb{K}}=\bigoplus _{i=1}^{n} Adx_i /\langle f_1,...,f_r \rangle$

donde $latex df:=\sum_{j=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_j} dx_j$ (Derivada total)

Es decir, como $latex A=\mathbb{K}[\bar{x_1},...,\bar{x_n}]$, tenemos que $latex \Omega_{A/\mathbb{K}}$ es un módulo libre en los generadores $latex d\bar{x_1},...,d\bar{x_n}$ y nota que el álgebra $latex A=\mathbb{K}[\bar {x_1},...,\bar{x_n}]$ está generada como una $latex \mathbb{K}$-álgebra por $latex \bar{x_1},...,\bar{x_n}$ por lo que $latex \Omega_{A/\mathbb{K}}$ esta generado como $latex \mathbb{K}[\bar{x_1},...,\bar{x_n}]$-módulo por $latex d\bar{x_1}, .., d\bar{x_n}$.

Existen muchas derivadas, pero la más natural $latex d:A\rightarrow \Omega_{A/\mathbb{K}}$ es la que manda $latex a\mapsto da$.

Como dije anteriormente, hay muchas derivadas, pero eso no perjudica la unicidad de $latex \Omega_{A/\mathbb{K}}$ ya que si nos encontramos con otra derivación $latex \mathbb{K}$-lineal $latex D:A\rightarrow M$ , ésta se factoriza de manera única como $latex A\xrightarrow{d}\Omega_{A/\mathbb{K}}\rightarrow M$.

De hecho si $latex A=\mathbb{K}[x_1,...,x_n]$ es el anillo de polinomios en $latex n$ variables, (es decir, el anillo de coordenadas del espacio afín $latex \mathbb{A}^n$ tenemos que $latex \Omega_{A/\mathbb{K}}\cong \bigoplus_{i=1}^n A$ , esto lo pueden demostrar ustedes utilizando el mapeo $latex A\rightarrow \bigoplus_{i=1}^n A$ dado por $latex f\mapsto (\frac{\partial f}{\partial x_1},...,\frac{\partial f}{\partial x_n})$ y notando que es una derivada $latex \mathbb{K}$-lineal y que el mapeo $latex \phi:\Omega_{A/\mathbb{K}}\mapsto \bigoplus_{i=1}^n A$ dado por $latex df\mapsto (\frac{\partial f}{\partial x_1},...,\frac{\partial f}{\partial x_n})$ es un isomorfismo con inverso $latex \psi:\bigoplus_{i=1}^n A \rightarrow \Omega_{A/\mathbb{K}}$ dado por $latex (f_1,...,f_n)\mapsto \sum_{i=1}^n f_idx_i$.

Una observación "geómetra algebraica" es que la curva definida por el álgebra $latex A$ (su anillo de coordenadas) , por más abstracto que sea esto y por más raro o más típico que sea el campo $latex \mathbb{K}$ es suave, sin singularidades extrañas en su geometría, entonces $latex \Omega_{A/\mathbb{K}}$ es un módulo localmente libre de rango exactamente la dimensión de Krull del anillo $latex A$ que coincide con la dimensión topológica de la variedad $latex X$ asociada al álgebra $latex A$.  

Ahora vamos a construir los grupos de cohomología, para esta parte es necesario que entiendas lo que es el producto cuña $latex dx_i\wedge dx_j$, yo aquí lo expongo con ejemplos y de manera geométrica.

Definición: Sea $latex \Omega^k_{A/\mathbb{K}}=\bigwedge_{i=1}^k \Omega_{A/\mathbb{K}}$ , es decir en particular $latex \Omega^{0}_{A/\mathbb{K}}=A$ y $latex \Omega^{1}_{A/\mathbb{K}}=\Omega_{A/\mathbb{K}}$

Y construyamos el complejo de cadenas dado por 

                 $latex d_{k}:\Omega^{k-1}_{A/\mathbb{K}}\rightarrow \Omega^{k}_{A/\mathbb{K}}$ 

$latex f_0 df_1\wedge ... \wedge df_{k-1}\mapsto df_0\wedge df_1\wedge ... \wedge df_{k-1}$

Estas $latex d_j$ entre los módulos de diferenciales de orden $latex j$ y  $latex j+1$ pueden demostrar que son derivaciones, y denotamos como $latex \Omega^{\bullet}_{A/\mathbb{K}}$ al complejo de cadenas resultante con su respectivo operador de frontera en cada flecha dado por $latex d_j$.

$latex \cdots\xrightarrow{d_{k-1}}\Omega^{k-1}_{A/\mathbb{K}}\xrightarrow{d_{k}} \Omega^k_{A/\mathbb{K}}\xrightarrow{d_{k+1}} \Omega^{k+1}_{A/\mathbb{K}}\xrightarrow{d_{k+2}}\cdots$

Pueden demostrar que en efecto $latex d_{k+1}\circ d_k =0$ por lo que $latex \text{Im}{d_k}\subseteq \ker d_{k+1}$, que es lo fundamental para construir la teoría de cohomología.

Definición: El complejo de DeRham para la $latex \mathbb{K}$-álgebra $latex A$ está dado por el complejo de cadenas $latex \Omega^{\bullet}_{A/\mathbb{K}}$ donde su i-ésimo grupo de Cohomología está definido como: 

$latex H^{i}_{dR}(A/\mathbb{K}):=H^{i}(\Omega^{\bullet}_{A/\mathbb{K}})=\ker{d_{i+1}}/\text{Im} d_{i}$

Nota que si $latex \space i> KrullDim(A)=Dim(X)$ por las propiedades del producto cuña $latex \wedge$ tendrás dependencia lineal por lo que $latex \Omega^i_{A/\mathbb{K}=0$ que implica que $latex H^i(A/\mathbb{K})=0$ , nota que podemos generalizar esta construcción a esquemas de tipo finito por lo que es mejor denotar $latex H^{i}_{dR}(X/\mathbb{K}):=H^{i}_{dR}(A/\mathbb{K})$ donde $latex X=Spec(A)$ , esto es la generalización usando el espectro del anillo y lo tengo explicado aquí con ejemplos, pero si no te gusta esto, o te es muy complicado, sigue usando el anillo $latex A$.

Cohomología en característica p

Vamos a jugar un poco con esta cohomología y supongamos ahora que $latex \mathbb{K}=\mathbb{F}_p$, queremos definir una teoría de cohomología para variedades sobre $latex \mathbb{F}_p$ , el punto aquí será definir una teoría de cohomología con coeficientes en un campo de característica 0 relacionado muy cercanamente con $latex \mathbb{F}_p$ para una variedad afín sobre $latex \mathbb{F}_p$.

Primero, observemos por qué el párrafo anterior, considera $latex X=\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_p}$ es decir $latex A=\mathbb{F}_p[X]=\mathbb{F}_p[x]$, es fácil ver que $latex H^{1}_{dR}(A/\mathbb{F}_p)$ es un $latex \mathbb{F}_p$-espacio vectorial de dimensión infinita ya que por ejemplo $latex d_1(x^{pk})=0$ $latex \forall k\geq 0$ por lo que $latex \lbrace x^{pk-1}dx \rbrace_{k\geq 0} \not\subset \text{Im }d_1$ y $latex \lbrace x^{pk-1}dx \rbrace_{k\geq 0}\subset \Omega_{A/\mathbb{F}_p}$  $latex \forall k\geq 0$

  

O sea tenemos que $latex d_1:A\rightarrow \Omega^{1}_{A/\mathbb{F}_p}$ está dado por $latex f\mapsto df$ y $latex d_2:\Omega^{1}_{A/\mathbb{F}_p}\rightarrow \Omega^{2}_{A/\mathbb{F}_p}$ está dado por $latex gdf\mapsto dg\wedge df$.

Con esto anterior y la observación de que $latex x^{pk-1}dx\notin \text{Im }d_1$ tenemos que:

$latex \ker d_2=\langle \lbrace cdf : f\in A,\text{ }\forall c\in\mathbb{F}_q\rbrace \cup \lbrace cx^{pk}df : k\geq 0\rbrace\rangle$

$latex \text{Im }d_1=\langle \lbrace df \in \Omega^{1}_{A/\mathbb{F}_q} : f=cx^{pk+r},\text{ }r\neq -1\rbrace\rangle$

Por lo tanto:

$latex H^{1}_{dR}(A/\mathbb{F}_q)=\ker d_{2}/\text{Im }d_{1}$

Es como $latex \mathbb{F}_p$-espacio vectorial tiene una infinidad de generadores dados por todos los valores que puede tener $latex k\geq 0$ ya que la Imágen de $latex d_1$ está totalmente contenida en la parte izquierda del kérnel de $latex d_2$ y la parte derecha es infinita.

Esto es un problema... tenemos que de hecho $latex \Omega^{1}_{A/\mathbb{F}_p}$ tiene dimensión infinita, esto no nos sirve de nada, es muy grande, necesitamos deshacernos de la característica $latex p$ que nos da problemas con las derivaciones de funciones polinomiales con exponente múltiplo de $latex p$.

El campo de característica 0 que usaremos es $latex \mathbb{Q}_p$ (campo de p-ádicos que lo puedes ver explicado en mi blog aquí )y considera su anillo de enteros asociado $latex \mathbb{Z}_p$ , es bien conocido que $latex \mathbb{Z}_p/p\mathbb{Z}_p\cong \mathbb{F}_p$, 

Supón que tienes una $latex \mathbb{F}_p$-álgebra $latex A$ , entonces si pudieramos encontrar una $latex \mathbb{Z}_p$-álgebra suave $latex \tilde{A}$ con $latex \tilde{A}\otimes_{\mathbb{Z}_p}\mathbb{F}_p\cong A$ podrías considerar la cohomología de DeRham de la $latex \mathbb{Q}_p$-álgebra $latex \tilde{A}_{\mathbb{Q}_p}:=\tilde{A}\otimes_{\mathbb{Z}_p}\mathbb{Q}_p$

Con esto, ya nos deshacemos de la dimensión infinita, pero el problema es que levantar (lift) el álgebra $latex A$ como $latex \mathbb{Z}_p$-álgebra da diferentes grupos de cohomología , aunque finitos pero diferentes y necesitamos una manera de poder encontrar un lifting único que nos sirva para poder aplicar el teorema del punto fijo.

Por ejemplo si $latex A=\mathbb{F}_p[x]$ y $latex \tilde{A}_1=\mathbb{Z}_p[x]$ , $latex \tilde{A}_2=\mathbb{Z}_p[x,y]/\langle (1+px)y-1 \rangle$, puedes verificar que $latex H^1_dR(\tilde{A}_{1,\mathbb{Q}_p}/\mathbb{Q}_p)=0$ y $latex H^1_dR(\tilde{A}_{2,\mathbb{Q}_p}/\mathbb{Q}_p)$ tiene dimensión 1

Como vemos, tenemos dos liftings de $latex A$ con diferente grupo de cohomología.

Vamos a seguir después con el anillo en el que queremos trabajar la cohomología, para aplicar el teorema del punto fijo de Lefschetz por ahora nos quedamos aquí.

Después le seguimos, espero les haya interesando.

Eduardo Ruíz Duarte (beck)

twitter: @toorandom

Teorema de punto fijo de Brouwer y Equilibrio de Nash con topología general

Hoy es el aniversario luctuoso de Luitzen Egbertus Jan Brouwer, fue un matemático Holandés que murió hace 49 años, él demostró uno de los tantos cientos de teoremas de punto fijo, pero el suyo (teorema de punto fijo de Brouwer), considero es de los más importantes (Junto con el que es más importante para mí que es el de Lefschetz que se usa para hacer cohomología en campos finitos), el de Brouwer es un resultado que movió toda la teoría de topología de espacios euclídeos, ecuaciones diferenciales, topología algebraica y teoría de juegos, donde de hecho el teorema del equilibrio de Nash es una consecuencia/corolario del teorema del punto fijo de Brouwer.

También aparte del aniversario luctuoso de Brouwer escribo este post porque hace pocos meses John Nash murió en un accidente automovilístico, y con mi "modita" de escribir un poco de teoría para recordar sus grandes mentes, dejo este post, que como siempre es personal, sin tanto rigor, pero algunas demostraciones, podrán haber errores, los cuales con gusto me pueden corregir en los comentarios o contactarme.

Equilibrio de Nash

Todos vieron esa película "Beautiful Mind" con Russell Crowe que hace el papel de John Nash, el teorema de John Nash sin matemáticas dice aproximadamente que en cualquier juego multijugador donde se permitan cambiar estrategias, y donde cada quién ya está en cierta parte de la evolución del juego donde se conocen las estrategias de los demás, siempre habrá un punto (de equilibrio de Nash) en el que al haber ejecutado su mejor estrategia cada quien, todos tendrán el mejor resultado posible visto individualmente.

Esto quiere decir que está el punto final del juego donde uno gana y todos los demás pierden, pero también hay un punto en donde todos están en su mejor posición posible con respecto a su estrategia, donde al dejar el juego sería la maximización de sus ganancias.

En la película esto lo ejemplifican de manera un poco machista en la escena del bar, donde al todos "competir" por la chica linda, a nadie los va a pelar por atascados o sólo a uno y los demás no podrán ligarse a las amigas de la chica linda porque no querrán ser "plato de segunda mesa", pero al cambiar la estrategia si no pela nadie a la linda y todos se van con sus amigas, la mayoría habrá "ligado". Este punto es el punto en donde se maximiza la ganancia de todos, esta maximización existe... SIEMPRE, y es lo que probó Nash, y es parte de la base de toda la economía mundial y teoría de decisiones.

Esta teoría impactó mucho la teoría económica ya que Adam Smith antes había descrito el individualismo como principal estrategia para lograr los mejores objetivos, pero aquí entra un juego filosófico/social/económico donde a veces el individualismo no siempre es lo mejor, incluso para el individuo ganador, ya que la maximización de recursos de los contrincantes podría traer otro tipo de consecuencias positivas que en la evolución del juego traerían una mayor ganancia a otro plazo (por ejemplo Paz, economía sólida entre países, et cétera).

Teorema del punto fijo de Brouwer


Aquí expondré el Teorema del punto fijo de Brouwer, pero sólo en dimensión 1, recuerdo que esto fue parte de un examen que tuve, para dimensión $latex n$ desafortundamente no tengo el tiempo (ni tampoco la demostración en mi mente a la mano) para poder hacerla, aunque recuerdo que funciona con grupos de homología, espero pronto (en vacaciones) poder dedicarle un tiempo para dimensión $latex n$.

Teorema (Punto fijo de Brouwer)
Sea $latex f\in C^0$, $latex \mathbb{D}^n=\lbrace \bar{x}\in \mathbb{R}^n : ||\bar{x}||\leq 1 \rbrace$ y $latex f:\mathbb{D}^n \rightarrow \mathbb{D}^n$ entonces existe $latex \bar{x_0}\in \mathbb{D}^n$ tal que $latex f(\bar{x_0})=\bar{x_0}$

En español: Si tenemos una función continua que va del disco cerrado de dimensión $latex n$ a sí mismo, entonces siempre habrá al menos un punto $latex \bar{x_0}\in \mathbb{D}^n$ donde la función se comporta como la identidad, es decir donde $latex f(\bar{x_0})=\bar{x_0}$.

Demostración para $latex n=1$, usando topología en vez del el trillado teorema de valor intermedio.

Primero vamos a ver qué significa geométricamente, con este dibujito que hice en este sitio.

Aquí tenemos una función $latex f$ en verde claramente continua en $latex \mathbb{D}^1=\lbrace x\in \mathbb{R} : |x| \leq 1\rbrace=[-1,1]$, es decir, el disco de dimensión 1 es un intervalo cerrado en $latex \mathbb{R}$ , también vemos en azul la función identidad que corresponde a la diagonal $latex \Delta=\lbrace (x,x) : x\in\mathbb{D}^1\rbrace \subsetneq \mathbb{D}^1\times\mathbb{D}^1$, que es justamente la gráfica de la función $latex y=x$ en $latex \mathbb{R}^2$ delimitada al cuadrado $latex [-1,1]\times[-1,1]=\mathbb{D}^1\times\mathbb{D}^1$.

La gráfica verde de la función la definiremos como $latex G_f=\lbrace (x,f(x)) : x\in\mathbb{D}^1\ \rbrace\subsetneq \mathbb{D}^1\times\mathbb{D}^1$.

Lo que queremos demostrar para cualquier $latex f\in C^0$ donde $latex f:\mathbb{D}^1\rightarrow \mathbb{D}^1$ es que $latex G_f\cap \Delta \neq \emptyset$, o sea que existe un punto $latex x_0\in \mathbb{D}^1$ tal que $latex f(x_0)=x_0$ y esto lo haremos muy rápidamente usando topología básica.

Sólo necesitamos recordar que un abierto básico  $latex U\subset \mathbb{R}^n$ es aquel que para todo $latex x\in U$ existe un $latex \epsilon$ >  $latex 0$ tal que $latex B_\epsilon(x)\subset U$ es decir, siempre podemos encontrar una bola rellena alrededor de $latex x$ de radio $latex \epsilon$ (la medida del radio está dada por la métrica de $latex \mathbb{R}^n$) totalmente contenida en $latex U$, por más que ese $latex x$ esté cerca de la frontera/orilla de $latex U$, ese punto no puede estar en la frontera de $latex U$ porque la frontera de $latex U$ no es parte del abierto $latex U$ por cómo está definida la noción de abierto.

Continuemos con la demostración. sea $latex f(-1)=a$ y $latex f(1)=b$ , en el dibujo los podemos ver en rojo. Si $latex f(-1)=-1$ o $latex f(1)=1$ ya acabaríamos cuyo caso sería trivial, entonces vamos a suponer lo contrario que es que $latex f(-1)=a > -1$ y $latex f(1)=b < 1$.

Lo que queremos usar es una idea de conexidad topológica, diciendo que cualquier camino entre los puntos rojos $latex (-1,a),(1,b)$ el cual lo denotamos por $latex \gamma_{a,b}\subset \mathbb{D}^1\times\mathbb{D}^1$ debe cruzar por $latex \Delta$ , lo cual intruitivamente parecería muy fácil, pero demostrarlo formalmente requiere topología, ya que lo estamos generalizando para cualquier función continua, sea como sea, y no sólo la función verde linda del dibujo.


Tenemos que por hipótesis $latex f$ es continua, por lo que $latex G_f$ está conectado (es conexo), y esto es porque $latex G_f=Im(\Phi)$ (imagen de $latex \Phi$) donde $latex \Phi$:

$latex \begin{aligned}\Phi:\mathbb{D}^1&\rightarrow \mathbb{D}^1\times\mathbb{D}^1 \\ x&\mapsto (x,f(x)) \end{aligned}$

Donde este mapeo es fácil demostrar que es continuo usando la continuidad de $latex f$.
Y de la continuidad es sabido por topología básica que una función continua $latex \phi:X\rightarrow Y$ entre dos espacios topológicos, si $latex X$ es conexo (o aún más fuerte, conexo por trayectorias) , entonces $latex Im(\phi)\subseteq Y$ también es conexo (por trayectorias si $latex X$ lo era), en este caso aquí la $latex \phi$ es nuestra $latex \Phi$. Este resultado es una especie de generalización del teorema del valor intermedio que todos vieron en su clase de cálculo 1.

Ahora, construiremos dos conjuntos abiertos.

$latex A=\lbrace (x,f(x)) : f(x) > x \rbrace$
$latex B=\lbrace (x,f(x)) : f(x) < x \rbrace$

Nota que estos dos conjuntos jamás pueden ser vacíos, ya que $latex (-1,a)\in A$ y $latex (1,b)\in B$.

Estos dos conjuntos representan intuitivamente lo que está arriba ($latex A$) y lo que está abajo ($latex B$) de la diagonal $latex \Delta$, y también nota que no tienen puntos fijos (ya que es lo que queremos demostrar).

Procediendo por contradicción, si suponemos que de hecho $latex f$ no tiene puntos fijos, entonces debería suceder que $latex G_f\cap \Delta = \emptyset$, lo cual implicaría que por como construimos $latex A$ y $latex B$ entonces $latex G_f = A\cup B$, pero $latex A,B\subset G_f$ son abiertos en $latex G_f$, y disjuntos, por lo que su unión es disjunta, esto contradice que la imagen de $latex \Phi$ que es $latex G_f$ es conexa $latex \blacksquare$

Nota sobre $latex A$ y $latex B$ al final de la demostración

¿por qué $latex A$ y $latex B$ son abiertos EN $latex G_f$?

Esto no lo justifiqué hace algunos años en mi examen, y me causó un comentario al final de la demostración en mi escrito, pero aquí dejo una idea con la que ustedes pueden demostrarlo (que es muy fácil en $latex \mathbb{R}$), ya que la métrica de $latex \mathbb{R}$ heredada a $latex G_f$ te permite demostrar que en este caso intervalos semi-abiertos/semi-cerrados  (con un extremo que incluya su frontera) , realmente son ABIERTOS, ya que lo obtienes de la topología heredada de $latex \mathbb{R}^2$ intersectándolo con un abierto, por ejemplo si $latex \alpha\in \mathbb{D}^1$ y $latex \beta >1$:

$latex U=(\alpha,1]=\mathbb{D}^1\cap (\alpha,\beta)$.

Donde $latex (\alpha,\beta)\subset \mathbb{R}$ , por lo que $latex U\subset\mathbb{D}^1$ es abierto con respecto a $latex \mathbb{D}^1$.

La demostración en general para cualquier dimensión, no existe generalizada de esta forma, se utiliza álgebra homológica para construir algo así como el teorema del valor intermedio generalizado, o el teorema que generaliza esto aún más es el de Borsuk-Ulam  si eres más ambicioso.

El teorema del equilibrio de Nash y el teorema del punto fijo de Brouwer están conectados en que la funcion de ganancia (que él demuestra que es continua) de todos los jugadores con respecto al espacio de todas las estrategias de cada uno (ambas están en N variables, donde N es el número de jugadores que es fínito para asegurar que se trabaje en un espacio compacto), tienen un punto fijo, y él demuestra que este punto es de equilibrio, no puedo entrar en más detalles de la prueba porque no conozco los artificios de teoría de Juegos a ese nivel, pero espero les haya servido.


Eduardo Ruíz Duarte (beck)
Twitter: @toorandom