Sobre Campo de funciones de superficie de Kummer de una curva de género 2

Estoy estudiando un campo de funciones especial para mi investigación que es un subcampo del campo de funciones de la superficie de Kummer de la jacobiana de una curva hiperelíptica $latex C$  de género 2 sobre un campo finito $latex \mathbb{F}_q$.

Esto lo escribo meramente para poder saber si yo lo entiendo, pero cualquier duda escríbanme en los comentarios, ya que el tema es muy interesante.

Para poder construir este subcampo primero necesito conocer bien el campo de funciones de la superficie de Kummer asociada a la Jacobiana que realmente es sólamente considerar los puntos de la jacobiana módulo la involución en sus elementos, es decir estamos pegando los puntos opuestos en la Jacobiana, lo que ya no nos permitirá diferenciar $latex P$ de $latex -P$ con $latex P\in \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)}$.

La superficie de Kummer es cuártica en el espacio proyectivo de dimensión 3 $latex \mathbb{P}^3$ que tiene exactamente 16 singularidades nodales (es decir que si ese punto en una superficie en $latex \mathbb{P}^3$ es tal que si lo tomas como el origen de un sistema de coordenadas afín, la ecuación de esa superficie tiene la forma $latex 0=\alpha(x,y,z)+$ términos más grandes en grado con $latex \alpha$ una fórma cuadrática homogénea no degenerada.

Vamos a construir la superficie de Kummer $latex K(C)$ asociada a $latex P\in\mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)}$.

Sea $latex C$ la curva hiperelíptica de género 2 con modelo no singular sobre $latex \mathbb{F}_q$ de característica diferente de 2 dada por

$latex y^2=f(x)=x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$  donde $latex a_i \in \mathbb{F}_q$

donde $latex f$ no tiene raíces múltiples, entonces $latex C$ tiene un sólo punto al $latex \infty$ denotado por $latex P_\infty$ tal que si $latex \iota \in Aut_{\mathbb{F}_q}(C)$ es la involución hiperelíptica dada por el mapeo $latex (x,y)\mapsto (x,-y)$ y $latex \iota(P_\infty)=P_\infty$.

La clase de divisores canónicos $latex [\omega]\in Pic^0(C)\cong \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)}$.  en $latex C$ está dada por líneas verticales cortando la curva por lo que $latex 2P_\infty$ junto con estos 5 puntos $latex 2W_i$ donde $latex W_i$ es uno de los 5 puntos de Weierstrass son divisores canónicos.

Tenemos ahora que como grupo abeliano $latex \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)}:= Div^0(C)/Pr(C)$, es decir los divisores de orden 0 (grupo abeliano libre de las sumas formales de puntos  cuyos elementos cumplen que la suma de sus coeficientes sobre $latex \mathbb{Z}$ da 0) modulo los divisores principales que están formados por los divisores de orden cero nacidos de la intersección de funciones de la curva cuyos puntos tienen coeficiente el órden de intersección de ésta con la función.)

$latex \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)}$ se obtiene via $latex Sym^2(C)$, es decir es la variedad de pares de puntos no ordenados de $latex C$ (es decir, el producto cartesiano de $latex C$ con sigo misma olvidando el orden), es fácil demostrar que $latex \Phi:Sym^2(C)\rightarrow \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)}$ con $latex \lbrace P,Q\rbrace\mapsto [P+Q-2\infty]$ donde $latex P,Q\in C$  donde la fibra sobre $latex 0\in \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)}$ es $latex \Phi^{-1}(0)=\lbrace \lbrace P,Q \rbrace \in Sym^2(C) \mid P+Q\in [\omega]\rbrace$ y la fibra sobre otro punto es solo otro punto.


Ahora vamos a identificar el campo de funciones de $latex Sym^2(C)$ denotado por $latex \mathbb{F}_q(Sym^2(C))$ que es también el campo de funciones de $latex \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)}$ .

Comenzamos, considera el producto cartesiano de la curva con si misma $latex C\times C$ y entonces metiendo ot

Esto lo hice más para mi, pero pretendo complementar la construcción de esto mediante divisores de Mumford.
ra nueva variable $latex z$ donde $latex z^2=f(z)$ es la misma curva $latex C$ tenemos que :

$latex \mathbb{F}_q(C\times C)=\mathbb{F}_q(x,z,\sqrt{f(x)}, \sqrt{f(z)})$

Por otro lado el campo de funciones de $latex Sym^2(C)$  son las funciones que son invariantes bajo permutacion de variables $latex (x,\sqrt{f(x)}) \leftrightarrow (z,\sqrt{f(z))$ es decir

$latex \mathbb{F}_q(Sym^2(C))$ es el campo fijo de $latex \mathbb{F}_q(C\times C)$ bajo la acción del automorfismo $latex \tau\in Aut(C)$ dado por intercambiar $latex x$ por $latex z$ es decir $latex \tau(x)=z$ y $latex \tau(z)=x$ por lo que tenemos que
$latex \mathbb{F}_q(Sym^2(C))=\mathbb{F}_q(x+z,xz,z\sqrt{f(x)}, x\sqrt{f(z)})$


Puedes demostrar que $latex [\mathbb{F}_q(C\times C):\mathbb{F}_q(Sym^2(C))]=2$

Ahora, el punto base $latex P_\infty$ implica que la involución de divisores $latex \hat \iota(D)=-D\in \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)} $ está inducida por la involución hiperelíptica $latex \iota$, de tal manera que el automorfismo inducido de $latex \mathbb{F}_q(Sym^2(C))$ está dado por el cambio de signo de los radicales, por lo que el automorfismo cambia el signo de $latex x\sqrt{f(z)}+z\sqrt{f(x)}$ y deja a los otros generadores fijos, por lo que el campo fijo es finalmente es el campo de funciones de la superficie de Kummer que queríamos construir partiendo de la construcción de la jacobiana módulo involución:
$latex \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)}/(\hat\iota)=\mathcal{K}(\mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)})=\mathbb{F}_q(x+z,xz,z\sqrt{f(x)}\cdot x\sqrt{f(z)})$

Y este es el campo de funciones de la superficie de Kummer asociada a la Jacobiana de una curva hiperelíptica de Género 2.

Puedes probar Más explícitamente con esto:

Corolario:
Sea $latex f(x)=\prod_{i=1}^5{(x-\alpha_i)}$
entonces $latex f(x)f(u)=\prod_{i=1}^5{(x-\alpha_i)(z-\alpha_i)}=\prod_{i=1}^5{(xz-(x+z)\alpha_i+\{\alpha_i}^2)}=\Delta(x,z)$

Entonces tenemos que la superficie de Kummer de la jacobiana de una curva hiperelíptica de género 2 dada por $latex y^2=f(x)$ tiene como campo de funciones:

$latex \mathbb{F}_q(x,z,t)$ tal que $latex t^2=\Delta(x,z)$

Esto lo hice más para mi, pero pretendo complementar la construcción de esto mediante divisores de Mumford.

Eduardo Ruíz Duarte
twitter @toorandom

j-invariante y anillo de endomorfismos de curvas elípticas (isogenias)

Ahora, estoy dedicándome a explorar el anillo de endomorfismos de una curva elíptica $latex C$
sobre un campo perfecto (todo polinomio irreducible sobre este campo tenga raíces diferentes) para poder hablar de aplicaciones criptográficas.

Estos campos perfectos por excelencia en criptografía son $latex \mathbb{F}_q$.

Vamos a definir algunas cosas para clasificarlas, ya que anteriormente nos habíamos dedicado a estudiar cada curva por separado, pero ahora queremos considerar TODAS las curvas elípticas sobre un campo $latex \mathbb{K}$ , y ver cuáles son isomorfas, y ver cada clase de curvas isomorfas como la misma curva,  como un sólo punto, este espacio es una espacio modular, y generalmente es estudiado como un esquema.

Algo interesante es que en las curvas elípticas es que este espacio tiene dimensión 1, y de hecho es una linea topológicamente hablando.

Como sabemos, una curva elíptica tiene una estructura algebraica y una estructura geométrica, las curvas elípticas son el caso más simple de una variedad abeliana, éstas tienen dimensión 1 (Es decir, al considerar su anillo de coordenadas, su dimensión de Krull es 1, lo cual se traduce a que la cadena más grande de ideales por contención que se puede construir $latex \lbrace J_i \rbrace$ es de altura 1 por lo que $latex J_0 \subset J_1 \subset J_2$ tenemos que $latex J_1 = J_2$ lo que hace al anillo Noetheriano.

Vamos a explorar un poco lo que es una curva elíptica desde el punto de vista más formal, y construiremos relaciones de éstas, clasificaciones, y exploraremos cómo se comporta el anillo de morfismos de la curva en si misma, así como la relación que hay entre la traza y determinante de ciertos endomorfismos con el subgrupo de torsión de la curva en cuestión.


Curva suave de género 1, entonces es elíptica

Todas las curvas de género 1 son elípticas, como lo pueden ver en este post via el teorema de Riemann-Roch , y la construcción de la ecuación en la forma de Weierstrass ahora redefiniremos de una curva elíptica, recordemos que en la estructura algebraica de la curva siempre hay un punto distinguido que nos sirve como identidad visto como variedad abeliana, llamémoslo $latex \mathcal{O}$ , entonces si tenemos que una curva $latex E$ es suave de género g=1 y proyectiva , entonces por el teorema de Riemann-Roch tenemos que si $latex n>2g-2=0$ tenemos que $latex \mathcal{L}(n0)=n-g+2=n$  si $latex n=2$ y $latex n=3$ podemos encontrar dos funciones $latex x,y\in \mathbb{K}(E)$ que tienen exactamente 2 polos en $latex \mathcal{O}$ y $latex y$ tiene 3 polos en $latex \mathcal{O}$ , ahora si $latex n=6$, obtenemos una base para el espacio vectorial $latex \mathcal{L}(6\mathcal{O})$ la cual es $latex \lbrace 1,x,x^2,x^3,y,y^2,xy \rbrace$

La cual nos da la forma usual de la curva elíptica en la forma de Weierstrass como todos la conocemos.

$latex y^2 + f_1xy+f_3y = x^3+f_2x^2 + f_4x + f_6$

tal que $latex f_i \in \mathbb{K}$

Aquí fuimos de álgebra directamente a geometría.

Ahora, ya para geometrizar esto por completo, considera:

$latex \Phi: E \rightarrow \mathbb{P}^{2}_{\mathbb{K}}$
$latex (x,y) \mapsto [x:y:1]$

Ahora, también por lo anterior y Riemann-Roch tenemos que $latex [\mathbb{K}(E):\mathbb{K}(x)]=2$ y que $latex [\mathbb{K}(E):\mathbb{K}(y)]=3$ lo cual implica que $latex [\mathbb{K}(E):\mathbb{K}(x,y)]=1$, por lo que $latex \Phi$ tiene grado 1, como por hipótesis tenemos que $latex E$ es suave, sabemos que su discriminante $latex \Delta\neq 0$ ,  es decir $latex \Phi(\mathcal{O})=[0:1:0]=\infty$  es el punto al infinito.


Isogenias

La palabra "isogenia" no me gusta, pero no sé cómo traducirla, en inglés se dice "isogeny" , pero bueno, hay poca literatura en español sobre curvas isógenas (o no he buscado bien... o no he buscado más bien en español).

Lo que queremos hacer ahora es definir homomorfismos entre curvas elípticas, es decir queremos comenzar a compararlas de tal manera que ésta comparación respete sus propiedades geometricas y algebraicas.

Sean $latex E$ y $latex F$ dos curvas elípticas sobre $latex \mathbb{K}$ , una isogenia es un mapeo racional $latex \alpha: E\rightarrow F$ que induce homomorfismo de grupos de $latex E(\mathbb{K})$ y $latex F(\mathbb{K})$ (es decir entre los grupos abelianos inducidos por la curva elíptica)


Para entender esta definición, como ya lo había definido en el post antes citado en este post, vamos a redefinir lo que es un campo de funciones de una curva proyectiva en general para saber qué es un mapeo racional.

Sea $latex C(\mathbb{K})$ una curva proyectiva definida por $latex f(x,y,z)=0$ donde $latex f\in \mathbb{K}[x,y,z]$ es irreducible en $latex f\in \bar{\mathbb{K}}[x,y,z]$.

El campo de funciones $latex \mathbb{K}(C)$ son las funciones $latex g/h$ tal que

$latex g,h$ polinomios homogéneos del anillo $latex \mathbb{K}[x,y,z]$ de mismo grado
$latex h\notin (f)$  (el ideal generado por f)
$latex g_1/h_1$ y $latex g_2/h_2$ son equivalentes cuando $latex g_1h_2-g_2h_1 \in (f)$

Si te da miedo lo proyectivo, aquí te dejo la definición afín, pero debes trabajar proyectivamente, aquí te dejo un post anterior sobre el espacio proyectivo.

$latex \mathbb{K}(C)=Frac(\mathbb{K}[C])=Frac(\mathbb{K}[x,y]/(f))$

Decimos que un mapeo racional entre dos curvas proyectivas

$latex \Phi: E \rightarrow F$
$latex P\mapsto [\phi_x(P):\phi_y(P):\phi_z(P)]$

Tal que $latex \phi_i \in \mathbb{K}(E)$

Decimos que el mapeo es regular en $latex P\in E(\bar{\mathbb{K}})$  (puntos de E con coordenadas en la cerradura del campo) si existe $latex g\in\bar{\mathbb{K}}(E)$ tal que $latex [g\phi_x(P):g\phi_y(P):g\phi_z(P)]$ está bien definida y no todos son coordenada 0 ($latex [0:0:0] \notin \mathbb{P}^2$).


Si un mapeo es regular en todos los puntos, decimos que es un morfismo , puede verse en el libro Advanced topics in the arithmetic of elliptic curves (Silverman) que si $latex E$ es suave proyectiva, entonces todo mapeo racional de $latex E$ a una curva proyectiva $latex F$ es un morfismo.

Tambien decimos que un isomorfismo entre curvas elípticas es una isogenia invertible.

Como ejemplos que pueden trabajar en casa, consideren los mapeos sobre una curva $latex E$ sobre el campo $latex \mathbb{F_q}$  con $latex q=p^n$

$latex P\mapsto 2P$

Pueden demostrar que eso realmente es una isogenia

También
$latex \pi:E \rightarrow E$
$latex [x:y,z] \mapsto [x^q:y^q:z^q]$

Donde este mapeo es el endomorfismo de Frobenius y tenemos que
$latex \hat{\pi}:\mathbb{F}_q \rightarrow \mathbb{F}_q$
$latex x\mapsto x^p$

Este mapeo es muy importante , ya que es un automorfismo, y tenemos que

$latex \pi(\mathbb{F}_q)$ deja fijos a los elementos $latex \mathbb{F}_p$


Ahora queremos representar explícitamente las isogenias entre curvas elípticas.

Lema: Si $latex E$ y $latex F$ son curvas elípticas sobre $latex \mathbb{K}$  en su forma estándar de Weierstrass (como en los ejemplos) y si $latex \alpha$ es una isogenia no trivial, entonces tiene la siguiente forma:

$latex \alpha(x,y)=\Big( \frac{u(x)}{v(x)} , \frac{s(x)}{t(x)}y \Big )$

donde

$latex u,v,s,t \in \bar{\mathbb{K}}[x]$

y las fracciones están reducidas (numerador y cocientes son primos relativos)


Esto es fácil demotrarlo, te dejo los hints porque es mucha talacha para que tú lo hagas.

Considera lo que ya sabemos, supón que $latex \alpha$ está definido por el mapeo racional $latex [\alpha_x:\alpha_y:\alpha_z]$, y considera para todo punto afín

$latex [x:y:1] \in E(\bar{\mathbb{K}})$

$latex \alpha(x,y)=\Big ( r_1(x,y), r_2(x,y) \Big )$  donde $latex r_1(x,y)=\alpha_x(x,y,1)/\alpha_z(x,y,1)$ y $latex r_2(x,y)=\alpha_y(x,y,1)/\alpha_z(x,y,1)$

utilizando la relación de $latex E$ que ya conoces entre $latex x,y$ que es $latex y^2=x^3+ax+b$ elimina los factores $latex y^n$ y reescribe $latex r_1(x,y)=\frac{p_1(x)+p_2(x)y}{p_3(x)+p_4(x)y}$, multiplica el numerador y denominador por $latex p_3(x)-p_4(x)y$ y vuelve a reducir los $latex y^n$

Eso te dara otra versión de $latex \alpha$ que también tiene $latex y$, pero considera la simetría de la curva y el inverso de los puntos... sabes que $latex \alpha(x,-y)=-\alpha(x,y)$ por lo que deben haber cosas que se hagan 0, el argumento en $latex \alpha_y$ es similar.

El grado de una isogenia se define bajo esta representación tan cómoda como $latex \partial(\alpha):=max\lbrace u,v\rbrace$, y decimos que la isogenia $latex \alpha$ es separable si la derivada de $latex \frac{u}{v}$ NO es la función 0

El grado jugara un papel importante para despues definir otras cosas y jugar con la funcion zeta elíptica y el teorema de Hasse.

Corolario-Definición

Si $latex \alpha(x,y)$ es una isogenia como en el lema pasado, $latex v,t$ tienen las mismas raíces, y justamente estas raíces corresponden al kernel de $latex \alpha$



Teorema-Definición: Sea $latex \alpha: E\rightarrow F$ una isogenia con $latex \partial(\alpha)=n$ separable, entonces existe una única isogenia $latex \hat\alpha:F\rightarrow E$ tal que $latex \hat\alpha \circ \alpha = [n]$ , y le llamamos isogenia dual de $latex \mathbb{\alpha}$


Cosas que se pueden demostrar es que si $latex \alpha:E\rightarrow F$ y $latex \beta:E\rightarrow F$ entonces $latex \hat{\alpha+\beta}=\hat\alpha+\hat\beta$ y que $latex \alpha + \hat\alpha = 1 + \partial(\alpha)-\partial(1-\alpha)$, lo cual nos lleva a que definamos la traza  de un endomorfismo

$latex tr(\alpha)=tr(\hat\alpha)=\alpha+\hat\alpha$

Nota que tenemos que $latex \alpha\cdot \hat\alpha=[\partial(\alpha)]$ (en la misma curva elíptica) por lo que $latex \partial(\hat\alpha) = \partial(\alpha)$

Lo anterior nos lleva a un teorema importante que nos relaciona con un polinomio cuadrático cada endomorfismo.

Teorema: 

Sea $latex \alpha \in End_\mathbb{K}(E)$ , entonces $latex \alpha$ y $latex \hat\alpha$ son raíces del polinomio característico

$latex \xi(\lambda)=\lambda^2 - (tr\alpha)\lambda + \partial(\alpha) = 0$

Esto es muy fácil de probar

$latex \alpha^2 -(tr\alpha)\alpha+\partial(\alpha)=\alpha^2 - (\alpha+\hat\alpha)\alpha + \hat\alpha\alpha = 0$  lo mismo para $latex \hat\alpha$.

Ahora... como última parte de esta sección, consideremos el campo de caracteristica p y vamos a restringir los endomorfismos al subgrupo de torsión de la curva elíptica, es decir, sólo los evaluaremos en elementos de $latex E[n]$
y si $latex \alpha \in latex End(E)_\mathbb{K}$ a la restricción de $latex \alpha\mid_{E[n]}$ la redefiniremos como:

$latex \alpha_n$

Esta $latex \alpha_n$ es un endomorfismo del subgrupo abeliano $latex E[n]$ ya que $latex \alpha$ es un morfismo y manda puntos de torsión a puntos de torsión y como vimos anteriormente:

$latex E[n] \cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, considera una base para $latex E[n]$ , llámale $latex (P_1,P_2)$

entonces podemos representar en forma de matriz a $latex \alpha_n=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ donde $latex a,b,c,d \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ y $latex \alpha(P_1)=aP_1\oplus cP_2$ y $latex \alpha(P_2)=bP_1+dP_2$ , la representación de la matriz depende de la base, pero la traza  $latex tr \alpha_n$ y $latex det \alpha_n$ no.


Lo que nos deja con este teorema que es MUY importante, ya que es la conexión más importante que hay entre los endomorfismos y las restricciónes a $latex E[n]$


Teorema: 
Sea $latex \alpha \in End_\mathbb{K}(E)$ con $latex E$ elíptica sobre $latex \mathbb{K}$  y sea $latex n$ un número positivo primo relativo a la característica de $latex \mathbb{K}$

entonces:

$latex tr \alpha \equiv tr \alpha_n \bmod n$   y    $latex \partial(\alpha) \equiv det(\alpha_n) mod n$


Con esto ya estamos bien equipados.

j-Invariante

Ahora, ya que sabemos que todas las curvas de género 1 son elípticas, hay una manera de clasificarlas muy eficientemente, consideremos $latex \mathcal{E}$ como el espacio de todas las curvas elípticas sobre $latex \mathbb{K}$ , entonces existe una función

$latex j: \mathcal{E} \rightarrow \mathbb{K}$

Llamada j-invariante que cumple que:

$latex j(E)=j(F)\Leftrightarrow E \cong F$ sobre $latex \bar{\mathbb{K}}$

Se ha demostrado que la función $latex j$ es suprayectiva, por lo que $latex \mathbb{K}$ es el espacio modular de dimensión 1y tenemos que las fibras $latex j^{-1}(x)$ son clases de $latex \bar{\mathbb{K}}$-isomorfismos de curvas elípticas definidas sobre $latex \mathbb{K}$

Las curvas elípticas que generalmente usamos en criptografía son de la forma

$latex E:=y^2 - x^3 - px -q $

Por lo que podemos expresar el j-invariante de manera más reducida como:

$latex j(E)=1728 \frac{4p^3}{4p^3+27q^2}$

Torsiones cuadráticas de curvas elípticas

Aquí no voy a entrar tanto en detalle porque tengo poca experiencia pero es importante.

Imagina que tenemos las curvas $latex E$ y $latex F$ definids sobre $latex \mathbb{K}$ tal que existe un isomorfismo $latex E\rightarrow F$ sobre $latex \bar{\mathbb{K}}$ pero no sobre $latex \mathbb{K}$ , decimos en este caso que $latex E$ y $latex F$ son torsiones.

Ejemplo:

Considera las curvas $latex E:y^2=x^3+11664$ y $latex F:y^2=x^3+1$

Ambas suaves y lindas definidas sobre $latex \mathbb{Q}$ , estas curvas NO pueden ser isomorfas sobre $latex \mathbb{Q}$ ya que $latex F$ tiene un punto de orden 2 $latex (-1,0)$ y $latex E$ no tienen ningun punto de orden 2 (el punto de orden 2 en este caso como son simetricas son el eje x , tendria que se un punto de weierstrass, lo cual implica que x=0 por lo que $latex y\notin \mathbb{Q}$)

Pero ahora considera las curvas en la extensión cuadrática $latex \mathbb{Q}(\sqrt{2})$,
aquí podemos definir el isomorfismo:

$latex \Psi: E \rightarrow F$
$latex (x,y) \mapsto (2^3 3^6 \sqrt{2}\cdot x , 2^2 3^3\cdot y)$

Por lo que decimos que $latex E$ y $latex F$ son twists cuadráticos.

Por lo anterior... deberían de tener el mismo j-invariante, el cual es claramente 0, por lo que todas las curvas existentes con j-invariante 0 , serán isomorfas a estas que ejemplificamos en alguna extensión del campo en el que estén trabajando.


Subgrupo de torsión y endomorfismo de una curva elíptica

Sabemos que el mapeo que manda a multiplicar por $latex [n]$ los puntos de una curva $latex E$ es un morfismo, al kernel de este mapeo le llamamos subgrupo de torsión y lo denotamos como $latex E[n]$ , y tenemos el siguiente teorema cuando $latex K$ tiene caracteristica p

$latex E[n]\cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ si $latex p=0$ o $latex p\ndiv n$

o

$latex E[n]\cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ o $latex \lbrace 0\rbrace 0$  si $latex p>0$ y $latex n=p^m$

Qué corolario de este teorema pueden deducir de $latex E[p]$ ?

Pero lo que diremos es que en un campo de caracteristica positiva , si $latex E[p]\cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ le llamamos a la curva $latex E$ ordinaria, y si es $latex E[p]\cong \lbrace 0\rbrace $ supersingular.

Ahora, aquí el anillo de Endomorfismos  de la curva $latex E$ los denotamos como $latex End_\mathbb{K}(E)$

y tenemos que las isogenias $latex \alpha:E\rightarrow E$ son endomorfismos, y forman un anillo

bajo las siguientes operaciones

$latex \alpha,\beta \in End_\mathbb{K}(E)$

$latex (\alpha + \beta)(P)=\alpha(P)\oplus\beta(P)$

$latex (\alpha\cdot \beta)(P)=(\alpha \circ \beta)(P)$

donde $latex \oplus$ es la adición elíptica .

Tenemos que ahora con esto podemos construir una infinidad de elementos ya que $latex [n] \ in End_\mathbb{K}(E)$

esto debería ser para ustedes pero lo pongo.

$latex (\alpha\cdot [n])(P)=\alpha(nP)=\alpha(\bigoplus_{i=1}^n {P}) = \bigoplus_{i=1}^n { \alpha(P) }=n\alpha(P)=([n]\cdot \alpha(P)$

Esto nos dice que $latex \mathbb{Z}$ es un subanillo de $latex End_\mathbb{K}(E)$ , lo puedes observar viendo como se comporta la composición y la suma de $latex [n]$ y $latex [m]$ , verás que forman un anillo esos endomorfismos y son isomorfos a $latex \mathbb{Z}$

Este anillo de endomorfismos no sólo tiene a $latex \mathbb{Z}$ , como vimos, también está el endomorfismo $latex \pi$ de Frobenius (con $latex \mathbb{K}$ de caracteristica p>0 como el caso de criptografía) y pues por lo tanto todas las composiciones y sumas de éste con los isomorfos a $latex \mathbb{Z}$ cuando la curva $latex E$ es supersingular, este anillo de endomorfismos se comporta como un álgebra de cuaternios y no es conmutativo.



Espero les haya interesado, cualquier duda o corrección háganmela saber

Eduardo Ruíz Duarte (beck)
Twitter: @toorandom

Teorema de Riemann-Roch y divisores en criptografía, (Parte 3: valuaciones, espacios de Riemann, su dimensión, género y curvas elípticas sin Bézout)

Vimos en la parte 1 el anillo de funciones regulares en una variedad y su localización en un punto, así como las funciones en un abierto de la variedad bajo la topología de Zariski, en la parte 1 de estos posts.

Ahora lo que queremos es justificar la estructura de grupo de una curva elíptica y si nos da tiempo de una hiperelíptica de género 2, pero para eso debemos introducir el concepto de divisores sobre la variedad y "género" el cual estará estrechamente relacionado con la dimensión de un espacio vectorial de funciones generado con un divisor.


Valuaciones


Vamos a suponer que $latex \mathbb{K}$ es un campo arbitrario el cual será un campo de constantes de algo más grande... el campo de funciones.

Definición 1: Una extensión $latex \mathbb{F}$ de $latex \mathbb{K}$ es un campo de funciones algebraico en una variable sobre $latex \mathbb{K}$ si existe un $latex z\in \mathbb{F}$  trascendente sobre $latex \mathbb{K}$ de tal manera que $latex [\mathbb{F}:\mathbb{K}(z)]$ es finita.


Los objetos centrales en esto serán los lugares, denotados por $latex P$ que de manera resumida serán los ideales máximos de todos los anillos de valuación que existan en $latex \mathbb{F}$ recuerden que los anillos de valuación son locales por lo que sólo tienen un ideal máximo, este anillo como en la parte uno lo denotaremos por $latex O_p$ y su ideal máximo como $latex M_p$


Recuerden como eran las funciones regulares de una variedad $latex V$ en un punto de la parte 1 de este blog la cual habíamos denotado como $latex O_p(V)=\lbrace f/g \in \mathbb{K}(V) : g(p)\neq 0 \rbrace$

Nota 1:
Aquí tenemos que $latex \mathbb{F}$ tiene un elemento trascendente y es campo por lo que podemos imaginarlo como que es on cociente de funciones polinomiales en una variable, pero podría ser que $latex \mathbb{K}$ sea ya un campo de funciones y $latex z\in \mathbb{F}$ otro elemento trascendente, haciendo que el campo de constantes no sea tan trivial.

Definición 2: Una valuación discreta normalizada de un campo de funciones algebraico $latex \mathbb{F}$ sobre $latex \mathbb{K}$ es un mapeo suprayectivo:


$latex \nu:\mathbb{F}\rightarrow \mathbb{Z}\cup \lbrace \infty \rbrace$

que satisface:

1. $latex \nu(f)=\infty \Leftrightarrow f=0$
2. $latex \nu(fg)=\nu(f)+\nu(g)$      $latex \forall f,g\in\mathbb{F}$
3. $latex \nu(f+g) \geq min(\nu(f),\nu(g))\Rightarrow\nu(f+g)=min(\nu(f),\nu(g))$     $latex \forall f,g\in \mathbb{F}$
4. $latex \nu(a)=0$       $latex \forall a\in \mathbb{K}^{*}$

Estos mapeos están en correspondencia biunívoca con los lugares de $latex \mathbb{F}$ por lo que si $latex P$ es un lugar de $latex \mathbb{F}$ definiremos como $latex \nu_P$ a su valuación correspondiente y denotaremos por $latex \mathbb{P}_\mathbb{F}$ a el conjunto de todos los lugares de $latex \mathbb{F}$ 

Nota 2: Recordemos que cuando vimos en la parte 1 el anillo de funciones regulares en una variedad, tenemos que los puntos están en correspondencia con los ideales máximos, aquí estámos usando por eso los lugares que son los ideales máximos pero lo estamos generalizando un poquito más con estas estructuras, que en vez de considerar los puntos , consideramos los ideales máximos de la localización.

Ahora vamos a definir los anillos locales en términos de valuaciones y lo ilustraremos con un ejemplo sencillo, estos anillos serán llamados anillos de valuación discreta de $latex \mathbb{F}$ correspondientes al lugar $latex P\in \mathbb{P}_\mathbb{F}$

$latex O_P=\lbrace f\in \mathbb{F} : \nu_P(f) \geq 0\rbrace$

Es fácil demostrar que es un anillo local, basta considerar quiénes son los elementos invertibles para saber que su ideal máximo (que obviamente no tiene elementos invertibles) es:

$latex M_P = \lbrace f\in O_P : \nu_P(f)>0 \rbrace$

Como $latex M_P$ es máximo definiremos el campo residual 

$latex \hat{\mathbb{F}}_P:=O_P/M_P$ 

y definiremos el grado de $latex P$ como el grado de la extensión $latex grad(P):= [\hat{\mathbb{F}}_P:\mathbb{K}]$ , cuando $latex grad(P)=1$ diremos que $latex P$ es racional

Bueno, yo recuerdo que cuando leí esto por primera vez se me hacía muy mágico el mapeo $latex \nu_P$ 

por lo que creo que es conveniente ilustrarlo con un ejemplo.

Ejemplo:

Sea $latex \mathbb{F}=\mathbb{K}(x)$ con $latex x$ trascendente sobre $latex \mathbb{K}$ es decir estamos considerando todos los cocientes de polinomios en una variable sobre el campo $latex \mathbb{K}$ aquí tenemos que los mónicos irreducibles $latex P(x)\in \mathbb{K}[x]$  nos inducen una valuación discreta única $latex \nu_P$

$latex \nu_P(f(x)) = r$ si $latex f(x)\in \mathbb{K}[x]-\lbrace 0 \rbrace$ y $latex P(x)^r \mid f(x)$

$latex O_P = \Bigg \lbrace \frac{f(x)}{g(x)} \in \mathbb{F} : P(x)\nmid g(x) \Bigg \rbrace$

Es clara esta definición ya que si $latex P(x)\mid g(x)$ es decir no se cancela en $latex f(x)$ la valuación sería negativa y tenemos que el anillo está formado por los elementos que tienen valuación mayor o igual que cero

Ahora, su ideal máximo ¿quién es?, tenemos que no tiene que tener elementos invertibles en $latex O_P$ y que su valuación sea estrictamente mayor que 0, eso significa que $latex P(x) \mid f(x)$ y como es subconjunto de $latex O_P$ también tiene que suceder que $latex P(x) \nmid g(x)$  por lo que en símbolos.

$latex M_P=\Bigg \lbrace \frac{f(x)}{g(x)} \in \mathbb{F} : P(x)\mid f(x), P(x)\nmid g(x) \Bigg \rbrace$

Entonces a qué huelen los elementos invertibles de $latex O_P$ ?  pues son todos los que NO tienen a $latex P(x)$ involucrado en el cociente $latex \frac{f(x)}{g(x)}$ es decir , los que tienen su valoración exactamente 0.

Entonces en este ejemplo cuando $latex P$ es linealtenemos que 

$latex \mathbb{F}/(P(x)) \cong \mathbb{K}$ 

Es decir, los lugares $latex P$ RACIONALES son aquellos generados con polinomios mónicos lineales.

Aquí en este ejemplo y en todos los interesantes, es decir cuando consideremos curvas elípticas o hiperelípticas hay otro  anillo de valuación que no está asociado a un polinomio pero pueden demostrar que es anillo y que tiene un sólo ideal máximo

$latex O_\infty = \Bigg \lbrace \frac{f(x)}{g(x)} \in \mathbb{F}, g(x)\neq 0, grad(f(x)) \leq grad(g(x)) \Bigg \rbrace $

y su ideal máximo

$latex M_\infty =\Bigg \lbrace \frac{f(x)}{g(x)} \in \mathbb{F}, g(x)\neq 0, grad(f(x)) < grad(g(x)) \Bigg \rbrace $

Es fácil ver esto , y que los invertibles tienen el mismo grado tanto en el numerador como denonimador.

Esto le llamaremos el lugar infinito de $latex \mathbb{F}$ y como ejercicio podrían demostrar que $latex O_\infty/M_\infty \cong \mathbb{K}$  por lo que otra vez tenemos un lugar RACIONAL es decir, el lugar infinito es racional, si el lugar tiene relacionado un polinomio diremos que es finito.

Observación:

Si $latex \mathbb{K}=\mathbb{F}_q$ es finito entonces hay $latex q+1$ lugares racionales, el +1 es por el lugar infinito

Divisores

Los divisores son esencialmente sumas formales de lugares junto con un coeficiente, esto será intuitivamente una expresión que nos ayudará a juntar ciertas características de elementos del campo de funciones

Definición 3: Un divisor $latex D$ de un campo de funciones algebraico $latex \mathbb{F}$ es una suma formal:

$latex D=\sum_{P\in \mathbb{P}_\mathbb{F}}m_P P$

Donde un número finito de $latex m_P$ es distinto de cero, este conjunto de divisores los denotamos por $latex Div(F)$

El soporte de un divisor es:

$latex sop(D):= \lbrace P\in \mathbb{P}_\mathbb{F} : m_P \neq 0\rbrace$

El grado de un divisor es:

$latex \partial(D):=\sum_{P \in sop(D)} (m_P)grad(P)$

Se dice que un divisor $latex D$ es positivo/efectivo si todos sus $latex m_P$ son mayores o iguales que 0, y escribimos $latex \nu_P(D) \geq 0$ .

Si dos divisores $latex D_1,D_2 \in Div(\mathbb{F})$ los comparamos como $latex D_1 \leq D_2$ si $latex \nu_P(D_1) \leq \nu_P(D_2)$ para todo $latex P \in \mathbb{P}_\mathbb{F}$, es decir que todos los coeficientes de los sumandos de los divisores son menores o iguales.  

Es claro que $latex Div(\mathbb{F})$ forma un grupo abeliano con suma definida componente a componente y es un grupo libre, y que un subgrupo de éste son los divisores de grado 0, que lo denotaremos por $latex Div^0(\mathbb{F})$

Definición 4: Decimos que si $latex \nu_P(f)$ > $latex 0$  entonces $latex P$ es un cero de multiplicidad  $latex \nu_P(f)$ y si $latex \nu_P(f)$ < $latex 0$ decimos que es un polo

Es claro que las constantes no tienen ceros ni polos, pero los demas elementos $latex f\in \mathbb{F}$

tienen al menos un cero y un polo.

Definición 5: Sea $latex f\in \mathbb{F}^{*}$ y $latex Z(f),N(f)$ los ceros y los polos de $latex f$ respectivamente, entonces definimos:

divisor de ceros de $latex f$:

$latex (f)_0 = \sum_{P\in Z(f)}\nu_P(f)P$

divisor de polos de $latex f$:

$latex (f)_\infty = \sum_{P\in N(f)}-\nu_P(f)P$

divisor principal de $latex f$:

$latex div(f):=(f)_0 - (f)_\infty$

Aquí sucede algo que habría que demostrar y no es tan directo pero si es lógico.

Que todos los divisores principales tienen grado 0, es decir, $latex \partial(div(f))=0$ para todo $latex f\in \mathbb{F}^{*}$, o sea existe el mismo número de ceros y de polos  en los elementos de $latex \mathbb{F}$, esto lo pueden ver en el libro de Algebraic function fields and codes  de Henning Stichtenoth.

Definición 5: El espacio de Riemann-Roch para un divisor $latex D$ de $latex \mathbb{F}$ está definido como:

$latex \mathfrak{L}(D):= \lbrace f\in \mathbb{F}^{*} : div(f)+D \geq 0 \rbrace \cup \lbrace 0 \rbrace $

Este espacio es un espacio vectorial sobre $latex \mathbb{K}$ y su dimensión será denotada por $latex l(D)$


Hay cosas que podrían demostrarse por ejercicio que son muy directas como que $latex l(0)=1$ o que $latex l(D)=0$ si $latex \partial(D)$ < $latex 0$


Teorema (Riemann-Roch): Sea $latex \mathbb{F}$ un campo de funciones algebraico de género $latex g$ , entonces para cada divisor $latex D$ de $latex \mathbb{F}$ tenemos que:

$latex l(D)\geq \partial(D)+1-g$

donde la igualdad se da si $latex \partial(D)\geq 2g-1$


Este teorema es muy potente y sirve de clasificación para campos de funciones con respecto al género

Definición 6:
El género $latex g$ de un campo de funciones $latex \mathbb{F}$ se define como:

$latex g:= g(\mathbb{F}):=max_D(\partial(D)-l(D)+1)$

O sea el máximo de todos los divisores de $latex \mathbb{F}$, tenemos que el género del ejemplo $latex \mathbb{K}(x)$ es 0 y decimos que el campo de funciones $latex \mathbb{F}$ es elíptico si su género es 1

Definición 7:
Sea $latex P\in \mathbb{P}_\mathbb{F}$ , $latex \forall$ $latex n \geq 1$ es número de polo para $latex P$ si existe un elemento $latex f\in \mathbb{F}^{*}$ tal que $latex (f)_\infty = nP$, si no existe esto decimos que $latex n$ es número de salto para $latex P$

Corolario (Saltos de Weierstrass): 
Sea $latex \mathbb{F}$ de género $latex g\geq 1$ y sea $latex P$ un lugar racional de $latex \mathbb{F}$, entonces existen exactamente $latex g$ número de salto $latex i_j$ que satisfacen:

$latex 1=i_1$ < ... < $latex i_g \leq 2g-1$


Esto se sigue inmediatamente de que:

• $latex \forall i\geq 1$ tenemos que $latex \mathfrak{L}((i-1)P)\subseteq \mathfrak{L}(iP)$ y $latex \mathfrak{L}((i-1)P)=\mathfrak{L}(iP) \Leftrightarrow i$ es número de salto
• $latex l(iP)\leq l((i-1)P)+1$
• $latex l(0P)=1$ y $latex l((2g-1)P)=g$

Criptografía

Ya habíamos mencionado que todos los divisores de funciones tienen grado 0 es decir tienen el mismo número de ceros y de polos. por lo que estos serían un subgrupo de $latex Div^{0}(\mathbb{F})$

entonces el subgrupo de divisores principales lo denotamos como:

$latex Prin(\mathbb{F}):= \lbrace div(f) : f\in \mathbb{F}^{*}\rbrace \subset Div^{0}(\mathbb{F})$

Como estos grupos son libres, abelianos, podemos hablar de su cociente, por lo que el grupo que necesitamos para criptografía y el que se usa actualmente es el grupo de Picard de orden 0 el cual es isomorfo a:

$latex Pic^{0}(\mathbb{F}):= Div^0(\mathbb{F})/Prin(\mathbb{F})$


Si el género del campo de funciones $latex \mathbb{F}$ es 1 este grupo es isomorfo al grupo usual que conocemos de las curvas elípticas  y si es 2 se dice que es hiperelíptico.

De hecho, para culminar este post, vemos que no necesitamos el teorema de bézout para demostrar que una recta intersecta en 3 puntos a una curva proyectiva ya que:


Ya conocemos estas propiedades de los divisores de funciones por el hecho de que sabemos que tienen el mismo número de ceros que de polos por lo que:

Tenemos que si $latex f,g \in \mathbb{F}=\overline{\mathbb{K}}(C)$ es el campo de funciones de una curva elíptica (i.e. cúbica)

$latex div(f/g)=div(f)-div(g)$
$latex div(fg)=div(f)+div(g)$
$latex div(f^n)=n\cdot div(f)$


Nota sobre funciones en la curva:  Es importante considerar que para entender un objeto algebraico, hay que entender las funciones en éste, y si son proyectivos, cosas interesantes pasan, por ejemplo si tenemos la curva elíptica $latex C(x,y)=y^2 - x^3 + x$

Considera la función racional $latex q(x,y)= x/y \in \mathbb{F}=\hat{\mathbb{K}}(C)$ , podemos ver que $latex q(1,0)=\infty$ pero $latex q(0,0)=??$ , pero si usamos que esta función pertenece a la curva elíptica $latex C$ por lo que bajo la relación algebraica $latex y^2 = x^3 - x$ tenemos que $latex x/y = y/(x^2+1)$ por lo que en la curva, es decir en su campo de funciones $latex q(0,0)=0$.

Criptografía con campos de funciones elípticos vía teorema de Riemann-Roch.

Si consideramos la curva proyectiva elíptica $latex C$ homogeneizada con la variable $latex z$
aquí los ideales máximos son los puntos de la curva, y los anillos locales son las funciones racionales definidas en cada punto.

Si tomamos la linea $latex l_PQ$ que pasa por los puntos $latex P,Q \in \mathbb{P}_\mathbb{F}$

tal que la linea tiene pendiente finita, como demostramos en la parte 2, esta linea choca con otro punto al infinito que es el que corresponde al lugar infinito , veamos que multiplicidad tiene,

y sin usar bezout y con todos los teoremas anteriores, tenemos que si la multiplicidad es n entonces debe de haber n lugares en el divisor correspondiente a la linea porque $latex \partial(div(l_{PQ}))=0$


Tenemos que una curva elíptica es de la forma $latex y^2 = x^3 + \alpha x + \beta$

y $latex l_{PQ}$ es $latex y=mx+b$ por lo que si elevamos al cuadrado la linea e intersectamos con la curva

$latex (mx+b)^2 = x^3 + \alpha x + \beta$  es una cúbica en $latex x$ y en la homogenización tiene un cero de orden 3 en el punto al infinito $latex [1:0:1]$ el cual es el polo.

Eso quiere decir que si tenemos un polo de orden 3 , deben de haber 3 puntos donde choca la linea.
En símbolos:

La recta con pendiente distinta de 0 en la curva que pasa por P y Q:

$latex div(l_{PQ}/z) = (P)+(Q)+(R)-3\infty $

La recta que proyecta con el lugar infinito y R

$latex div(l_{R,\infty}/z)= R+(P+Q) -2\infty$

Por lo que:

$latex div(l_{PQ}/l_{R,\infty})=$ $latex div(l_{PQ}/z)-div(l_{R,\infty}/z)=(P)+(Q)-(P+Q)-\infty$

Por lo que de aquí sale la razón por la que está definida

Aquí vemos como se ven los divisores

Y de hecho, el grupo de Picard en este caso es isomorfo a los puntos de la curva bajo el mapeo:


$latex \Psi:C\rightarrow Pic^0(C)$
$latex P \mapsto P-\infty + Prin(\mathbb{F})$

Esto es inyectivo porque en género 1 con Riemann-Roch , ningún divisor $latex (P)-\infty$ es principal a menos que $latex P=\infty$


Espero les haya gustado

Eduardo Ruíz Duarte (beck)
twitter: @toorandom

Teorema de Riemann-Roch y divisores en criptografía, (Parte 2: Espacio proyectivo)

Como vimos anteriormente, lo que queremos es exprimir las propiedades de una curva algebraica a través de la geometría algebraica, en este caso de una curva elíptica o hiperelíptica.

Como lo mencioné al principio del post anterior, el grupo de una curva elíptica está fundamentado de manera "cochina" por (algunos) computólogos que implementan criptografía por el teorema de Bézout.

Siempre al definir una curva elíptica se define en su propiedad de grupo que un punto $latex (x,y)$ en la curva elíptica o hiperelíptica tiene como inverso a el punto $latex (x,-y)$ lo cual sucede al proyectarlo con un punto mágico que está en el infinito, esto es porque la curva elíptica realmente no vive en $latex \mathbb{R}^2$ como todos creen, realmente vive en otro espacio que es el que trataremos de explicar aquí, vive realmente en $latex \mathbb{P}^2_{\mathbb{C}}$, pronto veremos el por qué se les llama elípticas a través de otro nuevo espacio $latex \mathbb{C}/\Lambda$ y una función llamada $latex \wp$ de Weierstrass, pero eso aún está lejos de este post.

La respuesta elegante y limpia en vez de usar Bézout para justificar la estructura de grupo de una curva elíptica o hiperelíptica está a través del teorema de Riemann-Roch el cual trataremos de comprender a grandes rasgos, no olvides checar tu literatura

El teorema de Riemann-Roch une las propiedades algebraicas y topológicas de una curva, vamos a explorarlo un poco, aunque en esta primera parte del post definiremos primero lo que es el espacio proyectivo y algunas propiedades a través de ejemplos usando topología.

Como lo mencioné, vamos a hablar ahora del espacio proyectivo $latex \mathbb{P}^{n}_{\mathbb{K}}$, en el post anterior trabajamos en el espacio afín $latex \mathbb{A}^{n}_{\mathbb{K}}$ y definimos el campo de funciones, el cual jugará un papel imporante en Riemann-Roch

Recomiendo leer al menos la página de Wikipedia de geometría proyectiva así como el artículo del plano complejo proyectivo , aquí daré cierta intuición, ejemplos, definiciones y construcciones, para no dejar ese hueco.

Sea $latex V$ un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo $latex \mathbb{K}$ (de hecho para nuestros propósitos el espacio que tomaremos será $latex V=\mathbb{C}^2$) y considera la siguiente relación de equivalencia entre los vectores  $latex V\setminus \lbrace 0 \rbrace$:

$latex u\sim v \Leftrightarrow \exists \lambda \in \mathbb{K}^{*} \mid u=\lambda v$

Es decir, estamos diciendo que dos vectores $latex u$ y $latex v$ estarán en la misma partición (están relacionados) sí y sólo sí están en la misma linea que pasa por el origen, es decir, este espacio consta de todas las lineas que salen del origen bajo esta relación, con un ombligo, recuerda que quitamos al 0

Por lo que tenemos que si nuestro espacio vectorial  $latex V=\mathbb{C}^2$
$latex \mathbb{P}(V):=V\setminus \lbrace 0 \rbrace / \sim$

y para reducir notación:

$latex \mathbb{P}^{n}_{\mathbb{C}}:=\mathbb{P}(\mathbb{C}^{n+1})$

Por lo que a nosotros nos interesará trabajar en:

$latex \mathbb{P}^{2}_{\mathbb{C}}$

El cual es el plano proyectivo complejo.

Esta geometría realmente nace de la perspectiva a la hora de pintar un paisaje y quieres poder mostrar el horizonte en tu obra a pesar de que éste esté en el infinito.

De hecho, los puntos de $latex \mathbb{P}^{2}_{\mathbb{C}}$ son denotados como $latex [a:b:c]$

Ejemplo:

Como a mucha banda matemática y a mi, nos gustan los ejemplos para poder entender los conceptos abstractos, afortunadamente aquí sí hay algo en lo que todo el mundo es familiar.

Vamos a ver cómo se ve $latex \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{R}}$, de hecho vamos a demostrar que este espacio es realmente homeomorfo al círculo $latex \mathbb{S}^1$

Este espacio se le llama linea proyectiva real y nace de considerar la relación de equivalencia mencionada inicialmente sobre $latex \mathbb{R}^2$.

Más formal:

Si $latex x,y\in \mathbb{R}^2$, tenemos que $latex x\sim y \Leftrightarrow x=\lambda y$ con $latex \lambda \in \mathbb{R}$ y:

$latex \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{R}}=\mathbb{R}^2\setminus \lbrace 0 \rbrace / \sim$

Vamos a usar topología aquí para demostrar que $latex \mathbb{S}^1$ y $latex \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{R}}$ son homeomorfos, de hecho la topología cociente aunque supongo que hay caminos tal vez más directos.

Consideremos:

$latex \psi:\mathbb{R}^2 \setminus \lbrace 0 \rbrace \rightarrow \mathbb{P}^1_{\mathbb{R}}$
$latex (x,y) \mapsto [x:y]$

Ahora, vamos a restringir esto a $latex \mathbb{S}^1$

es decir $latex \hat\psi = \psi\mid_{\mathbb{S}^1}$ por lo que tenemos que en $latex \hat\psi :\mathbb{S}^1 \rightarrow \mathbb{P}^1_{\mathbb{R}}$  $latex \hat\psi(x,y)=\hat\psi(-x,-y)$ es decir, a cada punto del círculo bajo la relación $latex \sim$ se reduce en la restricción al círculo a una relación más simple que le llamaremos $latex \hat\sim$ la cual definimos como $latex a,b\in \mathbb{S}^1$ entonces $latex a\hat\sim b\Leftrightarrow a=-b$

Es decir, la relación restringida al círculo nos dice que las antípodas están en la misma clase de equivalencia.

Entonces lo que basta demostrar es que $latex \tilde\psi:\mathbb{S}^1/\hat\sim \rightarrow \mathbb{S}^1$
es un homeomorfismo.

Consideremos el mapeo:

$latex \phi:\mathbb{S}^1 \rightarrow \mathbb{S}^1$

$latex (x,y) \mapsto (x^{2} - y^{2},2xy)$

Este mapeo está inspirado en $latex z\mapsto z^2$ en $latex \mathbb{C}$ pero viéndolo en $latex \mathbb{R}^2$ y restringido a $latex \mathbb{S}^1 \subset \mathbb{R}^2$

Este mapeo $latex \phi$ claramente es continuo y suprayectivo y $latex \phi$ pasa por el cociente bajo $latex \hat\sim$ o sea, respeta la relación de equivalencia $latex \hat\sim$ ya que si $latex z\in\mathbb{S}^1$ tenemos que $latex \phi(z)=\phi(-z) \Rightarrow z\hat\sim -z$

Usando la propiedad universal de la topología cociente con esta $latex \phi$ tenemos que $latex \tilde\psi:\mathbb{S}^1/\hat\sim \rightarrow \mathbb{S}^1$ es un homeomorfismo y es único.

Por lo que:

$latex \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{R}}=\mathbb{R}^2\setminus \lbrace 0 \rbrace / \sim \cong \mathbb{S}^1$


Más ejemplos usuales existen , por ejemplo si nos tomamos $latex \mathbb{C}$ en vez de $latex \mathbb{R}$ ustedes pueden demostrar que la recta proyectiva compleja:

$latex \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{C}} \cong \hat{\mathbb{C}}:=\mathbb{C}\cup \lbrace \infty \rbrace$

La cual es la esfera de Riemann, éste es un ejemplo fundamental en análisis complejo y geometría algebraica por ser una superficie de Riemann compacta, esto último es relevante ya que nos permite verla como una curva proyectiva algebraica.

Los espacios proyectivos complejos son una herramienta muy poderosa, ya que al agregar este punto $latex \infty$ en ciertos casos se puede definir la división por 0 haciendo que por ejemplo cualquier función racional meromorfa en los complejos sea extendida a una función continua sobre la la recta proyectiva compleja, mapeando sus polos al infinito y conservando continuidad.

En los espacios proyectivos suceden cosas interesantes, por ejemplo veremos que por la naturaleza del espacio en función de su relación de equivalencia, las ecuaciones algebraicas dentro de nuestro espacio proyectivo deberán ser homogéneas, o que existen un puntos que no están en el espacio vectorial en correspondencia con el proyectivo o que si definimos dos rectas paralelas en el espacio vectorial y lo transladamos al espacio proyectivo sí se intersectarán, de hecho TODAS las rectas del espacio proyectivo se intersectan en un punto 

Regresando a la analogía de las obras de pintura de paisajes, imagina ¿cómo pintarías la foto de unas vías del tren vistas de frente?, si observas bien las vías, éstas, pareciera que se intersectan en el horizonte.

Para terminar esto veamos lo que mencioné en negritas el penúltimo parrafo a éste.

Consideremos las soluciones (el conjunto de ceros) de un polinomio definido con sus variables en $latex \mathbb{P}^{n}_{\mathbb{K}}$ es decir, un punto en general sería con $latex n+1$ variables , $latex P=[x_0:...x_n]\in \mathbb{P}^{n}_{\mathbb{K}}$, estos puntos por como está definido el espacio proyectivo, están determinados por la multiplicación por un escalar $latex \lambda$, el cual da la relación de equivalencia, por lo que un polinomio con variables proyectivas deberán considerar esa restricción a la hora de considerar sus soluciones, estos polinomios se les llama homogéneos

Definición (polinomio homogéneo): Un polinomio:

$latex f(x_0,x_1,...,x_n) = \displaystyle \sum { a_{\eta_0...\eta_n}}x_{0}^{\eta_0}...x_{n}^{\eta_n}$

Se dice homogeneo de grado $latex d$ si TODOS sus monomios tienen el mismo grado $latex d=\sum_{i=0}^{n} \eta_i$

Por lo que si $latex f$ es homogéneo de grado $latex d$ entonces:

$latex f(\lambda x_0, ..., \lambda x_n)=\lambda^d f(x_0,...,x_n)$

Con esto tenemos que los polinomios homogéneos están bien definidos en el espacio proyectivo.

Ahora, lo que nos resta ver es una propiedad interesante, dos lineas siempre se intersectan en el plano proyectivo, y para esto lo que haremos un ejemplo, será transformar polinomios en dos variables complejas $latex \mathbb{C}^2$ a polinomios en $latex \mathbb{P}^2_{\mathbb{C}}$ a través de un proceso que se llama "homogenización" , y lo haremos con dos lineas paralelas, y veremos como es la intersección de sus imágenes.

La siguiente definición es para construir un polinomio cualquiera, a un polinomio homogéneo , es decir con monomios del mismo grado, esta operación es invertible.

Definición (homogeinización): Sea $latex p(x,y) \in \mathbb{C}[x,y]$, el polinomio correspondiente en $latex \mathbb{P}^2_{\mathbb{C}}$ es:

$latex p(x,y,z)=z^{n}p(\frac{x}{z},\frac{y}{z})$

Es fácil ver que el polinomio resultante de este proceso es realmente homogéneo.

Ejemplo (intersección de las imágenes bajo homogenización de dos rectas afines):

Sean
$latex x+y=2$
$latex x+y=3$

dos rectas definidas en $latex \mathbb{C}^2$

claramente son paralelas, homogeneizando tenemos que

$latex x+y=2z$
$latex x+y=3z$

por lo que tenemos que $latex [a:-a:0] \in \mathbb{P}^2_{\mathbb{C}}$ está en la linea al infinito y es solución de ambas ecuaciones,

nota que $latex [0:0:0]$ también es solución, pero éste punto no está definido en el espacio proyectivo por construcción.

Otro ejemplo serían dos circunferencias de radio distinto:


$latex x^2 + y^2 = 1$
$latex x^2 + y^2 = 2$

Claramente no se intersectan en el espacio afín complejo

Homogeneizando, tenemos que

$latex x^2 + y^2 -1 \mapsto z^2\Big ( \frac{x^2}{z^2}+\frac{y^2}{z^2}-1\Big )=x^2+y^2-z^2$

Similarmente con el otro polinomio, por lo que tenemos que intersectar en $latex \mathbb{P}^2_{\mathbb{C}}$

$latex x^2+y^2-z^2$   y   $latex x^2+y^2-2z^2$

y tenemos que todos los puntos de la forma $latex \lambda(\pm 1,\pm i,0)$ son soluciones, y si $latex \lambda \neq 0$

tenemos que $latex [\pm 1:\pm i:0]\in \mathbb{P}^2_{\mathbb{C}}$ es un punto en la linea al infinito que intersecta a ambas circunferencias proyectivas de distinto radio.

La relación con curvas elípticas será que éstas realmente hay que proyectivizarlas (homogeneizarlas) y al trabajar con ellas en criptografía es viéndolas en el espacio proyectivo, es decir para que todo funcione como queremos necesitamos la cerradura proyectiva, mas no el hecho de usar un punto cualquiera para darle estructura de grupo.


Con esto, y el post anterior estamos listos para la siguiente parte que será el teorema de Riemann-Roch


Eduardo Ruiz Duarte (beck)
twitter: @toorandom