Espacios tangente y derivaciones

Ya vimos cómo funcionan las k-formas diferenciales y de hecho construímos con ellas el rotacional, divergencia y gradiente, vamos ahora a construir el espacio tangente, como repito, esto es con el fin de poder entender qué sucede en la topología de Zariski a la hora de definir el espacio tangente allí y usar las herramientas de geometría diferencial en geometría algebraica para el cálculo de singularidades, ahora lo haremos en $latex \mathbb{R}^n$ después esto se podrá dar el salgo a geometría algebraica para definirlo en $latex \mathbb{A}^{n}_{\mathbb{K}$ o en $latex \mathbb{P}^{n}_{\mathbb{K}$ , todo esto es para después definir orientación lo cual es un tema a mi gusto un poco complicado, pero es necesario para saber la "dirección" de la derivada y cómo se comportan los campos vectoriales.

Estoy suponiendo que el lector conoce lo que es una variedad (diferenciable) en $latex \mathbb{R}^n$, si no lo conoce, de manera rápida, una variedad de dimensión n es un espacio topológico en el cual para todo punto de éste existe un abierto al cual pertenece ese punto, y ese abierto es homeomorfo a $latex \mathbb{R}^n$, esta variedad es diferenciable si no tiene autointersecciones, picos, etcétera .

Recuerden cuando hace muchos años quemaban a los físicos por decir que la tierra era esférica, donde como siempre, la iglesia decía que eran unos blasfemos porque ellos afirmaban que era plana, bueno... esto es porque la tierra es localmente euclídea (una variedad) , es decir... es homeomorfa a la esfera de dimensión 2     $latex \mathbb{S}^2$ por lo que los religiosos por verla localmente euclídea pensaban que su forma era de $latex \mathbb{R}^2$ .
(ver la definición de variedad diferenciable y variedad en otro recurso en línea si así no te quedó claro antes de continuar).

Definición: Un mapeo suave $latex \gamma : [a,b] \rightarrow M$ de un intervalo a una subvariedad diferenciable $latex M \subset \mathbb{R}^n$ es una curva suave en $latex M \\$


Definición: Sea $latex M \subset \mathbb{R}^n$ una variedad diferenciable, y $latex p \in M$.
Un vector $latex v \\$ es un vector tangente a $latex M \\$ en $latex p$ si existe una curva suave $latex \gamma_{p}:[-\epsilon,\epsilon]\rightarrow M$ que pase por $latex p =\gamma_{p}(0)$  tal que $latex v=\gamma_{p}\prime (0)$, El espacio tangente $latex T_{p}M$ de $latex M \\$ en $latex p \\$ es el conjunto de todos los vectores tangentes a $latex M \\$ en $latex p \\$

Teorema:
Sea $latex M \\ $ una variedad en $latex \mathbb{R}^n$ de dimensión k, entonces tenemos que  $latex \forall p \in M$ existe un abierto $latex U \ni p$  tal que $latex M \\$ está definida en $latex U \\$ como la solución de un sistema de $latex (n-k) \\$ funciones reales diferenciables $latex \rho_{1}, ..., \rho_{n-k}$ definidos en $latex U \\$, es decir:

$latex (\rho_{1}=0)\cap ... \cap (\rho_{n-k}=0)=M\cap U$

y $latex \forall p \in M \cap U$, los vectores

$latex \nabla \rho_{1}(p),...,\nabla \rho_{n-k}(p)$

son linealmente independientes y:

$latex T_{p}M= generado\lbrace \nabla \rho_{1}(p),...,\nabla \rho_{n-k}(p) \rbrace ^{\perp}$

y $latex dim(T_{p}M)=k$

Es fácil ver que la definición con curva suaves y la del espacio ortogonal de los gradientes son equivalentes, aquí esbozo la demostración:


Sea $latex \gamma:[-\epsilon,\epsilon]\rightarrow M$ con funciones coordenadas $latex \gamma_{1}, ... \gamma_{n}$

Y tenemos que $latex M \\$ está definida por las $latex f_{i} \\$ :

$latex f_{i}(\gamma_{1}(t), ..., \gamma_{n}(t)) = 0$     $latex \forall t \in [-\epsilon, \epsilon]$    $latex 1 \leq i \leq n-k$

Esto sucede porque la imagen de $latex Im(\gamma) \subset M$, si diferenciamos (jacobiana) con respecto a $latex t \\$  tenemos que por la regla de la cadena:

$latex \frac{\partial{f_{i}}}{x_{1}}(x(0))x_{1}\prime (0)+...+\frac{\partial{f_{i}}}{x_{n}}(x(0))x_{n}\prime (0)=0$    $latex \Leftrightarrow \nabla f_{i}(x(0)) \cdot x\prime (0)=0 \Leftrightarrow$ $latex \nabla f_{i}(x(0) \perp x\prime (0)$
$latex \square \\$

Ahora vamos definir el concepto final de este post para terminar de ver de que trata la estructura del espacio tangente.


Definicion: Denotemos por $latex (f,U)$ a un abierto de $latex M \\$ tal que $latex p\in U$ y $latex f \\$ diferenciable en $latex U$, decimos que:

$latex (f,U) \sim (g,V)$

Si en el abierto $latex U \cap V$ tenemos que $latex f=g$ , esto claramente es una relación de equivalencia por lo que podemos definir el espacio vectorial:

$latex C_{p}^{\infty} =\lbrace (f,U) \rbrace / \sim $

El espacio tangente $latex T_{p}M$ consiste en todos los mapeos lineales:

  $latex d:C_{p}^{\infty} \rightarrow C_{p}^{\infty}$

Tal que:

$latex d(fg)=fd(g)+gd(f)$

Es decir que cumplen la regla de Leibniz (son derivaciones!)

Este espacio es muy importante ya que captura las propiedades de funciones cercanas a $latex p \\$


Eduardo Ruiz Duarte (beck)
rduarte@ciencias.unam.mx
@toorandom