Parte de lo que estoy investigando tiene que ver con contar soluciones $latex \mathbb{F}_q$-racionales de jacobianas de curvas hiperelípticas de género 2, como ya lo he mencionado en posts anteriores, esto es importante, por razones prácticas y por razones puramente matemáticas.
En cuanto a las razones prácticas tenemos que estas jacobianas de curvas hiperelípticas están consideradas para suplir en un futuro a las curvas elípticas en criptografía, por lo que necesitamos ver maneras de extraer la cardinalidad de su conjunto de soluciónes con el fin de poder ver si el grupo abeliano asociado a la curva es seguro en términos criptográficos. Esta cardinalidad nos dará la traza del endomorfismo de Frobenius, y por lo tanto, podemos obtener también la cardinalidad de la curva hiperelíptica.
Las razones matemáticas son la riqueza matemática que conlleva poder conocer esto, ahora vamos a definir una teoría de cohomología útil para teoría de números que nos permite contar puntos, y que nace de la Cohomología de DeRham algebraica propuesta por Alexander Grothendieck así como del trabajo de Dwork quien probó que la función Zeta de una variedad algebraica sobre un campo finito es simplemente un cociente de polinomios.
Lo que queremos es que con esta teoría de Cohomología dada por Monsky-Washnitzer poder encontrar explícitamente la función zeta de una variedad $latex X$ sobre un campo finito $latex \mathbb{F}_q$ con $latex q=p^n$, esta cohomología es la misma que la de deRham algebraica pero aplicada a un anillo especial.
$latex \zeta_{\mathbb{F}_q}(t)=\exp{\sum_{s\geq 1} \frac{|X(\mathbb{F}_{q^s})|}{s}q^{-st}}$
Donde $latex |X(\mathbb{F}_{q^s})|$ denota el número de puntos racionales de $latex X$ en la extensión de grado $latex s$ de $latex \mathbb{F}_q$.
Queremos contar puntos, y un ingrediente crucial es el teorema del punto fijo de Lefschetz, que es la generalización del teorema del punto fijo de Brouwer el cual expuse aquí en mi blog, este teorema en nuestro contexto nos dice básicamente que si $latex X$ es una variedad sobre un campo finito $latex \mathbb{F}_q$ y si $latex \bar{X}$ es el levantamiento (lifting) de $latex X$ a $latex \bar{\mathbb{F}_q}$ , sabemos que el endomorfismo de frobenius $latex \Phi_q$ va a mapear puntos con coordenadas $latex x_1,...,x_n$ a el punto con coordenadas $latex x_1^q, ..., x_n^q$, entonces los puntos fijos que $latex \Phi_q:\bar{X}\rightarrow\bar{X}$ son exactamente los puntos $latex X$ (porque Frobenius se comporta como la identidad en los puntos $latex \mathbb{F}_q$-racionales) entonces el teorema del punto fijo de Lefschetz implica que en el caso de que $latex X$ sea suave y bien portada como variedad:
$latex |X(\mathbb{F}_q)|=q^{\text{Dim }X} \sum_i (-1)^i Tr(\Phi_q)^{-1}|H^{i}(\bar{X},\mathbb{Q}_l)$
La cohomología que usaremos será la cohomología de deRham algebraica aplicada a un anillo especial que es un lifting (levantamiento) del anillo de coordenadas, hoy definiremos la cohomología de deRham y los problemas que nos va a causar no trabajar en el Lifting.
Hoy nos enfocaremos a construir esta cohomología definida en GAGA por Alexander Grothendieck, para cualquier anillo de tipo finito, que será la base de la cohomología de Monsky-Washnitzer aplicada a un anillo en específico.
Primero que todo, $latex \mathbb{K}$ es un campo perfecto y $latex A$ una $latex \mathbb{K}$-álgebra finitamente generada, que en el caso práctico puede ser un anillo de coordenadas de una variedad $latex X$ cuyas coordenadas a veces denotaremos como $latex \bar {x_i}$ para $latex i\leq n$ por lo que $latex A=\mathbb{K}[\bar{x_1},...,\bar{x_n}]=\mathbb{K}[x_1,...,x_n]/\langle f_1,...,f_r \rangle=\mathbb{K}[X]$ donde $latex X$ está definido por $latex \lbrace f_i \rbrace_{i=1}^{r}\subset \mathbb{K}[x_1,...,x_n]$ irreducibles sobre $latex \mathbb{K}$.
Cohomología de DeRham algebraica con diferenciales de Kähler
Ahorita queremos transportar el cálculo diferencial y análisis a álgebra, por lo que definiremos en abstracto lo que es una derivada y los diferenciales de un anillo de cierto modo generalizados, simplemente pidiendo simbólicamente la regla de Leibniz en este caso sobre el anillo de funciones de una variedad, donde la función de derivación sobre el álgebra finitamente generada será naturalmente heredada con la derivación parcial en cada variable de los polinomios.
Definición: $latex \Omega_{A/\mathbb{K}}$ es el $latex A$-módulo de diferenciales de Kähler, es decir, vamos a tomar $latex \forall a\in A$ los símbolos $latex\space da$ y las siguientes relaciones.
* $latex \space dk=0$ para $latex k\in\mathbb{K}$
* $latex d(a+b)=da+db$
* $latex d(ab)=a\cdot db+b\cdot da$ donde $latex a,b\in A$
Por ejemplo, si tenemos que $latex A$ es el anillo de coordenadas de $latex X$ una curva dada por la intersección de irreducibles, es decir, $latex f_1,..,f_r \in \mathbb{K}[x_1,...,x_n]$ entonces:
$latex A=\mathbb{K}[x_1,...,x_n]/\langle f_1,...,f_r\rangle$
Entonces tenemos que explícitamente:
$latex \Omega_{A/\mathbb{K}}=\bigoplus _{i=1}^{n} Adx_i /\langle f_1,...,f_r \rangle$
donde $latex df:=\sum_{j=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_j} dx_j$ (Derivada total)
Es decir, como $latex A=\mathbb{K}[\bar{x_1},...,\bar{x_n}]$, tenemos que $latex \Omega_{A/\mathbb{K}}$ es un módulo libre en los generadores $latex d\bar{x_1},...,d\bar{x_n}$ y nota que el álgebra $latex A=\mathbb{K}[\bar {x_1},...,\bar{x_n}]$ está generada como una $latex \mathbb{K}$-álgebra por $latex \bar{x_1},...,\bar{x_n}$ por lo que $latex \Omega_{A/\mathbb{K}}$ esta generado como $latex \mathbb{K}[\bar{x_1},...,\bar{x_n}]$-módulo por $latex d\bar{x_1}, .., d\bar{x_n}$.
Existen muchas derivadas, pero la más natural $latex d:A\rightarrow \Omega_{A/\mathbb{K}}$ es la que manda $latex a\mapsto da$.
Como dije anteriormente, hay muchas derivadas, pero eso no perjudica la unicidad de $latex \Omega_{A/\mathbb{K}}$ ya que si nos encontramos con otra derivación $latex \mathbb{K}$-lineal $latex D:A\rightarrow M$ , ésta se factoriza de manera única como $latex A\xrightarrow{d}\Omega_{A/\mathbb{K}}\rightarrow M$.
De hecho si $latex A=\mathbb{K}[x_1,...,x_n]$ es el anillo de polinomios en $latex n$ variables, (es decir, el anillo de coordenadas del espacio afín $latex \mathbb{A}^n$ tenemos que $latex \Omega_{A/\mathbb{K}}\cong \bigoplus_{i=1}^n A$ , esto lo pueden demostrar ustedes utilizando el mapeo $latex A\rightarrow \bigoplus_{i=1}^n A$ dado por $latex f\mapsto (\frac{\partial f}{\partial x_1},...,\frac{\partial f}{\partial x_n})$ y notando que es una derivada $latex \mathbb{K}$-lineal y que el mapeo $latex \phi:\Omega_{A/\mathbb{K}}\mapsto \bigoplus_{i=1}^n A$ dado por $latex df\mapsto (\frac{\partial f}{\partial x_1},...,\frac{\partial f}{\partial x_n})$ es un isomorfismo con inverso $latex \psi:\bigoplus_{i=1}^n A \rightarrow \Omega_{A/\mathbb{K}}$ dado por $latex (f_1,...,f_n)\mapsto \sum_{i=1}^n f_idx_i$.
Una observación "geómetra algebraica" es que la curva definida por el álgebra $latex A$ (su anillo de coordenadas) , por más abstracto que sea esto y por más raro o más típico que sea el campo $latex \mathbb{K}$ es suave, sin singularidades extrañas en su geometría, entonces $latex \Omega_{A/\mathbb{K}}$ es un módulo localmente libre de rango exactamente la dimensión de Krull del anillo $latex A$ que coincide con la dimensión topológica de la variedad $latex X$ asociada al álgebra $latex A$.
Ahora vamos a construir los grupos de cohomología, para esta parte es necesario que entiendas lo que es el producto cuña $latex dx_i\wedge dx_j$, yo aquí lo expongo con ejemplos y de manera geométrica.
Definición: Sea $latex \Omega^k_{A/\mathbb{K}}=\bigwedge_{i=1}^k \Omega_{A/\mathbb{K}}$ , es decir en particular $latex \Omega^{0}_{A/\mathbb{K}}=A$ y $latex \Omega^{1}_{A/\mathbb{K}}=\Omega_{A/\mathbb{K}}$
Y construyamos el complejo de cadenas dado por
$latex d_{k}:\Omega^{k-1}_{A/\mathbb{K}}\rightarrow \Omega^{k}_{A/\mathbb{K}}$
$latex f_0 df_1\wedge ... \wedge df_{k-1}\mapsto df_0\wedge df_1\wedge ... \wedge df_{k-1}$
Estas $latex d_j$ entre los módulos de diferenciales de orden $latex j$ y $latex j+1$ pueden demostrar que son derivaciones, y denotamos como $latex \Omega^{\bullet}_{A/\mathbb{K}}$ al complejo de cadenas resultante con su respectivo operador de frontera en cada flecha dado por $latex d_j$.
$latex \cdots\xrightarrow{d_{k-1}}\Omega^{k-1}_{A/\mathbb{K}}\xrightarrow{d_{k}} \Omega^k_{A/\mathbb{K}}\xrightarrow{d_{k+1}} \Omega^{k+1}_{A/\mathbb{K}}\xrightarrow{d_{k+2}}\cdots$
Pueden demostrar que en efecto $latex d_{k+1}\circ d_k =0$ por lo que $latex \text{Im}{d_k}\subseteq \ker d_{k+1}$, que es lo fundamental para construir la teoría de cohomología.
Definición: El complejo de DeRham para la $latex \mathbb{K}$-álgebra $latex A$ está dado por el complejo de cadenas $latex \Omega^{\bullet}_{A/\mathbb{K}}$ donde su i-ésimo grupo de Cohomología está definido como:
$latex H^{i}_{dR}(A/\mathbb{K}):=H^{i}(\Omega^{\bullet}_{A/\mathbb{K}})=\ker{d_{i+1}}/\text{Im} d_{i}$
Nota que si $latex \space i> KrullDim(A)=Dim(X)$ por las propiedades del producto cuña $latex \wedge$ tendrás dependencia lineal por lo que $latex \Omega^i_{A/\mathbb{K}=0$ que implica que $latex H^i(A/\mathbb{K})=0$ , nota que podemos generalizar esta construcción a esquemas de tipo finito por lo que es mejor denotar $latex H^{i}_{dR}(X/\mathbb{K}):=H^{i}_{dR}(A/\mathbb{K})$ donde $latex X=Spec(A)$ , esto es la generalización usando el espectro del anillo y lo tengo explicado aquí con ejemplos, pero si no te gusta esto, o te es muy complicado, sigue usando el anillo $latex A$.
Cohomología en característica p
Vamos a jugar un poco con esta cohomología y supongamos ahora que $latex \mathbb{K}=\mathbb{F}_p$, queremos definir una teoría de cohomología para variedades sobre $latex \mathbb{F}_p$ , el punto aquí será definir una teoría de cohomología con coeficientes en un campo de característica 0 relacionado muy cercanamente con $latex \mathbb{F}_p$ para una variedad afín sobre $latex \mathbb{F}_p$.
Primero, observemos por qué el párrafo anterior, considera $latex X=\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_p}$ es decir $latex A=\mathbb{F}_p[X]=\mathbb{F}_p[x]$, es fácil ver que $latex H^{1}_{dR}(A/\mathbb{F}_p)$ es un $latex \mathbb{F}_p$-espacio vectorial de dimensión infinita ya que por ejemplo $latex d_1(x^{pk})=0$ $latex \forall k\geq 0$ por lo que $latex \lbrace x^{pk-1}dx \rbrace_{k\geq 0} \not\subset \text{Im }d_1$ y $latex \lbrace x^{pk-1}dx \rbrace_{k\geq 0}\subset \Omega_{A/\mathbb{F}_p}$ $latex \forall k\geq 0$
O sea tenemos que $latex d_1:A\rightarrow \Omega^{1}_{A/\mathbb{F}_p}$ está dado por $latex f\mapsto df$ y $latex d_2:\Omega^{1}_{A/\mathbb{F}_p}\rightarrow \Omega^{2}_{A/\mathbb{F}_p}$ está dado por $latex gdf\mapsto dg\wedge df$.
Con esto anterior y la observación de que $latex x^{pk-1}dx\notin \text{Im }d_1$ tenemos que:
$latex \ker d_2=\langle \lbrace cdf : f\in A,\text{ }\forall c\in\mathbb{F}_q\rbrace \cup \lbrace cx^{pk}df : k\geq 0\rbrace\rangle$
$latex \text{Im }d_1=\langle \lbrace df \in \Omega^{1}_{A/\mathbb{F}_q} : f=cx^{pk+r},\text{ }r\neq -1\rbrace\rangle$
Por lo tanto:
$latex H^{1}_{dR}(A/\mathbb{F}_q)=\ker d_{2}/\text{Im }d_{1}$
Es como $latex \mathbb{F}_p$-espacio vectorial tiene una infinidad de generadores dados por todos los valores que puede tener $latex k\geq 0$ ya que la Imágen de $latex d_1$ está totalmente contenida en la parte izquierda del kérnel de $latex d_2$ y la parte derecha es infinita.
Esto es un problema... tenemos que de hecho $latex \Omega^{1}_{A/\mathbb{F}_p}$ tiene dimensión infinita, esto no nos sirve de nada, es muy grande, necesitamos deshacernos de la característica $latex p$ que nos da problemas con las derivaciones de funciones polinomiales con exponente múltiplo de $latex p$.
El campo de característica 0 que usaremos es $latex \mathbb{Q}_p$ (campo de p-ádicos que lo puedes ver explicado en mi blog aquí )y considera su anillo de enteros asociado $latex \mathbb{Z}_p$ , es bien conocido que $latex \mathbb{Z}_p/p\mathbb{Z}_p\cong \mathbb{F}_p$,
Supón que tienes una $latex \mathbb{F}_p$-álgebra $latex A$ , entonces si pudieramos encontrar una $latex \mathbb{Z}_p$-álgebra suave $latex \tilde{A}$ con $latex \tilde{A}\otimes_{\mathbb{Z}_p}\mathbb{F}_p\cong A$ podrías considerar la cohomología de DeRham de la $latex \mathbb{Q}_p$-álgebra $latex \tilde{A}_{\mathbb{Q}_p}:=\tilde{A}\otimes_{\mathbb{Z}_p}\mathbb{Q}_p$
Con esto, ya nos deshacemos de la dimensión infinita, pero el problema es que levantar (lift) el álgebra $latex A$ como $latex \mathbb{Z}_p$-álgebra da diferentes grupos de cohomología , aunque finitos pero diferentes y necesitamos una manera de poder encontrar un lifting único que nos sirva para poder aplicar el teorema del punto fijo.
Por ejemplo si $latex A=\mathbb{F}_p[x]$ y $latex \tilde{A}_1=\mathbb{Z}_p[x]$ , $latex \tilde{A}_2=\mathbb{Z}_p[x,y]/\langle (1+px)y-1 \rangle$, puedes verificar que $latex H^1_dR(\tilde{A}_{1,\mathbb{Q}_p}/\mathbb{Q}_p)=0$ y $latex H^1_dR(\tilde{A}_{2,\mathbb{Q}_p}/\mathbb{Q}_p)$ tiene dimensión 1
Como vemos, tenemos dos liftings de $latex A$ con diferente grupo de cohomología.
Vamos a seguir después con el anillo en el que queremos trabajar la cohomología, para aplicar el teorema del punto fijo de Lefschetz por ahora nos quedamos aquí.
Después le seguimos, espero les haya interesando.
Eduardo Ruíz Duarte (beck)
twitter: @toorandom
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