Grupos de Lie y un ejemplo desarrollado

En el post anterior vimos lo que es una variedad, como matemáticos lo que nos interesa siempre es darle una estructura analítica a los objetos y esta estructura generalizara para poder estudiar mejor el objeto a través de sus funciones o propiedades.

Ahora lo que haremos es darle estructura de grupo a una variedad.


Un grupo de Lie es una variedad que es un grupo también de tal manera que la operación de los elementos del grupo es suave (suave en el sentido diferencial).

Los grupos $latex GL(n,\mathbb{R})$ o $latex SL(n,\mathbb{C})$, grupos ortogonales, simplécticos entre otros son grupos de Lie Famosos, por ejemplo $latex GL(n,\mathbb{R})$ como variedad es disconexo y con dos componentes (matrices con determinante positivo y negativo) y tiene dimensión $latex n^2$.

Otra cosa es que un grupo de Lie es un espacio homogéneo en el sentido de que la translación por la izquierda de un elemento del grupo $latex g$ es un difeomorfismo del grupo en si mismo que manda la identidad a $latex g$ (un automorfismo diferenciable)


Esto lo que nos hace ver es que un grupo de Lie, localmente se ve igual alrededor de cualquier punto, y va a ser clave el espacio tangente a la identidad ya que nos hará definir la operación corchete $latex [ , ]$ que convertirá el grupo en un álgebra de Lie.


Comencemos un poco más formalmente.


Definición: $latex G$ es un grupo de Lie si es una variedad $latex C^{\infty}$  tal que las siguientes dos operaciones de obtener inverso y multiplicación son infinito diferenciables  $latex C^\infty$

$latex \mu: G\times G \rightarrow G$ ,  $latex \mu(a,b)=ab$

$latex \iota:G\rightarrow G$ ,  $latex \iota(a)=a^{-1}$


Ahora, si $latex a\in G$ , denota por $latex l_a:G\rightarrow G$, $latex l_a(x)=\mu(a,x)=ax$ a la operación de multiplicación izquierda por $latex a$ , y la derecha como $latex r_a:G\rightarrow G$, $latex r_a(x)=xa$

Es fácil ver que son difeomorfismos.

Definición: Un mapeo $latex F:H \rightarrow G$ entre dos grupos de Lie $latex H$ y $latex G$ es un homomorfismo de grupos de Lie si $latex F$ es $latex C^\infty$ y $latex F$ es un homomorfismo de grupos.

Esto es que

$latex F(hx)=F(h)F(x) \Leftrightarrow F\circ l_h = l_{F(h)}\circ F$     $latex \forall h\in H$


Ejemplo $latex SL(n,\mathbb{R})$

Regresamos al ejemplo introductorio pero vamos a desarrollarlo ya con estas definiciones.


Tenemos que $latex SL(n,\mathbb{R})$ es un subgrupo de matrices de determinante 1 de $latex GL(n,\mathbb{R})$ , aquí el chiste de verlo como variedad es que veas los elementos de las matrices que pertenecen al grupo como vectores, en el grupo general lineal tienes $n^2 -1$ entradas, es decir lo puedes ver como un vector de ese tamaño, el grupo special lineal que es subgrupo del general tiene dimensión $latex n^2 -1$ y es una subvariedad.

$latex \mu:GL(n,\mathbb{R}) \times GL(n,\mathbb{R})\rightarrow GL(n,\mathbb{R})$
$latex (A,B)\mapsto AB$

es $latex C^\infty$ ya que

$latex (AB)_{ij} = \displaystyle \sum_{k=1}^n {a_{ik}b_{kj}} $

Es un simple polinomio y por lo tanto es una función $latex C^\infty$ de las coordenadas $latex a_{ik},b_{kj}$


Ahora para demostrar que $latex SL(n, \mathbb{R})$ tiene operación de grupo suave, no se sigue de esto , ya que $latex \lbrace a_{ij} \rbrace _{1\leq i , j\leq n}$ no es un sistema de coordenadas en las matrices de $latex SL(n,\mathbb{R}$ ya que como vimos le sobra una (su dimensión es $latex n^2-1$)


Pero sí sabemos que $latex SL(n,\mathbb{R}) \times SL(n,\mathbb{R})$ es una subvariedad de $latex GL(n,\mathbb{R}) \times GL(n,\mathbb{R})$

entonces podemos hacer el mapeo de inclusión:


$latex i:SL(n,\mathbb{R}) \times SL(n,\mathbb{R}) \hookrightarrow GL(n,\mathbb{R}) \times GL(n,\mathbb{R})$

Es relativamente sencillo demostrar que eso es un encaje, toma un $latex p\in SL(n,\mathbb{R}) \times SL(n,\mathbb{R})$ y toma una carta $latex (V,y^1,...,y^n, y^{n+1},...,y^m)$
 para $latex GL(n,\mathbb{R}) \times GL(n,\mathbb{R})$ alrededor de $latex p$ tal que $latex V\cap N$ son los ceros de $latex y^{n+1},...,y^{m}$, para $latex p\in SL(n,\mathbb{R}) \times SL(n,\mathbb{R})$ toma $latex (V\cap N, y^1, ..., y^n)$ y para $latex M$ la inclusión $latex i$ se ve así:


$latex (y^1, ..., y^n) \mapsto (y^1, ..., y^n, 0,...,0)$

Donde claramente se ve que es un encaje , y por lo tanto la operación en $latex SL(n,\mathbb{R})$ también es diferenciable por ser un encaje en el grupo general lineal que consta de un polinomio.


Falta ver que el obtener el inverso también es suave.


Sea $latex \hat{\iota}: SL(n,\mathbb{R}) \rightarrow SL(n,\mathbb{R})$  el mapeo inverso, vamos a ver que es $latex C^\infty$, sea $latex i:SL(n,\mathbb{R}) \hookrightarrow GL(n,\mathbb{R})$ la inclusión y sea $latex \iota: SL(n,\mathbb{R}) \rightarrow SL(n,\mathbb{R})$ el mapeo inverso en $latex GL(n,\mathbb{R})$ (El cual sabemos que es diferenciable, recuerden que para invertir basta un número de operaciones finitas en la matriz que son sumas y multiplicaciones, pero aquí le quitamos una dimensión y tenemos que demostrar que también sigue siendo diferenciable). consideremos la composición de los dos mapeos $latex C^\infty$

$latex \iota \circ i: SL(n,\mathbb{R}) \xrightarrow{i} GL(n,\mathbb{R}) \xrightarrow{\iota} GL(n,\mathbb{R})$

Esto es $latex C^\infty$ ya que su imagen está contenida en la subvariedad $latex SL(n,\mathbb{R})$ que es regular por lo que el mapeo inducido $latex \hat{\iota}$ es $latex C^\infty$ el cual es un resultado básico de geometría diferencial , por lo tanto $latex SL(n,\mathbb{R})$ es un grupo de lie $latex \blacksquare$



En el siguiente post abordaremos el espacio tangente a la identidad de un grupo de Lie para darle estructura de álgebra.


Espero les haya gustado

Eduardo Ruiz Duarte (beck)
twitter: @toorandom

Variedades

Quise volver a recapitular algo de las cosas más hermosas que he estudiado cuando llevé mi curso de geometría diferencial con el Dr. Gregor Weingart, a los físicos les gusta mucho porque con esto pueden medir cualquier cosa  que tenga estructura de variedad y eso les sirve en astrofísica.

Para poder agarrar mejor este post te recomiendo le eches un vistazo a estas entradas
que publiqué anteriormente si comienzas a sentir que no entiendes mucho.

Teorema de la función inversa
Teorema de la función implícita
Espacios tangente en variedades y derivaciones
K-formas diferenciales (1 de 2)
K-formas diferenciales (2 de 2)


Empecemos tratando de recordar cosas.

Variedades diferenciales

Sabemos que para todo $latex m\in \mathbb{R}$, sea $latex \mathbb{R}^m$ el espacio vectorial $latex m$-dimensional equipado con la topología inducida por la métrica usual estándar que es la distancia $latex d(x,y)$ entre dos puntos $latex x,y\in \mathbb{R}^m$ dada por:

$latex d(x,y)=\sqrt{\displaystyle \sum_{i=1}^{m} (x_i-y_i)^2}$

En la práctica los casos usuales son $latex m=2,3$ pero en otras áreas de matemáticas y física el valor de $latex m$ puede ser más grande, en la teoría no hay ni por qué justificarlo.


También tenemos que para todo $latex n,r\in\mathbb{N}$ y un abierto $latex U$ de $latex \mathbb{R}^m$, denotamos por $latex C^r(U,\mathbb{R}^n)$ todas las funciones que son $latex r$ veces continuas diferenciables de $latex U$ a $latex \mathbb{R}^n$ , cuando hablamos de mapeos suaves $latex U \rightarrow \mathbb{R}^n$ nos referimos exactamente a los elementos (son funciones) de:


$latex C^\infty(U,\mathbb{R}^n)=\displaystyle \bigcap_{r=1}^\infty {C^r(U,\mathbb{R}^n)$

Entonces aquí ya tenemos todas las funciones suaves (infinitamente diferenciables) que van de un abierto a $latex \mathbb{R}^n$



Definición (Variedad Topológica, Carta):  Sea $latex (M,\Tau)$ un espacio topológico Hausdorff (Que para dos puntos distintos del espacio puedes encontrar una vecindad de cada uno que no choca con la otra) que tenga base numerable, decimos que $latex M$ es una variedad topológica si existe un número natural $latex m$ y para todo punto $latex p\in M$ , una vecindad $latex U$ abierta de $latex p$ y un mapeo continuo $latex x:U\rightarrow \mathbb{R}^m$ que es un homeomorfismo sobreyectivo en su imagen $latex x(U)$ el cual es un abierto de $latex \mathbb{R}^m$

El par $latex (U,x)$ es llamado carta coordenada local de $latex M$ y $latex m$ es la dimensión y la denotamos en $latex M$ como $latex M^m$



Lo que decimos aquí, una variedad topológica $latex M$ es localmente homeomorfa a $latex \mathbb{R}^m$ para algún $latex m\in\mathbb{N}$.



Estructura diferencial


Vamos a darle estructura diferencial para poder comenzar a explotar la metrica

Definición (atlas) : Si $latex M$ es una variedad topológica , entonces un $latex C^{r}-atlas$ en $latex M$ es la colección:


$latex \mathcal{A}=\lbrace (U_\alpha, x_\alpha) \mid \alpha \in I\rbrace$

Es decir son todas las cartas locales definidas anteriormente que cubren todo $latex M$, es decir.


$latex M=\bigcup_\alpha U_\alpha$

Y para todo $latex \alpha,\beta\in I$ tenemos los correspondientes mapeos de transición:


$latex x_\beta \circ {x}_{\alpha}^{-1} \mid_{x_\alpha(U_\alpha \cap U_\beta)} : x_\alpha(U_\alpha \cap U_\beta) \rightarrow \mathbb{R}^m$

Son $latex r-veces$ diferenciables.

¿Esto qué significa?

Los mapeos de transición nos dan una manera de comparar dos cartas de átlases diferentes, para comparar esto, se compone una carta con la inversa de otra, pero esto podría no estar definido así que lo hacemos sólo en su intersección, eso es lo que ves en los subindices.


Esto lo podemos ver con el siguiente dibujo, espero se entienda.

Ejemplo:


Sea $latex \hat{\mathbb{C}}$ el plano complejo extendido dado por $latex \hat{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\cup \lbrace \infty \rbrace$ y sea $latex \mathbb{C}^{*}=\mathbb{C}\setminus \lbrace 0 \rbrace$, $latex U_0=\mathbb{C}$  y $latex U_\infty = \hat{\mathbb{C}} \setminus \lbrace 0 \rbrace$

Definimos la coordenadas locales:

$latex x_0:U_0\rightarrow \mathbb{C}$ y $latex x_\infty:U_\infty \rightarrow \mathbb{C}$ en $latex \hat{\mathbb{C}}$ por:

$latex x_0:z\mapsto z$
$latex x_\infty:w \mapsto 1/w$

Tenemos que de este atlas "chiquito" los correspondientes mapeso de transición:

$latex x_\infty \circ x_0^{-1}$ y $latex x_0\circ x_\infty^{-1}:\mathbb{C}^{*} \rightarrow \mathbb{C}^{*}$

Están dados ambos por $latex z\mapsto 1/z$ por lo que $latex \mathcal{A}=\lbrace (U_0,x_0),(U_\infty,x_\infty)$ es un $latex C^{\omega}$-atlas (analítico) en la esfera de Riemann $latex \hat{\mathbb{C}}$.


La variedad analítica $latex (\hat{\mathbb{C}},\mathcal{A})$ se le llama Esfera de Riemann.



También ya con esto es fácil intuir que el producto de dos variedades $latex M_1,M_2$ de clase $latex C^{r}$ y sea $latex M=M_1\times M_2$ el espacio producto equipado con la topología de Tychonoff
Entonces existe un atlas para $latex M$  que la hace una variedad diferenciable de clase $latex C^r$ con
$latex dim M = dim M_1 + dim M_2$


Dejaré esto por ahora aquí, luego continúamos con algo más profundo.

Función zeta de Riemann y probabilidad de que dos enteros sean primos relativos

Este post está motivado en que ya estoy de vacaciones y quería hacer algo divertido y también para alguien muy especial que le gusta mucho la probabilidad y estadística, ella sabrá quién es.

Otra motivación es que como siempre tengo problemas para dormir posiblemente por las grandes cantidades de café que introduzco a mi cuerpo, pero empecemos.

Deduciremos una probabilidad que involucra a $latex \pi$ e involucra a números primos que está íntimamente relacionado con el problema del milenio sin solución gracias a Riemann (Conjetura de Riemann sobre la función $latex \zeta$ que puedes ver aquí)

La pregunta es realmente, ¿cuál es la probabilidad de que dos enteros positivos menores que cierto $latex N$ sean primos relativos (no tengan factores en común más que 1)?

Por ejemplo, $latex (6,33)$ no son primos relativos  porque $latex 6=3\cdot 2$ y $latex 33=11\cdot 3$ (comparten al $latex 3$)

pero por ejemplo $latex (14,15)$ son primos relativos porque no comparten factores no triviales y $latex (c,p)$ donde $latex c$ es cualquier entero y $latex p$ es un número primo.

Esta demostración me gusta mucho, aquí la tienen.

Construcción:

Sean $latex x,y\in \mathbb{N}$ con $latex x,y>1$, como queremos que $latex x,y$ sean coprimos no deben tener ningún factor en común.

Empecemos facilito.

¿Cuál es la probabilidad de dos enteros positivos tengan al 2 como factor?

Bueno, la probabilidad de que un sólo número tenga al $latex 2$ como factor es $latex 1/2$ ya que basta que sea par, y esto sucede el 50% de las veces, esto implica que la probabilidad de que los dos tengan al $latex 2$ como factor es $latex (1/2)^2$

Entonces la probabilidad de que $latex \alpha,\beta$ NO tengan al 2 como factor es $latex 1-\Big({\frac{1}{2}}\Big)^2}$

Ahora para el 3, la probabilidad de manera similar de que no lo contenga es de $latex 1-\Big({\frac{1}{3}}\Big)^2}$

Ya que igualmente, "cada 3 números tienes un múltiplo de 3" , y así en general para todo primo $latex p$ tenemos.

Para cada $latex p$ cada $latex p$ numeros pasarás por un múltiplo de $latex p$ a eso nos referimos con la probabilidad de que nos toque a $latex p$ como factor es $latex \frac{1}{p}$.

Por lo tanto la probabilidad $latex P_{\alpha,\beta}$ de que dos enteros al azar $latex \alpha,\beta \in \mathbb{N}$ menores que cierto $latex N$  sean primos relativos es:

$latex P_{\alpha,\beta}=\displaystyle \prod_{p\in \mathbb{P}}{1-\frac{1}{p^2}}} =(1-\frac{1}{2^2})\cdot (1-\frac{1}{3^2})\cdot (1-\frac{1}{5^2})\cdot ...\cdot(1-\frac{1}{{p_n}^2})\cdot ...$  ***

Donde $latex p_n\in\mathbb{P}$ , la probabilidad se obtiene cuando multiplicas para todo número primo es decir cuando $latex n\rightarrow \infty$.

Donde $latex \mathbb{P}$ son todos los números primos, los multiplicamos todos ya que son sucesos probabilisticamente independientes.

Es decir, recuerda que la probabilidad de que sucedan dos eventos independientes $latex A$ y $latex B$ al mismo tiempo es en símbolos $latex P(A \wedge B)=P(A)P(B)$ , con independientes me refiero a que el evento $latex A$ no tenga cierta relación con el evento $latex B$ , y ¿por qué tener factores primos para cada primo son eventos independientes ? , fácil... porque los números son primos, ya que si no lo fueran, digamos la probabilidad de tener a $latex 6$ como factor es dependiente de tener a $latex 2$ y $latex 3$ como factor, pero como aquí son números primos, todos son disjuntos con respecto a la medida de probabilidad que mide tener factores primos y por definición los primos son únicos en este sentido.

Pero esto ¿qué? , es medio obvio... y no nos dice nada...


Vamos a desarrollar eso para llegar a un resultado sorprendente, primero hay que recordar esta serie de cálculo que tiene que ver con sumas en progresiones geométricas , toma $latex a\in \mathbb{R}$ con $latex \mid a \mid$ < $latex 1$ 

$latex \sum_{n=0}^{\infty} a^n = 1+a+a^2+... = \frac{1}{1-a}$   **

Por ejemplo si $latex a=1/7$

$latex \sum_{n=0}^{\infty}\Big (\frac{1}{7}\Big)^n=1+\frac{1}{7}+\frac{1}{7^2}+...=\frac{1}{1-\frac{1}{7}}=\frac{7}{6}\approx 1.1666$

De la fórmula  **   mete $latex a=(1/2)^2$,  y después voltea la fracción, es decir pon el denominador arriba y el numerador abajo, (esto podemos hacer  porque ningún denominador es 0)

Entonces tenemos que el primer término de *** a lo podemos expandir con la fórmula ** (volteada) como:

$latex 1-\frac{1}{2^2}} = \frac{1}{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+...\frac{1}{2^{2k}}+...}$

Similarmente podemos desarrollar todos los términos de $latex P_{\alpha,\beta}$

$latex P_{\alpha,\beta}=(\frac{1}{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+...\frac{1}{2^{2k}}+...})\cdot(\frac{1}{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^4}+...\frac{1}{3^{2k}}+...})\cdot ...$

Observa cuidadosamente la ecuación anterior y fíjate que en los denominadores de los denominadores, están todos los posibles cuadrados perfectos de todos los números naturales, en todas sus combinaciones y sabores cuando $latex k\rightarrow \infty$ tenemos TODOS los cuadrados perfectos, por lo que esa suma horrible es lo mismo que la siguiente representacion


$latex P_{\alpha,\beta}=\frac{1}{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^2}}=\frac{1}{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}+...}$ , es bien sabido que esta serie en el denominador $latex \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$

Es sabido el resultado de esta serie si juegas con la expansión en series de $latex \frac{sen(x)}{x}$
o como el problema de Basilea


Por lo tanto, sabiendo esto, llegamos a este hermoso resultado en teoría analítica de números.

Teorema:
Sean $latex \alpha,\beta \in \mathbb{N}$ donde $latex \alpha,\beta$ < $latex N$ , entonces la probabilidad de que $latex \alpha$ y $latex \beta$ NO tengan factores en común (sean primos relativos) es:  $latex P_{\alpha,\beta}=\frac{6}{\pi^2}\approx 0.6079...$


De hecho, es equivalente esto a la función $latex \zeta$ de Riemann evaluada en $latex 2$ , y la fómula  *** que encontramos es justamente la representación con números primos de la función zeta de Riemann por Euler, pueden verlo aquí así como como la función zeta de Riemann en 2 $latex \zeta(2)$


Espero les haya gustado

Eduardo Ruíz Duarte
twitter @toorandom

Destrucción del lenguaje humano a través de nuevas falacias y mala argumentación

El lenguaje en la sociedad va cambiando, bien lo dice el Dr. Noam Chomsky en su libro "Piratas y emperadores" que muchos de los problemas sociopolíticos y diplomáticos que generan guerras y conflicto en general tienen raíces muy profundas en un mal uso del lenguaje (semántica, pragmalingüistica), llegando a tener que inventar palabras y expresiones que conllevan a argumentos falaces y al final a mal entender ciertas situaciones que se vuelven negativas para alguien, todo esto debido a la naturaleza humana.

Este post pretende mostrar cierto tipo de falacias que creo que nos están invadiendo últimamente y mostrar el hecho de que correlación en sucesos estadísticos no implica causalidad entre ellos.

Como muchos ya saben una falacia es una argumentación que parecería verdadera pero no lo es, por ejemplo:

"Mujeres que usan ropa en colores obscuros más propensas a cáncer que hombres"

Explicación: 

Las mujeres en tonos obscuros de ropa estadísticamente son más depresivas, por lo que su cantidad de endorfinas hace que haya menor producción energética celular y por lo tanto daño en el ADN mitocontrial generando deficiencias en los procesos de respiración celular como lo es en el ciclo de Krebs, haciendo células cada vez más ineficientes.

Por otro lado los hombres con ropa obscura estadísticamente gozan de un buen estatus social y tienden a ser más felices y menos suceptibles a enfermedades debido a sus altos niveles de serotonina y dopamina, también por razones culturales un estudio en X universidad arrojó que las mujeres los encuentran más atractivos por lo que su vida sexual es más activa fomentando la oxitocina en su cuerpo, éstas sustancias son el gran enemigo del cáncer a nivel químico.


Obvio lo anterior es una completa idiotez, pero salió de mi mente sólo juntando ciertas ideas que "localmente" son verdaderas pero globalmente son una estupidez, la mayoría de la gente lo creería si éste lo ve escrito en alguna revista. Está de moda este tipo de "investigaciones" por Universidades muy renombradas como Stanford, Harvard u Oxford que dicen que hicieron este tipo de estudios pero luego son mal interpretados por revistas de "ciencia", y como me dijo un amigo... también está de moda ser científico en las ciencias sociales y las humanidades... y a veces tienen una metodología incorrecta a la hora de argumentar porque no saben que:

Correlación NO implica Causalidad

Esto ¿qué significa?...  que si los datos de ciertos estudios presentan un comportamiento similar en sus gráficas no significa que alguno sea causa de otro... por ejemplo vean esta gráfica tomada de esta excelente página http://www.tylervigen.com

Divorcios en el estado de Maine, EEUU VS Consumo de margarina per cápita de los gringos





Esta gráfica muestra una correlación de más de 0.99:


Las argumentaciones como la estupidez que leyeron hace rato implicarían que como están íntimamente correlacionados, deberán ser causa uno del otro.


Obvio este tipo de argumentaciones se vuelven una verdad para un gran porcentaje de la gente sin si quiera ver la verdadera publicación de la investigación, que quizá está mal interpretada por la revista de divulgación tipo "muy interesante" o "selecciones", y esa verdad viene respaldada por una falacia ad hominem, ad autoritarum (sólo porque X lo dice es verdad, sólo porque Y persona es experta en Z cosa tiene que ser verdadero) o simplemente por creer que la correlación implica causalidad.

Hay que evitar creer en esto porque después se vuelve una mentira masiva y llegar a la fuente, como tema de conversación puede ser interesante o incluso chistoso... pero si te gusta el formalismo o un debate serio no creo que sea conveniente usar estos argumento, si leen a Chomsky verán que poco a poco ir enfermando al cerebro con tantas cosas falsas puede tener consecuencias negativas.


Ahora por otro lado creo en el nacimiento de otro tipo de falacias, en la jerga nueva de internet nacen otras expresiones que se usan como preámbulo antes de contra argumentar a alguien algo de lo cual no estamos de acuerdo, dos ejemplos son:

IMHO (In my humble opinion, En mi humilde opinion)
AFAIK (As far as I know, hasta donde yo sé)

Et cétera...

Este tipo de expresiones desde mi punto de vista provoca 2 falacias.

1. El hacer creer que como su punto de vista se localiza supuestamente en un estado neutral de pensamiento, la argumentación deberá ser libre de prejucios sólo con poner la nueva palabra antes que el argumento (ésta palabra no aporta nada a la idea).

2. Hacer creer a la contraparte que la persona por estar siendo "humilde" su proposición deberá ser verdadera.


Lo enfatizo porque he observado que la gente se prende cuando no se utilizan este tipo de preámbulos a la hora de contra-argumentar, a veces para mostrar cierta educación y evitar llegar a verse déspota, sabelotodo o simplemente mamón, pero ése tipo de cosas son las que nos critican algunos Españoles, Argentinos y otros, nos disculpamos demasiado cuando hablamos, seamos directos con la idea... si tu argumento es correcto no necesitas disculparte antes de hablar.


También creo que toda la retórica política es bazofia y está repleta de esto, las ideas se hacen complicadas y generalizadas para poder interpretarse de una infinidad de maneras haciendo imposible el hecho de transmitir la idea, la cual es la más importante para transmitir como fin del lenguaje.

Hay un libro en línea "Un libro ilustrado de los malos argumentos" que lo pueden leer en 15 minutos, recomendación de un gran amigo mío Omar Lara Salazar, es muy corto y tiene dibujos, creo que debería de ser un libro obligatorio para los niños en 5to o 6to de primaria que les recomiendo mucho, es para entender las falacias más usuales y que cada vez que debatas tanto tú como la otra persona aprendan uno del otro y no sólo desechen la información.

https://bookofbadarguments.com/es/


Espero les haya gustado el post, opinen.

(IMHO) In my humble opinion

Eduardo Ruíz Duarte
twitter: @toorandom

Matemáticas del sonido, ondas, oscilaciones, construyendo el concepto de vibración

Recientemente me he tenido que meter a un poco de temas de análisis de fourier y cosas de señales de audio, por lo que se me hizo justo el tener que regresar algo del conocimiento a mi blog.

Pero pues aquí siempre trato de poner lo que sea más interesante para el público, tratando de no llegar a cosas muy abstractas (aunque a veces no me aguanto) , pero pues hoy lo que haremos es tratar de ver el por qué el sonido se ve como una onda.


Todo el mundo hemos escuchado que el sonido es debido a vibraciones, es decir, la música está compuesta de vibraciones.

Por ejemplo los músicos (y los aficionados como yo) utilizamos una cosa que se llama diapasón, el cual es un como tenedor que al golpearlo generará vibraciones que harán que aire se mueva y producirá una onda, pero... ¿por qué digo esto? , ¿cuál onda? , ¿qué forma tiene la onda?

Este es un diapasón por si no lo conocen, generalmente vibra a una frecuencia de 440HZ para producir una nota musical que se llama "LA" (4) , eso de los 440 HZ es simplemente que en 1 segundo produce 440 sucesos que trataremos de explicar ahora mismo.

Entonces ¿Por qué vibra el diapasón?


La respuesta es con pura física y matemática simple, cuando le pegas a un diapasón, éste se deforma y después existe otra fuerza que lo regresa a su posición original.

Pero esto tiene inercia y también se deforma en la posición contraria y regresa y otra vez a la posición original, et cétera... y continúa en el tiempo hasta que la oscilación eventualmente termina.

Mientras el diapasón está oscilando, éste está empujando al aire, la presión de las ondas es lo que llega a nuestro oído.

El resultado del sonido depende de dos factores, es el balance de la fuerza que hace que vuelva a su posición original para estar en equilibrio y la inercia que hace que se doble hacia el otro lado y regrese y se doble, es decir que se "exceda" la deformación de manera contraria.

Veamos este dibujito, que nos muestra a qué me refiero con la deformación y la posición del diapasón.

Mi meta en este post es hacer ver y explicar cómo vibra el diapasón cuando lo golpeas

El desplazamiento del diapazón al golpearlo lo denotaremos por $latex x$ , con propósitos de hacer esto lo más simple posible, supón que la fuerza que tiende a dejar el diapasón en su posición original es PROPORCIONAL al desplazamiento del diapazón al golpearlo... es decir a $latex x$, claramente esta fuerza es negativa ya que es la fuerza contraria con la que le pegamos al diapazón con el martillo.

Entonces lo que tenemos aquí es que cuando el diapasón es empujado en la dirección positiva $latex x$ la fuerza que estamos tratando de modelar lo "jala" en la dirección negativa $latex -x$ por lo tanto:


$latex F=-kx$


Donde $latex F$ es la fuerza de restauración del diapasón (también le podemos decir elasticidad ya que mide la fuera en que deformándose vuelve a su posición original) y $latex k$  es la variable de proporcionalidad que acabamos de explicar, y es negativa también por lo que acabamos de explicar.

Pero todos en la secundaria aprendimos la segunda ley de Newton, que nos dice que "Fuerza es igual a masa por aceleración"  $latex F=ma$ donde $latex m$ es la masa del diapasón y $latex a$ es la aceleración.

Entonces tenemos ahora que $latex -kx = ma$

Como nosotros queremos saber la mecánica del diapasón, , lo único que hemos derivado es la relación que hay entre la posición y la aceleración... parecería que es suficiente, pero ¿dónde están las ondas? , ¿dónde están las frecuencias?


Recordemos que también en la prepa nos enseñaron que en términos de física la segunda derivada del desplazamiento con respecto al tiempo es la aceleración, es decir en símbolos, podemos reescribir la ecuación $latex -kx=ma$ sustituyendo la aceleración y despejando:


$latex \frac{d^{2}x}{dt^2}=-(kx/m)=-\frac{k}{m}x$


Esta ecuación ya se ve con más forma, tenemos que resolverla ya que de hecho esta ecuación ya nos da movimiento


Lo que nos dice esta ecuación es que necesitamos una función $latex x(t)$ (que depende del tiempo) que sea proporcional a su segunda derivada.

En otras palabras... queremos encontrar una función $latex x(t)$ que derivándola dos veces nos de la misma función $latex x(t)$ multiplicada por $latex -\frac{k}{m}$ es decir nos dé   $latex -\frac{k}{m}x(t)$

¿Creo que ya vamos viendo qué onda no?, para aquellos que llevaron cálculo  es fácil intuir cuál es esta función.

En la prepa aprendimos que:

$latex \frac{d}{dt}sen(\omega t) = \omega cos(\omega t)$

y que:

$latex \frac{d}{dt}cos(\omega t) = -\omega sen(\omega t)$

Aquí a este $latex \omega$ algunos lo conocieron como frecuencia de oscilación, ya que el variar esta $latex \omega$ cambia el periodo del seno y coseno, es decir, modificar esta $latex \omega$ hace que salgan más o menos crestas y valles en la onda en un mismo intervalo de tiempo.


Si calculamos la aceleración de $latex sen(\omega t)$ y de $latex cos(\omega t)$ tenemos que:


$latex \frac{d^2}{dt^2}sen(\omega t)=-\omega^2 sen(\omega t)$

y

$latex \frac{d^2}{dt^2}cos(\omega t)=-\omega^2 cos(\omega t)$


Donde pueden ver que hemos encontrado la función (las funciones) que cumplen el diapasón, ya que su segunda derivada nos da si misma por una constante negativa.

Pero realmente la solución en términos prácticos es única, el coseno y el seno no son más que una versión "atrasada" del otro por lo que generalmente la solución general a este problema se le llama sinusoide.


Para que la ecuación del diapasón esté completa, basta sólamente observar que nuestra primera relación se satisface perfectamente si $latex \frac{-k}{m}=-\omega^2$ eso quiere decir que:

$latex \omega=\sqrt{k/m}$


Esta ecuación que acabamos de construir es la del movimiento armónico simple, y en muchos problemas de oscilación aparece como primera aproximación, por ejemplo un péndulo o en cualquier situación donde la fuerza de restauración del objeto es proporcional al desplazamiento que provocó la fuerza en él.

Ahora... observando que $latex \omega=\sqrt{k/m}$ recuerda que $latex \omega$ es la frecuencia de la oscilación... te dice qué tan rápido el diapasón está vibrando... cuando el tiempo $latex t$ está cambiando por $latex 2\pi/\omega$ el argumento $latex \omega t$ cambia por $latex 2\pi$ radianes, y el seno o coseno pasa por un ciclo completo, esto quiere decir que el periodo de la vibración es $latex 2\pi/\omega$.

Entre más grande sea la frecuencia $latex \omega$ más chico será el periodo (inversamente proporcionales).


Recuerden que $latex m$ es la masa del diapasón, y si está es muy grande entonces la frecuencia será menor (jueguen con los números) , lo cual confirma lo intuitivo de la vida, sabemos que los objetos con mas masa vibran menos, y se oyen menos.

También la misma ecuación $latex \omega=\sqrt{k/m}$ nos dice que entre más grande sea $latex k$ que es la constante de restauración, es más grande la frecuencia de la vibración... esto también hace sentido, piensen en la cuerda de una guitarra.

En pocas palabras lo que nos dice todo esto es que la frecuencia de una vibración es proporcional a la raíz cuadrada de $latex k/m$ es decir para doblar la frecuencia de un diapasón, necesitaríamos 4 veces más masa.


Esta proporcionalidad entre frecuencia y oscilación con la raíz cuadrada de la razón entre la masa y la elasticidad (k) y la medida de la inercia es un fenómeno muy general que sucede en muchísimas situaciónes y es muy importante en física.

Como dijimos hace rato el coseno y el seno son lo mismo pero uno más atrasado que el otro... de hecho

$latex cos(\omega t)=sen(\omega t + \pi/2)$

Es decir... el seno y el coseno difieren en fase por el ángulo $latex \pi/2$

Es fácil ver diferenciando que la ecuación que calculamos al principio:

$latex \frac{d^{2}x}{dt^2}=-(kx/m)=-\frac{k}{m}x$

Se satisface con seno o coseno en cualquier fase, sólo deriva dos veces:

$latex x(t)=sen(\omega t+\phi)$  

y verás que siempre obtendrás $latex -\omega^2 x(t)$ para cualquier valor de $latex \phi$


La fase relativa $latex \phi$ realmente es arbitraria y está determinada por la posición del origen del tiempo, para ver esto , sólamente desplaza el tiempo por un factor $latex \tau$  y verás a que llegas a la misma $latex \phi$ , en símbolos

$latex sen[\omega(t+\tau)]=sen[\omega t + \omega \tau ] = sen[\omega t + \phi]$

Esta trivialidad sólo es para mostrar que el recorrer el tiempo por $latex \tau$ resulta en recorrer por un arbitrario $latex \phi=\omega \tau$, es decir al momento de desplazar el tiempo siempre TODAS las sinusoides tienen la misma FORMA.

Matemáticamente es que el conjunto de todos los sinusoides en una frecuencia física está cerrado bajo desplazamiento de tiempo, si lo vemos en su gráfica vemos que  la forma de un sinusoide siempre es la misma sin importar cuándo la observemos, los sinusoides en la misma frecuencia también están cerrados bajo adición y eso lo veremos después que es el principio de todo el análisis de señales y de mostrar que toda señal es suma de senos y cosenos.


Espero les haya servido

Eduardo Ruiz Duarte (beck)
twitter: @toorandom

Tipos de infinitos (grandes y chicos), numerabilidad, axioma de elección y paradojas

Nota: Si estas en tablet o teléfono para visualizar mejor los símbolos haz click aquí

Pregunta para reflexionar antes de empezar este post.


¿Un objeto matemático existe sólo si existe un algoritmo que lo pueda construir explícitamente o sólamente existe si la suposición de su existencia no conlleva a contradicciones a pesar de que no podamos encontrar jamás un ejemplo?

Cardinalidad (tamaño) de conjuntos, numerable y no numerable

Ahora veremos un tema que es muy importante en las matemáticas, el cual desde mi punto de vista , dividieron a los matemáticos, sabemos que los números enteros $latex \mathbb{Z}=\lbrace ...,-2,-1,0,1,2,...\rbrace$  y los números reales $latex \mathbb{R}$ son infinitos, vamos a ver que el infinito de los reales es estrictamente más grande que el infinito de los enteros, después veremos al axioma de elección, el cual aplicado a colecciones infinitas de conjuntos implica resultados paradójicos que pueden llegar a ser sorprendentes.

Definición: Un conjunto A es de cardinalidad finita $latex n$ si existe una función biyectiva del conjunto $latex \lbrace 1,2,3,...,n\rbrace$ con A.
Decimos que un conjunto A es numerable infinito si hay una función biyectiva con el conjunto $latex \mathbb{N}=\lbrace 1,2,3,... \rbrace$, un conjunto infinito numerable o finito se le dice numerable

Un conjunto A es no numerable infinito si no es vacío y no es numerable


Esta definición ya nos permite comenzar a hacer cosas, por ejemplo, si tenemos el conjunto de todos los enteros $latex \mathbb{Z}=\lbrace ...,-2,-1,0,1,2,...\rbrace$ y el conjunto de los naturales con el 0, llamémosle $latex A=\lbrace 0,1,2,3,...\rbrace$


Ejemplo: comparando los enteros negativos con positivos con los enteros positivos.

¿Cuál conjunto es más grande?

Aquí nos topamos con un concepto que deja de ser intuitivo, en primera instancia uno está contenido dentro de otro $latex A\subset \mathbb{Z}$ pero no al revés.

Pero imaginen una fiesta donde hay $latex n$ mujeres y $latex m$ hombres.

¿cómo podemos saber si todos podrán bailar con alguien del sexo opuesto en una canción?

Una opción sería contarlos y ver si $latex n=m$ la otra opción es asignarles una pareja y ver si nadie se queda sin bailar.


La segunda opción es la que equivale a la definición, necesitamos encontrar una función, y si a todas las mujeres les toca un hombre y sólo un hombre entonces no habrá duda que el conjunto de mujeres y hombres mide lo mismo ya que todos tienen una pareja y nadie se queda solo.


Para nuestro ejemplo imaginen esta regla de correspondencia:


$latex A$      $latex \mathbb{Z}$
$latex 0\mapsto 0$
$latex 1\mapsto -1$
$latex 2\mapsto +1$
$latex 3\mapsto -2$
$latex 4\mapsto +2$
$latex 5\mapsto -3$
..
..
$latex 2n$ $latex \mapsto n$
$latex 2n+1$ $latex \mapsto -(n+1)$


En resumen, asociamos pares de $latex A$ con positivos en $latex \mathbb{Z}$ e impares de $latex A$ con negativos de $latex \mathbb{Z}$ y ambos $latex 0$ en $latex A$ y $latex \mathbb{Z}$ los ponemos en la misma pareja.

A mas detalle:

Es decir, a la fiesta asociamos el 0 de $latex A$ con el 0 de $latex \mathbb{Z}$
y a los demás asociamos que si el elemento $latex x\in A$ es par de la forma $latex x=2n$ entonces le asociamos $latex n\in \mathbb{Z}$, y si $latex x \in A$ es impar de la forma $latex x=2n+1$ entonces le asociamos $latex -(n+1)$ lo que nos hace que todos tengan una sola pareja y nos define una función biyectiva de $latex A$ y $latex \mathbb{Z}$ por lo que los enteros positivos comparados con los enteros positivos Y negativos tienen el mismo tamaño.


 Ahora , también tenemos que el conjunto de todas las fracciones (es decir los números racionales) , TAMBIÉN es numerable, es decir que se puede poner en correspondencia con $latex \mathbb{N}$ , el que se pueda poner en correspondencia con $latex \mathbb{N}$ imaginen que es como poderles poner una etiqueta a los elementos a comparar y cubrir TODOS los elementos con los números naturales.


Entonces lo que tenemos que encontrar... es una manera de poder etiquetar con los naturales al conjunto:


$latex \mathbb{Q}=\lbrace \frac{a}{b} : a,b\in \mathbb{Z},b\neq 0\rbrace$

Al etiquetar con TODOS los elementos de $latex \mathbb{N}$ a TODOS los elementos de $latex \mathbb{Q}$ tendríamos automáticamente una correspondencia biyectiva entre ambos conjuntos probando que ambos tienen la misma cardinalidad, pero esto es fácil verlo con el siguiente arreglo de TODOS los números racionales.

 Aquí podemos ver que si siguen el flujo de las flechas rosas, y donde empieza que es en el 1/1 asignamos el 1, y después asignamos el 2,3,4... et cétera a los siguientes, podríamos obtener una función que asigne elementos de $latex \mathbb{N}$ a $latex \mathbb{Q}$ y si se fijan esta tabla cubre a TODOS los racionales... de hecho le sobran, los que le sobran son los $latex \frac{a}{b}$ tales que $latex a,b$ no son primos relativos, es decir que se pueden reducir, pero eso no importa, como pueden ver, los pueden eliminar, esto no causa problemas más que a la hora de definir la biyección explícitamente, pero con esto podemos ver que los naturales y los racionales tienen el mismo tamaño infinito.


Pero este pequeño ejemplo conlleva un teorema importante que vamos a probar



Teorema. Sean $latex A,B$ dos conjuntos infinitos numerables, entonces su producto cartesiano $latex A\times B$ también es infinito numerable.


Recuerden que el producto cartesiano de $latex A$ y $latex B$ resulta en otro conjunto $latex A\times B=\lbrace (a,b) : a\in A , b\in B\rbrace$

Vemos claramente que en nuestro ejemplo anterior si $latex \frac{a}{b} := (a,b)$ donde $latex b\neq 0$ y $latex mcd(a,b)=1$  entonces $latex \mathbb{Q}\subsetneq \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$


Entonces sabiendo esto, vamos a la demostración:

demostración:

Como ambos $latex A$ y $latex B$ están en correspondencia biyectiva con $latex \mathbb{N}$, lo único que tenemos que probar es que $latex \mathbb{N}\times \mathbb{N}$ es infinito numerable.

Entonces cosideremos

$latex \mathbb{N}\times \mathbb{N}=\lbrace (n,m):n,m\in \mathbb{N}\rbrace$ entonces el diagrama que nos conviene es:

 Donde claramente se puede ver que siguiendo las flechas podemos cubrir a cada par con todos los números naturales de manera ordenada y limpia.


Esta demostración más algebraicamente sería al definir una función

$latex f: \mathbb{N}\times \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$

La cual es fácil verificar que:

$latex f(m,n)=\frac{(n+m-2)(n+m-1)}{2}+m$

cubre todos los pares de naturales y es biyectiva.

$latex \blacksquare$


De hecho por inducción podrías demostrar que el producto cartesiano de $latex n$ conjuntos numerables es numerable.


Pero bueno... ya vimos el primer infinito el cual es el más chico y lo llamamos $latex \aleph_0$.

¿Pero dónde están los otros infinitos?

¿Cuáles conjuntos son más grandes estrictamentes que los naturales? , pues la respuesta más básica es el conjunto de los números reales $latex \mathbb{R}$, este conjunto obviamente no es finito, y de hecho no es infinito numerable.

Aquí veremos el argumento usual debido a Cantor de diagonalización que prueba que también un conjunto inocentemente más chico que los reales $latex [0,1]=\lbrace x\in \mathbb{R} : 0\leq x \leq 1\rbrace$ NO es numerable también.



Teorema: El intervalo $latex [0,1]$ es NO numerable


Vamos a hacerlo por contradicción, supongamos que existe una correspondencia biyectiva $latex f:\mathbb{N}\rightarrow [0,1]$, lo que haremos es encontrar un número real en $latex [0,1]$ que no está en la imagen, contradiciendo la suposición de que $latex f$ es suprayectiva.


Para esto, lo único que vamos a suponer es que todo número real en $latex [0,1]$ tiene una expansión decimal

$latex 0.x_1x_2x_3x_4...$

Donde cada $latex x_k$ es $latex 0,1,2,3,...9$ para que esta expansión sea única, siempre vamos a redondear, excepto en el caso de $latex 0.99999...$ donde lo dejaremos como tal.

Por lo que $latex 0.32999...$ siempre será escrito como $latex 0.3300$ .

Ahora, tomemos nuestra supuesta correspondencia $latex f:\mathbb{N}\rightarrow [0,1]$ y escribamos los términos.



$latex f(1)=.a_1a_2a_3...$
$latex f(2)=.b_1b_2b_3...$
$latex f(3)=.c_1c_2c_3...$
$latex f(4)=.d_1d_2d_3...$
$latex f(5)=.e_1e_2e_3...$

 Y así... noten que los $latex a_i,b_j$ et cétera son números fijos entre 0 y 9, dándonos una correspondencia uno a uno, es decir no son variables.


Vamos a construir un nuevo número real $latex .N_1N_2N_3N_4...$ que no podrá aparecer en esa lista, forzando a que no sea suprayectiva por lo tanto contradiciendo la suprayección.

Supongamos que del número que queremos construir, definamos la k-ésimo dígito es:

$latex N_k = 4$ si la k-ésima entrada de $latex f(k)\neq 4$
$latex N_k = 5$ si la k-ésima entrada de $latex f(k)=4$


Nota que $latex N_1=4$ si $latex a_1\neq 4$ y $latex N_1=5$ si $latex a_1=4$

Entonces como sea que esté definido $latex f(1)$ siempre sucederá que:


$latex .N_1N_2N_3... \neq .a_1a_2...=f(1)$

Esto también sucederá para $latex N_2$ ya que si $latex N_2=4$ entonces $latex b_2\neq 4$ y será 5 si $latex b_2=4$ por lo que:


$latex .N_1N_2N_3...\neq .b_1b_2b_3...=f(2)$


Esto síganlo para todo $latex N_k$ y tendremos que nunca se parecerá a $latex f(k)$ por lo que este nuevo número no está en la imagen de $latex f$ para como sea que esté definida, por lo que no podría ser numerable. $latex \blacksquare$

Decimos que $latex [0,1]$ tiene cardinalidad $latex \aleph_1$


¿Existe un infinito intermedio entre $latex \aleph_0$ y $latex \aleph_1$?

Esta es la hipótesis del continuo... ¿ustedes qué creen?

Bueno esta pregunta es un gran hoyo en las matemáticas... y muestra la razón que tenía Gödel (Teoremas de incompletud) al decir que las matemáticas como las usamos son imperfectas en el sentido que son incompletas, existen proposiciones que no se pueden demostrar falsas o verdaderas.


Esto significa que esta pregunta... de que si existe un infinito intermedio... es indecidible... se demostró que NO se puede demostrar que esta pregunta es demostrable.

Esta pregunta de la hipótesis del continuo nos lleva a la pregunta inicial filosófica.

Formalización de los conjuntos

Ahora, antes de entrar a lo esotérico, regresen a la pregunta inicial de este post.


A la hora de probar que un objeto existe a veces puede ser constructiva o simplemente existencial, todo esto está fundamentado con la teoría de conjuntos formal, y ahora la más usada son los axiomas de Zermelo-Fraenkel unido con el axioma de elección.


Ahora veremos un poco el detalle de estos axiomas y la paradoja de Russell que muestra que debemos tener cuidado a la hora de trabajar con conjuntos en algo formal, ya que hay objetos que podrían definirse pero no existir.

La idea linda es muy razonable e inocente de cómo definir un conjunto, es decir como una colección de objetos que comparten cierta propiedad.

Noten que uno de los mayores estudiosos de la teoría de conjuntos (Georg Cantor) define un conjunto así:

Un conjunto es:

Toda multiplicidad que puede ser pensada como unidad, esto es, toda colección de elementos determinados que pueden ser unidos en una totalidad mediante una ley

 Por lo que el siguiente conjunto es muy razonable:

$latex \lbrace n: n$ es un número par $latex\rbrace $

Vamos a ver como los conjuntos forman la aritmética que conocemos.

Para formar nuevos conjuntos con conjuntos ya dados por ejemplo si tenemos al conjunto $latex A$ podemos formar a $latex \lbrace A\rbrace$ que es un conjunto de un elemento.

También definimos el conjunto sucesor de $latex A$ como $latex A^{+}=A\cup \lbrace A \rbrace$ es decir $latex x\in A^{+}$ si $latex x\in A$ o $latex x=\lbrace A\rbrace$.


Empecemos con el conjunto $latex \emptyset$ que es el vacío, éste no tiene elementos y corresponderá con el entero $latex 0$ , y vamos a denotar al sucesor de 0 como 1 el cual es:

$latex 1=\emptyset^{+}=\lbrace\emptyset\rbrace$

Después el sucesor del sucesor del vacío es el 2


$latex 2=(\emptyset^{+})^{+})=\lbrace\emptyset ,\lbrace \emptyset \rbrace \rbrace$


En general, vamos a definir al sucesor de $latex n$ como $latex n+1$

Lo cual el sucesor será sumar 1, podemos recobrar por recursión la adición y convertirla en multiplicación y después en resta y división, suena bien no?


Pero bueno, esto es la manera inocente de proceder, aquí Cantor tuvo un error que descubrió Russell, que la pasión de Cantor por el tema y la falta de soluciones ante el escenario de Russell lo llevó a la locura por el hecho de no poder solucionarlo, ya que el definir conjuntos inocentemente como el ejemplo de los números pares o así como procedimos va a llevar a paradojas.


Vamos a construir algo que cumple la definición de conjunto pero que no puede existir.


Veamos primero que existen conjuntos que son elementos de si mismos, hay conjuntos que no cumplen esto, por ejemplo.


El conjunto de números pares NO es elemento de si mismo, ya que éste conjunto como tal no es un número par, por lo tanto no se pertenece a si mismo.


Por otro lado el conjunto de los conjuntos  que tienen más de dos elementos , éste conjunto es miembro de si mismo.


Paradoja


Viendo que podemos construir estos conjuntos, definamos este conjunto.



$latex X = \lbrace A:A$ es un conjunto que no se pertenece a si mismo$latex \rbrace$

        $latex =\lbrace A:A\notin A\rbrace$



Este conjunto conlleva a una paradoja, es decir algo que viola en particular el principio del tercero excluido.


Pregunta: ¿Es $latex X$ un elemento de si mismo?

Si $latex X\in X$, entonces por definición de $latex X$ tenemos que $latex X\notin X$, lo cual es absurdo.

Entonces lo natural es que ya demostramos que $latex X\notin X$ , ... PERO...


Supongamos que $latex X\notin X$, entonces esto implica que $latex X\in X$ lo cual es otra contradicción.

Tenemos contradicción por la negación y la no negación por lo que esto es una paradoja, esto significa que $latex X$ no sería entonces un conjunto es decir es algo que se sale de la teoría y esta es la paradoja de Russell

La cual en símbolos es

$latex X\in X \Leftrightarrow X\notin X$

La solución a esto fue toda la teoría axiomática de Zermelo Fraenkel la cual elimina la posibilidad de poder construir objetos así, y que en pocas palabras limita a los objetos a que puedan ser definidos con lógica de primer orden "acotados" por otro objeto que ya sabemos es un conjunto.

Es decir no existe el conjunto de todos los conjuntos , o el complemento de un conjunto, éste último existe sólo cuando lo tomas como $latex U\setminus X$ que es el complemento de $latex X$ en $latex U$.


Ahora entremos al axioma de elección.



Axioma:  (elección)  Sea $latex \lbrace X_\alpha \rbrace$ una familia de conjuntos no vacíos, entonces existe un conjunto $latex X$ que contiene de cada conjunto $latex X_\alpha$ exactamente un elemento.


Esto es algo que suena obvio si tienes una colección finita de conjuntos, hasta un niño podría comprender que puede tomar un elemento de cada uno


Pero la dificultad viene cuando aplicas el axioma de elección a una colección infinita de conjuntos, y peor aún, una colección infinita NO numerable.

El axioma no te dice como encontrar este conjunto $latex X$ que contiene un elemento de cada conjunto de la colección sólo te dice que existe y punto.


El axioma de elección es peligroso mentalmente hablando, te puede llevar a paradojas como la de Banach-Tarski que te dice que tú puedes partir una esfera en un número finito de partes de tal manera que después  puedas armar 2 esferas iguales a la original.

O por ejemplo también, el elemento más chico en $latex (0,1)=\lbrace x: 0 < x < 1 \rbrace$

También existe un conjunto no numerable de puntos en el plano que tienen vecindades de radio $latex \epsilon >0$ que son ajenas.

Gracias a Andrei Rodríguez por la corrección, aquí dejo con sus propias palabras la demostración de que eso que dije es falso.

"Este ejemplo no funciona ya que $latex \mathbb{R}\times \mathbb{R}$ es separable; es decir porque tiene un subconjunto denso numerable.
A saber $latex \mathbb{Q}\times\mathbb{Q}$.

Veamos

Supongamos que existe una cantidad no numerable de abiertos ajenos en $latex \mathbb{R}\times \mathbb{R}$

Por la densidad de los racionales, cada uno de estos abiertos contiene al menos un punto de coordenadas racionales $latex (\mathbb{Q}\times\mathbb{Q})$, como los abiertos son ajenos, cada uno de estos puntos es distinto, esto implica que $latex \mathbb{Q}\times \mathbb{Q}$ o bien los puntos del plano con coordenadas racionales son un conjunto no numerable... lo cual es una contradicción, por lo tanto no existe un conjunto no numerable de abiertos ajenos en $latex \mathbb{R}\times\mathbb{R}$ $latex \blacksquare$"


Lo que Andrei quizo decir aquí de manera más compacta es que este supuesto conjunto no numerable de abiertos en $latex \mathbb{R}^2$ tiene a racionales en cada abierto (porque $latex \mathbb{Q}$ es denso en $latex \mathbb{R}$), por lo que de existir habría una cantidad no numerable de racionales lo cual es absurdo.

Y mi ejemplo fue mal pensado, habrá que pensar un espacio diferente para que esto suceda. 

 Por decir algunas cosas raras...

Esto sucede en la matemática no en la física, recuerden la analogía de los sacos de frijol, ahí estamos eligiendo frijoles de cada saco... pero realmente podemos elegir un frijol dentro de un conjunto de $latex \aleph_1$ sacos? , la matemática dice que esto es un axioma, es decir es una regla del juego... ¿te gusta la regla?


Eduardo Ruiz Duarte (beck)
twitter: @toorandom

Info adicional de Nazismo que nació después de mi visita a Auschwitz-Birkenau en Oświęcim Polonia

Bueno, acabo de dar una conferencia en Budapest en el CECC2014 de criptografía, fue una gran experiencia y conocí grandes criptógrafos así como una manera distinta de investigar y atacar los estándares, acá están mas enfocados desde un punto de vista soviético lo cual fue enriquecedor ver cómo usan y proponen sobre esos estándares.

Pero eso no es el tema de este post, de la conferencia hablé mucho en twitter sobre temas de ponentes, fotos y opiniones (aqui en twitter) donde también podrán ver fotos del congreso y del museo en Auschwitz y Birkenau, es importante mencionar que el sitio ya no se llama Auschwitz, ese nombre fue el que los alemanes le pusieron a Oświęcim en la segunda guerra mundial y hoy tiene su nombre original por lo que decir "Auschwitz" al pueblo es un poco incómodo para las personas que viven ahí, el pueblo es muy callado, hice algunos amigos y amigas entre 20-30 años de ahí y algunos me comentaban que la mayoría de la gente que se quedó en el pueblo tiene algo malo que contar de sus abuelos o bisabuelos.

Después del congreso decidí ir a Oświęcim, siempre he sido un ávido lector (amateur) de historia de la segunda y primera guerra mundial y quise ir a Auschwitz-Birkenau, fue una experiencia no placentera pero muy interesante e importante en mi vida, pedí instructor para que me diera el detalle de lo que no podían observar unos ojos inexpertos, por ejemplo rasguños en paredes dentro de cámaras de gas u otras cosas lamentables y otras tal vez irrelevanates en nuestra realidad pero relevantes en una situación de esclavismo.


Cosas que le comenté a la instructora las discutimos después con una amena plática, hoy le mandé las referencias de lo que le dije que es lo más relevante que tiene que ver con la "neutralidad" de Suiza en el periodo 1939-1944, así como un dato para que investigara sobre un mexicano notable "Gilberto Bosques" que es algo así como el "Schindler Mexicano" así como los números de prisioneros de Mexicanos asesinados en el holocausto, aquí dejo mi post de Facebook.


Información adicional que "investigué" (por internet) sobre nazismo relacionado con la "neutralidad" de suiza, el papel de Gilberto Bosques en la segunda guerra mundial y sobre mexicanos asesinados en el holocausto. y compartí con la instructura del campo de concentración que me tocó a ver qué opina, esto es lo que le puse.


Here is some of the information of the "neutrality" of Switzerland I was saying.

It is a very large document, but you can see the figures and graphics about how Switzerland became very rich in the period of 1939 and 1944 with a lots of exports of ammunition to the axis powers.

http://www.uek.ch/en/schlussbericht/synthesis/ueke.pdf


Another thing I mentioned was the "Mexican Schindler" he saved thousands of people giving visas being a consul of Mexico in France.

http://en.wikipedia.org/wiki/Gilberto_Bosques_Saldívar

Other thing I mentioned was about the mexicans killed in nazi concentration camps, these links are from old newspapers, but they have verificable information (specially the second).

http://eleconomista.com.mx/columnas/columna-especial-politica/2010/12/30/mexicanas-auschwitz

http://www.proceso.com.mx/?p=332060

Dos teoremas básicos que debes comprender de cálculo si quieres hacer investigación aunque creas que "no los vas a usar" (creeme que sí) (Teorema de la función implícita)

Nota: si estás en una tablet o teléfono seguramente no podrás visualizar los símbolos por lo que te invito a hacer click aquí para refrescar esta página con la versión Latex.


Esta es la segunda parte de los dos teoremas importantes, ya vimos el teorema de la función inversa, ahora usaremos ése para otro muy importante que es el teorema de la función implícita.


En la vida real es raro que una curva en el plano pueda ser descrita como la gráfica de una función en una variable, es decir a veces puede que no sea una función en donde estamos trabajando.

Esto de manera algebraica es cuando tú no puedes despejar de manera explícita algo en términos de una variable, el ejemplo perfecto para esto siempre es la circunferencia.

$latex x^2 + y^2 = 1$

Para todo valor de $latex x$ (quita al 1 y -1) no hay valores siempre para $latex y$ en la circunferencia o hay dos valores para $latex y$ lo cual es algo feo en términos de funciones, las curvas en el plano que pueden expresarse limpiamente como $latex y=f(x)$ son las más fáciles para trabajar y son las que nos encontramos en cálculo elemental, pero esto en la vida real como lo mencioné es raro y vamos a ver bajo que condiciones podemos encontrar un pedazo del dominio de la "curva" para definir una función "implícita".


Sigamos con el círculo, como saben a veces hemos visto que al despejar $latex y$ de la circunferencia nos queda algo así como:

$latex y=\pm \sqrt{1-x^2}$

Esto es que a $latex y$ le tocan dos funciones, la parte positiva de la raiz y la negativa, pero esto no es "una función" en términos algebraicos y geométricamente la parte negativa representa la semicircunferencia inferior y como es de esperarse la positiva la semicircunferencia superior.

Pero qué pasa con los puntos (1,0) y (-1,0) , aquí estos puntos son parte de ambas funciones , por lo que no hemos "ganado" aún en términos de que ya separamos a la circunferencia en 2 funciones.

Pero cuál es el problema aquí?

La dificultad radica en el hecho de que en estos puntos de la circunferencia , la tangente es infinita, recuerden , recuerden que la tangente en un punto es la mejor aproximación lineal a la circunferencia en ese punto .

Si la tangente se puede escribir como $latex y=mx+b$ entonces no debería ser sorprendente que la circunferencia puede escribirse como $latex y=f(x)$ al menos localmente.

El propósito del teorema de la función implícita es tener un "algoritmo" que nos permita determinar cuando los ceros de un conjunto de funciones en $latex \mathbb{R}^N$ pueden ser expresados como la gráfica de una función $latex \hat{y}=f(\hat{x})$ donde $latex \hat{x}$ son las variables independientes y $latex \hat{y}$ son las dependientes.

Esto es lo que intuición de lo que queremos saber del espacio tangente de los ceros de funciones.


Entonces veamos, supongamos que $latex N=n+k$ y consideremos entonces $latex \mathbb{R}^{n+k}$ y por conveniencia denotemos a sus coordenadas como $latex (x_1, ..., x_n, y_1, ..., y_k)$ donde a veces abreviaremos a estos puntos como $latex (x,y)$ , y sean


$latex f_1(x_1,...,x_n,y_1,...,y_k),...,f_k(x_1,...,x_n,y_1,...,y_k)$

k funciones continuas diferenciables que como dijimos para abreviar las escribiremos como:

$latex f_1(x,y),..., f_k(x,y)$

 Y consideremos los ceros de estas funciones en el conjunto $latex V$

$latex V=\lbrace (x,y)\in \mathbb{R}^{n+m} : f_1(x,y)=0,...,f_k(x,y)=0\rbrace $

Queremos determinar, cuándo, dado un punto $latex (a,b)\in V$ con $latex a\in \mathbb{R}^n$ y $latex b\in \mathbb{R}^k$ existen k funciones:

$latex \rho_1(x_1,...,x_n), ...,\rho_k(x_1,...,x_n)$

Definidas en una vecindad de un punto $latex a$ en $latex \mathbb{R}^n$ tal que $latex V$ puede ser descrita en una vecindad de $latex (a,b)\in \mathbb{R}^{n+k}$ como:

$latex \lbrace (x,y)\in\mathbb{R}^{n+k} : y_1 = \rho_1(x_1,...,x_n), ..., y_k=(x_1,...,x_n)\rbrace$

Es decir queremos encontrar todas las funciones $latex \rho_i$ que nos  "despejan" las $latex y_i$


Este conjunto de manera compacta lo podemos escribir como $latex \lbrace y_1=\rho_1(x), ..., y_k=\rho_k(x)\rbrace$

Esto más explícitamente es que queremos encontrar $latex k$ funciones $latex \rho_1, ..., \rho_k$ tal que para todo $latex x\in \mathbb{R}^n$ tengamos que:


$latex f_1(x,\rho_1(x))=0, ..., f_k(x,\rho_k(x))=0$

Entonces el teorema lo que nos va a decir es cuándo las $latex k$ funciones $latex f_1,...,f_k$ pueden ser usadas para definir implícitamente (ya que construirlas es otro problema) las $latex k$ funciones $latex \rho_1, ..., \rho_k$

Creo que con esto estamos listos para definir el teorema

Teorema de la función implícita: 
Sean $latex f_1(x,y),...,f_k(x,y)$ $latex k$ funciones continuas diferenciables en $latex \mathbb{R}^{n+k}$ y supón que $latex p=(a,b)\in \mathbb{R}^{n+k}$ es un cero de todas las $latex f_i(x,y)$, es decir:

$latex f_1(a,b)=...=f_k(a,b)=0$

Ahora supón que en el punto $latex p$ la matriz siguente de $latex k\times k$ es invertible:



 $latex M=\begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial y_1}(p)&\hdots & \frac{\partial f_1}{y_k}(p)\\ \vdots & \space & \vdots \\ \frac{\partial f_k}{y_1}(p)&\hdots&\frac{\partial f_k}{y_k}(p) \end{pmatrix}$


Entonces, en una vecindad de $latex a\in \mathbb{R}^n$ existen $latex k$ funciones diferenciables únicas $latex \rho_1(x),...,\rho_k(x)$ tal que:


$latex f_1(x,\rho_1(x))=0, ..., f_k(x,\rho_k(x))=0$


Regresemos a la circunferencia, aquí la función es $latex f(x,y)=x^2+y^2-1=0$ la matriz $latex M$ del teorema sería de $latex 1\times 1$:

$latex \frac{\partial f}{\partial y_1}=2y$

Esta matriz no es invertible en $latex y=0$ y en la circunferencia esto nos dice que según el teorema no hay funciones implícitas en los puntos (1,0) y (-1,0).

Demostración:

Ahora para la demostración qué hacemos?

Este teorema es una consecuencia como podrán intuirlo del teorema de la función inversa, vamos a simplificar más aún la notación para escribir la k tupla (la parte $latex n+1,n+2,...,n+k$ de $latex f$) $latex (f_1(x,y),...,f_k(x,y))$ como $latex f(x,y)$ y definamos una nueva función $latex F:\mathbb{R}^{n+k} \rightarrow \mathbb{R}^{n+k}$ por:

$latex F(x,y)=(x,f(x,y))$  y observa cuál es la jacobiana de este mapeo, el cuál es fácil ver que es la matriz de $latex (n+k)\times (n+k)$:


$latex \begin{pmatrix}I&0\\ *&M \end{pmatrix}$


Donde $latex I$ es la matriz identidad de $latex n\times n$, $latex M$ es la matriz de $latex k\times k$ del teorema, 0 es la matriz de $latex n\times k$ de ceros y * es alguna matriz de $latex k\times n$.

Por la estructura de esta matriz (triangular), tenemos que el determiante de la Jacobiana es sólamente el determinante de $latex M$ , entonces la jacobiana es invertible si y sólo sí $latex M$ es invertible, y por el teorema de la función inversa existiría un mapeo $latex G:\mathbb{R}^{n+k}\rightarrow \mathbb{R}^{n+k}$ que sería localmente la inversa de $latex F(x,y)=(x,f(x,y))$ en una vecindad del punto $latex (a,b)$


Démosle forma a esta $latex G(x,y)$ :


$latex G(x,y)=(G_1(x,y),...,G_{n+k}(x,y))$

Tenemos que por cómo está definida $latex F(x,y)=(x,f(x,y))$ en las primeras n coordenadas del mapeo $latex G$

$latex G_i(x,y)=x_i$     $latex 1\leq i \leq n$

Y las últimas $latex k$ funciones de $latex G$ reetiquetemoslas como:

$latex p_i(x,y)=G_{i+n}(x,y)$

Por lo que tenemos ya a $latex G$ más explícita como:


$latex G(x,y)=(x_1,...,x_n,\rho_1(x,y),...,\rho_k(x,y))$

Queremos mostrar que las funciones $latex \rho_i(x,0)$ son las funciones que el teorema dice que existen, es decir queremos que no tengan coordenada $latex y$ en términos más informales.

Nos hemos fijado anteriormente en el conjunto de puntos de $latex \mathbb{R}^{n+k}$ donde las $latex k$ funciones $latex f_i$ originales son cero, y le habíamos llamado a este conjunto $latex V$ , la imagen de $latex V$ bajo $latex F$ estará contenido en el conjunto $latex (x,0)$. Entonces la imagen de $latex G(x,0)$ al menos localmente alrededor de $latex (a,b)$ será $latex V$, entonces debemos de tener que:


$latex f_1(G(x,0))=0,...,f_k(G(x,0))=0$


Pero esto qué significa?


$latex f_1(x,\rho_1(x,0))=0,...,f_k(x,\rho_k(x,0))=0$

Que es exactamente lo que queríamos probar.  $latex \blacksquare$


aquí usamos el teorema de la función inversa para probar el teorema de la función implícita, pero también se puede hacer al revés, por lo que ambos teoremas son equivalentes.


Espero les haya servido de algo y chequen el post anterior si no les queda claro que es la clave de la demostración de este que es el del teorema de la función inversa.


Saludos


Eduardo Ruíz Duarte (beck)
twitter: @toorandom

Dos teoremas básicos que debes comprender de cálculo si quieres hacer investigación aunque creas que "no los vas a usar" (creeme que sí) (Teorema de la función inversa)

Si estás desde un smartphone o tablet, no verás los símbolos bien, por lo que te recomiendo dar click aquí para poder visualizar correctamente este post.

Vamos a explorar hoy 1 de 2 teoremas muy importantes en cálculo/análisis ya más serio a nivel universitario que todo matemático (físico, ingeniero o cualquier científico) debe comprender (y demostrar preferentemente) estos teoremas aparecerán muy frecuentemente en análisis, geometría algebraica, topología algebraica y diferencial, incluso en álgebra también (Teoría de Lie), geometría cuántica y algunas cosas que utilicen geometrías que incluyan de alguna manera a los números reales (como los complejos) por lo que considero (y no sólo yo) son fundamentales.

Hoy veremos el teorema de la función inversa e intentaré dar las herramientas para poder comprenderlo, en el siguiente post veremos el teorema de la función implícita


Este teorema vagamente relaciona directamente la inversa de la derivada de una función vectorial con la derivada de la inversa de esa misma función vectorial, veremos como comprender intuitivamente TODA la construcción de esto, así que empecemos con la derivada en una variable para poder comprender la derivada en varias variables.


Recordemos la derivada usual univariable que hemos visto en posts anteriores para una función $latex f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ donde $latex f^{\prime}(a)$ recordemos que era:


$latex f^{\prime} (a):= \lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$



Esto existe si y sólo sí :

 $latex \lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}-f^{\prime}(a)=0$

El cual es equivalente a:



 $latex \lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)-f^{\prime}(a)(x-a)}{x-a}=0$


y también es equivalente a lo que le da más sentido a funciones $latex f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ :


 $latex \lim_{x\to a} \frac{\mid f(x)-f(a)-f^{\prime}(a)(x-a)\mid}{\mid x-a\mid }=0$




Donde $latex f^{\prime}(a)$ es una matriz de $latex 1\times 1$




Ahora, después de ver la derivada de esta forma, veamos la definición para funciones más en general.


Definición: Una función $latex f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ es diferenciable en $latex a\in \mathbb{R}^n$ si existe una matriz $latex A:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ de $latex m\times n$  tal que:


$latex \lim_{x \to a}\frac{\mid f(x)-f(a)-A\cdot (x-a)\mid} {\mid x-a \mid }=0$

Si este $latex a$ existe, denotamos a esta matriz $latex A$ por $latex Df(a)$ que es la derivada de $latex f$ en $latex a$ y le llamamos Jacobiana.


Nota que $latex f(x),f(a)$ y $latex A\cdot (x-a)$ están todos en $latex \mathbb{R}^m$ por lo que:

$latex \mid f(x)-f(a)-A\cdot (x-a)\mid$ es la norma de un vector en $latex \mathbb{R}^m$.

También toma en cuenta que $latex \mid x-a\mid $ es la norma de un vector en $latex \mathbb{R}^n$ .

Aquí podemos ver que $latex Df(a)$ juega el papel de $latex f^{\prime}(a)$ en funciones de $latex \mathbb{R}$ en $latex \mathbb{R}$


La manera más eficiente de calcular esta matriz Jacobiana se puede demostrar con el limite anterior definido y un poco de talacha que está dada por el siguiente teorema.



Teorema 1. Sea $latex f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ dada explícitamente por $latex m$ funciones


$latex f(x_1,...,x_n)=\begin{pmatrix} f_{1}(x_1,...,x_n)\\ \vdots \\ f_{m}(x_1,...,x_m)\end{pmatrix}$


Si las $latex f_i$ son diferenciables entonces la Jacobiana está dada por:


$latex Df(x)=\begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}&\hdots & \frac{\partial f_1}{x_n}\\ \vdots & \space & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{x_1}&\hdots&\frac{\partial f_m}{x_n} \end{pmatrix}$



Es fácil ver que esta matriz cumple la definición de diferenciabilidad para una $latex a\in \mathbb{R}^n$ sustituyéndola en la definición de diferenciabilidad entre funciones vectoriales que mencionamos previamente.
 

Ahora veamos otro teorema importante.


Teorema 2. Sea $latex f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ y Sea $latex g:\mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^l$ diferenciables.

Entonces la composición:


$latex g \circ f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^l$

También es diferenciable y si suponemos que $latex f(a)=b$ su derivada está dada por:


$latex D(g\circ f)(a)=D(g)(b)\cdot D(f)(a)$

Esta regla de la cadena dice que para encontrar la derivada de la composición $latex g\circ f$ se multiplica la Jacobiana de $latex g$ evaluada en b por la Jacobiana de $latex f$ evaluada en $latex a$

La intuición de esto es regresandonos a la derivada en una variable, tenemos que $latex f^{\prime}(a)$ es la pendiente de la linea que pasa tangente a la función $latex y=f(x)$ en el punto $latex (a,f(a))$ en $latex \mathbb{R}^2$.

Si construimos la ecuación de tal tangente tenemos que está dada por.


$latex y=f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)$

La cual como ya hemos oído es la "mejor aproximación lineal" a la función $latex f(x)$ cerca de $latex x=a$


Pues aquí un criterio razonable para la derivada de $latex f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ es que sea la mejor aproximación lineal al objeto $latex y=f(x)$ que vive en $latex \mathbb{R}^{n+m}$, pero pues esta es precisamente la definición, la cual construimos intuitivamente en el principio en analogía con el plano $latex \mathbb{R}^2$:

$latex \lim_{x \to a}\frac{\mid f(x)-f(a)-Df(a)\cdot (x-a)\mid} {\mid x-a \mid }=0$

Aquí lo que estamos viendo análogamente con $latex \mathbb{R}^2$ es que $latex y=f(x)$ lo podemos aproximar con la función lineal:


$latex y\approx f(a)+Df(x)\cdot (x-a)$


Ahora veamos el teorema final, ya entendido esto.

Teorema 3 (Teorema de la función inversa): 

Sea $latex f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ continua diferenciable y supón que el $latex Det(Df(a))\neq 0$ para algún punto $latex a\in \mathbb{R}^n$ entonces existe una vecindad abierta de $latex a\in U\subset \mathbb{R}^n$ y una vecindad abierta de $latex f(a)\in V \subset \mathbb{R}^m$ tal que $latex f:U\rightarrow V$ es biyectiva con inversa diferenciable $latex g:V\rightarrow U$

Vamos a analizar este teorema... y esbozar su demostración.


Demostración (informal)

¿Cuándo una función $latex f$ tiene inversa?

Como vimos anteriormente tenemos que la aproximación lineal en $latex x=a$ es: 

$latex f(x)\approx f(a)+Df(x)\cdot (x-a)$


Sabemos por álgebra lineal que $latex Df(a)$ es invertible si y sólo sí $latex Det(Df(a))\neq 0$ , por lo que $latex f(x)$ debería ser invertible (localmente, en su aproximación) si $latex f(a)+Df(a)\cdot (x-a)$ es invertible, lo cual sucede precisamente cuando $latex Det(Df(a))\neq 0$


Considera

$latex y = f(a)+Df(x)\cdot (x-a)$   


Aquí el vector $latex y$ es escrito explícitamente en función del vector variable $latex x$.

Pero si la inversa de $latex Df(a)$ existe , podemos escribir $latex x$ explícitamente en función de $latex y$ , es decir... despejarla para obtener la función inversa multiplicando por la izquierda por la jacobiana inversa y despejando $latex x$ (con cuidado porque la matriz no es necesariamente cuadrada y no es conmutativo el producto de matrices o puede no estar definido), y esto se ve así:


$latex x=a+Df(a)^{-1} \cdot (y-f(a))$

Es decir ya despejamos a $latex x$ en función de $latex y$ utilizando la invertibilidad de la Jacobiana, y observamos que $latex y$ y $latex x$ se ven similares.

Esto se ve claramente sabiendo que invertimos" una ecuación lineal (la mejor aproximación lineal en $latex (a,b=f(a))\in \mathbb{R}^{n+m}$) como $latex x(y)$ es la inversa de $latex y(x)=f(x)$ podemos ver que la derivada de $latex x(y)$ es justamente su pendiente vista como ecuación lineal que es $latex Df(a)^{-1}$ .

Es decir, la derivada de la inversa en $latex f(a)=b$ ($latex x^{\prime}$) es la pendiente de la inversa de la aproximación lineal de $latex f$ en $latex x=a$ que coincide con la jacobiana inversa de $latex f$ en $latex x=a$. 

En otras palabras con esto tenemos que si $latex f^{-1}$ es la inversa de $latex f$ , entonces lo que en símbolos dijimos es precisamente que la derivada de $latex f^{-1}$ es simplemente la inversa de la derivada de la función $latex f$ original.

 de hecho si $latex b=f(a)$ en símbolos esto es que:

$latex Df^{-1}(b)=Df(a)^{-1}$

Esto también se puede demostrar utilizando el teorema 2 sin tanto choro como el que puse que es con la regla de la cadena aplicandola a $latex f^-1 \circ f = I$


Con esto habremos encontrado la función $latex g$ que dice el teorema justo en la aproximación alrededor de $latex a$ y $latex b$ que nos dan las vecindades $latex U $ y $latex V$ del teorema.


Si hay dudas y comentarios


Eduardo Ruíz Duarte (beck)
twitter: @toorandom

Existencia de dios a priori y lógica de Gödel, explicación de demostración y fundamentos de lógica modal

Nota. Este post no pretende establecer una posición sobre la existencia de dios o no, sino sólo tratar de comprender el argumento ontológico de Gödel de manera quasi-formal. Este es el argumento a priori mejor desarrollado sobre la existencia de dios a través de lógica modal. Exploraremos esta lógica de manera reducida en este post, errores deberán existir los cuales agradecería me los hicieran ver a través de los comentarios.

Este post lo re-escribo con el propósito de conmemorar el 40 aniversario luctuoso de uno de mis personajes preferidos. Kurt F. Gödel.

Desde muy temprana edad he sido ateo por razones que luego platicaré en mi blog que fueron divertidas en mi infancia. Este ateísmo últimamente me ha hecho querer profundizar un poco en el por qué de mi decisión ideológica. Acabo de leer el excelente libro de Richard Dawkins The God Delusion, ya que aparte de las matemáticas, siempre he sido muy entusiasta de la teología y el pensamiento racional. Las religiones son la razón de lo que somos hoy en día, ya que por más ateos que seamos, muchas de las costumbres, moralidad y ética; fueron heredadas de las religiones (ej. monogamia, tabú sexual, et cétera). Por esto, el entendimiento de la teología garantiza un mejor estudio antropológico e histórico de las sociedades tempranas e incluso futuras (¿será?).

Al leer el libro de Richard Dawkins me topé con que él discute argumentos ontológicos como el de la existencia de dios según Anselmo de Canterbury (sacerdote en el año 1093), así como otros autores cn otras situaciones similares. Sin embargo,  no discute uno de los argumentos de un gran personaje que para los adoradores de Einstein debería ser superior en su pensamiento deductivo y racional, Kurt Gödel.

Kurt fue un lógico alemán que fundamentó lo que David Hilbert no terminó relacionado con la meta-matemática. Esto es el estudio de la maquinaria que gobierna a las matemáticas (lenguaje, símbolos, reglas de inferencia, sistemas formales, demostraciones, axiomas). El trabajo de Gödel es respetado por todos los matemáticos debido a que sin éste el pensamiento matemático sería diferente en función a la teoría de la demostración en cualquier sistema formal.

Hoy daré mi punto de vista sobre dios y lo que he leído, así como su relación con la matemática. No soy experto en el área, pero la he estudiado, así que demostraré los teoremas que plantea Gödel con palabras para todos los oídos (¿ojos?).  Si los expertos en lógica que lean esto notan alguna equivocación favor de corregirme, lo agradeceré.

Primero que todo, si tú quieres demostrar que algo existe necesitas definirlo. Anselmo de Canterbury define a dios cómo:

Dios es lo que nada podría concebirse mayor a éste en términos de perfección

Kurt quiere formalizar el siguiente planteamiento de Anselmo de Canterbury. Éste es una demostración por reducción al absurdo de la existencia de dios:

Dios, es por definición lo más grande y perfecto que se puede concebir, dios existe en el entendimiento, en la mente, y si dios existe en el entendimiento, podríamos imaginarlo más grande y perfecto al existir en la realidad por lo tanto dios existe.

Este último párrafo por Anselmo de Canterbury fue diseñado a modo de dirigirlo no a los humanos sino al mismísimo dios a través de la oración. En mi opinión es absurdo, ya que si dios existiera, por qué éste necesitaría convencerse de su propia existencia. 

¿Cuál es la disyuntiva del argumento de Anselmo con una verdadera demostración?

Tú puedes concebir aunque seas ateo a un ser tan superlativo como quieras, aunque niegues que realmente pueda existir, después, el argumento afirma que si un ser no existe en el mundo real significa que es imperfecto, pero como dios es perfecto por lo tanto voilá dios existe

El problema aquí está en una premisa de Anselmo que es muy fuerte. Aquí la expongo con la regla de inferencia modus tollendo tollens $latex ((P\Rightarrow Q)\wedge \neg Q)\Rightarrow \neg P$. Tollendo Tollens hace "más digerible el sentido del problema del argumento de Anselmo". De ser "verdadero" lo siguiente, la lógica de Anselmo de Cantenbury deberá ser correcta y dios existe.

"X no existe ergo X es imperfecto"

El problema aquí de Anselmo, es que utiliza artificios dialécticos para obtener conclusiones universales a través de la retórica en la definición de dios. Eso desde el punto de vista racional no sirve para nada.

Para que la lógica funcione, la deducción de una proposición en un sistema formal con ciertas reglas de inferencia se basa en las propiedades de los objetos a evaluar. Y aquí Anselmo no está analizando el objeto "dios" lógicamente. Por otro lado, Gödel encontró el problema raíz, del argumento ontológico de Anselmo. Este problema fue mencionado antes por Immanuel Kant y es que: 

“Existencia NO es una propiedad”.

Sí, Anselmo utiliza la existencia como una propiedad intrínseca de un objeto, pero, ¿cómo puede haber un objeto que tenga la propiedad de "no existir"? Bueno, no todo está perdido, y es donde entra la lógica modal. En ésta lógica, se utilizan diferentes situaciones en las cuales una proposición puede ser verdadera o falsa, o SIEMPRE verdadera como la proposición "Llueve o no llueve" la cual nunca es falsa en cualquier circunstancia.

 Gödel sustituye este concepto por la propiedad de que sea “necesaria su existencia en X situación”, es decir agrega un operador simbólico que es distinto a la existencia clásica y es muy importante desde el punto de vista formal, semántico e interpretativo en lógica modal la cual resumiremos pronto.

Anselmo estaba usando sin querer lógica modal. Digo "sin querer" ya que en su época no existía aún de manera formal, Gödel la define como veremos abajo.

Lógica modal

Antes de llegar a la parte simbólica que es la que te podrá hacer leer el argumento ontológico de Gödel, veremos lo que es la lógica modal. Primero imagina cómo tú haces deducciones de tu entorno de ciertas situaciones. O sea, tu lógica sin saberlo funciona usando miles de premisas y miles de situaciones comparables. Es decir tu lógica no está acotada a un simple $latex P \rightarrow Q$ (P entonces Q).

En la lógica modal, imagina que la realidad es el que vives hoy y ahora.  Por otro lado, también sabes que la realidad podría ser distinta dependiendo de factores que la pudieran haber alterado o factores los cuales alterarían el futuro. Todo esto con distintas posibilidades de mundos según los posibles factores de desarrollo de éste. Es decir existen otras posibles realidades.

En la lógica modal todas las realidades posibles son denotadas por $latex \Diamond$ y las necesarias denotadas por $latex \Box$. Es decir, hay situaciones que pueden suceder, y hay situaciones que siempre suceden respectivamente. Veámoslo con más detalle.

¿Qué significa $latex \Diamond P$ ? 

Esto es que $latex P$ es posiblemente verdadero, es decir existe una posible realidad en la que $latex P$ podría ser verdadero. Esto es equivalente a que en algún mundo, y en el desarrollo de sus condiciones y premisas podrían hacer que $latex P$ fuera verdadero. 

A manera de ejemplo, existe un mundo, una realidad en la que tú no hubieras existido, (si hubieran atropellado a tus padres, o si hubieran abortado, o si tu bisabuelo hubiera muerto en una guerrilla).

¿Qué significa $latex \Box P$ ? 

Esta es "más fuerte" ya que dice que $latex P$ es verdadero en todos los mundos/realidades posibles , es fácil mostrar que existen proposiciones que son verdaderas en todos los mundos por ejemplo 

$latex \Box (\neg P \lor P)$

 En particular esto dice con palabras: "en todos los mundos o llueve o no llueve". Esa proposición es verdadera en todos los mundos para cualquier $latex P$, esto se le llama el principio del tercero excluido. Es decir, para que esta proposición sea falsa tendría que suceder algo diferente a "llover" o "no llover". Lo cual clásicamente es imposible. 

Entonces tenemos aquí que con lógica simbólica a manera de resumen el significado de los símbolos:

• $latex P$:     $latex P$ es una proposición que es verdadera en la realidad actual, en el mundo real.
• $latex \Diamond P$:   $latex P$ es posiblemente verdadero, es decir es verdadero en algún/os mundos posibles.
• $latex \Box P$:  $latex P$ es necesariamente verdadero, es decir no hay ninguna situación/mundo/realidad en donde $latex P$ pudiese ser falso.

Para profundizar un poco en este tipo de pensamiento lógico, recomiendo vean literatura la cual es vasta en internet sobre lógica modal. Pero creo que con esto podemos avanzar un poco. 

Gödel, al poder corregir a Anselmo y convertir en propiedad la existencia de dios a través de esta lógica, demuestra que el objeto dios necesariamente existe, (noten que no es el dios cotidiano, es el de la definición de perfección. Esta lógica modal,  nosotros usamos diariamente para hacer deducciones, así que no es tan misteriosa o rara.

Ahora vamos a analizar la demostración de Gödel. 

Recuerden que las matemáticas se crean a partir de axiomas (Ax) , que son las reglas del juego. Dentro del juego hay objetos los cuales se deben definir (Df) para poder establecer equivalencias entre ellos. Cuando se juega con los axiomas, se crean proposiciones (Pr) universales dentro del sistema. Después con estas proposiciones, se crean teoremas (Th) que generalizan situaciones. Estos teoremas se pueden deducir corolarios (Cr) que son consecuencias particulares importantes del teorema. 

Tenemos que si $latex P$ es una proposición, por ejemplo "N es primo si y solo si N no tiene factores distintos a 1 y N", denotaremos como $latex P(N)$ a la fórmula que evalúa a $latex N$ la cuál puede ser verdadera (1) o falsa (0). En particular con este ejemplo, $latex P(3)=1$, $latex P(10)=0$.  

Aquí tenemos la demostración de Gödel que en 1970 en su lecho de muerte se la mostró a su alumna Dana Scott. Ella la publico sin su permiso después de morir (me parece, chéquenlo). Trataré de dar una explicación a cada renglón abajo.

Esta demostración de Gödel, más que demostrar la existencia de dios, yo lo veo como una construcción axiomática mínima. Ésta construcción, es suficiente para que se pueda inferir la existencia de dios a priori. Si tú no crees en estos axiomas, esto no implicará la existencia de dios en tu contexto.

Por esto anterior,  hay que suponer ciertos principios axiomáticos donde vivirá nuestro argumento, los cuales Gödel consideraba universales. Uno de estos es el Principio de plenitud el cual fue estudiado desde Aristóteles hasta Immanuel Kant, el cual dice que:

Cualquier cosa que pueda suceder, eventualmente sucederá

Esto no lo veo descabellado y suena modal ¿no?, lo explico desde mi punto de vista ya que esto ya entra en los límites de la matemática con filosofía.
La idea anterior se basa en todas las posibles situaciones en las que algo pueda existir. Desde mi punto de vista, suponiendo la infinitud del universo y el tiempo, si ese algo tiene la posibilidad de ser verdadero, y existen una infinidad de variables en una infinidad de tiempo, eventualmente ese algo podrá ser verdadero. Esto recuerda a la analogía de los chimpancés tecleando al azar en máquinas de escribir. En algún momento finito del tiempo, podrán haber escrito todo Hamlet de W. Shakespeare.

Gödel argumenta que dios existe en algún mundo posible usando este principio de plenitud y un conjunto de otros axiomas. Esto es argumentando la consistencia lógica ciertos objetos al tener la propiedad "de dios" o más informalmente, de ser " buenos o positivos o divinos".

Otra cosa que define Gödel en su demostración son las esencias:

Si $latex x$ es un objeto en algún mundo posible, entonces la propiedad $latex P$ se dice ser una esencia de $latex x$ si la formula $latex P(x)$ es verdadera en ese mundo y si $latex P$ conlleva todas las propiedades que $latex x$ tiene en ese mundo

Otra definición importante es de la existencia necesaria:

 $latex x$ necesariamente existe si para toda esencia $latex P$ lo siguiente es verdadero:

En todo mundo posible, existe un elemento $latex y$ donde $latex P(y)$ es verdadero 

Entonces tenemos ahora que la propiedad $latex P$ significa que $latex P(x)=1$ si y sólo sí $latex x$ tiene la propiedad de ser algo positivo. Es decir todas las cosas que en su totalidad puedan hacer llegar a la definición de dios. En otras palabras, podemos definir al objeto dios como aquel que tiene todas las propiedades positivas o buenas. Un objeto con la característica de tener todas las propiedades positivas, lo llamaremos divino.

Vamos ahora a explicar cada línea de manera coloquial  y de manera más coloquial en negritas.

• Axioma 1. Si $latex \phi$ tiene la propiedad de ser positivoy es necesariamente verdadero que todo lo que tenga la propiedad $latex \phi$ implica que también tiene la propiedad $latex \psi$ entonces $latex \psi$ también es bueno o positivo o divino. Esto quiere decir que si $latex X$ es bueno y ese $latex X$ tiene la propiedad $latex Y$ en todos los mundos entonces $latex Y$ tiene que ser positivo.

• Axioma 2. Para toda propiedad $latex \phi$ tenemos que sólamente una $latex \phi$ o $latex \neg \phi$ es positivo. O sea que si $latex \neg X$ es positivo tenemos que $latex X$ es malo, esto es análogo al principio del tercero excluido.

• Teorema 1. Aquí es donde se usa el principio de plenitud. Si $latex \phi$ es bueno es posible que exista un objeto con la propiedad $latex \phi$. Es decir, existe un mundo en el que puede existir algo bueno. 

Demostración (con mucho choro por contradicción pero es necesario):

Supongamos que existe un $latex \phi$ bueno, PERO que necesariamente nada tiene la propiedad $latex \phi$ (recuerden que necesariamente es algo que sucede o no en todos los mundos). Buscamos contradicción ya que estamos usando las reglas de inferencia usuales, en este caso el principio del tercero excluido para reducción al absurdo.

Si suponemos lo anterior entonces la propiedad $latex \phi$ implicaría por vacuidad TODAS las propiedades. En particular, tendríamos que $latex \phi \Rightarrow \neg \phi$, que por el axioma 1 implicaría que $latex \neg \phi$ es bueno. Por o tanto $latex \phi$ y $latex \neg \phi$ tienen la propiedad de ser positivos, lo que contradice el axioma 2 y por lo tanto la suposición es falsa.  Por el tercero excluido tenemos que entonces la negación de la suposición es verdadera y esto implica que si $latex X$ es bueno, debe existir una realidad donde haya algún objeto con la propiedad $latex X$.

• Definición 1. Llamamos a algo $latex x$ divino cuando tiene todas las propiedades positivas. Se usa la letra G porque en inglés es "God-like" o "similar a dios" pero con fines prácticos le llamaré "divino"

• Axioma 3. Tener la propiedad de divino implica que también tiene la propiedad de positivo

• Teorema 2. Es posible (en el sentido de lógica modal, es decir existe un mundo en el cual...) que exista algo divino este teorema se explica por si solo.

Demostración:

Sabemos por el teorema 1 que si $latex \phi$ es bueno debe existir algún objeto en un posible mundo que tenga la propiedad $latex \phi$. Si cambiamos a $latex \phi$ por el la propiedad "ser divino" proveniente del axioma 3, tenemos la demostración del teorema 2 $latex \blacksquare$.  
Realmente no sé por que Gödel le llama Teorema... yo le llamaría Corolario... pero tal vez es por el hecho de que el objeto al que se aplica es directamente un axioma y no una proposición

• Definición 2. Aquí define lo que anteriormente ya habíamos mencionado sobre esencia, que de nuevo resumidamente tenemos que $latex \phi$ es la esencia de un objeto $latex x$ cuando:

1. $latex x$ tiene la propiedad $latex \phi$
2. La propiedad $latex \phi$ fuerza a todas las propiedades de $latex x$ a ser verdaderas.

• Axioma 4. Si $latex \phi$ es positivo entonces $latex \phi$ es necesariamente positivo. Es decir en el sentido modal, $latex \phi$ en todas las realidades y mundos deberá ser positivo. (aquí es donde comienza la onda complicada filosófica desde mi punto de vista)

• Teorema 3. Si un objeto es divino entonces ser divino es su esencia

Demostración:

Recordemos que si $latex x$ es divino entonces tenemos que este $latex x$ tiene TODAS las propiedades positivas  por el axioma 2.  Esto quiere decir que TODAS las propiedades de algún objeto divino son buenas/positivas. Por lo tanto son necesariamente positivas (recuerden que en el sentido modal la palabra "necesario") por el axioma 4.  qed. $latex \blacksquare$

• Definición 3: Decimos que $latex x$ es indispensable, denotado por $latex E(x)$ cuando algo que tenga esencia DEBE existir.

• Axioma 5: Ser indispensable es bueno

• Teorema 4. Lo divino necesariamente existe  (es decir en todas las realidades y mundos existe el objeto con la propiedad  divino definido aquí previamente teniendo todas las propiedades buenas)

Demostración:

Si algo es divino, entonces tiene por definición todas las propiedades buenas, vemos por el axioma 5 que esto es indispensable ya que es una propiedad buena.

Por definición un objeto con esencia que es divino, por el teorema 3, debe existir.  

Esto significa que si algo divino existe, entonces necesariamente existe para que algo divino exista.

Por otro lado ya probamos el teorema 2, y tenemos que es posible que algo divino exista (en el sentido modal hay un mundo en el que algo divino existe).

Por lo tanto es posible que sea necesario que algo divino exista. Esto implica que necesariamente existe algo divino. Es decir existe una realidad donde se deduce que en todas las realidades existe algo divino, por lo que sí existe en una realidad, existe en todas las realidades. Por lo tanto lo divino existe en todas las realidades)  QED. 

Cómo ven esta demostración no tiene error en la lógica, es decir es deductiva, y representa un conocimiento a priori sobre la existencia de dios

¿Pero entonces por qué SOY ateo?

Los axiomas son demasiado fuertes para mí como para poder ser aceptados por mi mente.

recuerden que los axiomas no se demuestran, sino representan las reglas con las que vamos a poder razonar dentro de un sistema. El axioma 5 por ejemplo es muy duro para mí. El decir que lo indispensable es bueno... creo que es algo muy filosófico. El axioma 1 no me gusta tampoco, es decir, algo bueno en todas las realidades está compuesto de implicaciones a él mismo que son buenas. El axioma 4 también implica que lo que es positivo, siempre es positivo en todos los contextos. Hay realmente que ser muy claro en qué es ser positivo para que esto sea menos filosófico.

Si los axiomas te gustan, existe algo divino.  Pero olviden a sus dioses con nombre e identidad, esos no son de los que Gödel hablaba. El sólo hablaba de un ser máximo en perfección repleto de todas las propiedades buenas o positivas. 

Esto lo intenté explicar ayudado de mi libro de lógica A new introduction to Modal Logic y de lo que recordé de mi curso y notas de Lógica II de hace algunos años. Aquí lo que usé para lógica modal realmente debería de estudiarse si les interesa como Lógica Modal S5 que es la que Gödel utilizó.

¿Tú qué opinas? , ¿dios existe?

                                  Kurt Friedrich Gödel, Abril 28 de 1906 - Enero 14 de 1978 

Eduardo Ruíz Duarte (PGP:FEE7 F2A0)

Twitter: @toorandom