Conjetura de Kaplansky, anillos de grupos a través de ejemplos

Hay un problema que lleva 25 años sin resolverse y fue descubierto por Irving Kaplansky, es de esos problemas que se ven bien fáciles de atacar pero pues resulta que no es tan fácil, yo me topé en mi trabajo de investigación con un anillo de grupo que quería ver si tenía múltiplos de 0, y al leer literatura me topé con esto que es muy interesante y que yo tendré que demostrar en mi caso particular.

La conjetura dice lo siguiente:

Conjetura: (Kaplansky)
Sea $latex \mathbb K$ un campo y $latex G$ un grupo libre de torsión, entonces el  anillo de grupo $latex \mathbb{K}[G]$ no tiene divisores de $latex 0$ es decir es un dominio

Para entender este enunciado vamos a definir todo y construir $latex \mathbb{K}[G]$

Vamos a recordar todos los conceptos necesarios de esta conjetura a través de ejemplos no tan triviales de cada uno de los conceptos para poder adquirir intuición en la conjetura.

Grupos, anillos, campos, torsión a través de ejemplos

Grupos (no abelianos son los interesantes)

Un grupo $latex (G, \cdot)$ es un conjunto con una operacion binaria que cumple
a) Existe un $latex e\in G$ tal que $latex \forall g\in G$ tenemos que $latex g\cdot e=e\cdot g = g$ (hay neutro)
b) Si $latex g\in G$ entonces $latex \exists h$ tal que $latex h\cdot g =g\cdot h=e$ (todos son invertibles)
c) Si $latex g_1,g_2\in G$ entonces $latex g_1\cdot g_2 \in G$ (es cerrado)
d) Si $latex g_1,g_2,g_3\in G$ entonces $latex (g_1\cdot g_2)\cdot g_3=g_1\cdot (g_2\cdot g_3)$ (es asociativo)
e)* si sucede que $latex \forall g_1,g_2 \in G$ tenemos que $latex g_1\cdot g_2=g_2\cdot g_1$  (es conmutativo) decimos que $latex G$ es un grupo abeliano


Ejemplos:

No-Ejemplo:

Las matrices con la multiplicación no forman un grupo ya que hay algunas que tienen determinante 0 y no son invertibles, por lo que no se cumple la propiedad b

$latex (Mat_{n}\mathbb R,\cdot)$

Ejemplo $latex SL_2(\mathbb C$

Las matrices sobre un campo, por ejemplo $latex \mathbb C$ de nxn cuyo determinante es 1 se les denota como $latex SL_n\mathbb C$ , es claro que es un grupo con la multiplicación de matrices ya que todos son invertibles, este se llama grupo especial lineal, y es "especial" porque es de hecho un subgrupo normal de otro mas grande que se llama $latex GL_n\mathbb C$ que es el grupo general lineal que consta de todas las matrices invertibles, es fácil mostrar que un subgrupo normal para los que saben un poco más de teoría de grupos , sabemos que el kernel de un morfismo de grupos es siempre un subgrupo normal y en este caso el operador de determinante induce un homomorfismo de grupos, en este caso $latex det:GL_n\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}^{\times}$ donde $latex \mathbb{C}^\times$ es el grupo multiplicativo de los complejos sin el 0, entonces, $latex Ker(det)=\lbrace A\in GL_n\mathbb C\mid det(A)=1\rbrace=SL_n\mathbb C$, de hecho si te gusta la geometría diferencial hay más en este grupo que ya me extendí mucho en el ejemplo pero tenemos que existe un álgebra de Lie (haces nacer un espacio vectorial donde se pueden multiplicar vectores junto con una operación especial llamada corchete de Lie ) de $latex SL_n\mathbb C$ que es $latex \mathfrak{sl}_n\mathbb C =\lbrace A\in SL_n\mathbb C \mid Tr(A)=0\rbrace$ donde el corchete de Lie es la multiplicación de estos elementos dado por $latex [g,h]=g^{-1}h^{-1}gh$

La teoría en este grupo es hermosa y es favorita de muchos ultra-ingenieros (teoría de control) y de muchos físicos ya que tiene un entendimiento muy profundo, el hecho de que todos tengan determinante 1, y el determinante representar un polinomio con entradas en la matriz te dice que de hecho los elementos pertenecen a una variedad que se sumerge en un espacio y tiene cierta topología y se le da una interpretación a este grupo como el que preserva volúmenes y orientación con transformaciones de $latex \mathbb{C}^n$ (puedes usar $latex \mathbb R$) donde el determinante mide el cambio en volumen y orientación.


Otro grupos con funciones $latex S_n$

Otros ejemplos de grupos más aburridos pueden ser los números reales con la suma usual, o los reales sin el 0 con la multiplicación , estos son abelianos, otros más divertidos no conmutativos son las permutaciones $latex S_n$ que consta de todas las funciones que permutan $latex n$ elementos y su operación es la composición de estas funciones, por ejemplo si hacemos actuar a este grupo en el conjunto $latex X=[ 1,2,3 ]$ tenemos que hay un $latex \sigma_1\in S_3$ tal que intercambia los dos primeros, hay otro $latex \sigma_2$ que intercambia el primero por el tercero, y hay uno que no hace nada, por ejemplo $latex \sigma_1(X)=[2,1,3]$ y $latex \sigma_2(X)=[3,2,1]$ y $latex \sigma_1\circ \sigma_2(X)=[2,3,1]$ y $latex \sigma_2\circ \sigma_1(X)=[3,1,2]$ , este es un grupo (no abeliano) de $latex n!$ elementos , en este ejemplo tiene 6 elementos, toma en cuenta que consta de funciones y hay varios subgrupos de estos, que miden simetria, por ejemplo el grupo de las rotaciones de un cuadrado, donde no se vale por ejemplo intercambiar solo 2 vertices ya que "romperias el cuadrado" , o simplemente las rotaciones de un icosaedro, o un simplejo en dimensión 4, et cétera, hay otro tipo de grupos que alguna vez expuse aquí que se llama grupo de trenzas que tiene que ver con teoría de nudos, lo puedes explorar aquí en mi blog.

Campos

Un campo es sólo una estructura que consta de un conjunto y que contiene dos operaciones cerradas en el conjunto relacionadas con la ley distributiva donde el conjunto con cada operación por sí misma forma un grupo abeliano (por ejemplo $latex (\mathbb R ,+ , \times)$  o $latex (\mathbb {F}_q,+,\times)$ pero no $latex (\mathbb{Z},+,\times)$ ya que los enteros  con la multiplicación sólo tienen al 1 y -1 con inverso, los demás no por lo que no forma grupo abeliano con $latex \times$), hay campos más interesantes, por ejemplo todos los cocientes de polinomios en una variable $latex x$ sobre un campo $latex \mathbb K$ se le denota como $latex \mathbb K (x)$ donde un elemento de ahí puede ser $latex \frac{x^2-x}{x^3-x^2+1}$ estos campos de funciones polinomiales son interesantes cuando los haces en más variables y los elementos cumplen estar definidos sobre una superficie o una curva, y limitas que los denominadores de las funciones polinomiales no se anulen en algún punto de la curva (podrás encontrar un campo diferente para cada punto, eso le da una estructura muy rica a una curva algebraicamente), todo esto sigue conservando la estructura de campo y se puede estudiar la superficie/curva desde ciertas propiedades de este campo sin acudir ya a la geometría.


Anillos y dominios enteros

Un Anillo es como un campo pero a la operación multiplicativa no le pides que tenga inversos, por ejemplo las matrices cuadradas sin pedir condiciones al determinante forman un anillo de hecho forman un grupo con la adición, los polinomios también son un anillo conmutativo, et cétera.


Un anillo $latex R$ se dice que es un dominio entero si $latex \forall a,b\in R\setminus \lbrace 0 \rbrace$ se tiene que $latex a\cdot b \neq 0$

Por ejemplo $latex Mat_2\mathbb Z$ no es un dominio entero ya que $latex \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

También tenemos que los polinomios con coeficientes en un campo si son un dominio entero, ya que no hay dos polinomios no nulos que al multiplicarse te den 0

Otro no-ejemplo son los enteros módulo un número NO-primo, por ejemplo $latex (\mathbb Z/(10),+,\cdot)$  donde la suma y multiplicación es la usual módulo 10 (esto es de manera intuitiva que $latex a\cdot b = c$ donde $latex c$ es el residuo de la división $latex \frac{a\cdot b}{10}$, esta estructura es un anillo pero no es un dominio ya que por ejemplo $latex 5\cdot 2 \equiv 0 \bmod 10$ pero si lo hicieramos con un número primo $latex (\mathbb Z/(p),+,\cdot)$ por la naturaleza de $latex p$ no vas a encontrar dos números que multiplicados te den $latex p$ entonces no existirán "residuos 0" al multiplicar dos números y dividir entre $latex p$ , pero bueno de hecho esto ya es más que un anillo, es un campo finito, todos son invertibles, lo puedes demostrar si tienes ganas.

Un grupo $latex G$ se dice que es libre de torsión si al iterar $latex n$ veces su operación con cualquier elemento $latex g\in G\setminus \lbrace e\rbrace$  no te da nunca el neutro de la operación $latex e\in G$ para todo $latex n\in \mathbb N$ , es decir, un grupo $latex G$ es libre de torsión si el elemento neutro es el único elemento de orden finito

Torsión en grupos

Por ejemplo TODOS los grupos finitos NO son libres de torsión, ya que iterar en un $latex g\in G$ te da elementos de un subgrupo generado por $latex g$ denotado por $latex (g)$ y su cardinalidad divide la cardinalidad de $latex G$ entonces $latex e\in (g)$ incluye a $latex e\in G$ por lo que todos los elementos tienen torsión.

Con esto ya excluimos TODA una familia de grupos de la conjetura de Kaplansky, ya que pedimos que sea infinito y sin torsión, por lo que todos los campos de característica p (que también son grupos) también quedan excluidos, y aquí es donde vamos viendo que todo se dificulta ya que los grupos a tratar deben ser más complicados, un grupo aburrido libre de torsión pues son los enteros $latex (\mathbb{Z},+)$ donde sumar nunca da 0 , las matrices tienen torsión ya que hay matrices que al elevarlas a la $latex n$ se anulan por ejemplo las matrices de 2x2 con coeficientes en el campo finito $latex \mathbb Z/(2)$ con la multiplicación tenemos que $latex \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ es la matriz identidad , por lo que ese elemento tiene orden 2


Conjetura de Kaplansky

La conjetura propone construir un anillo dado un campo y un grupo  y estudiar si es o no un dominio entero

Construcción de un anillo asociado a un grupo $latex G$ y un campo $latex \mathbb K$ 


Lo que haremos es construir un anillo desde un grupo denotado como $latex \mathbb{K}[G]$, es decir, tendremos que construir una suma y una multiplicación que cumpla todos los axiomas.

Grupos generados desde cualquier conjunto (Grupo libre abeliano)

Ya estamos casi listos con las definiciones aposteriori con los ejemplos, vamos a construir un grupo dado un conjunto cualquiera, imaginen que tenemos el conjunto $latex A=\lbrace \alpha,\beta,\gamma\rbrace$, si nos preguntaran cómo podríamos construir un $latex \mathbb K$ espacio vectorial  $latex V$ con el conjunto $latex A$ lo más adecuado es tomar las todas las combinaciones de sumas formales $latex k_1\alpha + k_2 \beta + k_3 \gamma$ $latex \forall k_i\in \mathbb K$, podemos generalizar esto apra cualquier conjunto de distinta cardinalidad, incluso infinita bajo ciertas condiciones (como por ejemplo que sólo un número finito de $latex k_i$ sean distintas de cero) y vamos a hacer más compacta la notación y a los elementos del campo vamos a ponerles un índice que nos indicará a qué elemento del conjunto está multiplicando, entonces:

$latex \sum k_\alpha \alpha \in V$ donde $latex \alpha \in A$ y $latex k_\alpha \in \mathbb K$

La adición está definida de manera natural como

$latex (\sum k_\alpha\cdot\alpha)+(\sum c_\alpha \cdot \alpha)=\sum (k_\alpha+c_\alpha)\cdot \alpha$

También tenemos la multiplicación por un escalar, por ejemplo si tomamos un $latex a\in \mathbb K$

$latex a(\sum k_\alpha \alpha)= \sum (a k_\alpha)\cdot \alpha$

Es decir, es la usual la suma coordenada a coordenada en el espacio vectorial $latex V$, y la multiplicación por escalar, pero nosotros somos más ambiciosos y queremos darle una estructura de álgebra para poder multiplicar los vectores,

Tenemos que observar que $latex A\subset V$ ya que si nos tomamos un $latex \gamma \in A$ tenemos que:

$latex V\ni \gamma^{*} = \sum k_\alpha \alpha$ donde $latex k_\gamma = 1$ y $latex k_\alpha = 0$ $latex \forall \alpha \neq \gamma$ por lo que $latex A$ es base de $latex V$ .

La multiplicación primera que se viene a la mente es una que es muy mediocre (al menos a mi se me ocurrió así) que es como la suma.. coordenada a coordenada pero eso no le da nada de estructura, pero bueno, ¿por qué no se puede ocurrir otra? , pues porque el conjunto $latex A$ no tiene nada de estructura..., no hay por donde podamos jugar.

Pero qué sucedería si le metemos estructura a $latex A$ y le pedimos que sea un grupo.


Anillo de grupo asociado a un campo $latex \mathbb K$ y un grupo $latex G$ 

Este lo denotaremos por $latex \mathbb{K}[G]$ y la suma está definida de la misma manera que con $latex A$ , pero lo que nos importa ahora es la es la multiplicación y explotando la operación en $latex G$ podemos definir lo siguiente:

Sean $latex \alpha.\beta \in G$ y $latex k_\alpha,k_\beta \in \mathbb K$ entonces definimos la multiplicación $latex \odot$ en $latex \mathbb{K}[G]$ como:


$latex (\sum_{\alpha \in G} k_\alpha\cdot\alpha)\odot (\sum_{\beta \in G} k_\beta \cdot \beta)=\sum_{\alpha,\beta \in G} (k_\alpha k_\beta)\cdot \alpha\beta =\sum_{\gamma\in G} k_\gamma \cdot \gamma$

Aquí tenemos que $latex \gamma = \alpha\beta\in G$ por lo que $latex \alpha=\gamma\beta^{-1}$

entonces para poder definir la multiplicación de manera directa.


tenemos que:

$latex k_\gamma$ es la suma de todos los productos $latex k_\alpha k_\beta$ tal que $latex \gamma=\alpha \beta$.

por lo que el coeficiente que le toca a $latex \gamma$ que es $latex k_\gamma$ está dado por:

$latex k_\gamma=\sum_{\alpha\beta=\gamma} k_\alpha k_\beta=\sum_{\alpha \in G} k_\alpha k_{\alpha^{-1}\gamma}$

La pregunta es, si suponemos que $latex \alpha,\beta \mathbb{K}[G]^{*}$ podría suceder que $latex \alpha\odot\beta=0$ , para cualquier campo $latex \mathbb{K}$ cuando $latex G$ es un grupo libre de torsión... no se sabe... hay algunos avances para ciertos $latex G$ y cuando $latex \mathbb{K}=\mathbb{C}$ , yo en particular estoy tratando de demostrar esto para un caso muy en particular.

Espero les haya gustado.

Eduardo Ruiz Duarte
twitter: @toorandom

Función zeta de Riemann y probabilidad de que dos enteros sean primos relativos

Este post está motivado en que ya estoy de vacaciones y quería hacer algo divertido y también para alguien muy especial que tiene la propiedad de ser aniparkiomorfiginaica que le gusta mucho la probabilidad y estadística, ella sabrá quién es.

Otra motivación es que como siempre tengo problemas para dormir posiblemente por las grandes cantidades de café que introduzco a mi cuerpo, pero empecemos.

Deduciremos una probabilidad que involucra a $latex \pi$ e involucra a números primos que está íntimamente relacionado con el problema del milenio sin solución gracias a Riemann (Conjetura de Riemann sobre la función $latex \zeta$ que puedes ver aquí)

La pregunta es realmente, ¿cuál es la probabilidad de que dos enteros positivos menores que cierto $latex N$ sean primos relativos (no tengan factores en común más que 1)?

Por ejemplo, $latex (6,33)$ no son primos relativos  porque $latex 6=3\cdot 2$ y $latex 33=11\cdot 3$ (comparten al $latex 3$)

pero por ejemplo $latex (14,15)$ son primos relativos porque no comparten factores no triviales y $latex (c,p)$ donde $latex c$ es cualquier entero y $latex p$ es un número primo.

Esta demostración me gusta mucho, aquí la tienen, vamos a calcular esta probabilidad de obtener dos números primos relativos al azar

Construcción:

Sean $latex x,y\in \mathbb{N}$ con $latex x,y>1$, como queremos que $latex x,y$ sean coprimos no deben tener ningún factor en común.

Empecemos facilito.

¿Cuál es la probabilidad de dos enteros positivos tengan al 2 como factor?

Bueno, la probabilidad de que un sólo número tenga al $latex 2$ como factor es $latex 1/2$ ya que basta que sea par, y esto sucede el 50% de las veces, esto implica que la probabilidad de que los dos tengan al $latex 2$ como factor es $latex (1/2)^2$

Entonces la probabilidad de que $latex \alpha,\beta$ NO tengan al 2 como factor es $latex 1-\Big({\frac{1}{2}}\Big)^2}$

Ahora para el 3, la probabilidad de manera similar de que no contengan en común al 3 es de $latex 1-\Big({\frac{1}{3}}\Big)^2}$

Ya que igualmente, "cada 3 números tienes un múltiplo de 3" , y así en general para todo primo $latex p$ tenemos.

Para cada $latex p$ tenemos que cada $latex p$ números pasarás por un múltiplo de $latex p$ a eso nos referimos con la probabilidad de que nos toque a $latex p$ como factor es $latex \frac{1}{p}$
Por lo tanto la probabilidad $latex P_{\alpha,\beta}$ de que dos enteros al azar $latex \alpha,\beta \in \mathbb{N}$ menores que cierto $latex N$  sean primos relativos es:

$latex P_{\alpha,\beta}=\displaystyle \prod_{p\in \mathbb{P}}{1-\frac{1}{p^2}}} =(1-\frac{1}{2^2})\cdot (1-\frac{1}{3^2})\cdot (1-\frac{1}{5^2})\cdot ...\cdot(1-\frac{1}{{p_n}^2})\cdot ...$  ***

Donde $latex p_n\in\mathbb{P}$, la probabilidad se obtiene cuando multiplicas para todo número primo es decir cuando $latex n\rightarrow \infty$.

Donde $latex \mathbb{P}$ son todos los números primos, los multiplicamos todos ya que son sucesos probabilisticamente independientes.

Es decir, recuerda que la probabilidad de que sucedan dos eventos independientes $latex A$ y $latex B$ al mismo tiempo es en símbolos $latex P(A \wedge B)=P(A)\cdot P(B)$, con independientes me refiero a que el evento $latex A$ no tenga cierta relación con el evento $latex B$, y ¿por qué tener factores primos para cada primo son eventos independientes ? , fácil... porque los números SON primos, ya que si no lo fueran, digamos la probabilidad de tener a $latex 6$ como factor es dependiente de tener a $latex 2$ y $latex 3$ como factor, pero como aquí son números primos, todos son disjuntos con respecto a la medida de probabilidad que mide tener factores primos y por definición los primos son únicos en este sentido.

Pero esto ¿qué? , esta fórmula es medio rara... y no nos dice nada...


Vamos a desarrollar eso para llegar a un resultado sorprendente, primero hay que recordar esta serie de cálculo que tiene que ver con sumas en progresiones geométricas , toma $latex a\in \mathbb{R}$ con $latex \mid a \mid$  <  $latex 1$  

$latex \sum_{n=0}^{\infty} a^n = 1+a+a^2+... = \frac{1}{1-a}$   **

Por ejemplo si $latex a=1/7$

$latex \sum_{n=0}^{\infty}\Big (\frac{1}{7}\Big)^n=1+\frac{1}{7}+\frac{1}{7^2}+...=\frac{1}{1-\frac{1}{7}}=\frac{7}{6}\approx 1.1666$

De la fórmula  **   mete $latex a=(1/2)^2$,  y después voltea la fracción, es decir pon el denominador arriba y el numerador abajo, (esto podemos hacer  porque ningún denominador es 0)

Entonces tenemos que el primer término de *** a lo podemos expandir con la fórmula ** (volteada) como:

$latex 1-\frac{1}{2^2}} = \frac{1}{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+...\frac{1}{2^{2k}}+...}$

Similarmente podemos desarrollar todos los términos de $latex P_{\alpha,\beta}$

$latex P_{\alpha,\beta}=(\frac{1}{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+...\frac{1}{2^{2k}}+...})\cdot(\frac{1}{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^4}+...\frac{1}{3^{2k}}+...})\cdot ...$

Observa cuidadosamente la ecuación anterior y fíjate que en los denominadores de los denominadores, están todos los posibles cuadrados perfectos de todos los números naturales, en todas sus combinaciones y sabores cuando $latex k\rightarrow \infty$ tenemos TODOS los cuadrados perfectos, por lo que esa suma horrible es lo mismo que la siguiente representacion


$latex P_{\alpha,\beta}=\frac{1}{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^2}}=\frac{1}{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}+...}$, es bien sabido que esta serie en el denominador $latex \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$

Es sabido el resultado de esta serie si juegas con la expansión en series de $latex \frac{sen(x)}{x}$
o como el problema de Basilea


Por lo tanto, sabiendo esto, llegamos a este hermoso resultado en teoría analítica de números.

Teorema:
Sean $latex \alpha,\beta \in \mathbb{N}$ donde $latex \alpha,\beta$  < $latex N$, entonces la probabilidad de que $latex \alpha$ y $latex \beta$ NO tengan factores en común (sean primos relativos) es:   $latex P_{\alpha,\beta}=\frac{6}{\pi^2}\approx 0.6079...$


De hecho, es equivalente esto a la función $latex \zeta$ de Riemann evaluada en $latex 2$ , y la fómula  *** que encontramos es justamente la representación con números primos de la función zeta de Riemann por Euler, pueden verlo aquí así como como la función zeta de Riemann en 2 $latex \zeta(2)$, esta función es de las más importantes en matemáticas ya que se ha buscado generalizar a muchos espacios, teoría de curvas, et cétera donde ya tiene solución, pero no en los complejos, la cual llevaría a conocer mejor la distribución de los números primos, si la resuelves te darán 1 millón de dólares, esta función es $latex \zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$ y necesitas demostrar que $latex \zeta(s) =0$ siempre que $latex s=\frac{1}{2}+it$ con $latex t\in \mathbb{R}$ , eso traerá consecuencias muy imporantes en teoría de números y distribución de primos, criptografía, et cétera, esto es sólo una probadita

También con WolframAlpha pueden ver el valor de la función zeta de Riemann en 2 y en el valor que quieran: aquí
Espero les haya gustado

Eduardo Ruíz Duarte
twitter @toorandom

Sobre Campo de funciones de superficie de Kummer de una curva de género 2

Estoy estudiando un campo de funciones especial para mi investigación que es un subcampo del campo de funciones de la superficie de Kummer de la jacobiana de una curva hiperelíptica $latex C$  de género 2 sobre un campo finito $latex \mathbb{F}_q$.

Esto lo escribo meramente para poder saber si yo lo entiendo, pero cualquier duda escríbanme en los comentarios, ya que el tema es muy interesante.

Para poder construir este subcampo primero necesito conocer bien el campo de funciones de la superficie de Kummer asociada a la Jacobiana que realmente es sólamente considerar los puntos de la jacobiana módulo la involución en sus elementos, es decir estamos pegando los puntos opuestos en la Jacobiana, lo que ya no nos permitirá diferenciar $latex P$ de $latex -P$ con $latex P\in \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)}$.

La superficie de Kummer es cuártica en el espacio proyectivo de dimensión 3 $latex \mathbb{P}^3$ que tiene exactamente 16 singularidades nodales (es decir que si ese punto en una superficie en $latex \mathbb{P}^3$ es tal que si lo tomas como el origen de un sistema de coordenadas afín, la ecuación de esa superficie tiene la forma $latex 0=\alpha(x,y,z)+$ términos más grandes en grado con $latex \alpha$ una fórma cuadrática homogénea no degenerada.

Vamos a construir la superficie de Kummer $latex K(C)$ asociada a $latex P\in\mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)}$.

Sea $latex C$ la curva hiperelíptica de género 2 con modelo no singular sobre $latex \mathbb{F}_q$ de característica diferente de 2 dada por

$latex y^2=f(x)=x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$  donde $latex a_i \in \mathbb{F}_q$

donde $latex f$ no tiene raíces múltiples, entonces $latex C$ tiene un sólo punto al $latex \infty$ denotado por $latex P_\infty$ tal que si $latex \iota \in Aut_{\mathbb{F}_q}(C)$ es la involución hiperelíptica dada por el mapeo $latex (x,y)\mapsto (x,-y)$ y $latex \iota(P_\infty)=P_\infty$.

La clase de divisores canónicos $latex [\omega]\in Pic^0(C)\cong \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)}$.  en $latex C$ está dada por líneas verticales cortando la curva por lo que $latex 2P_\infty$ junto con estos 5 puntos $latex 2W_i$ donde $latex W_i$ es uno de los 5 puntos de Weierstrass son divisores canónicos.

Tenemos ahora que como grupo abeliano $latex \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)}:= Div^0(C)/Pr(C)$, es decir los divisores de orden 0 (grupo abeliano libre de las sumas formales de puntos  cuyos elementos cumplen que la suma de sus coeficientes sobre $latex \mathbb{Z}$ da 0) modulo los divisores principales que están formados por los divisores de orden cero nacidos de la intersección de funciones de la curva cuyos puntos tienen coeficiente el órden de intersección de ésta con la función.)

$latex \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)}$ se obtiene via $latex Sym^2(C)$, es decir es la variedad de pares de puntos no ordenados de $latex C$ (es decir, el producto cartesiano de $latex C$ con sigo misma olvidando el orden), es fácil demostrar que $latex \Phi:Sym^2(C)\rightarrow \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)}$ con $latex \lbrace P,Q\rbrace\mapsto [P+Q-2\infty]$ donde $latex P,Q\in C$  donde la fibra sobre $latex 0\in \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)}$ es $latex \Phi^{-1}(0)=\lbrace \lbrace P,Q \rbrace \in Sym^2(C) \mid P+Q\in [\omega]\rbrace$ y la fibra sobre otro punto es solo otro punto.


Ahora vamos a identificar el campo de funciones de $latex Sym^2(C)$ denotado por $latex \mathbb{F}_q(Sym^2(C))$ que es también el campo de funciones de $latex \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)}$ .

Comenzamos, considera el producto cartesiano de la curva con si misma $latex C\times C$ y entonces metiendo ot

Esto lo hice más para mi, pero pretendo complementar la construcción de esto mediante divisores de Mumford.
ra nueva variable $latex z$ donde $latex z^2=f(z)$ es la misma curva $latex C$ tenemos que :

$latex \mathbb{F}_q(C\times C)=\mathbb{F}_q(x,z,\sqrt{f(x)}, \sqrt{f(z)})$

Por otro lado el campo de funciones de $latex Sym^2(C)$  son las funciones que son invariantes bajo permutacion de variables $latex (x,\sqrt{f(x)}) \leftrightarrow (z,\sqrt{f(z))$ es decir

$latex \mathbb{F}_q(Sym^2(C))$ es el campo fijo de $latex \mathbb{F}_q(C\times C)$ bajo la acción del automorfismo $latex \tau\in Aut(C)$ dado por intercambiar $latex x$ por $latex z$ es decir $latex \tau(x)=z$ y $latex \tau(z)=x$ por lo que tenemos que
$latex \mathbb{F}_q(Sym^2(C))=\mathbb{F}_q(x+z,xz,z\sqrt{f(x)}, x\sqrt{f(z)})$


Puedes demostrar que $latex [\mathbb{F}_q(C\times C):\mathbb{F}_q(Sym^2(C))]=2$

Ahora, el punto base $latex P_\infty$ implica que la involución de divisores $latex \hat \iota(D)=-D\in \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)} $ está inducida por la involución hiperelíptica $latex \iota$, de tal manera que el automorfismo inducido de $latex \mathbb{F}_q(Sym^2(C))$ está dado por el cambio de signo de los radicales, por lo que el automorfismo cambia el signo de $latex x\sqrt{f(z)}+z\sqrt{f(x)}$ y deja a los otros generadores fijos, por lo que el campo fijo es finalmente es el campo de funciones de la superficie de Kummer que queríamos construir partiendo de la construcción de la jacobiana módulo involución:
$latex \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)}/(\hat\iota)=\mathcal{K}(\mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)})=\mathbb{F}_q(x+z,xz,z\sqrt{f(x)}\cdot x\sqrt{f(z)})$

Y este es el campo de funciones de la superficie de Kummer asociada a la Jacobiana de una curva hiperelíptica de Género 2.

Puedes probar Más explícitamente con esto:

Corolario:
Sea $latex f(x)=\prod_{i=1}^5{(x-\alpha_i)}$
entonces $latex f(x)f(u)=\prod_{i=1}^5{(x-\alpha_i)(z-\alpha_i)}=\prod_{i=1}^5{(xz-(x+z)\alpha_i+\{\alpha_i}^2)}=\Delta(x,z)$

Entonces tenemos que la superficie de Kummer de la jacobiana de una curva hiperelíptica de género 2 dada por $latex y^2=f(x)$ tiene como campo de funciones:

$latex \mathbb{F}_q(x,z,t)$ tal que $latex t^2=\Delta(x,z)$

Esto lo hice más para mi, pero pretendo complementar la construcción de esto mediante divisores de Mumford.

Eduardo Ruíz Duarte
twitter @toorandom

Fórmula de Barcán y filosofía analítica a través de lógica modal

Hoy hablaré de una fórmula ubicua en lógica modal y muchas teorías de filosofía, de hecho tiene consecuencias impresionantes en cuando a la visión del mundo y nuestro entorno

Fórmula de Barcán: 

$latex \forall x\square Px\rightarrow \square \forall x P x$
Si todo necesariamente es $latex P$ entonces necesariamente todo es P

Equivalente tenemos:
$latex \lozenge \exists x P x \rightarrow \exists x \lozenge P x$

Posiblemente hay un $latex x$ que es $latex P$ entonces existe un $latex x$ que posiblemente es $latex P$

Esta Fórmula es muy usada en Lógica modal y tiene impacto directo en filosofía ya que como recordarán en lógica modal tienes los operadores cuadrado y rombo

La lógica modal se usa para estudiar también teoría de decisiones por ejemplo en ingeniería se puede combinar con lógica difusa (o borrosa como le digan)

Operador modal $latex \square$
Denota cuando una verdad es "necesaria" lo cual significa que en todos los posibles escenarios... mundos... siempre es verdadero...  como por ejemplo el hecho de que algún día vamos a morir, o el hecho de que "llueve o no llueve" eso siempre sucederá no importa lo que pase, lo cual en general es como "P o no P" (Pv~P)

Operador modal $latex \lozenge$
El operador rombo es posibilidad, es cuando una verdad puede ser posible en algún mundo pero no en todos, como el hecho de ser una persona exitosa o que llueva en otoño.

Tengo un post relacionado con los teoremas de incompletud de Gödel donde explico toda la lógica simbólica y semántica de manera muy resumida aquí


Importancia e impacto
La importancia de la fórmula de Barcán es que afirma algo raro, que si hay un objeto o situación que pueda existir en todos los mundos posibles (incluyendo nuestro mundo actual) entonces DEBE existir forzosamente en nuestro mundo actual.

Entonces, esto tiene como consecuencia... que no existen las posibilidades... que todo es "actual" , y lo que es actual es lo que pudo haber existido bajo todas las circunstancias... y de hecho esta pequeña fórmula hace nacer una rama de la filosofía que le llaman "Actualismo" y por consiguiente su negación que se llama "Posibilismo" o "Realismo modal"

Este tipo de argumentos, y lógica la usó Gödel para demostrar que existe un dios lo cual lo tengo explicado y demostrado aquí  bajo el principio de plenitud "Si algo tiene posibilidades de suceder, eventualmente sucederá" , es casi suficiente el suponer esto para demostrar la existencia de dios con lógica modal.


La discusión de la implicación al otro lado de la fórmula de Barcán la pueden ver en este hermoso paper de Melvin Fitting.

Eduardo Ruíz Duarte (beck)
twitter: @toorandom

Saludos

Teorema de dualidad de Poincaré (2/2)

Ya por fin llegamos a la parte final, después de dos tópicos interesantes que fueron los dos posts anteriores que son la construcción de los grupos de homología y cohomología los cuales son necesarios y recomiendo les eches un ojo antes en ese orden si no lo has hecho antes de comenzar aquí, ahora voy a tratar de hacer ver el teorema de dualidad de Poincaré.

Esto no será una demostración, sólo será una idea intuitiva, pero la demostración la pueden encontrar en cualquier texto de topología algebraica como Hatcher que creo que es el libro te texto por excelencia para topología algebraica.

Formularemos el teorema considerando un cubo y un octaedro metidos uno en el otro

Observaciones:

a) Como pueden ver, en el lado izquierdo, los 6 vértices del octaedro verde tocan todas las 6 caras cuadradas del cubo rojo.

b) Por otro lado, en la figura de enmedio, lo que ven es que los 8 vértices del cubo tocan cada una de las 8 caras del octaedro.

c) En la última figura del lado derecho se pueden ver las dos figuras, y claramente podríamos verlo como una triangulación de las dos figuras en una esfera (complejo simplicial) $latex \mathbb{S}^2$ por lo que la dimensión en la que trabajamos es 2

d) También pueden observar en la última figura que cada una de las aristas del octaedro toca sólo una vez a una cada una de las aristas del cubo, es decir están en correspondencia 1-1

Entonces podemos ver que en $latex \mathbb{S}^2$ tenemos dos estructuras, la del cubo que la llamaremos $latex C$ y la del octaedro que le llamaremos $latex C^{*}$ , que corresponden a complejos de cadenas y podemos comenzar a intuir la dualidad.

Deducciones de complejos de cadenas en cubo y octaedro.

Del punto d) podemos decir que las aristas , es decir , las $latex 1$-cadenas son iguales en $latex C$ y $latex C^{*}$ , por lo que $latex C_{1}=C^{*}_{1}$ , ya que estan en correspondencia 1-1 entre el octaedro y el cubo.

Del punto a) Vemos que las caras del cubo (2-cadenas) están 1-1 con los vértices (0-cadenas) del octaedro, por lo que $latex C_2=C^{*}_0$

De punto b) pueden ver que cada cara (2-cadena) del octaedro toca a cada vértice (0-cadenas) del cubo por lo que $latex C^{*}_2 = C_0$

Calcular homología y cohomología 

Ya estamos listos para calcular cohomología y homología, en la parte 1 calculamos la homología en $latex \mathbb{Z}$ para poder usar signos y preservar orientación, esta vez lo haremos sobre $latex \mathbb{F}_2$ para que sea más sencillo, es decir, nos olvidamos de la orientación de los símplices por un momento.

Entonces tenemos la sucesión con el mapeo frontera $latex \partial$ que manda a las sumas de las fronteras con respecto a caras, aristas, vértices y su respectivo mapeo dual como ya lo definimos en la parte 1.5 (post anterior) de esta serie de post

$latex C_2 \xrightarrow[]{\partial_2} C_1 \xrightarrow[]{\partial_1} C_0$

$latex C^{*}_2 \xleftarrow[]{\delta_2}C^{*}_1\xleftarrow[]{\delta_1}C^{*}_0$

Recomendación para la visualización y motivación siguiente:
Fija una cara en los dibujos del cubo (yo fijaría la de hasta arriba) y observa la descripción siguiente
en términos de sus aristas y vértices, así como el vértice dual de la cara del cubo en el octaedro.

Entonces ahora tenemos que $latex \partial_2$ toma una cara y lo mandará a la suma de sus fronteras que son $latex 1$-cadenas (Aristas), y en cohomología , el mapeo $latex \delta_0$ mandará un vértice  del octaedro hacia las aristas del octaedro que son adyacentes a ese vértice, es decir lo manda a un elemento del grupo libre $latex C^{*}_1$

Entonces tenemos que aplicando el operador frontera a una cara (2-cadena) del $latex C$, fija una cara de $latex C$ que la denotamos como $latex \square$ y sus aristas denotadas como $latex \mid_i$ y a los vértices de $latex C$ correspondientes a la arista $latex \mid_j$ los denotamos como $latex \bullet^{j}_1$ y $latex \bullet^{j}_2$.

$latex \partial_2(\square)=\mid_1+\mid_2+\mid_3+\mid_4$
$latex \partial_1(\mid_1)=\bullet^{1}_1+\bullet^{1}_2$

Tenemos que por las observaciones, a $latex \square$ le corresponde un vértice en $latex C^{*}$
el mapeo $latex \delta$ lo que hará será asignar a una $latex n-1$-cadena, la $latex  n$-cadena que la contiene, es decir por ejemplo, una arista del octaedro la mandaria a las caras de las cuales es frontera esa arista, entonces si denotamos las caras del octaedro como $latex \triangle$ sus aristas como $latex \dagger_i$ y a sus vértices como $latex \star^{i}_1$ y $latex \star^{i}_2$

Tenemos que por la observación a) tenemos que a $latex \square$ en $latex C$ le corresponde $latex \star$ en $latex C^{*}$

por lo que

$latex \delta_1(\star) = \dagger_1 + \dagger_2 + \dagger_3 + \dagger_4$

ya que asigna ese vértice del octaedro a sus aristas que lo contienen.

$latex \delta_2(\dagger_1 + \dagger_2)=\triangle_1 + \triangle_2$

Es decir, de manera analoga, las dos aristas lo mandan a la cara que las contiene.

Entonces tenemos que el mapeo $latex \delta_2$ hace lo mismo que el mapeo $latex \partial 0$ , y el mapeo $latex \delta_1$ lo mismo que $latex \partial_1$


Entonces, tenemos que

$latex C_2 \xrightarrow[]{\partial_2} C_1 \xrightarrow[]{\partial_1} C_0$   (Homología)

$latex C^{*}_2 \xleftarrow[]{\delta_2}C^{*}_1\xleftarrow[]{\delta_1}C^{*}_0$ (Cohomología)

Y si calculamos todos los mapeos como lo hicimos tenemos que los grupos de homología y cohomología se comportan así:


$latex H_0(C)\cong H^{2}(C^{*},\mathbb{F}_2)$
$latex H_1(C)\cong H^{1}(C^{*},\mathbb{F}_2)$
$latex H_2(C)\cong H^{0}(C^{*},\mathbb{F}_2)$
$latex ker\partial_{r}/Im\partial_{r+1}=H_r(C)\cong H^{2-r}(C^{*},\mathbb{F}_2)=ker\delta_{2-r+1}/Im\delta_{2-r}$

Aquí tenemos que todo esto era sobre $latex \mathbb{S}^{2}$ es decir $latex n=2$

Esto NO es casualidad, de hecho huele... no huele, apesta a teorema y es un teoremón.


Teorema de dualidad de Poincaré

Si $latex X$ es una variedad orientable y cerrada de dimensión n (compacta, sin frontera como $latex \mathbb{S}^{2}$ o un n-toro) entonces su cohomología y homología están relacionadas así:

$latex H_k(X)\cong H^{n-k}(X^{*},G)$


Esto lo pueden experimentar ustedes, por ejemplo calculen la dualidad de un icosaedro a través de su cohomología para obtener un dodecaedro, ¿existirá un objeto geométrico que sea su propio dual?  , este debería de existir... ya que todo esto yendo más lejos aún debe tener una "identidad" , y sí, de hecho es el tetraedro.

Este resultado en topología, geometría, como podrán imaginarse los algebristas, es posible que tenga alguna equivalencia en álgebra... el semestre pasado tomé curso de geometría algebraica avanzada en la Universidad de Utrecht en Holanda y demostraron el teorema de dualidad de Serré, el cuál sólo mencionaré pero no desarrollaré ya que para eso necesitaría otros 3 posts más, pero lo que les puedo decir es que existe una relación entre el teorema de dualidad de Poincaré y el teorema de dualidad de Serré usando teoría de Hodge, de hecho aquí lo mencionan y desarrollan de manera muy aceptable.

Teorema de dualidad de Serré
Sea $latex E$ un haz fibrado holomorfo sobre una variedad compleja suave compacta $latex V$ de dimensión $latex n$ (Existen generalizaciones para gavillas coherentes y haces vectoriales) , entonces:

$latex H^{q}(V,E)\cong H^{n-q}(V,\Omega_n\otimes E^{*})^{*}$

Donde $latex \Omega_n$ es el producto cuña n veces del haz cotangente de $latex V$ (en curvas esto es directo de Riemann-Roch que lo pueden consultar aquí en mi blog y formas k formas diferenciales aquí), aquí * indica "dual" , en el mismo sentido que lo vimos aquí en esta serie de posts.

Si les interesa más aquí tengo post de cohomología de De Rham y cohomología de grupos

Espero les haya gustado mucho como a mi me gustó explicarlo, si hay dudas, críticas o recomendaciones favor de usar los comentarios o escribirme un correo o twitt.

Y como fuente de todo esto es el libro de Allen Hatcher de Algebraic Topology, especificamente la parte 3.3

Eduardo Ruíz Duarte (beck)
twitter: @toorandom

Teorema de dualidad de Poincaré (parte 1.5/2 Cohomología)

En el post pasado vimos como construir grupos de homología simplicial, para poder entender la idea del teorema de dualidad de Poincaré necesitamos también entender lo que es cohomología y entender qué es lo que nos está diciendo de información sobre el objeto original, y qué mejor que con símplices, la homología simplicial es la más fácil de entender porque es visual, después de entender esto yo recomiendo irse ya a Cech, Cohomología de Grupos o a Monsky Washnitzer para trabajar con teoría de números.

El próximo post (con suerte mañana) será ya culminación, ahora sólo definiremos rápidamente cohomología con respecto al post pasado.

La cohomología es un invariante algebraico de la homología, y ya habiendo entendido homología es fácil dualizar la definición de grupos de Homología, el dual de la homología como es de esperarse va a cambiar flechas en los complejos de cadena (la cohomología es un functor contravariante y lo veremos a detalle en un momento), pero lo más impresionante en la dualización es que los grupos de Cohomología tienen estructura adicional, que es la de anillo, ya que existe una multiplicación natural llamada producto copa (cup product), pero no mencionaré casi nada sobre ello ya que el Teorema de dualidad expresa un resultado en términos de los grupos de homología y cohomología.

Recuerden que calcular la homología $latex H_n(X)$ era haciendo dos cosas que son , el calcular
Los grupos libres de $latex k-$símplices que son $latex C_k:=\Delta_k(X)$, o de homología singular o celular, pero en nuestro caso hablemos de lo que ya sabemos que es con símplices:

$latex ... \xrightarrow[]{\partial_{n+1}} C_n \xrightarrow[]{\partial_n} C_{n-1} \xrightarrow[]{\partial_{n-1}} ... $

y después el paso 2 es calcular los cocientes de fronteras y ciclos, ya que recuerden que demostramos para toda $latex n$ en el post pasado que $latex Im\partial_{n+1}\subseteq Ker\partial_{n}$ lo cual es lo mismo que $latex \partial_{n-1}\circ \partial_n = 0$, entonces tenemos los grupos de Homología $latex H_n(X)=Ker\partial_n/Im\partial_{n+1}$.

Para obtener los anillos de la cohomología $latex H^{n}(X,G)$ para algún grupo $latex G$ que usualmente será $latex \mathbb{Z}$, necesitamos interpolar el paso 1 que mostrará la contravarianza de la cohomología, en vez de considerar la cadena de los $latex C_n$ vamos a considerar la co-cadena de los $latex C^{*}_n := Hom(C_n,G)$ que son los morfismos de los complejos simpliciales a $latex G$ y el mapeo $latex \partial_n$ lo sustituiremos por el mapeo de cofrontera dual $latex \delta_n$ y formaremos igualmente algo así como los grupos $latex ker \delta/Im\delta$ .

Entonces, construyamos explícitamente todo, vamos a dualizar, considera entonces

$latex ... \xrightarrow[]{\partial_{n+1}} C_n \xrightarrow[]{\partial_n} C_{n-1} \xrightarrow[]{\partial_{n-1}} ... $

Dualizando cada $latex C_n$ tenemos que $latex C^{*}_n := Hom(C_n,G)$  y dualizando $latex \partial$ tenemos que $latex \delta_n := \partial_{n}^{*}:C^{*}_{n-1}\rightarrow C^{*}_{n}$


Nota que $latex \delta_n$ tiene las flechas invertidas (dual de $latex \partial$) , esto es obvio que suceda por propiedades de homomorfismos, y que $latex \partial_n$ es un homomorfismo:

$latex \partial_n:C_n\rightarrow C_{n-1}$

Por lo tanto

$latex \partial_n^{*}:Hom(C_{n-1},G)\rightarrow Hom(C_n,G)$
$latex \phi \mapsto \phi\circ \partial_n$

Por lo tanto tenemos que $latex \partial_n(\phi)=\phi\circ \partial_n$ es decir, lo que está haciendo $latex \partial^{*}$ es mandar el morfismo $latex C_{n-1}\xrightarrow[]{\phi} G$ a la composición $latex C_n \xrightarrow[]{\partial_n} C_{n-1}\xrightarrow[]{\phi} G$ , sabemos que los homomorfismos duales cumplen que $latex (\alpha\circ \beta)^{*}=\beta^{*}\circ \alpha^{*}$ y que $latex Id^{*}=Id$ asi como $latex 0^{*}=0$ por lo que si llamamos $latex \delta_n:=\partial_n^{*}$ tenemos que $latex \delta_n \circ \delta_{n-1}=0$ y ya tenemos de manera muy informal lo que necesitamos y por lo tanto tenemos que:


$latex ... \xleftarrow[]{} C^{*}_{n+1}\xleftarrow[]{\delta_{n+1}}C^{*}_n \xleftarrow[]{\delta_n}C^{*}_{n-1}\xleftarrow[]{\delta_{n-1}}... $ y por lo tanto tenemos que los grupos de Cohomología para $latex X$ son:


$latex H^{n}(X, G) := Ker\delta_{n+1} /Im\delta_n$

El teorema de Dualidad de Poincaré muestra una característica geométrica y topológica "visible e intuitiva" que relaciona los grupos de cohomología de dimensión $latex k$ con los grupos de homología de dimensión $latex n-k$ donde $latex n$ es la dimensión de $latex X$ que es una variedad cerrada, esto lo terminaremos en el próximo post.

Espero les haya servido y gustado

Eduardo Ruíz Duarte (beck)
Twitter: @toorandom

Teorema de dualidad de Poincaré (parte 1/2 Homología)

Esta es la primera parte de la motivación del teorema de dualidad de Poincaré que nos muestra una propiedad universal de todos los objetos geométricos fundamentales, empezaremos con un poco de Homología, en este post no llego al teorema de dualidad pero será en el siguiente.

El post siguiente que es la parte 1.5/2 es la construcción de los grupos de cohomología usando los grupos de homología que definiremos enseguida.

Poincaré fue el primero que comenzó con la teoría de homología y cohomología, pero no como lo conocemos ahora, él trabajaba con topología y lo que él quería era contar hoyos , esto podrá sonar muy trivial si se imaginan un toro o una esfera que saben que tiene 1 hoyo y 0 hoyos respectivamente, pero como se imaginarán existen espacios muy complicados, que en la práctica por ejemplo se puede traducir a superficies modeladas con ecuaciones que representan restricciones en un modelo de muchas dimensiones... si quieres imaginarte su geometría, estarás perdido, para eso tienes que fijarte en su topología para poder tener una intuición de cómo se ve, o sea yo te puedo decir que la ecuación $latex y^2 = x^3 - 1$ así de simple como la ves tiene un hoyo en $latex \mathbb{C}^2$ a pesar de que estos hoyos no se puedan visualizar tan intuitivamente.

La técnica de medir estos hoyos, que al final serán invariantes topológicos se basa en muchas cosas, entre ellas la teoría de homología y cohomología las cuáles de manera tonta la puedes ver como cierta álgebra extraída de la topología del objeto.

Ya hemos hablado antes de cohomología de deRham aquí o de cohomología de grupos acá para extender este concepto de hoyos a objetos algebraicos a través de la cohomología de Cech, también tratamos de dar la idea de Cohomología usando cálculo aquí por lo que voy a suponer que algunos conceptos ya son claros aunque tal vez repita algunos aquí.

El concepto de dualidad de Poincaré es un resultado topológico que relaciona los grupos de homología y cohomología de una variedad $latex V$ cerrada orientable de dimensión $latex n$ (sin frontera como una circunferencia, toro o esfera $latex \mathbb{S}^2$ ) , de hecho dice que

$latex H_{n-k}(V) \cong H^{k}(V)$

Es decir que el $latex k-$ésimo grupo de cohomología es isomorfo al $latex n-k$-ésimo grupo de homología de una variedad orientable y cerrada $latex V$.

Poincaré no definió el teorema anterior así, de hecho él lo definió en términos de números de Betti, (Enrico Betti) , estos números los bautizó Poincaré en su honor ya que Betti estudió superficies sin frontera en dimensiones altas lo cual fue el motivante para Poincaré, y los definió así:

Definición
Sea $latex V$ una variedad de dimensión $latex n$ el número de Betti $latex B_r$ para una dimensión $latex r$ es el número máximo de subvariedades de $latex V$ de dimensión $latex r$ contenidas en $latex V$ que son linealmente independientes, +1

Teorema de dualidad de Poincaré: Si $latex V$ es de dimensión $latex n$ orientable y cerrada entonces $latex B_r=B_{n-r}$


Este tipo de resultados tienen aplicaciones en física cuántica y en estudio de la forma del universo, entre otras cosas que no conozco bien pero que bien si les interesa pueden investigarlo ustedes mismos y verán por qué en un momento.

También existe otra relación geométrica que es muy familiar para nosotros, que es la característica de Euler, tal vez algunos han experimentado con la fórmula característica de Euler

$latex \chi=V-E+F$ , es decir vértices-aristas+caras , este número es interesante, ya que es un invariante topológico, si ustedes triangulan, cuadriculan, o dibujan cualquier red de aristas, vértices y caras en una esfera, SIEMPRE obtendrán $latex \chi=2$ , es decir una esfera triangulada y cuadriculada les dará 2, o si aplican la fórmula a un octaedro y a un cubo también... pero si aplican la fórmula a un toro triangulado o a una botella de Klein, verán que las cosas cambian, ya que no son topológicamente equivalentes a una esfera y obtendrán otros valores porque tienen hoyos.

De hecho, esto puede ser generalizado a dimensiones altas, y lo que dice aquí se puede pasar a complejos de cadena, una cara es la frontera de una variedad, la frontera de una cara son las aristas, y la frontera de una arista son sus vértices $latex (V\leftarrow E \leftarrow F)$ y cuál es la frontera de una frontera ?, es decir si $latex X$ es una variedad y $latex \partial$ es el operador que te calcula la frontera qué es $latex \partial\partial X$ ? , si saben un poco de topología puntual, saben que la frontera de un objeto es un conjunto cerrado sin puntos interiores... por lo tanto la frontera de esto al no haber puntos interiores deberá ser vacía (no hay de donde tomar orilla).

La generalización de esto, es decir ya no podemos hablar de aristas, caras ni vértices, sino de símplices, porque en dimensiónes más altas que 3 necesitarías otras palabras como "hipercara".

Teorema: Sea $latex U$ una variedad  de dimensión $latex n$
$latex \chi_U = \sum_{r=0}^n (-1)^{r}\Delta_r = \sum_{r=0}^n (-1)^{r}B_r$

La parte izquierda es la misma formula característica de Euler, $latex V-E+F$ pero en general para una variedad $latex U$ de cualquier dimensión $latex n$, donde $latex \Delta_r$ son los símplices de dimensión $latex r$ tomados en cualquier triangulación definida en $latex U$ (si $latex n=3$ entonces tienes la formula usual de Euler) , en la parte derecha tenemos los números de Betti de $latex X$ para cada una de las dimensiones $latex r$.


De hecho a Platón o algún otro filósofo-matemático griego se les escapó una oportunidad de pasar aún más a la historia al estudiar los sólidos tridimensionales, sería considerado padre de la homología, ya que si hubiera dicho algo así como "La frontera de la frontera es vacía" seguro hubiera pasado a la historia de las matemáticas como lo hizo Euclides y muchos teoremas importantes en topología algebraica llevarían su nombre, de hecho en todas las teorías de Homología y Cohomología se necesita tener un operador frontera $latex \partial$

Este resultado de Poincaré trataré de explicarlo sólo como una motivación que pretenderá dar una intuición geométrica-topológica de esto, pero para esto tendré que explicar un poquito de homología simplicial que es la más básica, pero es la necesaria para poder entender construcciones más ricas como la homología singular.

Definición
Un $latex k-$símplice $latex \Delta_k$ es un triángulo generalizado a dimensión $latex k$, y es la envolvente conexa de $latex k+1$ puntos en $latex \mathbb{R}^{k+1}$ , es decir, es la intersección de todos los conjuntos convexos que contienen a esos puntos.

Más fácil, es un triángulo generalizado, si $latex k=2$ tenemos que en $latex \mathbb{R}^{3}$ necesitamos $latex 2+1$ puntos para definir un $latex 2-$símplice , es decir.. un triángulo, un triángulo es el conjunto $latex \Delta_2=\lbrace (x_0,x_1,x_2)\in \mathbb{R}^3 : x_0+x_1+x_2=1,\space x_0,x_1\geq 0\rbrace$, en general


$latex \Delta_n=\lbrace (x_0,...,x_n)\in \mathbb{R}^{n+1} : \sum_{i=0}^{n}x_i=1, \space x_i\geq 0\rbrace$

Ése señoras y señores es un triángulo de dimensión $latex n$ generalizado, noten que lo expresamos en dimensión $latex \mathbb{R}^{n+1}$, podrían usar otro espacio euclídeo, no sólo $latex \mathbb{R}^k$, para $latex \Delta_0$ tenemos que $latex x_0=1$ es un punto, después $latex \Delta_1$ es una recta, $latex \Delta_2$ es un triángulo,  $latex \Delta_3$ es un tetraedro, $latex \Delta_4$ es un pentatopo, etc... y este objeto es la base de la triangulación de cualquier variedad., noten que los puntos $latex v_0=(1,0,0...0) ,v_1=(0,1,0,0,...0), v_n=(0,0,...,0,1)$  son parte del conjunto y les llamamos coordenadas baricéntricas y son los vértices del $latex n-$símplice y nos permiten de una manera referirnos a los símplices sólo identificados con estos puntos.


Definición (complejo simplicial): Un $latex \Delta-complejo$ simplicial es un conjunto  de símplices de cualquier dimensión, pegados de tal manera que sus intersecciones también son símplices,

Vamos a denotar como $latex \Delta^{\alpha}_k$ como al $latex k-$símplice indexado por $latex \alpha$ , es decir denotar a la arista1, arista2, cara8, etc...

Es decir, un complejo simplicial es un conjunto de simplejos (puntos, aristas, triangulos, tetraedros, et cétera) , que cumplen que si $latex \sigma \in \mathcal{K}$ entonces las caras de $latex \delta$ también están en $latex \mathcal{K}$ y que si $latex \sigma_1,\sigma_2\$ pertenecen al complejo simplicial entonces $latex \sigma_1\cap \sigma_2$ también es una símplice común (cara común, arista común, vértice común, tetraedro común).

Ejemplo complejo simplicial                                         No-Ejemplo complejo simplicial

               

Ya con esto definimos los objetos en los cuales nos vamos a enfocar, ahora vamos por el álgebra aquí.

Definición (k cadena): Sea $latex X$ un $latex \Delta-$complejo simplicial, una $latex k-$cadena es una combinación lineal de $latex k-$símplices vista desde el grupo abeliano libre $latex \Delta_k(X)$ tomando como base todos los $latex k-$símplices de $latex X$, es decir es una $latex k-$cadena es una expresión de la forma

$latex \sum_{i=0}^{n} n_i\Delta^{i}_k$


Es decir por ejemplo es una expresión como $latex 4\Delta^{1}_3+8\Delta^{2}_3$ sería una $latex 3-$cadena formada por dos tetraedros.


Definición (k frontera débil): La $latex k$-frontera de una $latex k$-cadena es la suma de los $latex k-1$-simplices en la $latex k$-cadena, la cual se obtiene al quitar una coordenada a cada uno de los $latex k-$símplices de la $latex k$-cadena.

Vamos a desarrollar más esto que es importante, es décir como calcular la frontera.

Si tenemos un $latex k$-símplice, sabemos que está dado por sus coordenadas baricéntricas, que son los vértices, entonces

$latex \Delta_k = [v_0,v_1,...,v_k]$

Si queremos calcular su frontera de esta $latex k$-cadena, como dijimos en la definición, es calcular la $latex k-1$-cadena quitando vértices de $latex \Delta_k$ es decir.

$latex Fr(\Delta_k) = \sum_{i} [v_0, ..., \hat{v_i}, .. v_k]$

Donde $latex \hat{v_i}$ significa quitar esa coordenada, y vamos a modificar la función de frontera anterior y substituirla por una $latex \partial$ que nos permitirá conservar orientación de las caras, aristas, etc..

$latex \partial\Delta_k = \sum_{i} (-1)^{i}[v_0, ..., \hat{v_i}, .. v_k]$

Por ejemplo, podemos ver como se calcula la frontera de una arista, cara y tetraedro en la siguiente imagen sacada del libro de topología algebraica de Hatcher

Aquí pueden ver cómo se ve la frontera de una arista $latex [v_0,v_1]$ et cétera

Definición (k-frontera fuerte)

La función de frontera definida entre los $latex k$-simplices  y $latex k-1$-simplices de una complejo simplicial $latex X$, donde definimos $latex \Delta_k(X)$ como el grupo abeliano libre formado por los $latex k-$simplejos está definida como:

$latex \partial_k:\Delta_k(X)\rightarrow \Delta_{k-1}(X)$
$latex \Delta^{\alpha}_k \mapsto \sum_{i}(-1)^{i} \Delta^{\alpha}_k\mid [v_0,...,\hat{v_i},...,v_k]$


Donde es fácil ver que el lado derecho en efecto es una $latex k-1$-cadena porque sólo estamos sumando las mismas coordenadas de $latex \Delta^{\alpha}_k$ pero quitándole una coordenada, convirtiéndola en una $latex k-1$-cadena.

Es un ejercicio usual que prueben el siguiente teorema

Teorema: La composición en:

$latex \Delta_n(X)\xrightarrow{\partial_n}\Delta_{n-1}(X)\xrightarrow{\partial_{n-1}}\Delta_{n-1}(X)$

Es 0, es decir $latex (\partial_{n-1}\circ \partial_{n})(\Delta_{n}^{\alpha})=0$ para cualquier $latex \Delta_{n}$ y $latex \forall n$


De hecho esto es la algebrización de lo que Euclides o Platón pudieron haber hecho para pasar a la historia de La frontera de la frontera es vacía, esto sucede en cualquier dimensión y para cualquier símplice en cualquier complejo simplicial.


Definición (k ciclo): Un $latex k$-ciclo es una $latex k$-cadena cuya $latex k$-frontera es 0, y de hecho los $latex k-$ciclos son un subconjunto de las $latex k$-cadenas.


Tenemos que $latex Im\partial_n \subset Ker \partial_{n-1}$ y de hecho los $latex n-$ciclos coinciden con $latex Im\partial_n$ y las $latex n$-fronteras coinciden con  $latex Ker \partial_{n-1}$
como todo lo estamos trabajando en el grupo abeliano libre $latex \Delta_k{X}$ para cualquier $latex k$ , podemos definir el cociente, y tenemos la siguiente definición.

Definición (n-ésimo grupo de Homología) 

El $latex n$-ésimo grupo de Homología de $latex X$  es:

$latex H_n(X)=ker\partial_{n}/im\partial_{n+1}$


Ejemplo $latex \mathbb{S}^2$
El ejemplo obligado es $latex X=\mathbb{S}^1$ el círculo, donde tomas sólo un vértice $latex v$ y una arista $latex e$ que se cierra a si misma para que sea más simple, entonces puedes ver que de hecho $latex \Delta_0(X)$ el grupo abeliano libre generado por un vértice , y $latex \Delta_1(X)$ el generado por una arista pues es simplemente $latex \mathbb{Z}$ , para dimensiones más altas es 0, porque no hay símplices más grandes que quepan en el círculo.

Ejemplo toro (dona):

Otro ejemplo que pueden desarrollar es el Toro, donde deberían de obtener $latex H_1(T)=\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}$ , y como hint pueden usar la definición básica del toro con flechas 

Que significa , "doblar y pegar las aristas azules y despues doblar y pegar las aristas rojas", como pueden ver en el siguiente dibujito, eso ya les define una configuración básica de tres aristas (1-símplices) $latex a,b,c$ también dos caras $latex U,L$ (2-símplices) y un solo vértice $latex v$ (0-símplice), lo cual es suficiente para calcular homología, recuerden que todo esto es invariante bajo configuraciones de triangulaciones, y realmente estarían calculando la homología de lo azul con lo rojo con la siguiente configuración donde solo hay un solo vértice.

De hecho $latex \partial_1=0$ como en el ejemplo pasado haciendo que $latex H_0(T)=\mathbb{Z}$ y $latex \partial_2(U)=\partial_2(L)=a+b-c$ y $latex \lbrace a,b,a+b-c\rbrace$ es base $latex \Delta_1(T)$ por lo que $latex H_1(T)=\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$, todo esto lo pueden verificar ustedes, pero esto lo debi de haber dejado como ejercicio.

Espero les haya gustado, la siguiente parte veremos ya el teorema de dualidad de Poincaré 

Eduardo Ruíz Duarte (beck)

twitter: @toorandom

Normas y trazas de enteros algebraicos y polinomios característicos

Hoy quería recordar un poco de teoría de números analítica ya que a veces cuando tenemos un campo, queremos trabajar con los equivalente a sus "enteros" en analogía con $latex \mathbb{Q}$ y sus enteros $latex \mathbb{Z}$.

Entonces comencemos con la definición principal.

Definición: Un campo numérico $latex K$ es una extensión de campos algebraica finita de $latex \mathbb{Q}$

Esto quiere decir que $latex n=[K:\mathbb{Q}]<\infty$ es la dimensión del $latex \mathbb{Q}-$espacio vectorial $latex K$ , a $latex n$ nos referiremos como el grado de esta extensión.

El ejemplo por excelencia es:

$latex \mathbb{Q}(\sqrt{2}) = \lbrace x+y\sqrt{2} : x,y\in \mathbb{Q}\rbrace$

O también pueden considerar $latex \mathbb{Q}(\zeta_n)$ que es al adjuntarle una raíz $latex n-$ésima de  $latex 1$ (compleja), $latex \mathbb{R}$ no es un ejemplo de campo.

Ahora, si $latex \alpha\in K$ con $latex K$ de grado $latex n$ como $latex K$ es un $latex \mathbb{Q}-$espacio vectorial entonces existe una dependencia $latex \mathbb{Q}-$lineal entre $latex \lbrace 1,\alpha,...,\alpha^n\rbrace$ (ya que tiene dimensión $latex n$ y hay $latex n+1$ ahí), esto significa que existe un polinomio $latex f(x)\in \mathbb{Q}[x]$ tal que $latex f(\alpha)=0$ , si esto pasa decimos que $latex \alpha$ es un número algebraico y decimos que $latex \alpha$ es un entero algebraico si $latex \alpha$ es raíz de un polinomio mónico en $latex \mathbb[x]$.

Otro ejemplo obligatorio, es que $latex \sqrt{2}\in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ es un entero algebraico ya que es raíz es $latex x^2-2\in\mathbb{Z}[x]$ así como $latex i\in\mathbb{Q}(i)$ ya que es raíz de $latex x^2+1\in \mathbb{Z}[x]$, como es de esperarse $latex a/b\in\mathbb{Q}$ no son enteros (a menos que $latex b\mid a$ ya que no existe un polinomio mónico con coeficientes enteros que los tenga como raíz.

Hasta aquí hemos extendido un poco la definición de lo que es para nosotros un número entero en términos de la existencia de un polinomio mónico con coeficientes enteros.

Definición:  El polinomio mínimo de $latex \alpha\in K$ es un $latex f\in\mathbb{Q}[x]$ mónico, tal que $latex f(\alpha)=0$ y $latex f$ es de grado mínimo.

Es un buen ejercicio demostrar que $latex \alpha\in K$ es un entero algebraico si y sólo sí su polinomio mínimo tiene coeficientes enteros.

Si demostramos lo anterior tenemos que con todo esto.

Proposición: Los enteros algebraicos de $latex \mathbb{Q}$ son $latex \mathbb{Z}$

Esto también es fácil ya que si $latex a/b\in\mathbb{Q}$ entonces su mínimo polinomio es $latex x-a/b$ que por el ejercicio anterior sucede que $latex b\in\lbrace -1,1\rbrace$

Definición: Los enteros algebraicos de $latex K$ forman un anillo que lo denotamos como $latex \mathcal{O}_K$ y le llamamos anillo de enteros de $latex K$

El hecho de que $latex \mathcal{O}_K$ forma un anillo no es trivial, o sea, que la suma y producto de enteros algebraicos es un entero algebraico, pero tampoco es tan difícil , traten de visualizarlo con propiedades de sus polinomios moninos, y ver como pueden construir el polinomio monico que corresponde al producto y suma de dos números algebraicos, o también pueden demostrar que si $latex \alpha$ es un entero algebraico entonces $latex \mathbb{Z}[\alpha]$ es finitamente generado como grupo, es decir si $latex z\in \mathbb{Z}[\alpha]$ entonces $latex z=\sum_{i\leq m}z_i n_i$ es decir $latex \mathbb{Z}[\alpha]=\bigoplus_{i\leq m}\alpha^i \mathbb{Z}$.


Como un no-ejemplo tenemos a $latex \mathbb{Z}[\frac{1}{2}]$ está generado por todas las potencias de $latex \frac{1}{2}$ por lo que no es finitamente generado y su polinomio mínimo es $latex x-1/2$

Otros corolarios de esto son que $latex K=\mathbb{Q}\mathcal{O}_K

Normas y trazas de enteros algebraicos

Si $latex L/K$ es una extensión finita de campos numéricos y $latex \alpha\in L$ entonces el mapeo de multiplicación por $latex \alpha$ está dado por:

$latex \mu_\alpha:L\rightarrow L$
$latex x\mapsto \alpha x$

Esto es un mapeo $latex K$-lineal de $latex L$ a $latex L$ es decir un endomorfismo por lo que $latex \mu_\alpha\in End_K(L)$ $latex \forall \alpha\in L$

Como $latex \mu_\alpha \in End_K(L)$ entonces es una matriz y decimos que la norma y traza de $latex \alpha\in L$ están dadas por:

$latex N_{L/K}(\alpha)=det(\mu_\alpha)\in K$
$latex Tr_{L/K}(\alpha)=Tr(\mu_\alpha)\in K$ 

Tenemos que
$latex N_{L/K}(\alpha\beta)=N_{L/K}(\alpha)N_{L/K}(\beta)$
$latex Tr_{L/K}(\alpha+\beta)=Tr_{L/K}(\alpha)+Tr_{L/K}(\beta)$

por las propiedades de traza y determinantes usuales, por lo que si en particular $latex n=[L:K]$ y $latex a\in K$

$latex N_{L/K}(a\alpha)=a^n N_{L/K}$
$latex Tr_{L/K}(a\alpha)=aTr_{L/K}(\alpha)$

De hecho si $latex a\in K$ entonces $latex \mu_a$ si $latex \mathbb{I}$ es la matriz identidad entonces $latex \mu_a=a\mathbb{I}$.

También tenemos al polinomio característico de $latex \alpha\in L$ definido como:

$latex \chi(x)=det(\mathbb{I}x-\mu_\alpha)\in K[x]$ , donde es fácil ver que su término constante es $latex \pm N_{L/K}(\alpha)$ y el término de $latex x^{n-1}$ es $latex -Tr_{L/K}(\alpha)$ ya que $latex \chi(x)$ es un polinomio mónico de grado $latex n=[L:K]$


Es hora de un Ejemplo

Como lo hemos hecho $latex L=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ y $latex K=\mathbb{Q}$ entonces $latex 2=[L:K]$ por lo que podemos poner una base para el $latex \mathbb{Q}$ espacio vectorial $latex \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ , la cual por simplicidad será $latex \lbrace 1,\sqrt{2} \rbrace$, entonces sea $latex \alpha \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ , ahora calculemos $latex \mu_\alpha$ , tenemos que $latex \alpha = a+b\sqrt{2}$, para calcular la matriz, como vimos anteriormente $latex \mu_\alpha$ es un operador lineal , así que basta con aplicarlo a los elementos de la base para obtener su matriz.

$latex \mu_\alpha(1)=a+b\sqrt{2}$
$latex \mu_\alpha(\sqrt{2})=\sqrt{2}a+2b=2b+a\sqrt{2}$

Por lo que tenemos que:

$latex \mu_\alpha = \begin{pmatrix}a & 2b\\ b&a\end{pmatrix}=M_\alpha$

Ya que si $latex z=s+t\sqrt{2}\in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ entonces

$latex M_\alpha \begin{pmatrix}s\\ t\end{pmatrix}=(as+2bt,bs+at)=as+2bt+(bs+at)\sqrt{2}$
$latex =(a+b\sqrt{2})(s+t\sqrt{2})=\alpha z =\mu_\alpha(z)$

Por lo que $latex N_{\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}}(\alpha)=a^2-2b^2$ y $latex Tr_{\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}}(\alpha)=2a$

Y el polinomio característico está dado por:

$latex \chi(x)=det \begin{pmatrix}x-a & -b\\ -2b&x-a\end{pmatrix}=x^2-2ax+a^2-2b^2$

$latex K$-monomorfismos a $latex \overline K=\mathbb{C}$

Para relacionar la traza y norma tenemos que existen  $latex n=[L:\mathbb{Q}]$ monomorfismos $latex \sigma_i:L\rightarrow \mathbb{C}$ , ya que si $latex L=K(\alpha)$ con $latex \alpha\in L$ entonces existe $latex f\in K[x]$ polinomio mínimo de $latex \alpha$ y es un resultado sabido que $latex f$ no tiene raices repetidas en $latex \overline{K}=\mathbb{C}$ por lo que tiene $latex n$ raíces diferentes, llamémosles $latex \alpha_i$ y definimos $latex \sigma_i(\alpha)=\alpha_i$, esto se puede demostrar para $latex K(\alpha,\beta)$ y en general por inducción.

Definición: Si $latex L/K$ es una extensión algebraica finita de grado $latex n$ entonces y $latex \alpha\in L$ con $latex \sigma_1, ..., \sigma_n$ los $latex K-$monomorfismos de $latex L$ a $latex \mathbb{C}$ entonces $latex \sigma_1(\alpha), ... , \sigma_n(\alpha)$ son los conjugados de $latex \alpha$

Teorema Sea $latex L/K$ una extension algebraica finita de grado $latex n$ y $latex \sigma_1, ..., \sigma_n$ los $latex K-$monomorfismos de $latex L$ a $latex \mathbb{C}$ que fijan $latex K$ entonces tenemos que para todo $latex \alpha\in L$

$latex N_{L/K}(\alpha)=\prod_{i=1}^{n}\sigma_i{\alpha}$
$latex Tr_{L/K}(\alpha)=\sum_{i=1}^{n}\sigma_i{\alpha}$


Esto se puede demostrar primero notando que si $latex \alpha\in L$ y $latex f\in K[x]$ es su polinomio mínimo, entonces:

$latex f(x)=\chi_{K(\alpha)/K}(x)$ y que por Cayley Hamilton $latex \chi_{K(\alpha)/K}(\mu_\alpha)=0$

Ejemplo

Sea $latex \mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$ y $latex \alpha=a+b\sqrt{2}\in\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ entonces:

$latex \sigma_1(a+b\sqrt{2})=a+b\sqrt{2}$
$latex \sigma_2(a+b\sqrt{2})=a-b\sqrt{2}$

Por lo que:

$latex N_{\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}}(\alpha)=\sigma_1(a+b\sqrt{2})\sigma_2(a+b\sqrt{2})=a^2-2b^2$

y

$latex Tr_{\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}}(\alpha)=\sigma_1(\alpha)+\sigma_2(\alpha)$


Que claramente da lo mismo que como lo calculamos anteriormente.

Queda para ustedes que calculen el polinomio característico de este caso, y que también consideren $latex \mathbb{Q}(i,\sqrt{2})$

Corolario  $latex N_{K/\mathbb{Q}}(\alpha)=\pm 1$ con $latex \alpha\in \mathcal{O}_K$ $latex \Leftrightarrow$ $latex \alpha$ es invertible

Eduardo Ruiz Duarte (beck)
twitter: @toorandom

Homosexuality and evolution, an attempt of an a priori argument to end homophobia

What I am going to say here doesn't have any proof, and maybe is not entirely true, but is something I would like to propose as a conjecture, and I have thought for some time, I don't know the answers a priori, because I am not a professional in other areas in science and sociology, but maybe it could be a good theory and I propose a way to take the proof apriori with a possible argument, maybe you can refute it immediately, but the aim of this is to generate a consistent strong theory to avoid discrimination and homophobia.

In the next words when I say homosexual I will be referring to lesbians or male gays.

Introduction

Lets start, some moments ago I was chatting with a friend, she told me that she has a 'friend' that was a complete retrograde, in the sense that she forbids completely the adoption between homosexuals, or that the best birth control system is god's word in your heart, I do not pretend to offend anybody but if you are going to make an argument trying to forbid or not approve you must have an a priori argument,  and not an argument based on a religious belief or a personal point of view, otherwise, you are imposing an idea like a dictator, making you retrograde.

What I am going to say is a possible-scientific reason to stop being an asshole, and maybe could be a good multidisciplinary work between mathematicians, sociologists, philosophers and evolutive biologists.

The next argument relies in the existence of models to measure situations in the nature, that proves that there is an equilibrium in the reproduction of species, interaction between species and natural resources consumption, this equilibrium is well modeled with five theories which I think are the bridges between mathematics, genetics, macro economy, evolutive biology and game theory, these models are described at the end of this post as an appendix, (Lotka-Volterra equations, Malthus model, logistic function, Nash equilibrium and Memetics).

The idea of this is provide a way to prove this:

Conjecture:
Homosexuality is a consequence of evolution.

Development of the conjecture and possible proof:


The models of population growth in terms of natural resources and interaction between species tell us that the convergence of the population when $latex t\rightarrow \infty$ is 0 when the function representing resource consumption is increasing over time, this in common sense is obvious, but more important than obvious, is that it has a mathematical model to prove it, and this models are Malthus equation and Logistic equation.

Another important theory here is Darwinian evolution which occurs with natural selection meaning that the individuals that adapt better to their environment will spread their genes with more frequency because they will be healthier for more time, this better adaptation is done because of a random mutation that makes the individual better than the others in terms of survival circumstances.

Another fact is that there is an excess of population in terms of some resources, (see variable $latex K$ in the logistic equation at the end of this post), there are more humans that the natural resources can support, but this IS NOT because we are lacking of food (this is important to understand), this is because the economic model that prevails (capitalism) bounds this resources in terms of wealth, so there are MORE humans than resources in function of wealth and economy.

So, If you accept the last paragraph, then we can continue, I accept that the last paragraph is a problem that exists, I dont know why but I have an idea that can be wrong or bad, but the veracity of the next paragraph does no depend on the veracity of the original conjeture (is used only to give an idea of why there's an overpopulation)

Conjecture (independent of the original conjecture)
The population increases in function of the advances in medicine 

This may sound a little cruel, but we are trying to make science, not ethics.

With the advances of medicine, people that develops a mortal disease young due to a letal gene does not die and reproduces passing his/her lethal gene to the next generations, slowing down evolution, (note that there's no such thing as anti-evolution, evolution always goes up in terms of adaptation).

So, technology in medicine make us overpopulated, note that is easy to show that evolution occurs and there are examples of this, if there were not a treatment of wisdom teeth people would die of impacted teeth or infection at maybe a young age, making the population with wisdom teeth less and less over generations.

In the book Selfish Gene from Richard Dawkins, he mentions that a non ethical way to evolve faster will be to only permit child conception in the biological limit of age in order to permit the death generated by letal genes, and in consequence, more genetically healthy human beings.


Now, lets return to the original idea.

We know now (or at least I hope I could convince you) that there's an overpopulation in terms of some natural resource which at the same time is in function of the economic model, and that the persistence of humans even when "they have to die" makes harder the natural selection.

Now we are in a point where humans in order to win the battle of resources they first most prevail and the Nash Equilibrium (see the end of the post for details) tell us that there's a point over time when the players (humans) with mixed strategies in this battle will take the most efficient decision in terms of the best decisions of the other, which is the equilibrium, if we identify the capabilities of each player (human) we will be sitting in the Lotka-Volterra equations, when we will identify which is the predator and the pray in terms of the economic model.

This Equilibrium I claim is homosexuality, which is the most natural way to solve the overpopulation, and proving that homosexuality is a natural property of the genes, a mutation in the human DNA, just as the mutation of distinguishing frequencies in our eyes and not just amplitude (colors) which was a mutation that prevailed making evolution of our eyes

First questions of this argument with a possible answer

1) Gay people are not new, there are proofs they have been in society from centuries ago and we did not have overpopulation problems.

Possible answer:
Yes, gays have been in the society for centuries,

But what I claim is that overpopulation has been there too since centuries, and as I said before, not because there's not food... is because the overpopulation is in terms of the economic model, people cannot take an apple from a tree without taking it from somebody's territory (in most cases), so he/she has to pay to the wealthiest, this makes Malthus and Logistic model of population vs resources being in function of the capabilities of resource taking, so if this is true (Is a conjecture as I said) it justifies the same argument.


2) Darwinian Evolution confirms that the genes must be spreaded, and homosexuality is not spreaded with a homosexual couple (just in an artificial way which takes you to question 3).

Possible answer:
Darwinian evolution is proved to be at the level of particles (See Dawkins, first chapter of Selfish Gene), particles tend to form stable structures, and this structures tend to form particles that are self replicable, this is the principle of  evolution pre-life in the planet, and is proven using the primordial soup experiment which consists in the simulation of the condition of the early earth with methane, hidrogen and amonia in combination with lightening, in a period of time monomers will form, then polymers and then self-replicatation molecules, which are the predecesors of the DNA.
This same behaviour is the basis of Darwinian sociology where the concept of spreading the gene will be a cultural concept for the next generation.

3) Gays can use in vitro methods to procreate children or "rent female" wombs (in the case of male gays)

Possible answer:

For this I need to introduce a concept, Memetics

Memetics (Richard Dawkins work for a treatment):
Theory of mental content based on an analogy with Darwinian evolution, is an approach to evolutionary models of cultural information transfer where the unit transfer is a meme.

Darwinian sociology makes the adaptation, natural selection and gene spreading to be taken in a cultural level, and there it can be introduced the concept of memetics, and consider evolution something more complex in humans than just a biological facts because human are equiped with reasoning and a brain capable of thinking in complex dynamic situations.

Gay people can adopt, procreate artificially or not having children, gays are not capable of reproducing themselves, but when they adopt or procreate they spread the gene that makes them homosexual with a probability of 50%,  or in the case of adoption, memetics from Richard Dawkins can be used and they will spread the Meme (See Memetics), which partially answers the previous question and justifies their existence as an evolutionary individual capable of reproducing his/her genes and memes.


Direct consequences of this conjecture

Homosexuality cannot be a disease, or a "condition", in darwinian evolution a mutation that affects the species wont prevail, so homosexuality is a property in human beings making them a naturally evolved organism.

Personal conclusion

Homosexuality is the direct consequence of a future in society when the convergence is of not having men or women, gay or not gay, but having just individuals or human beings, making them the key to find an equilibrium as a specie.

Appendix of used arguments in the previous idea for interaction models for resources modeling in function of population and competition.

Nash Equilibrium
John Nash proved that in a game, (in this case the battle of resources between humans) with mixed strategies (this means that, if there are different set of specific rules to win a game, you can randomly change strategies to win a game) there's always a point of Nash equilibrium between the parts, this means that , if $latex A$ is compiting with $latex B$ , the Nash equilibrium is the point were $latex A$ has the best decision taking in consideration $latex B$ decisions in the evolution of the game, and the same with $latex B$, $latex B$ has the best decision in consideration of $latex A$

Lotka-Volterra Equations tell us the dynamics of two species, where one of this species is a predator of the other (the prey).

$latex \frac{dx}{dt}=\alpha x -\beta xy$
$latex \frac{dy}{dt}=\delta xy -\gamma y$

This equations tell us that if $latex x$ are the number of preys, and $latex y$ are the number of predators , $latex \frac{dx}{dt}$ and $latex \frac{dy}{dt}$ are the changes in population of each other over time $latex t$, $latex \alpha,\beta,\gamma,\delta$ are values that represent the interaction of the species in terms of statistical analysis via observation.

The solution is a function which will tell you what will happen over time with both species and this equations can be generalized to the interaction of more than two.

Malthus equation

Lotka-Volterra equations can be combined with this equation which tells you how the population of an species grow, and what Malthus proved is that is exponential over time.

$latex P(t)=\hat{P} e^{\lambda t}}$

Where $latex P(t)$ is the population at time $latex t$ and $latex \hat{P}$ is the initial number of individuals, and $latex \lambda}$ is a constant (what we want to convert in a function in this idea) that measures the interaction of this specie with their natural resources (or even with other individuals)

Logistic equation

An improved version of the last one is given when you can measure the MAXIMUM number of individuals $latex K$ that an environment can provide resources in a way that no individual will lack of food or a resource that is natural to their lives.

$latex \frac{dP}{dt}=\lambda P(1-P/K)$



Eduardo Ruíz Duarte (beck)
twitter: @toorandom

Intuición en transformada de Fourier discreta y correlaciones entre señales

Me he visto en la necesidad de ocupar un poco de análisis de Fourier, y ahora se está poniendo de moda mucho usar Fourier en teoría de Números como es en uno de los problemas del milenio, que es la conjetura de Goldbach que dice que todo número par mayor que 2 puede expresarse como suma de dos números primos.

Harald Helfgott decidió probar la conjetura de Goldbach débil (todo impar mayor que 5 es suma de 3 primos) hace un par de años usando teorema de Convolución, esto es algo muy de teoría de análisis complejo y real, y yo no me imaginaría que la solución fuera por aquí, el teorema de la convolución generalmente se usa en el contexto de señales y Análisis de Fourier, en otro momento lo expondré aquí, la explicación sencilla de Helfgott y su solución aquí.


Yo no soy experto en Fourier, pero lo he usado para varios proyectos y me interesa mucho, les expongo aquí una manera intuitiva de entender la transformada de Fourier discreta.

La Transformada de Fourier trasforma una función periódica en otra función en el espacio de frecuencia, es decir, busca otra representación de la función en términos de combinaciones lineales de otras funciones, en este caso senos y cosenos, como algunos sabrán, toda función se puede aproximar por senos y cosenos por partes, estos coeficientes de senos y cosenos que arman la función original son la información de la transformada de Fourier de una función $latex f$.

$latex \hat{f}(\psi)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-2\pi it\psi}dt$

donde su inversa está dada por

$latex f(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}\hat{f}(\psi)e^{2\pi i\psi t}d\psi$

Donde $latex t$ es el tiempo y $latex f(t)$ es el valor de la señal en el tiempo $latex t$,  $latex e^{2\pi i t}=cos(2\pi t)+isen(2\pi t)$ y $latex \psi$ es el valor de frecuencia.

La teoría aquí es muy bonita, pero también muy complicada, así que nos adentraremos en la parte discreta

Transformada de Fourier discreta.

La transformada de Fourier discreta (TFD) es un funcional (una función de funciones) que toma como argumento una función $latex f$ que es una señal en el tiempo y te regresa otra función $latex \hat{f}$ que contiene la información de la frecuencia en la señal original.

Para términos prácticos, una señal será sólo una sucesión de números, por ejemplo:

$latex \tilde{f}=\lbrace 1.9, -3.1, 12.3,4.8,22.9,-13.2, 11.8,4.8,-0.3 \rbrace$

Dónde $latex \tilde{f}(n)$ es el valor $latex n-$ésimo comenzando por el $latex 0$, $latex \tilde{f}(0)=1.9$

Le pongo tilde porque queremos trabajar con otra versión de esta señal que ahora explico.

Señales de promedio cero

Queremos comparar señales, para ello necesitamos trabajar con las señales "normalizadas" , en el sentido que si vamos a correlacionar $latex f$ con $latex g$ , una correlación "0" nos indique que son totalmente diferentes, para esto, sólo basta con trabajar con las señales "centradas" en su promedio y basta con restar a cada coeficiente el promedio de la señal en el intervalo de tiempo, si repitiéramos esto en la señal verían que el promedio de la señal ya sería 0 y no habría nada que restar, por eso le llamo "normalización" , en el caso del ejemplo, vemos que el promedio es $latex 4.6$ por lo que la nueva señal quedaría.

$latex f=\lbrace -2.7,-7.7,7.7,.2,18.3,-17.8,7.2,.2,-4.9 \rbrace$

La cual tiene promedio 0.

Correlación entre dos señales

Ahora, ¿cómo comparo dos señales normalizadas $latex f$ y $latex g$?

La manera más usual para señales discretas de tamaño $latex N$:

$latex \displaystyle \sum_{i=0}^N {f(i)g(i)}$

Si se fijan, gracias a la normalización tenemos las señales centradas en su promedio, por lo que si esta suma da 0 nos indicaría que no se parecen nada, ya que si $latex f(i)g(i)\geq 0$ es porque ambos valores tienen el mismo signo $latex f(i)g(i)\leq 0$ nos indicaría que difieren en signo y son "muy diferentes" , las sumas se van a ir acumulando positivamente si no hay estos cambios de signo, por lo que indica que entre más grande sea el número de la suma, más grande es la correlación siendo el máximo de correlación la suma de cuadrados de cada señal, si es un número muy grande negativo indicará que están inversamente correlacionadas (no se cancelan con los positivos) , y si es 0 , es porque las correlaciones siempre se "matan" entre negativas y positivas (no hay correlación).

Aquí dejo como se ven dos señales correlacionadas y no correlacionadas.

Para que esta medida tenga sentido, recuerden que tienen que normalizar ambas señales.

Ahora, entonces, si recuerdan, la transformada de Fourier, se multiplica la función por una exponencial compleja, es decir, están correlacionando la función con una exponencial compleja que al final son senos y cosenos, es decir... están comparando la función con senos y cosenos, y viendo qué tanto se parecen en cierto tiempo $latex t$.

La transformada para tiempo discreto $latex n$ de Fourier para una señal $latex f$ de $latex N$ valores en el tiempo se define como:

$latex F(k):=\displaystyle \sum_{n=0}^{N-1} {f(n)e^{{-2\pi i kn}/N}}$ donde $latex k\in \lbrace 0,...,N-1\rbrace$

Para cada $latex k$ obtenemos un coeficiente de Fourier, hasta ahora... creo que vamos bien, no es difícil en términos prácticos, pero ... qué es correlacionar con la exponencial compleja esa? , se ve feo y raro, pero no, recuerden que.

$latex e^{-i\theta} = cos(\theta)-isen(\theta)$ 

Entonces realmente tenemos que:

$latex F(k):=\displaystyle \sum_{n=0}^{N-1} {f(n)(cos({2\pi kn}/N) - i sen({2\pi kn}/N))$ 

$latex F(k):=\displaystyle \sum_{n=0}^{N-1} {f(n)cos({2\pi kn}/N)}-i\displaystyle \sum_{n=0}^{N-1} {f(n)sen({2\pi kn}/N)}$

Tenemos que para $latex k$ hay una función diferente.

El juego de signos es por las propiedades de paridad del seno y coseno.

Entonces lo que tenemos aquí es que la transformada de fourier realmente guarda la información en senos y cosenos que es lo que dijimos al principio (para eso se usa la exponencial) , es decir correlaciones con ambos tipos de sinusoides, y el usar la parte compleja, tiene un significado tan simple, como el hecho de hacer "linealmente independientes" a las correlaciones, ya que al final lo que nos interesará será el número real que multiplica a la parte imaginario, y no per sé la $latex i$ de análisis complejo (al menos no en este caso).

¿De qué nos sirve?

Veamos un ejemplo, supongamos que tenemos la siguiente señal $latex x(n)$ con 100 sampleos de tiempo, es decir $latex N=100$

En este caso los coeficientes para cada seno y coseno definido por $latex k$ los denotaremos como $latex X(k)$, es decir.

$latex X(k)=\displaystyle \sum_{n=0}^{N-1} {x(n)cos({2\pi kn}/N)}-i\displaystyle \sum_{n=0}^{N-1} {x(n)sen({2\pi kn}/N)}$

Para $latex k=0$ tenemos que $latex \displaystyle \sum_{i=0}^{N-1}x(n)$ 

Es decir solo es la suma de los valores de la señal ($latex sen(0)=0$ , $latex cos(0)=1$) 

Por lo que $latex X(0)\cong 0$ ya que la señal está normalizada y tiene promedio 0.

Para $latex k=1$ tenemos la siguiente información de cada sumando de la serie la transformada de fourier.

Como pueden ver en la gráfica b) y c) que la $latex X(1)=1+0i$  , es decir, no se parece nada la señal $latex x(n)$ en azul a la negra y roja tanto en seno como en coseno, pueden ver en b) , sin ser muy rigurosos en la siguiente oración: "la mitad de la señal está arriba del 0, y la otra mitad abajo" por lo que la correlación dará 0, lo mismo con c), también se cancela al sumarse sus valores. es decir, no se parecen (recuerden que b, respectivamente c) es la parte (real respectivamente compleja) de $latex X(1)$.

Ahora, veamos que pasa en $latex k=3$

Aquí vemos en $latex k=3$ que el seno con la señal  en c) tiene gran parte positiva, y poco negativo... 

por lo que la correlación nos indicará que es grande (no se cancela con negativos en la función original) y si ven en a) , pueden ver que el seno en negro en esa $latex k$ "asemeja" a la función $latex x(n)$ mientras que el coseno realmente no se parece en nada, nunca coincide con $latex x(n)$... y de hecho $latex X(3)=0+49i$.

Realmente lo que estamos buscando aquí en la transformada de Fourier, es cuando una senoidal se parece a la función original... y qué creen? , ya la encontramos, 

La gráfica de esta transformada de fourier se ve así para $latex k=1...20$

Como pueden ver, la transformada de Fourier, nos dice que $latex X(10)$ en el coseno se parece mucho a la función $latex x(n)$  y en $latex k=3$ tenemos que $latex X(3)$ en la parte imaginaria el seno se parece mucho a la función original, es decir hay correlación alta por ejemplo en el coseno con   $latex cos(\pi t/5)$.

Pero bueno Si quiere ver todo de golpe, sin importarles si es seno y coseno (al final ambas funciones son la misma solamente recorridas) , pueden calcular su densidad espectral para cada valor $latex k$ la cual les dirá si hay sinusoides presentes en la señal la cual se define como

$latex DS_{k}(x)=\mathfrak{R}(X(k))^2 + \mathfrak{I}(X(k))^2$

Que es la suma de los cuadrados de la parte real e imaginaria de la transformada de Fourier para cada $latex k$

Por lo que en este ejemplo, la gráfica de la densidad espectral que ya carece de parte imaginaria, junta toda la información (aunque se pierde de qué tipo de sinodal viene, pero esto es fácil deducirlo)

Aquí pueden ver perfectamente que en $latex k=3$ y en $latex k=10$ existen sinusoides interesantes muy correlacionadas con la señal, 

Mucho se habla de Frecuencia, para esto, lo más popular es usar Hz , es decir "cosas que suceden en un segundo" , y para transformar la $latex k$ en Hz , basta decidir "cada cuanto sucede un suceso" a este número llamale $latex r$ , uso $latex r$ porque es de "sampling rate" , y tenemos que en Hz, la frecuencia es $latex \xi=kr/N$ donde $latex N$ es el número de samples, o el número de valores en tu tiempo discreto, entonces ya pueden sustituir la $latex k$ por la frecuencia $latex \xi$.

Espero les haya servido como a mi, las imágenes las saqué de este sitio 

http://practicalcryptography.com

Aquí les dejo del mismo sitio los valores de la señal $latex x[n]$ en el ejemplo.

1.000000, 0.616019, -0.074742, -0.867709, -1.513756, -1.814072, -1.695685, -1.238285, -0.641981, -0.148568, 0.052986, -0.099981, -0.519991, -1.004504, -1.316210, -1.277204, -0.840320, -0.109751, 0.697148, 1.332076, 1.610114, 1.479484, 1.039674, 0.500934, 0.100986, 0.011428, 0.270337, 0.767317, 1.286847, 1.593006, 1.522570, 1.050172, 0.300089, -0.500000, -1.105360, -1.347092, -1.195502, -0.769329, -0.287350, 0.018736, -0.003863, -0.368315, -0.942240, -1.498921, -1.805718, -1.715243, -1.223769, -0.474092, 0.298324, 0.855015, 1.045127, 0.861789, 0.442361, 0.012549, -0.203743, -0.073667, 0.391081, 1.037403, 1.629420, 1.939760, 1.838000, 1.341801, 0.610829, -0.114220, -0.603767, -0.726857, -0.500000, -0.078413, 0.306847, 0.441288, 0.212848, -0.342305, -1.051947, -1.673286, -1.986306, -1.878657, -1.389067, -0.692377, -0.032016, 0.373796, 0.415623, 0.133682, -0.299863, -0.650208, -0.713739, -0.399757, 0.231814, 0.991509, 1.632070, 1.942987, 1.831075, 1.355754, 0.705338, 0.123579, -0.184921, -0.133598, 0.213573, 0.668583, 0.994522, 1.000000

Eduardo Ruíz Duarte (beck)

twitter: @toorandom