Epifanías nocturnas, a ver si opinan o me corrigen, si niego lo que dicen trataré de poner un argumento, no es personal... Soy incrédulo, jodón y mamón.
Epifanía 1.
Ser altruista, amable, bueno y condescendiente es un error en el ADN, los humanos somos violentos, así hemos sobrevivido, evolucionamos cazando y aumentamos nuestra masa cerebral con proteínas que cazamos, no había lugar para la "piedad" o bondad con la presa, aún lo somos... Seguimos matando pero no con nuestras manos, el consumismo destruye el mundo (no es retórica... Matas árboles, animales por carne, contaminas, pisas a los demás para que tu gente/familia tengan lo mejor) los buenos, "misericordiosos" y piadosos no se reproducen porque mueren antes de enfrentarse al mundo, son asesinados por éste, el cual está lleno de gente en su proceso de supervivencia, esa característica memética/genética "positiva" no es parte del proceso evolutivo.
Epifanía 2.
Si un chimpancé y un humano están a 1.1 % de ADN de diferencia, a 4 % de un ratón y un chimpancé o un ratón no pueden entender para qué sirve un sombrero o un reloj, menos la razón por la que los humanos tenemos física cuántica o arte, No tienen ni la más mínima idea.
¿Qué pasaría si existiera un ser con la configuración ideal que fuera superior a nosotros en 1 % ?
¿qué tipo de ideas estarían fuera de nuestro entendimiento? (Sé que de haber respuesta la pregunta sería irrelevante... Sólo quiero opiniones)
¿Será este concepto de "dios" algo sobrehumano de entender, y los ateos somos los atrasados evolutivamente? , al ser una minoría nos convierte en un grupo posiblemente con una mutación cuyo proceso de adaptación es imposible haciendo inminente la extinción del gen o mem.
¿Existe una lógica más avanzada? , ¿cómo haría matemáticas un extraterrestre 1 % más desarrollado en su configuración genética?
Para ésta última alguien (J. B. Nation) ya pensó en ello, vale la pena darle un vistazo.
http://www.math.hawaii.edu/~jb/four.pdf
Tuesday, November 24, 2015
Wednesday, November 18, 2015
Motivación en esquemas, gavillas, espacios localmente anillados, topología de Zariski
Antes que todo, hace una semana se cumplió un año del fallecimiento del que fue para mí el máximo matemático moderno del siglo XX, Alexander Grothendieck (aquí su obituario), es por eso que escribo este post el cuál tiene que ver con la teoría que él desarrolló que ahora es la piedra angular de la geometría algebraica y ha servido para demostrar muchas cosas incluyendo las conjeturas de Weil en cuanto a las propiedades de la función zeta de Riemann de curvas sobre campos finitos, de hecho él demostró que esta función es racional.
Antes de entrar en el post, dejo otro PDF de interés de una chica estudiante de Matemáticas que fue a visitarlo un año anes de morir, donde relata su experiencia la cual es un poco extraña
http://www.math.utah.edu/~honigs/Grothendieck.pdf
De la teoría que desarrolló Grothendieck tratará este post, daré una motivación, ejemplos y luego entraré de lleno a definir con base a la primera intuición lo que es un esquema en el sentido de Grothendieck, falta muchísimo para que este post sea.. "aceptable", de hecho jamás hablaré de espacios proyectivos, por lo que sólo me limitaré a esquemas afines, también cuando hablo de un anillo, éste es conmutativo con unidad y los campos son algebraicamente cerrados.
Recuerdo que cuando estaba estudiando mi maestría en el IMATE-UNAM mi colega y amigo Ángel Zaldivar me decía que pusiera más énfasis en la teoría de esquemas, pero yo ya iba encarrerado con la geometría algebraica clásica para hacer mi proyecto que fue un artículo que encontraba fórmulas explícitas en la adición de la jacobiana de una curva hiperelíptica de género 2 así como el modelo afín no singular de la jacobiana embebida:
a en $latex \mathbb{A}^4$ lo cual puedes ver aquí (DOI) .
La teoría de Grothendieck, dota de muchísima estructura a un objeto, un anillo, pudiéndolo analizar a simple vista, y a nivel "atómico", haciéndole relucir su geometría... por más abstracto que sea, es lo que trataremos también de construir.
Ahora que estoy haciendo mi doctorado, entendí por qué Ángel me decía eso, y bueno, he estudiado y usado ya esquemas para algunos resultados y por eso quise hacer una pequeña exposición muy elemental, básica y espero motivante (aunque no rigurosa).
Motivación inicial:
Empecemos con algo fácil.
¿Cuál es la diferencia entre los conjuntos $latex \lbrace V(x) \cap V(y-x^2)\rbrace$ y $latex \lbrace V(y) \cap V(y-x^2) \rbrace$?
Recuerden que si tenemos un conjunto de polinomios $latex S\subseteq k[x_1,...,x_n]$ entonces los ceros de los polinomios en $latex S$ son:
$latex V(S):=\lbrace (a_1,...,a_n)\in \mathbb{A}^n(k) : f(a_1,..,a_n)=0$ $latex \forall f\in S\rbrace $
Este $latex S$ podría ser un ideal de $latex k[x_1,...,x_n]$ y de hecho existe un operador dual a $latex V$ que nos da el ideal asociado a un conjunto de puntos:
$latex I(V):= \lbrace f\in k[x_1,...,x_n] : f(a_1,...,a_n)=0$ $latex \forall (a_1,...,a_n)\in V\rbrace$
Hay un teorema muy importante que marcó el inicio de todo esto desde mi punto de vista que es el teorema Nullstellensatz que en alemán significa "teorema de los ceros" de David Hilbert que dice que:
Si $latex J\subset \bar{k}[x_1,...,x_n]$ es un ideal, entonces
$latex I(V(J))=\sqrt{J}=\lbrace f\in k[x_1,...,x_n]: f^n\in J$ para algún $latex m\geq 1\rbrace$
Regresando al ejemplo , tenemos la intersección de la línea vertical $latex x=0$ que es justamente el eje y, con la parábola $latex y-x^2=0$ que nos da sólo el punto $latex (0,0)$ , y por otro lado, la linea horizontal $latex y=0$ que es el eje x intersectado con la misma parábola, en ambos casos el único punto de intersección es el $latex (0,0)$ , es decir como conjuntos son lo mismo, ¿cuál es la diferencia? , si ven las gráficas en $latex \mathbb{R}^2$ verán
La diferencia está en el álgebra detrás, la tangencia en la gráfica derecha se estudia a través de su álgebra afin asociada que es en este caso $latex k[x,y]/(y-x^2,y)\cong k[x]/(x^2)$ sin embargo , para la intersección transversal de la parábola con $latex x=0$ tenemos que $latex k[x,y]/(y-x^2,x)\cong k$, obviamente el primero no es un campo porque tiene un elemento nilpotente que es $latex x$, el segundo es isomorfo al campo base, y este ejemplo da una idea de una teoría que podría diferenciar en este caso cómo encontrar tangencia sin recurrir directamente a la geometría, lo que te permitirá analizar la geometría algebraicamente incluso de espacios que no son "visibles" de manera intruitiva (espacios de funciones, variedades sobre campos finitos, campos no arquimedianos, et cétera).
Geometría algebraica pre-esquemas, con sabor a esquemas (Primera Parte)
Si tenemos una curva algebraica plana y queremos estudiarla como las anteriores, podemos primero pensar en una topología para ésta, así que las siguientes definiciones son importantes.
Definición: Sea $latex V\in \mathbb{A}^n(k)$ un conjunto algebraico (es decir, está dado por uniones, intersecciones de ecuaciones polinomiales como vimos en el ejemplo, y puedes hacer que $latex V$ sea una curva elíptica o una parábola) entonces su anillo de coordenadas es $latex k[V]=k[x_1,...,xn]/I(V)$ , los elementos de este anillo se llaman funciones regulares
Recuerden que una variedad $latex X$ es irreducible si no es la unión de variedades, es decir que $latex X\neq Y\cup Z$ donde $latex Y,Z$ no son triviales, esto es fácil verlo algebraicamente ya que si te fijas en las ecuaciones que definen una variedad que no es irreducible, entonces es factorizable, por ejemplo si consideras $latex f(x,y)=x^3 y-x^2+x y^3-x y-y^2+1$, es fácil ver que no es irreducible, ya que es la unión de dos conjuntos algebraicos:
Es una parábola y un círculo en la misma ecuación... y si factorizamos tenemos que $latex f(x,y)=(xy-1)(x^2+y^2-1)$ , es decir, el polinomio no es irreducible porque lo podemos factorizar... y por lo tanto podemos intuir (hay que probarlo) que si $latex f,g\in k[x_1,...,x_n]$ entonces $latex V(fg)=V(f)\cup V(g)$, es decir, el producto de dos ecuaciones polinomiales, tiene como ceros, la unión de los ceros de cada una de las ecuaciones polinomiales por separado.
Regresando al anillo de coordenadas es el anillo de polinomios en $latex n$ variables módulo el ideal de polinomios que se anulan en los puntos de $latex V$ , los elementos de este anillo puedes verlos como funciones $latex f:V\rightarrow k$.
Una subvariedad $latex W$ de $latex V$ es aquella que está contenida en $latex V$ is $latex W$ es algebraica, por ejemplo $latex V(x)\subset V(xy)$ , geométricamente $latex x=0$ es una línea vertical y $latex x y = 0$ tiene como gráfica los dos ejes coordenados, y la linea está contenida en la "cruz" siendo ambos definidos por ecuaciones polinomiales (algebraicos).
Topología de Zariski
Ahora, la topología donde se trabaja esto inicialmente es la de Zariski, y definimos:
Definición: Sea $latex k$ un campo y $latex X\subset \mathbb{A}^n(k)$ , es un cerrado de Zariski si $latex X$ es algebraico (es decir, un conjunto de puntos definido por polinomios), de manera dual tenemos que un abierto de Zariski es de la forma $latex U=\mathbb{A}^n(k)\setminus X$ donde $latex X$ es algebraico.
Ejemplo 1: Considera $latex \mathbb{A}^1(k)$ , entonces un cerrado ahí está dado por cualquier subconjunto de la recta afín $latex \mathbb{A}^1(k)$ que pueda ser expresado por polinomios en una variable, como sabemos que todo polinomio tiene un número finito de raíces, entonces los cerrados corresponden a todos los subconjuntos de la recta que son finitos (los abiertos son conjuntos infinitos), aquí tenemos un ejemplo de topología cofinita.
Ejemplo 2:
Si te subes a dimensión dos, veremos que aquí es diferente, por ejemplo, un punto es un cerrado, ya que intuitivamente lo puedes ver como la intersección de dos rectas, un círculo también es cerrado ya que se puede expresar como el conjunto de ceros de $latex x^2+y^2-1$ , y los abiertos aquí pues son muy grandes, los complementos de estos ejemplos son super densos , de hecho esta topología no es Hausdorff (no puedes encontrar dos abiertos que no se intersecten).
Y para qué queremos esta topología tan rara? ,
Localización:
Un punto nos da un ideal, es decir si $latex p=(a_1,...,a_n)\in V\subset \mathbb{A}^n(k)$ entonces $latex I(\lbrace p\rbrace)=(x-a_1,...,x-a_n)$, estos ideales pueden probar que son máximos, y por cada punto corresponde un ideal máximo cuando el campo base es algebraicamente cerrado, cuando no, hay teoría de Galois de por medio que hablaremos después,
Definición: Sea $latex k[V]:=k[x_1,...,x_n]/I(V)$ un anillo de coordenadas , tenemos que su campo de fracciones asociado es:
$latex k(V):=\lbrace f/g: f,g\in k[V] , g\neq 0\rbrace/\sim$
Donde $latex \sim$ es la relación de equivalencia usual de fracciones, o sea $latex a/b \sim c/d$ si $latex a\cdot c-b\cdot d=0$, es decir que su diferencia sea 0 en $latex k[V]$ lo cual significa que $latex ac-bd\in I(V)$
Definición: Sea $latex k[V]:=k[x_1,...,x_n]/I(V)$ un anillo de coordenadas y $latex p\in V$ entonces la localización de $latex p$ en $latex k[V]$ es:
$latex k_{p}[V]:=\lbrace f/g \in k(V) : g(p)\neq 0 \rbrace$
Hasta aquí ya tenemos un anillo para cada punto de una variedad $latex V$ , ahora... este anillo localizado en $latex p$ tiene un sólo ideal máximo, el cual pueden demostrar que es $latex m_p=\lbrace f\in k_{p}[V] : f(p)=0\rbrace$
Toda esta estructura que le hemos dado a una variedad dada por polinomios se puede generalizar, y a partir de aquí está todo lo anterior para cualquier anillo, podemos ver a los elementos del anillo conmutativo que queramos como si fueran funciones sobre un nuevo espacio $latex S p e c R$ que será el tema principal de este post (esquema afín).
Definición: Sea $latex R$ un anillo conmutativo, definimos el espectro primo de $latex R$ como:
$latex Spec R:=\lbrace \mathfrak{p} : \mathfrak{p}\subset R$ es un ideal primo $latex \rbrace$
Observación-definición: Vamos a ver cómo ver los elementos de un anillo $latex R$ como funciones evaluadas en los puntos de nuestro nuevo espacio topológico $latex S p e c R$ , para que esto tenga sentido.
Sea $latex f\in R$ y $latex \mathfrak{p}\in Spec R$ (un ideal primo), entonces $latex f(\mathfrak{p})=\bar{f}\in R/\mathfrak{p}$ donde $latex \bar{f}$ es la reducción de $latex f$ módulo $latex \mathfrak{p}$.
Este espectro tan inocente que se ve, es un espacio localmente anillado (es decir, con una gavilla de anillos asociada, lo cual veremos más adelante), y de hecho, decimos que bajo la topología de Zariski $latex Y\subset Spec R$ es cerrado , si existe un ideal $latex \mathfrak{a}\subset R$ tal que:
$latex Y=V(\mathfrak{a}):=\lbrace \mathfrak{p}\in Spec R: \mathfrak{a}\subset \mathfrak{p}\rbrace$
Esto nos permite rápidamente comprender la definición de cerrado anterior ya que si $latex f\in R$ y $latex f(\mathfrak{p})=0$ para algún ideal primo $latex \mathfrak{p}\in Spec R$ es porque $latex f\in \mathfrak{p}$
Medítalo un poco, imagínate que otra vez $latex R=k[x_1,..,x_n]/I(V)$ , acuérdate de la acotación que hicimos, sobre los ideales asociados a puntos , estos son primos (máximos) i.e. pertenecen a $latex S p e c R$
Podemos redefinir a los cerrados (conjuntos algebraicos) de $latex S p e c R$ , sea $latex \mathfrak{a}\subset R$ un ideal cualquiera, entonces:
$latex Y=V(\mathfrak{a}):=\lbrace \mathfrak{p}\in Spec R: f(\mathfrak{p})=0$ $latex \forall f\in \mathfrak{a}\rbrace=\lbrace \mathfrak{p}\in Spec R : \mathfrak{a}\subset \mathfrak{p} $
Esto creo que ya tiene más lógica, para poder localizar en$latex S p e c R$ tomemos en cuenta que si $latex f \in R$
$latex V(f)=\lbrace \mathfrak{p}\in Spec R : f(\mathfrak{p})=0\rbrace$
y el abierto asociado a $latex f\in R$ es el complemento de $latex V(f)$ en $latex S p e c R$
$latex D(f)=\lbrace \mathfrak{p}\in Spec R: f(x)\neq 0 \rbrace$
A este último a veces le dicen dominio de f por eso la letra $latex D$ , pero nosotros le llamaremos abierto de $latex f$.
Asociandole a cada abierto $latex U \subset X$ un anillo
Regresemos al ejemplo donde $latex R=k[V]$ , donde $latex V$ es una variedad sobre $latex k$ , es decir, trabajamos en su anillo de coordenadas, sea $latex p=(a_1,...,x_n)\in V$, consideremos su ideal asociado que es $latex \mathfrak{p}=(x_1-a_1,...,x_n-a_n)$
$latex U_\mathfrak{p}:=D(\mathfrak{p})=\lbrace x\in V : f(x)\neq 0$ $latex \forall f\in \mathfrak{p}\rbrace$
Entonces tenemos que a $latex U$ le podemos asociar el siguiente anillo llamado anillo de funciones regulares en $latex U$
$latex k[U_\mathfrak{p}] := \lbrace f/g\in k(V) : g\notin \mathfrak{p} \rbrace$
Esto es justamente la localización en el punto $latex \mathfrak{p}\in Spec$ $latex k[V]$ , es decir:
$latex k[U_\mathfrak{p}] = k_\mathfrak{p}[V]$
Ejemplo:
Sea $latex R=\mathbb{Z}$ , entonces $latex Spec\mathbb{Z}=\lbrace p\mathbb{Z} : p$ es primo $latex \rbrace$, $latex V(5)$ consta de todos los ideales primos que tienen al 5 como elemento, o sea $latex 5\mathbb{Z}$, $latex V(6)$ constaría de $latex \lbrace 3\mathbb{Z}, 2\mathbb{Z}$, $latex V(1)$ es vacío que es cerrado y abierto, et cétera, si localizamos en el ideal $latex (p)\subset \mathbb{Z}$ tenemos que:
$latex \mathbb{Z}_{(p)}=\lbrace a/b \in \mathbb{Q} : b\notin (p) \rbrace$
Justamente la localización es crucial para toda la teoría de esquemas, ya que como acaban de notarlo, a cualquier anillo le dimos una topología, y a cada abierto le asociamos un anillo, por lo que decimos que $latex S p e c R$ es un espacio localmente anillado. , la formalidad de esto es con una cosa que se llama gavilla estructural asociada al anillo, y veremos como construir esto en general.
Gavillas, esquemas en general para cualquier espacio topológico (Segunda parte).
Despues de todo lo anterior ahora viene la parte formal de la construcción anterior que fue un poco un revoltijo.
Primero para poder empezar necesitamos comprender lo que es una gavilla (Sheaf en inglés) pero para entender una gavilla, debemos comenzar con lo que es una pre-gavilla la cual con propiedades adicionales nos dará la gavilla, las gavillas son interesantes porque podemos conservar datos de una espacio topológico de manera organizada y tener una estructura más rica en álgebra donde podemos explotar más las propiedades de un objeto para poder estudiarlo.
Definición: Sea $latex X$ un espacio topológico, una pregavilla $latex \mathcal{F}$ de anillos en $latex X$ consiste en los siguientes objetos
1) Para todo abierto $latex U\subseteq X$ le asociamos un anillo $latex \mathcal{F}(U)$
2) Para toda inclusión $latex V\subseteq U$ de subconjuntos abiertos de $latex X$, tenemos el morfismos restricció $latex \rho_{UV}:\mathcal{F}(U)\rightarrow \mathcal{F}(V)$
Este morfismo cumple:
i) $latex \mathcal{F}(\emptyset) = 0$
ii) $latex \rho_{UU}$ es el mapeo identidad de $latex \mathcal{F}(U)\rightarrow \mathcal{F}(U)$
iii) Si $latex W\subseteq V\subseteq U$ son tres abiertos de $latex X$ entonces $latex \rho_{UW}=\rho_{VW}\circ \rho_{UV}$ , es decir el diagrama triangular de los mapeos conmuta.
Estas pregavillas se pueden definir no sólo anillos sino a grupos abelianos, u objetos en cualquier categoría abeliana.
Vamos a decir que si $latex \mathcal{F}$ es una pregavilla en $latex X$ entonces $latex \mathcal{F}(U)$ serán las secciones de la pregavilla $latex \mathcal{F}$ en el abierto $latex U$, a veces estas secciones son denotadas como $latex \Gamma(U,\mathcal{F})$ que son los anillos $latex \mathcal{F}(U)$ , también es común en la literatura que se escriba $latex s\mid_v:=\rho_{UV}(s)$ si $latex s\in \mathcal{F}(U)$ que es la restricción usual de morfismos en la categoría en cuestión, en este caso la de anillos.
Ahora vamos a definir una gavilla (sheaf) la cual , es una pregavilla, pero le pediremos más cosas relacionadas con datos locales de las secciones para poder identificarlas
Definición: Una pregavilla $latex \mathcal{F}$ sobre un espacio topológico $latex X$ es una gavilla si satisface las siguiente condicion sobre sus secciones:
iv) Sea $latex U$ un abierto de $latex X$ y $latex \lbrace V_i \rbrace$ una cubeirta abiera de $latex U$, si $latex s\in\mathcal{F}(U)$ es un elemento tal que $latex s\mid_V=0$ $latex \forall i$ $latex \Rightarrow s=0$ , y si $latex s_i \in \mathcal{F}(V_i)$ $latex \forall i$ con la propiedad de que $latex \forall i,j$ $latex s_i|_{V_i\cap V_j}=s_j\mid_{V_i\cap V_j}$ entonces existe otro elemento $latex s\in \mathcal{F}(U)$ tal que $latex s\mid_{V_i}=s_i$ $latex \forall i$
Bueno, mucha abstracción, veamos un ejemplo de algo que hayamos usado en este blog, el cual ma ayuda mucho a aterrizar conceptos a la hora de no estar familiarizado con algo.
Ejemplo (repitiendo la primera parte): Sea $latex X$ una variedad sobre un campo $latex k$, recordemos que para cada abierto de la variedad usando la topología de Zariski, se cumple que estos no son puntos de algún polinomio restringido a $latex X$ y definimos $latex O(U)$ como el anillo de funciones regulares en $latex U$ , es decir son los cocientes de polinomios cuyo denominador está bien definido en el abierto $latex U$ y está identificado con todas las funciones regulares que van de $latex U\rightarrow k$ y definimos que para todo $latex V\subseteq U$ $latex \rho_{UV}:O(U)\rightarrow O(V)$ la restricción usual de morfismos , entonces decimos que $latex O$ es una gavilla de anillos en $latex X$ , con esto es claro que es una pregavilla, para verificar la condición iv sólo hay que notar que la función 0 también es localmente 0, y una función que es regular localmente en cada anillo, también es regular globalmente, y llamamos a $latex O$ la gavilla de funciones regulares en $latex X$
Para un mejor tratado de este ejemplo con lujo de detalle, ver otro post anterior aqui.
Ahora necesitamos comenzar a definir objetos locales en la gavilla.
Definición: Si $latex \mathcal{F}$ es una pregavilla en $latex X$ y $latex P$ es un punto de $latex X$ , decimos que el tallo (stalk en inglés) $latex \mathcal{F}_P$ de $latex \mathcal{F}$ en $latex P$ es el límite inverso de los anillos $latex \mathcal{F}(U)$ para todo abierto $latex U$ que contiene $latex P$ via los mapeos de restricción $latex \rho$, es decir:
$latex \mathcal{F}_P= \varinjlim_{P\in U} \mathcal{F}(U)$
Esta definición intuitivamente, lo que nos dice, es que vamos a encontrar el anillo de cierto modo más chico de todos los abiertos $latex U\subseteq X$ que contienen a $latex P$, esto les tiene que sonar a localización.
Definición: Una pregavilla $latex \mathcal{F}$ en un espacio topológico $latex X$ es una gavilla si para todo $latex U\subset X$ y toda cubierta $latex U=\bigcup_{\lambda\in \Lambda} U_\lambda$ de abiertos $latex U_\lambda\subset X$ sucede que:
1. Si $latex f,g\in \mathcal{F}(U)$ satisfacen $latex f\mid_{U_\lambda}=g\mid_{U_\lambda}$ para todo $latex \lambda\in\Lambda$ entonces $latex f=g$
2. Si $latex f_\lambda\in \mathcal{F}(U_\lambda)$ con $latex \lambda\in \Lambda$ satisface que $latex f_\lambda\mid_{U_\lambda\cap U_\sigma}=f_{\sigma}\mid_{U_\lambda\cap U_\sigma}$ para todo $latex \lambda,\sigma\in \Lambda$, entonces existe un $latex f\in \mathcal{U}$ tal que $latex f\mid_{U_\lambda}=f_\lambda$ para toda $latex \lambda\in\Lambda$ , la cual será única, por (1) , esta condición se llama de "pegado" (gluing condition), es decir, una función que coincide en los overlaps de los abiertos en toda la cubierta, puedes encontrar otra que pasa por allí y es única.
Definición: Un morfismo $latex \Phi$ entre dos gavillas $latex \mathcal{F},\mathcal{G}$ definidas sobre el espacio topológico $latex X$ , $latex \Phi:\mathcal{F}\rightarrow \mathcal{G}$ es un morfismo functorial en el sentido de morfismos entre la categoría de abiertos de $latex X$ a la categoría de anillos (de coordenadas si quieren aterrizar muy rapido, pero todo esto es en general) es decir, $latex \Phi$ consiste en una colección de morfismos
$latex \phi_U:\mathcal{F}(U)\rightarrow \mathcal{G}(U)$ con $latex U\subset X$ abierto. que son compatibles con los morfismos de restricción , es decir si $latex U\subset V\subset X$
$latex \mathcal{F}(V)\xrightarrow{\phi_V} \mathcal{G}(V)$ y $latex \mathcal{F}(U)\xrightarrow{\phi_U} \mathcal{G}(U)$ entonces, esto visto como un diagrama conmuta con los mapeos de restriccion , en este caso $latex \mathcal{F}(V)\xrightarrow{\rho_{U}^V} \mathcal{U}$ y $latex \mathcal{G}(V)\xrightarrow{\rho_U^{V}} \mathcal{G}(U)$
Añadir leyenda
Para terminar, ya con los esquemas, terminamos con la estructura global que guarda toda la información del espacio $latex X$, que es la de espacio localmente anillado y concluimos con la definición de esquema afín.
Definición: Un espacio localmente anillado es un par $latex (X,O_X)$ donde $latex X$ es el espacio topológico y $latex O_X$ es una gavilla de anillos en $latex X$, la cual le llamamos gavilla estructural de $latex X$, tal que los tallos $latex O_{X,x}$ para cada $latex x\in X$ son anillos locales (con un sólo ideal máximo, como los del ejemplo en la primera sección).
Un morfismos de espacios localmente anillados $latex (X,O_X)\rightarrow (Y,O_Y)$ es un par $latex (f,f^{\dagger})$ donde $latex f:X\rightarrow Y$ es un mapeo continuo entre los espacios topológicos, y $latex f^{\dagger}:O_Y\rightarrow f_{*}(O_X)$ es un morfismos de gavillas como lo definimos anteriormente en $latex Y$ , donde $latex f_{*}(O_X)$ es la gavilla en $latex Y$ que está dada por $latex V\mapsto O_X(f^{-1}(V))$ y con sus respectivos morfismos de restricción , por lo que $latex f^{\dagger}$ es el sistema de homomorfismos de anillos dado por:
$latex f^{\dagger}(V):O_Y(V)\rightarrow O_X(f^{-1}(V))$ tal que $latex V\subset Y$ es abierto.
Falta una condición para que un espacio sea localmente anillado.
Un mapeo $latex \psi:A\rightarrow B$ es un mapeo local si $latex A,B$ son anillos locales y si $latex m_A\subset A$ y $latex m_B\subset B$ son sus respectivos ideales máximos $latex \psi(m_A)\subset m_B$
Entonces para que $latex (X,O_X)$ sea localmente anillado, también tiene qAñadir leyendaue cumplir la condición de que el mapeo $latex f^{\dagger}$ sea local entre todos los tallos, es decir que $latex f^{\dagger}_x:O_{Y,f(x)}\rightarrow O_{X,x}$ para todo $latex x\in X$ sea local.
Definición final: Un esquema afín es un espacio localmente anillado $latex (X,O_X)$ tal que existe un isomorfismos de espacios localmente anillados entre $latex (X,O_X) \xrightarrow{\sim} (Spec A, O_{Spec A})$ , para algún anillo $latex A$, los morfismos entre esquemas afines son como los definimos anteriormente, morfismos de espacios localmente anillados.
Como vimos anteriormente, esto es muy abstracto, pero si quieres darle forma, comienza usando un álgebra afin conocida, como anillo, como un anillo de coordenadas, y de ahí comienza a darle la estructura de esquema , con todas las definiciones que vimos en la primera parte.
Todo esto fue muy rápido, lo siento, por la falta de rigor, pero no tengo tanto tiempo y realmente sí quería hacer esto, esto se lo debemos a Alexander Grothendieck
Eduardo Ruíz Duarte (beck)
Email: toorandom at g mail dot c om
twitter: toorandom
PGP: FEE7 F2A0
Antes de entrar en el post, dejo otro PDF de interés de una chica estudiante de Matemáticas que fue a visitarlo un año anes de morir, donde relata su experiencia la cual es un poco extraña
http://www.math.utah.edu/~honigs/Grothendieck.pdf
De la teoría que desarrolló Grothendieck tratará este post, daré una motivación, ejemplos y luego entraré de lleno a definir con base a la primera intuición lo que es un esquema en el sentido de Grothendieck, falta muchísimo para que este post sea.. "aceptable", de hecho jamás hablaré de espacios proyectivos, por lo que sólo me limitaré a esquemas afines, también cuando hablo de un anillo, éste es conmutativo con unidad y los campos son algebraicamente cerrados.
Recuerdo que cuando estaba estudiando mi maestría en el IMATE-UNAM mi colega y amigo Ángel Zaldivar me decía que pusiera más énfasis en la teoría de esquemas, pero yo ya iba encarrerado con la geometría algebraica clásica para hacer mi proyecto que fue un artículo que encontraba fórmulas explícitas en la adición de la jacobiana de una curva hiperelíptica de género 2 así como el modelo afín no singular de la jacobiana embebida:
a en $latex \mathbb{A}^4$ lo cual puedes ver aquí (DOI) .
La teoría de Grothendieck, dota de muchísima estructura a un objeto, un anillo, pudiéndolo analizar a simple vista, y a nivel "atómico", haciéndole relucir su geometría... por más abstracto que sea, es lo que trataremos también de construir.
Ahora que estoy haciendo mi doctorado, entendí por qué Ángel me decía eso, y bueno, he estudiado y usado ya esquemas para algunos resultados y por eso quise hacer una pequeña exposición muy elemental, básica y espero motivante (aunque no rigurosa).
Motivación inicial:
Empecemos con algo fácil.
¿Cuál es la diferencia entre los conjuntos $latex \lbrace V(x) \cap V(y-x^2)\rbrace$ y $latex \lbrace V(y) \cap V(y-x^2) \rbrace$?
Recuerden que si tenemos un conjunto de polinomios $latex S\subseteq k[x_1,...,x_n]$ entonces los ceros de los polinomios en $latex S$ son:
$latex V(S):=\lbrace (a_1,...,a_n)\in \mathbb{A}^n(k) : f(a_1,..,a_n)=0$ $latex \forall f\in S\rbrace $
Este $latex S$ podría ser un ideal de $latex k[x_1,...,x_n]$ y de hecho existe un operador dual a $latex V$ que nos da el ideal asociado a un conjunto de puntos:
$latex I(V):= \lbrace f\in k[x_1,...,x_n] : f(a_1,...,a_n)=0$ $latex \forall (a_1,...,a_n)\in V\rbrace$
Hay un teorema muy importante que marcó el inicio de todo esto desde mi punto de vista que es el teorema Nullstellensatz que en alemán significa "teorema de los ceros" de David Hilbert que dice que:
Si $latex J\subset \bar{k}[x_1,...,x_n]$ es un ideal, entonces
$latex I(V(J))=\sqrt{J}=\lbrace f\in k[x_1,...,x_n]: f^n\in J$ para algún $latex m\geq 1\rbrace$
Regresando al ejemplo , tenemos la intersección de la línea vertical $latex x=0$ que es justamente el eje y, con la parábola $latex y-x^2=0$ que nos da sólo el punto $latex (0,0)$ , y por otro lado, la linea horizontal $latex y=0$ que es el eje x intersectado con la misma parábola, en ambos casos el único punto de intersección es el $latex (0,0)$ , es decir como conjuntos son lo mismo, ¿cuál es la diferencia? , si ven las gráficas en $latex \mathbb{R}^2$ verán
La diferencia está en el álgebra detrás, la tangencia en la gráfica derecha se estudia a través de su álgebra afin asociada que es en este caso $latex k[x,y]/(y-x^2,y)\cong k[x]/(x^2)$ sin embargo , para la intersección transversal de la parábola con $latex x=0$ tenemos que $latex k[x,y]/(y-x^2,x)\cong k$, obviamente el primero no es un campo porque tiene un elemento nilpotente que es $latex x$, el segundo es isomorfo al campo base, y este ejemplo da una idea de una teoría que podría diferenciar en este caso cómo encontrar tangencia sin recurrir directamente a la geometría, lo que te permitirá analizar la geometría algebraicamente incluso de espacios que no son "visibles" de manera intruitiva (espacios de funciones, variedades sobre campos finitos, campos no arquimedianos, et cétera).
Geometría algebraica pre-esquemas, con sabor a esquemas (Primera Parte)
Si tenemos una curva algebraica plana y queremos estudiarla como las anteriores, podemos primero pensar en una topología para ésta, así que las siguientes definiciones son importantes.
Definición: Sea $latex V\in \mathbb{A}^n(k)$ un conjunto algebraico (es decir, está dado por uniones, intersecciones de ecuaciones polinomiales como vimos en el ejemplo, y puedes hacer que $latex V$ sea una curva elíptica o una parábola) entonces su anillo de coordenadas es $latex k[V]=k[x_1,...,xn]/I(V)$ , los elementos de este anillo se llaman funciones regulares
Recuerden que una variedad $latex X$ es irreducible si no es la unión de variedades, es decir que $latex X\neq Y\cup Z$ donde $latex Y,Z$ no son triviales, esto es fácil verlo algebraicamente ya que si te fijas en las ecuaciones que definen una variedad que no es irreducible, entonces es factorizable, por ejemplo si consideras $latex f(x,y)=x^3 y-x^2+x y^3-x y-y^2+1$, es fácil ver que no es irreducible, ya que es la unión de dos conjuntos algebraicos:
Es una parábola y un círculo en la misma ecuación... y si factorizamos tenemos que $latex f(x,y)=(xy-1)(x^2+y^2-1)$ , es decir, el polinomio no es irreducible porque lo podemos factorizar... y por lo tanto podemos intuir (hay que probarlo) que si $latex f,g\in k[x_1,...,x_n]$ entonces $latex V(fg)=V(f)\cup V(g)$, es decir, el producto de dos ecuaciones polinomiales, tiene como ceros, la unión de los ceros de cada una de las ecuaciones polinomiales por separado.
Regresando al anillo de coordenadas es el anillo de polinomios en $latex n$ variables módulo el ideal de polinomios que se anulan en los puntos de $latex V$ , los elementos de este anillo puedes verlos como funciones $latex f:V\rightarrow k$.
Una subvariedad $latex W$ de $latex V$ es aquella que está contenida en $latex V$ is $latex W$ es algebraica, por ejemplo $latex V(x)\subset V(xy)$ , geométricamente $latex x=0$ es una línea vertical y $latex x y = 0$ tiene como gráfica los dos ejes coordenados, y la linea está contenida en la "cruz" siendo ambos definidos por ecuaciones polinomiales (algebraicos).
Topología de Zariski
Ahora, la topología donde se trabaja esto inicialmente es la de Zariski, y definimos:
Definición: Sea $latex k$ un campo y $latex X\subset \mathbb{A}^n(k)$ , es un cerrado de Zariski si $latex X$ es algebraico (es decir, un conjunto de puntos definido por polinomios), de manera dual tenemos que un abierto de Zariski es de la forma $latex U=\mathbb{A}^n(k)\setminus X$ donde $latex X$ es algebraico.
Ejemplo 1: Considera $latex \mathbb{A}^1(k)$ , entonces un cerrado ahí está dado por cualquier subconjunto de la recta afín $latex \mathbb{A}^1(k)$ que pueda ser expresado por polinomios en una variable, como sabemos que todo polinomio tiene un número finito de raíces, entonces los cerrados corresponden a todos los subconjuntos de la recta que son finitos (los abiertos son conjuntos infinitos), aquí tenemos un ejemplo de topología cofinita.
Ejemplo 2:
Si te subes a dimensión dos, veremos que aquí es diferente, por ejemplo, un punto es un cerrado, ya que intuitivamente lo puedes ver como la intersección de dos rectas, un círculo también es cerrado ya que se puede expresar como el conjunto de ceros de $latex x^2+y^2-1$ , y los abiertos aquí pues son muy grandes, los complementos de estos ejemplos son super densos , de hecho esta topología no es Hausdorff (no puedes encontrar dos abiertos que no se intersecten).
Y para qué queremos esta topología tan rara? ,
Localización:
Un punto nos da un ideal, es decir si $latex p=(a_1,...,a_n)\in V\subset \mathbb{A}^n(k)$ entonces $latex I(\lbrace p\rbrace)=(x-a_1,...,x-a_n)$, estos ideales pueden probar que son máximos, y por cada punto corresponde un ideal máximo cuando el campo base es algebraicamente cerrado, cuando no, hay teoría de Galois de por medio que hablaremos después,
Definición: Sea $latex k[V]:=k[x_1,...,x_n]/I(V)$ un anillo de coordenadas , tenemos que su campo de fracciones asociado es:
$latex k(V):=\lbrace f/g: f,g\in k[V] , g\neq 0\rbrace/\sim$
Donde $latex \sim$ es la relación de equivalencia usual de fracciones, o sea $latex a/b \sim c/d$ si $latex a\cdot c-b\cdot d=0$, es decir que su diferencia sea 0 en $latex k[V]$ lo cual significa que $latex ac-bd\in I(V)$
Definición: Sea $latex k[V]:=k[x_1,...,x_n]/I(V)$ un anillo de coordenadas y $latex p\in V$ entonces la localización de $latex p$ en $latex k[V]$ es:
$latex k_{p}[V]:=\lbrace f/g \in k(V) : g(p)\neq 0 \rbrace$
Hasta aquí ya tenemos un anillo para cada punto de una variedad $latex V$ , ahora... este anillo localizado en $latex p$ tiene un sólo ideal máximo, el cual pueden demostrar que es $latex m_p=\lbrace f\in k_{p}[V] : f(p)=0\rbrace$
Toda esta estructura que le hemos dado a una variedad dada por polinomios se puede generalizar, y a partir de aquí está todo lo anterior para cualquier anillo, podemos ver a los elementos del anillo conmutativo que queramos como si fueran funciones sobre un nuevo espacio $latex S p e c R$ que será el tema principal de este post (esquema afín).
Definición: Sea $latex R$ un anillo conmutativo, definimos el espectro primo de $latex R$ como:
$latex Spec R:=\lbrace \mathfrak{p} : \mathfrak{p}\subset R$ es un ideal primo $latex \rbrace$
Observación-definición: Vamos a ver cómo ver los elementos de un anillo $latex R$ como funciones evaluadas en los puntos de nuestro nuevo espacio topológico $latex S p e c R$ , para que esto tenga sentido.
Sea $latex f\in R$ y $latex \mathfrak{p}\in Spec R$ (un ideal primo), entonces $latex f(\mathfrak{p})=\bar{f}\in R/\mathfrak{p}$ donde $latex \bar{f}$ es la reducción de $latex f$ módulo $latex \mathfrak{p}$.
Este espectro tan inocente que se ve, es un espacio localmente anillado (es decir, con una gavilla de anillos asociada, lo cual veremos más adelante), y de hecho, decimos que bajo la topología de Zariski $latex Y\subset Spec R$ es cerrado , si existe un ideal $latex \mathfrak{a}\subset R$ tal que:
$latex Y=V(\mathfrak{a}):=\lbrace \mathfrak{p}\in Spec R: \mathfrak{a}\subset \mathfrak{p}\rbrace$
Esto nos permite rápidamente comprender la definición de cerrado anterior ya que si $latex f\in R$ y $latex f(\mathfrak{p})=0$ para algún ideal primo $latex \mathfrak{p}\in Spec R$ es porque $latex f\in \mathfrak{p}$
Medítalo un poco, imagínate que otra vez $latex R=k[x_1,..,x_n]/I(V)$ , acuérdate de la acotación que hicimos, sobre los ideales asociados a puntos , estos son primos (máximos) i.e. pertenecen a $latex S p e c R$
Podemos redefinir a los cerrados (conjuntos algebraicos) de $latex S p e c R$ , sea $latex \mathfrak{a}\subset R$ un ideal cualquiera, entonces:
$latex Y=V(\mathfrak{a}):=\lbrace \mathfrak{p}\in Spec R: f(\mathfrak{p})=0$ $latex \forall f\in \mathfrak{a}\rbrace=\lbrace \mathfrak{p}\in Spec R : \mathfrak{a}\subset \mathfrak{p} $
Esto creo que ya tiene más lógica, para poder localizar en$latex S p e c R$ tomemos en cuenta que si $latex f \in R$
$latex V(f)=\lbrace \mathfrak{p}\in Spec R : f(\mathfrak{p})=0\rbrace$
y el abierto asociado a $latex f\in R$ es el complemento de $latex V(f)$ en $latex S p e c R$
$latex D(f)=\lbrace \mathfrak{p}\in Spec R: f(x)\neq 0 \rbrace$
A este último a veces le dicen dominio de f por eso la letra $latex D$ , pero nosotros le llamaremos abierto de $latex f$.
Asociandole a cada abierto $latex U \subset X$ un anillo
Regresemos al ejemplo donde $latex R=k[V]$ , donde $latex V$ es una variedad sobre $latex k$ , es decir, trabajamos en su anillo de coordenadas, sea $latex p=(a_1,...,x_n)\in V$, consideremos su ideal asociado que es $latex \mathfrak{p}=(x_1-a_1,...,x_n-a_n)$
$latex U_\mathfrak{p}:=D(\mathfrak{p})=\lbrace x\in V : f(x)\neq 0$ $latex \forall f\in \mathfrak{p}\rbrace$
Entonces tenemos que a $latex U$ le podemos asociar el siguiente anillo llamado anillo de funciones regulares en $latex U$
$latex k[U_\mathfrak{p}] := \lbrace f/g\in k(V) : g\notin \mathfrak{p} \rbrace$
Esto es justamente la localización en el punto $latex \mathfrak{p}\in Spec$ $latex k[V]$ , es decir:
$latex k[U_\mathfrak{p}] = k_\mathfrak{p}[V]$
Ejemplo:
Sea $latex R=\mathbb{Z}$ , entonces $latex Spec\mathbb{Z}=\lbrace p\mathbb{Z} : p$ es primo $latex \rbrace$, $latex V(5)$ consta de todos los ideales primos que tienen al 5 como elemento, o sea $latex 5\mathbb{Z}$, $latex V(6)$ constaría de $latex \lbrace 3\mathbb{Z}, 2\mathbb{Z}$, $latex V(1)$ es vacío que es cerrado y abierto, et cétera, si localizamos en el ideal $latex (p)\subset \mathbb{Z}$ tenemos que:
$latex \mathbb{Z}_{(p)}=\lbrace a/b \in \mathbb{Q} : b\notin (p) \rbrace$
Justamente la localización es crucial para toda la teoría de esquemas, ya que como acaban de notarlo, a cualquier anillo le dimos una topología, y a cada abierto le asociamos un anillo, por lo que decimos que $latex S p e c R$ es un espacio localmente anillado. , la formalidad de esto es con una cosa que se llama gavilla estructural asociada al anillo, y veremos como construir esto en general.
Gavillas, esquemas en general para cualquier espacio topológico (Segunda parte).
Despues de todo lo anterior ahora viene la parte formal de la construcción anterior que fue un poco un revoltijo.
Primero para poder empezar necesitamos comprender lo que es una gavilla (Sheaf en inglés) pero para entender una gavilla, debemos comenzar con lo que es una pre-gavilla la cual con propiedades adicionales nos dará la gavilla, las gavillas son interesantes porque podemos conservar datos de una espacio topológico de manera organizada y tener una estructura más rica en álgebra donde podemos explotar más las propiedades de un objeto para poder estudiarlo.
Definición: Sea $latex X$ un espacio topológico, una pregavilla $latex \mathcal{F}$ de anillos en $latex X$ consiste en los siguientes objetos
1) Para todo abierto $latex U\subseteq X$ le asociamos un anillo $latex \mathcal{F}(U)$
2) Para toda inclusión $latex V\subseteq U$ de subconjuntos abiertos de $latex X$, tenemos el morfismos restricció $latex \rho_{UV}:\mathcal{F}(U)\rightarrow \mathcal{F}(V)$
Este morfismo cumple:
i) $latex \mathcal{F}(\emptyset) = 0$
ii) $latex \rho_{UU}$ es el mapeo identidad de $latex \mathcal{F}(U)\rightarrow \mathcal{F}(U)$
iii) Si $latex W\subseteq V\subseteq U$ son tres abiertos de $latex X$ entonces $latex \rho_{UW}=\rho_{VW}\circ \rho_{UV}$ , es decir el diagrama triangular de los mapeos conmuta.
Estas pregavillas se pueden definir no sólo anillos sino a grupos abelianos, u objetos en cualquier categoría abeliana.
Vamos a decir que si $latex \mathcal{F}$ es una pregavilla en $latex X$ entonces $latex \mathcal{F}(U)$ serán las secciones de la pregavilla $latex \mathcal{F}$ en el abierto $latex U$, a veces estas secciones son denotadas como $latex \Gamma(U,\mathcal{F})$ que son los anillos $latex \mathcal{F}(U)$ , también es común en la literatura que se escriba $latex s\mid_v:=\rho_{UV}(s)$ si $latex s\in \mathcal{F}(U)$ que es la restricción usual de morfismos en la categoría en cuestión, en este caso la de anillos.
Ahora vamos a definir una gavilla (sheaf) la cual , es una pregavilla, pero le pediremos más cosas relacionadas con datos locales de las secciones para poder identificarlas
Definición: Una pregavilla $latex \mathcal{F}$ sobre un espacio topológico $latex X$ es una gavilla si satisface las siguiente condicion sobre sus secciones:
iv) Sea $latex U$ un abierto de $latex X$ y $latex \lbrace V_i \rbrace$ una cubeirta abiera de $latex U$, si $latex s\in\mathcal{F}(U)$ es un elemento tal que $latex s\mid_V=0$ $latex \forall i$ $latex \Rightarrow s=0$ , y si $latex s_i \in \mathcal{F}(V_i)$ $latex \forall i$ con la propiedad de que $latex \forall i,j$ $latex s_i|_{V_i\cap V_j}=s_j\mid_{V_i\cap V_j}$ entonces existe otro elemento $latex s\in \mathcal{F}(U)$ tal que $latex s\mid_{V_i}=s_i$ $latex \forall i$
Bueno, mucha abstracción, veamos un ejemplo de algo que hayamos usado en este blog, el cual ma ayuda mucho a aterrizar conceptos a la hora de no estar familiarizado con algo.
Ejemplo (repitiendo la primera parte): Sea $latex X$ una variedad sobre un campo $latex k$, recordemos que para cada abierto de la variedad usando la topología de Zariski, se cumple que estos no son puntos de algún polinomio restringido a $latex X$ y definimos $latex O(U)$ como el anillo de funciones regulares en $latex U$ , es decir son los cocientes de polinomios cuyo denominador está bien definido en el abierto $latex U$ y está identificado con todas las funciones regulares que van de $latex U\rightarrow k$ y definimos que para todo $latex V\subseteq U$ $latex \rho_{UV}:O(U)\rightarrow O(V)$ la restricción usual de morfismos , entonces decimos que $latex O$ es una gavilla de anillos en $latex X$ , con esto es claro que es una pregavilla, para verificar la condición iv sólo hay que notar que la función 0 también es localmente 0, y una función que es regular localmente en cada anillo, también es regular globalmente, y llamamos a $latex O$ la gavilla de funciones regulares en $latex X$
Para un mejor tratado de este ejemplo con lujo de detalle, ver otro post anterior aqui.
Ahora necesitamos comenzar a definir objetos locales en la gavilla.
Definición: Si $latex \mathcal{F}$ es una pregavilla en $latex X$ y $latex P$ es un punto de $latex X$ , decimos que el tallo (stalk en inglés) $latex \mathcal{F}_P$ de $latex \mathcal{F}$ en $latex P$ es el límite inverso de los anillos $latex \mathcal{F}(U)$ para todo abierto $latex U$ que contiene $latex P$ via los mapeos de restricción $latex \rho$, es decir:
$latex \mathcal{F}_P= \varinjlim_{P\in U} \mathcal{F}(U)$
Esta definición intuitivamente, lo que nos dice, es que vamos a encontrar el anillo de cierto modo más chico de todos los abiertos $latex U\subseteq X$ que contienen a $latex P$, esto les tiene que sonar a localización.
Definición: Una pregavilla $latex \mathcal{F}$ en un espacio topológico $latex X$ es una gavilla si para todo $latex U\subset X$ y toda cubierta $latex U=\bigcup_{\lambda\in \Lambda} U_\lambda$ de abiertos $latex U_\lambda\subset X$ sucede que:
1. Si $latex f,g\in \mathcal{F}(U)$ satisfacen $latex f\mid_{U_\lambda}=g\mid_{U_\lambda}$ para todo $latex \lambda\in\Lambda$ entonces $latex f=g$
2. Si $latex f_\lambda\in \mathcal{F}(U_\lambda)$ con $latex \lambda\in \Lambda$ satisface que $latex f_\lambda\mid_{U_\lambda\cap U_\sigma}=f_{\sigma}\mid_{U_\lambda\cap U_\sigma}$ para todo $latex \lambda,\sigma\in \Lambda$, entonces existe un $latex f\in \mathcal{U}$ tal que $latex f\mid_{U_\lambda}=f_\lambda$ para toda $latex \lambda\in\Lambda$ , la cual será única, por (1) , esta condición se llama de "pegado" (gluing condition), es decir, una función que coincide en los overlaps de los abiertos en toda la cubierta, puedes encontrar otra que pasa por allí y es única.
Definición: Un morfismo $latex \Phi$ entre dos gavillas $latex \mathcal{F},\mathcal{G}$ definidas sobre el espacio topológico $latex X$ , $latex \Phi:\mathcal{F}\rightarrow \mathcal{G}$ es un morfismo functorial en el sentido de morfismos entre la categoría de abiertos de $latex X$ a la categoría de anillos (de coordenadas si quieren aterrizar muy rapido, pero todo esto es en general) es decir, $latex \Phi$ consiste en una colección de morfismos
$latex \phi_U:\mathcal{F}(U)\rightarrow \mathcal{G}(U)$ con $latex U\subset X$ abierto. que son compatibles con los morfismos de restricción , es decir si $latex U\subset V\subset X$
$latex \mathcal{F}(V)\xrightarrow{\phi_V} \mathcal{G}(V)$ y $latex \mathcal{F}(U)\xrightarrow{\phi_U} \mathcal{G}(U)$ entonces, esto visto como un diagrama conmuta con los mapeos de restriccion , en este caso $latex \mathcal{F}(V)\xrightarrow{\rho_{U}^V} \mathcal{U}$ y $latex \mathcal{G}(V)\xrightarrow{\rho_U^{V}} \mathcal{G}(U)$
Añadir leyenda
Para terminar, ya con los esquemas, terminamos con la estructura global que guarda toda la información del espacio $latex X$, que es la de espacio localmente anillado y concluimos con la definición de esquema afín.
Definición: Un espacio localmente anillado es un par $latex (X,O_X)$ donde $latex X$ es el espacio topológico y $latex O_X$ es una gavilla de anillos en $latex X$, la cual le llamamos gavilla estructural de $latex X$, tal que los tallos $latex O_{X,x}$ para cada $latex x\in X$ son anillos locales (con un sólo ideal máximo, como los del ejemplo en la primera sección).
Un morfismos de espacios localmente anillados $latex (X,O_X)\rightarrow (Y,O_Y)$ es un par $latex (f,f^{\dagger})$ donde $latex f:X\rightarrow Y$ es un mapeo continuo entre los espacios topológicos, y $latex f^{\dagger}:O_Y\rightarrow f_{*}(O_X)$ es un morfismos de gavillas como lo definimos anteriormente en $latex Y$ , donde $latex f_{*}(O_X)$ es la gavilla en $latex Y$ que está dada por $latex V\mapsto O_X(f^{-1}(V))$ y con sus respectivos morfismos de restricción , por lo que $latex f^{\dagger}$ es el sistema de homomorfismos de anillos dado por:
$latex f^{\dagger}(V):O_Y(V)\rightarrow O_X(f^{-1}(V))$ tal que $latex V\subset Y$ es abierto.
Falta una condición para que un espacio sea localmente anillado.
Un mapeo $latex \psi:A\rightarrow B$ es un mapeo local si $latex A,B$ son anillos locales y si $latex m_A\subset A$ y $latex m_B\subset B$ son sus respectivos ideales máximos $latex \psi(m_A)\subset m_B$
Entonces para que $latex (X,O_X)$ sea localmente anillado, también tiene qAñadir leyendaue cumplir la condición de que el mapeo $latex f^{\dagger}$ sea local entre todos los tallos, es decir que $latex f^{\dagger}_x:O_{Y,f(x)}\rightarrow O_{X,x}$ para todo $latex x\in X$ sea local.
Definición final: Un esquema afín es un espacio localmente anillado $latex (X,O_X)$ tal que existe un isomorfismos de espacios localmente anillados entre $latex (X,O_X) \xrightarrow{\sim} (Spec A, O_{Spec A})$ , para algún anillo $latex A$, los morfismos entre esquemas afines son como los definimos anteriormente, morfismos de espacios localmente anillados.
Como vimos anteriormente, esto es muy abstracto, pero si quieres darle forma, comienza usando un álgebra afin conocida, como anillo, como un anillo de coordenadas, y de ahí comienza a darle la estructura de esquema , con todas las definiciones que vimos en la primera parte.
Todo esto fue muy rápido, lo siento, por la falta de rigor, pero no tengo tanto tiempo y realmente sí quería hacer esto, esto se lo debemos a Alexander Grothendieck
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| 1928-2014 |
Eduardo Ruíz Duarte (beck)
Email: toorandom at g mail dot c om
twitter: toorandom
PGP: FEE7 F2A0
Wednesday, July 22, 2015
Conjetura de Kaplansky, anillos de grupos a través de ejemplos
Hay un problema que lleva 25 años sin resolverse y fue descubierto por Irving Kaplansky, es de esos problemas que se ven bien fáciles de atacar pero pues resulta que no es tan fácil, yo me topé en mi trabajo de investigación con un anillo de grupo que quería ver si tenía múltiplos de 0, y al leer literatura me topé con esto que es muy interesante y que yo tendré que demostrar en mi caso particular.
La conjetura dice lo siguiente:
Conjetura: (Kaplansky)
Sea $latex \mathbb K$ un campo y $latex G$ un grupo libre de torsión, entonces el anillo de grupo $latex \mathbb{K}[G]$ no tiene divisores de $latex 0$ es decir es un dominio
Para entender este enunciado vamos a definir todo y construir $latex \mathbb{K}[G]$
Vamos a recordar todos los conceptos necesarios de esta conjetura a través de ejemplos no tan triviales de cada uno de los conceptos para poder adquirir intuición en la conjetura.
Grupos, anillos, campos, torsión a través de ejemplos
Grupos (no abelianos son los interesantes)
Un grupo $latex (G, \cdot)$ es un conjunto con una operacion binaria que cumple
a) Existe un $latex e\in G$ tal que $latex \forall g\in G$ tenemos que $latex g\cdot e=e\cdot g = g$ (hay neutro)
b) Si $latex g\in G$ entonces $latex \exists h$ tal que $latex h\cdot g =g\cdot h=e$ (todos son invertibles)
c) Si $latex g_1,g_2\in G$ entonces $latex g_1\cdot g_2 \in G$ (es cerrado)
d) Si $latex g_1,g_2,g_3\in G$ entonces $latex (g_1\cdot g_2)\cdot g_3=g_1\cdot (g_2\cdot g_3)$ (es asociativo)
e)* si sucede que $latex \forall g_1,g_2 \in G$ tenemos que $latex g_1\cdot g_2=g_2\cdot g_1$ (es conmutativo) decimos que $latex G$ es un grupo abeliano
Ejemplos:
No-Ejemplo:
Las matrices con la multiplicación no forman un grupo ya que hay algunas que tienen determinante 0 y no son invertibles, por lo que no se cumple la propiedad b
$latex (Mat_{n}\mathbb R,\cdot)$
Ejemplo $latex SL_2(\mathbb C$
Las matrices sobre un campo, por ejemplo $latex \mathbb C$ de nxn cuyo determinante es 1 se les denota como $latex SL_n\mathbb C$ , es claro que es un grupo con la multiplicación de matrices ya que todos son invertibles, este se llama grupo especial lineal, y es "especial" porque es de hecho un subgrupo normal de otro mas grande que se llama $latex GL_n\mathbb C$ que es el grupo general lineal que consta de todas las matrices invertibles, es fácil mostrar que un subgrupo normal para los que saben un poco más de teoría de grupos , sabemos que el kernel de un morfismo de grupos es siempre un subgrupo normal y en este caso el operador de determinante induce un homomorfismo de grupos, en este caso $latex det:GL_n\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}^{\times}$ donde $latex \mathbb{C}^\times$ es el grupo multiplicativo de los complejos sin el 0, entonces, $latex Ker(det)=\lbrace A\in GL_n\mathbb C\mid det(A)=1\rbrace=SL_n\mathbb C$, de hecho si te gusta la geometría diferencial hay más en este grupo que ya me extendí mucho en el ejemplo pero tenemos que existe un álgebra de Lie (haces nacer un espacio vectorial donde se pueden multiplicar vectores junto con una operación especial llamada corchete de Lie ) de $latex SL_n\mathbb C$ que es $latex \mathfrak{sl}_n\mathbb C =\lbrace A\in SL_n\mathbb C \mid Tr(A)=0\rbrace$ donde el corchete de Lie es la multiplicación de estos elementos dado por $latex [g,h]=g^{-1}h^{-1}gh$
La teoría en este grupo es hermosa y es favorita de muchos ultra-ingenieros (teoría de control) y de muchos físicos ya que tiene un entendimiento muy profundo, el hecho de que todos tengan determinante 1, y el determinante representar un polinomio con entradas en la matriz te dice que de hecho los elementos pertenecen a una variedad que se sumerge en un espacio y tiene cierta topología y se le da una interpretación a este grupo como el que preserva volúmenes y orientación con transformaciones de $latex \mathbb{C}^n$ (puedes usar $latex \mathbb R$) donde el determinante mide el cambio en volumen y orientación.
Otro grupos con funciones $latex S_n$
Otros ejemplos de grupos más aburridos pueden ser los números reales con la suma usual, o los reales sin el 0 con la multiplicación , estos son abelianos, otros más divertidos no conmutativos son las permutaciones $latex S_n$ que consta de todas las funciones que permutan $latex n$ elementos y su operación es la composición de estas funciones, por ejemplo si hacemos actuar a este grupo en el conjunto $latex X=[ 1,2,3 ]$ tenemos que hay un $latex \sigma_1\in S_3$ tal que intercambia los dos primeros, hay otro $latex \sigma_2$ que intercambia el primero por el tercero, y hay uno que no hace nada, por ejemplo $latex \sigma_1(X)=[2,1,3]$ y $latex \sigma_2(X)=[3,2,1]$ y $latex \sigma_1\circ \sigma_2(X)=[2,3,1]$ y $latex \sigma_2\circ \sigma_1(X)=[3,1,2]$ , este es un grupo (no abeliano) de $latex n!$ elementos , en este ejemplo tiene 6 elementos, toma en cuenta que consta de funciones y hay varios subgrupos de estos, que miden simetria, por ejemplo el grupo de las rotaciones de un cuadrado, donde no se vale por ejemplo intercambiar solo 2 vertices ya que "romperias el cuadrado" , o simplemente las rotaciones de un icosaedro, o un simplejo en dimensión 4, et cétera, hay otro tipo de grupos que alguna vez expuse aquí que se llama grupo de trenzas que tiene que ver con teoría de nudos, lo puedes explorar aquí en mi blog.
Campos
Un campo es sólo una estructura que consta de un conjunto y que contiene dos operaciones cerradas en el conjunto relacionadas con la ley distributiva donde el conjunto con cada operación por sí misma forma un grupo abeliano (por ejemplo $latex (\mathbb R ,+ , \times)$ o $latex (\mathbb {F}_q,+,\times)$ pero no $latex (\mathbb{Z},+,\times)$ ya que los enteros con la multiplicación sólo tienen al 1 y -1 con inverso, los demás no por lo que no forma grupo abeliano con $latex \times$), hay campos más interesantes, por ejemplo todos los cocientes de polinomios en una variable $latex x$ sobre un campo $latex \mathbb K$ se le denota como $latex \mathbb K (x)$ donde un elemento de ahí puede ser $latex \frac{x^2-x}{x^3-x^2+1}$ estos campos de funciones polinomiales son interesantes cuando los haces en más variables y los elementos cumplen estar definidos sobre una superficie o una curva, y limitas que los denominadores de las funciones polinomiales no se anulen en algún punto de la curva (podrás encontrar un campo diferente para cada punto, eso le da una estructura muy rica a una curva algebraicamente), todo esto sigue conservando la estructura de campo y se puede estudiar la superficie/curva desde ciertas propiedades de este campo sin acudir ya a la geometría.
Anillos y dominios enteros
Un Anillo es como un campo pero a la operación multiplicativa no le pides que tenga inversos, por ejemplo las matrices cuadradas sin pedir condiciones al determinante forman un anillo de hecho forman un grupo con la adición, los polinomios también son un anillo conmutativo, et cétera.
Un anillo $latex R$ se dice que es un dominio entero si $latex \forall a,b\in R\setminus \lbrace 0 \rbrace$ se tiene que $latex a\cdot b \neq 0$
Por ejemplo $latex Mat_2\mathbb Z$ no es un dominio entero ya que $latex \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.
También tenemos que los polinomios con coeficientes en un campo si son un dominio entero, ya que no hay dos polinomios no nulos que al multiplicarse te den 0
Otro no-ejemplo son los enteros módulo un número NO-primo, por ejemplo $latex (\mathbb Z/(10),+,\cdot)$ donde la suma y multiplicación es la usual módulo 10 (esto es de manera intuitiva que $latex a\cdot b = c$ donde $latex c$ es el residuo de la división $latex \frac{a\cdot b}{10}$, esta estructura es un anillo pero no es un dominio ya que por ejemplo $latex 5\cdot 2 \equiv 0 \bmod 10$ pero si lo hicieramos con un número primo $latex (\mathbb Z/(p),+,\cdot)$ por la naturaleza de $latex p$ no vas a encontrar dos números que multiplicados te den $latex p$ entonces no existirán "residuos 0" al multiplicar dos números y dividir entre $latex p$ , pero bueno de hecho esto ya es más que un anillo, es un campo finito, todos son invertibles, lo puedes demostrar si tienes ganas.
Un grupo $latex G$ se dice que es libre de torsión si al iterar $latex n$ veces su operación con cualquier elemento $latex g\in G\setminus \lbrace e\rbrace$ no te da nunca el neutro de la operación $latex e\in G$ para todo $latex n\in \mathbb N$ , es decir, un grupo $latex G$ es libre de torsión si el elemento neutro es el único elemento de orden finito
Torsión en grupos
Por ejemplo TODOS los grupos finitos NO son libres de torsión, ya que iterar en un $latex g\in G$ te da elementos de un subgrupo generado por $latex g$ denotado por $latex (g)$ y su cardinalidad divide la cardinalidad de $latex G$ entonces $latex e\in (g)$ incluye a $latex e\in G$ por lo que todos los elementos tienen torsión.
Con esto ya excluimos TODA una familia de grupos de la conjetura de Kaplansky, ya que pedimos que sea infinito y sin torsión, por lo que todos los campos de característica p (que también son grupos) también quedan excluidos, y aquí es donde vamos viendo que todo se dificulta ya que los grupos a tratar deben ser más complicados, un grupo aburrido libre de torsión pues son los enteros $latex (\mathbb{Z},+)$ donde sumar nunca da 0 , las matrices tienen torsión ya que hay matrices que al elevarlas a la $latex n$ se anulan por ejemplo las matrices de 2x2 con coeficientes en el campo finito $latex \mathbb Z/(2)$ con la multiplicación tenemos que $latex \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ es la matriz identidad , por lo que ese elemento tiene orden 2
Conjetura de Kaplansky
La conjetura propone construir un anillo dado un campo y un grupo y estudiar si es o no un dominio entero
Construcción de un anillo asociado a un grupo $latex G$ y un campo $latex \mathbb K$
Lo que haremos es construir un anillo desde un grupo denotado como $latex \mathbb{K}[G]$, es decir, tendremos que construir una suma y una multiplicación que cumpla todos los axiomas.
Grupos generados desde cualquier conjunto (Grupo libre abeliano)
Ya estamos casi listos con las definiciones aposteriori con los ejemplos, vamos a construir un grupo dado un conjunto cualquiera, imaginen que tenemos el conjunto $latex A=\lbrace \alpha,\beta,\gamma\rbrace$, si nos preguntaran cómo podríamos construir un $latex \mathbb K$ espacio vectorial $latex V$ con el conjunto $latex A$ lo más adecuado es tomar las todas las combinaciones de sumas formales $latex k_1\alpha + k_2 \beta + k_3 \gamma$ $latex \forall k_i\in \mathbb K$, podemos generalizar esto apra cualquier conjunto de distinta cardinalidad, incluso infinita bajo ciertas condiciones (como por ejemplo que sólo un número finito de $latex k_i$ sean distintas de cero) y vamos a hacer más compacta la notación y a los elementos del campo vamos a ponerles un índice que nos indicará a qué elemento del conjunto está multiplicando, entonces:
$latex \sum k_\alpha \alpha \in V$ donde $latex \alpha \in A$ y $latex k_\alpha \in \mathbb K$
La adición está definida de manera natural como
$latex (\sum k_\alpha\cdot\alpha)+(\sum c_\alpha \cdot \alpha)=\sum (k_\alpha+c_\alpha)\cdot \alpha$
También tenemos la multiplicación por un escalar, por ejemplo si tomamos un $latex a\in \mathbb K$
$latex a(\sum k_\alpha \alpha)= \sum (a k_\alpha)\cdot \alpha$
Es decir, es la usual la suma coordenada a coordenada en el espacio vectorial $latex V$, y la multiplicación por escalar, pero nosotros somos más ambiciosos y queremos darle una estructura de álgebra para poder multiplicar los vectores,
Tenemos que observar que $latex A\subset V$ ya que si nos tomamos un $latex \gamma \in A$ tenemos que:
$latex V\ni \gamma^{*} = \sum k_\alpha \alpha$ donde $latex k_\gamma = 1$ y $latex k_\alpha = 0$ $latex \forall \alpha \neq \gamma$ por lo que $latex A$ es base de $latex V$ .
La multiplicación primera que se viene a la mente es una que es muy mediocre (al menos a mi se me ocurrió así) que es como la suma.. coordenada a coordenada pero eso no le da nada de estructura, pero bueno, ¿por qué no se puede ocurrir otra? , pues porque el conjunto $latex A$ no tiene nada de estructura..., no hay por donde podamos jugar.
Pero qué sucedería si le metemos estructura a $latex A$ y le pedimos que sea un grupo.
Anillo de grupo asociado a un campo $latex \mathbb K$ y un grupo $latex G$
Este lo denotaremos por $latex \mathbb{K}[G]$ y la suma está definida de la misma manera que con $latex A$ , pero lo que nos importa ahora es la es la multiplicación y explotando la operación en $latex G$ podemos definir lo siguiente:
Sean $latex \alpha.\beta \in G$ y $latex k_\alpha,k_\beta \in \mathbb K$ entonces definimos la multiplicación $latex \odot$ en $latex \mathbb{K}[G]$ como:
$latex (\sum_{\alpha \in G} k_\alpha\cdot\alpha)\odot (\sum_{\beta \in G} k_\beta \cdot \beta)=\sum_{\alpha,\beta \in G} (k_\alpha k_\beta)\cdot \alpha\beta =\sum_{\gamma\in G} k_\gamma \cdot \gamma$
Aquí tenemos que $latex \gamma = \alpha\beta\in G$ por lo que $latex \alpha=\gamma\beta^{-1}$
entonces para poder definir la multiplicación de manera directa.
tenemos que:
$latex k_\gamma$ es la suma de todos los productos $latex k_\alpha k_\beta$ tal que $latex \gamma=\alpha \beta$.
por lo que el coeficiente que le toca a $latex \gamma$ que es $latex k_\gamma$ está dado por:
$latex k_\gamma=\sum_{\alpha\beta=\gamma} k_\alpha k_\beta=\sum_{\alpha \in G} k_\alpha k_{\alpha^{-1}\gamma}$
La pregunta es, si suponemos que $latex \alpha,\beta \mathbb{K}[G]^{*}$ podría suceder que $latex \alpha\odot\beta=0$ , para cualquier campo $latex \mathbb{K}$ cuando $latex G$ es un grupo libre de torsión... no se sabe... hay algunos avances para ciertos $latex G$ y cuando $latex \mathbb{K}=\mathbb{C}$ , yo en particular estoy tratando de demostrar esto para un caso muy en particular.
Espero les haya gustado.
Eduardo Ruiz Duarte
twitter: @toorandom
La conjetura dice lo siguiente:
Conjetura: (Kaplansky)
Sea $latex \mathbb K$ un campo y $latex G$ un grupo libre de torsión, entonces el anillo de grupo $latex \mathbb{K}[G]$ no tiene divisores de $latex 0$ es decir es un dominio
Para entender este enunciado vamos a definir todo y construir $latex \mathbb{K}[G]$
Vamos a recordar todos los conceptos necesarios de esta conjetura a través de ejemplos no tan triviales de cada uno de los conceptos para poder adquirir intuición en la conjetura.
Grupos, anillos, campos, torsión a través de ejemplos
Grupos (no abelianos son los interesantes)
Un grupo $latex (G, \cdot)$ es un conjunto con una operacion binaria que cumple
a) Existe un $latex e\in G$ tal que $latex \forall g\in G$ tenemos que $latex g\cdot e=e\cdot g = g$ (hay neutro)
b) Si $latex g\in G$ entonces $latex \exists h$ tal que $latex h\cdot g =g\cdot h=e$ (todos son invertibles)
c) Si $latex g_1,g_2\in G$ entonces $latex g_1\cdot g_2 \in G$ (es cerrado)
d) Si $latex g_1,g_2,g_3\in G$ entonces $latex (g_1\cdot g_2)\cdot g_3=g_1\cdot (g_2\cdot g_3)$ (es asociativo)
e)* si sucede que $latex \forall g_1,g_2 \in G$ tenemos que $latex g_1\cdot g_2=g_2\cdot g_1$ (es conmutativo) decimos que $latex G$ es un grupo abeliano
Ejemplos:
No-Ejemplo:
Las matrices con la multiplicación no forman un grupo ya que hay algunas que tienen determinante 0 y no son invertibles, por lo que no se cumple la propiedad b
$latex (Mat_{n}\mathbb R,\cdot)$
Ejemplo $latex SL_2(\mathbb C$
Las matrices sobre un campo, por ejemplo $latex \mathbb C$ de nxn cuyo determinante es 1 se les denota como $latex SL_n\mathbb C$ , es claro que es un grupo con la multiplicación de matrices ya que todos son invertibles, este se llama grupo especial lineal, y es "especial" porque es de hecho un subgrupo normal de otro mas grande que se llama $latex GL_n\mathbb C$ que es el grupo general lineal que consta de todas las matrices invertibles, es fácil mostrar que un subgrupo normal para los que saben un poco más de teoría de grupos , sabemos que el kernel de un morfismo de grupos es siempre un subgrupo normal y en este caso el operador de determinante induce un homomorfismo de grupos, en este caso $latex det:GL_n\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}^{\times}$ donde $latex \mathbb{C}^\times$ es el grupo multiplicativo de los complejos sin el 0, entonces, $latex Ker(det)=\lbrace A\in GL_n\mathbb C\mid det(A)=1\rbrace=SL_n\mathbb C$, de hecho si te gusta la geometría diferencial hay más en este grupo que ya me extendí mucho en el ejemplo pero tenemos que existe un álgebra de Lie (haces nacer un espacio vectorial donde se pueden multiplicar vectores junto con una operación especial llamada corchete de Lie ) de $latex SL_n\mathbb C$ que es $latex \mathfrak{sl}_n\mathbb C =\lbrace A\in SL_n\mathbb C \mid Tr(A)=0\rbrace$ donde el corchete de Lie es la multiplicación de estos elementos dado por $latex [g,h]=g^{-1}h^{-1}gh$
La teoría en este grupo es hermosa y es favorita de muchos ultra-ingenieros (teoría de control) y de muchos físicos ya que tiene un entendimiento muy profundo, el hecho de que todos tengan determinante 1, y el determinante representar un polinomio con entradas en la matriz te dice que de hecho los elementos pertenecen a una variedad que se sumerge en un espacio y tiene cierta topología y se le da una interpretación a este grupo como el que preserva volúmenes y orientación con transformaciones de $latex \mathbb{C}^n$ (puedes usar $latex \mathbb R$) donde el determinante mide el cambio en volumen y orientación.
Otro grupos con funciones $latex S_n$
Otros ejemplos de grupos más aburridos pueden ser los números reales con la suma usual, o los reales sin el 0 con la multiplicación , estos son abelianos, otros más divertidos no conmutativos son las permutaciones $latex S_n$ que consta de todas las funciones que permutan $latex n$ elementos y su operación es la composición de estas funciones, por ejemplo si hacemos actuar a este grupo en el conjunto $latex X=[ 1,2,3 ]$ tenemos que hay un $latex \sigma_1\in S_3$ tal que intercambia los dos primeros, hay otro $latex \sigma_2$ que intercambia el primero por el tercero, y hay uno que no hace nada, por ejemplo $latex \sigma_1(X)=[2,1,3]$ y $latex \sigma_2(X)=[3,2,1]$ y $latex \sigma_1\circ \sigma_2(X)=[2,3,1]$ y $latex \sigma_2\circ \sigma_1(X)=[3,1,2]$ , este es un grupo (no abeliano) de $latex n!$ elementos , en este ejemplo tiene 6 elementos, toma en cuenta que consta de funciones y hay varios subgrupos de estos, que miden simetria, por ejemplo el grupo de las rotaciones de un cuadrado, donde no se vale por ejemplo intercambiar solo 2 vertices ya que "romperias el cuadrado" , o simplemente las rotaciones de un icosaedro, o un simplejo en dimensión 4, et cétera, hay otro tipo de grupos que alguna vez expuse aquí que se llama grupo de trenzas que tiene que ver con teoría de nudos, lo puedes explorar aquí en mi blog.
Campos
Un campo es sólo una estructura que consta de un conjunto y que contiene dos operaciones cerradas en el conjunto relacionadas con la ley distributiva donde el conjunto con cada operación por sí misma forma un grupo abeliano (por ejemplo $latex (\mathbb R ,+ , \times)$ o $latex (\mathbb {F}_q,+,\times)$ pero no $latex (\mathbb{Z},+,\times)$ ya que los enteros con la multiplicación sólo tienen al 1 y -1 con inverso, los demás no por lo que no forma grupo abeliano con $latex \times$), hay campos más interesantes, por ejemplo todos los cocientes de polinomios en una variable $latex x$ sobre un campo $latex \mathbb K$ se le denota como $latex \mathbb K (x)$ donde un elemento de ahí puede ser $latex \frac{x^2-x}{x^3-x^2+1}$ estos campos de funciones polinomiales son interesantes cuando los haces en más variables y los elementos cumplen estar definidos sobre una superficie o una curva, y limitas que los denominadores de las funciones polinomiales no se anulen en algún punto de la curva (podrás encontrar un campo diferente para cada punto, eso le da una estructura muy rica a una curva algebraicamente), todo esto sigue conservando la estructura de campo y se puede estudiar la superficie/curva desde ciertas propiedades de este campo sin acudir ya a la geometría.
Anillos y dominios enteros
Un Anillo es como un campo pero a la operación multiplicativa no le pides que tenga inversos, por ejemplo las matrices cuadradas sin pedir condiciones al determinante forman un anillo de hecho forman un grupo con la adición, los polinomios también son un anillo conmutativo, et cétera.
Un anillo $latex R$ se dice que es un dominio entero si $latex \forall a,b\in R\setminus \lbrace 0 \rbrace$ se tiene que $latex a\cdot b \neq 0$
Por ejemplo $latex Mat_2\mathbb Z$ no es un dominio entero ya que $latex \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.
También tenemos que los polinomios con coeficientes en un campo si son un dominio entero, ya que no hay dos polinomios no nulos que al multiplicarse te den 0
Otro no-ejemplo son los enteros módulo un número NO-primo, por ejemplo $latex (\mathbb Z/(10),+,\cdot)$ donde la suma y multiplicación es la usual módulo 10 (esto es de manera intuitiva que $latex a\cdot b = c$ donde $latex c$ es el residuo de la división $latex \frac{a\cdot b}{10}$, esta estructura es un anillo pero no es un dominio ya que por ejemplo $latex 5\cdot 2 \equiv 0 \bmod 10$ pero si lo hicieramos con un número primo $latex (\mathbb Z/(p),+,\cdot)$ por la naturaleza de $latex p$ no vas a encontrar dos números que multiplicados te den $latex p$ entonces no existirán "residuos 0" al multiplicar dos números y dividir entre $latex p$ , pero bueno de hecho esto ya es más que un anillo, es un campo finito, todos son invertibles, lo puedes demostrar si tienes ganas.
Un grupo $latex G$ se dice que es libre de torsión si al iterar $latex n$ veces su operación con cualquier elemento $latex g\in G\setminus \lbrace e\rbrace$ no te da nunca el neutro de la operación $latex e\in G$ para todo $latex n\in \mathbb N$ , es decir, un grupo $latex G$ es libre de torsión si el elemento neutro es el único elemento de orden finito
Torsión en grupos
Por ejemplo TODOS los grupos finitos NO son libres de torsión, ya que iterar en un $latex g\in G$ te da elementos de un subgrupo generado por $latex g$ denotado por $latex (g)$ y su cardinalidad divide la cardinalidad de $latex G$ entonces $latex e\in (g)$ incluye a $latex e\in G$ por lo que todos los elementos tienen torsión.
Con esto ya excluimos TODA una familia de grupos de la conjetura de Kaplansky, ya que pedimos que sea infinito y sin torsión, por lo que todos los campos de característica p (que también son grupos) también quedan excluidos, y aquí es donde vamos viendo que todo se dificulta ya que los grupos a tratar deben ser más complicados, un grupo aburrido libre de torsión pues son los enteros $latex (\mathbb{Z},+)$ donde sumar nunca da 0 , las matrices tienen torsión ya que hay matrices que al elevarlas a la $latex n$ se anulan por ejemplo las matrices de 2x2 con coeficientes en el campo finito $latex \mathbb Z/(2)$ con la multiplicación tenemos que $latex \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ es la matriz identidad , por lo que ese elemento tiene orden 2
Conjetura de Kaplansky
La conjetura propone construir un anillo dado un campo y un grupo y estudiar si es o no un dominio entero
Construcción de un anillo asociado a un grupo $latex G$ y un campo $latex \mathbb K$
Lo que haremos es construir un anillo desde un grupo denotado como $latex \mathbb{K}[G]$, es decir, tendremos que construir una suma y una multiplicación que cumpla todos los axiomas.
Grupos generados desde cualquier conjunto (Grupo libre abeliano)
Ya estamos casi listos con las definiciones aposteriori con los ejemplos, vamos a construir un grupo dado un conjunto cualquiera, imaginen que tenemos el conjunto $latex A=\lbrace \alpha,\beta,\gamma\rbrace$, si nos preguntaran cómo podríamos construir un $latex \mathbb K$ espacio vectorial $latex V$ con el conjunto $latex A$ lo más adecuado es tomar las todas las combinaciones de sumas formales $latex k_1\alpha + k_2 \beta + k_3 \gamma$ $latex \forall k_i\in \mathbb K$, podemos generalizar esto apra cualquier conjunto de distinta cardinalidad, incluso infinita bajo ciertas condiciones (como por ejemplo que sólo un número finito de $latex k_i$ sean distintas de cero) y vamos a hacer más compacta la notación y a los elementos del campo vamos a ponerles un índice que nos indicará a qué elemento del conjunto está multiplicando, entonces:
$latex \sum k_\alpha \alpha \in V$ donde $latex \alpha \in A$ y $latex k_\alpha \in \mathbb K$
La adición está definida de manera natural como
$latex (\sum k_\alpha\cdot\alpha)+(\sum c_\alpha \cdot \alpha)=\sum (k_\alpha+c_\alpha)\cdot \alpha$
También tenemos la multiplicación por un escalar, por ejemplo si tomamos un $latex a\in \mathbb K$
$latex a(\sum k_\alpha \alpha)= \sum (a k_\alpha)\cdot \alpha$
Es decir, es la usual la suma coordenada a coordenada en el espacio vectorial $latex V$, y la multiplicación por escalar, pero nosotros somos más ambiciosos y queremos darle una estructura de álgebra para poder multiplicar los vectores,
Tenemos que observar que $latex A\subset V$ ya que si nos tomamos un $latex \gamma \in A$ tenemos que:
$latex V\ni \gamma^{*} = \sum k_\alpha \alpha$ donde $latex k_\gamma = 1$ y $latex k_\alpha = 0$ $latex \forall \alpha \neq \gamma$ por lo que $latex A$ es base de $latex V$ .
La multiplicación primera que se viene a la mente es una que es muy mediocre (al menos a mi se me ocurrió así) que es como la suma.. coordenada a coordenada pero eso no le da nada de estructura, pero bueno, ¿por qué no se puede ocurrir otra? , pues porque el conjunto $latex A$ no tiene nada de estructura..., no hay por donde podamos jugar.
Pero qué sucedería si le metemos estructura a $latex A$ y le pedimos que sea un grupo.
Anillo de grupo asociado a un campo $latex \mathbb K$ y un grupo $latex G$
Este lo denotaremos por $latex \mathbb{K}[G]$ y la suma está definida de la misma manera que con $latex A$ , pero lo que nos importa ahora es la es la multiplicación y explotando la operación en $latex G$ podemos definir lo siguiente:
Sean $latex \alpha.\beta \in G$ y $latex k_\alpha,k_\beta \in \mathbb K$ entonces definimos la multiplicación $latex \odot$ en $latex \mathbb{K}[G]$ como:
$latex (\sum_{\alpha \in G} k_\alpha\cdot\alpha)\odot (\sum_{\beta \in G} k_\beta \cdot \beta)=\sum_{\alpha,\beta \in G} (k_\alpha k_\beta)\cdot \alpha\beta =\sum_{\gamma\in G} k_\gamma \cdot \gamma$
Aquí tenemos que $latex \gamma = \alpha\beta\in G$ por lo que $latex \alpha=\gamma\beta^{-1}$
entonces para poder definir la multiplicación de manera directa.
tenemos que:
$latex k_\gamma$ es la suma de todos los productos $latex k_\alpha k_\beta$ tal que $latex \gamma=\alpha \beta$.
por lo que el coeficiente que le toca a $latex \gamma$ que es $latex k_\gamma$ está dado por:
$latex k_\gamma=\sum_{\alpha\beta=\gamma} k_\alpha k_\beta=\sum_{\alpha \in G} k_\alpha k_{\alpha^{-1}\gamma}$
La pregunta es, si suponemos que $latex \alpha,\beta \mathbb{K}[G]^{*}$ podría suceder que $latex \alpha\odot\beta=0$ , para cualquier campo $latex \mathbb{K}$ cuando $latex G$ es un grupo libre de torsión... no se sabe... hay algunos avances para ciertos $latex G$ y cuando $latex \mathbb{K}=\mathbb{C}$ , yo en particular estoy tratando de demostrar esto para un caso muy en particular.
Espero les haya gustado.
Eduardo Ruiz Duarte
twitter: @toorandom
Tuesday, July 21, 2015
Función zeta de Riemann y probabilidad de que dos enteros sean primos relativos
Otra motivación es que como siempre tengo problemas para dormir posiblemente por las grandes cantidades de café que introduzco a mi cuerpo, pero empecemos.
Deduciremos una probabilidad que involucra a $latex \pi$ e involucra a números primos que está íntimamente relacionado con el problema del milenio sin solución gracias a Riemann (Conjetura de Riemann sobre la función $latex \zeta$ que puedes ver aquí)
La pregunta es realmente, ¿cuál es la probabilidad de que dos enteros positivos menores que cierto $latex N$ sean primos relativos (no tengan factores en común más que 1)?
Por ejemplo, $latex (6,33)$ no son primos relativos porque $latex 6=3\cdot 2$ y $latex 33=11\cdot 3$ (comparten al $latex 3$)
pero por ejemplo $latex (14,15)$ son primos relativos porque no comparten factores no triviales y $latex (c,p)$ donde $latex c$ es cualquier entero y $latex p$ es un número primo.
Esta demostración me gusta mucho, aquí la tienen, vamos a calcular esta probabilidad de obtener dos números primos relativos al azar
Construcción:
Sean $latex x,y\in \mathbb{N}$ con $latex x,y>1$, como queremos que $latex x,y$ sean coprimos no deben tener ningún factor en común.
Empecemos facilito.
¿Cuál es la probabilidad de dos enteros positivos tengan al 2 como factor?
Bueno, la probabilidad de que un sólo número tenga al $latex 2$ como factor es $latex 1/2$ ya que basta que sea par, y esto sucede el 50% de las veces, esto implica que la probabilidad de que los dos tengan al $latex 2$ como factor es $latex (1/2)^2$
Bueno, la probabilidad de que un sólo número tenga al $latex 2$ como factor es $latex 1/2$ ya que basta que sea par, y esto sucede el 50% de las veces, esto implica que la probabilidad de que los dos tengan al $latex 2$ como factor es $latex (1/2)^2$
Entonces la probabilidad de que $latex \alpha,\beta$ NO tengan al 2 como factor es $latex 1-\Big({\frac{1}{2}}\Big)^2}$
Ahora para el 3, la probabilidad de manera similar de que no contengan en común al 3 es de $latex 1-\Big({\frac{1}{3}}\Big)^2}$
Ya que igualmente, "cada 3 números tienes un múltiplo de 3" , y así en general para todo primo $latex p$ tenemos.
Ahora para el 3, la probabilidad de manera similar de que no contengan en común al 3 es de $latex 1-\Big({\frac{1}{3}}\Big)^2}$
Ya que igualmente, "cada 3 números tienes un múltiplo de 3" , y así en general para todo primo $latex p$ tenemos.
Para cada $latex p$ tenemos que cada $latex p$ números pasarás por un múltiplo de $latex p$ a eso nos referimos con la probabilidad de que nos toque a $latex p$ como factor es $latex \frac{1}{p}$
Por lo tanto la probabilidad $latex P_{\alpha,\beta}$ de que dos enteros al azar $latex \alpha,\beta \in \mathbb{N}$ menores que cierto $latex N$ sean primos relativos es:
$latex P_{\alpha,\beta}=\displaystyle \prod_{p\in \mathbb{P}}{1-\frac{1}{p^2}}} =(1-\frac{1}{2^2})\cdot (1-\frac{1}{3^2})\cdot (1-\frac{1}{5^2})\cdot ...\cdot(1-\frac{1}{{p_n}^2})\cdot ...$ ***
Donde $latex p_n\in\mathbb{P}$, la probabilidad se obtiene cuando multiplicas para todo número primo es decir cuando $latex n\rightarrow \infty$.
Donde $latex \mathbb{P}$ son todos los números primos, los multiplicamos todos ya que son sucesos probabilisticamente independientes.
Es decir, recuerda que la probabilidad de que sucedan dos eventos independientes $latex A$ y $latex B$ al mismo tiempo es en símbolos $latex P(A \wedge B)=P(A)\cdot P(B)$, con independientes me refiero a que el evento $latex A$ no tenga cierta relación con el evento $latex B$, y ¿por qué tener factores primos para cada primo son eventos independientes ? , fácil... porque los números SON primos, ya que si no lo fueran, digamos la probabilidad de tener a $latex 6$ como factor es dependiente de tener a $latex 2$ y $latex 3$ como factor, pero como aquí son números primos, todos son disjuntos con respecto a la medida de probabilidad que mide tener factores primos y por definición los primos son únicos en este sentido.
Pero esto ¿qué? , esta fórmula es medio rara... y no nos dice nada...
Vamos a desarrollar eso para llegar a un resultado sorprendente, primero hay que recordar esta serie de cálculo que tiene que ver con sumas en progresiones geométricas , toma $latex a\in \mathbb{R}$ con $latex \mid a \mid$ < $latex 1$
$latex \sum_{n=0}^{\infty} a^n = 1+a+a^2+... = \frac{1}{1-a}$ **
Por ejemplo si $latex a=1/7$
$latex \sum_{n=0}^{\infty}\Big (\frac{1}{7}\Big)^n=1+\frac{1}{7}+\frac{1}{7^2}+...=\frac{1}{1-\frac{1}{7}}=\frac{7}{6}\approx 1.1666$
De la fórmula ** mete $latex a=(1/2)^2$, y después voltea la fracción, es decir pon el denominador arriba y el numerador abajo, (esto podemos hacer porque ningún denominador es 0)
Entonces tenemos que el primer término de *** a lo podemos expandir con la fórmula ** (volteada) como:
$latex 1-\frac{1}{2^2}} = \frac{1}{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+...\frac{1}{2^{2k}}+...}$
Similarmente podemos desarrollar todos los términos de $latex P_{\alpha,\beta}$
$latex P_{\alpha,\beta}=(\frac{1}{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+...\frac{1}{2^{2k}}+...})\cdot(\frac{1}{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^4}+...\frac{1}{3^{2k}}+...})\cdot ...$
Observa cuidadosamente la ecuación anterior y fíjate que en los denominadores de los denominadores, están todos los posibles cuadrados perfectos de todos los números naturales, en todas sus combinaciones y sabores cuando $latex k\rightarrow \infty$ tenemos TODOS los cuadrados perfectos, por lo que esa suma horrible es lo mismo que la siguiente representacion
$latex P_{\alpha,\beta}=\frac{1}{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^2}}=\frac{1}{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}+...}$, es bien sabido que esta serie en el denominador $latex \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$
Es sabido el resultado de esta serie si juegas con la expansión en series de $latex \frac{sen(x)}{x}$
o como el problema de Basilea
Por lo tanto, sabiendo esto, llegamos a este hermoso resultado en teoría analítica de números.
Teorema:
Sean $latex \alpha,\beta \in \mathbb{N}$ donde $latex \alpha,\beta$ < $latex N$, entonces la probabilidad de que $latex \alpha$ y $latex \beta$ NO tengan factores en común (sean primos relativos) es: $latex P_{\alpha,\beta}=\frac{6}{\pi^2}\approx 0.6079...$
De hecho, es equivalente esto a la función $latex \zeta$ de Riemann evaluada en $latex 2$ , y la fómula *** que encontramos es justamente la representación con números primos de la función zeta de Riemann por Euler, pueden verlo aquí así como como la función zeta de Riemann en 2 $latex \zeta(2)$, esta función es de las más importantes en matemáticas ya que se ha buscado generalizar a muchos espacios, teoría de curvas, et cétera donde ya tiene solución, pero no en los complejos, la cual llevaría a conocer mejor la distribución de los números primos, si la resuelves te darán 1 millón de dólares, esta función es $latex \zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$ y necesitas demostrar que $latex \zeta(s) =0$ siempre que $latex s=\frac{1}{2}+it$ con $latex t\in \mathbb{R}$ , eso traerá consecuencias muy imporantes en teoría de números y distribución de primos, criptografía, et cétera, esto es sólo una probadita
También con WolframAlpha pueden ver el valor de la función zeta de Riemann en 2 y en el valor que quieran: aquí
Espero les haya gustado
Eduardo Ruíz Duarte
twitter @toorandom
Por lo tanto la probabilidad $latex P_{\alpha,\beta}$ de que dos enteros al azar $latex \alpha,\beta \in \mathbb{N}$ menores que cierto $latex N$ sean primos relativos es:
$latex P_{\alpha,\beta}=\displaystyle \prod_{p\in \mathbb{P}}{1-\frac{1}{p^2}}} =(1-\frac{1}{2^2})\cdot (1-\frac{1}{3^2})\cdot (1-\frac{1}{5^2})\cdot ...\cdot(1-\frac{1}{{p_n}^2})\cdot ...$ ***
Donde $latex p_n\in\mathbb{P}$, la probabilidad se obtiene cuando multiplicas para todo número primo es decir cuando $latex n\rightarrow \infty$.
Donde $latex \mathbb{P}$ son todos los números primos, los multiplicamos todos ya que son sucesos probabilisticamente independientes.
Es decir, recuerda que la probabilidad de que sucedan dos eventos independientes $latex A$ y $latex B$ al mismo tiempo es en símbolos $latex P(A \wedge B)=P(A)\cdot P(B)$, con independientes me refiero a que el evento $latex A$ no tenga cierta relación con el evento $latex B$, y ¿por qué tener factores primos para cada primo son eventos independientes ? , fácil... porque los números SON primos, ya que si no lo fueran, digamos la probabilidad de tener a $latex 6$ como factor es dependiente de tener a $latex 2$ y $latex 3$ como factor, pero como aquí son números primos, todos son disjuntos con respecto a la medida de probabilidad que mide tener factores primos y por definición los primos son únicos en este sentido.
Pero esto ¿qué? , esta fórmula es medio rara... y no nos dice nada...
Vamos a desarrollar eso para llegar a un resultado sorprendente, primero hay que recordar esta serie de cálculo que tiene que ver con sumas en progresiones geométricas , toma $latex a\in \mathbb{R}$ con $latex \mid a \mid$ < $latex 1$
$latex \sum_{n=0}^{\infty} a^n = 1+a+a^2+... = \frac{1}{1-a}$ **
Por ejemplo si $latex a=1/7$
$latex \sum_{n=0}^{\infty}\Big (\frac{1}{7}\Big)^n=1+\frac{1}{7}+\frac{1}{7^2}+...=\frac{1}{1-\frac{1}{7}}=\frac{7}{6}\approx 1.1666$
De la fórmula ** mete $latex a=(1/2)^2$, y después voltea la fracción, es decir pon el denominador arriba y el numerador abajo, (esto podemos hacer porque ningún denominador es 0)
Entonces tenemos que el primer término de *** a lo podemos expandir con la fórmula ** (volteada) como:
$latex 1-\frac{1}{2^2}} = \frac{1}{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+...\frac{1}{2^{2k}}+...}$
Similarmente podemos desarrollar todos los términos de $latex P_{\alpha,\beta}$
$latex P_{\alpha,\beta}=(\frac{1}{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+...\frac{1}{2^{2k}}+...})\cdot(\frac{1}{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^4}+...\frac{1}{3^{2k}}+...})\cdot ...$
Observa cuidadosamente la ecuación anterior y fíjate que en los denominadores de los denominadores, están todos los posibles cuadrados perfectos de todos los números naturales, en todas sus combinaciones y sabores cuando $latex k\rightarrow \infty$ tenemos TODOS los cuadrados perfectos, por lo que esa suma horrible es lo mismo que la siguiente representacion
$latex P_{\alpha,\beta}=\frac{1}{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^2}}=\frac{1}{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}+...}$, es bien sabido que esta serie en el denominador $latex \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$
Es sabido el resultado de esta serie si juegas con la expansión en series de $latex \frac{sen(x)}{x}$
o como el problema de Basilea
Por lo tanto, sabiendo esto, llegamos a este hermoso resultado en teoría analítica de números.
Teorema:
Sean $latex \alpha,\beta \in \mathbb{N}$ donde $latex \alpha,\beta$ < $latex N$, entonces la probabilidad de que $latex \alpha$ y $latex \beta$ NO tengan factores en común (sean primos relativos) es: $latex P_{\alpha,\beta}=\frac{6}{\pi^2}\approx 0.6079...$
De hecho, es equivalente esto a la función $latex \zeta$ de Riemann evaluada en $latex 2$ , y la fómula *** que encontramos es justamente la representación con números primos de la función zeta de Riemann por Euler, pueden verlo aquí así como como la función zeta de Riemann en 2 $latex \zeta(2)$, esta función es de las más importantes en matemáticas ya que se ha buscado generalizar a muchos espacios, teoría de curvas, et cétera donde ya tiene solución, pero no en los complejos, la cual llevaría a conocer mejor la distribución de los números primos, si la resuelves te darán 1 millón de dólares, esta función es $latex \zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$ y necesitas demostrar que $latex \zeta(s) =0$ siempre que $latex s=\frac{1}{2}+it$ con $latex t\in \mathbb{R}$ , eso traerá consecuencias muy imporantes en teoría de números y distribución de primos, criptografía, et cétera, esto es sólo una probadita
También con WolframAlpha pueden ver el valor de la función zeta de Riemann en 2 y en el valor que quieran: aquí
Espero les haya gustado
Eduardo Ruíz Duarte
twitter @toorandom
Tuesday, June 02, 2015
Sobre Campo de funciones de superficie de Kummer de una curva de género 2
Estoy estudiando un campo de funciones especial para mi investigación que es un subcampo del campo de funciones de la superficie de Kummer de la jacobiana de una curva hiperelíptica $latex C$ de género 2 sobre un campo finito $latex \mathbb{F}_q$.
Esto lo escribo meramente para poder saber si yo lo entiendo, pero cualquier duda escríbanme en los comentarios, ya que el tema es muy interesante.
Para poder construir este subcampo primero necesito conocer bien el campo de funciones de la superficie de Kummer asociada a la Jacobiana que realmente es sólamente considerar los puntos de la jacobiana módulo la involución en sus elementos, es decir estamos pegando los puntos opuestos en la Jacobiana, lo que ya no nos permitirá diferenciar $latex P$ de $latex -P$ con $latex P\in \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)}$.
La superficie de Kummer es cuártica en el espacio proyectivo de dimensión 3 $latex \mathbb{P}^3$ que tiene exactamente 16 singularidades nodales (es decir que si ese punto en una superficie en $latex \mathbb{P}^3$ es tal que si lo tomas como el origen de un sistema de coordenadas afín, la ecuación de esa superficie tiene la forma $latex 0=\alpha(x,y,z)+$ términos más grandes en grado con $latex \alpha$ una fórma cuadrática homogénea no degenerada.
Vamos a construir la superficie de Kummer $latex K(C)$ asociada a $latex P\in\mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)}$.
Sea $latex C$ la curva hiperelíptica de género 2 con modelo no singular sobre $latex \mathbb{F}_q$ de característica diferente de 2 dada por
$latex y^2=f(x)=x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$ donde $latex a_i \in \mathbb{F}_q$
donde $latex f$ no tiene raíces múltiples, entonces $latex C$ tiene un sólo punto al $latex \infty$ denotado por $latex P_\infty$ tal que si $latex \iota \in Aut_{\mathbb{F}_q}(C)$ es la involución hiperelíptica dada por el mapeo $latex (x,y)\mapsto (x,-y)$ y $latex \iota(P_\infty)=P_\infty$.
La clase de divisores canónicos $latex [\omega]\in Pic^0(C)\cong \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)}$. en $latex C$ está dada por líneas verticales cortando la curva por lo que $latex 2P_\infty$ junto con estos 5 puntos $latex 2W_i$ donde $latex W_i$ es uno de los 5 puntos de Weierstrass son divisores canónicos.
Tenemos ahora que como grupo abeliano $latex \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)}:= Div^0(C)/Pr(C)$, es decir los divisores de orden 0 (grupo abeliano libre de las sumas formales de puntos cuyos elementos cumplen que la suma de sus coeficientes sobre $latex \mathbb{Z}$ da 0) modulo los divisores principales que están formados por los divisores de orden cero nacidos de la intersección de funciones de la curva cuyos puntos tienen coeficiente el órden de intersección de ésta con la función.)
$latex \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)}$ se obtiene via $latex Sym^2(C)$, es decir es la variedad de pares de puntos no ordenados de $latex C$ (es decir, el producto cartesiano de $latex C$ con sigo misma olvidando el orden), es fácil demostrar que $latex \Phi:Sym^2(C)\rightarrow \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)}$ con $latex \lbrace P,Q\rbrace\mapsto [P+Q-2\infty]$ donde $latex P,Q\in C$ donde la fibra sobre $latex 0\in \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)}$ es $latex \Phi^{-1}(0)=\lbrace \lbrace P,Q \rbrace \in Sym^2(C) \mid P+Q\in [\omega]\rbrace$ y la fibra sobre otro punto es solo otro punto.
Ahora vamos a identificar el campo de funciones de $latex Sym^2(C)$ denotado por $latex \mathbb{F}_q(Sym^2(C))$ que es también el campo de funciones de $latex \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)}$ .
Comenzamos, considera el producto cartesiano de la curva con si misma $latex C\times C$ y entonces metiendo ot
Esto lo hice más para mi, pero pretendo complementar la construcción de esto mediante divisores de Mumford.
ra nueva variable $latex z$ donde $latex z^2=f(z)$ es la misma curva $latex C$ tenemos que :
$latex \mathbb{F}_q(C\times C)=\mathbb{F}_q(x,z,\sqrt{f(x)}, \sqrt{f(z)})$
Por otro lado el campo de funciones de $latex Sym^2(C)$ son las funciones que son invariantes bajo permutacion de variables $latex (x,\sqrt{f(x)}) \leftrightarrow (z,\sqrt{f(z))$ es decir
$latex \mathbb{F}_q(Sym^2(C))$ es el campo fijo de $latex \mathbb{F}_q(C\times C)$ bajo la acción del automorfismo $latex \tau\in Aut(C)$ dado por intercambiar $latex x$ por $latex z$ es decir $latex \tau(x)=z$ y $latex \tau(z)=x$ por lo que tenemos que
$latex \mathbb{F}_q(Sym^2(C))=\mathbb{F}_q(x+z,xz,z\sqrt{f(x)}, x\sqrt{f(z)})$
Puedes demostrar que $latex [\mathbb{F}_q(C\times C):\mathbb{F}_q(Sym^2(C))]=2$
Ahora, el punto base $latex P_\infty$ implica que la involución de divisores $latex \hat \iota(D)=-D\in \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)} $ está inducida por la involución hiperelíptica $latex \iota$, de tal manera que el automorfismo inducido de $latex \mathbb{F}_q(Sym^2(C))$ está dado por el cambio de signo de los radicales, por lo que el automorfismo cambia el signo de $latex x\sqrt{f(z)}+z\sqrt{f(x)}$ y deja a los otros generadores fijos, por lo que el campo fijo es finalmente es el campo de funciones de la superficie de Kummer que queríamos construir partiendo de la construcción de la jacobiana módulo involución:
$latex \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)}/(\hat\iota)=\mathcal{K}(\mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)})=\mathbb{F}_q(x+z,xz,z\sqrt{f(x)}\cdot x\sqrt{f(z)})$
Y este es el campo de funciones de la superficie de Kummer asociada a la Jacobiana de una curva hiperelíptica de Género 2.
Puedes probar Más explícitamente con esto:
Corolario:
Sea $latex f(x)=\prod_{i=1}^5{(x-\alpha_i)}$
entonces $latex f(x)f(u)=\prod_{i=1}^5{(x-\alpha_i)(z-\alpha_i)}=\prod_{i=1}^5{(xz-(x+z)\alpha_i+\{\alpha_i}^2)}=\Delta(x,z)$
Entonces tenemos que la superficie de Kummer de la jacobiana de una curva hiperelíptica de género 2 dada por $latex y^2=f(x)$ tiene como campo de funciones:
$latex \mathbb{F}_q(x,z,t)$ tal que $latex t^2=\Delta(x,z)$
Esto lo hice más para mi, pero pretendo complementar la construcción de esto mediante divisores de Mumford.
Eduardo Ruíz Duarte
twitter @toorandom
Esto lo escribo meramente para poder saber si yo lo entiendo, pero cualquier duda escríbanme en los comentarios, ya que el tema es muy interesante.
Para poder construir este subcampo primero necesito conocer bien el campo de funciones de la superficie de Kummer asociada a la Jacobiana que realmente es sólamente considerar los puntos de la jacobiana módulo la involución en sus elementos, es decir estamos pegando los puntos opuestos en la Jacobiana, lo que ya no nos permitirá diferenciar $latex P$ de $latex -P$ con $latex P\in \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)}$.
La superficie de Kummer es cuártica en el espacio proyectivo de dimensión 3 $latex \mathbb{P}^3$ que tiene exactamente 16 singularidades nodales (es decir que si ese punto en una superficie en $latex \mathbb{P}^3$ es tal que si lo tomas como el origen de un sistema de coordenadas afín, la ecuación de esa superficie tiene la forma $latex 0=\alpha(x,y,z)+$ términos más grandes en grado con $latex \alpha$ una fórma cuadrática homogénea no degenerada.
Vamos a construir la superficie de Kummer $latex K(C)$ asociada a $latex P\in\mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)}$.
Sea $latex C$ la curva hiperelíptica de género 2 con modelo no singular sobre $latex \mathbb{F}_q$ de característica diferente de 2 dada por
$latex y^2=f(x)=x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$ donde $latex a_i \in \mathbb{F}_q$
donde $latex f$ no tiene raíces múltiples, entonces $latex C$ tiene un sólo punto al $latex \infty$ denotado por $latex P_\infty$ tal que si $latex \iota \in Aut_{\mathbb{F}_q}(C)$ es la involución hiperelíptica dada por el mapeo $latex (x,y)\mapsto (x,-y)$ y $latex \iota(P_\infty)=P_\infty$.
La clase de divisores canónicos $latex [\omega]\in Pic^0(C)\cong \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)}$. en $latex C$ está dada por líneas verticales cortando la curva por lo que $latex 2P_\infty$ junto con estos 5 puntos $latex 2W_i$ donde $latex W_i$ es uno de los 5 puntos de Weierstrass son divisores canónicos.
Tenemos ahora que como grupo abeliano $latex \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)}:= Div^0(C)/Pr(C)$, es decir los divisores de orden 0 (grupo abeliano libre de las sumas formales de puntos cuyos elementos cumplen que la suma de sus coeficientes sobre $latex \mathbb{Z}$ da 0) modulo los divisores principales que están formados por los divisores de orden cero nacidos de la intersección de funciones de la curva cuyos puntos tienen coeficiente el órden de intersección de ésta con la función.)
$latex \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)}$ se obtiene via $latex Sym^2(C)$, es decir es la variedad de pares de puntos no ordenados de $latex C$ (es decir, el producto cartesiano de $latex C$ con sigo misma olvidando el orden), es fácil demostrar que $latex \Phi:Sym^2(C)\rightarrow \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)}$ con $latex \lbrace P,Q\rbrace\mapsto [P+Q-2\infty]$ donde $latex P,Q\in C$ donde la fibra sobre $latex 0\in \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)}$ es $latex \Phi^{-1}(0)=\lbrace \lbrace P,Q \rbrace \in Sym^2(C) \mid P+Q\in [\omega]\rbrace$ y la fibra sobre otro punto es solo otro punto.
Ahora vamos a identificar el campo de funciones de $latex Sym^2(C)$ denotado por $latex \mathbb{F}_q(Sym^2(C))$ que es también el campo de funciones de $latex \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)}$ .
Comenzamos, considera el producto cartesiano de la curva con si misma $latex C\times C$ y entonces metiendo ot
Esto lo hice más para mi, pero pretendo complementar la construcción de esto mediante divisores de Mumford.
ra nueva variable $latex z$ donde $latex z^2=f(z)$ es la misma curva $latex C$ tenemos que :
$latex \mathbb{F}_q(C\times C)=\mathbb{F}_q(x,z,\sqrt{f(x)}, \sqrt{f(z)})$
Por otro lado el campo de funciones de $latex Sym^2(C)$ son las funciones que son invariantes bajo permutacion de variables $latex (x,\sqrt{f(x)}) \leftrightarrow (z,\sqrt{f(z))$ es decir
$latex \mathbb{F}_q(Sym^2(C))$ es el campo fijo de $latex \mathbb{F}_q(C\times C)$ bajo la acción del automorfismo $latex \tau\in Aut(C)$ dado por intercambiar $latex x$ por $latex z$ es decir $latex \tau(x)=z$ y $latex \tau(z)=x$ por lo que tenemos que
$latex \mathbb{F}_q(Sym^2(C))=\mathbb{F}_q(x+z,xz,z\sqrt{f(x)}, x\sqrt{f(z)})$
Puedes demostrar que $latex [\mathbb{F}_q(C\times C):\mathbb{F}_q(Sym^2(C))]=2$
Ahora, el punto base $latex P_\infty$ implica que la involución de divisores $latex \hat \iota(D)=-D\in \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)} $ está inducida por la involución hiperelíptica $latex \iota$, de tal manera que el automorfismo inducido de $latex \mathbb{F}_q(Sym^2(C))$ está dado por el cambio de signo de los radicales, por lo que el automorfismo cambia el signo de $latex x\sqrt{f(z)}+z\sqrt{f(x)}$ y deja a los otros generadores fijos, por lo que el campo fijo es finalmente es el campo de funciones de la superficie de Kummer que queríamos construir partiendo de la construcción de la jacobiana módulo involución:
$latex \mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)}/(\hat\iota)=\mathcal{K}(\mathbb{J}_{\mathbb{F}_q(C)})=\mathbb{F}_q(x+z,xz,z\sqrt{f(x)}\cdot x\sqrt{f(z)})$
Y este es el campo de funciones de la superficie de Kummer asociada a la Jacobiana de una curva hiperelíptica de Género 2.
Puedes probar Más explícitamente con esto:
Corolario:
Sea $latex f(x)=\prod_{i=1}^5{(x-\alpha_i)}$
entonces $latex f(x)f(u)=\prod_{i=1}^5{(x-\alpha_i)(z-\alpha_i)}=\prod_{i=1}^5{(xz-(x+z)\alpha_i+\{\alpha_i}^2)}=\Delta(x,z)$
Entonces tenemos que la superficie de Kummer de la jacobiana de una curva hiperelíptica de género 2 dada por $latex y^2=f(x)$ tiene como campo de funciones:
$latex \mathbb{F}_q(x,z,t)$ tal que $latex t^2=\Delta(x,z)$
Esto lo hice más para mi, pero pretendo complementar la construcción de esto mediante divisores de Mumford.
Eduardo Ruíz Duarte
twitter @toorandom
Sunday, May 17, 2015
Fórmula de Barcán y filosofía analítica a través de lógica modal
Hoy hablaré de una fórmula ubicua en lógica modal y muchas teorías de filosofía, de hecho tiene consecuencias impresionantes en cuando a la visión del mundo y nuestro entorno
Fórmula de Barcán:
$latex \forall x\square Px\rightarrow \square \forall x P x$
Si todo necesariamente es $latex P$ entonces necesariamente todo es P
Equivalente tenemos:
$latex \lozenge \exists x P x \rightarrow \exists x \lozenge P x$
Posiblemente hay un $latex x$ que es $latex P$ entonces existe un $latex x$ que posiblemente es $latex P$
Esta Fórmula es muy usada en Lógica modal y tiene impacto directo en filosofía ya que como recordarán en lógica modal tienes los operadores cuadrado y rombo
La lógica modal se usa para estudiar también teoría de decisiones por ejemplo en ingeniería se puede combinar con lógica difusa (o borrosa como le digan)
Operador modal $latex \square$
Denota cuando una verdad es "necesaria" lo cual significa que en todos los posibles escenarios... mundos... siempre es verdadero... como por ejemplo el hecho de que algún día vamos a morir, o el hecho de que "llueve o no llueve" eso siempre sucederá no importa lo que pase, lo cual en general es como "P o no P" (Pv~P)
Operador modal $latex \lozenge$
El operador rombo es posibilidad, es cuando una verdad puede ser posible en algún mundo pero no en todos, como el hecho de ser una persona exitosa o que llueva en otoño.
Tengo un post relacionado con los teoremas de incompletud de Gödel donde explico toda la lógica simbólica y semántica de manera muy resumida aquí
Importancia e impacto
La importancia de la fórmula de Barcán es que afirma algo raro, que si hay un objeto o situación que pueda existir en todos los mundos posibles (incluyendo nuestro mundo actual) entonces DEBE existir forzosamente en nuestro mundo actual.
Entonces, esto tiene como consecuencia... que no existen las posibilidades... que todo es "actual" , y lo que es actual es lo que pudo haber existido bajo todas las circunstancias... y de hecho esta pequeña fórmula hace nacer una rama de la filosofía que le llaman "Actualismo" y por consiguiente su negación que se llama "Posibilismo" o "Realismo modal"
Este tipo de argumentos, y lógica la usó Gödel para demostrar que existe un dios lo cual lo tengo explicado y demostrado aquí bajo el principio de plenitud "Si algo tiene posibilidades de suceder, eventualmente sucederá" , es casi suficiente el suponer esto para demostrar la existencia de dios con lógica modal.
La discusión de la implicación al otro lado de la fórmula de Barcán la pueden ver en este hermoso paper de Melvin Fitting.
Eduardo Ruíz Duarte (beck)
twitter: @toorandom
Saludos
Fórmula de Barcán:
$latex \forall x\square Px\rightarrow \square \forall x P x$
Si todo necesariamente es $latex P$ entonces necesariamente todo es P
Equivalente tenemos:
$latex \lozenge \exists x P x \rightarrow \exists x \lozenge P x$
Posiblemente hay un $latex x$ que es $latex P$ entonces existe un $latex x$ que posiblemente es $latex P$
Esta Fórmula es muy usada en Lógica modal y tiene impacto directo en filosofía ya que como recordarán en lógica modal tienes los operadores cuadrado y rombo
La lógica modal se usa para estudiar también teoría de decisiones por ejemplo en ingeniería se puede combinar con lógica difusa (o borrosa como le digan)
Operador modal $latex \square$
Denota cuando una verdad es "necesaria" lo cual significa que en todos los posibles escenarios... mundos... siempre es verdadero... como por ejemplo el hecho de que algún día vamos a morir, o el hecho de que "llueve o no llueve" eso siempre sucederá no importa lo que pase, lo cual en general es como "P o no P" (Pv~P)
Operador modal $latex \lozenge$
El operador rombo es posibilidad, es cuando una verdad puede ser posible en algún mundo pero no en todos, como el hecho de ser una persona exitosa o que llueva en otoño.
Tengo un post relacionado con los teoremas de incompletud de Gödel donde explico toda la lógica simbólica y semántica de manera muy resumida aquí
Importancia e impacto
La importancia de la fórmula de Barcán es que afirma algo raro, que si hay un objeto o situación que pueda existir en todos los mundos posibles (incluyendo nuestro mundo actual) entonces DEBE existir forzosamente en nuestro mundo actual.
Entonces, esto tiene como consecuencia... que no existen las posibilidades... que todo es "actual" , y lo que es actual es lo que pudo haber existido bajo todas las circunstancias... y de hecho esta pequeña fórmula hace nacer una rama de la filosofía que le llaman "Actualismo" y por consiguiente su negación que se llama "Posibilismo" o "Realismo modal"
Este tipo de argumentos, y lógica la usó Gödel para demostrar que existe un dios lo cual lo tengo explicado y demostrado aquí bajo el principio de plenitud "Si algo tiene posibilidades de suceder, eventualmente sucederá" , es casi suficiente el suponer esto para demostrar la existencia de dios con lógica modal.
La discusión de la implicación al otro lado de la fórmula de Barcán la pueden ver en este hermoso paper de Melvin Fitting.
Eduardo Ruíz Duarte (beck)
twitter: @toorandom
Saludos
Thursday, April 23, 2015
Teorema de dualidad de Poincaré (2/2)
Ya por fin llegamos a la parte final, después de dos tópicos interesantes que fueron los dos posts anteriores que son la construcción de los grupos de homología y cohomología los cuales son necesarios y recomiendo les eches un ojo antes en ese orden si no lo has hecho antes de comenzar aquí, ahora voy a tratar de hacer ver el teorema de dualidad de Poincaré.
Esto no será una demostración, sólo será una idea intuitiva, pero la demostración la pueden encontrar en cualquier texto de topología algebraica como Hatcher que creo que es el libro te texto por excelencia para topología algebraica.
Formularemos el teorema considerando un cubo y un octaedro metidos uno en el otro
Observaciones:
a) Como pueden ver, en el lado izquierdo, los 6 vértices del octaedro verde tocan todas las 6 caras cuadradas del cubo rojo.
b) Por otro lado, en la figura de enmedio, lo que ven es que los 8 vértices del cubo tocan cada una de las 8 caras del octaedro.
c) En la última figura del lado derecho se pueden ver las dos figuras, y claramente podríamos verlo como una triangulación de las dos figuras en una esfera (complejo simplicial) $latex \mathbb{S}^2$ por lo que la dimensión en la que trabajamos es 2
d) También pueden observar en la última figura que cada una de las aristas del octaedro toca sólo una vez a una cada una de las aristas del cubo, es decir están en correspondencia 1-1
Entonces podemos ver que en $latex \mathbb{S}^2$ tenemos dos estructuras, la del cubo que la llamaremos $latex C$ y la del octaedro que le llamaremos $latex C^{*}$ , que corresponden a complejos de cadenas y podemos comenzar a intuir la dualidad.
Deducciones de complejos de cadenas en cubo y octaedro.
Del punto d) podemos decir que las aristas , es decir , las $latex 1$-cadenas son iguales en $latex C$ y $latex C^{*}$ , por lo que $latex C_{1}=C^{*}_{1}$ , ya que estan en correspondencia 1-1 entre el octaedro y el cubo.
Del punto a) Vemos que las caras del cubo (2-cadenas) están 1-1 con los vértices (0-cadenas) del octaedro, por lo que $latex C_2=C^{*}_0$
De punto b) pueden ver que cada cara (2-cadena) del octaedro toca a cada vértice (0-cadenas) del cubo por lo que $latex C^{*}_2 = C_0$
Calcular homología y cohomología
Ya estamos listos para calcular cohomología y homología, en la parte 1 calculamos la homología en $latex \mathbb{Z}$ para poder usar signos y preservar orientación, esta vez lo haremos sobre $latex \mathbb{F}_2$ para que sea más sencillo, es decir, nos olvidamos de la orientación de los símplices por un momento.
Entonces tenemos la sucesión con el mapeo frontera $latex \partial$ que manda a las sumas de las fronteras con respecto a caras, aristas, vértices y su respectivo mapeo dual como ya lo definimos en la parte 1.5 (post anterior) de esta serie de post
$latex C_2 \xrightarrow[]{\partial_2} C_1 \xrightarrow[]{\partial_1} C_0$
$latex C^{*}_2 \xleftarrow[]{\delta_2}C^{*}_1\xleftarrow[]{\delta_1}C^{*}_0$
Recomendación para la visualización y motivación siguiente:
Fija una cara en los dibujos del cubo (yo fijaría la de hasta arriba) y observa la descripción siguiente
en términos de sus aristas y vértices, así como el vértice dual de la cara del cubo en el octaedro.
Entonces ahora tenemos que $latex \partial_2$ toma una cara y lo mandará a la suma de sus fronteras que son $latex 1$-cadenas (Aristas), y en cohomología , el mapeo $latex \delta_0$ mandará un vértice del octaedro hacia las aristas del octaedro que son adyacentes a ese vértice, es decir lo manda a un elemento del grupo libre $latex C^{*}_1$
Entonces tenemos que aplicando el operador frontera a una cara (2-cadena) del $latex C$, fija una cara de $latex C$ que la denotamos como $latex \square$ y sus aristas denotadas como $latex \mid_i$ y a los vértices de $latex C$ correspondientes a la arista $latex \mid_j$ los denotamos como $latex \bullet^{j}_1$ y $latex \bullet^{j}_2$.
$latex \partial_2(\square)=\mid_1+\mid_2+\mid_3+\mid_4$
$latex \partial_1(\mid_1)=\bullet^{1}_1+\bullet^{1}_2$
Tenemos que por las observaciones, a $latex \square$ le corresponde un vértice en $latex C^{*}$
el mapeo $latex \delta$ lo que hará será asignar a una $latex n-1$-cadena, la $latex n$-cadena que la contiene, es decir por ejemplo, una arista del octaedro la mandaria a las caras de las cuales es frontera esa arista, entonces si denotamos las caras del octaedro como $latex \triangle$ sus aristas como $latex \dagger_i$ y a sus vértices como $latex \star^{i}_1$ y $latex \star^{i}_2$
Tenemos que por la observación a) tenemos que a $latex \square$ en $latex C$ le corresponde $latex \star$ en $latex C^{*}$
por lo que
$latex \delta_1(\star) = \dagger_1 + \dagger_2 + \dagger_3 + \dagger_4$
ya que asigna ese vértice del octaedro a sus aristas que lo contienen.
$latex \delta_2(\dagger_1 + \dagger_2)=\triangle_1 + \triangle_2$
Es decir, de manera analoga, las dos aristas lo mandan a la cara que las contiene.
Entonces tenemos que el mapeo $latex \delta_2$ hace lo mismo que el mapeo $latex \partial 0$ , y el mapeo $latex \delta_1$ lo mismo que $latex \partial_1$
Entonces, tenemos que
$latex C_2 \xrightarrow[]{\partial_2} C_1 \xrightarrow[]{\partial_1} C_0$ (Homología)
$latex C^{*}_2 \xleftarrow[]{\delta_2}C^{*}_1\xleftarrow[]{\delta_1}C^{*}_0$ (Cohomología)
Y si calculamos todos los mapeos como lo hicimos tenemos que los grupos de homología y cohomología se comportan así:
$latex H_0(C)\cong H^{2}(C^{*},\mathbb{F}_2)$
$latex H_1(C)\cong H^{1}(C^{*},\mathbb{F}_2)$
$latex H_2(C)\cong H^{0}(C^{*},\mathbb{F}_2)$
$latex ker\partial_{r}/Im\partial_{r+1}=H_r(C)\cong H^{2-r}(C^{*},\mathbb{F}_2)=ker\delta_{2-r+1}/Im\delta_{2-r}$
Aquí tenemos que todo esto era sobre $latex \mathbb{S}^{2}$ es decir $latex n=2$
Esto NO es casualidad, de hecho huele... no huele, apesta a teorema y es un teoremón.
Teorema de dualidad de Poincaré
Si $latex X$ es una variedad orientable y cerrada de dimensión n (compacta, sin frontera como $latex \mathbb{S}^{2}$ o un n-toro) entonces su cohomología y homología están relacionadas así:
$latex H_k(X)\cong H^{n-k}(X^{*},G)$
Esto lo pueden experimentar ustedes, por ejemplo calculen la dualidad de un icosaedro a través de su cohomología para obtener un dodecaedro, ¿existirá un objeto geométrico que sea su propio dual? , este debería de existir... ya que todo esto yendo más lejos aún debe tener una "identidad" , y sí, de hecho es el tetraedro.
Este resultado en topología, geometría, como podrán imaginarse los algebristas, es posible que tenga alguna equivalencia en álgebra... el semestre pasado tomé curso de geometría algebraica avanzada en la Universidad de Utrecht en Holanda y demostraron el teorema de dualidad de Serré, el cuál sólo mencionaré pero no desarrollaré ya que para eso necesitaría otros 3 posts más, pero lo que les puedo decir es que existe una relación entre el teorema de dualidad de Poincaré y el teorema de dualidad de Serré usando teoría de Hodge, de hecho aquí lo mencionan y desarrollan de manera muy aceptable.
Teorema de dualidad de Serré
Sea $latex E$ un haz fibrado holomorfo sobre una variedad compleja suave compacta $latex V$ de dimensión $latex n$ (Existen generalizaciones para gavillas coherentes y haces vectoriales) , entonces:
$latex H^{q}(V,E)\cong H^{n-q}(V,\Omega_n\otimes E^{*})^{*}$
Donde $latex \Omega_n$ es el producto cuña n veces del haz cotangente de $latex V$ (en curvas esto es directo de Riemann-Roch que lo pueden consultar aquí en mi blog y formas k formas diferenciales aquí), aquí * indica "dual" , en el mismo sentido que lo vimos aquí en esta serie de posts.
Si les interesa más aquí tengo post de cohomología de De Rham y cohomología de grupos
Espero les haya gustado mucho como a mi me gustó explicarlo, si hay dudas, críticas o recomendaciones favor de usar los comentarios o escribirme un correo o twitt.
Y como fuente de todo esto es el libro de Allen Hatcher de Algebraic Topology, especificamente la parte 3.3
Eduardo Ruíz Duarte (beck)
twitter: @toorandom
Esto no será una demostración, sólo será una idea intuitiva, pero la demostración la pueden encontrar en cualquier texto de topología algebraica como Hatcher que creo que es el libro te texto por excelencia para topología algebraica.
Formularemos el teorema considerando un cubo y un octaedro metidos uno en el otro
Observaciones:
a) Como pueden ver, en el lado izquierdo, los 6 vértices del octaedro verde tocan todas las 6 caras cuadradas del cubo rojo.
b) Por otro lado, en la figura de enmedio, lo que ven es que los 8 vértices del cubo tocan cada una de las 8 caras del octaedro.
c) En la última figura del lado derecho se pueden ver las dos figuras, y claramente podríamos verlo como una triangulación de las dos figuras en una esfera (complejo simplicial) $latex \mathbb{S}^2$ por lo que la dimensión en la que trabajamos es 2
d) También pueden observar en la última figura que cada una de las aristas del octaedro toca sólo una vez a una cada una de las aristas del cubo, es decir están en correspondencia 1-1
Entonces podemos ver que en $latex \mathbb{S}^2$ tenemos dos estructuras, la del cubo que la llamaremos $latex C$ y la del octaedro que le llamaremos $latex C^{*}$ , que corresponden a complejos de cadenas y podemos comenzar a intuir la dualidad.
Deducciones de complejos de cadenas en cubo y octaedro.
Del punto d) podemos decir que las aristas , es decir , las $latex 1$-cadenas son iguales en $latex C$ y $latex C^{*}$ , por lo que $latex C_{1}=C^{*}_{1}$ , ya que estan en correspondencia 1-1 entre el octaedro y el cubo.
Del punto a) Vemos que las caras del cubo (2-cadenas) están 1-1 con los vértices (0-cadenas) del octaedro, por lo que $latex C_2=C^{*}_0$
De punto b) pueden ver que cada cara (2-cadena) del octaedro toca a cada vértice (0-cadenas) del cubo por lo que $latex C^{*}_2 = C_0$
Calcular homología y cohomología
Ya estamos listos para calcular cohomología y homología, en la parte 1 calculamos la homología en $latex \mathbb{Z}$ para poder usar signos y preservar orientación, esta vez lo haremos sobre $latex \mathbb{F}_2$ para que sea más sencillo, es decir, nos olvidamos de la orientación de los símplices por un momento.
Entonces tenemos la sucesión con el mapeo frontera $latex \partial$ que manda a las sumas de las fronteras con respecto a caras, aristas, vértices y su respectivo mapeo dual como ya lo definimos en la parte 1.5 (post anterior) de esta serie de post
$latex C_2 \xrightarrow[]{\partial_2} C_1 \xrightarrow[]{\partial_1} C_0$
$latex C^{*}_2 \xleftarrow[]{\delta_2}C^{*}_1\xleftarrow[]{\delta_1}C^{*}_0$
Recomendación para la visualización y motivación siguiente:
Fija una cara en los dibujos del cubo (yo fijaría la de hasta arriba) y observa la descripción siguiente
en términos de sus aristas y vértices, así como el vértice dual de la cara del cubo en el octaedro.
Entonces ahora tenemos que $latex \partial_2$ toma una cara y lo mandará a la suma de sus fronteras que son $latex 1$-cadenas (Aristas), y en cohomología , el mapeo $latex \delta_0$ mandará un vértice del octaedro hacia las aristas del octaedro que son adyacentes a ese vértice, es decir lo manda a un elemento del grupo libre $latex C^{*}_1$
Entonces tenemos que aplicando el operador frontera a una cara (2-cadena) del $latex C$, fija una cara de $latex C$ que la denotamos como $latex \square$ y sus aristas denotadas como $latex \mid_i$ y a los vértices de $latex C$ correspondientes a la arista $latex \mid_j$ los denotamos como $latex \bullet^{j}_1$ y $latex \bullet^{j}_2$.
$latex \partial_2(\square)=\mid_1+\mid_2+\mid_3+\mid_4$
$latex \partial_1(\mid_1)=\bullet^{1}_1+\bullet^{1}_2$
Tenemos que por las observaciones, a $latex \square$ le corresponde un vértice en $latex C^{*}$
el mapeo $latex \delta$ lo que hará será asignar a una $latex n-1$-cadena, la $latex n$-cadena que la contiene, es decir por ejemplo, una arista del octaedro la mandaria a las caras de las cuales es frontera esa arista, entonces si denotamos las caras del octaedro como $latex \triangle$ sus aristas como $latex \dagger_i$ y a sus vértices como $latex \star^{i}_1$ y $latex \star^{i}_2$
Tenemos que por la observación a) tenemos que a $latex \square$ en $latex C$ le corresponde $latex \star$ en $latex C^{*}$
por lo que
$latex \delta_1(\star) = \dagger_1 + \dagger_2 + \dagger_3 + \dagger_4$
ya que asigna ese vértice del octaedro a sus aristas que lo contienen.
$latex \delta_2(\dagger_1 + \dagger_2)=\triangle_1 + \triangle_2$
Es decir, de manera analoga, las dos aristas lo mandan a la cara que las contiene.
Entonces tenemos que el mapeo $latex \delta_2$ hace lo mismo que el mapeo $latex \partial 0$ , y el mapeo $latex \delta_1$ lo mismo que $latex \partial_1$
Entonces, tenemos que
$latex C_2 \xrightarrow[]{\partial_2} C_1 \xrightarrow[]{\partial_1} C_0$ (Homología)
$latex C^{*}_2 \xleftarrow[]{\delta_2}C^{*}_1\xleftarrow[]{\delta_1}C^{*}_0$ (Cohomología)
Y si calculamos todos los mapeos como lo hicimos tenemos que los grupos de homología y cohomología se comportan así:
$latex H_0(C)\cong H^{2}(C^{*},\mathbb{F}_2)$
$latex H_1(C)\cong H^{1}(C^{*},\mathbb{F}_2)$
$latex H_2(C)\cong H^{0}(C^{*},\mathbb{F}_2)$
$latex ker\partial_{r}/Im\partial_{r+1}=H_r(C)\cong H^{2-r}(C^{*},\mathbb{F}_2)=ker\delta_{2-r+1}/Im\delta_{2-r}$
Aquí tenemos que todo esto era sobre $latex \mathbb{S}^{2}$ es decir $latex n=2$
Esto NO es casualidad, de hecho huele... no huele, apesta a teorema y es un teoremón.
Teorema de dualidad de Poincaré
Si $latex X$ es una variedad orientable y cerrada de dimensión n (compacta, sin frontera como $latex \mathbb{S}^{2}$ o un n-toro) entonces su cohomología y homología están relacionadas así:
$latex H_k(X)\cong H^{n-k}(X^{*},G)$
Esto lo pueden experimentar ustedes, por ejemplo calculen la dualidad de un icosaedro a través de su cohomología para obtener un dodecaedro, ¿existirá un objeto geométrico que sea su propio dual? , este debería de existir... ya que todo esto yendo más lejos aún debe tener una "identidad" , y sí, de hecho es el tetraedro.
Este resultado en topología, geometría, como podrán imaginarse los algebristas, es posible que tenga alguna equivalencia en álgebra... el semestre pasado tomé curso de geometría algebraica avanzada en la Universidad de Utrecht en Holanda y demostraron el teorema de dualidad de Serré, el cuál sólo mencionaré pero no desarrollaré ya que para eso necesitaría otros 3 posts más, pero lo que les puedo decir es que existe una relación entre el teorema de dualidad de Poincaré y el teorema de dualidad de Serré usando teoría de Hodge, de hecho aquí lo mencionan y desarrollan de manera muy aceptable.
Teorema de dualidad de Serré
Sea $latex E$ un haz fibrado holomorfo sobre una variedad compleja suave compacta $latex V$ de dimensión $latex n$ (Existen generalizaciones para gavillas coherentes y haces vectoriales) , entonces:
$latex H^{q}(V,E)\cong H^{n-q}(V,\Omega_n\otimes E^{*})^{*}$
Donde $latex \Omega_n$ es el producto cuña n veces del haz cotangente de $latex V$ (en curvas esto es directo de Riemann-Roch que lo pueden consultar aquí en mi blog y formas k formas diferenciales aquí), aquí * indica "dual" , en el mismo sentido que lo vimos aquí en esta serie de posts.
Si les interesa más aquí tengo post de cohomología de De Rham y cohomología de grupos
Espero les haya gustado mucho como a mi me gustó explicarlo, si hay dudas, críticas o recomendaciones favor de usar los comentarios o escribirme un correo o twitt.
Y como fuente de todo esto es el libro de Allen Hatcher de Algebraic Topology, especificamente la parte 3.3
Eduardo Ruíz Duarte (beck)
twitter: @toorandom
Wednesday, April 22, 2015
Teorema de dualidad de Poincaré (parte 1.5/2 Cohomología)
En el post pasado vimos como construir grupos de homología simplicial, para poder entender la idea del teorema de dualidad de Poincaré necesitamos también entender lo que es cohomología y entender qué es lo que nos está diciendo de información sobre el objeto original, y qué mejor que con símplices, la homología simplicial es la más fácil de entender porque es visual, después de entender esto yo recomiendo irse ya a Cech, Cohomología de Grupos o a Monsky Washnitzer para trabajar con teoría de números.
El próximo post (con suerte mañana) será ya culminación, ahora sólo definiremos rápidamente cohomología con respecto al post pasado.
La cohomología es un invariante algebraico de la homología, y ya habiendo entendido homología es fácil dualizar la definición de grupos de Homología, el dual de la homología como es de esperarse va a cambiar flechas en los complejos de cadena (la cohomología es un functor contravariante y lo veremos a detalle en un momento), pero lo más impresionante en la dualización es que los grupos de Cohomología tienen estructura adicional, que es la de anillo, ya que existe una multiplicación natural llamada producto copa (cup product), pero no mencionaré casi nada sobre ello ya que el Teorema de dualidad expresa un resultado en términos de los grupos de homología y cohomología.
Recuerden que calcular la homología $latex H_n(X)$ era haciendo dos cosas que son , el calcular
Los grupos libres de $latex k-$símplices que son $latex C_k:=\Delta_k(X)$, o de homología singular o celular, pero en nuestro caso hablemos de lo que ya sabemos que es con símplices:
$latex ... \xrightarrow[]{\partial_{n+1}} C_n \xrightarrow[]{\partial_n} C_{n-1} \xrightarrow[]{\partial_{n-1}} ... $
y después el paso 2 es calcular los cocientes de fronteras y ciclos, ya que recuerden que demostramos para toda $latex n$ en el post pasado que $latex Im\partial_{n+1}\subseteq Ker\partial_{n}$ lo cual es lo mismo que $latex \partial_{n-1}\circ \partial_n = 0$, entonces tenemos los grupos de Homología $latex H_n(X)=Ker\partial_n/Im\partial_{n+1}$.
Para obtener los anillos de la cohomología $latex H^{n}(X,G)$ para algún grupo $latex G$ que usualmente será $latex \mathbb{Z}$, necesitamos interpolar el paso 1 que mostrará la contravarianza de la cohomología, en vez de considerar la cadena de los $latex C_n$ vamos a considerar la co-cadena de los $latex C^{*}_n := Hom(C_n,G)$ que son los morfismos de los complejos simpliciales a $latex G$ y el mapeo $latex \partial_n$ lo sustituiremos por el mapeo de cofrontera dual $latex \delta_n$ y formaremos igualmente algo así como los grupos $latex ker \delta/Im\delta$ .
Entonces, construyamos explícitamente todo, vamos a dualizar, considera entonces
$latex ... \xrightarrow[]{\partial_{n+1}} C_n \xrightarrow[]{\partial_n} C_{n-1} \xrightarrow[]{\partial_{n-1}} ... $
Dualizando cada $latex C_n$ tenemos que $latex C^{*}_n := Hom(C_n,G)$ y dualizando $latex \partial$ tenemos que $latex \delta_n := \partial_{n}^{*}:C^{*}_{n-1}\rightarrow C^{*}_{n}$
Nota que $latex \delta_n$ tiene las flechas invertidas (dual de $latex \partial$) , esto es obvio que suceda por propiedades de homomorfismos, y que $latex \partial_n$ es un homomorfismo:
$latex \partial_n:C_n\rightarrow C_{n-1}$
Por lo tanto
$latex \partial_n^{*}:Hom(C_{n-1},G)\rightarrow Hom(C_n,G)$
$latex \phi \mapsto \phi\circ \partial_n$
Por lo tanto tenemos que $latex \partial_n(\phi)=\phi\circ \partial_n$ es decir, lo que está haciendo $latex \partial^{*}$ es mandar el morfismo $latex C_{n-1}\xrightarrow[]{\phi} G$ a la composición $latex C_n \xrightarrow[]{\partial_n} C_{n-1}\xrightarrow[]{\phi} G$ , sabemos que los homomorfismos duales cumplen que $latex (\alpha\circ \beta)^{*}=\beta^{*}\circ \alpha^{*}$ y que $latex Id^{*}=Id$ asi como $latex 0^{*}=0$ por lo que si llamamos $latex \delta_n:=\partial_n^{*}$ tenemos que $latex \delta_n \circ \delta_{n-1}=0$ y ya tenemos de manera muy informal lo que necesitamos y por lo tanto tenemos que:
$latex ... \xleftarrow[]{} C^{*}_{n+1}\xleftarrow[]{\delta_{n+1}}C^{*}_n \xleftarrow[]{\delta_n}C^{*}_{n-1}\xleftarrow[]{\delta_{n-1}}... $ y por lo tanto tenemos que los grupos de Cohomología para $latex X$ son:
$latex H^{n}(X, G) := Ker\delta_{n+1} /Im\delta_n$
El teorema de Dualidad de Poincaré muestra una característica geométrica y topológica "visible e intuitiva" que relaciona los grupos de cohomología de dimensión $latex k$ con los grupos de homología de dimensión $latex n-k$ donde $latex n$ es la dimensión de $latex X$ que es una variedad cerrada, esto lo terminaremos en el próximo post.
Espero les haya servido y gustado
Eduardo Ruíz Duarte (beck)
Twitter: @toorandom
El próximo post (con suerte mañana) será ya culminación, ahora sólo definiremos rápidamente cohomología con respecto al post pasado.
La cohomología es un invariante algebraico de la homología, y ya habiendo entendido homología es fácil dualizar la definición de grupos de Homología, el dual de la homología como es de esperarse va a cambiar flechas en los complejos de cadena (la cohomología es un functor contravariante y lo veremos a detalle en un momento), pero lo más impresionante en la dualización es que los grupos de Cohomología tienen estructura adicional, que es la de anillo, ya que existe una multiplicación natural llamada producto copa (cup product), pero no mencionaré casi nada sobre ello ya que el Teorema de dualidad expresa un resultado en términos de los grupos de homología y cohomología.
Recuerden que calcular la homología $latex H_n(X)$ era haciendo dos cosas que son , el calcular
Los grupos libres de $latex k-$símplices que son $latex C_k:=\Delta_k(X)$, o de homología singular o celular, pero en nuestro caso hablemos de lo que ya sabemos que es con símplices:
$latex ... \xrightarrow[]{\partial_{n+1}} C_n \xrightarrow[]{\partial_n} C_{n-1} \xrightarrow[]{\partial_{n-1}} ... $
y después el paso 2 es calcular los cocientes de fronteras y ciclos, ya que recuerden que demostramos para toda $latex n$ en el post pasado que $latex Im\partial_{n+1}\subseteq Ker\partial_{n}$ lo cual es lo mismo que $latex \partial_{n-1}\circ \partial_n = 0$, entonces tenemos los grupos de Homología $latex H_n(X)=Ker\partial_n/Im\partial_{n+1}$.
Para obtener los anillos de la cohomología $latex H^{n}(X,G)$ para algún grupo $latex G$ que usualmente será $latex \mathbb{Z}$, necesitamos interpolar el paso 1 que mostrará la contravarianza de la cohomología, en vez de considerar la cadena de los $latex C_n$ vamos a considerar la co-cadena de los $latex C^{*}_n := Hom(C_n,G)$ que son los morfismos de los complejos simpliciales a $latex G$ y el mapeo $latex \partial_n$ lo sustituiremos por el mapeo de cofrontera dual $latex \delta_n$ y formaremos igualmente algo así como los grupos $latex ker \delta/Im\delta$ .
Entonces, construyamos explícitamente todo, vamos a dualizar, considera entonces
$latex ... \xrightarrow[]{\partial_{n+1}} C_n \xrightarrow[]{\partial_n} C_{n-1} \xrightarrow[]{\partial_{n-1}} ... $
Dualizando cada $latex C_n$ tenemos que $latex C^{*}_n := Hom(C_n,G)$ y dualizando $latex \partial$ tenemos que $latex \delta_n := \partial_{n}^{*}:C^{*}_{n-1}\rightarrow C^{*}_{n}$
Nota que $latex \delta_n$ tiene las flechas invertidas (dual de $latex \partial$) , esto es obvio que suceda por propiedades de homomorfismos, y que $latex \partial_n$ es un homomorfismo:
$latex \partial_n:C_n\rightarrow C_{n-1}$
Por lo tanto
$latex \partial_n^{*}:Hom(C_{n-1},G)\rightarrow Hom(C_n,G)$
$latex \phi \mapsto \phi\circ \partial_n$
Por lo tanto tenemos que $latex \partial_n(\phi)=\phi\circ \partial_n$ es decir, lo que está haciendo $latex \partial^{*}$ es mandar el morfismo $latex C_{n-1}\xrightarrow[]{\phi} G$ a la composición $latex C_n \xrightarrow[]{\partial_n} C_{n-1}\xrightarrow[]{\phi} G$ , sabemos que los homomorfismos duales cumplen que $latex (\alpha\circ \beta)^{*}=\beta^{*}\circ \alpha^{*}$ y que $latex Id^{*}=Id$ asi como $latex 0^{*}=0$ por lo que si llamamos $latex \delta_n:=\partial_n^{*}$ tenemos que $latex \delta_n \circ \delta_{n-1}=0$ y ya tenemos de manera muy informal lo que necesitamos y por lo tanto tenemos que:
$latex ... \xleftarrow[]{} C^{*}_{n+1}\xleftarrow[]{\delta_{n+1}}C^{*}_n \xleftarrow[]{\delta_n}C^{*}_{n-1}\xleftarrow[]{\delta_{n-1}}... $ y por lo tanto tenemos que los grupos de Cohomología para $latex X$ son:
$latex H^{n}(X, G) := Ker\delta_{n+1} /Im\delta_n$
El teorema de Dualidad de Poincaré muestra una característica geométrica y topológica "visible e intuitiva" que relaciona los grupos de cohomología de dimensión $latex k$ con los grupos de homología de dimensión $latex n-k$ donde $latex n$ es la dimensión de $latex X$ que es una variedad cerrada, esto lo terminaremos en el próximo post.
Espero les haya servido y gustado
Eduardo Ruíz Duarte (beck)
Twitter: @toorandom
Tuesday, April 21, 2015
Teorema de dualidad de Poincaré (parte 1/2 Homología)
Esta es la primera parte de la motivación del teorema de dualidad de Poincaré que nos muestra una propiedad universal de todos los objetos geométricos fundamentales, empezaremos con un poco de Homología, en este post no llego al teorema de dualidad pero será en el siguiente.
El post siguiente que es la parte 1.5/2 es la construcción de los grupos de cohomología usando los grupos de homología que definiremos enseguida.
Poincaré fue el primero que comenzó con la teoría de homología y cohomología, pero no como lo conocemos ahora, él trabajaba con topología y lo que él quería era contar hoyos , esto podrá sonar muy trivial si se imaginan un toro o una esfera que saben que tiene 1 hoyo y 0 hoyos respectivamente, pero como se imaginarán existen espacios muy complicados, que en la práctica por ejemplo se puede traducir a superficies modeladas con ecuaciones que representan restricciones en un modelo de muchas dimensiones... si quieres imaginarte su geometría, estarás perdido, para eso tienes que fijarte en su topología para poder tener una intuición de cómo se ve, o sea yo te puedo decir que la ecuación $latex y^2 = x^3 - 1$ así de simple como la ves tiene un hoyo en $latex \mathbb{C}^2$ a pesar de que estos hoyos no se puedan visualizar tan intuitivamente.
La técnica de medir estos hoyos, que al final serán invariantes topológicos se basa en muchas cosas, entre ellas la teoría de homología y cohomología las cuáles de manera tonta la puedes ver como cierta álgebra extraída de la topología del objeto.
Ya hemos hablado antes de cohomología de deRham aquí o de cohomología de grupos acá para extender este concepto de hoyos a objetos algebraicos a través de la cohomología de Cech, también tratamos de dar la idea de Cohomología usando cálculo aquí por lo que voy a suponer que algunos conceptos ya son claros aunque tal vez repita algunos aquí.
El concepto de dualidad de Poincaré es un resultado topológico que relaciona los grupos de homología y cohomología de una variedad $latex V$ cerrada orientable de dimensión $latex n$ (sin frontera como una circunferencia, toro o esfera $latex \mathbb{S}^2$ ) , de hecho dice que
$latex H_{n-k}(V) \cong H^{k}(V)$
Es decir que el $latex k-$ésimo grupo de cohomología es isomorfo al $latex n-k$-ésimo grupo de homología de una variedad orientable y cerrada $latex V$.
Poincaré no definió el teorema anterior así, de hecho él lo definió en términos de números de Betti, (Enrico Betti) , estos números los bautizó Poincaré en su honor ya que Betti estudió superficies sin frontera en dimensiones altas lo cual fue el motivante para Poincaré, y los definió así:
Definición
Sea $latex V$ una variedad de dimensión $latex n$ el número de Betti $latex B_r$ para una dimensión $latex r$ es el número máximo de subvariedades de $latex V$ de dimensión $latex r$ contenidas en $latex V$ que son linealmente independientes, +1
Teorema de dualidad de Poincaré: Si $latex V$ es de dimensión $latex n$ orientable y cerrada entonces $latex B_r=B_{n-r}$
Este tipo de resultados tienen aplicaciones en física cuántica y en estudio de la forma del universo, entre otras cosas que no conozco bien pero que bien si les interesa pueden investigarlo ustedes mismos y verán por qué en un momento.
También existe otra relación geométrica que es muy familiar para nosotros, que es la característica de Euler, tal vez algunos han experimentado con la fórmula característica de Euler
$latex \chi=V-E+F$ , es decir vértices-aristas+caras , este número es interesante, ya que es un invariante topológico, si ustedes triangulan, cuadriculan, o dibujan cualquier red de aristas, vértices y caras en una esfera, SIEMPRE obtendrán $latex \chi=2$ , es decir una esfera triangulada y cuadriculada les dará 2, o si aplican la fórmula a un octaedro y a un cubo también... pero si aplican la fórmula a un toro triangulado o a una botella de Klein, verán que las cosas cambian, ya que no son topológicamente equivalentes a una esfera y obtendrán otros valores porque tienen hoyos.
De hecho, esto puede ser generalizado a dimensiones altas, y lo que dice aquí se puede pasar a complejos de cadena, una cara es la frontera de una variedad, la frontera de una cara son las aristas, y la frontera de una arista son sus vértices $latex (V\leftarrow E \leftarrow F)$ y cuál es la frontera de una frontera ?, es decir si $latex X$ es una variedad y $latex \partial$ es el operador que te calcula la frontera qué es $latex \partial\partial X$ ? , si saben un poco de topología puntual, saben que la frontera de un objeto es un conjunto cerrado sin puntos interiores... por lo tanto la frontera de esto al no haber puntos interiores deberá ser vacía (no hay de donde tomar orilla).
La generalización de esto, es decir ya no podemos hablar de aristas, caras ni vértices, sino de símplices, porque en dimensiónes más altas que 3 necesitarías otras palabras como "hipercara".
Teorema: Sea $latex U$ una variedad de dimensión $latex n$
$latex \chi_U = \sum_{r=0}^n (-1)^{r}\Delta_r = \sum_{r=0}^n (-1)^{r}B_r$
La parte izquierda es la misma formula característica de Euler, $latex V-E+F$ pero en general para una variedad $latex U$ de cualquier dimensión $latex n$, donde $latex \Delta_r$ son los símplices de dimensión $latex r$ tomados en cualquier triangulación definida en $latex U$ (si $latex n=3$ entonces tienes la formula usual de Euler) , en la parte derecha tenemos los números de Betti de $latex X$ para cada una de las dimensiones $latex r$.
De hecho a Platón o algún otro filósofo-matemático griego se les escapó una oportunidad de pasar aún más a la historia al estudiar los sólidos tridimensionales, sería considerado padre de la homología, ya que si hubiera dicho algo así como "La frontera de la frontera es vacía" seguro hubiera pasado a la historia de las matemáticas como lo hizo Euclides y muchos teoremas importantes en topología algebraica llevarían su nombre, de hecho en todas las teorías de Homología y Cohomología se necesita tener un operador frontera $latex \partial$
Este resultado de Poincaré trataré de explicarlo sólo como una motivación que pretenderá dar una intuición geométrica-topológica de esto, pero para esto tendré que explicar un poquito de homología simplicial que es la más básica, pero es la necesaria para poder entender construcciones más ricas como la homología singular.
Definición
Un $latex k-$símplice $latex \Delta_k$ es un triángulo generalizado a dimensión $latex k$, y es la envolvente conexa de $latex k+1$ puntos en $latex \mathbb{R}^{k+1}$ , es decir, es la intersección de todos los conjuntos convexos que contienen a esos puntos.
Más fácil, es un triángulo generalizado, si $latex k=2$ tenemos que en $latex \mathbb{R}^{3}$ necesitamos $latex 2+1$ puntos para definir un $latex 2-$símplice , es decir.. un triángulo, un triángulo es el conjunto $latex \Delta_2=\lbrace (x_0,x_1,x_2)\in \mathbb{R}^3 : x_0+x_1+x_2=1,\space x_0,x_1\geq 0\rbrace$, en general
$latex \Delta_n=\lbrace (x_0,...,x_n)\in \mathbb{R}^{n+1} : \sum_{i=0}^{n}x_i=1, \space x_i\geq 0\rbrace$
Ése señoras y señores es un triángulo de dimensión $latex n$ generalizado, noten que lo expresamos en dimensión $latex \mathbb{R}^{n+1}$, podrían usar otro espacio euclídeo, no sólo $latex \mathbb{R}^k$, para $latex \Delta_0$ tenemos que $latex x_0=1$ es un punto, después $latex \Delta_1$ es una recta, $latex \Delta_2$ es un triángulo, $latex \Delta_3$ es un tetraedro, $latex \Delta_4$ es un pentatopo, etc... y este objeto es la base de la triangulación de cualquier variedad., noten que los puntos $latex v_0=(1,0,0...0) ,v_1=(0,1,0,0,...0), v_n=(0,0,...,0,1)$ son parte del conjunto y les llamamos coordenadas baricéntricas y son los vértices del $latex n-$símplice y nos permiten de una manera referirnos a los símplices sólo identificados con estos puntos.
Definición (complejo simplicial): Un $latex \Delta-complejo$ simplicial es un conjunto de símplices de cualquier dimensión, pegados de tal manera que sus intersecciones también son símplices,
Vamos a denotar como $latex \Delta^{\alpha}_k$ como al $latex k-$símplice indexado por $latex \alpha$ , es decir denotar a la arista1, arista2, cara8, etc...
Es decir, un complejo simplicial es un conjunto de simplejos (puntos, aristas, triangulos, tetraedros, et cétera) , que cumplen que si $latex \sigma \in \mathcal{K}$ entonces las caras de $latex \delta$ también están en $latex \mathcal{K}$ y que si $latex \sigma_1,\sigma_2\$ pertenecen al complejo simplicial entonces $latex \sigma_1\cap \sigma_2$ también es una símplice común (cara común, arista común, vértice común, tetraedro común).
Ejemplo complejo simplicial No-Ejemplo complejo simplicial
Ya con esto definimos los objetos en los cuales nos vamos a enfocar, ahora vamos por el álgebra aquí.
Definición (k cadena): Sea $latex X$ un $latex \Delta-$complejo simplicial, una $latex k-$cadena es una combinación lineal de $latex k-$símplices vista desde el grupo abeliano libre $latex \Delta_k(X)$ tomando como base todos los $latex k-$símplices de $latex X$, es decir es una $latex k-$cadena es una expresión de la forma
$latex \sum_{i=0}^{n} n_i\Delta^{i}_k$
Es decir por ejemplo es una expresión como $latex 4\Delta^{1}_3+8\Delta^{2}_3$ sería una $latex 3-$cadena formada por dos tetraedros.
Definición (k frontera débil): La $latex k$-frontera de una $latex k$-cadena es la suma de los $latex k-1$-simplices en la $latex k$-cadena, la cual se obtiene al quitar una coordenada a cada uno de los $latex k-$símplices de la $latex k$-cadena.
Vamos a desarrollar más esto que es importante, es décir como calcular la frontera.
Si tenemos un $latex k$-símplice, sabemos que está dado por sus coordenadas baricéntricas, que son los vértices, entonces
$latex \Delta_k = [v_0,v_1,...,v_k]$
Si queremos calcular su frontera de esta $latex k$-cadena, como dijimos en la definición, es calcular la $latex k-1$-cadena quitando vértices de $latex \Delta_k$ es decir.
$latex Fr(\Delta_k) = \sum_{i} [v_0, ..., \hat{v_i}, .. v_k]$
Donde $latex \hat{v_i}$ significa quitar esa coordenada, y vamos a modificar la función de frontera anterior y substituirla por una $latex \partial$ que nos permitirá conservar orientación de las caras, aristas, etc..
$latex \partial\Delta_k = \sum_{i} (-1)^{i}[v_0, ..., \hat{v_i}, .. v_k]$
Por ejemplo, podemos ver como se calcula la frontera de una arista, cara y tetraedro en la siguiente imagen sacada del libro de topología algebraica de Hatcher
Aquí pueden ver cómo se ve la frontera de una arista $latex [v_0,v_1]$ et cétera
Definición (k-frontera fuerte)
La función de frontera definida entre los $latex k$-simplices y $latex k-1$-simplices de una complejo simplicial $latex X$, donde definimos $latex \Delta_k(X)$ como el grupo abeliano libre formado por los $latex k-$simplejos está definida como:
$latex \partial_k:\Delta_k(X)\rightarrow \Delta_{k-1}(X)$
$latex \Delta^{\alpha}_k \mapsto \sum_{i}(-1)^{i} \Delta^{\alpha}_k\mid [v_0,...,\hat{v_i},...,v_k]$
Donde es fácil ver que el lado derecho en efecto es una $latex k-1$-cadena porque sólo estamos sumando las mismas coordenadas de $latex \Delta^{\alpha}_k$ pero quitándole una coordenada, convirtiéndola en una $latex k-1$-cadena.
Es un ejercicio usual que prueben el siguiente teorema
Teorema: La composición en:
$latex \Delta_n(X)\xrightarrow{\partial_n}\Delta_{n-1}(X)\xrightarrow{\partial_{n-1}}\Delta_{n-1}(X)$
Es 0, es decir $latex (\partial_{n-1}\circ \partial_{n})(\Delta_{n}^{\alpha})=0$ para cualquier $latex \Delta_{n}$ y $latex \forall n$
De hecho esto es la algebrización de lo que Euclides o Platón pudieron haber hecho para pasar a la historia de La frontera de la frontera es vacía, esto sucede en cualquier dimensión y para cualquier símplice en cualquier complejo simplicial.
Definición (k ciclo): Un $latex k$-ciclo es una $latex k$-cadena cuya $latex k$-frontera es 0, y de hecho los $latex k-$ciclos son un subconjunto de las $latex k$-cadenas.
Tenemos que $latex Im\partial_n \subset Ker \partial_{n-1}$ y de hecho los $latex n-$ciclos coinciden con $latex Im\partial_n$ y las $latex n$-fronteras coinciden con $latex Ker \partial_{n-1}$
como todo lo estamos trabajando en el grupo abeliano libre $latex \Delta_k{X}$ para cualquier $latex k$ , podemos definir el cociente, y tenemos la siguiente definición.
Definición (n-ésimo grupo de Homología)
El $latex n$-ésimo grupo de Homología de $latex X$ es:
$latex H_n(X)=ker\partial_{n}/im\partial_{n+1}$
Ejemplo $latex \mathbb{S}^2$
El ejemplo obligado es $latex X=\mathbb{S}^1$ el círculo, donde tomas sólo un vértice $latex v$ y una arista $latex e$ que se cierra a si misma para que sea más simple, entonces puedes ver que de hecho $latex \Delta_0(X)$ el grupo abeliano libre generado por un vértice , y $latex \Delta_1(X)$ el generado por una arista pues es simplemente $latex \mathbb{Z}$ , para dimensiones más altas es 0, porque no hay símplices más grandes que quepan en el círculo.
El post siguiente que es la parte 1.5/2 es la construcción de los grupos de cohomología usando los grupos de homología que definiremos enseguida.
Poincaré fue el primero que comenzó con la teoría de homología y cohomología, pero no como lo conocemos ahora, él trabajaba con topología y lo que él quería era contar hoyos , esto podrá sonar muy trivial si se imaginan un toro o una esfera que saben que tiene 1 hoyo y 0 hoyos respectivamente, pero como se imaginarán existen espacios muy complicados, que en la práctica por ejemplo se puede traducir a superficies modeladas con ecuaciones que representan restricciones en un modelo de muchas dimensiones... si quieres imaginarte su geometría, estarás perdido, para eso tienes que fijarte en su topología para poder tener una intuición de cómo se ve, o sea yo te puedo decir que la ecuación $latex y^2 = x^3 - 1$ así de simple como la ves tiene un hoyo en $latex \mathbb{C}^2$ a pesar de que estos hoyos no se puedan visualizar tan intuitivamente.
La técnica de medir estos hoyos, que al final serán invariantes topológicos se basa en muchas cosas, entre ellas la teoría de homología y cohomología las cuáles de manera tonta la puedes ver como cierta álgebra extraída de la topología del objeto.
Ya hemos hablado antes de cohomología de deRham aquí o de cohomología de grupos acá para extender este concepto de hoyos a objetos algebraicos a través de la cohomología de Cech, también tratamos de dar la idea de Cohomología usando cálculo aquí por lo que voy a suponer que algunos conceptos ya son claros aunque tal vez repita algunos aquí.
El concepto de dualidad de Poincaré es un resultado topológico que relaciona los grupos de homología y cohomología de una variedad $latex V$ cerrada orientable de dimensión $latex n$ (sin frontera como una circunferencia, toro o esfera $latex \mathbb{S}^2$ ) , de hecho dice que
$latex H_{n-k}(V) \cong H^{k}(V)$
Es decir que el $latex k-$ésimo grupo de cohomología es isomorfo al $latex n-k$-ésimo grupo de homología de una variedad orientable y cerrada $latex V$.
Poincaré no definió el teorema anterior así, de hecho él lo definió en términos de números de Betti, (Enrico Betti) , estos números los bautizó Poincaré en su honor ya que Betti estudió superficies sin frontera en dimensiones altas lo cual fue el motivante para Poincaré, y los definió así:
Definición
Sea $latex V$ una variedad de dimensión $latex n$ el número de Betti $latex B_r$ para una dimensión $latex r$ es el número máximo de subvariedades de $latex V$ de dimensión $latex r$ contenidas en $latex V$ que son linealmente independientes, +1
Teorema de dualidad de Poincaré: Si $latex V$ es de dimensión $latex n$ orientable y cerrada entonces $latex B_r=B_{n-r}$
Este tipo de resultados tienen aplicaciones en física cuántica y en estudio de la forma del universo, entre otras cosas que no conozco bien pero que bien si les interesa pueden investigarlo ustedes mismos y verán por qué en un momento.
También existe otra relación geométrica que es muy familiar para nosotros, que es la característica de Euler, tal vez algunos han experimentado con la fórmula característica de Euler
$latex \chi=V-E+F$ , es decir vértices-aristas+caras , este número es interesante, ya que es un invariante topológico, si ustedes triangulan, cuadriculan, o dibujan cualquier red de aristas, vértices y caras en una esfera, SIEMPRE obtendrán $latex \chi=2$ , es decir una esfera triangulada y cuadriculada les dará 2, o si aplican la fórmula a un octaedro y a un cubo también... pero si aplican la fórmula a un toro triangulado o a una botella de Klein, verán que las cosas cambian, ya que no son topológicamente equivalentes a una esfera y obtendrán otros valores porque tienen hoyos.
De hecho, esto puede ser generalizado a dimensiones altas, y lo que dice aquí se puede pasar a complejos de cadena, una cara es la frontera de una variedad, la frontera de una cara son las aristas, y la frontera de una arista son sus vértices $latex (V\leftarrow E \leftarrow F)$ y cuál es la frontera de una frontera ?, es decir si $latex X$ es una variedad y $latex \partial$ es el operador que te calcula la frontera qué es $latex \partial\partial X$ ? , si saben un poco de topología puntual, saben que la frontera de un objeto es un conjunto cerrado sin puntos interiores... por lo tanto la frontera de esto al no haber puntos interiores deberá ser vacía (no hay de donde tomar orilla).
La generalización de esto, es decir ya no podemos hablar de aristas, caras ni vértices, sino de símplices, porque en dimensiónes más altas que 3 necesitarías otras palabras como "hipercara".
Teorema: Sea $latex U$ una variedad de dimensión $latex n$
$latex \chi_U = \sum_{r=0}^n (-1)^{r}\Delta_r = \sum_{r=0}^n (-1)^{r}B_r$
La parte izquierda es la misma formula característica de Euler, $latex V-E+F$ pero en general para una variedad $latex U$ de cualquier dimensión $latex n$, donde $latex \Delta_r$ son los símplices de dimensión $latex r$ tomados en cualquier triangulación definida en $latex U$ (si $latex n=3$ entonces tienes la formula usual de Euler) , en la parte derecha tenemos los números de Betti de $latex X$ para cada una de las dimensiones $latex r$.
De hecho a Platón o algún otro filósofo-matemático griego se les escapó una oportunidad de pasar aún más a la historia al estudiar los sólidos tridimensionales, sería considerado padre de la homología, ya que si hubiera dicho algo así como "La frontera de la frontera es vacía" seguro hubiera pasado a la historia de las matemáticas como lo hizo Euclides y muchos teoremas importantes en topología algebraica llevarían su nombre, de hecho en todas las teorías de Homología y Cohomología se necesita tener un operador frontera $latex \partial$
Este resultado de Poincaré trataré de explicarlo sólo como una motivación que pretenderá dar una intuición geométrica-topológica de esto, pero para esto tendré que explicar un poquito de homología simplicial que es la más básica, pero es la necesaria para poder entender construcciones más ricas como la homología singular.
Definición
Un $latex k-$símplice $latex \Delta_k$ es un triángulo generalizado a dimensión $latex k$, y es la envolvente conexa de $latex k+1$ puntos en $latex \mathbb{R}^{k+1}$ , es decir, es la intersección de todos los conjuntos convexos que contienen a esos puntos.
Más fácil, es un triángulo generalizado, si $latex k=2$ tenemos que en $latex \mathbb{R}^{3}$ necesitamos $latex 2+1$ puntos para definir un $latex 2-$símplice , es decir.. un triángulo, un triángulo es el conjunto $latex \Delta_2=\lbrace (x_0,x_1,x_2)\in \mathbb{R}^3 : x_0+x_1+x_2=1,\space x_0,x_1\geq 0\rbrace$, en general
$latex \Delta_n=\lbrace (x_0,...,x_n)\in \mathbb{R}^{n+1} : \sum_{i=0}^{n}x_i=1, \space x_i\geq 0\rbrace$
Ése señoras y señores es un triángulo de dimensión $latex n$ generalizado, noten que lo expresamos en dimensión $latex \mathbb{R}^{n+1}$, podrían usar otro espacio euclídeo, no sólo $latex \mathbb{R}^k$, para $latex \Delta_0$ tenemos que $latex x_0=1$ es un punto, después $latex \Delta_1$ es una recta, $latex \Delta_2$ es un triángulo, $latex \Delta_3$ es un tetraedro, $latex \Delta_4$ es un pentatopo, etc... y este objeto es la base de la triangulación de cualquier variedad., noten que los puntos $latex v_0=(1,0,0...0) ,v_1=(0,1,0,0,...0), v_n=(0,0,...,0,1)$ son parte del conjunto y les llamamos coordenadas baricéntricas y son los vértices del $latex n-$símplice y nos permiten de una manera referirnos a los símplices sólo identificados con estos puntos.
Definición (complejo simplicial): Un $latex \Delta-complejo$ simplicial es un conjunto de símplices de cualquier dimensión, pegados de tal manera que sus intersecciones también son símplices,
Vamos a denotar como $latex \Delta^{\alpha}_k$ como al $latex k-$símplice indexado por $latex \alpha$ , es decir denotar a la arista1, arista2, cara8, etc...
Es decir, un complejo simplicial es un conjunto de simplejos (puntos, aristas, triangulos, tetraedros, et cétera) , que cumplen que si $latex \sigma \in \mathcal{K}$ entonces las caras de $latex \delta$ también están en $latex \mathcal{K}$ y que si $latex \sigma_1,\sigma_2\$ pertenecen al complejo simplicial entonces $latex \sigma_1\cap \sigma_2$ también es una símplice común (cara común, arista común, vértice común, tetraedro común).
Ejemplo complejo simplicial No-Ejemplo complejo simplicial
Ya con esto definimos los objetos en los cuales nos vamos a enfocar, ahora vamos por el álgebra aquí.
Definición (k cadena): Sea $latex X$ un $latex \Delta-$complejo simplicial, una $latex k-$cadena es una combinación lineal de $latex k-$símplices vista desde el grupo abeliano libre $latex \Delta_k(X)$ tomando como base todos los $latex k-$símplices de $latex X$, es decir es una $latex k-$cadena es una expresión de la forma
$latex \sum_{i=0}^{n} n_i\Delta^{i}_k$
Es decir por ejemplo es una expresión como $latex 4\Delta^{1}_3+8\Delta^{2}_3$ sería una $latex 3-$cadena formada por dos tetraedros.
Definición (k frontera débil): La $latex k$-frontera de una $latex k$-cadena es la suma de los $latex k-1$-simplices en la $latex k$-cadena, la cual se obtiene al quitar una coordenada a cada uno de los $latex k-$símplices de la $latex k$-cadena.
Vamos a desarrollar más esto que es importante, es décir como calcular la frontera.
Si tenemos un $latex k$-símplice, sabemos que está dado por sus coordenadas baricéntricas, que son los vértices, entonces
$latex \Delta_k = [v_0,v_1,...,v_k]$
Si queremos calcular su frontera de esta $latex k$-cadena, como dijimos en la definición, es calcular la $latex k-1$-cadena quitando vértices de $latex \Delta_k$ es decir.
$latex Fr(\Delta_k) = \sum_{i} [v_0, ..., \hat{v_i}, .. v_k]$
Donde $latex \hat{v_i}$ significa quitar esa coordenada, y vamos a modificar la función de frontera anterior y substituirla por una $latex \partial$ que nos permitirá conservar orientación de las caras, aristas, etc..
$latex \partial\Delta_k = \sum_{i} (-1)^{i}[v_0, ..., \hat{v_i}, .. v_k]$
Por ejemplo, podemos ver como se calcula la frontera de una arista, cara y tetraedro en la siguiente imagen sacada del libro de topología algebraica de Hatcher
Aquí pueden ver cómo se ve la frontera de una arista $latex [v_0,v_1]$ et cétera
Definición (k-frontera fuerte)
La función de frontera definida entre los $latex k$-simplices y $latex k-1$-simplices de una complejo simplicial $latex X$, donde definimos $latex \Delta_k(X)$ como el grupo abeliano libre formado por los $latex k-$simplejos está definida como:
$latex \partial_k:\Delta_k(X)\rightarrow \Delta_{k-1}(X)$
$latex \Delta^{\alpha}_k \mapsto \sum_{i}(-1)^{i} \Delta^{\alpha}_k\mid [v_0,...,\hat{v_i},...,v_k]$
Donde es fácil ver que el lado derecho en efecto es una $latex k-1$-cadena porque sólo estamos sumando las mismas coordenadas de $latex \Delta^{\alpha}_k$ pero quitándole una coordenada, convirtiéndola en una $latex k-1$-cadena.
Es un ejercicio usual que prueben el siguiente teorema
Teorema: La composición en:
$latex \Delta_n(X)\xrightarrow{\partial_n}\Delta_{n-1}(X)\xrightarrow{\partial_{n-1}}\Delta_{n-1}(X)$
Es 0, es decir $latex (\partial_{n-1}\circ \partial_{n})(\Delta_{n}^{\alpha})=0$ para cualquier $latex \Delta_{n}$ y $latex \forall n$
De hecho esto es la algebrización de lo que Euclides o Platón pudieron haber hecho para pasar a la historia de La frontera de la frontera es vacía, esto sucede en cualquier dimensión y para cualquier símplice en cualquier complejo simplicial.
Definición (k ciclo): Un $latex k$-ciclo es una $latex k$-cadena cuya $latex k$-frontera es 0, y de hecho los $latex k-$ciclos son un subconjunto de las $latex k$-cadenas.
Tenemos que $latex Im\partial_n \subset Ker \partial_{n-1}$ y de hecho los $latex n-$ciclos coinciden con $latex Im\partial_n$ y las $latex n$-fronteras coinciden con $latex Ker \partial_{n-1}$
como todo lo estamos trabajando en el grupo abeliano libre $latex \Delta_k{X}$ para cualquier $latex k$ , podemos definir el cociente, y tenemos la siguiente definición.
Definición (n-ésimo grupo de Homología)
El $latex n$-ésimo grupo de Homología de $latex X$ es:
$latex H_n(X)=ker\partial_{n}/im\partial_{n+1}$
Ejemplo $latex \mathbb{S}^2$
El ejemplo obligado es $latex X=\mathbb{S}^1$ el círculo, donde tomas sólo un vértice $latex v$ y una arista $latex e$ que se cierra a si misma para que sea más simple, entonces puedes ver que de hecho $latex \Delta_0(X)$ el grupo abeliano libre generado por un vértice , y $latex \Delta_1(X)$ el generado por una arista pues es simplemente $latex \mathbb{Z}$ , para dimensiones más altas es 0, porque no hay símplices más grandes que quepan en el círculo.
Ejemplo toro (dona):
Otro ejemplo que pueden desarrollar es el Toro, donde deberían de obtener $latex H_1(T)=\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}$ , y como hint pueden usar la definición básica del toro con flechas
Que significa , "doblar y pegar las aristas azules y despues doblar y pegar las aristas rojas", como pueden ver en el siguiente dibujito, eso ya les define una configuración básica de tres aristas (1-símplices) $latex a,b,c$ también dos caras $latex U,L$ (2-símplices) y un solo vértice $latex v$ (0-símplice), lo cual es suficiente para calcular homología, recuerden que todo esto es invariante bajo configuraciones de triangulaciones, y realmente estarían calculando la homología de lo azul con lo rojo con la siguiente configuración donde solo hay un solo vértice.
De hecho $latex \partial_1=0$ como en el ejemplo pasado haciendo que $latex H_0(T)=\mathbb{Z}$ y $latex \partial_2(U)=\partial_2(L)=a+b-c$ y $latex \lbrace a,b,a+b-c\rbrace$ es base $latex \Delta_1(T)$ por lo que $latex H_1(T)=\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$, todo esto lo pueden verificar ustedes, pero esto lo debi de haber dejado como ejercicio.
Espero les haya gustado, la siguiente parte veremos ya el teorema de dualidad de Poincaré
Eduardo Ruíz Duarte (beck)
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