Producto Tensorial $latex V\otimes W$

Un tema importante para el estudio de muchas estructuras algebraicas es el producto tensorial, éste lo estudié mucho en mi curso de geometría diferencial al estudiar variedades diferenciables, pero se presenta en muchos lados como en teoría de R-Módulos que en estos momentos estoy usando para estudiar espectros de anillos, voy a intentar dar una idea general porque es muy importante por lo que explicaré ahora de la propiedad universal y la manera de relacionar formas bilineales con formas lineales

Realmente, todo está basado en la propiedad universal de productos tensoriales, la cual nos dice que una función bilineal la puedes hacer lineal.

En símbolos:

Sean $latex V,W$ dos espacios vectoriales de dimensión finita sobre $latex K$ El producto tensorial $latex V\otimes W$ tiene la propiedad universal de que si $latex g:V\times W \rightarrow X$ es una función bilineal (i.e. lineal en sus dos componentes) hacia un espacio vectorial $latex X$, entonces existe una única función lineal $latex u$ tal que

$latex u:V\otimes W \rightarrow X$

Y $latex g(v,w)=u(v\otimes w)$

Este nuevo espacio vectorial tiene 2 propiedades

* Si $latex v \in V$ y $latex w \in W$ entonces $latex v\otimes w \in V\otimes W$

* El producto es bilineal, es decir
$latex (\lambda v_1 + \mu v_2)\otimes w = \lambda v_1 \otimes w + \mu v_2 \otimes w$
$latex v \otimes (\lambda w_1 + \mu w_2) = \lambda v \otimes w_1 + \mu v \otimes w_2$

Hay muchas maneras de definir esto, y la elección depende de lo que necesites, por ejemplo una manera fácil de ver $latex V\otimes W$ en caso de ser de dimensión finita es que éste es el espacio dual del espacio de formas bilineales en $latex V\times W$ o sea todos los mapeos $latex g:V\times W \rightarrow K$ tal que:

$latex g(\lambda v_1 + \mu v_2,w)=\lambda g(v_1,w) + \mu g(v_2,w)$
$latex g(v,\lambda w_1 +\mu w_2) = \lambda g(v,w_1) + \mu g(v,w_2)$
Dado $latex v,w \in V,W$ entonces definimos $latex (v\otimes w)(g)= g(v,w)$

La cual satisface la propiedad universal mencionada anteriormente porque dados $latex g:V\times W \rightarrow X$ y $latex \psi \in X^*, \psi \circ g$ es una forma bilineal en $latex V\times W$ y define una función lineal de $latex X^*$ al espacio de formas bilineales.

Realmente el encontrar esta función $latex u$, es la que nos asegura nuestra nueva interpretación de $latex g$ bilineal, esto es muy poderoso porque nos permite construir espacios más grandes de otros, y es esencial en teoría de módulos los cuales son espacios vectoriales pero sobre anillos y la construcción es parecida, lo que acabamos de decir se resume en:



Eduardo Ruiz