Integración motívica

Existe toda una teoría motívica de integración para cada variedad compleja suave, y esto sirve para la nueva teoría de cuerdas, la teoría motívica fue introducida por Kontsevich en 1995, donde anunció una solución a la conjetura de Batyrev sobre 

dos variedades Calabi-Yau birracionalmente equivalentes tienen los mismos números de Hodge.

Esta conjetura motivó el trabajo en física teórica ya mencionado sobre teoría de cuerdas, donde se cree que el universo visto como una variedad  es localmente el producto de $latex \mathbb{R}^4$ (Minkowski) con un componente compacto (Una variedad de Calabi-Yau)

Aquí sólo resumiremos un artículo de Looijenga (Motivic Measures)  sobre como se debe interpretar la integral motívica, para poder medir volúmenes, o cualquier cosa en cualquier variedad, dimensión, et cétera.

recomiendo leer también What is motivic measure? de Hales, donde expone la aritmética motívica a detalle de J. Denef y F. Loeser, como aquí lo mencioné aquí veremos en resumen lo que es "Motivic Measures" de Looijenga.

La integración motívica toma valores en el anillo motívico $latex \mathbb{M}$ el cual a grandes rasgos tiene como elementos combinaciones $latex \mathbb{Z}$-lineales formales de variedades, con suma como la suma disjunta de variedades y multiplicación como el producto directo de éstas.

Este anillo no está ordenado.

Sea $latex \Omega \\$ una variedad compleja de dimensión $latex n \\$ y $latex \displaystyle \mathfrak{D}=\sum_{i=1}^{r}a_{i}\mathfrak{D}_{i}$ un divisor efectivo en $latex \Omega \\$ con cruces normales simples, la integral motívica del par $latex (\Omega,\mathfrak{D})$ es:

$latex \int_{J_{\infty}(\Omega)}F_{\mathfrak{D}}d_{\mu}=\displaystyle \sum_{J\subseteq \lbrace 1,...,r\rbrace} [\mathfrak{D}^{\circ}_{J}]\cdot \Big (\prod_{j\in J} \frac{\mathbb{L}-1}{\mathbb{L}^{a_{j}+1}-1}\cdot \mathbb{L}^{-n} \Big )$ 

Aquí el espacio de arcos formales de $latex \Omega \\$ es $latex J_\infty(\Omega)$ , aquí también $latex F_{\mathfrak{D}$ es una función definida en $latex J_\infty(\Omega)$, la integral motívica de $latex (\Omega, \mathfrak{D})$ es la integral de $latex F_{\mathfrak{D}$ sobre $latex J_\infty(\Omega)$ respecto a una medida $latex \mu \\$ en $latex J_\infty(\Omega)$, esta medida toma valores en $latex \mathbb{M} $

Los arcos formales $latex J_\infty(\Omega)$ están definidos fijando una variedad compleja $latex \Omega \\$ , los puntos de este espacio corresponden a "arcos formales" , imagina una curva infinitesimal centrada en un punto de $latex \Omega \\ $, eso es un punto con una dirección  tangente en ese punto, una dirección tangente de segundo orden, de tercer orden, et cétera... por eso se puede "intuir" que $latex J_\infty(\Omega)$ es un haz afín infinidimensional sobre $latex \Omega \\$.

$latex \mathbb{L}$ es la línea afín en $latex \mathbb{M}$