Como vimos anteriormente, lo que queremos es exprimir las propiedades de una curva algebraica a través de la geometría algebraica, en este caso de una curva elíptica o hiperelíptica.
Como lo mencioné al principio del post anterior, el grupo de una curva elíptica está fundamentado de manera "cochina" por (algunos) computólogos que implementan criptografía por el teorema de Bézout.
Siempre al definir una curva elíptica se define en su propiedad de grupo que un punto $latex (x,y)$ en la curva elíptica o hiperelíptica tiene como inverso a el punto $latex (x,-y)$ lo cual sucede al proyectarlo con un punto mágico que está en el infinito, esto es porque la curva elíptica realmente no vive en $latex \mathbb{R}^2$ como todos creen, realmente vive en otro espacio que es el que trataremos de explicar aquí, vive realmente en $latex \mathbb{P}^2_{\mathbb{C}}$, pronto veremos el por qué se les llama elípticas a través de otro nuevo espacio $latex \mathbb{C}/\Lambda$ y una función llamada $latex \wp$ de Weierstrass, pero eso aún está lejos de este post.
La respuesta elegante y limpia en vez de usar Bézout para justificar la estructura de grupo de una curva elíptica o hiperelíptica está a través del teorema de Riemann-Roch el cual trataremos de comprender a grandes rasgos, no olvides checar tu literatura
El teorema de Riemann-Roch une las propiedades algebraicas y topológicas de una curva, vamos a explorarlo un poco, aunque en esta primera parte del post definiremos primero lo que es el espacio proyectivo y algunas propiedades a través de ejemplos usando topología.
Como lo mencioné, vamos a hablar ahora del espacio proyectivo $latex \mathbb{P}^{n}_{\mathbb{K}}$, en el post anterior trabajamos en el espacio afín $latex \mathbb{A}^{n}_{\mathbb{K}}$ y definimos el campo de funciones, el cual jugará un papel imporante en Riemann-Roch
Recomiendo leer al menos la página de Wikipedia de geometría proyectiva así como el artículo del plano complejo proyectivo , aquí daré cierta intuición, ejemplos, definiciones y construcciones, para no dejar ese hueco.
Sea $latex V$ un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo $latex \mathbb{K}$ (de hecho para nuestros propósitos el espacio que tomaremos será $latex V=\mathbb{C}^2$) y considera la siguiente relación de equivalencia entre los vectores $latex V\setminus \lbrace 0 \rbrace$:
$latex u\sim v \Leftrightarrow \exists \lambda \in \mathbb{K}^{*} \mid u=\lambda v$
Es decir, estamos diciendo que dos vectores $latex u$ y $latex v$ estarán en la misma partición (están relacionados) sí y sólo sí están en la misma linea que pasa por el origen, es decir, este espacio consta de todas las lineas que salen del origen bajo esta relación, con un ombligo, recuerda que quitamos al 0
Por lo que tenemos que si nuestro espacio vectorial $latex V=\mathbb{C}^2$
$latex \mathbb{P}(V):=V\setminus \lbrace 0 \rbrace / \sim$
y para reducir notación:
$latex \mathbb{P}^{n}_{\mathbb{C}}:=\mathbb{P}(\mathbb{C}^{n+1})$
Por lo que a nosotros nos interesará trabajar en:
$latex \mathbb{P}^{2}_{\mathbb{C}}$
El cual es el plano proyectivo complejo.
Esta geometría realmente nace de la perspectiva a la hora de pintar un paisaje y quieres poder mostrar el horizonte en tu obra a pesar de que éste esté en el infinito.
De hecho, los puntos de $latex \mathbb{P}^{2}_{\mathbb{C}}$ son denotados como $latex [a:b:c]$
Ejemplo:
Como a mucha banda matemática y a mi, nos gustan los ejemplos para poder entender los conceptos abstractos, afortunadamente aquí sí hay algo en lo que todo el mundo es familiar.
Vamos a ver cómo se ve $latex \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{R}}$, de hecho vamos a demostrar que este espacio es realmente homeomorfo al círculo $latex \mathbb{S}^1$
Este espacio se le llama linea proyectiva real y nace de considerar la relación de equivalencia mencionada inicialmente sobre $latex \mathbb{R}^2$.
Más formal:
Si $latex x,y\in \mathbb{R}^2$, tenemos que $latex x\sim y \Leftrightarrow x=\lambda y$ con $latex \lambda \in \mathbb{R}$ y:
$latex \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{R}}=\mathbb{R}^2\setminus \lbrace 0 \rbrace / \sim$
Vamos a usar topología aquí para demostrar que $latex \mathbb{S}^1$ y $latex \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{R}}$ son homeomorfos, de hecho la topología cociente aunque supongo que hay caminos tal vez más directos.
Consideremos:
$latex \psi:\mathbb{R}^2 \setminus \lbrace 0 \rbrace \rightarrow \mathbb{P}^1_{\mathbb{R}}$
$latex (x,y) \mapsto [x:y]$
Ahora, vamos a restringir esto a $latex \mathbb{S}^1$
es decir $latex \hat\psi = \psi\mid_{\mathbb{S}^1}$ por lo que tenemos que en $latex \hat\psi :\mathbb{S}^1 \rightarrow \mathbb{P}^1_{\mathbb{R}}$ $latex \hat\psi(x,y)=\hat\psi(-x,-y)$ es decir, a cada punto del círculo bajo la relación $latex \sim$ se reduce en la restricción al círculo a una relación más simple que le llamaremos $latex \hat\sim$ la cual definimos como $latex a,b\in \mathbb{S}^1$ entonces $latex a\hat\sim b\Leftrightarrow a=-b$
Es decir, la relación restringida al círculo nos dice que las antípodas están en la misma clase de equivalencia.
Entonces lo que basta demostrar es que $latex \tilde\psi:\mathbb{S}^1/\hat\sim \rightarrow \mathbb{S}^1$
es un homeomorfismo.
Consideremos el mapeo:
$latex \phi:\mathbb{S}^1 \rightarrow \mathbb{S}^1$
$latex (x,y) \mapsto (x^{2} - y^{2},2xy)$
Este mapeo está inspirado en $latex z\mapsto z^2$ en $latex \mathbb{C}$ pero viéndolo en $latex \mathbb{R}^2$ y restringido a $latex \mathbb{S}^1 \subset \mathbb{R}^2$
Este mapeo $latex \phi$ claramente es continuo y suprayectivo y $latex \phi$ pasa por el cociente bajo $latex \hat\sim$ o sea, respeta la relación de equivalencia $latex \hat\sim$ ya que si $latex z\in\mathbb{S}^1$ tenemos que $latex \phi(z)=\phi(-z) \Rightarrow z\hat\sim -z$
Usando la propiedad universal de la topología cociente con esta $latex \phi$ tenemos que $latex \tilde\psi:\mathbb{S}^1/\hat\sim \rightarrow \mathbb{S}^1$ es un homeomorfismo y es único.
Por lo que:
$latex \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{R}}=\mathbb{R}^2\setminus \lbrace 0 \rbrace / \sim \cong \mathbb{S}^1$
Más ejemplos usuales existen , por ejemplo si nos tomamos $latex \mathbb{C}$ en vez de $latex \mathbb{R}$ ustedes pueden demostrar que la recta proyectiva compleja:
$latex \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{C}} \cong \hat{\mathbb{C}}:=\mathbb{C}\cup \lbrace \infty \rbrace$
La cual es la esfera de Riemann, éste es un ejemplo fundamental en análisis complejo y geometría algebraica por ser una superficie de Riemann compacta, esto último es relevante ya que nos permite verla como una curva proyectiva algebraica.
Los espacios proyectivos complejos son una herramienta muy poderosa, ya que al agregar este punto $latex \infty$ en ciertos casos se puede definir la división por 0 haciendo que por ejemplo cualquier función racional meromorfa en los complejos sea extendida a una función continua sobre la la recta proyectiva compleja, mapeando sus polos al infinito y conservando continuidad.
En los espacios proyectivos suceden cosas interesantes, por ejemplo veremos que por la naturaleza del espacio en función de su relación de equivalencia, las ecuaciones algebraicas dentro de nuestro espacio proyectivo deberán ser homogéneas, o que existen un puntos que no están en el espacio vectorial en correspondencia con el proyectivo o que si definimos dos rectas paralelas en el espacio vectorial y lo transladamos al espacio proyectivo sí se intersectarán, de hecho TODAS las rectas del espacio proyectivo se intersectan en un punto
Regresando a la analogía de las obras de pintura de paisajes, imagina ¿cómo pintarías la foto de unas vías del tren vistas de frente?, si observas bien las vías, éstas, pareciera que se intersectan en el horizonte.
Para terminar esto veamos lo que mencioné en negritas el penúltimo parrafo a éste.
Consideremos las soluciones (el conjunto de ceros) de un polinomio definido con sus variables en $latex \mathbb{P}^{n}_{\mathbb{K}}$ es decir, un punto en general sería con $latex n+1$ variables , $latex P=[x_0:...x_n]\in \mathbb{P}^{n}_{\mathbb{K}}$, estos puntos por como está definido el espacio proyectivo, están determinados por la multiplicación por un escalar $latex \lambda$, el cual da la relación de equivalencia, por lo que un polinomio con variables proyectivas deberán considerar esa restricción a la hora de considerar sus soluciones, estos polinomios se les llama homogéneos
Definición (polinomio homogéneo): Un polinomio:
$latex f(x_0,x_1,...,x_n) = \displaystyle \sum { a_{\eta_0...\eta_n}}x_{0}^{\eta_0}...x_{n}^{\eta_n}$
Se dice homogeneo de grado $latex d$ si TODOS sus monomios tienen el mismo grado $latex d=\sum_{i=0}^{n} \eta_i$
Por lo que si $latex f$ es homogéneo de grado $latex d$ entonces:
$latex f(\lambda x_0, ..., \lambda x_n)=\lambda^d f(x_0,...,x_n)$
Con esto tenemos que los polinomios homogéneos están bien definidos en el espacio proyectivo.
Ahora, lo que nos resta ver es una propiedad interesante, dos lineas siempre se intersectan en el plano proyectivo, y para esto lo que haremos un ejemplo, será transformar polinomios en dos variables complejas $latex \mathbb{C}^2$ a polinomios en $latex \mathbb{P}^2_{\mathbb{C}}$ a través de un proceso que se llama "homogenización" , y lo haremos con dos lineas paralelas, y veremos como es la intersección de sus imágenes.
La siguiente definición es para construir un polinomio cualquiera, a un polinomio homogéneo , es decir con monomios del mismo grado, esta operación es invertible.
Definición (homogeinización): Sea $latex p(x,y) \in \mathbb{C}[x,y]$, el polinomio correspondiente en $latex \mathbb{P}^2_{\mathbb{C}}$ es:
$latex p(x,y,z)=z^{n}p(\frac{x}{z},\frac{y}{z})$
Es fácil ver que el polinomio resultante de este proceso es realmente homogéneo.
Ejemplo (intersección de las imágenes bajo homogenización de dos rectas afines):
Sean
$latex x+y=2$
$latex x+y=3$
dos rectas definidas en $latex \mathbb{C}^2$
claramente son paralelas, homogeneizando tenemos que
$latex x+y=2z$
$latex x+y=3z$
por lo que tenemos que $latex [a:-a:0] \in \mathbb{P}^2_{\mathbb{C}}$ está en la linea al infinito y es solución de ambas ecuaciones,
nota que $latex [0:0:0]$ también es solución, pero éste punto no está definido en el espacio proyectivo por construcción.
Otro ejemplo serían dos circunferencias de radio distinto:
$latex x^2 + y^2 = 1$
$latex x^2 + y^2 = 2$
Claramente no se intersectan en el espacio afín complejo
Homogeneizando, tenemos que
$latex x^2 + y^2 -1 \mapsto z^2\Big ( \frac{x^2}{z^2}+\frac{y^2}{z^2}-1\Big )=x^2+y^2-z^2$
Similarmente con el otro polinomio, por lo que tenemos que intersectar en $latex \mathbb{P}^2_{\mathbb{C}}$
$latex x^2+y^2-z^2$ y $latex x^2+y^2-2z^2$
y tenemos que todos los puntos de la forma $latex \lambda(\pm 1,\pm i,0)$ son soluciones, y si $latex \lambda \neq 0$
tenemos que $latex [\pm 1:\pm i:0]\in \mathbb{P}^2_{\mathbb{C}}$ es un punto en la linea al infinito que intersecta a ambas circunferencias proyectivas de distinto radio.
La relación con curvas elípticas será que éstas realmente hay que proyectivizarlas (homogeneizarlas) y al trabajar con ellas en criptografía es viéndolas en el espacio proyectivo, es decir para que todo funcione como queremos necesitamos la cerradura proyectiva, mas no el hecho de usar un punto cualquiera para darle estructura de grupo.
Con esto, y el post anterior estamos listos para la siguiente parte que será el teorema de Riemann-Roch
Eduardo Ruiz Duarte (beck)
twitter: @toorandom
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