Sabemos que una función continua real que está definida en un abierto de $latex \mathbb{R}$ tiene una función primitiva, es decir, se integra. Pero... ¿qué pasa con funciones multivariables? .
Para empezar vamos a restringirnos a funciones $latex C^{\infty}$ , es decir que tienen derivadas parciales continuas de todos los ordenes.
Con el propósito de saber por qué estamos examinando esta teoría , pongamos un ejemplo.
Sea $latex f:U\rightarrow \mathbb{R}^2$ diferenciable definida en un abierto de $latex \mathbb{R}^2$
Pregunta $latex \star$
¿Existe una función $latex F:U\rightarrow \mathbb{R}$ tal que:
* $latex \frac{\partial F}{\partial x_1}=f_1$ y $latex \frac{\partial F}{\partial x_2}=f_2$ con $latex f=(f_1,f_2)$?
Sabemos que
$latex \frac{\partial^2 F}{\partial x_2 \partial x_1} = \frac{\partial^2 F}{\partial x_1\partial x_2}$
Por lo que deberíamos tener que
** $latex \frac{\partial f_1}{x_2}=\frac{\partial f_2}{x_1}$
Ahora, ¿existe $latex F$ suponiendo que $latex f=(f_1,f_2)$ satisface ** , ¿es esa condición de la igualdad suficiente?
Ejemplo:
Considera la función $latex f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ dada por:
$latex f(x_1,x_2) = \Big ( \frac{-x_2}{x_1^2+x_2^2} , \frac{x_1}{x_1^2+x_2^2} \Big )$
Como ejercicio puedes calcular las parciales de esa función y verás que en efecto se satisfacen las ecuaciones de ** , sin embargo no existe una función $latex F:\mathbb{R}^2-\lbrace 0 \rbrace \rightarrow \mathbb{R}$ que satisface *, y esto es fácil verlo, supongamos que sí existe, entonces:
$latex \int_{0}^{2\pi} \frac{d}{d\theta}F(cos\theta, sen\theta)d\theta = F(1,0)-F(1,0)=0$
Por otro lado, si desarrollamos el término de la integral con la regla de la cadena:
$latex \frac{d}{d\theta}F(cos\theta, sen\theta)$
$latex = \frac{\partial F}{\partial x}\cdot (-sen\theta) +\frac{\partial F}{\partial y}\cdot cos\theta$
$latex = -f_1(cos\theta,sen\theta)\cdot sen\theta + f_2(cos\theta, sen\theta)\cdot cos\theta = 1$
Esto es claro 1, sustituye y usa la $latex f$ original , por lo que la integral no puede ser 0 y esta contradicción significa que tal $latex F$ no existe.
Definición: Un subconjunto $latex X\subset \mathbb{R}^n$ se dice que es estrellado con respecto a un punto $latex x_0 \in X$ si el segmento $latex \lbrace tx_0 + (1-t)x \mid t\in [0,1]\rbrace$ está contenido en $latex X$ para todo $latex x\in X$
Teorema 1: Sea $latex U \subset \mathbb{R}^2$ un abierto estrellado, entonces para toda función diferenciable $latex (f_1,f_2):U\rightarrow \mathbb{R}^2$ que satisface **, tenemos que la pregunta $latex \star$ tiene solución.
La demostración es un poco de talacha, ya la hice y no es difícil, pero el punto es ver que el que se pueda definir la primitiva de una función depende de la topología del abierto $latex U$, esto no es coincidencia, podemos definir un invariante.
Por simplicidad y como esto es motivación para lo fuerte, seguiremos en $latex \mathbb{R}^2$.
Dado el abierto $latex U\subset \mathbb{R}^2$ y sea $latex C^{\infty}(U,\mathbb{R}^2)$ todas las funciones diferenciables $latex \phi:U\rightarrow \mathbb{R}^2$ , esto es uno de los primero ejemplos de espacios vectoriales de funciones, puedes demostrar que lo son bajo la suma usual y producto por escalares, puedes ver a la $latex \phi$ como un campo vectorial sobre $latex U$ (dibujando $latex \phi(u)$ con el punto $latex u\in U$.
Como lo habíamos definido antes en otro post, pero aquí en dimensión 2, tenemos el gradiente y rotacional:
$latex grad:C^{\infty}(U.\mathbb{R})\rightarrow C^{\infty}(U,\mathbb{R}^2)$
$latex grad(\phi)=\Big( \frac{\partial \phi}{\partial x_1},\frac{\partial \phi}{\partial x_2}\Big)$
$latex rot:C^{\infty}(U.\mathbb{R}^{2})\rightarrow C^{\infty}(U,\mathbb{R})$
Aquí empieza lo interesante:
Nota que $latex rot \circ grad=0$, eso significa que el kernel del rotacional contiene a la imagen del gradiente .
Tenemos que el rotacional y gradiente son operadores lineales esto es que $latex Im(grad)$ es un subespacio de $latex Ker(rot)$, por lo que podemos hablar de el cociente de espacios vectoriales, es decir el espacio de clases $latex \alpha + Im(grad)$ donde $latex \alpha \in Ker(rot)$
***
$latex H^1(U)= Ker(rot)/Im(grad)$
Con esta definición podemos reformular el teorema 1
Teorema 1a: $latex U\subset \mathbb{R}^2 estrellado \Rightarrow H^1(U)=0$
Por otro lado , tenemos que el Ejemplo que desarrollamos $latex H^1(\mathbb{R}-\lbrace 0 \rbrace)\neq 0$.
De hecho se puede demostrar con un poco de cuidado que:
$latex H^1(\mathbb{R}^2 - \displaystyle \cup_{i=1}^k \lbrace x_i \rbrace) \cong \mathbb{R}^k$
De hecho... $latex k$ será el número de componentes conexas del espacio en cuestión, por lo que podemos decir que la dimensión de $latex H^1(U)$ es el número de hoyos en $latex U$
Podemos definir en analogía con *** a $latex H^0(U)=Ker(grad)$.
Lo anterior de los hoyos y eso es algo que suena muy importante por lo que realmente creo que debemos demostrarlo, y no es difícil, por lo que vamos a definir un criterio de conexidad para $latex U$
Teorema 2: Un abierto $latex U\subset \mathbb{R}^k$ es conexo $latex \Leftrightarrow$ $latex H^0(U)=\mathbb{R}$
Demostración:
Tenemos que $latex H^0(U)=Ker(grad)$. por lo que supón que tienes que $latex grad(f)=0$, esto implica que $latex f$ es localmente constante, o sea que todo $latex x_0 \in U$ tiene una vecindad $latex V(x_0)$ con $latex f(x)=f(x_0)$ cuando $latex x \in V(x_0)$ , si $latex U$ es conexo, entonces toda función localmente constante es constante, de hecho , si $latex x_0 \in U$ el conjunto:
$latex \lbrace x\in U\mid f(x)=f(x_0)\rbrace = f^{-1}(f(x_0))$
Es cerrado porque recuerden que $latex f$ es continuo, diferenciable, etcétera, también es abierto ya que $latex f$ es localmente constante, por lo que es igual a $latex U$ y $latex H^0(U)=\mathbb{R}$.
Para el regreso es más fácil ya que si $latex U$ no es conexo, entonces existe una función sobre
$latex f:U\rightarrow \lbrace 0,1 \rbrace$ tal que es localmente constante, entonces $latex grad(f)=0$ por lo que $latex dim H^0(U)>1$ $latex \blacksquare$
De hecho con lo que vimos anteriormente con el número de hoyos podrías extender esta demostración para decir que la dimensión es el número de componentes conexos.
En $latex \mathbb{R}^3$ las cosas son más interesantes.
En tres dimensiones tenemos el operador de divergencia que también lo habíamos construido en un post anterior, si extendemos $latex grad$ y $latex rot$ a $latex \mathbb{R}^3$ de manera natural y definimos
$latex div(f_1,f_2,f_3)=\frac{\partial f_1}{\partial x_1} + \frac{\partial f_2}{\partial x_2} + \frac{\partial f_3}{x_3}$
Podemos notar que aquí también sucede que $latex rot \circ grad = 0$ y adicionalmente que $latex div \circ rot=0$
Construimos de manera similar a $latex H^0(U)$ y $latex H^1(U)$ y definimos:
$latex H^2(U)=Ker(div)/Im(rot)$
Ya se imaginarán por donde voy los que han llevado un poco de topología algebraica,
el siguiente post será ya con complejos CW para ir aterrizando la idea.
saludos
Eduardo Ruíz Duarte (beck)
Twitter: @toorandom
Sabemos que
$latex \frac{\partial^2 F}{\partial x_2 \partial x_1} = \frac{\partial^2 F}{\partial x_1\partial x_2}$
Por lo que deberíamos tener que
** $latex \frac{\partial f_1}{x_2}=\frac{\partial f_2}{x_1}$
Ahora, ¿existe $latex F$ suponiendo que $latex f=(f_1,f_2)$ satisface ** , ¿es esa condición de la igualdad suficiente?
Ejemplo:
Considera la función $latex f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ dada por:
$latex f(x_1,x_2) = \Big ( \frac{-x_2}{x_1^2+x_2^2} , \frac{x_1}{x_1^2+x_2^2} \Big )$
Como ejercicio puedes calcular las parciales de esa función y verás que en efecto se satisfacen las ecuaciones de ** , sin embargo no existe una función $latex F:\mathbb{R}^2-\lbrace 0 \rbrace \rightarrow \mathbb{R}$ que satisface *, y esto es fácil verlo, supongamos que sí existe, entonces:
$latex \int_{0}^{2\pi} \frac{d}{d\theta}F(cos\theta, sen\theta)d\theta = F(1,0)-F(1,0)=0$
Por otro lado, si desarrollamos el término de la integral con la regla de la cadena:
$latex \frac{d}{d\theta}F(cos\theta, sen\theta)$
$latex = \frac{\partial F}{\partial x}\cdot (-sen\theta) +\frac{\partial F}{\partial y}\cdot cos\theta$
$latex = -f_1(cos\theta,sen\theta)\cdot sen\theta + f_2(cos\theta, sen\theta)\cdot cos\theta = 1$
Esto es claro 1, sustituye y usa la $latex f$ original , por lo que la integral no puede ser 0 y esta contradicción significa que tal $latex F$ no existe.
Definición: Un subconjunto $latex X\subset \mathbb{R}^n$ se dice que es estrellado con respecto a un punto $latex x_0 \in X$ si el segmento $latex \lbrace tx_0 + (1-t)x \mid t\in [0,1]\rbrace$ está contenido en $latex X$ para todo $latex x\in X$
Teorema 1: Sea $latex U \subset \mathbb{R}^2$ un abierto estrellado, entonces para toda función diferenciable $latex (f_1,f_2):U\rightarrow \mathbb{R}^2$ que satisface **, tenemos que la pregunta $latex \star$ tiene solución.
La demostración es un poco de talacha, ya la hice y no es difícil, pero el punto es ver que el que se pueda definir la primitiva de una función depende de la topología del abierto $latex U$, esto no es coincidencia, podemos definir un invariante.
Por simplicidad y como esto es motivación para lo fuerte, seguiremos en $latex \mathbb{R}^2$.
Dado el abierto $latex U\subset \mathbb{R}^2$ y sea $latex C^{\infty}(U,\mathbb{R}^2)$ todas las funciones diferenciables $latex \phi:U\rightarrow \mathbb{R}^2$ , esto es uno de los primero ejemplos de espacios vectoriales de funciones, puedes demostrar que lo son bajo la suma usual y producto por escalares, puedes ver a la $latex \phi$ como un campo vectorial sobre $latex U$ (dibujando $latex \phi(u)$ con el punto $latex u\in U$.
Como lo habíamos definido antes en otro post, pero aquí en dimensión 2, tenemos el gradiente y rotacional:
$latex grad:C^{\infty}(U.\mathbb{R})\rightarrow C^{\infty}(U,\mathbb{R}^2)$
$latex grad(\phi)=\Big( \frac{\partial \phi}{\partial x_1},\frac{\partial \phi}{\partial x_2}\Big)$
$latex rot:C^{\infty}(U.\mathbb{R}^{2})\rightarrow C^{\infty}(U,\mathbb{R})$
$latex rot(\phi_1,\phi_2)=\frac{\partial \phi_1}{\partial x_2} - \frac{\partial \phi_2}{\partial x_1}$
Nota que $latex rot \circ grad=0$, eso significa que el kernel del rotacional contiene a la imagen del gradiente .
Tenemos que el rotacional y gradiente son operadores lineales esto es que $latex Im(grad)$ es un subespacio de $latex Ker(rot)$, por lo que podemos hablar de el cociente de espacios vectoriales, es decir el espacio de clases $latex \alpha + Im(grad)$ donde $latex \alpha \in Ker(rot)$
***
$latex H^1(U)= Ker(rot)/Im(grad)$
Con esta definición podemos reformular el teorema 1
Teorema 1a: $latex U\subset \mathbb{R}^2 estrellado \Rightarrow H^1(U)=0$
Por otro lado , tenemos que el Ejemplo que desarrollamos $latex H^1(\mathbb{R}-\lbrace 0 \rbrace)\neq 0$.
De hecho se puede demostrar con un poco de cuidado que:
$latex H^1(\mathbb{R}^2 - \displaystyle \cup_{i=1}^k \lbrace x_i \rbrace) \cong \mathbb{R}^k$
De hecho... $latex k$ será el número de componentes conexas del espacio en cuestión, por lo que podemos decir que la dimensión de $latex H^1(U)$ es el número de hoyos en $latex U$
Podemos definir en analogía con *** a $latex H^0(U)=Ker(grad)$.
Lo anterior de los hoyos y eso es algo que suena muy importante por lo que realmente creo que debemos demostrarlo, y no es difícil, por lo que vamos a definir un criterio de conexidad para $latex U$
Teorema 2: Un abierto $latex U\subset \mathbb{R}^k$ es conexo $latex \Leftrightarrow$ $latex H^0(U)=\mathbb{R}$
Demostración:
Tenemos que $latex H^0(U)=Ker(grad)$. por lo que supón que tienes que $latex grad(f)=0$, esto implica que $latex f$ es localmente constante, o sea que todo $latex x_0 \in U$ tiene una vecindad $latex V(x_0)$ con $latex f(x)=f(x_0)$ cuando $latex x \in V(x_0)$ , si $latex U$ es conexo, entonces toda función localmente constante es constante, de hecho , si $latex x_0 \in U$ el conjunto:
$latex \lbrace x\in U\mid f(x)=f(x_0)\rbrace = f^{-1}(f(x_0))$
Es cerrado porque recuerden que $latex f$ es continuo, diferenciable, etcétera, también es abierto ya que $latex f$ es localmente constante, por lo que es igual a $latex U$ y $latex H^0(U)=\mathbb{R}$.
Para el regreso es más fácil ya que si $latex U$ no es conexo, entonces existe una función sobre
$latex f:U\rightarrow \lbrace 0,1 \rbrace$ tal que es localmente constante, entonces $latex grad(f)=0$ por lo que $latex dim H^0(U)>1$ $latex \blacksquare$
De hecho con lo que vimos anteriormente con el número de hoyos podrías extender esta demostración para decir que la dimensión es el número de componentes conexos.
En $latex \mathbb{R}^3$ las cosas son más interesantes.
En tres dimensiones tenemos el operador de divergencia que también lo habíamos construido en un post anterior, si extendemos $latex grad$ y $latex rot$ a $latex \mathbb{R}^3$ de manera natural y definimos
$latex div(f_1,f_2,f_3)=\frac{\partial f_1}{\partial x_1} + \frac{\partial f_2}{\partial x_2} + \frac{\partial f_3}{x_3}$
Podemos notar que aquí también sucede que $latex rot \circ grad = 0$ y adicionalmente que $latex div \circ rot=0$
Construimos de manera similar a $latex H^0(U)$ y $latex H^1(U)$ y definimos:
$latex H^2(U)=Ker(div)/Im(rot)$
Ya se imaginarán por donde voy los que han llevado un poco de topología algebraica,
el siguiente post será ya con complejos CW para ir aterrizando la idea.
saludos
Eduardo Ruíz Duarte (beck)
Twitter: @toorandom
No comments:
Post a Comment